Descrição do Programa1. Sistemas de Forças Planas e EspaciaisResultante de forças; Decomposição de Forças em suas componentes;

Momento de uma Força, Momento de um binário

Disciplina : Mecânica das Estruturas

Momento de uma Força, Momento de um binário

2. Equilíbrio de uma sistema de forçasReações vinculares; Equações de equilíbrio

3. Centro de Gravidade, Momento Estático e Momento de Inércia de Áreas Planas

4. Tipos de ações: Forças concentrada e distribuída, momentos (exemplos práticos)

5. Introdução à análise de estruturas: Esforços simples, vinculações, reações de apoio, diagramas de esforços em vigas isostáticas

BIBLIOGRAFIA:

1. BORESI, A.P.; SCHMIDT, R.J. Estática. São Paulo: PioneiraThomson Learning, 2003. 2. HIBBELER, R.C. Mecânica: estática. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999. 1999. 3. SHAMES, I.H. Estática: mecânica para engenharia. 4. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002. 4. BEER, F. P. JOHNSTON, E. R. Jr. Mecânica vetorial paraengenheiros – Estática – 5.ed.São Paulo: Makron, Mc GrawHill (itens1, 2 e 3) **livro texto5*. MERIAM J. L., KRAIGE L. G. Mecânica – Estática 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999. (itens1, 2 , 3 e 5)Janeiro: LTC, 1999. (itens1, 2 , 3 e 5)6.* GERE J. M. Mecânica dos Materiais. São Paulo: Pioneira, Thomson Learning, 2003. (item 3)7*.HIBBELER R. C. Resistência dos Materiais, 5ª ed., São Paulo: Prentice Hall, 2004. (item 3)* - disponível na biblioteca

AVALIAÇÕES E CÁLCULO DA NOTA1ª AVALIAÇÃO: 12/05/2014 – VALOR: 4 PONTOS

CONTEÚDO: Resultante de forças; Decomposição de Forças emsuascomponentes; Momento de uma Força, Momento de um binário; Equilíbriode uma sistema de forças, Cálculo das reações de apoio com cargasconcentradas e distribuídas; cálculo de centróides e momento estático de superfíciessuperfícies

2ª AVALIAÇÃO: 07/07/2014- VALOR: 5 PONTOS. CONTEÚDO: Cálculo dos momentos polar e de inércia de superfícies, cálculo de esforços emestruturas, reações de apoio e diagramas de esforçosemvigas isostáticas

TRABALHO: soluçãode vigase pórticosanaliticamentee atravésdo TRABALHO: soluçãode vigase pórticosanaliticamentee atravésdo software Ftool. Entrega: 07/07/2014- VALOR: 1 PONTO

Atendimento: 3ª 13:10 – 16:30

Obs: durante a prova não pode ir ao banheiro, usar celular ou sair para tomarágua (portanto, se previnam!)

MÓDULO I

-INTRODUÇÃO (o que é mecânica, sistema internacional de unidades)internacional de unidades)

-REVISÃO: COMPONENTES DE UMA FORÇA;

RESULTANTE DE FORÇAS

(no plano e no espaço)(no plano e no espaço)

- EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL

Introdução

Mecânica é a ciência que descreve e prediz as condições de repouso ou movimento dos corpos sob a ação de forças.

A Mecânica dos Corpos rígidos é dividida em: A Mecânica dos Corpos rígidos é dividida em: - Estática: trata dos corpos em repouso (será visto nesse curso) - Cinemática - Dinâmica tratam dos corpos em movimento (não será visto)

Os corpos serão considerados perfeitamente rígidos (não se deformam). Na realidade, a estrutura se deforma sob a ação das cargas, deformam). Na realidade, a estrutura se deforma sob a ação das cargas, mas se as deformações forem pequenas elas não alteram as condições de equilíbrio da estrutura. No entanto, essas deformações devem ser levadas em conta quando elas puderem causar a ruptura do material (será visto em resistência dos Materiais, que faz parte da Mecânica dos corpos deformáveis).

Sistema Internacional (SI) de UnidadesMetro (m); quilograma (kg), segundo (s); Newton (N).

1N é a força que imprime aceleração de 1m/s2 à massa de 1kg.Unidade de força: NUnidade de força: NUnidade de distância: mUnidade de tensão: Pascal (Pa) Pa = N/m2

Unidade de momento: N.m

Prefixos SI Fator de multiplicação Prefixo símbologiga G

mega M109

106

Ex: 1kN = 103 N; 1MPa = 106 Pa; 1GPa = 109 Pa1Kgf = 9,82 N 10N

mega Mquilo k

10103

≅

ForçasForça representa a ação de um corpo sobre outro . É caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido é representada por um vetor. Graficamente é dada por um segmento definido ao longo de sua linha de ação (reta onde a força atua) definido ao longo de sua linha de ação (reta onde a força atua)

Direção:é definida por sua linha de ação Intensidade: comprimento do segmento (módulo do vetor) Sentido:indicado pela seta

10N linha de ação

A NFF 10==r

10N linha de ação

Fr

módulo

Resultante de Forças

� Resultante ( ) é uma única força que produz o mesmo efeito de 2 ou mais forças.

Rv

efeito de 2 ou mais forças.

� Inicialmente será considerado que o tamanho e a forma dos corpos não afetam a solução dos problemas todas as forças que atuam no corpo serão considerandas atuando em um único ponto (ponto material).

� Na maioria das vezes um corpo não pode ser tratado como um � Na maioria das vezes um corpo não pode ser tratado como um ponto material um corpo é um conjunto de grande número de pontos materiais.

� Vetores obedecem à lei do paralelogramo

Resultante de Forças no Plano

Lei do paralelogramo: a resultante ( ) de duas forças ( e ) é dada pela diagonal do paralelogramo cujos lados são iguais às forças e

Rv

2Fr

1Fr

2Fr

1Fr

Regra do Triângulo: é obtida unindo o início de com o fim de (parte superior do paralelogramo) ou unindo o início de com o fim de

Rv

1Fr

1Fr

2Fr

2Fr

21 FFRrrv

+=

Rv

1Fr

2Fr

2Fr

(parte superior do paralelogramo) ou unindo o início de com o fim de (parte inferior do paralelogramo)

2F

1Fr

Rv1F

rRv

2Fr

2Fr

1Fr

Resultante de Forças no Plano Subtração de 2 forças:

Pr

Qr

( )QPQPrvrv

−+=−

rQr

Pr

Qr

−

QPrv

−

Soma de 3 forças:

Qr

− Oposto de ) Qr

Pr

QPrv

+

PQPrv

−

( ) SQPSQPrrvrrv

++=++ Pr

Qr

Sr

SQPrrv

++

QPrv

+aplica a lei paralelogramo ou regra do triângulo 2 vezes (não importa a ordem que os vetores são somados)

Soma de 4 ou mais forças coplanares (forças que estão no mesmo plano) e concorrentes (forças que passam pelo mesmo ponto):aplica a lei do paralelogramo quantas vezes for necessário

QP +

Decomposição de uma força em componentes

Uma força que atua sobre um ponto pode ser substituída por 2 ou mais forças que tenham o mesmo efeito que componentes de

Fr

Fr

Fr

é dada pela soma vetorial de suas componentesHá um número infinito de conjuntos de componentes

Exemplo: decomposição de em 2 componentes, segundo as direções x1 e x2.

Fr

r

Pr

Qr

e Componentes de Fr

Fr

Fr

Pr

Qr

Fr

1x

2x

Fr

Nas extremidades de passam paralelas segundo as direções x1 e x2 encontra

e

Fr

Pr

Qr

Decomposição de uma força em componentes

Fr

x

Fr

� Casos Comuns:a) Se F e uma das suas componentes são conhecidas:a outra

componente é obtida pela regra do triângulo. Exemplo: se é conhecida, obtém unindo a extremidade de com a de

Qr1x

2xPr

Pr

Qr rrconhecida, obtém unindo a extremidade de com a de

(porque F é a soma de P e Q). b) Se F e as linhas de ação das componentes são conhecidas:

a intensidade e sentido das componentes são obtidas pela lei do paralelogramo ou regra do triângulo (porque F é a soma de P e Q)

Qr

Fr

Pr

Componentes cartesianas de uma força no plano

� São as componentes de nas direções dos eixos de coordenadas cartesianas (x,y).

� No plano é decomposta em e

Fr

Fr

xFr

yFr

y y Fr

iFF xx

rr= jFF yy

rr=

x

y

Fr

θ

xFr

yFr

ou rotacionando o sistema

x

y Fr

xFr

yFr

θ

ir

jr

Fx e Fy componentes escalares de (Fx e Fy podem ser Fr

Fy

Fx e Fy componentes escalares de (Fx e Fy podem ser positivas ou negativas)

F

yx FFFvrr

+= jFiFF yx

rrr+=θcosFFx

r= θsenFFy

r=

xFr

yFr

e componentes vetoriais de Fr

222

xy FFFrrr

+= 22

xy FFFrrr

+=

Resultante de forças no plano pela soma das componentes em x e y

� Cada força é decomposta em x e y

yRr

xRr

Soma das componentes em x

Soma das componentes em yyRxR

em x em y

Rr

Resultante das forças yx RRR +=rr

jRiRR yx

rrr+=

Exemplo: resultante das forças

( ) ( ) jFiFjSQPiSQPjRiRR yxyyyxxxyx

rrrrrrr

∑∑ +=+++++=+=

SQPRrrrr

++=Qr

Pr

Sr

y y

Qr P

r

Sr

x

yjPy

r

iPx

r

jQy

r

iQx

r

jS y

riSx

r x

y

jRy

r

iRx

r

Rr Ex 3, 1,

2, 4, 5 e 6

Componentes cartesianas de uma força no espaço

� No espaço é decomposta em , e Fr

xFr

yFr

iFF xx

rr= jFF yy

rr=

zFr

kFF zz

rr=

zyx FFFFvvrr

++=

kFjFiFF zyx

rrrr++=

� Se , e são os ângulos que faz, respectivamente com os

eixos x, y e z:

xx zz zyx

xθ yθ zθ Fr

xx FF θcosr

=yy FF θcos

r= zz FF θcos

r=

x

yyFr

y y

r

yyFr

jr F

r Fr

A Aθ

D

Ax

zxFr

zFr

x

zxFr

x

zxFr

yFr

zFr

x

zxFr

zFr

ir

jr

kr

F

Fr

Fr

O

xθ D

yθyFr

zFr D

O

zθ

O

222

zxy FFFFrrrr

++= Ex 7, 8 9

Seja o plano OBAC que contém o eixo y e a força . A orientação de OBAC é definida pelo ângulo que OBAC faz com o plano xy.

Componentes cartesianas de uma força no espaço (cont.)

φFr

y

FrB

Plano xy

pelo ângulo que OBAC faz com o plano xy. A orientação de dentro do plano OBAC é definida pelo ângulo que faz com o eixo y.

Fr

φ

Fr

yθ

x

z

O

Plano xzC

A

φ

yθ

Fr

hFr

yFr

pode ser decomposta em e (contida no plano xz):y

x

y

z

FrB

C

Ayθ

hFr

yFr

Decompondo em e xF

r

zFr hF

r

x

y

z

Fr

hFr

yFr

xFr

zFr

φO

yy FF θcosr

=

yh senFF θr

=

φcoshx FF =

φsenFF hz =

Forças no espaço (cont.)

� Aplicando o Teorema de Pitágoras aos triângulos OAB e OCD:y

FrB

222

hy FFFrrr

+=OAB

x

z

FyFr

xFr

zFr

φ

yθ A

O

C

D

hFr

222

ZXh FFFrrr

+=OCD

Portanto:2222

zxy FFFFrrrr

++=

222

zxy FFFFrrrr

++=

Resultante de forças concorrentes no espaço

� Cada força é decomposta em x, y e z

yRr

xRr

Soma das componentes em x

Soma das componentes em y

Rr

Resultante das forças

zyx RRRRrrrr

++=

Exemplo : resultante das forças

SQPRrrrr

++=

Qr

Pr

Sr

r

kFjFiFkRjRiRR zyxzyx

rrrrrrr

∑∑∑ ++=++=

zRr Soma das componentes

em z

y

( ) ( ) ( )kSQPjSQPiSQPR zzzyyyxxx

rrrr++++++++=

SQPR ++=jRy

r

iRx

r

x

z

kRz

r

Rr

RxRy Rz Ex 10

Equilíbrio de um ponto material� Um ponto está em equilíbrio quando a resultante de todas as

forças que agem sobre ele é nula. 0rr

=R

0∑ == xx FR 0∑ == zz FR0∑ == yy FR

� Se o ponto está em equilíbrio, o efeito global de todas as forças que agem nele é nulo.

� 1a Lei de Newton: Se a forca resultante que atua em um ponto material tem intensidade igual a zero, esse ponto permanece em repouso (se estava em repouso) ou se move ao longo de uma reta com velocidade constante ( se estava em movimento).

0∑ == xx FR 0∑ == zz FR0∑ == yy FR

reta com velocidade constante ( se estava em movimento).

Exemplo 1:2 forças de mesma intensidade, mesma direção, mas sentidos contrários(As 2 forças estão em equilíbrio)

Equilíbrio de um ponto material

� Exemplo 2:4 forças agem no ponto A, cuja soma dá zero (no polígono, a extremidade de coincide com o início de )

4Fr

Fr

início de )1F

Regra do polígono 0

rr=R

(graficamente)

y

x

F4=2000N

Analiticamente:010005001500º302000º3001001500 =−−=−−== ∑ sensenFR xx

01732866866º30cos2000º30cos1000866 =+−−=+−−== ∑ yy FR

Sistema de forças em equilíbrio

Ex 11 e 12