MECÂNICA GERAL 1Marcel Merlin dos Santos

TÓPICOS DE HOJE

� Princípio da transmissibilidade� Produto Vetorial� Componentes cartesianas� Momento de uma força em relação a um ponto� Projeção de um vetor sobre um eixo� Produto misto de 3 vetores� Momento de uma força em relação a um eixo� Binários� Exercícios

PRINCÍPIO DA TRANSMISSIBILIDADE

� Duas forças, F e F’, que agem em pontos diferentes de um corpo rígido têm o mesmo efeito sobre o corpo, se elas tiverem mesmos módulos, direção, sentido e mesma linha de ação. Duas forças nesta direção são equivalentes.

F

F’

=

PRODUTO VETORIAL

� O produto vetorial entre dois vetores P e Q é definido como sendo o vetor V, que satisfaz às seguintes condições:

� 1- A linha de ação de V é perpendicular ao plano que contém P e Q.

Q

Pθ

V=PxQ

PRODUTO VETORIAL

� 2- O modulo de V é o produto é o produto dos módulos de P e Q e do seno do ângulo formado por P e Q (θ), ou seja,

� 3- O sentido de V é tal que uma pessoa colocada na extremidade de observará como sendo anti-horária a rotação que traz o vetor P sobre o vetor Q; Observe que se P e Q não tiverem um ponto de aplicação comum deverão ser colocados, inicialmente,com as origens no mesmo ponto. Logo, P, Q e V formarão um triedro positivo.

PRODUTO VETORIAL

� Da definição, os produtos vetoriais PxQ e QxP são representados por vetores que diferem apenas pelo sentido. Logo:

Q

Pθ

V=PxQ

PRODUTO VETORIAL

� Ainda da definição de produto vetorial de dois vetores obtém-se as seguintes relações para os vetores i, j e k.

� O sinal do produto vetorial de dois vetores unitários pode ser determinado de acordo com a seguinte figura:

i j k i j k+

-

COMPONENTES CARTESIANAS

� As componentes cartesianas do produto vetorial V de dois vetores P e Q podem ser descritas por:

� Aplicando a distributiva e resolvendo o produto escalar, é possível obter a seguinte expressão:

� Logo, as componentes do produto vetorial serão:

COMPONENTES CARTESIANAS

� Como a expressão de V se assemelha a expressão de um determinante, pode-se representar o produto vetorial da seguinte maneira:

MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO

A UM PONTO

� O momento de uma força F em relação a um ponto O pode ser definido pelo produto vetorial:

� Onde r é o vetor posição que liga a origem O ao ponto de aplicação A da força F e o ângulo formado por r e F. O módulo do momento da força F em relação a O será:

EXERCÍCIO 1

� Uma força vertical de 450 N é aplicada à extremidade de uma manivela fixada a um eixo em O. Determinar:

� a) O momento da força de 450N em relação a O;

� b) A intensidade da força horizontal aplicada em A que produz o mesmo momento em relação a O;

� c) A menor força aplicada em A que produz o mesmo momento em relação a O;

� d) A distância que uma força vertical de 1080 N produza o mesmo momento calculado em A;

EXERCÍCIO 2

� Uma força de 800 N é aplicada como ilustrado. Determine o momento da força em relação a B.

800N

A

B

160 mm

200 mm

60o

EXERCÍCIO 3

� Uma força de 150 N atual na extremidade de uma alavanca de 0,90 m como mostrado na figura. Determine o momento da força em relação a O.

150N

A

O

0,90 m

20o

50o

PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE UM

EIXO

� A projeção de um vetor P sobre o eixo OL pode ser obtida calculando-se o produto escalar de P com o vetor unitário λ de OL. Temos:

x

z

y

L

PO

λ

θy

θx

θz

PRODUTO MISTO DE 3 VETORES

� O produto misto de três vetores S, P e Q pode ser definido como sendo o escalar S·(P×Q), ou seja

� Na forma matricial:

MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO

A UM EIXO

� O momento de uma força F em relação a um eixo OL pode ser definido como a projeção OC sobre OL do momento Mo da força F, isto é, como o produto misto dos vetores unitário λ, posição r e força F.

xz

yL

Oλ

r

F

A

EXERCÍCIO 4

� Determine o momento em relação a z.

EXERCÍCIO 5

� Uma força F={8i-1j+1k} lb é aplicada à alavanca de chave mostrada na figura. Determine a componente do momento dessa força em relação ao eixo z, que efetivamente desaperta o parafuso.

EXERCÍCIO 6

� A engrenagem cônica mostrada na figura está sujeira a uma força F causada pelo contato com outra engrenagem. Determine o momento dessa força em relação ao eixo y da engrenagem.

EXERCÍCIO 7

� O patim de esferas é constituído de duas rodas esféricas em linha, no lugar de rodas convencionais. Durante a patinação as duas forças sobre suas rodas consistem em uma força normal de 78 lb e uma força de atrito de 13 lb. Determine o momento dessas forças em relação ao eixo AB da roda.

EXERCÍCIO 8

� Um pequeno barco pende de dois suportes, um dos quais é mostrado na figura. Sabe-se que o momento, em relação a z, da força resultante RAaplicada no ponto A do suporte não deve exceder o valor de 271 N.m, em valor absoluto. Determine o maior valor possível da força de tração no cabo ABAD quando x=1,46m.

� Resposta: RA=196N

BINÁRIOS

� Duas forças que têm mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentidos opostos formam um binário. O momento de um binário é independente do ponto em relação ao qual é calculado, ele é um vetor Mperpendicular ao plano binário e seu módulo é igual ao produto do valor de F do módulo comum das forças do binário pela distância d entre suas linhas de ação.

F F

M

d

BINÁRIOS

� Dois binários que têm o mesmo momento são equivalentes. A soma de dois binários é um binário e o momento M do binário resultante é a soma vetorial dos momentos M1 e M2 de dois binários originais. Em consequência, um binário pode ser representado por um vetor, denominado vetor binário, igual em módulo, direção e sentido ao momento M do binário. Um vetor binário é um vetor livre que pode ser aplicado à origem O, se conveniente, e cujas componentes cartesianas podem ser calculadas.

x

z

y

Od

F-F x

z

y

O

M=Fd

x

z

y

O

M

x

z

y

O

My

MxMz

= = =

EXERCÍCIO 9

� Substitua o binário e a força ilustrada por uma única força, equivalente, aplicada à alavanca. Determinar a distância do eixo ao ponto de aplicação dessa força equivalente.