disciplina: mecânica geral -estática. centroide • analogamente ao cálculo da posição do ponto...
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Disciplina:Mecânica Geral - Estática
Prof. Dr. Eng. Fernando Porto
III. Área e Centro de Gravidade de Superfície Plana
y
x
x
y
dy
dx
dA
SCG
Como localizar o centro de gravidade de uma superfície qualquer?
Válido para qualquer carregamento distribuído!
Relembrando:
Intensidade da força resultante
Localização da força resultante
1. Centroide
• Analogamente ao cálculo da posição do ponto de aplicação da força resultante em um carregamento distribuído, podem ser determinadas as coordenadas cartesianas do centro de gravidade (centroide) de uma superfície plana.
• e ou xg e yg ... coordenadas cartesianas do CG da figura plana em relação aos sistema de eixos x e y;
• dA ... elemento infinitesimal de área da superfície;
• x e y ... coordenadas cartesianas de cada dA em relação aos eixos x e y.
CG: centro de gravidade
Fazendo
então
Þ
Analogamente
Não esquecendo que dA = dx.dy
1.a. Centroide do Retângulo
• Seja a área retangular ao lado.
��
�
��
�
Analogamente
Lembrando que
então
��
�
1.b. Centroide do Triângulo
• Seja a área triangular ao lado.
�
�
Analogamente...
Lembrando que
então
1.c. Centroide do Semicírculo
• Seja a área do semicírculo abaixo.
�
�
Vale 0 neste sistema de coordenadas!
�
Ou seja, é necessário determinar y e dAem função de r e q.
Nesta situação, é necessário trabalhar com coordenadas polares.
Atenção: para ângulos muito pequenos, pode ser considerado
sen(q) » q
Assim
r. sen(dq) » r. dq
onde
Então...
numerador
denominador
É importante observar que o denominador òdA é a área da superfície, tal como nos casos anteriores.
Desenvolvendo o numerador:
cosp = -1
cos0 = 1
Desenvolvendo o denominador:
Assim...
numerador
denominador
1.d. Quadrante do Círculo
• Seja a área do quadrante do círculo abaixo.
�
�
Disciplina:Mecânica Geral - Estática
Prof. Dr. Eng. Fernando Porto
III. Área e Centro de Gravidade de Superfície Plana
Aplicação
1.a. Centroide do Retângulo
1.b. Centroide do Triângulo
1.c. Centroide do Semicírculo
1.d. Quadrante do Círculo
1. Aplicação
• Dado a figura abaixo determinar, determinar a área e seu centro de gravidade.
(m)
(m)
Centroide do Retângulo
Centroide do Quadrante do
Círculo
2. Aplicação
• Dado a figura abaixo determinar, determinar a área e seu centro de gravidade.
(m)
Centroide do Retângulo
Centroide do Triângulo
Centroide do Semicírculo
3. Aplicação
• Dado a figura abaixo determinar, determinar a área e seu centro de gravidade.
(m)
4. Aplicação
• Dado a figura abaixo determinar, determinar a área e seu centro de gravidade.
(mm)
Disciplina:Mecânica Geral - Estática
Prof. Dr. Eng. Fernando Porto
III. Área e Centro de Gravidade de Superfície Plana
Série de Exercícios
Exercício 1
• Estime a área e a posição do centroide da figura ao lado.
Respostas: x = 54,8 mm; y = 36,6 mm; A = 13282 mm2
Exercício 2
• Estime a posição do centroide da figura ao lado.
Respostas:
x = 175,6 mm; y = 94,4 mm
30 mm
300 mm
240 mm
30 mm
Exercício 3
• Estime a posição do centroide da figura ao lado.
Respostas:
x = 5,67 m; y = 5,17 m
6 m 6 m
6 m6 m
3 m
Exercício 4
• Estime a posição do centroide da figura ao lado.
Respostas:
x = 7,22 m; y = 9,56 m
6 m 8 m
8 m
12 mr = 4 m
Exercício 5
• Estime a posição do centroide da figura ao lado.
Respostas:
x = 92,0 mm; y = 23,3 mm
Exercício 6
• Estime a posição do centroide da figura ao lado.
Respostas:
x = 1,643 m; y = 17,46 m
20 m
16 m
r = 38 m
Exercício 7
• Estime a posição do centroide da figura ao lado.
Respostas:
x = -10,0 mm; y = 87,5 mm
Exercício 8
• Estime a posição do centroide da figura ao lado.
Respostas: x = 0 m; y = 6,45 m
r1 = 8 mr2 = 12 m
Exercício 9
• Estime a posição do centroide da figura ao lado.
Respostas:
x = 16,21 mm; y = 31,9 mm
Bibliografia
BEER, FERDINAND P.; JOHNSTON, E. RUSSELL; EISENBERG, ELLIOT R.
Mecânica Vetorial Para Engenheiros - Estática
Editora: MCGRAW HILL – BOOKMAN; 2010
ISBN: 8580550467