Mecânica Analítica (Módulo 1)

Mecânica Analítica

O Princípio de Hamilton

J. Seixas

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Sumário dos últimos capítulosO que temos até agora:

● A escolha das variáveis é uma parte essencial da resolução de um problema em Física (até ao momento, pelo menos em Mecânica)

● Forças de reacção podem ser substituídas por equações de constrangimento (substituindo a 3ª Lei de Newton)

● Podemos substituir em geral o uso de forças pelo trabalho através do Princípio do Trabalho Virtual

● A Natureza escolhe aparentemente um princípio de extremo para decidir qual o comportamento a seguir por um sistema

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Juntando as peças● Princípio de d'Alembert

– Usar as forças de inércia a nosso favor: substituir F=ma por através da inclusão das forças inerciaisδW=0

V=const!

P−m z̈=0

δW=(P−m z̈ )δ z=0

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Juntando as peças● Se os constrangimentos não produzem trabalho: N partículas

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Juntando as peças● Vamos estar interessados em forças conservativas

● Princípio de d'Alembert:

● Mas

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Juntando as peças

t 1 t 2t t+dt

δ x

t

x

dx

x (t )

x ' (t)

A Bx (t )

δ x

x

f ( x)

dx

x (t+dt) x ' (t )

δ f

df

f

A

B

C'

C

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Juntando as peças● Variação: criação de caminhos alternativos

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Juntando as peças● A componente das forças conservativas no trabalho virtual é

redutível à variação de uma função escalar.

● Isso todavia não é verdade em geral para as forças inerciais

● Como ultrapassar isso?

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Juntando as peças● Conclusão:

● Se os pontos inicial e final estiverem fixos:

● Princípio de Hamilton: Extremo da acção!

Lagrangeano

Acção

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Princípio de Hamilton

● Pergunta: o Lagrangeano é único?

● Resposta: Não!

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Constrangimentos● Isto é tudo muito bonito, mas…

● N partículas: N vectores (3d) de posição + N vectores (3d) de velocidade

● Comecemos pela posição: 1 vector 3N dimensional para a posição do sistema todo:

● Mas ainda por cima posso não gostar de coordenadas cartesianas (porque não dão jeito):

● Estas coordenadas designam-se por Coordenadas Generalizadas

P'ra quê? A posição do sistema é representada por um ponto neste espaço de configurações

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Condições holonómas e não-holónomas● Exemplo:

– Esfera livre: 6 graus de liberdade

– Sobre um plano: altura do centro fixa 5 graus de liberdade● Coordenadas do ponto de contacto 2 graus de liberdade x, y● Posição da esfera relativamente ao centro 3 ângulos α, β, γ

– Se pode deslizar no plano: 5 graus de liberdade

– Rolamento puro: ponto de contacto instantaneamente parado e eixo de rotação no plano. Ângulos função de x,y?

– Não: diferenciais dos ângulos função de dx e dy mas a relação não é integrável

– Dois caminhos diferentes

bola rodada no finalx

y

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Condições holonómas e não-holónomas● Condições cinemáticas que só podem ser dadas como

relações entre diferenciais de coordenadas e não como relações finitas dizem-se não-holónomas

● Condições holónomas são dadas na forma

● Isto implica

● Mas a existência de

f (q1,q2, ... , qn)=0∂ f∂q1

dq1+∂ f∂ q2

dq2+...+∂ f∂ qn

dqn=0

A1dq1+A2dq2+...+Andqn=0

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Condições holonómas e não-holónomas● Condições holónomas podem ser atacadas de duas

maneiras:

– m equações envolvendo n variáveis, eliminar m variáveis e tratar o problema com n-m graus de liberdade

– Tratar o problema com todas as variáveis e usar as relações como condições auxiliares

● Condições não-holónomas só podem ser tratadas da segunda maneira

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Constrangimentos● O problema físico é o mesmo: tem de ser possível mudar de

umas para outras coordenadas

● Relação entre as componentes da velocidade nos dois sistemas de coordenadas

Velocidade generalizada

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Força generalizada● O conceito de espaço de configurações obriga a redefinir o

conceito de força: a força passa a ter 3n componentes

Força generalizada

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O que é necessário para que funcione?

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Dinâmica e geometria● A palavra de ordem é Geometria

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Dinâmica e geometria

● Coordenadas esféricas:

● Coordenadas cilíndricas:

● Constrangimentos: Geometria!

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As equações de Euler-Lagrange● Relembremos:

● Coordenadas Generalizadas:

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As equações de Euler-Lagrange● Integrando por partes:

● Equações de Euler-Lagrange:

● Nota:

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Forma de Nielsen de E-L● Como tratar o problema quando as forças não são

conservativas?

● Voltemos ao Princípio de d'Alembert:

● k condições de constrangimento

● Mas

Espaço de configurações

e

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Forma de Nielsen de E-L● Mas

e

● Juntando tudo (forma de Nielsen de E-L)