Ondas & Mecânica

Sumário

•  Atrito e Rolamento •  As Leis de Kepler e a sua dedução

a partir do Movimento num campo de Forças central.

MEEC/IST Aula # 14

Prof. Pedro T. Abreu abreu@lip.pt

“O Universo está escrito numa linguagem geométrica e só quem dominar essa linguagem poderá compreender a sua evolução!’’

Galileo Galilei (1564-1642) (cortesia de Doutora Patrícia Gonçalves)

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Perspectiva histórica

Nicolau Copérnico: 1473 -1543

Galileu Galilei: 1564 -1642

Johannes Kepler: 1571 -1630

Isaac Newton: 1642 - 1727

Ano I

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 -6

1 século

Tycho Brahe: 1546-1601

Ptolomeu: 85 -165 dc

Aristóteles: 384 - 322 ac

Heráclito de Ponto 388 – 312 ac

Demócrito de Abdera: ~ 460- 370 ac

Anaximandro de Mileto: ~ 610 -547 ac

Anaxímenes de Mileto: ~585 - 528 ac

Tales de Mileto : ~625 - 547 ac

Aristarco de Samos 320 - 250 ac Albert Einstein: 1879 - 1955

O que observamos: A esfera das estrelas completa uma revolução em torno da terra em cada 23h56m. As posições relativas das estrelas não se alteram. O Sol acompanha a esfera celeste no seu movimento diário muito embora de dia para dia se desloque para Este sobre a eclíptica.

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Universo Geocêntrico

solstício de verão

solstício de Inverno

23.5º

N

S

Equinócio da Primavera

Equinócio do Outono

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Universo Geocêntrico

Qualquer movimento nos céus é circular e uniforme

Os objectos celestes são compostos por um material perfeito, não podendo as suas propriedades

intrínsecas sofrer variações.

A terra é o centro do universo.

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Aristóteles O universo de duas esferas composto por uma esfera interior, habitada pelo homem e por uma esfera exterior para as estrelas . Não explica as posições ou movimentos dos sete planetas então conhecidos, que se movem no éter, nem define em que esfera se encontra o sol. A órbitas dos planetas deveriam ser circulares e concêntricas.

Aristóteles propôs exactamente 55 esferas cristalinas concêntricas, com a terra no centro, fazendo parte de um mecanismo físico, cujo movimento era descrito por um sistema matemático complexo … mas que não era suficiente para descrever as observações….

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Problema dos planetas O movimento regular dos planetas sobre a esfera celeste (à excepção do Sol e da Lua) é por vezes substituído por um movimento de retrogradação…

Como explicar o comportamento dos planetas ?

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Claudius Ptolomeu

Epiciclos foram colocados dentro de epiciclos para explicar melhor os movimentos dos planetas.

Foram postulados os equantes, em torno dos quais o centro dos epiciclos se deslocariam com velocidade uniforme para explicar as variações observadas na velocidade dos planetas.

Estas ideias, que partem do universo Aristotélico, foram catalogadas por Ptolomeu no ano 150 , no livro Almagest.

equante

Terra

planeta epiciclos deferente

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Outros modelos

Atomistas: Demócrito e Leucípo O universo é um espaço vazio infinito, preenchido por um número também infinito de partículas minúsculas e indivisíveis: os átomos, que se deslocam em todas as direcções.

Pitagóricos O número, sinónimo de harmonia, é a essência das coisas. Criaram a teoria da harmonia das esferas : o cosmos é regido por relações matemáticas . A terra é esférica, e é uma estrela que se move como as demais ao redor de um fogo central.

Outros modelos para o Universo surgiram na Grécia antiga ( e não só…)

De entre esses modelos, alguns eram menos completos na capacidade de previsão das observações, outros eram menos intuitivos…e foram rejeitados.

Heráclito du Pont Sugere que o movimento do ceu se deva à rotação da terra sobre ela própria e que Mercúrio e Vénus se desloquem em torno do Sol, móvel, e não em órbitas circulares independentes em torno da Terra.

Aristarco de Samos O Sol é o centro de uma esfera de estrelas de grandes dimensões em torno do qual a Terra descreve uma órbita circular

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A escola de Atenas

Platão Aristóteles

Diógenes

Heráclito Pitágoras

Anaximandro

Euclides

Ptolomeu

Parménides

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Nicolau Copérnico

“De Revolutionibus” 1543

O sistema Ptolomaico com alterações e adições feitas durante séculos, de modo a melhor se ajustar às observações tornou-se monstruoso!

Nenhum dos sistemas Ptolomaicos que Copérnico conhece coincidem inteiramente com as observações feitas a olho nú.

Propôe o universo heliocêntrico.

Copérnico conclui que o problema do movimento dos planetas, com a terra no centro do Universo não tem solução e que deve haver um erro fundamental nos conceitos de base da astronomia tradicional.”

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Tycho Brahe

Observações do céu, a olho nú, sistemáticas, numerosas e com o dobro da precisão das efectuadas até à data.

Foi o primeiro a efectuar observações regulares dos planetas em todas as configurações.

Aceita as harmonias matemáticas da obra de Copérnico, mas não o Heliocentrismo.

Astrónomo Dinamarquês que esteve ao serviço de Frederico II da Dinamarca e do imperador Rodolfo II.

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Discípulo de Tycho Brahe

Joannes Kepler

"Uma longa série de tentativas sem sucesso forçou Kepler a concluir que nenhum sistema baseado em círculos compostos resolveria o problema. Uma outra figura geométrica deveria, pensou, conter a chave do problema. Tentou vários tipos de ovais, nenhum tendo eliminado as discrepâncias entre a sua hipótese de teoria e a observação. Então, reparou que as próprias discrepâncias variavam de um forma matemática familiar e, ao investigar essa irregularidade, descobriu que a teoria e a observação podiam ser conciliáveis se os planetas se movessem em órbitas elípticas com velocidades variáveis." (em “The Copernican Revolution”,Thomas s.Kuhn )

C o n h e c e a o b r a d e Copérnico e está convicto de que o sol se localiza no centro do Universo.

Dispõe dos dados mais precisos de sempre. Foi encarregue por Tycho Brahe da explicação das suas observações de Marte. Devido ao problema da retrogradação de Marte, abandona os círculos perfeitos para descrever as órbitas dos planetas e apresenta como solução as órbitas elípticas de velocidade variável.

Seguidor de Copérnico

Acredita que o universo tem uma ordem intrínseca descrita pelo número

Neo-Platónico

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Joannes Kepler

“As órbitas dos planetas são elipses, estando o sol localizado num dos focos.”

“Os segmentos de recta que unem o Sol aos planetas varrem áreas iguais em intervalos de tempo iguais.”

“O quadrado do período orbital de um planeta é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da sua órbita (T2 α a3) em torno do Sol.”

"Astronomia Nova“ (1609) 1ª e 2ª leis “Harmonices Mundi” (1619) 3ª lei

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Galileu Galilei

“Assim concluí, e decidi sem hesitar, que existem três estrelas nos céus movendo-se em torno de Júpiter, como Vénus e Mercúrio em torno do Sol; o que foi estabelecido claramente pelas numerosas observações subsequentes. Estas observações vieram também a estabelecer que não são apenas três, mas sim quatro, os corpos erráticos siderais que executando o seus movimentos de revolução em torno de Júpiter.”

Confirma heliocentrismo

Primeiras observações com a luneta em 1609 Observa manchas solares -> rotação do sol Topografia da lua -> semelhante à da terra Sistema de luas de Júpiter-> mini sistema solar

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Isaac Newton

A descoberta das leis do movimento e da lei da gravitação universal por Isaac Newton foi fortemente influenciada pelo trabalho de Joannes Kepler

1687 Philosophiae

Naturalis Principia

Mathematica

€

F→

=G mMr2

rr

→

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O campo gravítico

€

G→

=F→

m

Linhas equipotenciais

O Campo gravítico é um campo de força central conservativo

A energia potencial gravítica, é o trabalho da força gravítica ao deslocar um corpo de massa m de e uma distância r. No caso do deslocamento se efectuar ao longo da linha de campo, vem:

Linhas de campo

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Movimento num campo central

θ

z

x

y

Conservação do momento angular => órbita plana A conservação do momento angular traduz-se na planaridade das órbitas dos planetas :i.e as órbitas dos

planetas pertencem ao plano perpendicular ao vector momento angular do sistema planeta-sol.

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Movimento num campo central

Obedece às leis da conservação do momento angular e da conservação da energia.

Conservação da energia:

Conservação do momento angular:

€

L =12mr

. 2

−12L2

mr2−αr

= cte

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1ª Lei de Kepler: Lei das Órbitas

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1ª Lei de Kepler: Lei das Órbitas

Mudança de variável

cuja solução e´:

€

1r

= C 1+ ecos(θ −θ0)( )EQUAÇÃO DAS CÓNICAS:

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1ª Lei de Kepler: Lei das órbitas

Equação de uma secção cónica cuja natureza depende do valor da excentricidade, e.

As secções cónicas classificam-se de acordo com:

A condição para que a órbita seja fechada, é que E seja menor que 0. A solução da equação das órbitas para o caso dos planetas é uma elipse, da qual a órbita circular é um caso particular.

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1ª Lei de Kepler: Lei das Órbitas

“As órbitas dos planetas são elipses, estando o sol localizado num dos focos.”

b a

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2ª Lei de Kepler: Lei das áreas “Os segmentos de recta que unem o Sol aos planetas varrem áreas iguais em intervalos de

tempo iguais.”

A área varrida pelo vector num dado intervalo de tempo dt corresponde a metade da área do trapezóide definido pelos vectores e :

http://home.cvc.org/science/kepler.gif

sol

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3ª Lei de Kepler: Lei dos períodos

“O quadrado do período orbital de um planeta é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da sua órbita (T2 α a3) em torno do Sol.”

Para o caso particular de uma órbita circular. A força de atracção gravítica entre o sol e o planeta, resulta numa aceleração centrípeta:

Da segunda lei de Newton e da lei da gravitação universal, resulta:

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3ª Lei de Kepler: Lei dos períodos

http://230nsc1.phy-astr.gsu.edu/hbase/kepler.html#c1

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Aplicações

1 A estação espacial internacional Qual o tempo que a estação espacial internacional leva a completar uma órbita em torno da terra, sabendo que está localizada a uma altitude de h=400 km (assumindo uma órbita circular)?

G=6.67 x 10-11m3 kg-1s-2 MT=5.97 x 1024 kg RT=6.378 x106 m

Pela terceira lei de Kepler:

T= 5556 s ~ 1.5 h

(de http://www.jsc.nasa.gov/sightings/index.html)

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Aplicações

O cometa Halley O cometa Halley tem um período orbital (T) de 76 anos e uma excentricidade e=0.9673. Podemos assim calcular algumas quantidades referentes à sua órbita:

Por exemplo o semi-eixo maior da órbita do cometa Halley pode-se calcular a partir da terceira lei de Kepler. => a=2.68 x1012 m = 17.9 ua Assim como a distância do cometa ao sol no periélio e no afélio, a velocidade do cometa no periélio e no afélio…

Halley em 2024

Órbita de Plutão