1º teste Mecânica Geral MEFT

29 de Março de 2014, 10h00

Duração: 1h30

Prof. Responsável: Eduardo V. Castro

Atenção: É permitido o uso de calculadora, mas não de outros dispositivos com esta aplicação(telemóveis, etc). Não são permitidos formulários.Deve indicar os cálculos intermédios que realiza ao resolver cada questão. Resolver cada gruponuma folha separada (mas não separar/desagrafar).

1. [8.0 val] Considere um disco uniforme de raio R = 10 cm e massa M = 300 g, como representadona Fig. 1 (esquerda). O momento de inércia do disco relativamente ao seu eixo de simetria éI‖ = MR2/2, e relativamente a um eixo perpendicular a este é I⊥ = I‖/2.

(a) [2.0 val] Imagine que colocamos o disco horizontalmente em cima de uma mesa, rodando emtorno do seu eixo de simetria com velocidade angular inicial ω0. Sendo τ o torque devidoao atrito entre o disco e a mesa, determine o vector aceleração angular no referencial docentro de massa do disco.

(b) [1.0 val] Calcule τ sabendo que ω0 = 30 rad/s e que o disco parou ao m de t = 3 s.

(c) [2.0 val] Considere a Fig. 1 (centro). Seja ~Ω = Ω ez a velocidade angular do disco noreferencial do centro de massa. Determine o vector momento angular no instante em que oeixo dos xx coincide com o plano do disco, como representado na gura.

(d) O movimento da alínea anterior pode ser conseguido actuando com uma vareta na periferiado disco, e fazendo rodar a vareta com velocidade angular ~Ω = Ω ez, como representado naFig. 1 (direita).

i. [2.0 val] Ignorando o atrito entre a vareta e o disco, obtenha a equação que determinao ângulo β = π/2 − θ, assumindo β 1.

ii. [1.0 val] Obtenha a equação que determina, em função de β, o raio r da pequenacircunferência que o centro de massa desenha em torno da vertical.

R

Rθ

x

y

z

Figura 1: Disco em rotação

1

Figura 2: Girocompasso com massa m por baixo do disco, alinhada com o centro de massa do disco,e pêndulos de torção.

2. [8.0 val] O dispositivo representado na Fig. 2 à esquerda é uma adaptação do girocompasso ondeligada à estrutura que suporta o disco se encontra uma massam. A massam encontra-se alinhadacom o centro de massa do disco a uma distância l = 8 cm, e o seu valor é m = 50 g. A estruturaque suporta m tem massa desprezável e garante que a massa m rode rigidamente com o discoem torno de AB.

(a) [1.0 val] Determine o valor do momento angular de spin do disco sabendo que este rodacom velocidade angular de spin ωs = 2π × 100 rad/s, tem massa M = 200 g e o seu raio ér = 5 cm.

(b) [2.0 val] Considere como referencial do centro de massa do disco um que tem o eixo dos zzalinhado verticalmente e, em determinado instante, o eixo dos yy segundo a direcção ABcom sentido de B para A (ver Fig. 2). Sendo θ o ângulo que o eixo de simetria do disco fazcom a horizontal escreva nesse instante o vector velocidade angular ~ω em função de ωs e Ω,sendo Ω a velocidade de rotação da plataforma do girocompasso.

(c) [2.0 val] Usando o referencial da alínea anterior, escreva o vector momento angular do disco~L em função de θ, ωs e Ω. Nota: o momento de inércia do disco relativamente a um eixoque passa pelo seu centro e é perpendicular ao eixo de simetria é I⊥ = mr2/4.

(d) [1.0 val] Mostre que na aproximação em que ωs Ω se pode usar ~L ≈ ~Ls, sendo ~Ls omomento angular de spin.

(e) [2.0 val] Na aproximação da alínea anterior, determine o ângulo θ = const para Ω = 2π ×10 rad/s.

3. [4.0 val] Considere os dois pêndulos de torção representados na Fig. 2. Admita que o torque detorção é idêntico nos dois pêndulos.

(a) [2.0 val] Determine a razão entre os períodos de oscilação dos dois pêndulos, T1/T2.

(b) [2.0 val] Admita que se alterou um dos pêndulos, e que agora T2 = 0.9T1. Admita aindaque os pêndulos começaram a oscilar no mesmo instante e com o mesmo ângulo inicial.Determine, em função de T1, de quanto em quanto tempo é que os pêndulos oscilam emfase (ou seja, quando realizam várias oscilações aproximadamente idênticas).

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