material estatística experimental novo.doc

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃOUNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE

CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTARPROFESSOR: ROBERTO QUEIROGA

ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL – 2014.2

POMBAL, OUTUBRO DE 2014.

1

ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL: 2014.1UNIDADE I - “Importância da Estatística Experimental”.

* Importância: a Estatística Experimental tem por objetivo o estudo dos experimentos, incluindo

planejamento, execução, análise dos dados e a interpretação dos resultados.

* Tipos de pesquisa:

A - Pesquisa de levantamento:

Observam-se diversas características dos elementos de certa população ou amostra, utilizando-se

questionários ou entrevistas. A observação é feita naturalmente e sem interferência do pesquisador. Ex:

censo.

B - Pesquisa experimental:

O pesquisador exerce controle sobre o tratamento que vai ser aplicado a cada elemento da amostra. Há,

portanto, interferência do pesquisador. Ex: experimentos de campo ou laboratório.

* Experimento ou ensaio:

Trabalho previamente planejado, que segue determinados princípios básicos e no qual se faz

comparações do efeito dos tratamentos.

* Tratamento:

É uma denominação genérica, para designar qualquer método, elemento ou material, cujo efeito

desejamos medir e comparar.

Por exemplo, o tratamento pode ser:

A - um adubo nitrogenado para a cultura do melão;

B - uma variedade de alface;

C - um tratamento de solo para a cultura da melancia;

D - um biofertilizante para a cultura do pimentão;

E - uma dosagem de calcário para a cultura da cenoura;

F - um fungicida para a cultura do tomate;

* Parcela ou unidade experimental:

É a unidade na qual o tratamento é aplicado. É

na parcela que obtemos os dados que deverão refletir o efeito de cada tratamento.

EX: composição da parcela: uma área com um grupo de plantas; um ou mais vasos numa casa de

vegetação; uma placa de Petri com um meio de cultura; um tubo de ensaio com uma solução, etc.

2

Exemplo de característica avaliada e tratamentos:

Ex: - Determinação da quantidade de leite produzida em função do tipo de ração.

- Avaliação do diâmetro do caule e da altura de plantas de Eucaliptus em diferentes variedades.

- Avaliação da vida útil de frutos de morango armazenados em diferentes temperaturas.

Variável resposta:

É a variável mensurada usada para avaliar o efeito de tratamentos.

Ex: Produtividade de feijão, área foliar, sólidos solúveis etc.

* Tamanho das parcelas depende:

- Material que se está trabalhando.

Ex: Parcelas com a cultura da cana de açúcar devem ser maiores que aquelas com a alface.

- Número de tratamentos em estudo:

Em experimentos de melhoramento vegetal o tamanho da parcela deve ser reduzido.

- Quantidade de material disponível:

Ensaio de novos materiais.

- Uso de máquinas agrícolas:

Parcelas grandes.

- Área disponível para pesquisa:

Ajustamento ao tamanho da área.

- Custo, tempo e mão de obra:

- Recurso financeiro, tempo disponível para amostragem e mão de obra.

* Forma das parcelas:

Retangulares, quadradas, cilíndricas, etc.

BLOCO TRATAMENTOS1 A C D B2 D B A C3 B C D A4 C A B D

Tratamentos

A – 0 kg ha-1 de N;

B – 90 kg ha-1 de N;

C – 180 kg ha-1 de N;

D – 270 kg ha-1 de N.

* Delineamento experimental

É o plano utilizado para realizar o experimento. Esse plano implica na maneira como os diferentes

tratamentos deverão ser distribuídos nas parcelas experimentais, e como serão analisados os dados a

serem obtidos. 3

DIC

TRATAMENTOSA C A CD B A BB C D AD B C D

DBC

BLOCO TRATAMENTOS1 A C D B2 D B A C3 B C D A4 C A B D

DQL

LINHAS COLUNAS1 A C D B2 D B A C3 B D C A4 C A B D

* População e amostra:

População

É o conjunto constituído por todos os dados possíveis com relação à característica em estudo.

Amostra

É uma parte representativa da população, subconjunto do conjunto universo.

Experimentos: indivíduos da área útil da parcela.

* Fatores não controláveis:

Variação nos espaçamentos entre plantas.

Variação na infestação em parcelas pelas pragas.

Variação na profundidade de semeadura.

Variação na fertilidade do solo dentro da parcela.

Variação na dose de adubos, inseticidas etc.

Variação na quantidade de água aplicada.

Precipitação

Luminosidade

Temperatura

Umidade relativa do ar

* Medidas utilizadas na experimentação

Medidas de posição4

Média, mediana, moda, quartis etc.

Ex: Calcule a altura média de seis alunos da turma de agronomia de acordo com a amostra a seguir:

1,80 m, 1,65 m, 1,62 m, 1,90 m 1,40 m e 1,72 m

Medidas de dispersão

Variância, desvio padrão e coeficiente de variação.

* Planejamento experimental:

Planejamento, condução do experimento, coleta de dados, análise dos dados e interpretação dos

resultados obtidos.

* Tipos de experimentos:

Experimento preliminar:

O número de tratamentos pode ser grande.

O número de repetições pode ser pequeno.

Auxilia na escolha de tratamentos em experimentos críticos.

Experimento crítico:

São experimentos em que as respostas aos tratamentos são comparadas.

O n0 de observações é suficiente para dar segurança na determinação de diferenças significativas.

Experimento demonstrativo:

Experimentos conduzidos em trabalhos de extensão com objetivo de comparar um novo tratamento com

um padrão (tradicional).

Qual deles usar?

5

* Objetivos de um experimento:

Questões a serem respondidas.

Hipóteses a serem testadas.

- O investigador decide quais comparações entre tratamentos oferecem informações relevantes.

- Conduz o experimento para testar hipóteses relativas às diferenças entre tratamentos.

* Etapas do Planejamento experimental:

Quais as características que serão analisadas?

EX: bovinos (% de gordura na carne, produção de leite, etc).

Ex: Acerola (teor de vitamina C, vida útil de prateleira, perda de peso, etc).

EX: Eucaliptus (diâmetro do caule, altura da planta, produção de madeira, etc).

Quais fatores que afetam estas características?

EX: raça, variedade, espaçamento, adubação, irrigação, etc.

Quais desses fatores serão estudados no experimento?

Experimentos simples: apenas um tipo de tratamento pode ser estudado de cada vez.

EX: testar espaçamentos (adubação, variedade, irrigação devem ser constantes).

Experimentos complexos: dois ou mais fatores.

EX: embalagens x temperaturas.

EX: fonte da água x quantidade aplicada.

EX: variedades x espaçamentos x adubação.

Como será constituída a unidade experimental?

EX: único indivíduo ou grupo deles.

EX: Produtividade de alface → (variedades A, B, C, D e E)

*Quantas repetições deveram ser utilizadas?

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Depende do número de tratamentos e do delineamento experimental.

Quanto maior o número de repetições melhor a precisão do experimento.

Recomenda-se: número de parcelas ≥ 20.

* Projeto de pesquisa:

A - Título: simples e coerente com o objetivo.

Ex: Produção de milho em função de doses de nitrogênio.

B - Responsável e colaboradores:

EX: Indicar pessoas (orientador, professores, bolsistas, voluntários) e instituições.

C - Introdução com justificativa:

Revisão de literatura.

- Importância sócio-econômica, nutricional.

- Problema a ser estudado.

- Hipóteses a serem testadas.

D – Objetivos:

Questões a serem respondidas.

E - Material e métodos:

Localização: coordenadas geográficas, tipo de solo, topografia etc.

Materiais: calagem adubação, drenagem irrigação.

Tratamentos: identificar os tratamentos a serem testados.

Condução da cultura: semeadura, podas, pulverizações, colheita, adubação, irrigação etc.

Características avaliadas: produção de grãos, teor de gordura na carne, vida útil do fruto etc.

Delineamento experimental:

(DIC, DBC, DQL).

Análise estatística (Software utilizado e procedimentos pós-análise de variância).

F - Cronograma:

7

Especificar o tempo para execução da pesquisa.

2013

ATIVIDADES Jul Ago Set Out Nov Dez

Coleta e análise química do solo X

Preparo da área X

Aquisição de materiais X

Semeadura X

Transplantio X

Condução e tratos culturais X X X

Amostragem de plantas e frutos X X

Colheita de frutos X

Coleta de dados X X X

Avaliações de pós-colheita X

Tabulação e análise de dados X

Apresentação de relatório X

Envio de relatório X

Resumo em congresso X

Publicação em periódicos X

Orientação de PIBIC X X X X X X

Orientação de monografia X X X X X X

G - Orçamento.

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Discriminação Unid. Quant. Valor

unitário

Valor total

1 – Material de consumo em campo e

laboratório

- - - -

- Sementes [melão (cultivar Torreon)].

kg 0,5 1800,00 900,00

- Fertilizantes (uréia), kg 100 1,50 150,00

- Fertilizante (Cloreto de potássio). kg 80 1,00 80,00

Fertilizante (Superfosfato simples).

kg 200 1,20 240,00

- Defensivos (Daconil) kg 1,0 50,00 50,00

- Defensivos (Lanate) L 1,0 75,00 75,00

- Bandejas de poliestireno: 128 células unid 10 12,00 120,00

- Substrato agrícola para produção de

mudas.

unid 5 15,00 75,00

- Manta (TNT) unid 2 1.000,00 2.000,00

- Sacos plásticos 50 x 100 cm. unid 1000 0,20 200,00

- sacos de papel 15 x 25 cm unid 2000 0,10 200,00

- Plaquetas para identificação de

parcelas

Unid 200 1,5 300,00

- Reagentes (ácido sulfúrico)

L 2,0 120,00 240,00

- Reagentes (hidróxido de sódio).

kg 1,0 150,00 150,00

- reagentes (antrona) g 100 5,00 500,00

2 – Serviços de terceiros pessoa

jurídica.

- Manutenção e conserto de

equipamentos

- - - 2.000,00

- Taxas de inscrição em eventos,

publicação de artigos em periódicos,

confecção de posters, outros. - - - 2.250,00

Total 9.730,00

* Referências:

Literatura que serviu de embasamento para a realização da pesquisa. 9

ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL

UNIDADE II - PRINCÍPIOS BÁSICOS DA EXPERIMENTAÇÃO.

A – Repetição:

Considerações sob o erro experimental.

Variação entre observações realizadas em unidades experimentais que receberam o mesmo tratamento.

10

Escolha dos tratamentos

EX: Produções de duas variedades de milho A e B.

A B

“A” produziu mais do que “B”

Será que A é mais produtiva do que B?

(A : área mais fértil, melhor condição de umidade).

EX: Produções de duas variedades de milho A e B com 4 repetições.

A BB AB AA BA B

↓

11

Repetições e suas funções

A → Permitem a estimação do erro experimental.

B → Reduzem a variância da amostra (precisão).

C → Aumenta a abrangência do experimento:

Fatores que afetam o número de repetições

Grau de precisão desejado:

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Recursos financeiros e tempo disponível:

B – Casualização:

O princípio da casualização consiste na distribuição dos tratamentos às parcelas de

forma casual, para se evitar que um determinado tratamento venha a ser beneficiado ou

prejudicado por sucessivas repetições em parcelas melhores ou piores.

Sorteio dos tratamentos nas parcelas

Croqui de um experimento

A A A A AB B B B BC C C C C

Desta maneira os tratamentos A, B e C têm a mesma probabilidade de ser destinado a qualquer parcela.

O que fazer?

Casualização das repetições dos tratamentos.

B A C B AC B C A BB C A A C

Finalidade?

Propiciar a todos os tratamentos a mesma chance de serem designados as parcelas.

Evita: favorecimento ou não ocasionado por fatores externos.

Vale ressaltar que sem os princípios básicos da repetição e da casualização não existe experimentação.

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C - Controle Local:

O princípio do controle local só é obrigatório quando as condições experimentais assim o exigir

(heterogeneidade das condições experimentais).

EX: experimentos no campo. (heterogêneo).

EX: experimentos em estufas e laboratório (homogêneo).

EX: Área com manchas de solo bem definidas

Distinção entre condições experimentais: é necessária a casualização nessas áreas (controle local).

Áreas são chamadas de blocos.

EX: blocos seriam as manchas de solo.

Os blocos poderão ser espalhados por toda área ou agrupados.

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Poderá haver ou não grande variabilidade de um bloco para outro.

Cada bloco seja tão uniforme quanto possível.

Ex: Experimentos zootécnicos visando melhoria na qualidade da carne.

(teste de rações).

Bovinos com idades diferentes.

Podem apresentar taxa de crescimento diferenciado e, portanto não podemos distribuir as rações

inteiramente ao acaso.

O controle local consiste em dividir grupo heterogêneo quanto a idade em sub-grupos homogêneos.

Sub-grupos são chamados de blocos.

Rações são distribuídas de maneira casualizada dentro de cada bloco.

Delineamentos diferem quanto à aplicação destes princípios básicos.

DIC (2 princípios – repetição, casualização)

DBC (3 princípios – repetição, casualização e controle local).

DQL (3 princípios – repetição, casualização e controle local).

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EXEMPLOS PRÁTICOS DE EXPERIMENTOS:

1 - Um extensionista, desejando comparar 10 rações para ganho de peso em animais, procedeu da

seguinte forma:

- Tomou 10 animais de uma propriedade rural. Estes 10 animais visivelmente não eram homogêneos

entre si, porque foram oriundos de diferentes cruzamentos raciais e apresentavam idades diferentes. As

rações que o extensionista julgou ser as melhores foram designadas aos melhores animais, e as rações

que o extensionista julgou ser as piores foram designadas aos piores animais, de tal forma que cada

animal recebeu uma única ração. Ao final de sua pesquisa, o extensionista recomendou a ração que

proporcionou maior ganho de peso nos animais.

- Baseado nestas informações, pergunta-se:

A – Quantos e quais foram os tratamentos em teste nesta pesquisa?Justifique sua resposta.

10 tratamentos: rações. Esta foi à fonte de variação introduzida pelo pesquisador.

B – Qual foi à constituição de cada unidade experimental nesta pesquisa?Justifique sua resposta.

Cada animal. Cada animal recebeu um dos tratamentos.

C - Qual(is) foi(ram) o(s) princípio(s) básico(s) da experimentação utilizados nesta pesquisa?

Nenhum.

D – É possível estimar o erro experimental nesta pesquisa? Justifique sua resposta.

Não. Pois o experimento não teve repetição.

E - A conclusão dada pelo extensionista ao final da pesquisa é estatisticamente aceitável? Justifique

sua resposta.

Não, pois não foram usados os princípios básicos da experimentação.

2 – Um pesquisador de uma indústria de alimentos desejava verificar se seis sabores de sorvete

apresentavam o mesmo o teor de glicose. O pesquisador, baseado em experimentos anteriores, sabia

que duas outras fontes de variação indesejáveis poderiam influenciar o valor mensurado do teor de

glicose: o tipo de recipiente utilizado para armazenagem do sorvete e o equipamento utilizado para

mensuração do teor de glicose. Para controlar estas duas fontes de variação o pesquisador decidiu que

cada sabor deveria ser avaliado em cada um dos seis equipamentos disponíveis; e armazenado em cada

um dos seis tipos de recipientes disponíveis. Com esta finalidade, o pesquisador planejou o

experimento da seguinte maneira:

- Preparar 6 lotes de100 ml de cada sabor. O total de lotes a serem preparados seria de 36 lotes;

- Os lotes de sorvetes deveriam ser distribuídos ao acaso aos recipientes, com a restrição de que cada

tipo de recipiente recebesse todos os 6 sabores uma única vez;

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- Os lotes de sorvetes seriam designados ao acaso aos equipamentos para a análise do teor de glicose,

com a restrição de que cada equipamento avaliasse cada um dos seis sabores uma única vez.

- Baseando-se nestas informações, pergunta-se:

1 - Quais foram os tratamentos em teste neste experimento?Justifique a sua resposta.

Os seis sabores de sorvete. Esta foi à fonte de variação introduzida pelo pesquisador neste

experimento.

2 - O princípio da repetição foi utilizado neste experimento? Justifique a sua resposta.

Sim, pois cada sabor apareceu seis vezes no experimento.

3 - O princípio do controle local foi utilizado neste experimento? Justifique a sua resposta. Se a

resposta for afirmativa, quantas vezes o mesmo foi utilizado? Se a resposta for negativa, discuta sobre

a necessidade do mesmo ser utilizado neste experimento.

Sim, pois houve controle na casualização. Dois controles foram utilizados na casualização.


UNIDADE III

Delineamento inteiramente casualizado (DIC)

1 – Características

As unidades experimentais devem ser essencialmente homogêneas.

EX: Trabalhos em laboratório, estufas (temperatura e UR).

↓

EX: Pouco comum em ensaios agrícolas de campo.

↓

A casualização é feita inteiramente ao acaso.

↓

Princípios básicos: repetição e casualização.

↓

Casualização dos tratamentos (DIC).

Experimento: 5 variedades de feijoeiro (A, B, C, D e E) e quatro repetições por tratamento.

C B D A CB A C D EE B B A DD A E E C

2 - Vantagens

17

Não exige, embora seja preferível, que os tratamentos tenham todos os mesmos números de repetições.

Flexível: qualquer número de tratamentos ou repetição.

A análise de variância é simples, mesmo se o número de repetição variar entre os tratamentos.

3 - Desvantagens

Não é fácil manter total homogeneidade das condições durante a toda

a realização do experimento.

Quando as condições experimentais não são uniformes, as variações que não sejam atribuídas a

tratamentos são incorporadas ao erro (afeta a precisão do experimento).

4 - Modelo matemático

Yij = μ + ti + εij

Yij = valor observado na parcela que recebeu o tratamento i na repetição j.

μ = média geral do experimento.

ti = efeito do tratamento i aplicado na parcela.

εij = erro dos fatores não controlados na parcela.

5 - Análise de variância (ANOVA)

- É uma técnica de análise estatística que permite decompor a variação total, ou seja, a

variação existente entre todas as observações, na variação devido à diferença entre os efeitos dos

tratamentos e na variação devido ao acaso, que também é denominada de erro experimental ou resíduo.

- É um procedimento utilizado para verificação de efeito significativo entre tratamentos. Aqui saberemos

se os tratamentos diferem ou não com relação à determinada característica avaliada.

- Porém, não sabemos qual o melhor ou pior dos tratamentos testados.

A ANOVA baseia-se na decomposição da variação total da variável resposta em partes que podem ser

atribuídas aos tratamentos (variância entre tratamentos) e ao erro experimental (variância dentro dos

tratamentos).

18

Composição da análise de variância

FV GL SQ QM FTrat. I – 1 SQTR SQTR/GL QMTR/QMRErro

(resíduo)I(J – 1) SQTO – SQTR SQR/GL

Total IJ -1 SQTO -

Especificações

1a coluna: Fontes de variação (FV): tratamento + resíduo = total.

2a coluna: Graus de liberdade: tratamento + erro (resíduo) = total.

GLTR = I – 1 (Grau de liberdade de tratamento).

GLTO = IJ – 1 (Grau de liberdade total).

GLR = GLTO - GLTR (Grau de liberdade do resíduo).

I = número de tratamentos.

J = número de repetições por tratamento.

3a coluna: SQ: tratamento + resíduo = total.

SQTO = ∑YIJ2 – C

C = G2 / IJ (Soma de quadrado total)

∑YIJ2 = Somatório das observações ao quadrado.

C = Correção das parcelas.



SQTR = 1 / J (∑TOTRAT2) – C (Soma de quadrado de tratamento).

∑TOTRAT2 = Somatório dos totais de tratamento ao quadrado.

SQR = SQTO - SQTR (Soma de quadrado do resíduo)

4a coluna: QM ou variância: tratamento e resíduo.

QMTR = SQTR/GLTR (Quadrado médio de tratamento).

SQTR = Soma de quadrado de tratamentos.

GLTR = Grau de liberdade de tratamentos.

QMR = SQR/GLR (Quadrado médio do resíduo)

SQR = Soma de quadrado do resíduo.

GLR = Grau de liberdade do resíduo.

5a coluna: Teste F

F = QMTR/QMR.

H0: m1 = m2 = m3 = ... = mi ao nível α de probabilidade.19

H1: rejeita-se H0: pelo menos a média de dois tratamentos difere entre sí ao nível α de probabilidade.

Regra de decisão

Fcal ≤ Ftabα aceita-se H0.

Fcal > Ftabα rejeita-se H0.

7 - Pressuposições básicas da análise de variância (ANOVA)

Os erros experimentais devem ter uma variância comum. (homocedásticos).

S12/S2

2 ≤ 4

Erros experimentais devem ser independentes e normalmente distribuídos.

8 - Transformação de dados

Utilizados quando não se consegue atender as pressuposições básicas da ANOVA.

Raiz quadrada X

Logarítmica

Potencial

Amostra: 9, 16, 4, 25, 36 → Amplitude = 32

Raiz quadrada:

Raiz 9 = 3; Raiz 16 = 4; Raiz 4 = 2; Raiz 25 = 5; Raiz 36 = 6;

Amplitude: 4 → CV (coeficiente de variação).

EX1: Para comparar a produtividade de cinco variedades de milho, um agrônomo tomou 20 parcelas

similares e distribuiu inteiramente ao acaso. Cada uma das cinco variedades em quatro parcelas

experimentais. A partir dos dados experimentais fornecidos abaixo, é possível concluir que existe

diferença significativa entre variedades com relação à produtividade, utilizando o nível de significância

de 5 %?

- Croqui do experimento no campo:

Var 1

1,12

Var 4

1,05

Var 2

1,15

Var 4

1,23

Var 3

1,27

Var 2

1,18

Var 5

2,17

Var 5

1,93

Var 5

1,90

Var 3

1,31

Var 1

0,98

Var 2

1,05

Var 3

1,12

Var 5

1,80

Var 2

0,97

Var 1

0,97

Var 4

1,12

Var 1

0,85

Var 4

1,25

Var 3

1,10

20

- Tabulação dos dados do experimento:

RepetiçõesTratamentos I II III IV Totais1 - Variedade 1 0,85 0,97 0,98 1,12 3,922 – Variedade 2 0,97 1,05 1,18 1,15 4,353 – Variedade 3 1,10 1,12 1,31 1,27 4,804 – Variedade 4 1,12 1,25 1,05 1,23 4,655 – Variedade 5 1,80 1,90 2,17 1,93 7,80

G = 25,52

Grau de liberdade

→ Total: IJ – 1 = 5 x 4 – 1 = 19.

→ Tratamento: I – 1 = 5 – 1 = 4.

→ Residual: GLTO – GLTR = 19 – 4 = 15.



Soma de quadrados

→ Total: SQT0 = ∑YIJ2 – C → C = G2 / IJ

∑YIJ2 = Somatório das observações ao quadrado.


C = 25,522 / 20 = 32,5635

SQTO = (0,852 + 0,972 + ...+ 1,932) – 32,5635

SQTO = 35,1460 – 32,5635 = 2,5825

→ Tratamento: SQTR = 1 / J (∑TR2 – C)


∑TR2 = Somatório dos totais de cada tratamento ao quadrado.


SQTR = 1 / 4 (3,922 + 4,352 + ...+ 7,802) - 32,5635

SQTR = 34,9479 – 32,5635 = 2,3844

→ Residual: SQR = SQTO – SQTR

SQR = 2,5825 – 2,3844 = 0,1981

Quadrados médios

→ Tratamento: QMTR = SQTR / GLR

SQTR = Soma de quadrado de tratamentos.

GLTR = Grau de liberdade de tratamentos.21

QMTR = 2,3844 / 4 = 0,5961

→ Residual: QMR = SQR / GLR

SQTR = Soma de quadrado do resíduo.

GLR = Grau de liberdade do resíduo.

QMR = 0,1981 / 15 = 0,0132

Valor de F

F = QMTR / QMR

QMTR = Quadrado médio de tratamentos.

QMR = Quadrado médio do resíduo.

F = 0,5961 / 0,0132 = 45,16

Testar a significância de F

Regra de decisão

Fcal ≤ Fα aceita-se H0.

Fcal > Fα rejeita-se H0.

Ftabelado ou Fα.

F (I, GLR) a determinado nível α. (Tabela de F).

F(4,15) 5% = 3,06. F(4,15) 1% = 4,89.

Fcal > Ftab → 45,16 > 3,06 (5%)

Fcal > Ftab → 45,16 > 4,89 (1%).

Fcal > Ftab (rejeita-se H0) → pelo menos as médias de dois tratamentos diferem estatisticamente entre sí

ao nível de 1 e 5 % de probabilidade.

Conclusão do teste F da ANOVA: foi observado diferença significativa entre variedades de milho com

relação a característica de produtividade da cultura a 5 % pelo teste F.

Teste F indica que há diferença mais não discrimina quais são.

Quadro 1 – Resumo da ANOVA para acidez total de 5 híbridos de melão.

FV GL SQ QM FHíbridos 4 2,3844 0,5961 45,16**Resíduo 15 0,1981 0,0132

Total 19 2,5825

9 - Procedimento pós análise de variância (ANOVA):

Teste de médias e desdobramento da soma de quadrados de tratamentos em contrastes ortogonais:

tratamentos qualitativos.

22

EX: variedades, tipos de adubos, embalagens, espaçamentos etc.

Análise de regressão: tratamentos quantitativos.

Ex: doses de nitrogênio, lâminas de irrigação, temperatura de armazenamento de frutos, populações de

plantas etc.

10 - Utilização de contratstes ortogonais:

1 - Decomposição da SQTR em contrastes ortogonais.

O estudo de contrastes é muito importante na Estatística Experimental, principalmente

quando o experimento em análise é composto por mais do que dois tratamentos. Com o uso de

contrastes é possível ao pesquisador estabelecer comparações, entre tratamentos ou grupos de

tratamentos, que sejam de interesse.

Contraste: função linear (se a soma algébrica dos coeficientes das variáveis é igual a zero).

(Y = a1x1 + a2x2 +...+ anxn → ∑an = 0).

Contrastes ortogonais: soma algébrica dos produtos dos coeficientes de mesma variável for também

igual a zero.

(Y1 = a1x1 + a2x2 +...+ anxn → ∑an = 0).

(Y2 = b1x1 + b2x2 +...+ bnxn → ∑bn = 0).

a1b1 + a2b2 +…+ anbn = 0

→ Se ∑anbn = 0, os contrastes Y1 e Y2 serão ortogonais caso os tratamentos tenham o mesmo número de

repetições.

→ Caso contrário, a condição de ortogonalidade: ∑anbn/rn, onde rn é o número de repetições do

tratamento n.

Regra prática para estabelecer grupo de contrastes.

1 – Escrevemos as médias dos tratamentos envolvidos na comparação.

2 – Atribuímos sinal positivo a média de um grupo e negativo as médias de outro grupo.

3 – Verificar número de tratamentos do grupo 1 e 2. Calculamos o mmc entre n1 e n2.

4 – Dividimos o mmc por n1. O resultado será o coeficiente de cada média do primeiro grupo.

5 - Dividimos o mmc por n2. O resultado será o coeficiente de cada média do segundo grupo.

Regra prática: ortogonalidade.

1 – Dividimos os tratamentos em dois grupos para estabelecer a primeira comparação.

23

2 – Para estabelecer as novas comparações, não podemos mais comparar tratamento de um grupo com os

de outro.

3 - Somente poderemos comparar tratamentos dentro de cada grupo. Dividimos cada grupo em

subgrupos e só comparamos dentro de cada subgrupo.

EX: De acordo com os dados do exemplo anterior compare os seguintes contrastes:

Híbrido 5 vs demais (1, 2, 3 e 4).

Híbridos 1 + 2 vs 3 + 4

Híbrido 1 vs 2

Híbrido 3 vs 4

n1 = 1 e n2 = 4; mmc (1,4)

n1 = 2 e n2 = 2; mmc (2,2)

n1 = 1 e n2 = 1; mmc (1,1)

n1 = 1 e n2 = 1; mmc (1,1)

M1 = 3,92 / 4 = 0,98

M2 = 4,35 / 4 = 1,09

M3 = 4,80 / 4 = 1,20

M4 = 4,65 / 4 = 1,16

M5 = 7,80 / 4 = 1,95

C1 = 4 x 1,95 – 1 x 0,98 – 1 x 1,09 – 1 x 1,20 – 1 x 1,16 = 3,37.

an2 = 42 + 12 + 12 + 12 + 12 = 20

C2 = 1 x 0,98 + 1 x 1,09 – 1 x 1,20 + 1 x 1,16 = - 0,29.

an2 = 12 + 12 + 12 + 12 = 4

C3 = 1 x 0,98 - 1 x 1,09 = - 0,11.

an2 = 12 + 12 = 2

24

C4 = 1 x 1,20 - 1 x 1,16 = 0,04.

an2 = 12 + 12 = 2

QMC1 = SQC1/GLC1 = 2,2717/1 = 2,2714

QMC2 = SQC2/GLC2 = 0,0841/1 = 0,0841

QMC3 = SQC3/GLC3 = 0,0242/1 = 0,0242

QMC4 = SQC4/GLC4 = 0,0032/1 = 0,0032

FC1 = QMC1/QMERRO = 2,2714/0,0132 = 172,08

FC2 = QMC2/QMERRO = 0,0841/0,0132 = 6,37

FC3 = QMC3/QMERRO = 0,0242/0,0132 = 1,83

FC4 = QMC2/QMERRO = 0,0032/0,0132 = 0,35

Tabela 2 – Decomposição da soma de quadrados de tratamentos em contrastes ortogonais relativo a

valores médios da produtividade de milho de cinco variedades em Pombal – PB. CCTA/UFCG, 2013.

Contrastes GL SQ QM FV5 vs V1 + V2 + V3 + V4 1 2,2714 2,2714 172,08*

V1 + V2 vs V3 + V4 1 0,0841 0,0841 6,37*V1 vs V2 1 0,0242 0,0242 1,83ns

V3 vs V4 1 0,0032 0,0032 0,35ns

Tratamentos (4) 2,3843 -Resíduo 15 - 0,0132

Ftabelado = F5% (1, 15) = 4,54.

Fcal > FTab o contraste é dito significativo.

Fcal ≤ FTab o contraste é dito não significativo.

Conclusão:

- A produtividade de milho na variedade 1 foi superior comparado à média de produtividade das demais

variedaes (2, 3, 4 e 5).

- A produtividade de milho foi inferior em média nas variedades 1 e 2 comparado a média de

produtividade das variedades 3 e 4.

Não foi observada diferença significativa quanto a produtividade de milho entre as variedades 1 e 2 e

entre as variedades 3 e 4.

25

DIC: CASO DE PARCELAS PERDIDAS.

Exista condição de igualdade entre tratamentos.

Problemas de perda de parcelas

Perda de parcelas (plantas):

Destruição de plantas por animais

Corte de plantas por formiga

Doenças no solo e ataque de pragas

Germinação de sementes

Perda de parcelas (morte de animais):

Aplicação errada do tratamento.

Incidência de fungos e bactérias

Observação não realizada na parcela no momento certo.

DIC: Não é necessária a estimação das parcelas perdidas. Pode-se fazer a ANOVA com diferente

número de repetições por tratamento.

EX2: Com o objetivo de diminuir o consumo dos motores à gasolina, uma determinada indústria

petroquímica testou 4 novas formulações de gasolina, as quais se diferenciavam pelo tipo de aditivo

que era acrescentado à mesma durante o seu processo de fabricação. Para efetuar o teste, a indústria

petroquímica utilizou carros completamente homogêneos para todas as características. A designação

das formulações aos carros foi feita ao acaso. Após os testes de rodagem, os resultados obtidos foram

(km/l):

- A (ácido forte); B (ácido fraco); C (base forte) e D (base fraca).

A

20,00

B

17,44

B

19,42

D

18,80

B

20,32

A

23,40

C

18,80

D

18,96

C

19,42

C

20,32

B

XXX

D

18,18

D

18,48

C

23,26

A

22,40

D

19,18

A

20,68

C

23,14

B

18,22

D

18,74

B

18,24

A

21,26

C

19,20

A

XXX

26

Repetições Totais

Form. I II III IV V VIA 20,00 23,40 22,40 20,68 21,26 - 107,74B 17,44 19,42 20,32 18,24 18,22 - 93,64C 19,20 23,26 23,14 20,32 19,42 18,80 124,14D 18,74 19,18 18,48 18,96 18,18 18,80 112,34

437,86

→ Grau de liberdade

- Total: N – 1 = 22 – 1 = 21.

- Tratamento: I – 1 = 4 – 1 = 3.

- Residual: GLTO – GLTR = 21 – 3 = 18.

→ Soma de quadrados

- Total: SQT0 = ∑YIJ2 – C → C = G2 / N

C = 437,862 / 22 = 8714,6082

SQTO = (20,002 + 23,402 + ...+ 18,802) – 8714,6082

SQTO = 8780,4388 – 8714,6082 = 65,8306

- Tratamento: SQTR = 1 / J (∑tR2 – C)

SQTR = 1 / 5 (107,742 + 93,642) + 1 / 6 (124,142 + 112,342) – 8714,6082 = 32,4991

- Residual: SQR = SQTO – SQTR

SQR = 65,8306 – 32,4991 = 33,3315

→ Quadrados médios

- Tratamento: SQTR / GL

QMTR = 32,4991 / 3 = 10,8330

- Residual: SQR / GL

QMR = 33,3315 / 18 = 1,8518

Valor de F

F = QMTR / QMR = 10,8330 / 1,8518 = 5,85

F(3,18) 5% = 3,16.

F(3,18) 1% = 5,09.

Fcal > Ftab (rejeita-se H0) → pelo menos as médias de dois tratamentos diferem estatisticamente entre sí

ao nível de 1 e 5 % de probabilidade.

Conclusão do teste F da ANOVA: foi observada diferença significativa entre as formulações com

relação a distância percorrida pelo veículo a 5 % pelo teste F.

27

Quadro 1 – Resumo da ANOVA para distância percorrida pelo veículo em quatro formulações de

combustível. Pombal – PB, CCTA/UFCG, 2013.

FV GL SQ QM FFormulações 3 32,4991 10,8330 5,85*

Resíduo 18 33,3315 1,8518Total 21 65,8306

→ No Caso de número de repetições diferentes por tratamento, a condição de ortogonalidade: ∑anbn/rn,

onde rn é o número de repetições do tratamento n.

EX: Com os dados do exemplo anterior, faça os seguintes contrastes.

FORM A vs demais (B, C e D).

FORM B vs (C e D)

FORM C vs FORM D

C1 = 3mA – mB – mC - mD n1 = 1, n2 = 3; mmc (1,3)

C2 = 2mB – mC - mD n2 = 1, n2 = 2; mmc (1,2)

C3 = mC - mD n3 = 1, n2 = 1; mmc (1,1)

MA = 107,74 / 5 = 21,55

MB = 93,64 / 5 = 18,73

MC = 124,14 / 6 = 20,69

MD = 112,34 / 6 = 18,72

C1 = 3mA – mB – mC - mD

C1 = 3 x 21,55 – 1 x 18,73 – 1 x 20,69 – 1 x 18,72 = 6,51.

SQ(C1) = (6,51)2 / ∑(32/5 + 12 / 5 + 12 / 6 + 12 / 6) = 18,1629.

C2 = 2mB – mC - mD

C2 = 2 x 18,73 – 1 x 20,69 – 1 x 18,72 = - 1,95.

SQ(C2) = (-1,95)2 / ∑(22/5 + 12 / 6 + 12 / 6) = 3,3551

28

C3 = mC - mD

C3 = 1 x 20,69 – 1 x 18,72 = 1,97.

SQ(C3) = (1,97)2 / ∑(12 / 6 + 12 / 6) = 11,0427.

↓

QMC1 = 18,1629 / 1 = 18,1629

QMC2 = 3,3551 / 1 = 3,3551

QMC1 = 11,6427 / 1 = 11,0427

↓

Valor de F

FC1 = 18,1629 / 1,8518 = 9,81.

FC2 = 3,3551 / 1,8518 = 1,81.

FC3 = 11,0427 / 1,8518 = 5,96.

Tabela 2 – Decomposição da soma de quadrados de tratamentos em contrastes ortogonais relativo a

distância percorrida em função de diferentes formulações de combustíveis. Pombal – PB, CCTA/UFCG,

2013.

GL SQ QM FmA vs (mB + mC + mD) 1 18,1629 18,1629 9,81*

mB vs (mC + mD) 1 3,3551 3,3551 1,81ns

mC vs mD 1 11,0427 11,6427 5,96*(3) -

Resíduo 18 - 1,8518

Ftabelado = F5% (1, 18) = 4,41.

Fcal > FTab (significativo) e Fcal ≤ FTab (não significativo).

Conclusão:

- A distância percorrida pelo veículo foi superior na formulação A comparado a média da distância

percorrida nas demais formulações (B, C e D).

- A distância percorrida pelo veículo não diferiu quando comparada a formulação B da média das

formulações C e D.

- A distância percorrida pelo veículo foi superior na formulação C quando comparada à formulação D.

Considerações sobre o CV (coeficiente de variação).

O coeficiente de variação é calculado da seguinte maneira:

29

CV (%) = (√QMERRO / MG) X 100

QMERRO = Quadrado médio do erro

MG = G /IJ → média geral

O CV é utilizado para avaliação da precisão de experimentos. Quanto menor o CV mais preciso tende

a ser o experimento. A título de classificação geral pode-se utilizar a seguinte tabela:

CV Avaliação Precisão

< 10% Baixo Alta

10 a 20 % Médio Média

20 a 30 % Alto Baixa

> 30 % Muito alto Muito baixa

OBS: Porém o valor do CV não tem nada de absoluto, pois existe uma variabilidade inerente a

cada área de pesquisa. Por exemplo, experimentos realizados em locais com ambiente controlado

geralmente são mais precisos e podem apresentar CV menores que 5%.


UNIDADE IV - TESTE DE COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS DE MÉDIAS EXPERIMENTAIS.

Generalidades

Teste de comparações múltiplas (PÓS – ANOVA).

↓

ANOVA: Testar pelo teste F a aceitação ou rejeição da hipótese H0.

Análise de variância (rejeição da hipótese nula).

↓

Evidências que existem diferenças entre médias populacionais.

Mais entre que médias se registra estas diferenças? (Teste de Comparações Múltiplas).

Procedimento PÓS-ANOVA:

Teste de médias: tratamentos qualitativos.


Teste de comparações múltiplas de médias.

(Tukey, Duncan, Newmam Keulls, Dunnett, Sheffé, t de Student).

1 - TESTE TUKEY

30

Usado para testar todo e qualquer contraste entre duas médias.

O teste é exato e de uso simples quando o n0 de repetições é o mesmo para todos os tratamentos.

N0 de repetições é diferente é apenas aproximado.

Não permite comparar grupos entre sí

Tem por base a DMS:

Diferença mínima significativa.

∆ = diferença mínima significativa

(valor limite para diferença entre médias de dois tratamentos não diferirem estatisticamente entre sí).

q = amplitude total estudentizada.

Tabelas de Tukey: nível α, número de tratamentos (I) e do grau de liberdade do resíduo (n’).

QMR = quadrado médio do resíduo.

ri e ru = número de repetições.

Tabela do teste de Tukey: (I, GLR)

Hipóteses estatísticas

H0: mI = mJ H1: mI ≠ mJ, I ≠ J

Regra de decisão

Y = |mI – mJ| ≤ ∆

Aceita-se H0. (contraste não significativo).

Y = |mI – mJ| > ∆

Rejeita-se H0. (contraste é significativo).

31

EX: Experimento DIC: A altura de plântulas de Eucaliptus (cm) submetidos a cinco tipos de substratos.

Substrato 1

5,5

Substrato 3

6,9

Substrato 2

6,8

Substrato 3

6,7Substrato 5

6,6

Substrato 4

5,9

Substrato 5

6,8

Substrato 4

5,7Substrato 2

7,1

Substrato 5

6,4

Substrato 1

5,8

Substrato 2

7,2Substrato 5

5,8

Substrato 1

5,1

Substrato 3

7,2

Substrato 4

4,9Substrato 3

5,8

Substrato 4

5,6

Substrato 1

4,6

Substrato 2

6,0

Quadro 1: Dados coletados no experimento.

Substratos Repetições1 2 3 4

1 4,6 5,1 5,8 5,52 6,0 7,1 7,2 6,83 5,8 7,2 6,9 6,74 5,6 4,9 5,9 5,75 5,8 6,4 6,6 6,8

Quadro 2 – Resumo da ANOVA para a altura da plântula de Eucalipstus.

FV GL SQ QM FSubstratos 4 7,60 1,90 7,31*Resíduo 15 3,91 0,26

Total 19 11,51

F5%(4,15) = 3,06.

Fcal > Ftab (rejeita-se H0) → existe pelo menos um contraste entre médias de tratamentos, que difere entre

sí ao nível de 5 % de probabilidade.

Conclusão do teste F da ANOVA: foi observada diferença significativa entre os substratos com relação à

altura da plântula de Eucaliptus a 5 % pelo teste F.

EX: Comparar as médias pelo teste Tukey.

H0: mi = mJ

H1: m1 ≠ mJ.

32

Teste de Tukey

1) Colocar as médias em ordem decrescente:

m2 = 27,1/4 = 6,77

m3 = 26,6/4 = 6,65

m5 = 25,6/4 = 6,40

m4 = 22,1/4 = 5,52

m1 = 21,0/4 = 5,25

2) Formar e calcular o valor de cada contraste:

Y1 = |m2 – m3| = 6,77 – 6,65 = 0,12ns

Y2 = |m2 – m5| = 6,77 – 6,40 = 0,37ns

Y3 = |m2 – m4| = 6,77 – 5,52 = 1,25*

Y4 = |m2 – m1| = 6,77 – 5,25 = 1,52*

Y5 = |m3 – m5| = 6,65 – 6,40 = 0,25ns

Y6 = |m3 – m4| = 6,65 – 5,52 = 1,13*

Y7 = |m3 – m1| = 6,65 – 5,25 = 1,40*

Y8 = |m5 – m4| = 6,40 – 5,52 = 0,88ns

Y9 = |m5 – m1| = 6,40 – 5,25 = 1,15*

Y10 = |m4 – m1| = 5,52 – 5,25 = 0,27ns

3) calcular o valor da DMS:

∆ = q √QMR / J = 4,37 √0,26 / 4 = 1,11 dias

q5% (5,15) = 4,37

4) Colocar a significância nos contrastes (passo 2) comparando o valor do contraste com o valor DMS.

5) Colocar as letras nas médias dos tratamentos.

m2 = 27,1/4 = 6,77 a

m3 = 26,6/4 = 6,65 a

m5 = 25,6/4 = 6,40 ab

m4 = 22,1/4 = 5,52 bc

m1 = 21,0/4 = 5,25 c

Calcular o coeficiente de variação

6) Conclusão.

A maior altura de plântulas de Eucaliptus foi observada nas plantas cultivadas nos substratos 2, 3 e 5

comparado a aquelas plantas cultivadas nos substratos 4 e 1 ao nível de 5 % de probabilidade.

33

Tabela 1 – Valores médios da altura de plântulas de Eucaliptus submetidos a diferentes tipos de substratos em Londrina - PR. UFPR, 2012.

Substratos Altura da plântula (cm)2 6,77 a3 6,65 a5 6,40 ab4 5,52 bc1 5,25 c

DMS 1,11CV (%) 8,33

* Nas colunas, as médias seguidas pela mesma letra não diferem entre sí ao nível de 5 % de probabilidade.

2 - TESTE DUNCAN

Usado para testar contraste entre duas médias.

É menos rigoroso que o teste Tukey em termos de rejeitar H0. Pode indicar resultados significativos que

Tukey não indicaria. (aplicação mais trabalhosa).

Exige que as médias sejam colocadas em ordem decrescente e que tenham o mesmo número de

repetições para ser exato.

A significância do teste é indicada ligando-se por uma barra ou letras as médias que não diferem entre sí.

Baseia-se na amplitude total mínima significativa (Di)

Di = diferença mínima significativa

Zi = amplitude total estudentizada

Zi = f (α, i e n’).

α = nível de significância (1 e 5 %).

i = n0 de médias ordenadas abrangidas pelo contraste.

n’ = número de grau de liberdade do resíduo.

Tabela do teste de Duncan: (n, GLR)

34


H0: mi = mJ H1: m1 ≠ mJ, I ≠ J.

Regra de decisão

Y = |mI – mJ| ≤ Di


Y = |mI – mJ| > Di


Ex: Aplicar o teste de Duncan nas médias abaixo.


m2 = 6,77

m3 = 6,65

m5 = 6,40

m4 = 5,52

m1 = 5,25

2) Formar e calcular o valor de cada contraste envolvendo grupo de médias: calcular o valor da

DMS e comparar com o valor de cada contraste para testar o contraste.

Contrastes envolvendo grupo com 5 médias

Z5% (5,15) = 3,31

D5 = 3,31 √0,26/4 = 0,84

Y5 = |m2 – m1| = 6,77 – 5,25 = 1,52*


Z5% (4,15) = 3,25

D4 = 3,25 √0,26/4 = 0,83

Y4 = |m2 – m4| = 6,77 – 5,52 = 1,25*

Y4 = |m3 – m1| = 6,65 – 5,25 = 1,40*


Z5% (3,15) = 3,16

35

D3 = 3,16 √0,26/4 = 0,80

Y3 = |m2 – m5| = 6,77 – 6,40 = 0,37ns

Y3 = |m3 – m4| = 6,65 – 5,52 = 1,13*

Y3 = |m5 – m1| = 6,40 – 5,25 = 1,15*


Z5% (2,15) = 3,01

D2 = 3,01 √0,26/4 = 0,77

Y2 = |m2 – m3| = 6,77 – 6,65 = 0,12ns

Y2 = |m3 – m5| = 6,65 – 6,40 = 0,15ns

Y2 = |m5 – m4| = 6,40 – 5,52 = 0,88*

Y2 = |m4 – m1| = 5,52 – 5,25 = 0,27ns

3) Conclusão.

A altura da plântula de Eucaliptus não diferiu entre sí quando foi utilizado os substratos 2, 3 e 5, porém

apresentaram plantas com altura superior quando comparados com aquelas plantas cultivadas nos

substratos 4 e 1 ao nível de 5 % de probabilidade.


3 - TESTE DE NEWMAM-KEULLS

Usado para testar contraste entre duas médias.

Rigor: intermediário entre Tukey e Duncan.

Usa-se a metodologia do Duncan com a tabela de Tukey.

A significância do teste é indicada ligando-se por uma barra ou letras as médias que não diferem entre sí.

∆i = diferença mínima significativa

36

QMR = Quadrado médio do resíduo.

qi = amplitude total estudentizada.

qi = f (α, i e n’).

α = nível de significância

i = n0 de médias ordenadas abrangidas pelo contraste.


Tabela do teste: Tukey


H0: mI = mJ H1: mI ≠ mJ, I ≠ J

Regra de decisão

Y = |m1 – m2| ≤ ∆i


Y = |m1 – m2| > ∆i


Ex: Aplicar o teste de Newman-Keuls nas médias.


m2 = 6,77

m3 = 6,65

m5 = 6,40

m4 = 5,52

m1 = 5,25

2) Formar e calcular o valor de cada contraste envolvendo grupo de médias: calcular o valor da DMS e

comparar com o valor de cada contraste para testar o contraste.


q5% (5,15) = 4,37

∆’5 = 4,37 √0,26/4 = 1,11

Y5 = |m2 – m1| = 6,77 – 5,25 = 1,52*

37


q5% (4,15) = 4,08

∆’4 = 4,08 √0,26/4 = 1,04

Y4 = |m2 – m4| = 6,77 – 5,52 = 1,25*

Y4 = |m3 – m1| = 6,65 – 5,25 = 1,40*


q5% (3,15) = 3,67

∆’3 = 3,67 √0,26/4 = 0,93

Y3 = |m2 – m5| = 6,77 – 6,40 = 0,37ns

Y3 = |m3 – m4| = 6,65 – 5,52 = 1,13*

Y3 = |m5 – m1| = 6,40 – 5,25 = 1,15*


q5% (2,15) = 3,01

∆’2 = 3,01 √0,26/4 = 0,77

Y2 = |m2 – m3| = 6,77 – 6,65 = 0,12ns

Y2 = |m3 – m5| = 6,65 – 6,40 = 0,15ns

Y2 = |m5 – m4| = 6,40 – 5,52 = 0,88*

Y2 = |m4 – m1| = 5,52 – 5,25 = 0,27*

3) Conclusão.

As plantas de Eucaliptus não apresentaram diferença significativa em sua altura quando cultivadas

nos substratos 2, 3 e 5, porém as plantas cultivadas nestes substratos apresentaram altura superior

aquelas plantas cultivadas nos substratos 4 e 1 que não diferiram entre sí a 5 % de probabilidade.


4 - TESTE DE DUNNETT

Usado quando há interesse em comparar media de um tratamento padrão (testemunha) com os demais

tratamentos.

38

Não há interesse na comparação dos demais tratamentos entre sí.

Um experimento com I tratamentos permite a aplicação do teste a (I – 1) comparações.

Aplicação do teste Dunnett

Calcular a estimativa de cada contraste.

Y1 = mi - mP

Y2 = mi - mP

Y(I – 1) = m(I – 1) - mP

Calcular a estimativa de variância de cada contraste.

V(Y) = (1 / ri + 1/rp) QMR

Calcular o desvio padrão do contraste.

S(Y) = √V(Y)

Calcular o valor do teste d’.

d’ = td x s(Y)

td = valor tabelado para teste Dunnett (1 e 5 %).

td = f (α, i e n).

α = nível de significância

i = n0 de grau de liberdade de tratamentos (I – 1).


Regra de decisão

Y = |mI – mJ| ≤ d’


Y = |mI – mJ| > d’


Ex: Aplicar o teste Dunnett para o exercício anterior, admitindo o tratamento 1 como sendo a

testemunha.

1) Calcular a estimativa de cada constraste.

Y1 = m2 – m1 = 6,77 – 5,25 = 1,52*

Y2 = m3 – m1 = 6,65 – 5,25 = 1,40*

Y3 = m4 – m1 = 5,52 – 5,25 = 0,27ns

Y4 = m5 – m1 = 6,40 – 5,25 = 1,15*

2) Calcular a estimativa da variância de cada contraste.

V(Y) = (1/4 + 1/4) x 0,26 = 0,13

3) Calcular o erro padrão do contraste.

39

S(Y) = √V(Y) = √0,13 = 0,36.

4) Calcular o valor do teste d’.

d’ = td x S(Y)

td (5%,4,15) = 2,73 d’ = 2,73 x 0,36 = 0,98

5) Conclusão.

Verifica-se maior altura de plântulas de Eucaliptus quando utilizou-se os substratos 2, 3 e 5 comparado a

testemunha (substrato 1). Não houve diferença significativa na altura da plântula de Eucaliptus quando

se usou o substrato 4 comparado a testemunha (substrato 1) ao nível de 5 % de probabilidade pelo teste

de Dunnett.

5 - TESTE DE SHEFFÉ

Aplicado para testar todo e qualquer contraste de médias.

Frequentemente utilizado para testar contraste que envolve grupos de médias.

Mais rigoroso que o teste t, porém mais flexível.

(ortogonalidade e estabelecimento dos contrastes).

OBS: a estatística do teste é denotada por S.

I = número de tratamentos do experimento.

Fα = valor tabelado; Fα = f(n1, n2).

n1 = grau de liberdade para tratamento.

n2 = grau de liberdade para resíduo.

V(C) = Variância do contraste.

Regra de decisão

|C | ≤ S


|C| > S


EX: Um experimento testou adubos nitrogenados para o abacaxizeiro com 6 tratamentos (5 tipos de

adubo e 1 testemunha) e 4 repetições no DIC.

Médias de produção em kg / parcela.1 – Testemunha m1 = 21,57

40

2 – Sulfato de amônio m2 = 27,763 – Salitre do Chile m3 = 24,584 – Uréia m4 = 28,445 – Nitrato de cálcio m5 = 28,856 – Nitrato de potássio m6 = 28,30

- Estimativa da variância residual: QMR = 0,64.

- Esquema da ANOVA:

FV GLTratamento 5

Resíduo 18Total 23

1) Calcular o valor do contraste.

C = 5 m1 – m2 – m3 – m4 – m5 – m6

C = 5 (21,57) – 27,76 – 24,58 – 28,44 – 28,85 – 28,30

C = - 30,08 kg / parcela

2) Calcular o valor da DMS.

- Cálculo de S:

I = 6; F5% (5,18) = 2,77

3) Comparar o valor do contraste com a DMS.

|C| ≥ S: rejeita-se H0.

4) Conclusão.

Os adubos nitrogenados proporcionaram, em média, um aumento de produção de 6,02 kg / parcela (C/5)

em relação à testemunha.

6 - TESTE t DE STUDENT

Usado também para comparações de médias.

As comparações devem ser escolhidas antes de serem examinados os dados.

N0 de comparações = GL para tratamentos.

Os contrastes devem ser ortogonais.41

Contraste: função linear (se a soma algébrica dos coeficientes das variáveis é igual a zero).

(Y = a1x1 + a2x2 +...+ anxn → ∑an = 0).

Contrastes ortogonais: a soma algébrica dos produtos dos coeficientes de mesma variável for também

igual à zero.

(Y1 = a1x1 + a2x2 +...+ anxn → ∑an = 0).

(Y2 = b1x1 + b2x2 +...+ bnxn → ∑bn = 0).

a1b1 + a2b2 +…+ anbn = 0

Experimento com 3 médias (m1, m2, m3) → 2 graus de liberdade para tratamentos (2 contrastes).

Y1 = m1 – m2

Y2 = m1 + m2 – 2m3

EX 1: Se as estimativas das médias forem:

m1 = 26,0; m2 = 24,8; m3 = 22,8;

Vejamos agora o caso do contraste Y1

Y1 = 26,0 – 24,8 = 1,20.

Dado um contraste: Y = c1m1 + c2m2 +...+ cnmn

Tratamento 1, 2, ... n (ri)

Estimativa da variância

Variância é o quadrado do desvio padrão.

S(Y) = √V(Y)

6 (número de repetições para todos os tratamentos).

V(Y1) = (1/6 + 1/6) S2 = 1/3 S2

Supondo S2 = 1,44

S(Y1) = √1/3 x 1,44 = 0,693

Testando o contraste pelo teste t :

Hipóteses

H0: Y1 = 0 H1: Y1 ≠ 0

t = 1,20 / 0,693 = 1,73 → t5%,9 = 2,09

tcal < ttab contraste é não significativo, as médias dos tratamentos não diferem entre sí (m1 = m2) a 5 % de

probabilidade pelo teste t.

42

Vejamos agora o caso do contraste Y2

Y2 = m1 + m2 – 2m3 = 26,0 + 24,8 – 2 x (22,8) = 5,2.

V(Y) = (1/6 + 1/6 + 4/6) S2

S(Y2) = S2 = √1,44 = 1,20.

Tcalc = 5,20 / 1,20 = 4,33. t5%,9 = 2,09.

tcal > ttab contraste é significativo. (m1 + m2 ≠ m3).

Conclusão: as médias dos tratamentos (1 e 2) apresentaram superioridade em comparação a média do

tratamento 3 a 5 % de probabilidade.


UNIDADE V - REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

Considerações

- Um fator em estudo num experimento pode ser classificado como qualitativo ou quantitativo.

- Um fator qualitativo é aquele onde os seus níveis diferem por algum atributo qualitativo.

EX: variedades, tipos de defensivos, métodos de conduzir uma determinada tarefa, etc.

- Um fator quantitativo é aquele onde os níveis se diferem com relação a quantidade do fator.

EX: temperatura, umidade, concentração de um princípio ativo, níveis de insumo, pH, etc.

- Fator é qualitativo: proceder à análise de variância dos dados e às comparações entre médias dos

níveis do fator usando algum dos procedimentos para comparações múltiplas, quando o F for

significativo.

- Fator quantitativo: estudar o efeito do fator quantitativo por meio de uma relação funcional entre o

mesmo e a variável resposta. A técnica indicada neste caso é a análise de regressão.

Modelo Matemático: Y = β0 + β1X + εi

Y = β0 + β1X + β2X2 + εi

Y → variável dependente (resposta).

X → variável independente (explanatória).

43

Y = 2,5 + 2,0 x X = 1; Y = 4,5;

Modelo de regressão linear simples:

Relaciona uma variável aleatória Y com uma variável X.

Yi = β0 + β1Xi

A parte da variação de X não explicada é atribuída ao acaso e constitui a variação residual.

OBS: o n0 de observações disponíveis deve ser maior que o número de parâmetros da equação de

regressão.

44

R2: O coeficiente de determinação fornece uma informação auxiliar visando verificar se o

modelo proposto é adequado ou não para descrever o fenômeno.

Trata-se do indicador de qualidade do ajustamento.

R2 = VE/VT

0 ≤ R2 ≤ 1, ou 0 a 100 %.

Ex 1: Os dados da tabela a seguir referem-se ao efeito das doses do inseticida Vertimec sob mosca

branca em condições de laboratório.

Doses (X)ml

Mortalidade (Y) % X2 Y2 XY

45

0.5 3 0,25 9 1,51,0 9 1,00 81 9,01,5 44 2,25 1936 66,02,0 68 4,00 4624 136,02,5 79 6,25 6241 197,53,0 82 9,00 6724 246,03,5 85 12,25 7225 297,54,0 94 16,00 8836 376,04,5 100 20,25 10000 450,0

Total - - - -22,5 564 71,25 45676 1779,5

* Com base nesses dados, calcule as estimativas dos parâmetros da equação de regressão:

= ∑y / n = 564/9 = 62,66

= ∑x / n = 22,5/9 = 2,5

β0 = 62,66 – 24,63 * 2,5 = 1,09.

Pode-se fazer então o diagrama de dispersão e traçar a reta da equação de regressão linear.

Coeficiente de determinação (R2)

46

Trata-se do indicador de qualidade do ajustamento.

R2 = VE/VT

a – Variância total (VT):

VT = ∑y2 - (∑y)2 / n.

b – Variação explicada pela variável independente (VE):

VE = β1 * ∑xy – (∑x * ∑y) / n

↓

0 ≤ R2 ≤ 1, ou 0 a 100 %.

Ex 2: Calcular o R2 para o exemplo anterior.

VT = ∑y2 - (∑y)2 / n = 45676 – (564)2/9 = 10332.

VE = β1 * ∑xy - (∑x * ∑y) / n

VE = 24,63 * [1779,5 – (22,5 * 564)/9] = 9100,79.

R2 = VE/VT = 9100,79/ 10332

R2 = 0,8808 ou 88,08 %.

Conclusão: O uso das doses do inseticida (x) explica 88,08 % da variação da mortalidade de insetos (Y).


UNIDADE VI

DELINEAMENTO EM BLOCOS AO ACASO - DBC

Características

Caracterizado pela introdução do princípio do controle local, representado pelos blocos.

DIC (repetição + casualização).

DBC (repetição + casualização + controle local)

↓

Quando usar o controle local?

Distinção entre condições experimentais.

(heterogeneidade do ambiente (fertilidade do solo, temperatura, etc...).

↓

EX: Quando o pesquisador deseja comparar o efeito de analgésicos em cobaias. No entanto as cobaias

não são de mesma idade. Se o pesquisador achar que a idade da cobaia pode influenciar na avaliação

dos analgésicos, ele deve controlar o efeito do fator perturbador: idade.

↓

47

O controle do efeito do fator pertubador é feito pela formação de grupos, ou seja, blocos de unidades

experimentais homogêneas e fazendo com que todos os níveis do fator em estudo sejam avaliados

em cada nível do fator pertubador, ou seja, em cada bloco de unidades homogêneas.

↓

Os blocos poderão ser espalhados por toda área ou agrupados.

↓

Poderá haver ou não grande variabilidade de um bloco para outro.

↓

Em experimentos instalados segundo o DBC, espera-se que as condições experimentais de um bloco

sejam diferentes das condições experimentais do outro bloco e que haja homogeneidade das

condições experimentais dentro de cada bloco.

Cada bloco seja tão uniforme quanto possível.

↓

Caso o pesquisador não controle o efeito do fator perturbador por meio da formação de blocos de

unidades experimentais homogêneas e controle na casualização, o efeito do fator pertubador é

absorvido pelo erro experimental. Tal absorção tende a provocar um aumento no valor do QMRes, o

que pode acarretar em não identificar nenhuma diferença nos efeitos dos tratamentos, quando de fato

uma ou mais diferenças possam existir.

Evitar uso de blocos grandes (variabilidade do ambiente – falta de uniformidade).

EX: Em ensaios agrícolas de campo.

Os tratamentos são atribuídos aos blocos (sorteio dentro dos bloco).

A casualização é feita independentemente para cada bloco.

EXPERIMENTO COM 3 TRATAMENTOS E 5 REPETIÇÕES (BLOCOS) = 15 PARCELAS.

48

DBC

BLOCOS TRATAMENTOS1 A C B2 B A C3 A B C4 C B A5 C A B

Os blocos: horizontal ou vertical.

DIC

B A C B AC B C A BB C A A C

OBS 1: em experimentos zootécnicos cada bloco será constituído por animais com características

semelhantes (peso, idade etc).

↓

OBS 2: o DBC é usado quando se deseja controlar uma causa de variação além do efeito de tratamentos:

- Falta de uniformidade do terreno

- Coleta de amostra em dias diferentes

- Uso de mais de um equipamento.

↓

Vantagens

1 - Se o controle local se fizer necessário então esse delineamento é mais eficiente do que o DIC (a

formação dos blocos isola esta causa de heterogeneidade diminuindo a variação do acaso).

2 - Não há restrição no número de tratamentos (quadrado latino) ou de blocos, e não exige condições

experimentais uniformes (DIC).

3 - Análise estatística é simples.

Desvantagens

1 - O delineamento perde eficiência quando o controle local for dispensável (o n0 de graus de liberdade

do erro é menor que o obtido no DIC).

2 - Quando a variação entre unidades experimentais dentro do bloco é grande, o erro experimental é

grande.

Modelo matemático

YIJ = μ + tI + βJ + εIJ

YIJ = valor observado na parcela que recebeu o tratamento i no bloco j.

μ = média geral do experimento.

49

tI = efeito de tratamento.

βJ = efeito de blocos.

εIJ = erro dos fatores não controlados na parcela.

Análise de variância

FV GL SQ QM FBloco J - 1 SQB - -Trat. I – 1 SQTR SQTR/GL QMTR

/QMRRes. (I – 1) (J – 1) SQTO – SQTR - SQBL SQR/GLR -Total IJ -1 SQTO - -

Especificações

1a coluna: bloco, tratamento, resíduo e total.

2a coluna: GL: bloco, tratamento, resíduo e total.

3a coluna: SQ: blocos, tratamento, resíduo e total.

SQTO = ∑YIJ2 – C → C = G2 / IJ

SQTR = 1 / J (∑TR2) – C

SQB = 1 / I (∑BL2 ) – C

SQR = SQTO - SQTR – SQBL

4a coluna: QM ou variância: bloco, tratamento e resíduo.

QMB = SQB / GLBL

QMTR = SQTR/GLTR

QMR = SQR/GLR

5a coluna: teste F (quociente: = QMTR/QMR).

(quociente: = QMB/QMR).

OBS 1: efeito do bloco significativo indica que a precisão do experimento foi aumentada pelo uso desse

delineamento em relação ao uso do DIC.

OBS 2: A abrangência do experimento pode ser aumentada, porque os tratamentos foram testados em

variadas condições experimentais.


H0: m1 = m2 = m3 = ... = mi, aceita-se H0 ao nível α de probabilidade.

H0: m1 ≠ m2 ≠ m3 ≠... ≠ mi → rejeita-se H0: pelo menos um contraste entre médias de tratamentos

diferem entre sí ao nível α de probabilidade.

Regra de decisão



50

EX: A área foliar da planta é um dos indicadores da eficiência do processo fotossintético de uma

determinada espécie. Em função disso foi realizado um experimento que avaliou a área foliar

(cm2.planta-1) de quatro espécies indicadas para utilização em áreas de reflorestamento 1 mês após a

emergência da plântula. O experimento foi realizado no DBC com 3 repetições.

Área foliar (cm2.planta-1)Blocos

Tratamentos I II III Totais Trat.Espécie A 4,07 3,80 3,86 11,73Espécie B 3,91 3,77 3,46 11,14Espécie C 4,90 5,31 4,73 14,94Espécie D 3,79 3,50 3,46 10,75

Totais Blocos 16,67 16,38 15,51 48,56

Grau de liberdade

- Bloco: J – 1 = 3 – 1 = 2.

- Total: IJ – 1 = 4 x 3 – 1 = 11.

- Tratamento: I – 1 = 4 – 1 = 3.

- Residual: GLTO – GLTR – GLBL = 11 – 3 – 2 = 6.

Soma de quadrados

- Total: SQT0 = ∑YIJ2 – C → C = G2 / IJ

C = 48,562 / 12 = 196,5061

SQTO = (4,072 + 3,802 + ...+ 3,462) – 196,5061

SQTO = 200,5418 – 196,5061 = 4,0357

- Tratamento: SQTR = 1 / J (∑TR2) – C

SQTR = 1 / 3 (11,732 + ...+ 10,752) – 196,5061

SQTR = 200,1529 – 196,5061 = 3,6468

- Blocos: SQB = 1 / I (∑BJ2) – C

SQB = 1 / 4 (16,672 +… + 15,512) – 196,5061

SQB = 196,6884 – 196,5061 = 0,1823

- Residual: SQR = SQTO – SQTR - SQB

SQR = 4,0357 – 3,6468 – 0,1823 = 0,2066

Quadrados médios51


QMTR = 3,6468 / 3 = 1,2156

- Blocos: SQB / GL

QMB = 0,1823 / 2 = 0,0912


QMR = 0,2066 / 6 = 0,0344

Valor de F

FB = QMB / GLB = 0,50

F = QMTR / QMR = 1,2156 / 0,0344 = 35,34

F(3,6) 5% = 4,76; F(3,6) 1% = 9,78.

Quadro 1 – Resumo da ANOVA para área foliar da planta em diferentes espécies florestais.

FV GL SQ QM FBlocos 2 0,1823 0,0912 0,50ns

Espécies 3 3,6468 1,2156 35,34*Resíduo 6 0,2066 0,0344

Total 11 4,0357

F indica que há diferença mais não discrimina quais são.

Procedimento pós ANOVA

Teste de médias e contrastes: tratamentos qualitativos.


Teste de médias (Tukey, t, Duncan, Scheffé, Dunett, Newman Keulls etc).

Aplicação do teste de Tukey

Dados do exemplo anterior.

Colocar as médias em ordem decrescente:

MC = 14,94/3 = 4,98 a

MA = 11,73/3 = 3,91 b

MB = 11,14/3 = 3,71 b

MD = 10,75/3 = 3,58 b

Calcular o valor de cada contraste:

Y = |MC – MA| = 4,98 – 3,91 = 1,07*

Y = |MC – MB| = 4,98 – 3,71 = 1,27*52

Y = |MC – MD| = 4,98 – 3,58 = 1,40*

Y = |MA – MB| = 3,91 – 3,71 = 0,20ns

Y = |MA – MD| = 3,91 – 3,58 = 0,33ns

Y = |MB – MD| = 3,71 – 3,58 = 0,13ns

Calcular a DMS do teste:

∆ = q √QMR / J = 4,90 √0,0344 / 3 = 0,52 cm2.planta-1

q5% (4,6) = 4,90

Conclusão: A área foliar das plantas foi superior na espécie C comparado a utilização das demais

espécies, que não diferiram entre si ao nível de 5 % de probabilidade pelo teste Tukey.

CV = S / mg x 100 = 0,1855 / 4,047 x 100 = 4,58 %.

Tabela 1 – Valores médios da área foliar de diferentes espécies florestais. Pombal – PB. CCTA/UFCG, 2012.

Tratamentos Área foliar (cm2.planta-1)Espécie A 3,91 bEspécie B 3,71 bEspécie C 4,98 a Espécie D 3,58 b

DMS 0,52CV (%) 4,58

* Nas colunas, as médias seguidas pela mesma letra não diferem entre sí pelo teste de Tukey ao nível de 5 % de probabilidade.

Exercício extra aula: com as médias do exemplo anterior aplique os testes de Duncan e Dunnett (utilize

o tratamento D como testemunha).

Decomposição da SQTR em contrastes ortogonais.

→ Se ∑anbn = 0, os contrastes Y1 e Y2 serão ortogonais: tratamentos tenham o mesmo número de

repetições.

→ Caso contrário:

EX: Com os dados do exemplo anterior teste os contrastes abaixo: (Característica avaliada = área foliar

de diferentes espécies florestais).

Espécie A e B vs C e D.

Espécie A vs B

Espécie C vs D

53

n1 = 2 e n2 = 2; mmc (2,2)

n1 = 1 e n2 = 1; mmc (1,1)

n1 = 1 e n2 = 1; mmc (1,1)

Médias dos tratamentos:

Ma = 3,91 Mb = 3,71 Mc = 4,98 Md = 3,58

C1 = ma + mb – mc – md = 3,91 + 3,71 – 4,98 – 3,58 = - 0,94

C2 = ma - mb = 3,91 - 3,71 = 0,20

C3 = mc – md = 4,98 – 3,58 = 1,40

Quadro da ANOVA:

Contrastes GL SQ QM F(MA+MB) vs (MC+MD) 1 0,6627 0,6627 19,26*

MA vs MB 1 0,0600 0,0600 1,74ns

MC vs MD 1 2,9400 2,9400 85,46*Tratamento (3) 3,6627

Resíduo 6 - 0,0344F5% (1, 6) = 5,99.

Conclusão: Em media, as espécies A e B proporcionaram plantas com menor área foliar comparado à

média da área foliar observadas nas plantas das espécies C e D. Nas plantas da espécie C observou-se

maior área foliar comparado as plantas da espécie D. As espécies A e B não diferiram com relação à

área foliar da planta, a 5 % de probabilidade pelo teste F.

DBC: caso de parcelas perdidas.

Estimação da parcela perdida

54

I: Número de tratamentos.

J: número de repetições.

B: totais das observações restantes no bloco contendo a parcela perdida.

T: totais das observações restantes no tratamento contendo a parcela perdida.

G: total geral das observações disponíveis.

2 - O valor estimado é colocado na planilha (valor perdido) e a ANOVA é executada.

3 – A SQTR fica sobreestimado → Fazer a correção.

SQTR(aj) = SQT – U

4 – O número de GLR fica reduzido de uma unidade.

GLR = (I – 1) ( J – 1) – 1

5 – Se as comparações das médias forem feitas pelo teste Tukey exige o cálculo de duas DMS’s.

(Contraste sem parcela perdida)

Contrastes com parcela perdida.

EX: Um melhorista de plantas instalou um experimento visando selecionar as melhores progênies para

dar continuidade ao seu programa de melhoramento. Na instalação do experimento, ele verificou que a

área a ser utilizada não era completamente homogênea. Então dividiu a área em 3 sub-áreas de tal forma

que cada uma fosse completamente homogênea e pudesse conter todas as 4 progênies em teste. Após

esta divisão, as progênies foram distribuídas ao acaso dentro de cada sub-área. Na época da colheita ele

avaliou a produção de grãos por planta (kg/planta), cujos resultados foram:

Blocos Totais Trat.Progênies I II III

Progênie A 5,0 X 8,0 13,0 + XProgênie B 4,0 4,5 6,5 15,0Progênie C 3,0 5,0 6,0 14,0Progênie D 3,5 4,5 5,0 13,0

Totais Bloco 15,5 14,0 + X 25,5 55,0 + X

1 – Cálculo da estimativa da parcela perdida

55

X = 6,5

2 – Análise de variância

Blocos Totais Trat.Progênies I II III

Progênie A 5,0 6,5 8,0 19,5Progênie B 4,0 4,5 6,5 15,0Progênie C 3,0 5,0 6,0 14,0Progênie D 3,5 4,5 5,0 13,0

Totais Bloco 15,5 20,5 25,5 61,5

Grau de liberdade

- Blocos: J – 1 = 3 – 1 = 2.

- Tratamento: I – 1 = 4 – 1 = 3.

- Residual: (I – 1) ( J – 1) – 1 = (4 – 1) ( 3 – 1) – 1 = 5.

- Total = 2 + 3 + 5 = 10.

Soma de quadrados

- Total: SQT0 = ∑YIJ2 – C → C = G2 / IJ

C = 61,52 / 12 = 315,1875

SQTO = (52 + 6,52 + ...+ 5,02) – 315,1875

SQTO = 337,25 – 315,1875 = 22,0625

- Tratamento: SQTR = 1 / J (∑ti2) – C

SQTR = 1 / 3 (19,52 + ...+ 13,02) – 315,1875

SQTR = 323,4167 – 315,1875 = 8,2292

SQTR (AJ) = SQT – U

U = 2,52

SQTR (AJ) = 8,2292 – 2,52 = 5,7092

- Blocos: SQB = 1 / I (∑B2) – C

SQB = 1 / 4 (15,52 + …+ 25,52) – 315,1875

SQB = 327,6875 – 315,1875 = 12,5000

- Residual: SQR = SQTO – SQB - SQTR (AJ) -

SQR = 22,0625 – 12,50 – 5,7092 = 3,8533

Quadrados médios

56


QMTR = 5,7092 / 3 = 1,9031

- Blocos: SQB / GL

QMB = 12,5000 / 2 = 6,2500


QMR = 3,8533 / 5 = 0,7707

Valor de F

F = QMTR / QMR = 1,9031 / 0,7707 = 2,47ns

F(3,5) 5% = 5,41.

Fcal ≤ Ftab(5%) (aceita-se H0) → não existe diferença significativa na produção de grãos das quatro

progênies avaliadas ao nível de 5 % de probabilidade pelo teste F.

Quadro 1 – Resumo da ANOVA da produção de grãos em diferentes progênies. CCTA/UFCG, 2011.

FV GL SQ QM FBlocos 2 12,5000 6,2500

Progênie 3 5,7092 1,9031 2,47ns

Resíduo 5 3,8533 0,7707Total 10 22,0625

Aplicação do teste Tukey

As estimativas das médias dos contrastes seriam:

m1 = 6,50

m2 = 5,00

m3 = 4,67

m4 = 4,33

Cálculo das DMS’s:

∆ = q x √QMR/J =

∆ = 5,22 √0,7707 / 3 = 2,65

q5% (4,5) = 5,22

∆ = 3,05

Y = |m1 – m2| = 6,5 – 5,0 = 1,50 < 3,05ns

Y = |m1 – m3| = 6,5 – 4,67 = 1,83 < 3,05ns

57

Y = |m1 – m4| = 6,5 – 4,33 = 2,17 < 3,05ns

Y = |m2 – m3| = 5,0 – 4,67 = 0,33 < 2,65ns

Y = |m2 – m4| = 5,0 – 4,33 = 0,67 < 2,65ns

Y = |m3 – m4| = 4,67 – 4,33 = 0,34 < 2,65ns

CV (%) = (S / m) x 100 =

CV (%) = (0,8778 / 5,125) x 100 = CV = 17,13 %.

Tabela 1 – Valores médios para a produção de grãos em diferentes progênies. CCTA/UFCG, 2012.

Progênies MédiaProgênie A 6,50* aProgênie B 5,00 aProgênie C 4,67 aProgênie D 4,33 a

DMS = 2,65 e DMS’ = 3,05 CV (%) 17,13

* Nas colunas, as médias seguidas pela mesma letra não diferem entre sí pelo teste Tukey ao nível de 5 % de probabilidade.

Conclusão: Não houve diferença significativa quanto a produção de grãos das quatro progênies avaliadas

a 5 % de probabilidade pelo teste de Tukey.


DELINEAMENTO EM QUADRADO LATINO (DQL)

(UNIDADE VII)

Considerações:

Os ensaios em DBC: controla a heterogeneidade em um só sentido.

(1 controle local representado pelos blocos).

↓

OBS: Quando há variação em sentido perpendicular na realização do experimento em campo ou

laboratório

(Utiliza-se mais 1 controle local).

↓

No Delineamento em Quadrado Latino (DQL), além dos princípios da repetição e da casualização, é

utilizado também duas vezes o princípio do controle na casualização para controlar o efeito de dois

fatores perturbadores que causam variabilidade entre as unidades experimentais.

Dois controles: considerando 1 no sentido da linha + 1 no sentido da coluna.

58

Geralmente, na configuração de um experimento instalado segundo o DQL, os níveis de um fator

perturbador são identificados por linhas em uma tabela de dupla entrada e os níveis do outro fator

perturbador são identificados por colunas na tabela.

↓

Quadrado latino

EX: Em experimentos com animais este delineamento é bastante usado.

↓

Experimentos em campo ou laboratório apresentam limitações quando o número de tratamentos for

grande.

↓

Dois blocos: sentido linha e coluna.

No DQL o número de linhas, colunas e tratamentos são iguais.

Características

ColunasB C D A

Linhas D A B CA B C DC D A B

Utilizado: quando as unidades experimentais puderem ser agrupadas com os níveis das 2 fontes de

variação.

↓

Ex 2: Num experimento com suínos pretende-se testar 4 tipos de ração (A,B,C e D), em 4 raças e 4

idades de animais. Sendo interesse fundamental o comportamento dos 4 tipos de ração, toma-se a raça

e a idade como blocos, ou seja:

Raça

Idade R1 R2 R3 R4

I1 Ração A Ração B Ração D Ração C

I2 Ração B Ração C Ração A Ração D

I3 Ração D Ração A Ração C Ração B

I4 Ração C Ração D Ração B Ração A

O número total de unidades experimentais é igual a I2, sendo I o número de tratamentos.

Cada tratamento é representado uma única vez em cada linha e em cada coluna.

↓

59

N0 de tratamentos = N0 de repetições (menos flexível)

> de 8 tratamentos: não recomendado (n0 de repetições).

Dentro das linhas e das colunas: uniformidade.

↓

O DQL 2 x 2, 3 x 3 e 4 x 4 apresentam 0, 2 e 6 GLR.

DQL: 5 x 5 a 8 x 8 (mais utilizados).

↓

Casualização do DQL

Sorteio da ordem das linhas e depois das colunas.

Aplicação de quatro rações em vacas em lactação.

ColunasA B C D

Linhas D A B CC D A BB C D A

* Admitindo que o sorteio da ordem das linhas tenha sido:

4,2,1 e 3.

ColunasB C D A

Linhas D A B CA B C DC D A B

* Admitindo que o sorteio da ordem das colunas tenha sido:

2,3,1 e 4.

ColunasC D B A

Linhas A B D CB C A DD A C B

Modelo matemático

Yijk = m + li + cj + (tk)ij + eijk

Yijk = observação relativa ao tratamento k na linha i e na coluna j.

m = média geral

li = efeito da linha i

cj = efeito da coluna j60

(tk)ij = efeito do tratamento k na linha i e na coluna j.

eijk = erro experimental associado a observação Yijk.


De acordo com o modelo matemático:

FV GL SQ QM FLinhas I – 1 SQL

Colunas I – 1 SQCTratamentos I – 1 SQTR QMTR QMTR / QMR

Resíduo (I – 2) (I – 1) SQR QMRTotal I2 - 1 SQTO

Especificações

1a coluna: FV: linhas, colunas, tratamentos, resíduo e total.

2a coluna: GL: linhas, colunas, tratamentos, resíduo e total.

3a coluna: SQ: linhas, colunas, tratamentos, resíduo e total.

SQTO = ∑YIJK2 – C → C = G2 / I2

SQTR = 1 / I (∑ TR2) – C

SQL = 1 / I (∑LI2) – C

SQC = 1 / I (∑CO2) – C

SQR = SQTO – SQTR – SQL – SQC

4a coluna: QMR: tratamento e resíduo.

QMTR = SQTR/GLT

QMR = SQR/GLR

5a coluna: teste F (quociente = QMTR/QMR).


H0: σ12 = σ2

2

H1: σ12 ≠ σ2

2

Termos práticos

H0: aceita-se H0: m1 = m2 = m3 = ... = mi ao nível α de probabilidade.

H1: rejeita-se H0: pelo menos a média de dois tratamentos difere entre sí ao nível α de probabilidade.

Regra de decisão



61

Exemplo prático – Um experimento foi realizado visando avaliar o efeito da utilização de 4 tipos de

compostos orgânicos sob o acúmulo de massa seca em mudas de Eucaliptus para produção de madeira

para indústria.

Tratamentos:

A = restos vegetais + esterco bovino.

B= restos vegetais + esterco caprino.

C = restos vegetais + esterco de aves.

D = restos vegetais.

Colunas Totais LinhasLinhas 1 2 3 4

1 93,0 A 108,6 B 108,9 C 102,0 D 412,52 115,4 B 96,5 D 77,6 A 100,2 C 389,73 102,1 C 94,9 A 116,9 D 96,0 B 409,94 112,6 D 114,1 C 118,7 B 97,6 A 443,0

Totais Colunas 423,1 414,1 422,1 395,8 1655,1

Graus de liberdade

Linhas, colunas e tratamentos = I – 1 = 4 – 1 = 3.

Total = I2 -1 = 42 – 1 = 15

GLR = GLto – GLLinhas – GLcolunas – GLTrat. =

GLR = 15 – 3 – 3 – 3= 6.

Soma de quadrado de linhas

SQL = 1 /4 (412,52 + ...+ 443,02) – 1655,12/16 = 362,5869.

Soma de quadrado de colunas

SQC = 1 /4 (423,12 + ...+ 395,82) – 1655,12/16 = 119,8669.

Soma de quadrado de tratamentos

TA = 363,1; TB = 438,7; TC = 425,3; TD = 428,0

SQTR = 1 /4 (363,12 + ...+ 428,02) – 1655,12/16 = 881,0969.

Soma de quadrado total

SQTO = (93,02 + ...+ 97,62) – 1655,12/16 = 1812,6794.

Soma de quadrado do resíduo

SQR = SQTO – SQTR – SQL – SQC

SQR = 1812,6794 – 881,0969 – 362,5869 – 119,8669 = 449,1287.

Quadrados médios

Tratamento

QMTR = SQTR / GLTR = 881,0969 / 3 = 293,6989

62

Resíduo

QMR = SQR / GLR = 449,1287 / 6 = 74,8548

Valor de F

FCAL = QMTR / QMR = 293,6989 / 74,8548 = 3,92ns

F (3,6) 5 % = 4,76

Quadro da Anova:

FV GL SQ QM FLinhas 3 362,5869

Colunas 3 119,8669Compostos 3 881,0969 293,6989 3,92ns

Resíduo 6 449,1287 74,8548Total 15 1812,6794

Conclusão: não foi observada diferença significativa na massa seca de plântulas de Eucaliptus em função dos compostos orgânicos avaliados pelo teste F a 5 % de probabilidade.

Tabela 1 – Massa seca em plantas de Eucaliptus submetidos a diferentes tipos de compostos orgânicos em Pombal-PB. CCTA/UFCG, 2011.

Tratamentos Massa seca (g.planta-1)RV+EC (B) *109,68 a

RV (D) 108,25 aRV+EA (C) 106,32 aRV+EB (A) 90,85 a

DMS 20,33CV (%) 7,99

* Nas colunas, as médias seguidas pela mesma letra não diferem entre sí ao nível de 5 % de probabilidade pelo teste de Tukey.

A = restos vegetais + esterco bovino.

B= restos vegetais + esterco caprino.

C = restos vegetais + esterco de aves.

D = restos vegetais.

OBS 1: Se as comparações das médias forem feitas pelo teste Tukey exige o cálculo de duas DMS’s.

∆ = q √QMR / J



63

OBS 2: Se as comparações das médias forem feitas pelo teste Duncan exige o cálculo de duas DMS’s.

D = Z √QMR / J



DQL com parcela perdida

Exista condição de igualdade entre tratamentos

Perda de parcelas

Estimação da parcela perdida.

r = número de repetições.

G = total geral das parcelas mensuradas

L, C e T são os totais das linhas, colunas e tratamento que ocorreu à parcela perdida.


De acordo com o modelo matemático:

FV GL SQ QM FLinhas I – 1 SQL

Colunas I – 1 SQCTratamentos I – 1 SQT QMT QMT / QMR

Resíduo (I – 2) (I – 1) - 1 SQR QMRTotal Soma SQTO

DBC: o procedimento feito leva a um valor não correto para SQTR.

Correção: SQTR

→ Subtração de U da SQTR.

Prossegue a análise de variância de forma usual.

Exercitando:

Exemplo 2: Os dados abaixo são de um experimento que foi realizado no DQL e avaliou o efeito de 4

espécies indicadas para áreas de reflorestamento sob o acúmulo de matéria orgânica no solo. 64

Colunas Totais LLinhas 1 2 3 4

1 93,0 A 108,6 B 108,9 C 102,0 D 412,52 * B 96,5 D 77,6 A 100,2 C 274,33 102,1 C 94,9 A 116,9 D 96,0 B 409,94 112,6 D 114,1 C 118,7 B 97,6 A 443,0

Totais C 307,7 414,1 422,1 395,8 1539,7

Y = 90,3

Colunas Totais LLinhas 1 2 3 4

1 93,0 A 108,6 B 108,9 C 102,0 D 412,52 90,3 B 96,5 D 77,6 A 100,2 C 364,63 102,1 C 94,9 A 116,9 D 96,0 B 409,94 112,6 D 114,1 C 118,7 B 97,6 A 443,0

Totais C 398,0 414,1 422,1 395,8 1630,0

Graus de liberdade

Linhas, colunas e tratamentos = I – 1 = 4 – 1 = 3.

GLR = (I – 2) (I – 1) - 1 = (4 – 2) (4 – 1) - 1 = 5.

Soma de quadrado de linhas

SQL = 1 /4 (412,52 + ...+ 443,02) – 16302/16 = 782,8550.

Soma de quadrado de colunas

SQC = 1 /4 (398,02 + ...+ 395,82) – 1655,12/16 = 120,9650.

Soma de quadrado de tratamentos

TA = 363,1; TB = 413,6; TC = 425,3; TD = 428,0

↓

SQTR = 1 /4 (363,12 + ...+ 428,02) – 1630,02/16 = 686,4150.

Correção: SQTR

U = 4,1344

SQTR (AJ) = SQTR – U = 686,4150 – 4,1344 = 682,2806

65

Soma de quadrado total

SQTO = (93,02 + ...+ 97,62) – 16302/16 = 1803,1100.

Soma de quadrado do resíduo

SQR = SQTO – SQTR (AJ) – SQL – SQC

SQR = 1803,1100 – 682,2806 – 782,8550 – 120,9650 = 217,0094.

Quadrados médios

Tratamento

QMTR = SQTR (AJ) / GLTR = 682,2806 / 3 = 227,4269

Resíduo

QMR = SQR / GLR = 217,0094 / 5 = 43,4019

Valor de F

FCAL = QMTR / QMR = 227,4269 / 43,4019 = 5,24ns

F (3,5) 5 % = 5,41

FV GL SQ QM FLinhas 3 782,8550

Colunas 3 120,9650Espécies 3 682,2806 227,4269 5,24ns

Resíduo 5 217,0094 43,4019Total 14 1803,1100

F (3,5) 5 % = 5,41

Fcal < Ftab (Contrastes não significativo).

Conclusão: não foi observada diferença significativa no acúmulo de matéria orgânica do solo em função das quatro espécies avaliadas pelo teste F a 5 % de probabilidade.

UNIDADE VIII - EXPERIMENTOS FATORIAIS

Conceitos básicos

Experimento fatorial: É aquele que compara todos os tratamentos que podem ser formados pela

combinação de níveis nos seus diferentes fatores.

Fator

É um tipo de tratamento.

EX: variedade, espaçamento, doses de potássio... etc.

Nível

Refere-se aos diversos tratamentos dentro de qualquer fator.

EX: Fator: doses de K (níveis: 0, 50, 100 kg ha-1).

Fator: Temperaturas (níveis: 5, 10, 15 e 20 0C).

66

Tratamentos

Consistem de todas as combinações possíveis entre os diversos fatores nos seus diferentes níveis.

Fatorial: tipo de esquema, ou seja, uma maneira de organizar os tratamentos e não um tipo de

delineamento, que representa a maneira de como os tratamentos serão distribuídos às parcelas.

A principal aplicação dos experimentos fatoriais é quando se quer saber sobre o efeito de diversos

fatores que influenciam na variável em estudo e o relacionamento entre eles.

A simbologia comumente utilizada, para experimentos fatoriais é indicar o produto dos

níveis dos fatores em teste. Por exemplo: Experimento Fatorial 2 x 4 x 6. O produto 2 x 4 x 6

informa que no experimento foram testados simultaneamente 3 fatores. O primeiro possui 2 níveis, o

segundo 4 níveis e o terceiro 6 níveis.

Ex: Avaliar a vida útil de morango em 4 temperatura de armazenamento e 3 tipos de embalagem.

T1E1 (tratamento).

Características

São mais eficientes que os experimentos simples permitindo tirar conclusões mais gerais.

Agronomia

Fatorial 4 x 3 (4 Variedades e 3 espaçamentos).

EX: Variedades V1, V2, V3 e V4 x Espaçamento E1, E2 e E3.

V1E1 V1E2 V1E3

V2E1 V2E2 V2E3

V3E1 V3E2 V3E3

V4E1 V4E2 V4E3

Ambiental

Fatorial 3 x 3 (3 compostos e 3 doses).

EX: Composto C1,C2 e C3 x Doses D1, D2 e D3.

C1 D1 C2 D1 C3 D1

C1 D2 C2 D2 C3 D2

C1 D3 C2 D3 C3 D3

Fatorial: cada nível de um fator se combina com cada um dos níveis de outros fatores.

Alimentos

Fatorial 4 x 4 (4 tipos de conservantes e 4 temperaturas de armazenamento).

C1T1 C1T2 C1T3 C1T4

67

C2T1 C2T2 C2T3 C2T4

C3T1 C3T2 C3T3 C3T4

C4T1 C4T2 C4T3 C4T4

Cada combinação de tratamentos constitui uma parcela (unidade de material ao qual é aplicado um

tratamento).

EX: um animal, 20 plantas etc.

Fatorial: 4 x 4, com 4 repetições = 64 parcelas.

Os experimentos fatoriais não constituem um delineamento experimental.

Podem ser instalados: DIC, DBC, DQL.

Estudam-se os efeitos dos fatores individuais e da interação dos fatores.

CROQUI DO EXPERIMENTO

Fatorial 2 x 4, com 4 repetições.

Fator A: 2 níveis Fator B: 4 níveis

DIC

A1B1 A1B1

A2B2 A1B2

A1B4 A2B4

A1B2 A1B1

A2B1 A2B2

A2B3 A2B1

A1B4 A1B3

A2B2 A2B3

A1B2 A1B1

A2B3 A2B4

A2B4 A2B1

A1B3 A1B4

A2B2 A1B2

A1B3 A2B4

A2B1 A1B3

A1B4 A2B3

CROQUI DO EXPERIMENTO68

Fatorial 2 x 4, com 3 repetições.

Fator A: 2 níveis Fator B: 4 níveis

DBC

I II III

A1B1 A1B3 A1B1

A2B1 A2B2 A2B3

A1B2 A1B4 A1B2

A1B3 A1B1 A2B2

A2B4 A2B1 A1B4

A1B4 A2B3 A2B1

A2B2 A1B2 A1B3

A2B3 A2B4 A2B4

Classificação

Qualitativos: Diferentes tipos de categorias (variedades, tratos culturais, métodos de cultivo, tipos de

conservantes químicos).

Quantitativos: podem ser dosados ou quantificados (doses de N, temperaturas etc).

Vantagens

As conclusões são mais generalizadas.

É possível se testar qualquer tipo de combinação, obtendo a informação sobre a interação entre fatores.

Maior eficiência na utilização de recursos materiais e humanos.

O no de GL associado ao resíduo é alto quando comparado com os experimentos

simples dos mesmos fatores, o que contribui para diminuir a variância residual, aumentando

a precisão do experimento.

Desvantagens

A análise estatística em alguns casos se torna bastante complexa com o aumento de níveis e de fatores.

À medida que cresce o n0 de fatores ou níveis, cresce o n0 de combinações de tratamentos, implicando

em perda de eficiência (homogeneidade das parcelas).

Requer maior número de unidades experimentais em relação aos experimentos simples.

Classificação dos efeitos

Efeito principal: é o efeito de cada fator, independente da influência de outros fatores.

EX: Temperatura e/ou embalagens.

69

Efeito da interação: é o efeito simultâneo dos fatores sobre a variável em estudo. R esposta diferencial

da combinação de tratamentos que não se deve a efeitos principais.

Interação: ocorre quando os efeitos dos níveis de um fator são modificados por níveis de outro fator.

EX: variedade x doses de esterco.

O efeito da interação pode ser mais facilmente compreendido por meio dos gráficos. Para ilustrar o

efeito da interação, considere um experimento fatorial 3x2, em que os fatores em testes são Variedade

(A) e Espaçamento (B).

Não há interação

A1 A2 A3

B1 2 4 6B2 5 7 9

Tratamento A não exerce influência em B e vice versa.

Há interação

A1 A2 A3

B1 2 4 6B2 5 7 4

Tratamento A exerce influência em B e vice versa.

Modelo matemático

Considere um experimento fatorial, com dois fatores: o fator A com I níveis e o fator B com J

níveis, instalados segundo o DIC, com K repetições. O modelo estatístico para um experimento como

este é:

YIJK = μ + αI + βJ + (αβ)IJ + eIJK (DIC)

YIJK = valor observado que recebeu os níveis do fator α e os níveis do fator β.

μ = é uma constante (média) comum a todas as observações.

αI = efeito do nível do fator α com i = 1,... a.

70

βJ = efeito do nível do fator β com j = 1,... b.

αβIJ = efeito da interação do nível do fator α com o efeito do nível do fator β.

eIJK = erro experimental associado a observação YIJK.


A análise de variância de um experimento fatorial é feita desdobrando-se a soma de quadrados de

tratamentos nas partes devido aos efeitos principais de cada fator e na parte devido à interação entre os

fatores.

Quadro da ANOVA: DIC

FV GL SQ QM FA I – 1 SQA QMA QMA/ QMRB J – 1 SQB QMB QMB/QMR

A x B (I – 1)(J – 1) SQ(AxB) QMAB QMAB/QMRTrat. (IJ – 1) SQT - -

Resíduo Diferença SQR QMR -Total IJK - 1 SQTO - -

Quadro da ANOVA: DBC

FV GL SQ QM FA I – 1 SQA QMA QMA/ QMRB J – 1 SQB QMB QMB/QMR

A x B Diferença SQ(AxB) QMAxB QMAB/QMRTrat. (IJ – 1) SQTR - -Bloco K – 1 SQBL - -

Resíduo Diferença SQRES QMR -Total IJK - 1 SQTO - -

SQTO = ∑Y2IJK – C → C = G2 / IJK

SQA = 1 / JK ∑TAI2 – C

SQB = 1 / IK ∑TBI2 – C

SQ(A X B) = SQ(A,B) – SQA – SQB

SQ(A,B) = SQTR = 1 / K ∑(TAIBj)2 – C

SQR = SQTO - SQTR

Se for em DBC

SQR = SQTO - SQTR – SQBL

QMA = SQA / GLA

QMB= SQB/ GLB

QM A X B = SQ A X B / GLA X B

FA = QMA / QMR

FB = QMB / QMR

FA X B = QM A X B / QMR

71

EX: Experimento fatorial do tipo 3 x 4, com 3 repetições. Fator A (tipos de filme plástico) e fator B

(tipos de cera). Vida útil do fruto de goiaba (dias). Interação não significativa.

REPETIÇÕES

TRATAMENTOS I II III TOTAIS

1 - A1B1 35 45 40 120

2 - A1B2 45 48 39 132

3 - A1B3 51 54 45 150

4 - A1B4 45 50 67 162

5 – A2B1 38 44 44 126

6 – A2B2 40 50 51 141

7 – A2B3 55 56 51 162

8 – A2B4 58 66 47 171

9 – A3B1 45 48 51 144

10 – A3B2 44 60 46 150

11 – A3B3 50 65 56 171

12 - A3B4 62 65 59 186

SQTO = ∑Y2IJK – C = (352 + 452...+ 592) – (1815)2 / 36 = 2450,75.

C = G2 / IJK = (1815)2 / 3*4*3 = 91506,25.

SQA = 1/JK ∑AI2 – C = 1/12 (5642 +...+ 6512) – 91506,25 = 318,5.

SQB = 1/IK ∑BI2 – C = 1/9 (3902 +...+ 5192) – 91506,25 = 92631 – 91560,25 = 1124,75.

SQ(AxB) = SQ(A,B) – SQA – SQB

SQ(A,B) = 1/K ∑(A1Bj)2 – C = 1/3 (1202 +…+ 1862) - 91506,25 = 92961 – 91506,25 = 1454,75.

SQ(AxB) = SQ(A,B) – SQA – SQB

SQ(AxB) = 1454,75 – 318,5 – 1124,75 = 11,50.

SQR = SQTO - SQTR

SQR = 2450,75 – 1454,75 = 996,00.

QMA = SQA / GLA = 318,5 / 2 = 159,25

QMB = SQB / GLB = 1124,75 / 3 = 374,91

QM A X B = SQ A X B / GLA X B = 11,5 / 6 = 1,92

72

FA = QMA / QMR = 159,25 / 41,5 = 3,84

FB = QMB / QMR = 374,91 / 41,5 = 9,03

FA X B = QM A X B / QMR = 1,92 / 41,5 = 0,05

FV GL SQ QM FPlástico (P) 2 318,5 159,25 3,84**

Cera (C) 3 1124,75 374,91 9,03**P x C 6 11,5 1,92 0,05ns

Trat. 11 1454,75Resíduo 24 996,00 41,5

Total 35 2450,75

Fator A: F5% (2,24) = 3,40Fator B: F5% (3,24) = 3,01Fator A x B: F5% (6,24) = 2,51

Conclusões

Existe pelo menos um contraste entre médias dos níveis do fator A e do fator B com efeito significativo,

ao nível de 5 % de probabilidade.

Não houve interação entre os fatores A e B. Os fatores podem ser estudados isoladamente.

Interação não significativa

Este resultado indica que os efeitos entre os fatores ocorre de forma independente. Portanto recomenda-

se que as comparações dos níveis de um fator sejam feitas de forma geral em relação ao outro

fator, ou seja, independente dos níveis outro fator.

Procedimento pós – ANOVA

Teste de comparações múltiplas (Tukey, Duncan etc).

Fator A

mA3 = 54,25 a

mA2 = 50,00 ab

mA1 = 47,00 b

Y1 = mA3 – mA2 = 54,25 – 50,00 = 4,25ns

Y2 = mA3 – mA1 = 54,25 – 47,00 = 7,25*

Y3 = mA2 – mA1 = 50,00 – 47,00 = 3,00ns

∆ = q √QMR/ JK

∆ = 3,53 √41,5 / 12 = 6,56; q5% (3, 24) = 3,53.

Conclusão: Os frutos de goiaba obtiveram maior vida útil quando acondicionados na embalagem 3

comparado aqueles acondicionados na embalagem 1 a 5 % de probabilidade pelo teste Tukey.

Fator B

mB4 = 57,66 a

mB3 = 53,66 ab

mB2 = 47,00 bc73

mB1 = 43,33 c

Y1 = mB4 – mB3 = 57,66 – 53,66 = 4,00ns

Y2 = mB4 – mB2 = 57,66 – 47,00 = 10,66*

Y3 = mB4 – mB1 = 57,66 – 43,33 = 14,66*

Y4 = mB3 – mB2 = 53,66 – 47,00 = 6,66ns

Y5 = mB3 – mB1 = 53,66 – 43,33 = 10,33*

Y6 = mB2 – mB1 = 47,00 – 43,33 = 3,67ns

∆ = q √QMR/ IK

∆ = 3,90 √41,5 / 9 = 7,25

q5% (4, 24) = 3,90

Conclusão: Os frutos de goiaba obtiveram maior vida útil quando utilizou a cera tipo 4 comparado as

ceras 2 e 1 a 5 % pelo teste Tukey.

Tabela 1 – Valores médios da vida útil de frutos de goiaba em função de tipos de filmes plásticos e tipos de cera em Pombal – PB. CCTA/UFCG, 2012.

Tipos de Filmes Vida útil (dias)

Filme (1) 47,00 b

Filme (2) 50,00 ab

Filme (3) 54,25 a

DMS 6,56

Tipos de Cera

Cera (1) 43,33 c

Cera (2) 47,00 bc

Cera (3) 53,66 ab

Cera (4) 57,66 a

DMS 7,25

CV (%) 2,68

* Nas colunas, as médias seguidas pela mesma letra não diferem entre sí pelo teste de Tukey ao nível de 5 % de probabilidade.

CV = S / mg x 100 = √41,5 / 50,42 x 100 = 12,78 %.

CASO O MESMO EXPERIMENTO FOSSE FEITO NO DBC TERIA QUE CALCULAR A

SOMA DE QUADRADOS DE BLOCOS

74

REPETIÇÕES

TRATAMENTOS I II III TOTAIS

1 - A1B1 35 45 40 120

2 - A1B2 45 48 39 132

3 - A1B3 51 54 45 150

4 - A1B4 45 50 67 162

5 – A2B4 38 44 44 126

6 – A2B4 40 50 51 141

7 – A2B4 55 56 51 162

8 – A2B4 58 66 47 171

9 – A3B1 45 48 51 144

10 – A3B2 44 60 46 150

11 – A3B3 50 65 56 171

12 - A3B4 62 65 59 186

TOTAIS DE

BLOCOS

568 651 596 1815

SQBLOCOS = 1 / IJ (∑TB2) – C

SQBLOCOS = 1 / 12 (5682 + ... + 5962) – 18152 / 36 = 297,17

SQR = SQTO - SQTR - SQBL

SQR = 2450,75 – 1454,75 – 297,17 = 698,83.

QMR = 698,83 / 22 = 31,77

FA = QMA / QMR = 159,25 / 31,77 = 5,01

FB = QMB / QMR = 374,91 / 31,77 = 204,87

FA X B = QM A X B / QMR = 1,92 / 31,77 = 1,05

FV GL SQ QM FPlástico (P) 2 318,50 159,25 5,01**

Cera (C) 3 1124,75 374,91 11,80**P x C 6 11,50 1,92 0,06ns

Trat. 11 1454,75Bloco 2 297,17

Resíduo 22 698,83 31,77Total 35 2450,75


75

NESTE CASO, COMO OS FATORES A e B FORAM SIGNIFICATIVOS A 5 % PELO TESTE F, DEVE-SE APLICAR UM TESTE DE COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS DE MÉDIAS (EX.TESTE DE

TUKEY) PARA OS FATORES ISOLADOS. ESTE PROCEDIMENTO JÁ FOI FEITO NO EXEMPLO ANTERIOR, NÃO HAVENDO A NECESSIDADE DE SE FAZER NOVAMENTE.

Interação significativa

Este resultado implica que os efeitos dos fatores atuam de forma dependente. Neste caso as comparações

entre os níveis de um fator levam em consideração o nível do outro fator, pois o resultado significativo

para a interação indica que o efeito de um fator depende do nível do outro fator.

↓

Portanto, não é recomendado realizar o teste F para cada fator isoladamente tal como foi

apresentado para o caso da interação não- significativa. O procedimento recomendado é realizar o

desdobramento do efeito da interação.

↓

Para realizar este desdobramento deve-se fazer uma nova análise de variância em que os

níveis de um fator são comparados dentro de cada nível do outro fator.

UM EXEMPLO COM A INTERAÇÃO DOS FATORES A e B SIGNIFICATIVA

EX: Experimento fatorial do tipo 3 x 4, com 3 repetições. Fator A (Fontes de adubos N – F1, F2 e F3) e

fator B (Espaçamento – E1, E2, E3 e E4). Avaliar a massa seca da folhas de mudas de Eucaliptus.

Interação significativa.

FV GL SQ QM FA 2 148,8039 74,4019 66,43**B 3 22,4097 7,4699 6,67**

A x B 6 44,3228 7,3871 6,59**Trat. 11 215,5364 - -

Blocos 2 - - -Resíduo 22 24,60 1,1200 -

Total 35 - - -


Conclusões

Houve interação entre os fatores A e B a 1 % de probabilidade. Estudo da interação (desdobramento de

A dentro de B e de B dentro de A).

76

A → Fator A dentro dos níveis do fator B

SQ(A/B1) = 1/3 (69,42 +...+ 64,52) – (208,4)2/9 = 16,6689

SQ(A/B2) = 1/3 (74,52 +...+ 63,52) – (217,4)2/9 = 44,2022

SQ(A/B3) = 1/3 (78,42 +...+ 65,22) – (228,4)2/9 = 66,5955

SQ(A/B4) = 1/3 (82,62 +...+ 62,82) – (216,9)2/9 = 65,6600

QM A/B1 = SQ A/B1 / GL A/B1 = 16,6689 / 2 = 8,3344

QM A/B2 = SQ A/B2 / GL A/B2 = 44,2022 / 2 = 22,1011

QM A/B3 = SQ A/B3 / GL A/B3 = 66,5955 / 2 = 33,2977

QM A/B4 = SQ A/B3/ GL A/B3 = 65,6600 / 2 = 32,8300

F A/B1 = QM A/B1 / QMR = 8,3344 / 1,1200 = 7,44

F A/B2 = QM A/B2 / QMR = 22,1011 / 1,1200 = 19,73

F A/B3 = QM A/B3 / QMR = 33,2977 / 1,1200 = 29,73

F A/B4 = QM A/B4 / QMR = 32,8300 / 1,1200 = 29,31

Desdobramento de A dentro de B

FV GL SQ QM FA/B1 2 16,6689 8,3344 7,44*A/B2 2 44,2022 22,1011 19,73*A/B3 2 66,5955 33,2977 29,73*A/B4 2 65,6600 32,8300 29,31*Trat. - -Bloco

Resíduo 1,1200Total

* Significativo a 5 % de probabilidade. F5% (2,22) = 3,44.

Conclusão

77

Dentro de cada nível de B, há pelo menos um contraste entre médias dos níveis de A, que apresenta

efeito significativo, ao nível de 5 % de probabilidade.

Métodos de comparações múltiplas: A/B níveis.

Teste Tukey

∆ = 3,55 √1,12/3 = 2,17.

q5% (3,22) = 3,55.

mA2/B1 = 24,83 a mA2/B2 = 26,47 a

mA1/B1 = 23,13 ab mA1/B2 = 24,83 a

mA3/B1 = 21,50 b mA3/B2 = 21,17 b

mA2/B3 = 28,27 a mA1/B4 = 27,53 a

mA1/B3 = 26,13 a mA2/B4 = 23,83 b

mA3/B3 = 21,73 b mA3/B4 = 20,93 c

YA/B1

Y1 = mA2/B1 - mA1/B1 = 24,83 – 23,13 = 1,70NS

Y2 = mA2/B1 - mA3/B1 = 24,83 – 21,50 = 3,33*

Y3 = mA1/B1 - mA3/B1 = 23,13 – 21,50 = 1,63NS

YA/B2

Y1 = mA2/B2 - mA1/B2 = 26,47 – 24,83 = 1,64NS

Y2 = mA2/B2 - mA3/B2 = 26,47 – 21,17 = 5,30*

Y3 = mA1/B2 - mA3/B2 = 24,83 – 21,17 = 3,66*

YA/B3

Y1 = mA2/B3 - mA1/B3 = 28,27 – 26,13 = 2,14NS

Y2 = mA2/B3 - mA3/B3 = 28,27 – 21,73 = 6,54*

Y3 = mA1/B3 - mA3/B3 = 26,13 – 21,73 = 4,40*

YA/B4

Y1 = mA1/B4 - mA2/B4 = 27,53 – 23,83 = 3,70*

Y2 = mA1/B4 - mA3/B4 = 27,53 – 20,93 = 6,60*

Y3 = mA2/B4 - mA3/B4 = 23,83 – 20,93 = 2,90*

Conclusão YA/B1

78

No espaçamento 1 foi observado maior massa seca da planta de Eucaliptus quando foi utilizada a fonte

de adubo 2 comparado com a fonte de adubo 3 a 5 % de probabilidade pelo teste F.

Conclusão YA/B2 e YA/B3

Nos espaçamentos 2 e 3 foi observado maior massa seca da planta de Eucaliptus quando com as fontes

de adubo 2 e 1 comparado com a fonte de adubo 3 a 5 % de probabilidade pelo teste F.

Conclusão YA/B4

No espaçamento 4 foi observado maior massa seca da planta de Eucaliptus quando foi utilizada a fonte

de adubo 1 comparado com as demais fontes de adubo (2 e 3) a 5 % de probabilidade pelo teste F.

B → Fator B dentro dos níveis do fator A

SQ(B/A1) = 1/3 (69,42 +...+ 82,602) – (304,9)2/12 = 31,6425

SQ(B/A2) = 1/3 (74,52 +...+ 71,502) – (310,20)2/12 = 33,9633

SQ(B/A3) = 1/3 (64,502 +...+ 62,802) – (256,00)2/12 = 1,1266

QM B/A1 = SQ B/A1 / GL B/A1 = 31,6425 / 3 = 10,5475

QM B/A2 = SQ B/A2 / GL B/A2 = 33,9633 / 3 = 11,3211

QM B/A3 = SQ B/A3 / GL B/A3 = 1,1266 / 3 = 0,3755

F B/A1 = QM B/A1 / QMR = 10,5475 / 1,1200 = 9,42

F B/A2 = QM B/A2 / QMR = 11,3211 / 1,1200 = 10,11

F B/A3 = QM B/A3 / QMR = 0,3755 / 1,1200 = 0,34

Desdobramento de B dentro de A

FV GL SQ QM FB/A1 3 31,6425 10,5475 9,42*B/A2 3 33,9633 11,3211 10,11* B/A3 3 1,1266 0,3755 0,34NS

Trat.Bloco

Resíduo 1,1200Total

* Significativo a 5 % de probabilidade. F5% (3,22) = 3,05.

Conclusão

79

Dentro de cada nível de A1 e A2, há pelo menos um contraste entre médias dos níveis de B, que

apresenta efeito significativo, ao nível de 5 % de probabilidade.


Teste Tukey

mB4 / A1 = 27,53 A mB3 / A2 = 28,27 A

mB3 / A1 = 26,13 AB mB2 / A2 = 26,47 AB

mB2 / A1 = 24,83 BC mB1 / A2 = 24,83 BC

mB 1 /A1 = 23,13 C mB 4 /A2 = 23,83 C

mB3 / A3 = 21,73 A

mB1 / A3 = 21,50 A

mB2 / A3 = 21,17 A

mB 4 /A3 = 20,93 A

YB/A1

Y1 = mB4/A1 – mB3/A1 = 27,53 – 26,13 = 1,40ns

Y2 = mB4/A1 – mB2/A1 = 27,53 – 24,83 = 2,70*

Y3 = mB4/A1 – mB1/A1 = 27,53 – 23,13 = 4,40*

Y4 = mB3/A1 – mB2/A1 = 26,13 – 24,83 = 1,30ns

Y5 = mB3/A1 – mB1/A1 = 26,13 – 23,13 = 3,30*

Y6 = mB2/A1 – mB1/A1 = 24,83 – 23,13 = 1,70ns

YB/A2

Y1 = mB3/A2 – mB2/A2 = 28,27 – 26,47 = 1,80ns

Y2 = mB3/A2 – mB1/A2 = 28,27 – 24,83 = 3,44*

Y3 = mB3/A2 – mB4/A2 = 28,27 – 23,83 = 4,44*

Y4 = mB2/A2 – mB1/A2 = 26,47 – 24,83 = 1,64ns

Y5 = mB2/A2 – mB4/A2 = 26,47 – 23,83 = 2,64*

Y6 = mB1/A2 – mB4/A2 = 24,83 – 23,83 = 1,00ns

YB/A3

Y1 = mB3/A3 – mB1/A3 = 21,73 – 21,50 = 0,23ns

Y2 = mB3/A3 – mB2/A3 = 21,73 – 21,17 = 0,56ns

Y3 = mB3/A3 – mB4/A3 = 21,73 – 20,93 = 0,80ns

Y4 = mB1/A3 – mB2/A3 = 21,50 – 21,17 = 0,33ns

Y5 = mB1/A3 – mB4/A3 = 21,50 – 20,93 = 0,57ns

Y6 = mB2/A3 – mB4/A3 = 21,17 – 20,93 = 0,24ns

80

∆ = 3,93 √1,12/3 = 2,40

q5% (4,22) = 3,93.

Conclusão YB/A1

Na fonte de adubo 1 foi observado maior massa seca da planta de Eucaliptus quando as plantas foram

cultivadas no espaçamento 4 comparado aquelas cultivadas no espaçamento 2 e 1 a 5 % de

probabilidade pelo teste F.

Conclusão YB/A2

Na fonte de adubo 2 foi observado maior massa seca da planta de Eucaliptus quando as plantas foram

cultivadas no espaçamento 3 comparado aquelas cultivadas no espaçamento 1 e 4 a 5 % de


Conclusão YB/A3

Na fonte de adubo 3 não foi observada diferença significativa na maior massa seca da planta de

Eucaliptus quando as plantas foram cultivadas no diferentes espaçamentos de plantio a 5 % de


Tabela 1 – Valores médios da massa seca da folha de Eucaliptus em função da fonte do adubo N e do espaçamento da cultura em Pombal – PB. CCTA/UFCG, 2012.

Massa seca (g.planta-1)Espaçamentos

Fontes de Adubos N E1 E2 E3 E4F1 23,13 ab C 24,83 a BC 26,13 a AB 27,53 a AF2 24,83 a BC 26,47 a AB 28,27 a A 23,83 b CF3 21,50 b A 21,17 b A 21,73 b A 20,93 c A

Nas colunas, as médias seguidas pela mesma letra minúscula, e nas linhas pela mesma letra maiúscula não diferem entre sí pelo teste de Tukey ao nível de 5 % de probabilidade.

UNIDADE IX - EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUB-DIVIDIDAS

Generalidades

Tal como no caso de fatorial, o termo parcelas subdivididas não se refere a um tipo de

delineamento e sim ao esquema do experimento, ou seja, a maneira pela qual os tratamentos são

organizados. Nos experimentos em parcelas subdivididas, em geral, estuda-se simultaneamente dois

tipos de fatores os quais são geralmente denominados de fatores primários e fatores secundários.

↓

81

As unidades experimentais são agrupadas em parcelas as quais devem conter um número de unidades

experimentais (subparcelas) igual ao número de níveis do fator secundário.

↓

Na instalação: os níveis do fator primário são distribuídos às parcelas segundo um tipo de

delineamento experimental (DIC, DBC, etc...). Posteriormente os níveis do fator secundário são

distribuídos ao acaso as subparcerlas de cada parcela.

↓


Parcela subdividida 3 x 3, com 3 repetições.

Fator A (Parcela): 3 níveis

Fator B (subparcela): 3 níveis

DIC

A1B1 A2B2 A2B3

A1B3 A2B3 A2B2

A1B2 A2B1 A2B1

A2B1 A3B1 A1B1

A2B3 A3B2 A1B2

A2B2 A3B3 A1B3

A1B2 A3B3 A3B2

A1B3 A3B2 A3B1

A1B1 A3B1 A3B3


Parcela subdividida 2 x 4, com 3 repetições.

Fator A (Parcela): 2 níveis

Fator B (subparcela): 4 níveis

DBC

I II III

82

A1B1 A1B3 A2B1

A1B4 A1B2 A2B3

A1B2 A1B4 A2B2

A1B3 A1B1 A2B4

A2B4 A2B1 A1B4

A2B1 A2B3 A1B1

A2B2 A2B2 A1B3

A2B3 A2B4 A2B2

↓

Tratamentos principais (níveis do fator A colocados nas parcelas).

Tratamentos secundários (níveis do fator B casualizado nas sub-parcelas de cada parcela).

Tipos de ensaio em parcelas subdivididas

No espaço: quando em cada parcela há uma subdivisão de áreas em sub-áreas, constituindo, cada uma

delas uma sub-parcela.

EX: Parcelas (variedades); sub-parcelas (espaçamentos).

↓

No tempo: a parcela não se subdivide em sub-áreas (são tomados dados periodicamente ao longo do

tempo em cada uma delas, constituindo as sub-parcelas).

Ex: Parcelas (diferentes variedades) e a cada 15 dias retirar amostras (épocas – sub-parcelas) para

análise de crescimento.

Características

As parcelas poderão estar dispostas em qualquer tipo de delineamento: DIC, DBC, DQL.

Sub-parcelas são distribuídas aleatoriamente em cada parcela.

↓

Dois resíduos distintos:

Resíduo a (parcelas)

Resíduo b (subparcelas dentro das parcelas)

Efeitos dos tratamentos secundários são determinados com maior precisão).

↓

Como a variação residual entre subparcelas é esperada ser menor do que entre parcelas, deve-se escolher

como fator secundário, o fator que se espera apresentar menor diferenças, ou para o qual deseja-se

maior precisão.

↓

Casualização em dois estágios:

83

Níveis do fator A nas parcelas de cada bloco.

Níveis do fator B nas subparcela de cada parcela.

↓

Às vezes o pesquisador pode optar entre um experimento com parcelas subdivididas e um

experimento fatorial. Para a escolha do esquema em parcelas subdivididas, o pesquisador pode se

basear nos seguintes critérios:

1 - A parcela é uma unidade "física" (um vaso, um animal, uma pessoa)

que pode receber vários níveis de um fator secundário;

2 - o fator principal exige "grandes parcelas" - como é o caso da irrigação e de processos

industriais;

3 - o pesquisador quer comparar níveis de um fator secundário com maior precisão.

Vantagens

As conclusões são mais generalizadas (DIC, DBC).

↓

Maior facilidade de instalação comparado aos fatoriais.

↓

É possível se testar combinação de tratamentos, obtendo a informação sobre a interação entre fatores.

↓

Maior eficiência na utilização de recursos materiais e humanos (DIC, DBC, DQL).

Desvantagens

Análise estatística é mais complicada (DBC, DIC, DQL).

↓

À medida que cresce o n0 de fatores ou níveis, cresce o n0 de tratamentos, implicando em perda de

eficiência (homogeneidade das parcelas).

↓

Existe duas estimativas de variância residual: uma associada às parcelas e outra associada às

subparcelas. Este desdobramento da variância residual faz com que o número de graus de liberdade

associado a cada um dos resíduos seja menor do o associado ao resíduo se o experimento tivesse sido

instalado segundo o esquema fatorial.

↓

Há uma tendência de se obter maior valor para a estimativa do erro experimental. Portanto, em

experimentos com parcelas subdivididas, todos os efeitos são avaliados com menor precisão que nos

experimentos fatoriais correspondentes.

Modelo matemático

84

De acordo com o delineamento utilizado (DIC, DBC, DQL) com j repetições:

YIJK = μ + αI + SIK + βJ + (αβ)IJ + eIJK (DIC)

YIJK = μ + αI + RK + (SRIK) + βJ + (αβ)IJ + eIJK (DBC)

μ = é uma constante (média geral).

αI = efeito do nível do fator α. (Parcela)

βJ = efeito do nível do fator β . (Subparcela)

SIK = (erro A). (DIC)

Rk = efeito do bloco.

(SRIK) = (erro A). (DBC)

αβIJ = efeito da interação do nível do fator α com o nível do fator β.

eIJK = efeito do erro aleatório.

I = NÍVEIS DO FATOR A (PARCELA)

J = NÍVEIS DO FATOR B (SUBPARCELA).

K = NÚMERO DE REPETIÇÕES OU BLOCOS


A análise de variância de um experimento em parcelas subdivididas é feita desdobrando os

efeitos das parcelas e das subparcelas nas partes que as compõem. Para cada um destes

85

desdobramentos, existe um resíduo, o qual é utilizado para testar o efeito das fontes de variação

pertinentes.

Quadro da ANOVA: DIC:

FV GL SQ QM FA I – 1 SQA QMA QMA/QMRA

Erro a (I – 1)( K – 1) SQRA QMRA

Parcelas (IK – 1) SQPARC. -B (J – 1) SQB QMB QMB/QMRB

A x B (I – 1)(J – 1) SQ (A x B) QM (A x B) QM (A x B)/ QMRB

Erro b I(K – 1) (J – 1) SQRB QMRB

Total IJK - 1 SQTOTAL -

Quadro da ANOVA: DBC:

FV GL SQ QM FBloco K - 1 SQBL -

A I – 1 SQA QMA QMA/QMRA

Erro a (I – 1)( K – 1) SQRA QMRA

Parcelas (IK – 1) SQPARC. -B (J – 1) SQB QMB QMB/QMRB

A x B (I – 1)(J – 1) SQ (A x B) QM (A x B) QM (A x B)/ QMRB

Erro b I(K – 1) (J – 1) SQRB QMRB

Total IJK - 1 SQTOTAL -

SQTO = ∑Y2IJK – C → C = G2 / IJK

SQA = 1 / JK ∑AI2 – C

SQBL = 1 / IJ ∑BLJ2 – C

SQPar = 1 / K ∑T2Parc – C

SQerro A = SQPparc – SQBL – SQA

SQB = 1 / IK ∑BK2 – C

SQ (A x B) = SQ (A,B) – SQA – SQBL

SQ (A,B) = SQTRAT = 1 / K ∑(AIBK)2 – C

SQRB = SQTO – SQPARC – SQB – SQ (A x B).

QMA = SQA / GLA

QMRA = SQRA / GLA

QMB= SQB/ GLB

QMRB = SQRB / GLB

QM A X B = SQ A X B / GLA X B

FA = QMA / QMRA

86

FB = QMB / QMRB

FA X B = QM A X B / QMRB

Interação não significativa

Este resultado indica que os efeitos entre os fatores ocorre de forma independente. Portanto recomenda-

se que as comparações dos níveis de um fator sejam feitas de forma geral em relação ao outro

fator, ou seja, independente dos níveis outro fator.

Interação significativa

Este resultado implica que os efeitos dos fatores atuam de forma dependente. Neste caso as comparações

entre os níveis de um fator levam em consideração o nível do outro fator, pois o resultado significativo

para a interação indica que o efeito de um fator depende do nível do outro fator.

Portanto, não é recomendado realizar o teste F para cada fator isoladamente tal como foi

apresentado para o caso da interação não- significativa. O procedimento recomendado é realizar o

desdobramento do efeito da interação.

Para realizar este desdobramento deve-se fazer uma nova análise de variância em que os níveis de um

fator são comparados dentro de cada nível do outro fator.

Procedimentos para os testes de comparações de média

Tem-se que considerar quais tratamentos estão em comparação e se a interação foi significativa ou não.

Após a análise de variância (interesse comparar médias)

Quatro tipos de contrastes entre médias.

Problema: consiste em usar a estimativa da variância apropriada.

A – Entre duas médias de tratamentos primários:

Interação não significativa entre tratamentos primários e secundários.

Informações da variância amostral e do GLRA que são utilizadas para realizar o teste desejado são

pertinentes ao resíduo (a) da ANOVA.

qα = f [ I; GLRA ]

B – Entre duas médias de tratamentos secundários:

Interação não significativa entre tratamentos primários e secundários.

Informações da variância amostral e do GLRB que são utilizadas para realizar o teste desejado são

pertinentes ao resíduo (b) da ANOVA.

qα = f [ J; GLRB ]

C – Entre duas médias de tratamentos secundários num mesmo tratamento primário:

Interação significativa entre tratamentos primários e secundários.

87

Informações da variância amostral e do GLRB que são utilizadas para realizar o teste desejado são

pertinentes ao resíduo (b) da ANOVA.

qα = f [ J; GLRB ]

D – Entre duas médias de tratamentos primários num mesmo tratamento secundário:

Interação significativa entre tratamentos primários e secundários.

Informações da variância amostral e do GLR são obtidos por uma composição do resíduo (a) com o

resíduo (b) denominado (QMR combinado).

qα = f [ I; n’]

Por uma composição do resíduo (A) e do resíduo (b) denominado de GL de Satterhwaitte (n’).

Ex 1: Para se estudar o brix de mangas de acordo com a variedade e a posição dos

frutos na planta, um pesquisador procedeu a coleta de 4 frutos, cada um deles de um ponto

cardeal, em cada um das 3 r e p e t i ç õ e s de cada uma das 5 variedades em teste. Com base

nos resultados (brix) fornecidos a seguir, pede-se usando o nível de 5% de probabilidade,

proceder a análise de variância.

VAR NORTE SUL LESTE OESTE TOTAIS PARC.

TOTAIS VAR.

118,0 17,1 17,6 17,6 70,3

210,717,5 18,8 18,1 17,2 71,617,8 16,9 17,6 16,5 68,8

216,3 15,9 16,5 18,3 67,0

191,816,6 14,3 16,3 17,5 64,715,0 14,0 15,9 15,2 60,1

316,0 16,2 17,9 16,1 66,2

196,019,5 14,9 15,0 15,3 64,716,3 16,4 16,0 16,4 65,1

416,6 15,2 14,2 15,5 61,5

194,315,9 13,2 18,0 17,3 64,417,5 15,8 16,7 18,4 68,4

518,9 18,6 15,3 17,0 69,8

211,318,5 13,7 18,2 18,3 68,721,5 16,4 18,3 16,6 72,8261,9 237,4 251,6 253,2 1004,1 1004,1

88

C = (1004,1)2 / 60 = 16.803,61

SQVA = 1 /12 (210,72 +...+ 211,32) – C = 29,55

SQPARC = 1 / 4 (70,32 +...+ 72,82) – C = 45,26

SQRA = SQPARC – SQV = 45,26 – 29,55 = 15,71

SQFA = 1 / 15 (261,92 +...+ 253,22) – C = 20,60

SQTO = (18,02 + 17,12 +...+ 16,62) – C = 137,58

→ Calcular a SQ (VA x FA): quadro auxiliar:

SQ (VA x FA) = SQ (VA,FA ) – SQVA – SQFA

SQ (VA,FA ) = 1 / 3 (53,32 + 47,92 +...+ 51,92) – C = 70,27

SQ (V x FA) = 70,27 – 29,55 – 20,60 = 20,12

SQRB = SQTO – SQP – SQFA – SQ (V x FA).

SQRB = 137,58 – 45,26 – 20,60 – 20,12 = 51,60

QMVA = SQV / GLV = 29,55 / 4 = 7,39

QMRA = SQRA / GLA = 15,71 / 10 = 1,57

QMFA = SQFA / GLFA = 20,60 / 3 = 6,87

QMRB = SQRB / GLB = 51,60 / 30 = 1,72

QM V X FA = SQ V X FA / GLV X FA = 20,12 / 12 = 1,68

FVA = QMV / QMRA = 7,39 / 1,57 = 4,71

FFA = QMFA / QMRB = 6,87 / 1,72 = 3,99

FV X FA = QM V X FA / QMRB = 1,68 / 1,72 = 0,97

Quadro da ANOVA:

FV GL SQ QM FVA 4 29,55 7,39 4,71*

Erro a 10 15,71 1,57Parcelas 14 45,26

FA 3 20,60 6,87 3,99*VA x FA 12 20,12 1,68 0,97ns

Erro b 30 51,60 1,72Total 59 137,58

Variedade: F5% (4,10) = 3,48Faces: F5% (3,30) = 2,92

89

Interação V x FA: F5% (12,30) = 2,09Conclusões

Existe pelo menos um contraste entre médias dos níveis da variedade e da face da árvore, com efeito

significativo, ao nível de 5 % de probabilidade.

Não houve interação entre os fatores VA x FA. Os fatores podem ser estudados isoladamente.


Aplicando o teste Tukey para os fatores V e FA, temos:

Variedades

A – Entre duas médias de tratamentos primários:

1 – Colocar as médias em ordem decrescente.

m5 = 17,61 a

m1 = 17,56 ab

m3 = 16,33 ab

m4 = 16,19 ab

m2 = 15,90 b

2 – Formar e calcular o valor de cada contraste.

Y1 = m5 – m1 = 17,61 – 17,56 = 0,05ns

Y2 = m5 – m3 = 17,61 – 16,33 = 1,28ns

Y3 = m5 – m4 = 17,61 – 16,19 = 1,42ns

Y4 = m5 – m2 = 17,61 – 15,90 = 1,71*

Y5 = m1 – m3 = 17,56 – 16,33 = 1,23ns

Y6 = m1 – m4 = 17,56 – 16,19 = 1,37ns

Y7 = m1 – m2 = 17,56 – 15,90 = 1,66ns

Y8 = m3 – m3 = 16,33 – 16,19 = 0,14ns

Y9 = m3 – m2 = 16,33 – 15,90 = 0,43ns

Y10 = m4 – m2 = 16,19 – 15,90 = 0,29ns

qα = f [ I; GLRA ]

∆ = 4,65 √1,57/12 = 1,67

q5% (5, 10) = 4,65

Conclusão: foi observado maior teor de sólidos solúveis em frutos de plantas proveniente da variedade

5 comparado com os frutos da variedade 2 a 5 % de probabilidade pelo teste Tukey.

B – Entre duas médias de tratamentos secundários:

Faces da planta

1 – Colocar as médias em ordem decrescente.

90

mN = 17,46 a

mO = 16,88 a b

mL = 16,77 a b

mS = 15,83 b

2 – Formar e calcular o valor de cada contraste.

Y1 = mN – mO = 17,46 – 16,88 = 0,58ns

Y2 = mN – mL = 17,46 – 16,77 = 0,69ns

Y3 = mN – mS = 17,46 – 15,83 = 1,63*

Y4 = mO– mL = 16,88 – 16,77 = 0,11NS

Y5 = mO – mS = 16,88 – 15,83 = 1,05NS

Y6 = mL – mS= 16,77 – 15,83 = 0,94NS

qα = f [ J; GLRB ]

∆ = 3,85 √1,72/15 = 1,30

q5% (4, 30) = 3,85

Conclusão: foi observado maior teor de sólidos solúveis em frutos de plantas proveniente da face norte

da planta comparado com os frutos da face sul a 5 % de probabilidade pelo teste Tukey.

Tabela 1 – Valores médios para o TSS (%) de frutos da manga em função da variedade e da face da planta. CCTA/UFCG, Pombal-PB, 2012.

Variedades Brix1 17,56 a2 15,98 b3 16,33 a4 16,19 a5 17,61 a

FacesNorte 17,46 aSul 15,83 b

Leste 16,77 abOeste 16,80 ab

* As médias seguidas pela mesma letra não diferem entre sí ao nível de 5% de probabilidade, pelo teste Tukey.

- Coeficiente de variação da parcela:

- Coeficiente de variação da subparcela:

91

EX 2: Os dados do experimento foram coletados em laboratório. Na parcela constaram de 4

tipos de cera (C1, C2, C3 e C4) e na subparcela de 4 filmes plásticos (F1, F2, F3, e F4) para

acondicionar frutos de morango. O experimento foi feito no DIC com 4 repetições. Os dados

abaixo (dados aleatórios) referem-se ao teor de vitamina C do fruto.

CER REP F1 F2 F3 F4 TOTAIS PARC.

TOTAIS PREP.

C11 42,9 41,6 28,9 30,8 144,2

679,32 53,8 58,5 43,9 46,3 202,53 49,5 53,8 40,7 39,4 183,44 44,4 41,8 28,3 34,7 149,2

C21 53,3 69,6 45,4 35,1 203,4

854,52 57,6 69,6 42,4 51,9 221,53 59,8 65,8 41,4 45,4 212,44 64,1 57,4 44,1 51,6 217,2

C31 62,3 58,5 44,6 50,3 215,7

868,92 63,4 50,4 45,0 46,7 205,53 64,5 46,1 62,6 50,3 223,54 63,6 56,1 52,7 51,8 224,2

C41 75,4 65,6 54,0 52,7 247,7

977,12 70,3 67,3 57,6 58,5 253,73 68,8 65,3 45,6 51,0 230,74 71,6 69,4 56,6 47,4 245,0

965,3 936,8 733,8 743,9 3.379,8

C = (3.379,8)2 / 64 = 178.485,13

SQC = 1 /16 (679,32 +...+ 977,12) – C = 2.848,02

SQPARC = 1 / 4 (144,22 +...+ 245,02) – C = 3.590,61

SQRA = SQC – SQV = 3.590,61 – 2.848,02 = 742,59

SQF = 1 / 16 (965,32 +...+ 743,92) – C = 2.842,87

SQTO = (18,02 + 17,12 +...+ 16,62) – C = 7.797,39

- Para calcular a SQ interação, vamos estruturar o quadro:

SQ (P x F) = SQ (P,F) – SQC – SQF

92

SQ (C,F) = 1 / 4 (190,62 + ...+ 209,62) – C = 6.309,19

SQ (C x F) = 6.309,19 – 2.848,02 – 2.842,87 = 618,30

SQRB = SQTO – SQPARC – SQF – SQ (C x F).

SQRB = 7.797,39 – 3.590,61 – 2.842,87 – 618,30 = 745,61

QMC = SQC / GLP = 2848,02 / 3 = 947,34

QMRA = SQRA / GLRA = 742,59 / 12 = 61,88

QMF = SQF / GLF = 2842,87 / 3 = 947,62

QMRB = SQRB / GLRB = 745,61 / 36 = 20,71

QM C X F = SQ C X F / GLP X F = 618,3 / 9 = 68,70

FC = QMC / QMRA = 947,34 / 61,88 = 15,31

FF = QMF / QMRB = 947,62 / 20,71 = 45,75

FC X F = QM C X F / QMRB = 68,70 / 20,71 = 3,32

Quadro da ANOVA:

FV GL SQ QM FC 3 2.848,02 947,34 15,31*

Erro a 12 742,59 61,88Parcelas 15 3.590,61

F 3 2.842,87 947,62 45,75*C x F 9 618,30 68,70 3,32*Erro b 36 745,61 20,71Total 63 7.797,39

Cera: F5% (3,12) = 3,49 Filmes: F5% (3,36) = 2,84Interação C x F: F5% (9,36) = 2,12

Conclusões

Houve interação entre os fatores C x F. Deve-se fazer o desdobramento da interação dos fatores C e F.


Comparações entre duas médias de tratamentos primários num mesmo tratamento secundário:


MC4/F1 = 71,53 a mC4/F2 = 66,90 a

mC3/F1 = 63,45 ab mC2/F2 = 65,60 a

mC2/F1 = 58,70 b mC3/F2 = 52,78 b

MC1/F1 = 47,65 c mC1/F2 = 48,92 b

93

↓ ↓

MC4/F3 = 53,45 a MC4/F4 = 52,40 a

MC3/F3 = 51,22 a MC3/F4 = 49,78 a

MC2/F3 = 43,33 ab MC2/F4 = 46,00 ab

MC1/F3 = 35,45 b MC1/F4 = 37,80 b

YC/F1

Y1 = mC4/F1 – mC3/F1 = 71,53 – 63,45 = 8,08 ns

Y2 = mC4/F1 – mC2/F1 = 71,53 – 58,70 = 12,83*

Y3 = mC4/F1 – mC1/F1 = 71,53 – 47,65 = 23,88*

Y4 = mC3/F1 – mC2/F1 = 63,45 – 58,70 = 4,75ns

Y5 = mC3/F1 – mC1/F1 = 63,45 – 47,65 = 15,80*

Y6 = mC2/F1 – mC1/F1 = 58,70 – 47,65 = 11,05*

YC/F2

Y1 = mC4/F2 – mC2/F2 = 66,90 – 65,60 = 1,30NS

Y2 = mC4/F2 – mC3/F2 = 66,90 – 52,78 = 14,12*

Y3 = mC4/F2 – mC1/F2 = 66,90 – 48,92 = 17,98*

Y4 = mC2/F2 – mC3/F2 = 65,60 – 52,78 = 12,82*

Y5 = mC2/F2 – mC1/F2 = 65,60 – 48,92 = 16,68*

Y6 = mC3/F2 – mC1/F2 = 52,78 – 48,92 = 3,86NS

YC/F3

Y1 = mC4/F3 – mC3/F3 = 53,45 – 51,22 = 2,23NS

Y2 = mC4/F3 – mC2/F3 = 53,45 – 43,33 = 10,12NS

Y3 = mC4/F3 – mC1/F3 = 53,45 – 35,45 = 18,00*

Y4 = mC3/F3 – mC2/F3 = 51,22 – 43,33 = 7,89NS

Y5 = mC3/F3 – mC1/F3 = 51,22 – 35,45 = 15,77*

Y6 = mC2/F3 – mC1/F3 = 43,33 – 35,45 = 7,88NS

YC/F4

Y1 = mC4/F4 – mC3/F4 = 52,40 – 49,78 = 2,62NS

Y2 = mC4/F4 – mC2/F4 = 52,40 – 46,00 = 6,40NS

Y3 = mC4/F4 – mC1/F4 = 52,40 – 37,80 = 14,60*

Y4 = mC3/F4 – mC2/F4 = 49,78 – 46,00 = 3,78NS

Y5 = mC3/F4 – mC1/F4 = 49,78 – 37,80 = 11,98*

Y6 = mC2/F4 – mC1/F4 = 46,00 – 37,80 = 8,20NS

94

; qα = f [ I; n’]

n’ = 28,86 ≈ 29 GL.

q 5% (4, 29) = 3,85

Conclusão YC/F1

Quando foi utilizado o tipo de filme plástico 1 foi observado maior teor de vitamina C na polpa do fruto

da goiaba associado com o tipode cera 4 comparado aqueles frutos que receberam o tipo de cera 2 e 1 a

5 % de probabilidade pelo teste Tukey.

Conclusão YC/F2

Quando foi utilizado o tipo de filme plástico 2 foi observado maior teor de vitamina C na polpa do fruto

da goiaba associado com o tipo de cera 4 e 2 comparado aqueles frutos que receberam o tipo de cera 2 e

1 a 5 % de probabilidade pelo teste Tukey.

Conclusão YC/F3 e YC/F4

Quando foi utilizado o tipo de filme plástico 3 e 4 foi observado maior teor de vitamina C na polpa do

fruto da goiaba associado com o tipo de cera 4 comparado aqueles frutos que receberam o tipo de cera 1

a 5 % de probabilidade pelo teste Tukey.

Comparações entre duas médias de tratamentos secundários num mesmo tratamento primário:

Métodos de comparações múltiplas: B/A níveis.

mF2/c1 = 48,92 A mF2/c2 = 65,60 A

mF1/c1 = 47,65 A mF1/c2 = 58,70 A

mF4/c1 = 37,80 B mF4/c2 = 46,00 B

mF3/c1 = 35,45 B mF3/c2 = 43,33 B

95

mF1/c3 = 63,45 A mF1/c4 = 71,53 A

mF2/c3 = 52,78 B mF2/c4 = 66,90 A

mF3/c3 = 51,22 B mF3/c4 = 53,45 B

mF4/c3 = 49,78 B mF4/c4 = 52,40 B

YF/C1

Y1 = mF2/C1 – mF1/C1 = 48,92 – 47,65 = 1,27NS

Y2 = mF2/C1 – mF4/C = 48,92 – 37,80 = 11,12*

Y3 = mF2/C1 – mF3/C1 = 48,92 – 35,45 = 13,45*

Y4 = mF1/C1 – mF4/C1 = 47,65 – 37,80 = 9,85*

Y5 = mF1/C1 – mF3/C1 = 47,65 – 35,45 = 12,2*

Y6 = mF4/C1 – mF3/C1 = 37,80 – 35,45 = 2,35NS

YF/C2

Y1 = mF2/C2 – mF1/C2 = 65,60 – 58,70 = 6,90NS

Y2 = mF2/C2 – mF4/C2= 65,60 – 46,00 = 19,60*

Y3 = mF2/C2 – mF3/C2 = 65,60 – 43,33 = 22,27*

Y4 = mF1/C2 – mF4/C2 = 58,70 – 46,00 = 12,70*

Y5 = mF1/C2 – mF3/C2 = 58,70 – 43,33 = 15,37*

Y6 = mF4/C2 – mF3/C2 = 46,00 – 43,33 = 2,67NS

YF/C3

Y1 = mF1/C3 – mF2/C3 = 63,45 – 52,78 = 10,67*

Y2 = mF1/C3 – mF3/C3= 63,45 – 51,22 = 12,23*

Y3 = mF1/C3 – mF4/C3 = 63,45 – 49,78 = 13,67*

Y4 = mF2/C3 – mF3/C3 = 52,78 – 51,22 = 1,56NS

Y5 = mF2/C3 – mF4/C3 = 52,78 – 49,78 = 3,00NS

Y6 = mF3/C3 – mF4/C3 = 51,22 – 49,78 = 1,44NS

YF/C4

Y1 = mF1/C3 – mF2/C3 = 71,53 – 66,90 = 4,63NS

Y2 = mF1/C3 – mF3/C3= 71,53 – 53,45 = 18,08*

Y3 = mF1/C3 – mF4/C3 = 71,53 – 52,40 = 19,13*

Y4 = mF2/C3 – mF3/C3 = 66,90 – 53,45 = 13,45*

Y5 = mF2/C3 – mF4/C3 = 66,90 – 52,40 = 14,50*

Y6 = mF3/C3 – mF4/C3 = 53,45 – 52,40 = 1,05NS

qα = f [ J; GLRB ]96

∆ = 3,79 √20,71/4 = 8,62

Q5% (4, 36) = 3,79

Conclusão YF/C1 e YF/C2

Quando foi utilizado o tipo de ceras 1 e 2 foi observado maior teor de vitamina C na polpa do fruto da

goiaba associado com o tipo de filme plástico 2 e 1 comparado aqueles frutos que foram acondicionados

com o tipo de filme plástico 4 e 3 a 5 % de probabilidade pelo teste Tukey.

Conclusão YF/C3

Quando foi utilizado o tipo de cera 3 foi observado maior teor de vitamina C na polpa do fruto da goiaba

associado com o tipo de filme plástico 1 comparado aqueles frutos que foram acondicionados nos

demais tipos de filmes plásticos (2, 3 e 4) a 5 % de probabilidade pelo teste Tukey.

Conclusão YF/C4

Quando foi utilizado o tipo de cera 4 foi observado maior teor de vitamina C na polpa do fruto da goiaba

associado com o tipo de filme plástico 1 e 2 comparado aqueles frutos que foram acondicionados nos

filmes plásticos 3 e 4 a 5 % de probabilidade pelo teste Tukey.

Tabela 1 – Valores médios de teor de vitamina C em função do tipo de cera e do filme plástico em frutos de goiaba em Pombal – PB. CCTA/UFCG, 2012.

Teor de Vitamina C (mg.100 g de amostra)Filme plástico

Preparo F1 F2 F3 F4P1 47,65 c A 48,92 b A 35,45 b B 37,80 b BP2 58,70 ab A 65,60 a A 43,33 ab B 46,00 ab BP3 63,45 a A 52,78 b B 51,22 a B 49,78 a BP4 71,53 a A 66,90 a A 53,45 a B 52,40 a B

Nas colunas, as médias seguidas pela mesma letra minúscula e nas linhas pela mesma letra maiúscula, não diferem entre sí pelo teste de Tukey ao nível de 5 % de probabilidade.

97

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃOCENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR

DISCIPLINA: ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL -2013.2LISTA DE EXERCÍCIOS – 1a AVALIAÇÃO

PROFESSOR: ROBERTO QUEIROGA

Questão 1:a – Defina ensaio experimental, tratamentos, parcelas e delineamento experimental.b – Faça um croqui (disposição dos tratamentos no plano experimental) de um experimento no delineamento inteiramente casualizado que testou 4 temperaturas de armazenamento (2, 4, 6 e 80C) sob a vida útil de frutos de morango com 5 repetições por tratamento. Cada parcela constava de 8 frutos e uma área de 0,40m2. Com base nos dados acima, responda:- Qual a característica avaliada: - Quais e quantos são os tratamentos: - Qual o número de unidades experimentais:- Calcule a área do experimento e o número de frutos necessários para a realização do experimento:- Faça o croqui do experimento no DIC:c – Quais os 3 princípios básicos da experimentação? Defina e comente a finalidade destes.d – Quais as vantagens e desvantagens de um delineamento inteiramente casualizado. e – Qual a finalidade do teste F da análise de variância. f – Cite 3 fatores que podem influenciar no momento de determinar o tamanho de uma parcela.g – Diferencie população e amostra.

Questão 2:

- Um fabricante de móveis realizou um experimento para verificar qual dentre cinco marcas de verniz proporciona maior brilho. Com esta finalidade, procedeu da seguinte forma:- Em sua fábrica identificou amostras de madeira que estariam disponíveis para a realização deste experimento. Verificou que possuía cinco tábuas de Jatobá, cinco tábuas de Cerejeira, cinco tábuas de Mogno, cinco tábuas de Goiabão e cinco tábuas de Castanheira. Constatou também que as cinco tábuas de cada tipo de madeira eram homogêneas para as características essenciais e que havia uma grande variedade de cores entre os cinco tipos de madeira (Jatobá, Cerejeira, Mogno, Goiabão e Castanheira). Sabe-se que a cor da madeira pode influenciar muito o brilho da mesma quando envernizada;

- Resolveu então distribuir ao acaso as cinco marcas de verniz às tábuas de madeira, de tal forma que cada tipo de madeira fosse testada com todas as marcas de verniz;- O brilho foi medido por meio de um aparelho que mede a refletância da luz branca projetado sobre a tábua de madeira envernizada;

- Baseado nas informações deste experimento, pergunta-se:a - Qual foi a unidade experimental utilizada neste experimento? Justifique sua resposta.b - Quais foram os tratamentos comparados neste experimento? Justifique a sua resposta.c - Quais foram os princípios básicos da experimentação utilizados neste experimento? Justifique a sua resposta.

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d - É possível estimar o erro experimental neste experimento? Justifique a sua resposta. Se a resposta for afirmativa, a estimativa do erro é válida? Justifique. Se a resposta foi negativa, explique o que deveria ser feito para obter uma estimativa válida para o erro experimental.e - O que faz surgir o erro num experimento? É possível eliminar totalmente o efeito do erro experimental em um experimento? Justifique a sua resposta.f - O procedimento adotado pelo pesquisador de distribuir as marcas de verniz ao acaso dentro de cada tipo de madeira foi realmente necessário? Justifique a sua resposta.

Questão 3:

– Os dados abaixo são de um experimento realizado no delineamento inteiramente casualizado (DIC) que avaliou a produtividade do meloeiro (t.ha-1) em função de quatro espaçamentos de plantio com quatro repetições por tratamento.

Produtividade do meloeiro (t.ha-1)Repetições

Tratamentos I II III IV Totais1 – 2,0 x 0,5 m 26,3 27,5 26,1 26,62 – 2,0 x 0,75 m 26,4 24,4 25,7 28,23 – 2,0 x 1,0 m 19,1 22,2 23,1 20,54 – 2,0 x 1,25 m 18,3 17,6 21,6 19,8

G =

a - Faça a análise de variância do experimento e conclua.b – Calcule o coeficiente de variação da característica em análise. c - Faça a decomposição da soma de quadrados de tratamento em contrastes ortogonais. Testar os seguintes contrastes (C1 = 3m1 – m2 – m3 – m4; C2 = 2m2 – m3 – m4; C3 = m3 – m4) e conclua. d - Aplique o teste de Tukey, Duncan, Newman-Keuls, Dunnett, teste t (C = 2m2 – m3 – m4) e de Sheffé (C = m3 – m4) e conclua. Utilizar para o teste Dunnett o tratamento 4 (2,0 x 1,25 m) como testemunha.

Questão 4: – Os dados da tabela são de um experimento realizado no delineamento inteiramente casualizado que avaliou a massa do fruto (g.fruto-1) de tomate cultivado em estufa em hidroponia submetido a 3 soluções nutritivas composta por diferentes concentrações de nutrientes: soluções 1, 2 e 3.

Massa do fruto (g.fruto-1)Repetições

Tratamentos I II III IV Totais1 – Solução nutritiva 1 (Test.) - 62,7 61,5 62,32 – Solução nutritiva 2 70,5 71,5 72,2 74,23 – Solução nutritiva 3 64,4 65,5 66,9 -

G =

a-) Faça a análise de variância e conclua.

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b-) Faça a decomposição da soma de quadrados de tratamento em contrastes ortogonais. Testar os contrastes (C1 = 2m2 – m1 – m3; C2 = m1 – m3) e conclua.c-) Aplique o teste de Tukey, Duncan, Newmann Keulls, Dunnett, t de student (C = 2m 2 – m1 – m3) e Sheffé (C = m1 – m3). Utilizar para o teste Dunnett o tratamento 1 (solução nutritiva 1) como testemunha.

Questão 5:– Os dados abaixo são de um experimento que avaliou o teor de sólidos solúveis em frutos de melancia em função de 5 dosagens de nitrogênio aplicadas as plantas (0, 50, 100, 150 e 200 kg/ha) em quatro repetições.

Teor de sólidos solúveisRepetições

Dose de N (kg/ha) I II III IV Totais0 9,80 10,20 11,30 10,7050 10,50 10,90 11,55 10,95100 11,50 11,60 12,00 12,90150 12,50 12,80 13,10 13,50200 13,50 14,00 14,50 14,20

G =

a-) Faça a análise de variância para a característica em análise.b-) Faça a análise de regressão obtendo os parâmetros da equação de regressão linear simples..c-) Qual o valor estimado do teor de sólidos solúveis dos frutos de melancia caso a cultura fosse adubada com uma dose de 130 kg ha-1 de N.d) Calcule e interprete o coeficiente de determinação.e-) Calcule o coeficiente de variação da característica em análise.

Questão 6:- Num experimento, 4 novos tipos de herbicida foram comparados para verificar se são eficazes para combater ervas daninhas e assim manter a produção de milho em níveis elevados. Um resumo do experimento é dado a seguir:

Herbicida Média de produção (kg/ha) Repetições

1 – Biológico 46 42 – Químico à base de nitrogênio e enxofre 31 43 – Químico à base de nitrogênio e fósforo 32 44 – Químico à base de inativadores enzimáticos 25 4

Suponha que seja de interesse testar o seguinte contraste entre as médias de

tratamentos C1 = 3m1 − m2 − m3 − m4 . Suponha ainda que todos os tratamentos possuam

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uma mesma variância e que sua estimativa é igual a 35 (kg / ha)2 . Pergunta-se:

a - Qual a comparação que está sendo feita pelo contraste C1? Qual a estimativa para este contraste?b - Por meio da estimativa obtida para o contraste C1 pode-se AFIRMAR que exista um grupo melhor de herbicidas do que outro? Justifique a sua resposta.c - Qual a estimativa da variância para a estimativa do contraste C1?

d - Forme um grupo de contrastes ortogonais a partir do contraste C1. Descreva qual comparação que está sendo feita por cada contraste que você obteve. Baseando-se nos dados amostrais fornecidos, obtenha também a estimativa para cada um dos contrastes.

Questão 7:

- Os seguintes dados referem-se a ganhos de peso, em kg, de animais durante um período experimental.

Repetições

Rações 1 2 3 4 TotaisA 7,1 8,9 6,0 7,0 29,0B 6,2 8,8 4,9 6,1 26,0C 6,0 5,0 9,1 3,9 24,0D 11,1 10,8 10,2 11,9 44,0E 7,0 11,3 10,0 11,7 40,0

163,0

- Tais dados são descritos segundo o modelo estatístico: Yij = m + ti + eij. Baseando nas informações fornecidas, pede-se:a - Proceda a análise de variância dos dados (use α = 5%).

b - De acordo com o resultado do teste F pode-se concluir que existe efeito significativo de rações com relação ao ganho de peso médio proporcionado pelas mesmas?c - Proponha um contraste que compare as rações B e C juntas contra as rações D e E. Obtenha a estimativa para este contraste.d - Calcule o coeficiente de variação e interprete-o.

Questão 8:

- Um experimento para avaliar a influência de 4 tipos de aleitamento no ganho de peso de leitões foi conduzido utilizando-se o delineamento inteiramente casualizado com 4 repetições. Foram obtidos os seguintes resultados parciais:

Tratamentos 1 2 3 4Totais 37,2 44,8 31,6 32,8

FV GL SQ QM F

TratamentoResíduo

26,76

Total 33,82

- Complete o quadro quadroquadro

da ANOVA e

e, considerando-se α= 1%, responda qual(is) o(s)

melhor(es) tipo(s) de aleitamento. (Use o teste de Tukey, se necessário).

Questão 9:

- Para o seguinte conjunto de valores de X (variável independente) e Y (variável dependente), faça a análise de regressão segundo o modelo linear de 1º grau e obtenha a equação de regressão estimada.

X 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Y 10,3 18,2 25,1 35,6 43,0 50,0 59,1 67,8 75,2 85,0

Questão 10:

- Para verificar se existe uma relação linear de 1º grau entre Umidade Relativa (UR) do ar da secagem de sementes e a germinação das mesmas, um pesquisador realizou um teste com 4 diferentes valores para a % de UR do ar que atravessava as sementes armazenadas, obtendo-se os seguintes valores amostrais:

UR (%) 20 30 40 50Germinação (%) 94 96 97 99




Questão 1:

– Faça um croqui (disposição dos tratamentos no plano experimental) de um experimento no delineamento de blocos ao acaso e outro no delineamento em quadrado latino com 5 tratamentos e 5 repetições. Os tratamentos constaram de 5 tipos de adubos orgânicos (estercos) aplicados no solo visando a melhoria de suas qualidades físico-químicas, codificados por letras (A, B, C, D e E). Considere a área da parcela igual a 2,0 m2 e que em cada parcela serão aplicados 20 kg de esterco. Com base nessas afirmações responda para o DBC e depois para o DQL:

a) Qual o número de parcelas do DBC e DQL?b) Qual a área total do experimento nos dois delineamentos?c) Quantos kg de estercos serão necessários para utilização no experimento nos dois delineamentos?d) Cite duas diferenças entre DBC e DQL.

Questão 2:

– Os dados abaixo são de um experimento realizado no delineamento blocos casualizados que avaliou a concentração de P em quatro tipos de substratos utilizados para produção de mudas de espécies florestais destinadas a área de reflorestamento, em 4 repetições.

Concentração de PBlocos

Substratos I II III IV Totais de substratos

1 26,3 27,5 26,1 26,62 26,4 24,4 25,7 28,23 19,1 22,2 23,1 20,54 18,3 17,6 21,6 19,8

Totais Blocos G =

a - Faça a análise de variância do experimento.b - Faça a decomposição da soma de quadrados de tratamento em contrastes ortogonais. Testar os contrastes (C1 = 3mA – mB – mC – mD; C2 = 2mB – mC – mD; C3 = mC – mD) e conclua.c - Aplique o teste de Tukey e Duncan e conclua.

Questão 3:

- Os dados abaixo, se referem a um experimento instalado segundo o DBC, em que os tratamentos, 5 produtos comerciais para suprir deficiência de micronutriente em caprinos, foram fornecidos aos animais os quais foram separados em 3 grupos segundo a idade. Os resultados obtidos, expressos em ppm de micronutriente/ml de sangue, foram os seguintes:

Produtos comerciais

Bloco 1 2 3 4 5 Totais1 83 86 103 116 132 5202 63 69 79 81 98 3903 55 61 79 79 91 365

Totais 201 216 261 276 321 1275

- Pede-se proceder a ANOVA e aplicar o teste Tukey e Duncan, usando o nível de 5% de probabilidade.

Questão 4:

- Os dados abaixo são de um experimento realizado no delineamento blocos casualizados que avaliou a altura de mudas de Pinus (cm) quando as plantas foram submetidas a 4 doses de nitrogênio em 4 repetições.

Altura de mudas (cm)Blocos

Doses de nitrogênio (kg.ha-1)

I II III IV Totais Doses

0 14,3 15,5 16,1 15,640 18,4 18,7 19,9 17,580 19,1 22,2 20,5 20,7160 22,2 24,6 23,6 24,1

Totais Blocos G =

a - Faça a análise de variância.b - Aplique o procedimento pós-análise de variância recomendado para o experimento.

Questão 5:

– Os dados da tabela são de um experimento realizado no delineamento blocos casualizados que apresentou uma parcela perdida e avaliou a produtividade (t ha-1) de madeira de Eucaliptus cultivado em diferentes solos (1 – argilo arenoso, 2 – argiloso, e 3 – arenoso) com 4 repetições.

ProdutividadeBlocos

Tipos de solos I II III IV Totais Tratamentos

1 - Argilo - arenoso - 64,7 63,5 64,32 - Argiloso 72,5 73,5 74,2 76,23 - Arenoso 66,4 67,5 68,9 66,7

Totais Blocos G =

a - Calcule o valor da parcela perdidab - Faça a análise de variância e conclua com base no valor de F.b-) Faça a decomposição da soma de quadrados de tratamento em contrastes ortogonais. Testar os contrastes (C1 = 2m2 – m1 – m3; C2 = m1 – m3) e conclua.c-) Aplique o teste de Tukey e Duncan e conclua.

Questão 6:

- Com a finalidade de aumentar a produção de lã de suas ovelhas, por meio de uma alimentação mais apropriada um criador separou 28 ovelhas de sua criação. Como as ovelhas eram de idades diferentes, dividiu-as em 7 grupos, sendo que dentro de cada um destes grupos havia 4 ovelhas de mesma idade e homogeneidade para as demais características. Dentro de cada grupo foi realizado um sorteio para distribuir ao acaso, os 4 Tipos de Alimentação (TA) às ovelhas do grupo. O experimento se iniciou logo após as ovelhas terem sido submetidas a uma tosquia e se encerrou quando já era o momento de se realizar uma nova tosquia da qual foram obtidos os seguintes resultados, expressos em unidade de medida de lã por animal:

gruposTA 1 2 3 4 5 6 7 Totais1 30 32 33 34 29 30 33 2212 29 31 34 31 33 33 29 2203 43 47 46 47 48 44 47 3224 23 25 21 19 20 21 22 151

Totais 125 135 134 131 130 128 131 914

- Com base nas informações anteriores, pede-se ( α = 1% ):

a - Qual o tipo de delineamento experimental que o criador utilizou? Justifique suaresposta.

b - Existe diferença entre os tipos de alimentação fornecidos às ovelhas com relação a produção de lã?c – Com base no teste Tukey, qual (is) seria (m) o (s) tipo (s) de alimentação a ser (em) recomendados as ovelhas?

Questão 7:

- O resumo da Análise de Variância de um experimento instalado segundo o Delineamento em Blocos Casualizados, para verificar se existe diferença entre 5 tipos de Levedura na produção de cerveja, é fornecido a seguir:

FV GL QM FBlocos

Tratamentos Resíduo

3 ---

4,895

---

Total

- Totais de tratamentos: T1 = 12,0; T1 = 25,2; T1 = 22,0; T1 = 24,0; T1 = 45,6.

- Ao nível de 5% de probabilidade, pede-se:

a - Existe diferença entre os 5 tipos de Levedura, na produção de cerveja?B - Pelo teste Tukey, qual(is) o(s) tipo(s) de Levedura que apresentou(aram) maior produção?C - Pelo teste Duncan, qual(is) o(s) tipo(s) de Levedura que apresentou(aram) menor produção?

Questão 8:

– Num experimento de competição de variedades de cana-de-açúcar foram usadas 5 variedades (A, B, C, D e E) dispostas em um quadrado latino de 5 x 5. A área foliar formada em g por parcela foi dada na tabela seguinte:

Área foliar (g por parcela)Totais de

linhasD 447 A 528 B 468 C 598 E 351C 739 E 498 A 534 B 560 D 415E 509 B 394 C 571 D 312 A 430B 504 D 515 E 333 A 496 C 516A 525 C 675 D 453 E 414 B 328

Total de colunas

a - Faça a análise de variância.b - Aplique o teste de Tukey e Duncan e conclua.c – Calcule e interprete o coeficiente de variação.

Questão 9:– Foi realizado um experimento que avaliou o diâmetro do caule de plantas de Sabiá em função de quatro espaçamentos de plantio que foram dispostos em um quadrado latino de 4 x 4. O diâmetro do caule (cm) é dado na tabela seguinte:

Totais de linhasD 2,55 A 3,87 B 3,45 C 1,89C 1,25 B 3,39 A 1,54 D 2,61B 3,33 D 3,06 * C A 4,55A 3,45 C 1,46 D 2,87 B 3,66

Total de colunas* Parcela perdida.

a - Calcule o valor da parcela perdida.b - Faça a análise de variância e conclua com base no valor de F.c - Aplique o teste de Tukey e Duncan e conclua.

Questão 10: - Um experimento foi conduzido numa região do Pantanal com o objetivo de selecionar forrageiras que garantissem uma maior produção de matéria seca. Foi utilizado o delineamento em quadrado latino, buscando controlar diferenças de fertilidade em duas direções, sendo avaliadas 7 forrageiras (A, B, C, D, E, F, G). Foram obtidos os seguintes resultados parciais com a realização do experimento:

Tratamentos A B C D E F GTotais 30,8 25,2 19,6 14,0 13,3 9,8 8,4

Linhas 1 2 3 4 5 6 7Totais 18,9 19,9 14,5 18,1 15,6 17,4 16,7

SQTotal = 72,36 e SQColunas=1,27.

- Verificar se existe efeito significativo de forrageiras, pelo teste F, e concluir para α =1%.

Questão 11:- Um pesquisador instalou um experimento para comparar 5 tipos de bacilos (A, B, C, D, e E) usados para produção de iogurte. No momento da instalação do experimento, o pesquisador verificou que o material experimental disponível (25 unidades de 1 litro de leite) não era completamente homogêneo entre si, pois apresentavam variação quanto ao teor de gordura e grau de acidez. Para controlar estas duas fontes de variação, o pesquisador distribuiu os bacilos ao acaso às amostras de leite de tal forma que cada bacilo pudesse ser testado em todas as condições de teor de gordura e grau de acidez. O quadro dado a seguir ilustra a distribuição dos bacilos às amostras de leite bem como o volume (em ml) de iogurte produzido:

Grau de acidezTeor de gordura

1 2 3 4 5 Totais

1 450 A 620 E 680 C 620 D 780 B 31502 750 C 990 B 750 E 660 A 830 D 39803 750 D 910 C 690 A 990 B 760 E 41004 650 E 890 D 835 B 850 C 875 A 41005 750 B 720 A 850 D 770 E 890 C 3980

Totais 3350 4130 3805 3890 4135 19310

TA = 3395 TB = 4345 TC = 4080 TD = 3940 TE = 3550

- Com base nas informações fornecidas, pergunta-se:

a - Qual foi a unidade experimental utilizada?b - Quais foram os tratamentos em teste?c - Quantas vezes o princípio do controle local foi utilizado neste experimento?d - Qual foi o Delineamento experimental utilizado nesta pesquisa?e - Usando os dados experimentais fornecidos anteriormente e o teste F para testar a fonte de variação bacilos, pode-se concluir que ao nível de 5% de probabilidade que:

- Existe pelo menos um contraste entre médias de bacilos estatisticamente diferente de zero- O teste de Tukey indica que o(s) bacilo(s) que proporciona(m) maior(es) média(s)de produção de iogurte é (são) (use o nível de 5% de significância) foi(ram):

a) o bacilo A b) o bacilo B c) o bacilo C d) o bacilo D e) o bacilo Ef) os bacilos A, B e C g) os bacilos B, C e D h) os bacilos C, D e E i) os bacilos A, D e Ej) nenhuma das alternativas anteriores




Questão 1:

– Faça um croqui (disposição dos tratamentos no plano experimental) de um experimento montado no DIC e no DBC em fatorial do tipo 3 x 3 [fator A: 3 tipos de adubos químicos (A 1, A2 e A3) e fator B: 3 espaçamentos de plantio (E1, E2 e E3) e outro croqui no DIC e DBC em parcelas subdivididas do tipo 2 x 3 [parcela: 2 tipos de substrato (S1 e S2) e na subparcela : 3 variedades de sabiá (V1, V2 e V3). Em todos os experimentos constam 3 repetições. OBS 1: no experimento em fatorial cada parcela constava de uma área de 5,0 m2. Qual a área total ocupada com as parcelas do experimento?OBS 2: No experimento em parcelas subdivididas cada subparcela constava de uma área de 2,0 m2. Qual a área total ocupada com as parcelas do experimento? Questão 2:

– Defina tratamentos, fator, nível, parcela, subparcela, coeficiente de variação e interação entre fatores.

Questão 3:

– Os dados abaixo são de um experimento realizado no delineamento inteiramente casualizados em fatorial 2 x 4 com 5 repetições. O fator A constava de duas variedades de milho (V1 e V2) e o fator B de quatro doses de N (0, 50, 100 e 150 kg.ha -1). Os resultados abaixo são referentes à produtividade (kg/parcela).

Tratamentos RepetiçõesVariedades Doses de N I II III IV V

V1 0 12 11 10 11 11V1 50 15 14 16 17 18V1 100 16 19 19 20 21V1 150 24 23 21 20 26V2 0 8 7 6 8 7V2 50 12 14 13 16 11V2 100 18 17 19 16 20V2 150 22 24 23 21 20

a) Faça a análise de variância. De acordo com os resultados do teste F, tome a decisão correta para a complementação da análise estatística do experimento aplicando o procedimento Pós Anova recomendado.

b) Qual a produtividade estimada de milho se fosse aplicada uma dose de 135 kg.ha -1 de N

Questão 4:

– Os dados abaixo são de um experimento realizado no delineamento de blocos ao acaso em fatorial 2 x 2 com 5 repetições. O fator A constava de água captada de fontes diferentes (F 1 e

F2) e o fator B de dois métodos de irrigação (M1 e M2). Os resultados abaixo são referentes à altura de plantas (cm) de Eucaliptus aos 2 anos de cultivo.

Tratamentos BlocosFontes água Métodos I II III IV V

F1 M1 100 104 100 105 102F1 M2 112 115 115 115 114F2 M1 102 105 105 106 104F2 M2 111 115 116 119 115


b) Calcule e interprete o coeficiente de variação para a característica em análise.

Questão 5:

- Foi realizada uma pesquisa para testar dois tipos de ambiente (com luz artificial e sem luz artificial no período da noite) e dois tipos de ração (com cálcio e sem cálcio). Para tanto foram utilizadas 24 poedeiras similares, escolhidas aleatoriamente. Ao final da avaliação foram obtidos os seguintes resultados (ovos/poedeira):

Ração com luz artificial sem luz artificialcom cálcio 50 52 48 54 52 50 49 52 50 48 46 45sem cálcio 42 44 46 43 44 45 40 40 38 39 41 43

- Ao nível de 1% de probabilidade e admitindo que se trata de um experimento instalado segundo o DIC, pede-se:

a) Pode-se afirmar que o tipo de Ração e o tipo de Ambiente atuam independentemente na produção de ovos?b) Qual seria o tipo de Ração recomendada? (Use o teste Tukey se necessário).c) Qual seria o tipo de Ambiente recomendado? (Use o teste Tukey se necessário).

Questão 6:- Para se avaliar o comportamento de 4 espécies de fungos (A, B, C e D) com relação ao crescimento em meio mínimo (m.m.) com (c/) ou sem (s/) a fonte nutritiva extrato de levedura, foi realizado um experimento fatorial 4x2 no D.B.C. com 5 repetições. Após a coleta e tabulação dos dados (numa unidade de medida qualquer) foi montado o seguinte quadro de interação de totais de tratamentos:

Meio Fungo A Fungo B Fungo C Fungo D Totaism.m.c/ 52 60 60 90 262m.m s/ 50 56 40 40 186Totais 102 116 100 130 448

A análise de variância dos dados no computador forneceu o seguintequadro (incompleto) da ANOVA:

F.V. G.L. QMFator A 1 144,40Fator B 3 19,40Int. AxB 49,20

(Trat) ----Blocos ----

Resíduo 10,00Total

- Com base nos resultados fornecidos acima, pede-se: (obs.: use α=1%).

a) Cada valor interno no quadro de interação acima veio de quantasobservações? Justifique.

b) Complete a coluna de G.L. do quadro acima, explicando como obteve cada um deles.

c) A que se refere o Fator A do quadro da ANOVA acima? E o Fator B? Justifique suas respostas.

d) Os fatores em estudo atuam independentemente na variável em análise (crescimento)? Justifique sua resposta.

e) Qual meio de cultura (meio mínimo com extrato de levedura ou meio mínimo sem extrato de levedura) você usaria para propiciar um maior crescimento do fungo B? Justifique sua resposta.

Questão 7:

- Em um experimento no esquema fatorial, com dois fatores qualitativos A e B, em que se deseja estudar os efeitos dos dois fatores, qual procedimento deve-se adotar quando:

A) A interação for não significativa.B) A interação for significativa

Questão 8:- Em um experimento fatorial em que foram combinados 4 níveis do fator A com 2 níveis do fator B, no delineamento em Blocos Casualizados com 5 repetições, são dados:

Níveis de A A1 A2 A3 A4Totais 198 184 162 154

SQResíduo = 223,9680

- Admitindo que os fatores atuam independentemente, aplicar o testeTukey aos níveis do fator A a 5 %.

Questão 9:- Uma fábrica de automóveis realizou um experimento fatorial segundo o delineamento inteiramente casualizado com seis repetições, para verificar o efeito de dois fatores sobre o consumo de combustível. O primeiro fator se refere ao método de aceleração: eletrônica (A1) ou via cabo mecânico (A2). O outro fator se refere ao porte do motor: pequeno (B1), médio (B2) ou grande (B3). Os níveis destes dois fatores foram combinados, obtendo-se um total de seis tratamentos. Foram montados 36 carros e o consumo destes carros, expresso em km/l, foram medidos. Os totais observados para cada tratamento foram

Totais de TratamentosFator A

Fator B A1 A2 TotaisB1 73 69 142B2 85 79 164B3 58 52 110

Totais 216 200 416

FV GL SQ QM FA 7,11B

A*B122,99

TratamentosResíduo 48,67

Total 178,89

- Baseado nestas informações e usando o nível de 1% de signficância, pede-se:

a) Os fatores método de aceleração e porte do motor atuam independentemente sobre o consumo de combustível dos carros? Justifique a sua resposta.b) Qual método de aceleração proporciona maior consumo? Utilize o teste de Duncan se necessário. Justifique a sua resposta.

Questão 10:- Em um experimento instalado segundo o delineamento inteiramente casualizado, com 4 repetições, foram estudados os fatores A e B, com 3 e 2 níveis respectivamente. Deste experimento, são fornecidas as seguintes informações:

FV GL SQ QM FA 92,86B

AxB19,08

(Trat) Resíduo

(175,70)

Total 198,70

Fator B

A1Fator A

A2 A3Totais

B1 102,6 103,5 80,2 286,3B2 101,3 78,3 85,3 264,9

Totais 203,9 181,8 165,5 551,2

- Com base nas informações fornecidas, pede-se (use o nível de 1% de significância:a) Os fatores A e B atuam independentemente?

b) Existe diferença entre os níveis de A dentro do nível B1?c) Qual o nível de B apresenta maior média dentro do nível A2? Use oteste de Tukey, se necessário.

Questão 11:– Os dados abaixo são de um experimento realizado no delineamento inteiramente casualizado em parcelas subdivididas 2 x 3. Na parcela constou de 2 variedades de Ipê Amarelo (V1 e V2) e nas subparcelas 3 métodos de plantio (M1, M2 e M3) com 4 repetições. Os resultados abaixo são referentes ao diâmetro (cm) de plantas de Eucaliptus medido a 1,80m do solo.

Tratamentos RepetiçõesVariedades Métodos plantio I II III IV

V1 M1 40 45 44 48V1 M2 35 33 34 36V1 M3 30 33 32 34V2 M1 50 51 54 49V2 M2 44 45 47 41V2 M3 40 38 34 35


b) Calcule o coeficiente de variação da parcela e da subparcela para a característica em análise.

Questão 12:- Um pesquisador, com o objetivo de verificar o efeito da dose de adubação fosfatada e o seu tipo de aplicação na cultura do milho, instalou um experimento no qual cada uma as doses de adubação fosfatada constituíram as parcelas as quais foram distribuídas segundo o DBC e o tipo de aplicação as subparcelas. Com base nos resultados fornecidos abaixo, referentes a produção de milho (kg/ha), pede-se ao nível de 5% de probabilidade, proceder a análise de variância e ao teste Tukey quando necessário.

Blocos

Doses Tipos de Aplicação

I II III

IV

Totais de tratamentoscov

a3778 3618 2164 3996 1355

60 sulco

3467 4284 3773 3280 14804lanç

o3422 3760 2747 2853 1278

2Totais de Parcelas

10667 11662 8684 10129cova

3302 2671 2782 2502 1125740 sulc

o3653 2653 3529 2258 1209

3lanço

3711 3284 2556 3284 12835Totais de

parcelas10666 8608 8867 8044

cova

2938 2813 2560 3049 1136080 sulc

o3800 4356 3560 4013 1572

9lanço

2702 3520 3382 3524 13128Totais de

parcelas9440 10689 9502 10586

cova

3013 3787 3142 3604 13546120 sulc

o3338 3369 2507 4200 1341

4lanço

3156 4369 2831 4222 14578Totais de

parcelas9507 11525 8480 12026

Totais de blocos

40280 42484 35493 40785 159082

Questão 13:- Suponha que para um experimento instalado segundo o delineamento inteiramente casualizado e no esquema de parcelas subdivididas com 3 repetições, foram obtidos os seguintes resultados:

FV GL SQ QM FFator A 29,55

Resíduo(a) 15,71(Parcelas) (45,26)

Fator B 20,60Interação A*B 20,12

Resíduo(b) 51,60Total 137,58

Totais de Tratamentos

B1 B2 B3 B4 TotaisA1 53,3 52,8 53,3 51,3 210,7A2 47,9 44,2 48,7 51,0 191,8A3 51,8 47,5 48,9 47,8 196,0A4 50,0 44,2 48,9 51,2 194,3A5 58,9 48,7 51,8 51,9 211,3

Totais 261,9 237,4 251,6 253,2 1004,1

- Usando o nível de 5% de significância quando necessário, pede-se:

a) Os fatores A e B atuam independentemente? Justifique sua resposta.b) Existe diferença entre os níveis de B pelo teste F da análise de variância?c) Se o objetivo é obter menores médias, qual(is) o(s) nível(is) de B que devem ser recomendados? (Use o teste de Duncan, se necessário).

Questão 14:- Considere um experimento em parcelas subdivididas no delineamento inteiramente casualizado com 4 repetições, onde o fator A foi casualizado nas parcelas e fator B casualizado nas subparcelas, sendo dados:

Totais de Tratamentos

B1 B2 B3A1 20,4 19,7 32,3 72,4A2 11,3 10,6 18,0 39,9

31,7 30,3 50,3 112,3

SQParcelas = 55,9836 e SQTotal = 121,4907.

- Efetue o teste F para a interação AxB e proceda às comparações dos níveis dos fatores A e B pelo teste de T u k e y a 5 % , se necessário, de acordo com o resultado de significância para a interação.

Questão 15:– Escolher a equação de regressão linear utilizando os dados amostrais fornecidos abaixo, se a temperatura tem influência significativa sobre o comprimento de uma barra de aço.

Temperatura (ºC) 10 15 20 25 30Comprimento (mm) 1003 1005 1010 1011 1014

Questão 16:

- Para o seguinte conjunto de valores de X (variável independente) e Y (variável dependente), faça a análise de regressão segundo o modelo linear de 1º grau e obtenha a equação de regressão estimada. Use o nível de significância de 5%.

X 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Y 10,3 18,2 25,1 35,6 43,0 50,0 59,1 67,8 75,2 85,0

Questão 17:

- Para se avaliar o efeito de diferentes dosagens de um micronutriente no desenvolvimento de duas espécies vegetais, foi realizado em experimento fatorial 4x2 no D.B.C. com 5 repetições. Após a coleta e tabulação dos dados (em produção de matéria verde por determinada unidade de área) foi montado o seguinte quadro de totais de tratamentos:

Dose 1 Dose 2 Dose 3 Dose 4Espécie 1Espécie 2

60 52 60 9056 50 40 40

262186

116 102 100 130 448

- A análise de variância dos dados no computador forneceu o seguinte quadro (incompleto) da ANOVA:

F.V. G.L. S.Q. Q.M.Fator A 1Fator B 3 58,2

Int. AxB ---- 49,20(Trat.) ----Blocos ----

Resíduo ---- 10,00Total ----

Com base nos dados apresentados acima, pede-se: (obs.: use α = 5%):

a) Obtenha a soma de quadrados para o fator A. Apresente os cálculos.b) Os fatores em estudo atuam independentemente na variável em análise? Justifique.c) Qual espécie deveria ser usada de modo a termos uma maior produção de massa verde, quando for usada a dose 3 do micronutriente? Justifique.d) Como deveríamos continuar a análise caso fosse de nosso interesse determinar a melhor dose do micronutriente? Descreva a estratégia de análise de maneira resumida, apresentando a seqüência dos procedimentos a serem realizados, mas sem precisar fazer nenhum tipo de cálculo.

material estatística experimental novo.doc

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