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MATERIAL DE ESTATÍSTICA II – PROF. MÁRIO ROBERTO

ESTATÍSTICA II - Mário

1

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

O que se entende por variável aleatória?

Até agora nossos estudos estavam praticamente voltados mais para definirmos nosso

Espaço Amostral U, sem associarmos suas respectivas probabilidades aos experimentos

aleatórios.

Existem, contudo, experimentos cujos resultados podem ser expressos por

quantidades numéricas. Ou ainda, por vezes, desejamos atribuir um valor específico a cada

resultado do experimento aleatório.

Quando realizamos a observação dos resultados de um experimento que pode ser

resultado repetidamente sob condições essencialmente inalteradas (experimento aleatório),

não poderemos, de antemão, dizer qual particular resultado irá ocorrer na próxima tentativa,

muito embora sejamos capazes de descrever o conjunto de todos os possíveis resultados do

experimento. Assim, por exemplo, antes de lançar um dado poderemos descrever que os

possíveis resultados são: l, 2, 3, 4, 5, 6, mas qual desses, em particular, irá ocorrer, no

próximo lançamento é impossível predizer com absoluta certeza. Variável aleatória é, pois

o resultado da observação de experimentos não determinísticos.

Entretanto o resultado de um experimento não é necessariamente, um número. De

fato na observação das peças que saem de uma máquina poderemos, simplesmente, anotar

as categorias "defeituosas" ou "não defeituosas". Contudo, em muitas situações

experimentais, estamos interessados na mensuração de alguma coisa e no seu registro como

um número. Mesmo no exemplo acima, poderemos atribuir um número a cada resultado

(não numérico) do experimento.

U: observação das peças (telhas) que saem de uma máquina

X número de peças defeituosas

X = 0, 1, 2, 3, .....................,n

Portanto, chama-se variável aleatória a uma variável cujo valor é um número

determinado pelo resultado de um experimento ou através da observação, e aos quais

podemos associar probabilidade.

As variáveis aleatórias podem ser classificadas em:

1- VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETA

Seja X uma variável aleatória que assume os valores x1, x2, x3, ...........xn. Diremos que

X é uma variável aleatória discreta. Se o número de valores tomados por X é finito ou

infinito numerável.

Exemplo: U: Lançamento de quatro moedas

Seja,

X: o número de caras observadas.

X = 0, 1, 2, 3, 4

De modo geral podemos dizer que as variáveis aleatórias discretas são as que resultem de

contagens.

2- VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

Seja X uma variável aleatória que pode assumir qualquer valor num intervalo,

diremos que X é uma variável aleatória contínua.

Exemplos:

a) Número de horas de duração de uma lâmpada



2

b)

b) A altura de um indivíduo que pode ser: 1,65m, l,652m, 1,6524m, conforme

a precisão de medida.

De modo geral podemos afirmar que as variáveis aleatórias contínuas são aquelas

que resultem de "medição", em especial, de tempo, temperatura, comprimento, peso,

volume, etc.

Um aspecto interessante é o que o mesmo experimento pode dar margem à

observações de várias variáveis, e a escolha da que vai ser observada fica a critério do

observador. Como exemplo vejamos o experimento "jogar 4 moedas simultaneamente".

Como variável aleatória poderemos escolher "o número de caras obtidas ou a distância

mínima entre 2 moedas". A primeira seria uma variável aleatória discreta e a Segunda seria

uma variável aleatória contínua.

1- VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA

1.1- FUNÇÃO DE PROBABILIDADE

A probabilidade de que a variável aleatória assuma o valor X, é a função de

probabilidade de X que representamos por P(X = xi) ou simplesmente por P(X).

f(x) = P(X = xi) f(x) = 0 se X xi

n

f(xi) = 1

i = 1

Portanto a função que associa probabilidade aos possíveis valores de uma variável

aleatória, denomina-se função de probabilidade.

A função P(X) pode ser expressa por uma tabela ou gráfico

Exemplo

Seja E: o espaço amostral no lançamento de 2 moedas e X: o número de caras C obtidas.

Isto é:

E = (K,K); (K,C); (C,K); (C,C)

X = 0, 1, 2

TABELA: X 0 1 2

P(X) 1/4 1/2 1/4

GRÁFICO:

P(X)

1/2

1/4

0 1 2 X



3

1.2- FUNÇÃO REPARTIÇÃO

Define-se função repartição da variável aleatória X, no ponto x, como sendo a

probabilidade de que x assuma um valor menor ou igual a X, isto é:

F(X) = P(X x). No exemplo acima teremos:

F(X) = 1/4 se x 0

F(X) = 1/2 se 1 x 2

F(X) = 1/4 se x 2

2- VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA

2.1- FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE

Seja X uma variável aleatória contínua. A função densidade de probabilidade f(x) é

uma função que satisfaz as seguintes condições.

f(x) 0

f(x).d(x) = 1

b

Assim P( a x b) = f(x).d(x)

a

2.2- FUNÇÃO REPARTIÇÃO +oo

F(X) = P(X x) = P( -oo x +oo) = f(x).dx = 1

-oo

Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte função densidade de

probabilidade.

f(x) = 2x para 0 x 1

0 para (qualquer) outro valor

para x 0 F(x) = 0

f(x) = para 0 x 1 F(x) = 2x.dx = 2x2 x = x

2

0 2 0

para x 1 F(x) = 1

Representação gráfica



4

F(x)

1

1 x

Exemplo/Exercício Seja f(x) = 3/2 (1 - x2 ), 0 x 1

0, caso contrário

Ache a função repartição e esboce o gráfico.

3- DISTRIBUIÇÃO DISCRETAS DE PROBABILIDADES

3.1- DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

No contexto das distribuições de probabilidades, os valores individuais de

probabilidades podem ser designados pelo símbolo f(x), que enfatiza a existência de uma

função matemática (variáveis contínuas). Por P(X = x), que enfatiza que a variável

aleatória pode assumir diversos valores, ou simplesmente por P(X).

Para uma variável aleatória discreta todos os possíveis valores da variável aleatória

podem ser listados numa tabela com as probabilidades correspondentes: distribuição de

probabilidade Binomial, Hipergeométrica e de Poisson. Para uma variável aleatória

contínua não podem ser listados todos os possíveis valores fracionários da variável, e desta

forma as probabilidades são determinadas por uma função matemática, são retratadas,

tipicamente, por uma função densidade ou por uma curva de probabilidade.

3.2 VALOR ESPERADO E VARIÂNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

DISCRETAS. n

Média, Valor Esperado ou Esperança Matemática: = E(X) = xi.P(xi)

i = 1



5

3.3 PROPRIEDADES DA ESPERANÇA MATEMÁTICA:

3.3.1- A média de uma constante é a própria constante

E(X) = k.P(xi) = k. P(xi) = k

3.3.2- A média de uma variável multiplicada por uma constante é igual à constante

multiplicada pela média da variável.

E(k.X) = k.xi.P(xi) = k. xi.P(xi) = k.E(xi)

3.3.3- A média da soma ou da diferença é a soma ou diferença das médias.

E( X + Y) = E( X ) + E( Y ) ou E(X - Y) = E(X) - E(Y)

3.3.4- Somando ou subtraindo uma constante a uma variável aleatória, a sua média fica

somada ou subtraída da mesma constante.

E(X + k) = E(X) + E(k) = E(X) + k ou E(X- k) = E(X) - k

3.3.5- A média do produto de duas variáveis aleatórias independentes é o produto das

médias.

E(X.Y) = xi.yj.P(xiyj) = xi.yi.P(xi).P(yj) = xi.P(xi). yj.P(yj) = E(X).E(Y)

3.4- VARIÂNCIA

A forma geral de desvios para a fórmula da variância de uma distribuição discreta de

probabilidade é:

V(X) = 2(X) = xi - E(X)

2.p(xi)

ou

V(X) = 2(X) = E(X

2) - E(X)

2 ( Fórmula Computacional)

3.5- PROPRIEDADE DA VARIÂNCIA

3.5.1- A variância de uma constante é zero

2(X) = V(k) = E k - E(k)

2 = E(k - k)

2 = 0

3.5.2- Multiplicando-se uma variável aleatória por uma constante, sua variância fica

multiplicada pelo quadrado da constante.

V(k.X) = 2(k.X) = kX - E(k.X)

2 = k.X - k.E(X)

2 = k(X - E(X)

2

= k2.X - E(X)

2 = k

2.V(X)

3.5.3- Somando-se ou subtraindo-se uma constante à variável aleatória, sua variância não se

altera.



6

2(X + k) =

2(X) +

2(k) =

2(X) + 0 =

2(X)

3.5.4- A variância da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias independentes é a

soma das respectivas variâncias.

2(X +Y) =

2(X) +

2(Y) e

2(X - Y) =

2(X) +

2(-Y) =

2(X) + (-1)

2.

2(X) =

2(X) +

2(Y)

EXEMPLO:

A tabela abaixo está registrado o número de caminhonetes solicitadas em uma agência

de aluguel de carros durante um período de 50 dias.

Demanda

possível X

Nº de dias Probabilidade

P(X)

Valor Ponde-

rado X:P(X)

Demanda ao

quadrado X2

Quad. Ponde-

rado X2.P(X)

3 3 0,06 = 3/50 0,18 9 0,54

4 7 0,14 = 7/50 0,56 16 2,24

5 12 0,24 1,20 25 6,00

6 14 0,28 1,68 36 10,08

7 10 0,20 1,40 49 9,80

8 4 0,08 0,64 64 5,12

TOTAL 50 1,00 E(X) = 5,66 E(X2) = 33,78

OBS. A probabilidade de serem solicitadas exatamente sete (7) caminhonetes em um

determinado dia aleatoriamente escolhido no período é de 0,20 e de cinco (5) é de 0,24.

Determine:

a) A esperança matemática

b) A variância, cálculo computacional.

a) E(X) = 5,66

Isto é, o valor esperado para dados discretos pode ser fracionário porque ele

representa um valor médio de longo prazo e não o valor específico para qualquer

observação dada.

c) V(X) = 2(X) = E(X

2) - E(X)

2 = 33,78 - (5,66)

2 = 33,78 - 32,04 = 1,74



7

Isto é a variação do número de caminhonetes em torno da média ao quadrado é de 1,74.

Exercícios

1- Um dentista tem 5 cadeiras disponíveis para pacientes em sua sala de espera. A

probabilidade do número de cadeiras ocupadas X é dada por:

X P(X)

0 0,304

1 0,228

2 0,171

3 0,128

4 0,096

5 0,073

a) Ache a média E(X) = da variável aleatória X. E(x) = 1,7

b) Calcule a variância e o desvio padrão, da variável aleatória X. V(X) = 2,53

c) Calcule P( 2 X 5). 0.468

d) Desenvolva no formato tabular a cdf ( Função de Distribuição Acumulada) dessa

distribuição.

e) Desenvolva a função repartição dessa distribuição.

2- Considere uma moeda perfeita lançada 3 vezes. Seja X o número de caras obtida.

Calcule

a) a distribuição de X

b) média de X E(x) = 1,5

c) a variância ² = 0,75

3- Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas sem

reposição, e defina a V.A X igual a número de bolas pretas.

a) Obtenha a distribuição de X

b) Obtenha a média e a variância da V.A X E(X) =1,875 ² = 0,502

4- Uma moeda é lançada 4 vezes. Seja Y o número de caras obtidas. Calcule



8

a) a distribuição de Y

b) a média e variância de Y = 2 , ² = 1

5- Considere uma mesa contendo 10 frutas das quais 4 estão estragadas. Retire três dessas

frutas ao acaso, sem reposição e defina a V.A. X igual a número de frutas estragadas.

a) Obtenha a distribuição de X

b) Obtenha a média e a variância da V.A. = 1,2 , ² = 0,560

4-DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

4.1- INTRODUÇÃO: DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI

Seja um experimento que consiste na realização de uma prova, cujos resultados só

podem ser "sucesso" ou "fracasso". Observando ainda que na realização desta prova os

eventos são independentes, vamos chamar de X uma variável aleatória que de acordo com

a pressuposição citada, somente assumirá valores 0 e 1, sendo 0 a ocorrência do evento

"fracasso" e 1 a ocorrência do evento "sucesso" com probabilidades

P(X = 0) = q X 0 1

P(X = 1) = p P(X) q p p + q = 1 q = 1 - p

Obs.

q = l- p é complementar de p, pois p + q = 1.

2- E(X) = xi.p(xi) = 0.q + 1.p = p E(X) = p

3- V(X) = E(X2) - E(X)

2 = 0

2.q + 1

2.p - p

2 = p - p

2 = p(1 - p) = p.q

V(X) = p.q

Consideremos que:

a) n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas.

b) Cada prova é uma prova de Bernoulli ou seja, admite dois resultados: sucesso ou

fracasso que são mutuamente exclusivos.

c) A probabilidade de sucesso ou fracasso é a mesma em cada prova, isto é, constantes.



9

d) p é a probabilidade de sucesso em cada prova e q = 1 - p a ocorrência do fracasso.

4.2- DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Se p é a probabilidade de um evento acontecer em uma tentativa única (sucesso), e q

= 1 - p é a probabilidade de que o evento não ocorra (insucesso), então a probabilidade do

evento ocorrer exatamente x vezes em n tentativas, isto é, de que haja X sucessos e n - x

insucesso, é dado por:

P(X = x) = n px . qn - x

x

PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Baseados na propriedades da E(X) e V(X) e como a variável binomial X é uma soma

de variáveis independentes do tipo Bernoulli, teremos que:

E(X) = E( x1 + x2 + x3 + ........+ xn) = E(x1) + E(x2) + E(x3) +........+ E(xn) = np

V(X) = V(x1 + x2 + x3 + ........+ xn) = V(x1) + V(x2) + V(x3) + ......+ V(xn) = p.q + p.q +

p.q + .........+ p.q = n.pq. = n.p.(1 - p)

FÓRMULAS GERAIS:

E(X) = xi.p(xi)

P(X = xi) = n . pxi

.(1 - p) n - xi

xi

E(X) = xi. n .pxi

. (1 - p)n - xi

xi

V(X) = (xi – E(X))².p(xi)

E(x) = = n.p

V(x) = ² = n.p.q



10

TRIÂNGULO DE PASCAL UMA FERRAMENTA IMPORTANTE

P = 0 P = 1 P = 2 P = 3 P = 4 P = 5 P = 6

n = 0 0

0

n = 1 1 1

0 1

n = 2 2 2 2

0 1 2

n = 3 3 3 3 3

0 1 2 3

n = 4 4 4 4 4 4

0 1 2 3 4

n = 5 5 5 5 5 5 5

0 1 2 3 4 5

n = 6 6 6 6 6 6 6 6

0 1 2 3 4 5 6

n n n n n n n n ... n

0 1 2 3 4 5 6 n

Substituindo-se cada número combinatório pelo respectivo valor, o triângulo de

Pascal fica assim:

Números Combinatórios n n!

Ou binomiais p = Cn,p =

p!.(n-p)!



11

P = 0 P = 1 P = 2 P = 3 P = 4 P = 5 P = 6

n = 0 1

n = 1 1 1

n = 2 1 2 1

n = 3 1 3 3 1

n = 4 1 4 6 4 1

n = 5 1 5 10 10 5 1

n = 6 1 6 15 20 15 6 1

.

.

.

Observe que o triângulo de Pascal continua infinitamente, à medida que vai

aumentando o valor de n.

APLICAÇÕES

1- Em uma fábrica de parafusos um terço da produção é defeituosa. Em uma amostra de 6

parafusos, pergunta-se

a) Qual a probabilidade de que não tenham nenhum defeituoso?

b) Qual a probabilidade de que o número de parafusos defeituosos seja no máximo 2?

c) Qual o número esperado de parafusos defeituosos?

d) Qual a dispersão em torno do número esperado de parafusos defeituosos?

Solução

X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 defeituosos

a) P(X = 0) = 6 . (1/3) 0.(2/3)

6-0 = (2/3)

6 = 64/729

0

b) P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 64 / 729 + 192 / 729 + 240 / 729 =



12

= 496 / 729 = 68%

c) E(X) = xi.P(xi) = 0.64 / 729 + 1.192 / 729 + 2.240 / 729 + 3.160 / 729 + 4.60 / 729

5.12 / 729 + 6.1 / 729 E(X) = 2 defeituosos

ou E(X) = n.p = 6.1/3 = 2 defeituosos

d) V(X) = 2(X) = E(X

2) - E(X)

2

V(X) = 02.64/729 + 1

2.192/729 + 2

2.240/729 + 3

2.160/729 + 4

2.60/729 + 5

2.12/729 +

62.1/729 = 5,33

V(X) = 5,33 - 22 = 1,33 ou V(X) = n.p.q = 6.1/3.2/3 = 1,33 = 1,33 =

1,15

2- Num hospital 5 pacientes devem submeter-se a um tipo de operação da qual 80%

sobrevivem. Qual a probabilidade de que:

a) Todos sobrevivem R 32,775

b) Pelos menos dois sobrevivem R 99,33%

c) No máximo 3 não consigam sobreviver. R 99,33%

d) Qual é o número esperado de sobreviventes? R 4 sobreviventes

3- Se 2/3 da população de certo município não assistem regularmente a programas de

televisão e, colocando 250 pesquisadores cada um entrevistando 8 pessoas, estimar

quantos desse pesquisadores informarão que até 2 das pessoas consultadas são

telespectadores habituais.

Solução

X . Assistem regularmente televisão p = 1/3

q = 2/3

X = 0, 1, 2

P(X=0) = 8 .(1/3)0.(2/3)

8 = 256/6561

0

P(X=1) = 8 .(1/3)1.(2/3)

7 = 1024/6561 P(X 2) = 256 + 1024 + 1792

1 6561



13

P(X=2) = 8 .(1/3)2.(2/3)

6 = 1792/6561 P(X) = 3072 = 46,82%

2 6561

Logo E(X) = n.p 250.(3072/6561) = 117,055 117 pesquisadores.

4- DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA

Quando a amostragem se faz sem reposição de cada item amostrado de uma

população finita, não se pode aplicar o processo de Bernoulli, uma vez que exite uma

mudança sistemática na probabilidade de sucesso á medida que os itens são retirados da

população. A distribuição Hipergeométrica é uma distribuição discreta de probabilidade

apropriada quando existe amostragem sem reposição em uma situação que, se não fosse por

isso, seria um processo de Bernoulli.

Suponha-se que tenhamos um lote de N peças e M das quais são defeituosas.

Suponha-se que escolhemos, ao acaso n peças desse lote ( n N); sem reposição. Seja X o

número de peças defeituosas encontradas. Desde que X = x se, e somente se, obtivermos

exatamente k peças defeituosas ( dentre as M defeituosas do lote) e exatamente ( n - x) não

defeituosas ( dentre as N - M não defeituosas do lote, teremos:

M N - M

P(X = x) = x . n - x

N

n

PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA

E(X) = n.p

V(X) = 2(X) = n.p.q. N - n

N - 1

E(x) = xi.p(xi) = xi. M N - M

x n - x (*)

N

n

APLICAÇÕES

1- Em uma sala há 6 homens e 5 mulheres. Uma comissão de 4 pessoas é formada ao acaso.

Qual a probabilidade de que:



14

a) apareçam 3 homens na comissão,

b) não apareça nenhum homem,

c) Qual o número esperado de homens na comissão e o número de mulheres?

Solução

a)

N = 11 (total de pessoas)

n = 4 ( número de pessoas na comissão)

M = 6 ( quantidade de homens)

N - M = 5 ( quantidade de mulheres)

x = 3 (quantidade de homens na comissão)

6 5

P(X = 3) = 3 1 = 20.5/330 = 10 / 33

11

4

6 5

b) P(X = 0) = 0 4 = 1.5 / 330 = 1 / 66

11

4

c) E(X) = E(x) = 4.6/11 = 24/11 = 2,l8 2 homens

E(X) = E( N - x) = 4.5/11 = 20/11 2 mulheres

Poderia calcular E(X) usando a fórmula (*).

2- Uma caixa contém 12 lâmpadas das quais 5 estão queimadas. São escolhidas 6

lâmpadas ao acaso para iluminação de uma sala. Qual a probabilidade de que:

a) exatamente duas estejam queimadas?

b) Pelo menos uma seja boa?

c) Pelo menos duas estejam queimadas?

d) Encontre o número esperado de lâmpadas queimadas e a dispersão em torno da média.

Solução

X: lâmpadas queimadas

M: total de lâmpadas queimadas = 5

k: lâmpadas queimadas (ao acaso)

n: número de lâmpadas (ao acaso) = 6

N: total de lâmpadas = 12.

5 7

a) P(X=2) = 2 4 = 10.35/924 = 350/924

12

6



15

b) X = 0, 1, 2, 3, 4, 5

P(X 5) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)

= 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7

0 6 + 1 5 + 2 4 + 3 3 + 4 2 + 5 1

12 12 12 12 12 12

6 6 6 6 6 6

= 7/924 + 105/924 + 350/924 + 350/924 + 105/924 + 7/924

= 924/924 = 1 = 100%

c) P(X 2) = p(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

= 350 + 350 + 105 + 7 = 812 / 924 = 87,88%

924

d) E(X) = n.p = 6.5/12 = 2,5 2 lâmpadas queimadas

2(X) = V(X) = n.p.q. N - n = 6. 5/12. 7/12. 12 - 6 = 0,795

N - 1 12 - 1

2(X) = 0,795 = 0,89 1 lâmpada

5-DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

A distribuição de Poisson pode ser usada par determinar a probabilidade de um dado

número de sucessos quando os eventos ocorrem em um continuum de tempo ou espaço.

Tal processo, chamado de processo de Poisson é similar ao processo de Bernoulli, exceto

que os eventos ocorrem em um continuum ao invés de ocorrerem em tentativas ou

observações fixadas. Um exemplo de tal processo é a chegada de chamadas em uma

central telefônica. Tal como no caso do processo de Bernoulli, supõe-se que os eventos são

independentes e que o processo é estacionário (a média não altera dentro da especificação).

Somente um valor é necessário para determinar a probabilidade de um dado número

de sucessos em um processo de Poisson: o número médio de sucessos para a específica

dimensão de tempo ou espaço de interesse. Este número médio é geralmente representado

por ou . A fórmula para determinar a probabilidade de um dado número X de sucessos

em uma distribuição de Poisson é:



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P(X / ) = X.e

- e = 2,71828........

X!

PARÂMETRO DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

E(X) = e V(X) = 2 =

EXEMPLOS

1- Em um cruzamento de 2 ruas o número médio de acidentes é igual a 2 semanais.

Determinar

a) a probabilidade de que uma determinada semana ocorram 3 acidentes.

b) A probabilidade de que não ocorra nenhum acidente

c) A probabilidade de que ocorra acidente.

Solução

X = 0, 1, 2, 3, ......., n

a) P(X = 3) = 23.e

-2 = 8/6.2,7183

-2 = 4/3.0,13534 = 0,18 = 18%

3!

b) P(X = 0) = 20.e

-2 = 0,13534 = 13,53%

0!

d) P(X 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,13534 = 0,86466 = 86,47%

2- Um departamento de conserto de máquinas recebe uma média de cinco chamadas por

hora. A probabilidade de que menos do que três chamadas sejam recebidas durante

uma hora aleatoriamente escolhida é:

P(X < 3) / = 5) = P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 50.e

-5 + 5

1.e

-5

0! 1!

+ 52.e

-5 = 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 = 0,1248 = 12,5%

2!

EXERCÍCIOS

DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

1- Descobriu-se que a chegada de clientes a um Banco, durante intervalos

aleatoriamente escolhidos de 10minutos, segue a distribuição de probabilidade da



17

tabela, abaixo. Calcular o número esperado de chegadas por intervalo de 10

minutos bem como calcular a variância das chegadas. E(X) = 2, V(X) = 1,9

Nº de

chegadas X

0 1 2 3 4 5

Probabilida

-de P(X)

0,15 0,25 0,25 0,20 0,10 0,05

2- Em um levantamento recente, a probabilidade de que um acidente de carro é

causado por um motorista embriagado é cerca de 0,229. Nos próximos três

acidentes, qual a é probabilidade de que:

a) exatamente um acidente seja causado por um motorista embriagado? 40,8%

b) No mínimo um acidente seja causado por um motorista embriagado? 57,6%

c) Se você tem os seguintes resultados de probabilidade de acidentes causados por

motoristas embriagados nos 10 próximos acidentes:

Pdf (*) Cdf (**)

0 0,0742 0,0742

1 0,2205 0,2947

2 0,2947 0,5893

3 0,2334 0,8227

4 0,1213 0,9440

5 0,0432 0,9873

6 0,0107 0,9980

7 0,0018 0,9998

8 0,0002 1,0000

9 0,0000 1,0000

10 0,0000 1,0000

(*) pdf - Probability Distribution Function (Função de Distribuição de Probabilidade)

(**) Cdf - Cumulative Distribution Function ( Função de Distribuição Cumulativa)

1- ache P(x=3) 23,34%

2- ache P(5 x 9) 1,27%

3- qual é a média e a variância da distribuição tabulada acima? =2,29, ² =1,77

3- Existem 90% de probabilidade de que um certo tipo de componente se comporte de

forma adequada sob condições de elevadas temperatura. Se o dispositivo em questão tem

quatro de tais componentes, determinar, por meio da fórmula de probabilidades binomiais a

probabilidade de cada um dos eventos.

a) Todos os componentes se comportam de forma adequada, por conseguinte, o

dispositivo funciona. 65,61%

b) O dispositivo não funciona por falhar um dos quatro componentes. 29,16%

c) O dispositivo não funciona por que falham um ou mais dos componentes. 34,39%



18

4-Suponha que 40% dos empregados horistas de uma grande empresa estejam a favor da

representação sindical e que se peça uma resposta anônima a uma amostra aleatória de 10

empregados. Qual a probabilidade de estarem a favor da representação sindical:

a) a maior parte dos que responderam? 16,08%

b) Menos da metade dos que responderam? 63,92%

5- De 20 estudantes em uma classe, 15 não estão satisfeitos com o texto utilizado. Se uma

amostra aleatória de quatro alunos se perguntar sobre o texto, determinar a probabilidade de

que estivessem descontentes com o texto:

a) exatamente três estudantes. 46,96%

b) No mínimo três estudantes. 75,13%

6- Somente um de cada mil geradores montados em uma fábrica apresenta defeitos, sendo

que os geradores defeituosos se distribuem aleatoriamente ao longo da produção.

a) Qual a probabilidade de que um carregamento de 500 geradores não inclua gerador

defeituoso algum? 60,65%

b) Qual a probabilidade de um carregamento de 100 geradores contenha no mínimo

um gerador defeituosos? 9,52%

7- Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja

defeituoso é de 0,2. Se dez itens produzidos por essa máquina são selecionados ao

acaso, qual a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado?

Use a binomial e a distribuição de Poisson e compare os resultados. Pb = 37,58% e Pp =

40,6%

8- Num certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem corte a uma taxa de um por

2000 pés. Qual a probabilidade de que um rolo com 2000 pés a fita magnética tenha:

a) nenhum corte? 36,79%

b) No máximo 2 cortes? 91,97%

c) Pelo menos dois cortes? 26,42%

9- Numa central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de

Poisson, com a média de 8 chamadas por minuto. Determinar a probabilidade de que

num minuto aleatoriamente escolhido se tenha.

a) três ou mais chamadas 98,62%

b) menos do que 5 chamadas 9,96%

c) entre 7 (inclusive) e nove (exclusive) chamadas. 27,92%

10- Uma máquina, fabrica placas de papelão que podem apresentar nenhum defeito, um,

dois, três ou quatro defeitos, com probabilidade 90%, 5%, 3%, 1% e 1%,

respectivamente. O preço de venda de uma placa perfeita é 10 u.m. e à medida que

apresente defeito, o preço cai 50% para cada defeito apresentado. Qual o preço médio

de venda destas placas? E(x) = 9,34 u.m

11- Uma empresa distribuidora costuma falhar em suas entregas de mercadorias 15% das

vezes, por atraso na entrega, mercadoria fora de especificação danos, etc. causando

reclamações por parte dos clientes. Calcule a probabilidade de:

a) não ocorrer reclamações nas 10 entregas de hoje. R 19,69%

b) Acontecer pelo menos uma reclamação nas 4 primeiras entregas. R 47,80%



19

c) Acontecer no máximo uma reclamação nas 10 entregas. R 54,43%

12- Em um pedágio de determinada rodovia chegam em média 600 carros por hora.

Determine a probabilidade de :

a) chegarem exatamente 10 carros em um minuto R: 12,51%

b) chegarem menos que 5 caros em um minuto R:2,92%

II-DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE :

EXPONENCIAL E NORMAL

1– DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE EXPONENCIAL

É uma distribuição de Poisson, uma vez que o tempo ou espaço são um

continuum(distribuição contínua).

Uma vez que o processo de Poisson é estacionário, a distribuição exponencial aplica-se

quer estejamos interessados com o tempo entre dois eventos sucessivos, ou quer no

tempo decorrido até acontecer o primeiro evento após um ponto aleatoriamente

selecionado A probabilidade exponencial de que o primeiro evento ocorrerá dentro do

intervalo especificado de tempo ou espaço é:

P(T t) = 1 – e-

A probabilidade exponencial de que o primeiro evento não ocorrerá dentro do intervalo

especificado de tempo ou espaço é:

P(T > t) = e-

PARÂMETROS DA DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL

E(t) = 1/

V(T) = 1/²

EXEMPLOS

1- Um departamento de conserto de máquinas recebe em média, 5 chamadas por hora.

Iniciando em um ponto do tempo aleatoriamente escolhido, qual a probabilidade de que

a primeira chamada chegue dentro de meia hora?

Solução

/hora = 5 = 2,5

Logo P((T ½) = 1 – e-

= 1 – e-2,5

+ 1 – 0,0821 = 0,9179 = 91,79%



20

2- Em média, um navio atraca um certo porto a cada 2 dias. Qual a probabilidade de

que, a partir da partida de um navio, se passem 4 dias antes da chegada do próximo

navio?

Solução

Média a cada 2 dias = 1

= média pó período de 4 dias = 1.2 = 2

Logo P(T > 4 ) = e-

= e-2

= 0,1353 = 13,53%

EXERCÍCIO

Em média seis pessoas por hora se utilizam de um caixa-automático de um banco em uma

grande loja de departamentos.

a) Qual a probabilidade de que se passem pelo menos 10 minutos entre a chegada de

dois clientes? R. 0,3678

b) Qual a probabilidade de que, depois da saída de um cliente, não se apresente outro

em pelo menos 20 minutos R.0,1353

c) Qual a probabilidade de que chegue um segundo cliente dentro de 1 minuto após a

chegado do primeiro R0,0952

2-DISTRIBUIÇÃO NORMAL

A distribuição normal de probabilidade é uma distribuição de probabilidade

contínua que é simétrica ( X = Me = Mo) e mesocúrtica K = Q3 - Q1 = 0,263

2(P90 - P10)

A curva que representa a distribuição normal de probabilidade é freqüentemente

descrita como tendo uma forma de sino, como segue o exemplo.

F(X)

X = Me = Mo X



21

A distribuição de probabilidade normal é importante na inferência estatística por três razões

distintas.

1- As medidas produzidas em diversos processos aleatórios seguem esta distribuição

2- Probabilidades normais podem ser usadas freqüentemente como aproximações de

outras distribuições de probabilidades, tais como as distribuições Binomiais e de

Poisson.

3- As distribuições de estatísticas da amostra tais como a Média e a Proporção

freqüentemente seguem a distribuição normal independentemente da distribuição da

população.

Como para qualquer distribuição contínua de probabilidade, o valor da probabilidade

pode somente ser determinado para um intervalo de valores da variável. A altura da função

densidade, ou curva de probabilidade, para uma variável normalmente distribuida é dada

por:

-1/2( x - )2

f(x) = l .e

2 .

onde: = 3,14159...

e = 2,7183.....

: é a média da distribuição

: é o desvio padrão da distribuição

Em particular, a distribuição normal de probabilidade com = 0 e = 1 é

conhecida como distribuição normal padronizada(reduzida), na qual as tabelas de

probabilidades da normal são construídas.

Qualquer conjunto de valores de X normalmente distribuídos pode ser convertido

em valores normais padronizados Z pelo uso da fórmula.

Z = x -

Logo

-1/2.z2

-z2/2

f(x) = 1 .e = 1 . e (-oo, + oo)

2 . 2 .



22

f(z)

-3 -2 -1 0 1 2 3 z

Parâmetros da distribuição N(, )

E(x) = = 0

V(x) = 2

= 1 N ( 0 , 1)

Exemplos

1- As alturas dos alunos de uma determinada escola são normalmente distribuídas com

média de 1,60 m e desvio padrão 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno aleatório

medir:

a) entre 1,50m e 1,80m

b) mais de 1,75 m

c) menos de 1, 48m



23

d) qual deve ser a medida mínima para escolher 10% dos mais altos?

e) abaixo de qual estatura estão os 20% mais baixos?

2- Sabe-se que a vida útil de um componente elétrico segue uma distribuição normal

com média = 2000 horas e desvio padrão = 200 horas, determine.

a) a probabilidade de que um componente aleatoriamente selecionado dure entre 2000

e 2400 horas 47,72%

b) a probabilidade de que um componente aleatoriamente selecionado dure mais do

que 2200 horas. 15,87%

c) a probabilidade de que um componente aleatoriamente selecionado dure entre 1500

e 2100 horas. 68,53%

d) A probabilidade de que um componente aleatoriamente selecionado dure entre 2100

e 2500 horas. 30,23%

2- APROXIMAÇÃO PELA NORMAL DAS PROBABILIDADES BINOMIAIS

Quando o número de observações ou tentativas forem relativamente grande, a

distribuição de probabilidade normal pode ser utilizada para a aproximações das

probabilidades binomiais.

Regra aceitável n 30

"regra de bolso" n.p 5

n.(1 - p) 5



24

Para uso da distribuição normal de probabilidade como uma aproximação da

distribuição de probabilidade binomial, a média e o desvio padrão se baseiam no valor

esperado e na variância do número de sucessos de uma distribuição binomial, ou seja:

E(x) = = n.p

= n.p.(1 - p)

Aplicações

1- Para um grande número de clientes potenciais, sabe-se que 20% dos contactados

pessoalmente por agentes de vendas realizarão uma compra. Se um representante de

vendas visita 30 clientes potenciais, podemos determinar a probabilidade de que 10 ou

mais farão uma compra.

a) utilizando as probabilidades binomiais.

b) Utilizando a aproximação normal do valor de probabilidade binomial.

Solução

a) P(x 10) = ..... 6,11%

b) = n.p = 30.2/10 = 6

= n,p.(1-p) = 30.0,2.0,8 = 2,19

P binomial (x 10) = Pbin.( x 9,5 / = 6, = 2,19) = …. = 5,48%

Obs. Supõe-se que a classe de eventos "10 ou mais começa em 9,5 quando se utiliza

a aproximação normal. Esta subtração de meia unidade é chamada correção de

continuidade e é necessária porque embora não existem eventos possíveis no intervalo



25

entre 9 e 10 sucessos, a área sob a curva normal deve ser distribuída entre duas classes

adjacentes. Se no exemplo, fosse pedida a probabilidade de "mais de 10" sucessos, a

correção apropriada de continuidade implicaria adicionar 0,5 a 10 e determinar a área do

intervalo começando em 10,5.

A correção de continuidade tem um efeito muito pequeno e pode, portanto, ser

omitida quando existir um grande número de valores da viável X.

Portanto Pbin(x 10) = P(x 9,5) = ....

2- Uma moeda é lançada 12 vezes. Determinar a probabilidade de que o número de coroas

ocorra entre 4 e 7 inclusive o 4 e o 7.

a) pela distribuição binomial

b) pela distribuição normal

3- APROXIMAÇÃO PELA NORMAL DAS PROBABILIDADES DE POISSON

Quando a média de uma distribuição de Poisson for relativamente grande a

distribuição normal de probabilidade pode ser usada como uma aproximação das

probabilidades de Poisson. Uma regra conveniente é que tal aproximação é aceitável

quando 10.

A média e o desvio padrão da distribuição normal de probabilidade, n o caso,

baseiam-se no valor esperado e na variância do número de sucessos em uma processo de

Poisson, ou seja:

=

=

Aplicação

Um departamento de conserto de máquinas recebe em média, 10 chamadas em cada

período de 8 horas. Podemos determinar a probabilidade de que mais de 15 chamadas

serão recebidas em um período de 8 horas aleatoriamente escolhido.

a) pela distribuição de Poisson

b) pela distribuição normal



26

4- Métodos de Amostragem e Distribuições Amostrais

OBJETIVOS DO CAPÍTULO:

Explicar porque em muitas situações uma amostra é a única forma plausível de

aprender alguma coisa sobre uma população.

Explicar os métodos de selecionar uma amostra

Distinguir entre amostragem probabilística e amostragem não probabilística

Definir e construir uma distribuição amostral de médias amostrais

Explicar o Teorema do Limite Central e sua importância para a Inferência Estatística

Calcular Intervalos de Confiança para Médias e Proporções

Determinar que tamanho uma amostra deve ter para estimar médias e proporções

Porque amostrar uma população

Natureza destrutiva de certos testes

A impossibilidade física de checar todos os itens na população

O custo de estudar todos os itens em uma população é freqüentemente proibitivo

Muitas vezes as estimativas baseadas em uma amostra são mais precisas do que os

resultados obtidos através de um levantamento censitário

Tempo muito elevado para a apuração de resultados em censos

6.1 Amostragem Probabilística

O que é uma amostragem probabilística ?

É uma amostra selecionada de tal forma que cada item ou pessoa na população estudada

têm uma probabilidade (não nula) conhecida de ser incluída na amostra.

Métodos de Amostragem Probabilística:

Amostragem Aleatória Simples (AAS)



27

Uma amostra escolhida de tal forma que cada item ou pessoa na população tem a mesma

probabilidade de ser incluída.

Se a população tem um tamanho N, cada pessoa desta população tem a mesma

probabilidade igual a 1/N de entrar na amostra. Utilizamos uma tabela de números

aleatórios para sortear (com mesma probabilidade) os elementos da amostra. Também pode

ser utilizada uma função randômica: No Excel, por exemplo, temos a função ALEATÓRIO

ENTER.

Amostragem Aleatória Sistemática

Os itens ou indivíduos da população são ordenados de alguma forma – alfabeticamente ou

através de algum outro método. Um ponto de partida aleatório é sorteado, e então cada k-

ésimo membro da população é selecionado para a amostra.

Amostragem Aleatória Estratificada

A população é inicialmente dividida em subgrupos (estratos) e uma subamostra é

selecionada a partir de cada estrato da população.

Amostragem aleatória Estratificada com Repartição Proporcional

Suponhamos que a população é subdividida em k estratos. Sejam:

N = o número de indivíduos na população

n = o número de indivíduos na amostra

Ni = o número de indivíduos contidos no i-ésimo estrato da população

ni = o número de indivíduos contidos no i-ésimo estrato na amostra

k1,2,...., i N

Nnn i

i

os estratos devem ser o mais homogêneos possíveis com relação às características

relevantes da pesquisa (variáveis que se correlacionam fortemente com a variável estudada)

para um mesmo tamanho amostral, a amostragem aleatória estratificada com repartição

proporcional é mais precisa (menor variância do estimador) do que a amostragem aleatória

simples (AAS).

Amostragem Aleatória Estratificada com Repartição de Neyman (ou repartição

ótima)



28

Se conhecermos a variância de cada estrato populacional referente a variável que estamos

desejando estimar o seu parâmetro, um método mais adequado é o da repartição de

Neyman.

k

i

ii

ii

k

i

ii

ii

N

Nn

W

wnn

i

11

para um mesmo tamanho amostral a precisão é maior para amostra aleatória estratificada

com repartição de Neyman (repartição ótima) do que para a amostra aleatória estratificada

com repartição proporcional que por sua vez é maior do que a amostra aleatória simples

Amostragem por Conglomerados

A população é inicialmente subdividida inicialmente em subgrupos (estratos) e uma

amostra de estratos é selecionada (por exemplo, com probabilidade proporcional ao

tamanho de cada estrato). A seguir, amostras são selecionadas dos estratos selecionados

previamente.

A principal vantagem da amostra por conglomerados é a de possibilitar considerável

redução de custos (em relação por exemplo a uma amostragem aleatória estratificada) para

um mesmo tamanho amostral.

O método costuma ser empregado quando não dispomos de um cadastro da população

(como no caso da amostragem sistemática) e os custos de ser elaborado um cadastro para

toda a população é muito elevado.

Erro amostral: A diferença entre a estatística amostral e seu correspondente parâmetro.

Uma distribuição de probabilidade consiste de uma lista de todos os possíveis valores

das médias amostrais de um dado tamanho amostral constante selecionado da

população e a probabilidade de ocorrência associada a cada média amostral.

Exemplo 1 – Uma empresa tem 5 sócios. Semanalmente, os sócios relatam o número

de horas de atendimento a clientes

Sócio Horas

1 22

2 26

3 30

4 26

5 22



29

Dois sócios são selecionados aleatoriamente. Quantas amostras ‘distintas são possíveis?

O número de amostras distintas de dois elementos tomados em 5 objetos corresponde a:

10)!3)(!2(

!525 C

Sócios Total Média

1,2 48 24

1,3 52 26

1,4 48 24

1,5 44 22

2,3 56 28

2,4 52 26

2,5 48 24

3,4 56 28

3,5 52 26

4,5 48 24

Organize as médias amostrais em uma distribuição de freqüências.

Média

Amostral

freqüência Freqüência Relativa

(Probabilidade)

22 1 1/10

24 4 4/10

26 3 3/10

28 2 2/10

Calcule a média das médias amostrais e compare-a com a média da população.

A média da população é:

2,255

2226302622

A média das médias amostrais é:

2,2510

)2)(28()3)(26()4)(24()1)(22(

Observe que a média das médias amostrais é igual a média populacional



30

6.2 Teorema do Limite Central

Para uma população com média e uma variância 2 , a distribuição amostral das

médias de todas as possíveis amostras de tamanho n, geradas a partir da população, será

aproximadamente normalmente distribuída – com a média da distribuição amostral

igual e variância igual n/2 - assumindo que o tamanho amostral é

suficientemente grande, ou seja, 30n .

Em outras palavras, se a população tem qualquer distribuição (não precisa ser

necessariamente normal) com média igual a e variância igual a 2 , então a

distribuição amostral dos valores médios amostrais é normalmente distribuída com a

média das médias ( X

) igual a média da população ( X ) e o erro

padrão das médias amostrais igual a n

, desde que n 30 .

Note que o erro padrão das médias amostrais mostra quão próximo da média da

população a média amostral tende a ser.

O erro padrão das médias amostrais é calculado por:

n

X

X

X é o símbolo para o erro padrão das médias amostrais

X é o desvio padrão da população

n é o tamanho da amostra

Se não é conhecido e n 30 (considerada uma amostra grande), o desvio padrão da

amostra, designado por s, é usado para aproximar o desvio padrão da população, . A

fórmula para o erro padrão torna-se:

n

ss

X



31

onde

1

)(1

2

n

XXs

n

ii

6.3 Estimativa de Ponto

Estimativa de ponto é um valor (chamado um ponto) que é usado para estimar um

parâmetro populacional

Exemplos de estimativas de ponto são a média amostral, o desvio padrão amostral, a

variância amostral, a proporção populacional, etc.

Exemplo: O número de itens defeituosos produzidos por uma máquina foi registrado em

cinco horas selecionadas aleatoriamente durante uma semana de trabalho de 40 horas. O

número observado de defeituosos foi 12,4,7,14 e 10. Portanto, a média amostral é 9,4.

Assim a estimativa de ponto para a média semanal do número de defeituosos é 9,4.

6.4 Estimativa de Intervalo

Uma Estimativa de Intervalo estabelece uma faixa de valores dentro da qual um

parâmetro populacional provavelmente cai.

O intervalo dentro do qual um parâmetro populacional é esperado ocorrer é chamado de

intervalo de confiança.

Os intervalos de confiança que são extensivamente usados são os de 95 % e 99 %.

Um intervalo de confiança de 95 % significa que cerca de 95 % dos intervalos

construídos similarmente conterão o parâmetro que está sendo estimado.

Outra interpretação do intervalo de confiança de 95 % é que 95 % das médias amostrais

para um tamanho de amostra especificado cairão a uma distância máxima de 1,96

desvios padrões da média populacional.

Para o intervalo de confiança de 99 %, 99 % das médias amostrais para um tamanho

amostral especificado cairão a uma distância máxima de 2,58 desvios padrões da média

populacional.

Os intervalos de confiança para 95 % e 99 % são construídos como segue, para n 30:

O IC de 95 % para a média populacional é dado por:

n

sX 96,1

O IC de 99 % para a média populacional é dado por:



32

n

sX 58,2

Em geral, um intervalo de confiança para a média, é calculado por:

n

sZX

onde Z é obtido da tabela de distribuição normal padrão.

Exemplo 2

Uma universidade quer estimar o número médio de horas trabalhadas por semana por seus

estudantes. Uma amostra de 49 estudantes mostrou uma média de 24 horas com um desvio

padrão de 4 horas.

A estimativa de ponto do número médio de horas trabalhadas por semana é 24 horas (média

amostral).

Qual é o intervalo de confiança de 95 % para o número médio de horas trabalhadas por

semana ?

Usando a fórmula anterior (

n

sX 96,1 ) temos

49

496,124 ou 22,88 a

25,12. O limite de confiança inferior é 22,88. O limite superior de confiança é 25,12. O

grau de confiança (nível de confiança) utilizado é 0,95.

Interprete os resultados

Se nós tivéssemos tempo para selecionar aleatoriamente 100 amostras de tamanho 49 da

população de alunos do campus e calcular as médias amostrais e os intervalos de

confiança para cada uma destas 100 amostras, a média populacional (parâmetro) do

número de horas trabalhadas estaria contida em cerca de 95 dos 100 intervalos de

confiança. Cerca de 5 dos 100 intervalos de confiança não conteriam a média

populacional.

6.5 Intervalo de Confiança para Uma Proporção Populacional

Um intervalo de confiança para uma proporção populacional é dado por:

p Z p

onde:



33

p é a proporção amostral

p é o erro padrão da proporção amostral e é dado por:

n

ppp

)1(

O intervalo de confiança é construído por:

n

ppp

)1( Z

onde:

p é a proporção amostral

Z é o valor da variável normal padrão para o grau de confiança adotado.

n é o tamanho amostral

Exemplo 3

Um planejador financeiro está estudando os planos de mudança de jovens executivos. Uma

amostra de 500 jovens executivos que possuem suas próprias casas revelou que 175

planejam vendê-las e retirarem-se para o interior do País. Construa um intervalo de

confiança de 98 % para o parâmetro proporção populacional de executivos que planejam

mudar para o interior.

Aqui n = 500, 35,0500

175 p

e Z = 2,33 (para adotado confiança de nível 98,0 )

O CI de 98 % é 0,0497 0,35ou 500

)65,0()35,0(33,235,0

Interprete a resposta

6.6 Fator de Correção de População Finita

Uma população que tem um limite superior definido é chamada de finita. Em

estatística, considera-se como população finita quando 05,0N

n (ou seja, quando a

fração amostral é maior do que 5 %).



34

Para uma população finita, onde o número total de objetos é N e o tamanho da amostra

é n, o seguinte ajuste é feito para os erros padrões da média amostral e da proporção

amostral.

Erro padrão da média amostral:

1

N

nN

nX

Erro padrão da proporção amostral:

1

)1(

N

nN

n

ppp

Este ajuste é chamado de Fator de Correção de População Finita (FCPF)

Nota: se 05,0N

n , o fator de correção de população finita é ignorado.

Exemplo 4

A universidade do exemplo 2 quer estimar o número médio de horas trabalhadas por

semana pelos estudantes. Uma amostra de 49 estudantes mostrou uma média de 24 horas e

um desvio padrão de 4 horas. Construa um intervalo de confiança para o número médio de

horas trabalhadas se há somente 500 estudantes no campus.

Agora 05,0098,0500

49

N

n. Portanto, temos que usar o FCPF

25,11 ; 93,221500

49500

49

496,124

6.7 Selecionando uma Amostra

Há 3 fatores que determinam o tamanho de uma amostra, nenhum dos quais tendo uma

relação direta com o tamanho da população. Eles são:

1. O grau de confiança adotado

2. O máximo erro permissível

3. A variabilidade da população

Uma fórmula de cálculo conveniente para determinar o tamanho amostral n é:



35

2

E

Zsn

onde:

E é o erro permissível

Z é o valor da variável normal padrão associado ao grau de confiança adotado

s é o desvio padrão da amostra piloto

Exemplo 5

Um grupo de consumidores deseja estimar a média de gasto mensal em eletricidade para

um domicílio familiar simples em Julho. Baseado em estudos similares o desvio padrão é

estimado como sendo R$ 20,00. Deseja-se construir um intervalo de confiança de 99 %

com um erro máximo admissível de 00,5$R . Qual deve ser o tamanho da amostra?

10750,106

5

2058,22

n

6.8 Tamanho Amostral para Estimativa de Proporções

A fórmula para determinar o tamanho amostral no caso de estimativa de proporções é:

2

)1(

E

Zppn onde

p é a proporção estimada, baseada na experiência passada ou em uma amostra piloto

Z é o valor da variável normal padrão associado ao grau de confiança adotado.

E é o máximo erro permissível que o pesquisador tolera.

Exemplo 6



36

Um clube deseja estimar a proporção de crianças que tem um cachorro. Se o clube

deseja que a estimativa esteja no máximo afastada 3 % da proporção populacional,

quantas crianças devem conter a amostra? Assuma um intervalo de confiança de 95 %

e que o clube estimou, com base em experiência anterior, que aproximadamente 30 %

das crianças têm um cachorro.

8934,89303,0

96,170,030,0

2

n

7. Teste de Hipóteses – Amostras Grandes

OBJETIVOS:

Definir hipóteses e Testes de Hipóteses

Descrever os 5 passos do procedimento de Teste de Hipóteses

Distinguir entre Teste de Hipóteses Unicaudal e Bicaudal

Realizar um teste para a média populacional

Realizar um teste para a diferença entre duas médias ou proporções populacionais

Descrever os erros estatísticos associados aos testes de hipóteses

Nota:

Se nada é conhecido acerca da população, a estimação é usada para fornecer uma

estimativa de ponto e de intervalo acerca da população.

Se alguma informação acerca da população é proposta ou suspeitada, o Teste de

Hipóteses é usado para determinar a plausibilidade desta informação.

O que é uma hipótese ?

Hipótese: uma sentença sobre o valor de um parâmetro populacional desenvolvida para

o propósito de teste.

Exemplos de hipóteses, ou sentenças, feitas acerca de um parâmetro populacional são:

A renda média mensal proveniente de todas as fontes para os analistas de sistemas é de

US 3625

Vinte por cento de todos os transgressores juvenis são presos e sentenciados a prisão.

O que é um Teste de Hipóteses ?



37

Teste de Hipóteses: um procedimento, baseado na evidência amostral e na teoria da

probabilidade, usado para determinar se a hipótese é uma afirmação razoável e não seria

rejeitada, ou é não razoável e seria rejeitada.

A seguir são propostos 5 passos para um teste de hipóteses:

Passo 1: Estabeleça a Hipótese Nula e a Hipótese Alternativa

Passo 2: Selecione um nível de significância

Passo 3: Identifique a Estatística de teste

Passo 4: Formule uma regra de decisão

Passo 5: Tome uma amostra e obtenha uma decisão: Não rejeitar H0 ou rejeitar H0 e

aceitar H1

Hipótese Nula H0: Uma afirmação (sentença) sobre o valor de um parâmetro

populacional

Hipótese Alternativa H1: Uma afirmação (sentença) que é aceita se os dados amostrais

fornecem evidência de que a hipótese nula é falsa.

Nível de Significância: A probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é

efetivamente verdadeira, ou seja, valor de (alfa)

Erro Tipo I: Rejeitar a Hipótese Nula, H0, quando ela é efetivamente verdadeira. A

probabilidade do erro tipo I é igual ao nível de significância, (alfa).

Erro Tipo II: Aceitar a Hipótese Nula, H0, quando é efetivamente falsa. A

probabilidade do erro tipo II é igual a (beta)

Tipos de Erros

Aceita H0 Rejeita H0

H0 é verdadeira Decisão Correta Erro Tipo I

H0 é falsa Erro Tipo II Decisão Correta

Alfa = erro tipo I Beta = erro tipo II



38

Estatística de Teste (ou z efetivo ou valor de t): Um valor, determinado a partir da

informação amostral, usado para determinar se devemos ou não rejeitar a hipótese nula.

Valor Crítico (ou z crítico ou valor de t): O ponto divisor entre a região onde a hipótese

nula é rejeitada e a região onde ela não é rejeitada. Este valor é obtido a partir da

tabela de z (normal padrão) ou da tabela de t (t de Student).

7.1 Testes de Significância Unicaudais

Um teste é unicaudal quando a hipótese alternativa, H1, estabelece uma direção tal

como:

H0: A renda média das mulheres é menor que ou igual a renda média dos homens.

H1: A renda média das mulheres é maior que a renda média dos homens.

A região de rejeição neste caso é a cauda direita (superior) da curva.

Figura com distribuição normal mostrando a região de rejeição para um teste unicaudal

7.2 Testes de Significância Bicaudais

Um teste é bicaudal quando não existe uma direção especificada para a hipótese

alternativa H1, tal com:

H0: A renda média das mulheres é igual a renda média dos homens.

H1: A renda média das mulheres não é igual a renda média dos homens.

A região de rejeição neste caso é dividida igualmente em duas caudas da curva.

Figura com distribuição normal mostrando a região de rejeição para um teste bicaudal

(distribuição amostral para a estatística z para um teste bicaudal, 0.05 de nível de

significância.

Testando a Média Populacional: Amostra Grande, Desvio Padrão da População é

conhecido.

Neste caso a estatística de teste (z efetivo) é dado por:



39

n

Xz

Exemplo 1

Os processadores de uma indústria indicam o ponto (marca) que a garrafa contem 16

onças (medida inglesa de peso) do produto. O Departamento de Controle de Qualidade

é responsável pelo controle da quantidade incluída na garrafa. Uma amostra de 36

garrafas é selecionada por hora e o seu conteúdo pesado. Na última hora uma amostra

de 36 garrafas apresentou um peso médio de 16,12 onças com um desvio padrão de 0,5

onças.

Ao nível de significância de 0,05 podemos concluir que o processo está fora de

controle?

Passo 1: Estabelecer a Hipótese Nula e a Hipótese Alternativa:

16 :H 16 : 10 H

Passo 2: Estabelecer a regra de decisão:

H0 é rejeitado se o z (efetivo – calculado com base nos valores amostrais) < -1,96 ou z >

1,96.

Passo 3: calcule o valor da estatística de teste ( z efetivo)

44,1]

36

5,0[

]1612,16[ z

Passo 4: Qual é a decisão sobre H0?

H0 não é rejeitada, porque 1,44 é menor que o valor crítico de 1,96.



40

7.3 P-value de um Teste de Hipótese

P-value: Esta é a probabilidade (considerando que a hipótese nula é verdadeira) de ter

um valor para a estatística de teste no mínimo tão extremo como o valor calculado

(efetivo) para o teste.

Se o p-value é menor que o nível de significância (alfa), H0 é rejeitada.

Se o p-value é maior que o nível de siginificância (alfa), H0 não é rejeitada.

7.4 Cálculo do P-value

Teste Unicaudal (para a direita ou cauda superior):

p-value = P{z valor da estatística de teste calculada}

Teste Unicaudal (para a esquerda ou cauda inferior):

p-value = P{z valor da estatística de teste calculada}

Teste Estatístico Bicaudal

p-value = 2P{z valor absoluto do valor da estatística de teste calculado}

Para o exemplo anterior, z = 1,44, e desde que era um teste bicaudal, então o

p-value = 1498,0)4251,05,0(2}44,1{2 zP . Desde que 0,1498 > 0,05, não é

rejeitada H0.

Testando para a Média Populacional: Grandes Amostras, Desvio Padrão Populacional

desconhecido

Aqui é desconhecido, portanto o estimamos com o desvio padrão amostral s.

Quanto maior for o tamanho amostral for n 30, o z efetivo pode ser aproximado com

ns

Xz



41

Exemplo 2

A cadeia de Lojas Arjo emite o seu próprio cartão de crédito. O administrador de

crédito quer verificar se o saldo não pago mensal é maior do que US$ 400. O nível de

significância é fixado em 0,05. Uma amostra aleatória de 172 saldos não pagos revelou

uma média amostral de US$ 407 e o desvio padrão amostral de US$ 38. O admistrador

de crédito pode concluir que a média populacional é maior que US$ 400, ou é razoável

assumir que a diferença de US$ 7 (US$ 407 – US$ 400 é devido a chance (variação

aleatória)?

Etapa 1: Estabeleça a Hipótese Nula e a Hipótese Alternativa.

0 1: 400 H : 400H

Etapa 2: Estabeleça a regra de decisão.

H0 é rejeitada se o z (efetivo) > 1,645.

Etapa 3: Calcule o valor da estatística de teste.

42,2

17238

400407

z

Etapa 4: Qual é a decisão sobre H0?

H0 é rejeitada. O administrador conclui que a média dos saldos nào pagos é maior do que

US$ 400.

Figura ilustrando a região de rejeição do exemplo

7.5 Teste de Hipóteses: Duas Médias Populacionais

Assuma que os parâmetros para duas populações são: 2121 e ,, .

Caso I: Quando 21, são conhecidos, a estatística de teste (Z efetivo) é:



42

2

2

2

1

2

1

21

nn

XXz

Caso II: Quando 21, não são conhecidos mas os tamanhos amostrais n1 e n2 são

maiores ou iguais a 30, a estatística de teste (Z efetivo) é:

2

2

2

1

2

1

21

n

s

n

s

XXz

Exemplo 3

Na indústria X foi realizado um estudo para comparar o número médio de anos de

serviço para aqueles que se aposentaram em 1975 com aqueles que se aposentaram no

último ano. Os seguintes dados amostrais foram obtidos. A um nível de significância de

0,01 podemos concluir que os trabalhadores que se aposentaram no último ano tiveram

mais anos de serviço?

Característica 1975 Último ano

Média Amostral 25,6 30,4

Desvio Padrão Amostral 2,9 3,6

Tamanho amostral 40 4,5

Estabeleça a Hipótese Nula e a Hipótese Alternativa

Considere que a população 2 é aquela dos que se aposentaram no último ano.

121120 :H : H

Estabeleça a regra de decisão

Rejeitar H0 se o z (efetivo) > 2,33.

Calcule o valor da estatística de teste (valor de z efetivo):



43

80,6

40

9.2

45

6,3

6,254,30

22

z

Nota: Desde que neste problema estamos testando para:

H0 : 12

Precisamos trocar as posições das variáveis na equação do z efetivo (a seguinte equação).

2

2

2

1

2

1

21

n

s

n

s

XXz

Z efetivo

Qual é a decisão sobre a hipótese nula ? Interprete os resultados?

Desde que o Z efetivo = 6,80 > Z crítico = 2,33, H0 é rejeitada. Aqueles que se aposentaram

no último ano tiveram mais anos de serviço.

LISTA DE EXERCÍCIOS- ESTATÍSTICA II:

ASSUNTO: INTERVALO DE CONFIANÇA E TESTE DE HIPÓTES.

1-Uma amostra aleatória simples de 40 itens resultou em uma média amostral de 25. O

desvio-padrão da população é = 5

a) Qual é o erro-padrão da média, x ? R. 0,79

b- Qual é a margem de erro para uma probabilidade de 95%? R. 23,45 a 26,55



44

2-Uma amostra aleatória simples de 50 itens resultou em uma média amostral de 32 e um

desvio-padrão da amostra de 6.

a)Forneça um intervalo de confiança de 90% para a média da população. R.30,60 a 33,40

b)Forneça um intervalo de confiança de 95% para a média da população. R.30,34 a 33,66

c)Forneça um intervalo de confiança de 99% para a média da população. R.29,81, a 34,19

3-Os ganhos médios semanais dos indivíduos que trabalham em vários setores foram

apresentados no The New York Times 1998 Amanac. Os ganhos médios semanais para os

indivíduos do setor de serviços foram US$369. Considere que esse resultado foi baseado

em uma amostra de serviço de 250 indivíduos e que o desvio-padrão da amostra foi de

US$50. Calcule um intervalo de confiança de 95% para os ganhos médios semanais da

população para os indivíduos que trabalham no setor de serviços. R. 362,80 a 375,20

4 Em um estudo de subsídios de empréstimos para estudantes, o Departamento de

Educação relatou que aqueles que tomam empréstimos da Stanford Oan com quatro anos de

prazo, terão uma dívida média de US$12.168 (USA Today, 5 abril de 1995). Considere que

essa quantia média de endividamento está baseada em uma amostra de 480 empréstimos de

estudantes, e que na graduação o desvio-padrão da população para a quantia emprestada

seja de US$2.200.

a) desenvolva uma estimativa por intervalo de confiança de 90% da quantia média devida

pela população R.12.003 a 12.333

b) Desenvolva uma estimativa por intervalo de confiança de 95%. da quantia média devida

pela população R.11.971 a 12.365

c) Desenvolva uma estimativa por intervalo de confiança de 99% da quantia média devida

pela população- R.11.909 a 12.427

d) Discuta o que acontece com a amplitude do intervalo de confiança quando o nível de

confiança é aumentado. Isso parece ser razoável? Explique

5 - O departamento de Habitação e de Desenvolvimento Urbano dos Estados Unidos

publica dados sobre o aluguel mensal de mercado para moradia de uma quarto na área

metropolitana(The Federal Register, 30 de abril de 1997). O desvio-padrão para o aluguel

mensal é de aproximadamente US$80. Considere que uma amostra das áreas

metropolitanas será selecionada de modo a se estimar o aluguel médio mensal da população

para a moradia de um quarto. Use uma confiança de 95%

a) Qual o tamanho da amostra se a margem de erro desejada é US$25? R. 40

b) Qual o tamanho da amostra se a margem de erro desejada é US$15? R.110

6 - Os dados de perfil de audiência coletadas no Web site da ESPN Sportszone mostraram

que 26% dos usuários eram mulheres (USA Today, 21 de janeiro de 1998). Considere que

essa porcentagem foi baseada numa amostra de 400 usuários.

a) Usando uma confiança de 95%, qual a margem de erro associada com a proporção

estimada de usuários que são mulheres? R. 0,0430

b) Qual o intervalo de confiança de 95% para a proporção da população dos usuários do

web site da ESPN Sportszone que são mulheres? R. 0,2170 a 0,3030

7- Um levantamento de mulheres executivas realizado por Louis Harris Associates

mostrou que 33% das pessoas pesquisadas avaliaram suas próprias empresas como um



45

exelente lugar para as executivas trabalharem (Wolrking Woman; novembro de 1994),

Suponha que a Wolking Woman queria realizar um levantamento anual para monitorar essa

proporção, quantas executivas deverão ser amostradas para cada uma das seguintes

margens de erro? Assuma que todas as estimativas por intervalo são realizadas em um nível

de confiança de 95%.

a) 10% R. 85

b) 5% R. 340

c) 2% R. 2124

d) 1% R 8494

e) Em geral, o que acontece ao tamanho da amostra quando a margem de erro diminui?

8- De acordo com a National Automobile Dealers Association, o preço médio de carros

usados nos Estados Unidos é US$10.192 (USA Today, 12 de abril de 1995). Um gerente de

uma distribuidora de carros usados de Kansas City reviu uma amostra de 100 recentes

vendas de carros usados na distribuidora. O preço médio da amostra foi de US$9.300 e o

desvio-padrão da amostra foi de US$4.500. Se denota o preço médio da população para

carros usados na distribuidora de Kansas City, faça um teste de hipótese Ho: 10.192 e

Ha: 10.192 com uma significância de 0,05

a) Qual è a conclusão do teste de hipóteses? R.Ho é rejeitado para Z1,65 (Z=1,98,

portanto Ho é rejeitado).

b) Qual é o valor do p-value? R. P= 0,0239

c) Que informação do teste de hipóteses fornece para o gerente da distribuidora de Kansas

City?

9 - O departamento da Análise Econômicas no Departamento de Comércio dos Estados

Unidos relatou que a renda média anual de um residente da Corolina do Norte é de

US$18.688 (USA Today, 24 de agosto de 1995). Um pesquisador do estado da Carolina do

Sul quer testar Ho: = 18.688 e Ha: 18.688, onde é a média anual de um residente da

Carolina do Norte.

a) Qual é a conclusão apropriada se uma amostra de 400 residentes da Carolina do Sul

apresenta uma renda média anual de US$16.860 e um desvio-padrão da amostra de

US$14.624 ao nível de significância de 5% (0,05)?

b) Qual é o valor do p-value para este teste?

10_ Uma empresa paga atualmente a seus operários um salário médio de R$15,00 a hora. A

empresa está planejando construir uma nova fábrica e está considerando diversos locais. A

disponibilidade de mão de obra a uma taxa menor que R$15,00 por hora é um grande fator

de decisão do local. Para uma locação, uma amostra de 40 trabalhadores mostrou um

salário médio atual de R$14,00 por hora e um desvio padrão S = R$2,40.

a) Com um nível de significância de 0,01, os dados da amostra indicam que o local tem

uma taxa de salário significativamente abaixo da taxa de R$15,00 por hora R. rejeita Ho

c) Qual é o p value R. 0,4%

11) Um levantamento da Nilsen forneceu a estimativa de que o número médio de horas

gastas diante da televisão por família é de 7,25 horas por dia. (New York Daily News, 2 de

novembro de 1997) considere que o levantamento da Nilsen envolveu 200 famílias e queo



46

desvio padrão da amostra foi de 2,5 horas por dia. Há dez anos a número médio de horas

gastos diante da TV por família da população foi relatado como sendo 6,70 horas por dia.

a) Elabore um teste de hipótese para a situação

b) Com um nível de significância de 0,01, qual a conclusão sobre qualquer mudança no

tempo gasto diante da TV. Ho é rejeitado

12-Um novo programa de dieta afirma que os participantes perderão em média pelo menos

8 quilos durante a primeira semana do programa. Uma amostra aleatória de 40 pessoas

participando do programa mostrou uma perda de peso médio de 7 quilos. O desvio-padrão

da amostra foi de 3,2 quilos.

a) Qual a regra de rejeição com um nível de significância = 0,05? Ho: 8, Ha: 8

b) Qual é sua conclusão sobre a afirmação feita pelo programa da dieta? R- Rejeita Ho

c) Qual é o valor p-value? R. 0,0239

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

INTERVALO DE CONFIANÇA

TESTE DE HIPÓTESES

1_ Uma população composta por 80 elementos apresenta desvio padrão de 3,2 unidades.

Uma amostra de 20 elementos selecionados ao acaso, sem reposição, apresentou uma média

de 40 unidades. Determine um intervalo de confiança de 85% para a media da população

R. 39,10 < média < 40,90

2_ Em uma cidade há 30 supermercados que comercializam determinado produto, cujo

preço de venda admite distribuição normal de probabilidades.

Uma amostra aleatória de preços deste produto levantados em seis supermercados revelou

os valores de u.m. por kg. 6,4 ; 7,3; 5,8; 6,5; 7,0.;6,0.

Sabe-se que o desvio padrão para os preços deste produto em outra cidade consultado é de

0,5 u.m por kg. Construa um intervalo de confiança de 90% para o preço médio deste

produto nestes supermercados. R. 6,2 a 6,8

3_ Procurando dimensionar a ajuda de custo para seus 50 vendedores, uma empresa

acompanhou os gastos de 15 vendedores e verificou uma despesa média de 20 u.m.

Se a empresa acredita que o desvio padrão para o gasto é 2 u.m., determine um intervalo de

confiança de 98% para o gasto médio dos vendedores desta empresa.

R. 18,98 a 21,02

4_A prefeitura de uma cidade mantém 50 creches e pretende contratar dentista para

implementar um programa de ação preventiva de cárie dentária. Um levantamento em 5

creches revelou que o número médio de crianças com cáries dentária é 20.

Publicações especializadas no assunto afirmam que o desvio padrão para o número de

crianças com cáries dentárias é de 10% do número médio de crianças com cáries.

Construa um intervalo de confiança de 95% para o número médio de crianças com cáries

nas creches desta cidade. R. 18,32 a 21,68

5_Para estimar o tempo necessário para o conserto de 40 máquinas, o encarregado da

manutenção de uma empresa escolheu ao acaso 5 motores e verificou que o tempo médio



47

de conserto é de 4 horas. Por experiência anterior, o encarregado sabe que o desvio padrão

do tempo de conserto corresponde a 15% do tempo médio de conserto.

a) Qual é a previsão mínima e a máxima para o tempo de conserto de um motor, ao nível

de confiança de 98%

b) Qual é a estimativa pontual para tempo médio de conserto das 40 máquinas.

R a) 3,41 a 4,59 b) 160 horas

6_ Com a finalidade de estabelecer o custo de um novo produto, o encarregado de custos

levantou os possíveis fornecedores de um dos componentes deste produto. Dos 60

fornecedores cadastrados foram sorteados e consultados 6 deles. Os preços fornecidos

apresentam uma média de 4,83 u.m. A experiência do encarregado indica que o desvio

padrão para o preço é de 10% deste preço(da média).

Qual deve ser o intervalo de confiança de 93% para o preço médio deste componente

R. 4,49 a 5,17

7_ Qual é precisão da estimação feita no exercício 6.

8_De uma população normal deve ser retirada uma amostra aleatória que avalie a média

populacional com erro padrão de estimativa de duas unidades. Se o desvio padrão

populacional é conhecido e vale 10, qual deve ser o tamanho da amostra, a um nível de

confiança de 90% R. n = 68

9- Uma amostra aleatória de 20 elementos selecionados de uma população normal com

variância 3 apresentou média 50. Teste ao nível de significância de 10% a hipótese Ho: µ =

53. R. Ho é rejeitado ao nível de 10%.

10-Uma amostra aleatória de 40 elementos selecionados de uma população normal com

variância 4 apresentou média 29,5. Um analista afirma que a média populacional é 30.

Teste ao nível de significância de 5% a afirmação do analista.

R.Aceita Ho ao nível de 5%.

11- Uma população normalmente distribuída apresenta média histórica de 6 unidades e

desvio padrão de 0,5 unidades. Uma amostra de 15 elementos selecionados ao acaso

forneceu média 4 e desvio padrão 1.

Teste ao nível de 5% o valor da média histórica, contra a alternativa em que a média

diminuiu. R. Rejeita-se Ho ao nível de 5%.

12- De uma população normal com média história de 18 unidades, 12 elementos foram

selecionados ao acaso, fornecendo média de 17 unidades e desvio padrão de 3 unidades.

Teste ao nível de significância 10% a hipótese nula Ho: > 18.

R. Aceita-se Ho ao nível de 10%

13- Uma população normalmente distribuída forneceu a seguinte amostra aleatória 12; 16;

15; 14; 17; 10; 9; 15; 13; 16.Um estatístico afirma que a média populacional é 15. Teste ao

nível de significância de 5% a afirmação do estatístico. R. Aceita-se Ho ao nível de 5%.



48

14- Com os dados do problema anterior teste ao nível de significância de 5% a afirmação

do estatístico, considerando a hipótese alternativa Ha: < 15 R. Aceita-se Ho ao nível

de 5%.

15- Uma população normal apresenta historicamente o valor médio de 60 unidades. Um

analista , duvidando que este valor persista na atualidade, levantou uma amostra aleatória

de 20 elementos, obtendo o valor médio de 55 unidades com desvio padrão de 2 unidades.

Teste ao nível de significância de 5% a hipótese de que a média histórica é verdadeira

R. Rejeita-se Ho ao nível de 5%.



49

NÚMEROS-ÍNDICE

1- INTRODUÇÃO

Os números-índice são medidas estatísticas freqüentemente usados para comparar

grupos de variáveis relacionadas entre si e para obter um quadro simples e resumido das

mudanças significativas ocorridas ao longo do tempo ou em diferentes lugares.

Podem ser usados para muitos propósitos: índice de preços para o atacado, varejo

(materiais de construção, produtos agrícolas, alimentos, serviços em geral etc, índice de

volume físico, índices de custo de vida etc. São particularmente úteis para o

acompanhamento da inflação, onde são usados para deflacionar séries de valores admitindo

uma certa época-base.

Os números-índice são expressos em termos porcentuais. Os mais usados medem, em

geral, variações de preços e de quantidade ao longo do tempo e são exatamente estes

índices que serão objetos de nosso estudo.

2- RELATIVOS: PREÇO, QUANTIDADE E VALOR

Trata-se do número-índice mais simples, relacionando o preço ou a quantidade ou

ainda o valor de um produto numa época atual (t) com uma época-base (0). Assim, para um

produto:

po = preço na época-base

pt = preço na época atual

qo = quantidade na época-base

qt = quantidade na época atual

vo = valor na época-base

vt = valor na época atual

teremos:

Relativo de Preço :

Relativo de Quantidade :

Relativo de Valor:

Exemplo:

0,t

t

o

pP

p

0,t

t

o

qq

q

0,

.

.

t tt

o o

p qv

p q



50

Em 2004 um empresa vendeu 500 unidades de um produto ao preço unitário de

R$50,00. Em 2006, vendeu 800 unidade do mesmo produto ao preço unitário de R$70,00.

Determinar os relativos de preço, quantidade e valor para o produto, tomando como base

2004.

Solução:

Relativo de Preço: 04,06

701,4 140%

50p

Relativo de Quantidade: 04,06

8001,6 160%

500q

Relativo de Valor: ,

70.8002,24 224%

50.500o tv

Os resultados indicam que em 2006 houve um aumento de 40% no preço, que a

quantidade aumentou em 60% e que o valor das vendas foi 124% superior ao de 2004.

3 - BASE FIXA E BASE MÓVEL

Os relativos acima definidos podem ser avaliados usando uma base fixa para estudos

que não exigem comparação ano a ano, mas comparações entre um determinado ano

considerado significativo (ano inicial de uma mudança ou de alguma meta) e os anos

subseqüentes.

Para estudos em que se deseja interpretar crescimentos anuais, usa-se o número-índice

de base móvel ou índices em cadeia. Assim,

Base fixa: 0,1 0,2 0,3; ; ;...p p p

Base móvel: 0,1 1,2 2,3; ; ;...p p p

Note que tal procedimento é extensivo aos outros relativos.

4- NÚMEROS-ÍNDICE SINTÉTICOS

Na prática, surgem problemas bem mais complexos que a comparação entre termos de

uma série através dos relativos. Esses problemas ocorrem quando o fenômeno em estudo é

resultante da combinação de várias séries. A variação do custo da alimentação é um

exemplo, pois há diversos itens a considerar: pão, leite, carne, ovos, frutas, verduras etc.

Torna-se necessário determinar para cada período um único número-índice que

representa o conjunto dos preços (ou quantidades) dos itens nesse período, além de

relaciona-lo com o conjunto de preços (ou quantidades) do período-base. Precisamos

nestes casos construir os números-índice globais ou sintéticos. Para elaboração de um

índice sintético deveremos preocupar-nos com:



51

4.1 Seleção dos itens

Normalmente não trabalhamos com a totalidade dos itens componentes do fenômeno

a ser estudado. A composição de base ou regime (conjunto de bens e/ou serviços incluídos

nos índices) deve ser orientada por uma técnica de amostragem, e todo cuidado deve ser

tomado para que os itens de maior relevância não sejam excluídos.

4.2 Determinação das ponderações

Ao analisarmos os itens componentes da base, notamos que cada um participa de

maneira diferente na composição do fenômeno. Torna-se então necessária a ponderação

dos diversos itens. Esta ponderação é geralmente um valor representativo de uma

característica. Assim, quantidades consumidas são tomadas como pesos de preços de

consumo; volumes de produção como pesos de índices de preços por atacado etc.

A atualização do pesos bem como revisões de características usadas para a

ponderação devem ser feitas periodicamente.

4.3 Escolha do período-base

Como o número-índice visa estabelecer comparações entre épocas, a escolha de

período-base ou época-base constitui um passo importante. Na realidade, não há normas

fixas para a escolha. Como orientação geral, é fundamental a escolha de uma época-base

que influa o menos possível na variação do índice. Para tanto, deve-se observar:

a) a época-base deve ser um período normal, isto é, um período em que a

característica que se estuda e a característica que serve de ponderação não sofram

variações excepcionais.

b) A abrangência de várias épocas, pois o valor (média dos valores) correspondente a

essas épocas diminui a influência de fatores acidentais.

4.4 Escolha da fórmula

A fórmula a ser escolhida depende intrinsecamente da lógica do sistema de pesos

escolhido no 2º passo, ou de representatividade o valor médio ou central do conjunto,

quando não são utilizados pesos.

A seguir apresentaremos as principais fórmulas de índice sintéticos não-ponderados e

ponderados.

3- PRINCIPAIS ÍNDICES

Sejam



52

Bens 1 2 3 4 5 .... n

Preço época-base: po¹ po² po³ po4 po

5 .... po

n

Preço época atual: pt¹ pt² pt³ pt4

pt5 .... pt

n

Quantidade época-base: qo¹ qo² qo³ qo4 qo

5 ..... qo

n

Quantidade época atual qt¹ qt² qt³ qt4

qt5 .... qtn

Relativos de preços: po¹,t po²,t po³,t po4,t po

5,t .... po

n,t

Relativos de quantidade: qo¹,t qo²,t qo³,t qo4,t qo

5,t .... qo

n,t

Onde

poi = preço na época-base do i-ésimo bem

qoi = quantidade na época-base do i-ésimo bem

pti = preço na época atual do i-ésimo bem

qti = quantidade na época atual do i-ésimo bem

poi,t = relativo de preço do i-ésimo bem

qoi,t = relativo de quantidade do i-ésimo bem.

Índice agregativo simples

De preços:

De quantidades:

Trata-se de um índice de fácil aplicação, que apresenta as seguintes limitações:

a) Não se leva em consideração a importância relativa dos itens. Assim, por exemplo,

no caso do cálculo do índice do custo de alimentação, seria atribuída ao feijão e ao

“caviar” a mesma importância.

b) Não há homogeneidade entre as unidades dos diversos bens. Assim, por exemplo, o

feijão pode vir expresso em quilos e o azeite em litros.

Exemplo:

A tabela a seguir apresenta os preços médios para o varejo e as quantidades vendidas

dos produtos: carne bovina, suína e ovina durante os anos de 2003, 2004 e 2005 (dados

fictícios).

i

pi

pt

I

po

i

t

qi

o

q

I

q



53

2003 2004 2005

Produtos

Preço quant. Preço quant. Preço quant.

Carne bovina 37 120 45 150 43 170

Carne suína 35 80 33 100 38 90

Carne ovina 28 90 30 100 35 150

a) Calcular o índice agregativo simples de preços de 2005, tomando com base 2003

Solução:

05

03

43 38 351,16 116%

37 35 28

i

pi

p

I

p

Portanto, segundo esse índice, houve um aumento de 16% no preço dos produtos de

2005 em relação a 2003.

b) Calcular, segundo o índice agregativo simples de quantidade para 2005, tomando

como base 2004.

Solução:

05

04

170 90 1501,17 117%

150 100 100

i

qi

q

I

q

Portanto, houve um acréscimo de 17% na vendas de 1005 em relação a 2004.

5.2 Índices médios dos relativos

Para o cálculo dos índices médios dos relativos, poderemos utilizar a média

aritmética, harmônica e geométrica.

MÉDIA ARITMÉTICA

Dos Preços:

0

0

,

,

ip t

P tn



54

Das quantidades:

MÉDIA GEOMÉTRICA

Dos preços:

Das quantidades:

MÉDIA HARMÕNICA

Dos preços:

Das quantidades:

Exemplo:



fictícios).

2003 2004 2005

Produtos


Carne bovina 37 120 45 150 43 170

Carne suína 35 80 33 100 38 90

Carne ovina 28 90 30 100 35 150

a) Calcular o índice médio aritmético dos preços para 2005, tomando como base 2003

Solução:

0

0

,

,

iq t

Q tn

0,

,0

0,

1

H

ti

t i

t

n nQ

qq

0,

,0

0,

1

H

t

i

t i

t

n nP

pp

,,1

nGino to t

iQ q

, ,1

nGin

o t o ti

P p



55

03,05

03,05

43 38 35

37 35 28 1,17 117%3

ip

Pn

Logo, segundo esse índice, houve um acréscimo de 17% dos preços em 2005 em relação

a 2003.

b) Determinar índice médio aritmético da quantidades para 2004, tomando como base

2003;

03,04

03,04

150 100 100

120 80 90 1,20 120%3

iq

Qn

Logo, segundo esse índice, houve um acréscimo de 20% das quantidades em 2004 em

relação a 2003.

c) Determinar o índice médio geométrico dos preços de 2004 em relação a 2003.

Solução

304 3303,04

1 03

45 33 30. . .100 1,071 107,1%

37 35 28

iG

ii

pP

p

d) Qual seria a média geométrica da quantidades de 2004 em relação a 2003?

Solução:

304 33

03,04

1 03

150 100 100. . .100 1,2019 120.19%

120 80 90

iG

ii

qQ

q

e) Determinar o índice médio harmônico dos preços de 2005 em relação a 2003.

Solução:

03,053

03

1 05

3 3.100 1,1621 116,21%

37 35 28

43 38 35

H

i

ii

Pp

p

f) Qual seria a média harmônica da quantidades de 2005, sendo 2003 = 100?

Solução:



56

03,05 303

1 05

3 3.100 1,3669 136,69%

120 80 90

170 90 150

H

i

ii

Qq

q

5.3 Índices ponderados

Devido às desvantagens dos índices simples, especialmente pelo fato da não-

existência de diferentes pesos para cada um dos componentes, examinaremos os principais

índices ponderados,

5.3.1 ÍNDICE DE LASPEYRES

Este índice é uma média aritmética ponderada dos relativos, sendo que a ponderação é

feita utilizando-se os preços ou as quantidades da época-base. Dessa forma, o índice de

preços de Laspeyres é dado por:

Quanto ao índice de quantidades de Laspeyres, é dado por:

5.3.2 ÍNDICE DE PAASCHE

Este índice é uma média aritmética ponderada dos relativos, sendo que a ponderação é

feita utilizando-se os preços ou quantidades da época atual. Assim, o índice de preços de

Paasche é dado Por:

0

0

0 0

.

,

.

i i

t

i i

p q

L t

p q

0'

0 0

.

,

.

i i

t

oi i

q p

L t

q p



57

Quanto ao índice de quantidade de Paasche, é expresso por:

5.3.3 INDICE DE FISHER (FÓRMULA IDEAL)

Este índice é obtido pela raiz quadrada do produto dos respectivos índices de

Laspeyres e Paasche. Assim:

Índice e preços:

Índice de quantidades:

EXEMPLO DE APLICAÇÃO



fictícios).

2003 2004 2005

Produtos


Carne bovina 37 120 45 150 43 170

Carne suína 35 80 33 100 38 90

Carne ovina 28 90 30 100 35 150

'

0

.

,

.

i i

t t

oi i

t

q p

P t

q p

0

0

.

,

.

i i

t t

i i

t

p q

P t

p q

' ' ' . ., , . , .

. .

i i i i

t o t t

o o t o t i i i i

o o o t

q p q pI t L P

q p q p

0

. ., , . , .

. .

i i i i

t o t t

i i i i

o o o t

p q p qI t Lo t Po t

p q p q



58

a) Calcular o índice de preços de Laspeyres para 2005, admitindo como período base

2003.

Solução:

05 03

03,05

03 03

.(43).120 (38).80 (35).90

1,16 116%(37).120 (35).80 (28).90

.

i i

i i

p q

L

p q

Assim, houve um acréscimo de 16% no preços de 2005 com relação a 2003.

b) Calcular o índice de quantidade de Laspeyres para 2005, admitindo a base para

2003.

Solução:

05 03'

03,05

03 03

.(170).37 (90).35 (150).28

1,4 140%(120).37 (80).35 (90).28

.

i i

i i

q p

L

q p

Segundo esse índice, houve um aumento de 40% das quantidades em 2005, tomando

2003 como base.

c) Determinar o índice de Paasche para o preço em 2005, tomando como base 2004.

Solução:

05 05

04,05

04 05

.43.(170) 38.(90) 35.(150)

1,06 106%45.(170) 33.(90) 30.(150)

.

i i

i i

p q

P

p q

d) Qual é o índice de quantidades de Paasche para 2005, sendo 2003 a ano base?

Solução:

05 05'

03,05

03 05

.(170).43 (90).38 (150).35

1,41 141%(120).43 (80).38 (90).35

.

i i

i i

q p

P

q p



59

e) Determinar o índice de preços de Fisher para 2005, tomando como 2003 como ano

base.

Solução:

05 0305 05

03,05 03,05 03,05

03 03 03 05

03,05

03,05

..

. .

. .

43.(120) 38.(80) 35.(90) 43.(170) 38.(90) 35.(150).

37.(120) 35.(80) 28.(90) 37.(170) 35.(90) 28.(150)

1,17 117%

i ii i

i i i i

p qp q

I L P

p q p q

I

I

Portanto, segundo a fórmula ideal de Fisher, houve um aumento de 17% nos preços

de 2005, tomando como base 2003.

7-Mudança de base na prática

Na prática, a mudança de base de uma série de números-índice é feita dividindo-se

cada índice da série original pelo número-índice correspondente à nova época básica. Tal

procedimento não é correto em termos matemáticos; todavia, seu uso tem sido freqüente,

com bons resultados.

Exemplo:

A tabela abaixo apresenta o índice de produção industrial de 1997 a 2005, sendo o ano-base

1997. Obter uma nova série de índices, adotando 2001 como base.

Anos 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Ìndice de

Produção

Industrial

(1997=100)

100

104

97

112

120

124

134

125

141

Solução:

O novo índice será obtido dividindo-se cada um dos valores da série por 120, que é o

índice correspondente ao novo ano-base. Assim:

Anos 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Ìndice de

Produção

Industrial

(2001=100)

83

87

81

93

100

103

112

104

118



60

8-DEFLACIONAMENTO OU INFLACIONAMENTO DE DADOS

Para inflacionar ou deflacionar séries de valores, podemos usar qualquer um dos

seguintes deflatores, normalmente encontrados nas revistas especializadas:

IGP – Índice Geral de Preços

ICV – Índice de Custo de Vida

IPA – Índice de Preços ao Atacado

IPC – Índice de Preços ao Consumidor

IPCA – Índice de Preços de Consumo Amplo

Para estudar a evolução real dos salários devemos usar o índice de custo de vida ou

índice de preços ao consumidor. No caso de dados sobre as empresas, podemos utilizar o

índice geral de preços ou índice de preços do atacado.

Exemplo:

Uma empresa possui os dados relativos a seu faturamento ao período de 2000 a 2005,

apresentados na tabela abaixo. Dado o índice geral de preços (IGP) desse período,

determinar:

a) o faturamento real em termos de 2000;

b) o faturamento real em termos de 2005;

c) a variação porcentual do faturamento real ano a ano;

d) a taxa média real do faturamento no período considerado.

Ano 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Faturamento

(R$milhões)

50.000 80.000 130.000 180.000 220.000 270.000

IGP 00 =100 100 137 208 362 691 1.085

Solução:

a) para deflacionarmos ou inflacionarmos os dados deveremos tomar o inverso dos

índices com relação ao ano-base e multiplicar pelos valores que queremos atualizar.

No nosso caso, como queremos o faturamento real em termos de 2000, vamos deflacionar

os dados:



61

Inverso dos Taxa de desvalo- Valores Valores

Ano Índices rização da moeda x correntes deflacionados

2000 (1/100).100 1 x 50.000 = 50.000

2001 (1/137).100 0,729927 x 80.000 = 58.394

2002 (1/208).100 0,480769 x 130.000 = 62.500

2003 (1/362.100 0,276243 x 180.000 = 49.724

2004 (1/691).100 0,144718 x 220.000 = 31.838

2005 (1/1.085).100 0,092166 x 270.000 = 24.885

Observação: poderíamos obter os valores deflacionados dividindo diretamente o valor

corrente pelo índice (80.000/137).100 58.394), porém perderíamos o valor da taxa de

desvalorização da moeda.

Assim, temos todos os valores a preços constantes de 2000 e, portanto, podem ser

comparados, o que não ocorria anteriormente, quando os valores estavam mascarados pela

inflação. Verifica-se que o faturamento realmente cresceu até o ano de 2002, a partir do

qual passou a decrescer continuamente.

b) Para colocarmos os dados em termos do faturamento de 2005, deveremos

inflacionar os dados anteriores. Assim, inicialmente deveremos fazer uma mudança

de base no IGP que foi dado com 2000 = 100 transformando-o em IGP 2005 = 100.

Anos 2000 2001 2002 2003 2004 2005

IGP 00 = 100 100 137 208 362 691 1.085

IGP 05 = 100 9,217 12,627 19,171 33,364 63,687 100

Em seguida, procede-se da maneira idêntica ao caso anterior:



62

Inverso dos Taxa de valoriza- Valores Valores

Ano Índices cão da moeda x correntes Inflacionados

2000 (1/9,217).100 = 10,850 x 50.000 = 542.500

2001 (1/12,627).100 = 7,920 x 80.000 = 633.600

2002 (1/19,171).100 = 5,216 x 130.000 = 678.080

2003 (1/33,364).100 = 2,997 x 180.000 = 539.460

2004 (1/63,687).100 = 1,570 x 220.000 = 345.400

2005 (1/100).100 = 1,00 x 270.000 = 270.000

Observação: Poderíamos obter os valores inflacionados dividindo diretamente os valores

correntes pelo índice (50.000/9,217.100 542.500), porém desconheceríamos a taxa de

valorização da moeda.

Verifica-se então que o faturamento real a preços constantes de 2005, que nos conduz

à mesma interpretação anterior, ou seja, o faturamento cresceu até o ano de 2002, a partir

do qual passou a diminuir.

c) A variação real do faturamento deve ser feita sobre o faturamento a preços

constantes, podendo ter aqui usado tanto o encontrado no item a (2000 = 100) ou no

item b (2005 = 100). Usando os resultados do item b, teremos:

Anos Comparação Móvel Variação Móvel

2001 633.600/542.500 = 1,1679 ou 116,79% + 16,79%

2002 678.080/633.600 = 1,0702 ou 107,02% + 7,02%

2003 539.460/678.080 = 0,7956 ou 79,56% - 20,44%

2004 345.400/539.460 = 0,6403 ou 64,03% - 35,97%

2005 270.000/345.400 = 0,7817 ou 78,17% - 21,83%



63

d) Para calcularmos a taxa média real do faturamento usamos a média geométrica dos

índices da comparação móvel.

5 1,1679.1,0702.0,7956.0,6403.0,7817G

5 0,4977 0,8698G

G = 0,8698

Logo 0,8698 – 1 = - 0,1302 diminuição de 13,02% ao ano.

Podemos obter também dividindo o último valor pelo primeiros e extraindo a média

geométrica do resultado, Assim:

270.000/542.500 = 0,4977

5 0,4977 0,8698G

Logo 0,8698 – 1 = -0,1302 diminuição de 13,02% ao ano.

LISTA DE EXERCÍCIOS

1 Dada a tabela abaixo:

Anos 2001 2002 2003 2004 2005 2006

P Q P Q P Q P Q P Q P Q

Artigos

A 3 10 3,5 15 4,2 18 5,0 25 5,1 23 5,5 28

B 10 20 11 25 13 30 15 35 15 40 17 45

C 5 5 5,5 8 6 18 7,5 10 8 30 9 20

a) Determinar os relativos de preços para o artigo A, tomando 2001 = 100.

b) Determinar os relativos de quantidades para o artigo B, tomando 2002 = 100.

c) Determinar os relativos de valor para o artigo C, sendo 2001 a base.

d) Usando base móvel, estudar as variações de preços para o artigo A.

e) Constate a igualdade q 01,02.q02,03.q03,01 = 1 para o artigo B.

f) Constate a igualdade p03,04.p04,03 = 1 para o artigo C

g) Qual é o valor do índice agregativo simples de preços para 2006, sendo 2001 =

base?

h) Qual a porcentagem de acréscimo ocorrida em 2006, em relação a 2001, das

quantidades? Utilize o índice agragativo simples de quantidades.

i) Considerando 2003 como base, calcular a média aritmética dos relativos de preços

para 2005.



64

j) Calcule o índice de preço de Laspeyres, sendo 2001 = 100 e 2006 a época atual.

k) Calcule L’02,06.

l) Avalie P03,06.

m) Calcule P’04,06.

n) Calcule o índice de preços de Fisher para 2006, considerando 2001 como base.

o) Determine I’02,04

2- Sendo:

JAN. 06 FEV. 06 MAR. 06 ABR. 06

Produtos

P Q P Q P Q P Q

X 100 10 120 20 135 20 135 25

Y 200 5 220 6 230 10 250 15

Z 60 3 65 3 65 2 65 2

a) Determinar o índice de preço Laspeyres para ABRIL, sendo JAN. 06 a base.

b) Constatar que: P’Jan/06;Fev/06 L’Jan/06;Fev/06

c) Construir o índice de quantidades usando a fórmula de Fisher, sendo FEV.06 = 100,

para ABRIL de 06

3- O preço de um artigo em 2002 era 32% maior que o de 2000, porém correspondia a 80%

do preço de 2005. Determinar quanto o preço de 2000 era inferior ao de 2005.

4- Se o ICV (Índice de custo de vida) apresentar um acréscimo de 20%, qual será a perda

do poder aquisitivo dos assalariados?

5- Uma empresa apresentou os seguintes dados relativos ao seu faturamento no período de

2000 a 2004.

Ano 2000 2001 2002 2003 2004

Faturamento

(Milhões R$)

50.000

60.000

140.000

200.000

250.000

O índice Geral de Preços para o mesmo período indicou:

Ano 2000 2001 2002 2003 2004

IGP(03

=100)

407 559 848 1.473 2.811

Calcular:



65

a) o faturamento real da empresa a preços de 2000;

b) a taxa anual de variação do faturamento;

c) a taxa média anual de variação do faturamento. -7,76%

REGRESSÃO LINEAR E CORRELAÇÃO

1- Introdução

Um dos maiores problemas para o investigador de fenômenos humanos ou físicos é o

estabelecimento de um modelo matemático que descreva e explique o fenômeno ocorrido

na vida real, com boa aproximação. A busca de uma relação funcional entre as variáveis

observadas que descrevem o fato é uma tarefa de muitos cientistas em qualquer área de

estudos. Assim, o pediatra tem interesse em estabelecer uma relação funcional entre o peso

e a altura dos bebês; o economista busca o estabelecimento de uma função que explique o

comportamento das vendas, em unidades de um produto, em função do preço; o

administrador precisa de uma função que descreva os custos de um produto, quando as

quantidades variam; o engenheiro quer saber a relação funcional entre a resistência do

concreto e a razão água/cimento; o médico tem interesse em relacionar através de uma

função o volume do plasma sangüíneo e a superfície dos corpos dos pacientes; o psicólogo

deseja a função que explique o QI (quociente de inteligência) etc.

Seja Y uma variável que nos interessa estudar e cujo comportamento futuro

desejamos prever. É fácil identificarmos uma série de variáveis Xi (x1, X2, X3, ...., Xn)

que influenciam o comportamento de Y, a variável dependente do modelo. A Estatística

oferece meios de chegarmos à relação função entre a variável dependente (Y) e as variáveis

independentes ou explicativas (X1, X2, X3, ... , Xn) através da análise de regressão.

Quanto maior o número de variáveis explicativas, mais completo será o modelo. Todavia,

sua solução será também mais difícil e complexa. Em razão disso, limitaremos nossa

exposições ao caso em que apenas duas variáveis intervêm no modelo; a variável

dependente Y e a variável independente X. Apresentaremos a penas o estudo da função

linear (ajustamento de uma reta), isto é, estudaremos o modelo:

Onde a e b são os parâmetros da função.

Uma maneira bastante prática para auxílio na determinação da função entre as

variáveis dependente e independente é a construção do gráfico denominado diagrama de

dispersão. Para desenharmos o diagrama de dispersão devemos coletar uma amostra de

valores X e Y: (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), ..., (xn, yn), marcando esses pontos num

sistema de coordenadas cartesianas. Assim:

Y = b + aX



66

y

yn

y2

y3

y1

x1 x2 x3 ... xn x

Diagrama de dispersão.

Pela análise de nuvem de pontos assinalados, teremos melhores condições de

especificar a função que relaciona as variáveis. No caso do ajustamento de uma linha reta,

o diagrama de dispersão apresentará uma nuvem de pontos que nos irá sugerir uma relação

linear entre X e Y. É também provável que a nuvem de pontos nos indique outros tipos de

funções ( exponencial, parábola etc.). Tais ajustamentos fogem aos objetivos desse curso.

2- Ajustamento da reta

Estabelecido o modelo Y = b + aX, precisamos dos valores de a e b de forma que

nossa reta passe tão próximo quanto possível dos pontos assinalado no diagrama de

dispersão. Isto é, queremos minimizar a discrepância total entre os pontos marcados e a

reta que iremos determinar. O melhor método para a determinação dos parâmetros a e b

que minimize as discrepâncias é o método dos Mínimos Quadrados. Segundo esse método,

poderemos avaliar as parâmetros a e b pela aplicação da seguintes fórmulas:

1

22

1

. . .

.

n

i i

i

n

i

i

x y n X Y

a

x n X

b = y ax

onde n = tamanho da amostra

1

n

i

i

x

Xn

1

n

i

i

y

Yn



67

3- Exemplo de aplicação

Suponhamos que num determinado período tenham sido registradas as seguintes

observações relativas a preços e respectivas quantidades demandadas de certo bem, no

mercado.

P 1 2 3 4

D 8 5 4 1

a) Esboce os pontos num sistema cartesiano e trace uma linha que melhor ajuste este

pontos.

b) Faça a regressão linear para determinar a reta y = Ax + B, onde

n

xi.yi - n. X. Y

a = i=1

b = Y - AX

n

( xi)² - n.(X)²

i=1

Solução

a)

D

8

5

4

1

0 1 2 3 4 P



68

b)

x = P y = D x² = P² x.y = P.D

1 8 1 8

2 5 4 10

3 4 9 12

4 1 16 4

10 18 30 34

a = 34 – 4.2,5.4,5 = -11 b = 4,5 – (-11).2,5 = 10

30 – 4.2,5² 5 5

Portanto: D = -(11/5).P + 10, é a reta que melhor ajusta a distribuição (P, D) dada.

Exercícios

1- Determinar a equação de uma reta que melhor ajuste cada uma das demandas dadas

pelas tabelas abaixo:

a) Pi 2 3 4 5 6 b) Pi 6 8 9 10 11

Di 12 8 7 6 3 Di 18 13 12 6 3

D = -2P + 15,2 D = -3P + 36,8

2- Aproximar, pela reta de regressão linear, a distribuição de pontos a tabela abaixo que

representa as quantidades oferecidas e os preços de um bem num determinado período.

P 6 7 8 9 10

S 1 2 4 8 15 S = 3,4P – 21,2

Outro exemplo

Sendo:

Ano 2000 2001 2002 2003 2004

Produção de ferro (t) 17,5 19 23,3 28,7 35

( em toneladas)

a) Ajustar uma reta aos dados.

b) Estimar a produção para 2005.

Solução:



69

Observamos que a variável dependente é a produção de ferro (y) e que a variável

independente é o tempo (t). O uso dos valores 2000, 2001, ... não é conveniente, pois

acarretaria um número de cálculos muito grande. Assim, para séries temporais ou

cronológicas (a variável observada no tempo), é comum a mudança da variável t para x.

Assim, no exemplo, xi = ti – 2002 é uma interessante transformação. A mudança para o

caso de n (número de observações) ímpar é dada por xi = ti – to, onde to é o elemento

central da série. No exemplo to = 2002. Para n par, to será a média entre os

elementos centrais de ordem n/2 e n/2 + 1. Isto é se n = 4, então n/2 = 2º elemento e n/2

+ 1 = 3º elemento, logo to = ( 2º elemento + 3º elemento) / 2.

Para obtermos os valores de xi inteiros, convém neste caso multiplicarmos (ti – to)

por 2 e prosseguir naturalmente.

Voltando ao exemplo, teremos:

ti xi = (ti – 2002) Y X.Y X²

2000 -2 17,5 -35 4

2001 -1 19,0 -19 1

2002 0 23,3 0 0

2003 1 28,7 28,7 1

2004 2 35,0 70 4

0 123,5 44,7 10

a)

Ajuste da reta

1

22

1

. . .

.

n

i i

i

n

i

i

x y n X Y

a

x n X

= (44,7 – 5.0.24,7)/(10 – 5.0²) = 4,47

b = y ax = 24,7 – 4,47.0 = 24,7

Logo y = 24,7 + 4,47x é a reta pedida.

b) Para determinação da produção para 2005 teremos: quando ti = 2005, xi = (2005 –

2002) = 3, logo,

y = 24,7 + 4,47.(3) = 24,7 + 13,41 = 38,11 toneladas é a quantidade prevista para 2005.

EXERCÍCIOS

1- Os lucros de uma companhia no período de 2002 a 2006 são dados abaixo:

Ano 2002 2003 2004 2005 2006

Lucro(milhões) 2,3 3,5 5,8 6,5 7,0



70

a) Mudar a variável e determinar a equação da reta que melhor ajusta a tabela.

b) Estimar os lucros para 2007.

2- As importações de determinada matéria-prima no período de 2001 a 2006 encontram-se

na tabela abaixo:

Ano 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Quantidade (t) em ton. 50 47 35 30 24 10

a) Mudar a variável t para x.

b) Determinar a reta que melhor ajuste os pontos

c) Fazer uma estimativa da importação para 2007.

4- CORRELAÇÃO LINEAR

No tópico anterior aprendemos a determinação de uma função linear que relacionava

as variáveis derivadas de uma experimentação da vida real. Aqui, nosso interesse é medir o

grau de relação existente entre duas variáveis aleatórias. Assim, por exemplo, poderíamos

querer o grau de relacionamento entre o peso e a altura de um grupo de pessoas; entre o

cigarro e a doença do coração; entre sensibilidade para a música e vocação para a ciência;

entre inteligência e beleza etc.

Para avaliar o grau de correlação linear entre duas variáveis, ou seja, medir o grau de

ajustamento dos valores em torno de uma reta, usaremos o coeficiente de correlação de

Pearson, que é dado por:

1 1 1

2 2

1 1 1 1

. . ( ).( )

[ . ( )²].[ . ( )²]

n n n

i i i i

i i i

n n n n

i i i i

i i i i

n x y x y

r

n x x n y y

onde n é o número de observações.

Pode-se demonstrar que o valor do coeficiente de correlação r sempre deverá estar

entre –1 e +1. Geralmente multiplicamos o valor encontrado r por 100, dando a resposta

em porcentagem. Observem abaixo a configuração do diagrama de dispersão para diversos

valores de r.

r = 1 (correlação linear perfeita – positiva)

r = -1 (correlação linear perfeita – negativa).

r > 0 (forte correlação positiva) – pontos próximos da reta no sentido positivo.

r < 0 (forte correlação negativa) – pontos próximos da reta no sentido negativo



71

r > 0 (fraca correlação positiva) – pontos mais afastados da reta no sentido positivo.

r < 0 (fraca correlação negativa) – pontos mais afastados da reta no sentido negativo

r = 0 (ausência de correlação linear)

Exemplo de aplicação:

Dez alunos foram submetidos a um teste de Estatística e de Matemática, obtendo as

seguintes notas:

Aluno A B C D E F G H I J

Matemática

(x)

7 6 9 10 3 4 8 7 6 2

Estatística

(y)

6 5 10 9 2 3 9 5 6 3

Determinar o coeficiente de correlação entre as notas.

Solução

É conveniente a construção da tabela:

X Y X.Y X² Y²

7 6 42 49 36

6 5 30 36 25

9 10 90 81 100

10 9 90 100 81

3 2 6 9 4

4 3 12 16 9

8 9 72 64 81

7 5 35 49 25

6 6 36 36 36

2 3 6 4 9

62 58 419 444 406

1 1 1

2 2

1 1 1 1

. . ( ).( )

[ . ( )²].[ . ( )²]

n n n

i i i i

i i i

n n n n

i i i i

i i i i

n x y x y

r

n x x n y y

10.419 62.58

[10.444 62²].[10.406 58²]r

= 0,9....

r = 94%. Este resultado indica uma forte correlação entre as notas de Matemática e

Estatística para esse grupo de 10 alunos.



72

EXERCÍCIOS

1- Sendo

X 0 1 2 3 4 5

Y 10 20 30 40 50 60

Calcular o coeficiente de correlação.

2- Calcular o coeficiente de correlação para:

X 10 20 30 40 50

Y 6 8 7 8 6

3- A tabela abaixo apresenta uma amostra com os pesos de 10 pais e de seus filhos mais

velhos.

Peso dos pais (X) 60 65 70 68 63 69 71 64 66 64

Peso dos

filhos(Y)

63 64 71 69 63 68 73 63 64 62

Calcular o coeficiente da correlação entre os pesos dos pais e dos filhos, utilizando as

seguintes transformações da variáveis.

Z = (X – 66) e W = (Y – 67).

A mudança de variável é conveniente pois abrevia o número de cálculos.



73

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:

1- DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE

1.1 Variáveis Aleatórias

1.2 Variáveis Aleatórias Discretas

1.3 Variáveis Aleatórias Contínuas

1.4 Distribuições Discreta de Probabilidades

1.5 Valor Esperado

1.6 Variância

2.DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADE

2.1 Distribuição Uniforme de Probabilidade

2.2 Área como uma medida de Probabilidade

2.3 Distribuição Normal de Probabilidade

2.4 Curva Normal

2.5 Distribuição Normal-Padrão de Probabilidade

2.6 Calculando Probabilidade de qualquer Distribuição Normal de Probabilidade

2.7 Aproximação da Normal das Probabilidades Binomiais.

3 -DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS

3.1 Amostragem Aleatória Simples

3.2 Amostragem de População Finita

3.3 Amostragem de População Infinita

3.4 Estimativa por Ponto

3.5 Introdução às Distribuições Amostrais

3.6 Distribuição Amostral da Média

3.7 Valor Esperado da Média

3.8 Desvio-Padrão da Média

3.9 Teorema do Limite Central.

4- INTERVALOS DE CONFIANÇA

4.1 Estimativa de Intervalo de confiança das médias amostrais

4.2 Estimativa de Intervalo de Confiança de uma proporção populacional

4.3 Cálculo do tamanho amostral para estimativa das médias amostrais

4.4 Cálculo do tamanho amostral para estimativa de proporções.

5- TESTE DE HIPÓTESES

5.1 Desenvolver as Hipóteses Nula e Alternativa

5.2 Teste das Hipóteses de Pesquisa



74

5.3 Erros do Tipo I e do tipo II

5.4 Testes Unicaudais e Bicaudais da Média e da Proporção de uma População

5.5 Etapas do Teste de Hipótese.

6- REGRESSÃO LINEAR E CORRELAÇÃO

6.1 Ajustamento de uma reta que relaciona duas variáveis

6.2 Avaliar o grau de correlação linear entre duas variáveis

6.3 Medir o grau de ajustamento dos valores em torno de uma reta.

7- NÚMEROS ÍNDICES

7.1 Cálculo dos relativos: preço, quantidade e valor

7.2 Base fixa e base móvel

7.3 Números-índice simétricos

7.4 Principais índices

7.4.1 Índice agregativo simples

7.4.2 Índices médio dos relativos

7.4.3 Índices ponderados

7.4.3.1 Índice de Laspeyres

7.4.3.2 Índice de Paache

7.4.3.3 Índice de Fisher (fórmula ideal)

7.5 Mudança de base

7.6 Deflacionamento ou inflacionamento de dados.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

BÁSICA:

SPIEGEL, Murraay R. Estatística. 3ª ed. Pearson, São Paulo, 2006.

STEVENSON, William J. Estatística aplicada a administração. 1ª ed. Harbra, São Paulo,

2001.

ANDERSON, David R. Estatística aplicada à administração e economia. 2ª ed. Thomson,

São Paulo, 2005.

VIEIRA, Sonia Vieira. Elementos de estatística. 4ª ed., São Paulo: Atlas, 2003.

COMPLEMENTAR:

KAZMIER, Leonard J. Estatística aplicada à administração e economia. Rio de Janeiro,

McGraw Hill, 1982.

NAZARETH, F. E. M. de. Curso básico de estatística. São Paulo: Ática, 1987.



75

ESTATÍSTICA II

Estudo de caso.

1- OBJETIVO:

Aplicar e interpretar os conceitos básicos de estatística

indutiva (inferencial) em situações práticas do cotidiano.

2-PROCEDIMENTOS

2.1- Elege-se uma população alvo para o estudo.

2.2- Elaborar um resumo sobre a parte teórica de variável aleatória contínua

normal (padronizada), intervalos de confiança e teste de hipótese.

2.3- Destacar uma amostra da população com seus parâmetros (média e desvio

padrão), em seguida fazer a estatística populacional referente os parâmetros

(média de o desvio padrão) com o IC de 95%, 99%.

2.4 Destaque uma amostra da população e elabore o teste de hipótese quanto

aos parâmetros: média e desvio- padrão. Por ex. Se há desconfiança em

relação ao peso dos pacotes de arroz de uma determinada marca, pegue uma

amostra e faz o teste de hipótese.

OBS. Nem sempre uma determinada variável é viável fazer uma estatística por

IC e ao mesmo tempo um teste de hipótese. Pense nisso....

2.5- Interpretar os resultados da estatística sobre a população.

material de estatÍstica ii prof. mÁrio roberto · material de estatÍstica ii –prof.mÁrio...

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