livro estatística ii carina

Caderno de Estatstica II Dom Alberto

Prof: Carina Ins Panke da Silva

Cincias

ontbeis

ADMINISTRAO

C122 SILVA, Carina Ins Panke da

Caderno de Estatstica II Dom Alberto / Carina Ins Panke da Silva. Santa Cruz do Sul: Faculdade Dom Alberto, 2010.

Inclui bibliografia.

1. Administrao Teoria 2. Cincias Contbeis Teoria 3. Estatstica II Teoria I. SILVA, Carina Ins Panke da II. Faculdade Dom Alberto III. Coordenao de Administrao IV. Coordenao de Cincias Contbeis V. Ttulo

CDU 658:657(072)

Catalogao na publicao: Roberto Carlos Cardoso Bibliotecrio CRB10 010/10

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Apresentao

O Curso de Administrao da Faculdade Dom Alberto iniciou sua trajetria acadmica em 2004, aps a construo de um projeto pautado na importncia de possibilitar acesso ao ensino superior de qualidade que, combinado seriedade na execuo de projeto pedaggico, propiciasse uma formao slida e relacionada s demandas regionais.

Considerando esses valores, atividades e aes voltadas ao ensino slido viabilizaram a qualidade acadmica e pedaggica das aulas, bem como o aprendizado efetivo dos alunos, o que permitiu o reconhecimento pelo MEC do Curso de Administrao em 2008.

Passados seis anos, o curso mostra crescimento quantitativo e qualitativo, fortalecimento de sua proposta e de consolidao de resultados positivos, como a publicao deste Caderno Dom Alberto, que o produto do trabalho intelectual, pedaggico e instrutivo desenvolvido pelos professores durante esse perodo. Este material servir de guia e de apoio para o estudo atento e srio, para a organizao da pesquisa e para o contato inicial de qualidade com as disciplinas que estruturam o curso.

A todos os professores que com competncia fomentaram o Caderno Dom Alberto, veculo de publicao oficial da produo didtico-pedaggica do corpo docente da Faculdade Dom Alberto, um agradecimento especial.

Lucas Jost Diretor Geral

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PREFCIO

A arte de ensinar e aprender pressupe um dilogo entre aqueles que interagem no processo, como alunos e professores. A eles cabe a tarefa de formao, de construo de valores, habilidades, competncias necessrias superao dos desafios. Entre estes se encontra a necessidade de uma formao profissional slida, capaz de suprir as demandas de mercado, de estabelecer elos entre diversas reas do saber, de atender s exigncias legais de cada rea de atuao, etc.

Nesse contexto, um dos fatores mais importantes na formao de um profissional saber discutir diversos temas aos quais se aplicam conhecimentos especficos de cada rea, dispondo-se de uma variedade ampla e desafiadora de questes e problemas proporcionada pelas atuais conjunturas. Para que isso se torne possvel, alm da dedicao daqueles envolvidos no processo de ensino-aprendizagem, preciso haver suporte pedaggico que d subsdios ao aprender e ao ensinar. Um suporte que supere a tradicional metodologia expositiva e atenda aos objetivos expressos na proposta pedaggica do curso.

Considerando esses pressupostos, a produo desse Caderno Dom Alberto parte da proposta pedaggica do curso da Faculdade Dom Aberto. Com este veculo, elaborado por docentes da instituio, a faculdade busca apresentar um instrumento de pesquisa, consulta e aprendizagem terico-prtica, reunindo materiais cuja diversidade de abordagens atualizada e necessria para a formao profissional qualificada dos alunos do curso.

Ser um canal de divulgao do material didtico produzido por professores da instituio motivao para continuar investindo da formao qualificada e na produo e disseminao do que se discute, apresenta, reflete, prope e analisa nas aulas do curso. Espera-se que os leitores apreciem o Caderno Dom Alberto com a mesma satisfao que a Faculdade tem em elaborar esta coletnea.

Elvis Martins Diretor Acadmico de Ensino

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Sumrio

Apresentao........................................................................................................

Prefcio.................................................................................................................

Plano de Ensino....................................................................................................

Aula 1 Distribuio de Probabilidades.............................................................................

Aula 2 Distribuio de Probabilidades (Continuao)......................................................

Aula 3 Distribuio de Probabilidades (Continuao)......................................................

Aula 4 Estimativas...........................................................................................................

Aula 5 Estimativas (Continuao) ....................................................................................



Aula 8 Teste de Hipteses................................................................................................

Aula 9 Teste de Hipteses (Continuao)........................................................................

Aula 10 Teste de Hipteses (Continuao)........................................................................

Aula 11 Correlao e Regresso.......................................................................................

Aula 12 Sries Temporais...................................................................................................

Aula 13 Sries Temporais (Continuao)...........................................................................

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Misso: "Oferecer oportunidades de educao, contribuindo para a formao de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento tico e visando ao desenvolvimento regional.

Centro de Ensino Superior Dom Alberto

Plano de Ensino

Identificao Curso: Administrao/Cincias Contbeis Disciplina: Estatstica II Carga Horria (horas): 60 Crditos: 4 Semestre: 3

Ementa Inferncia estatstica. Testes de Hipteses. Correlao e regresso. Nmeros ndices e Anlise de Sries Temporais.

Objetivos Geral: Oferecer condies para que o aluno possa utilizar esta ferramenta dando-lhe condies para que possa coletar, interpretar e concluir sobre os resultados obtidos atravs da observao de dados coletados. Que o aluno possa ainda verificar as variaes dos preos de produtos utilizados em sua empresa atravs da compreenso da Srie de Nmeros ndices, podendo inclusive projetar estas variaes, a fim de implementar estratgias competentes para a empresa.

Especficos: Apresentao de exemplos de distribuio de probabilidades, que sejam capazes de propiciar ao aluno uma identidade com problemas especficos da empresa, possibilitando melhor preparo na identificao de problemas podendo preveni-los no futuro. Atravs da compreenso da srie de nmeros ndices, a realizao de uma pesquisa dentro da empresa em que o aluno est familiarizado, identificando produtos com preos e quantidades para que dessa forma possa calcular as variaes de preos.

Inter-relao da Disciplina Horizontal: Matemtica Aplicada I, Estatstica Aplicada I.

Vertical: Administrao Estratgica, Elaborao e Anlise de Projetos, Oramento Empresarial e Mercado de Capitais.

Competncias Gerais Realizar tomada de deciso: coletar, interpretar e concluir sobre os resultados obtidos. Desenvolver raciocnio lgico, crtico e analtico: verificar variaes (nmeros ndices), projetar as variaes para implementar estratgias competentes. Revelar-se um profissional adaptvel.

Competncias Especficas Identificar problemas especficos, compreender e ler dados coletados , produzir estratgias eficazes e eficientes.

Habilidades Gerais Reconhecer e definir problemas, pensar estrategicamente, transferir e generalizar conhecimentos e transferir conhecimentos de experincias cotidianas para o ambiente de trabalho.

Habilidades Especficas Equacionar solues, inferir, testar, correlacionar, calcular nmeros ndices e analisar sries temporais.

Contedo Programtico PROGRAMA:

1. Distribuio de Probabilidades; 2. Distribuio Binomial de Probabilidades; 3. Distribuio Normal de Probabilidades; 4. Inferncia Estatstica:

- Amostragem; - Margem de erro;

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- Intervalos de Confiana; - Tamanho da Amostra;

5. Testes de Hipteses para mdias e propores; 6. Anlise de Regresso e Correlao; 7. Anlise de Sries Temporais; 8. Nmeros ndices; 9. Srie de nmeros ndices.

Estratgias de Ensino e Aprendizagem (metodologias de sala de aula) Aulas participativas, aulas expositivas, exerccios, trabalhos individuais.

Avaliao do Processo de Ensino e Aprendizagem A avaliao do processo de ensino e aprendizagem deve ser realizada de forma contnua, cumulativa e sistemtica com o objetivo de diagnosticar a situao da aprendizagem de cada aluno, em relao programao curricular. Funes bsicas: informar sobre o domnio da aprendizagem, indicar os efeitos da metodologia utilizada, revelar conseqncias da atuao docente, informar sobre a adequabilidade de currculos e programas, realizar feedback dos objetivos e planejamentos elaborados, etc.

A forma de avaliao ser da seguinte maneira:

1 Avaliao Peso 8,0 (oito): Prova; Peso 2,0 (dois): Trabalho

O Trabalho ser definido no decorrer das aulas, sendo algumas questes dissertativas que os alunos tero que resolver e entregar.

2 Avaliao - Peso 8,0 (oito): Prova; - Peso 2,0 (dois): referente ao Sistema de Provas Eletrnicas SPE (maior nota das duas

provas do SPE)

Observao: As provas do SPE devero ser realizas at o dia 30/09/2010 (1 prova SPE) e at o dia 30/11/2010 (2 prova SPE), sendo obrigatria a realizao de ao menos uma prova.

Avaliao Somativa A aferio do rendimento escolar de cada disciplina feita atravs de notas inteiras de zero a dez, permitindo-se a frao de 5 dcimos. O aproveitamento escolar avaliado pelo acompanhamento contnuo do aluno e dos resultados por ele obtidos nas provas, trabalhos, exerccios escolares e outros, e caso necessrio, nas provas substitutivas. Dentre os trabalhos escolares de aplicao, h pelo menos uma avaliao escrita em cada disciplina no bimestre.

O professor pode submeter os alunos a diversas formas de avaliaes, tais como: projetos, seminrios, pesquisas bibliogrficas e de campo, relatrios, cujos resultados podem culminar com atribuio de uma nota representativa de cada avaliao bimestral. Em qualquer disciplina, os alunos que obtiverem mdia semestral de aprovao igual ou superior a sete (7,0) e freqncia igual ou superior a setenta e cinco por cento (75%) so considerados aprovados. Aps cada semestre, e nos termos do calendrio escolar, o aluno poder requerer junto Secretaria-Geral, no prazo fixado e a ttulo de recuperao, a realizao de uma prova substitutiva, por disciplina, a fim de substituir uma das mdias mensais anteriores, ou a que no tenha sido avaliado, e no qual obtiverem como mdia final de aprovao igual ou superior a cinco (5,0).

Sistema de Acompanhamento para a Recuperao da Aprendizagem Sero utilizados como Sistema de Acompanhamento e Nivelamento da turma os Plantes Tira-Dvidas que so realizados sempre antes de iniciar a disciplina, das 18h30min s 18h50min, na sala de aula.

Recursos Necessrios Humanos

Professor. Fsicos

Laboratrios, visitas tcnicas, etc. Materiais

Recursos Multimdia.

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Bibliografia Bsica

CRESPO, Antnio Arnot. Estatstica fcil. 18. ed. So Paulo: Saraiva, 2002.

SILVA, Ermes Medeiros da. et al. Estatstica: para cursos de economia, administrao e cincias contbeis. So Paulo: Atlas, 1999. 1 e 2 v.

MORETTIN, Pedro A; BUSSAB, Wilton de O. Estatstica bsica. 5. ed. So Paulo: Saraiva 2003.

TOLEDO, Geraldo Luciano; OVALLE, Ivo Izidoro. Estatstica bsica. 2. ed. So Paulo: Atlas, 1995.

SPIEGEL, Murray R.. Estatstica. 3. ed. So Paulo: Pearson Education, 1994. Complementar

BARBETTA, Pedro Alberto. Estatstica aplicada s cincias sociais. 5. ed. Florianpolis: UFSC, 2002.

MOORE, David. A Estatstica bsica e a sua prtica. Rio de Janeiro: LTC, 2005.

BUNCHAFT G.; KELLNER S. R. O. Estatstica sem mistrio. Petrpolis: Vozes; 1999.

FONSECA, Jairo Simon da; MARTINS, Gilberto. Curso de estatstica. So Paulo: Atlas, 1996.

MARTINS, Gilberto de Andrade; DONAIRE, Denis. Princpios de estatstica. So Paulo: Atlas, 1990. Peridicos

Jornais: Gazeta do Sul, Zero Hora. Revistas: Exame, Amanh, Veja, Isto .

Sites para Consulta http://www.ime.usp.br http://www.ibge.gov.br

Outras Informaes Endereo eletrnico de acesso pgina do PHL para consulta ao acervo da biblioteca: http://192.168.1.201/cgi-bin/wxis.exe?IsisScript=phl.xis&cipar=phl8.cip&lang=por

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Cronograma de Atividades Aula Consolidao Avaliao Contedo Procedimentos Recursos

1 Introduo da disciplina (apresentao, acordos e cronograma). Reviso de probabilidades. Distribuio de Probabilidade Binomial.

AE QG/DS/LB

2 Distribuio Probabilidade Binomial e Distribuio Probabilidade Normal. AE/TG QG/DS/LB

3 Distribuio Probabilidade Normal. AE QG/DS

4 Distribuio Probabilidade Normal. AE QG/DS

5 Estimativas: Margem de erro e Intervalos de Confiana para grandes e pequenas amostras Para mdias. AE QG

6 Estimativas: Tamanho da Amostra AE QG

7 Estimativas: Margem de erro e Intervalos de Confiana para propores. AE QG

1 Consolidao e Sistematizao dos Contedos da 1 Avaliao. AE QG

1 Primeira Avaliao.

8 Teste de Hipteses para mdia. Interpretao. AE QG

9 Teste de Hipteses para mdia. Interpretao. AE QG

10 Testes de Hipteses para proporo. Teste de Hipteses com duas mdias e propores. Interpretao. AE/TG QG

11 Introduo a Correlao e Regresso. Clculos e interpretao. AE QG/DS /LB

12 Clculos de Correlao e Regresso atravs das funes estatsticas e Anlise de Dados. AE QG/DS /LB

13 Sries Temporais. Nmeros ndices e seus mtodos de clculo. Sries de Nmeros ndices. AE QG/DS

2 Consolidao e Sistematizao dos Contedos da 2a Avaliao. AE QG

2 Segunda Avaliao.

3 Avaliao Substitutiva

Legenda Cdigo Descrio Cdigo Descrio Cdigo Descrio AE Aula expositiva QG Quadro verde e giz LB Laboratrio de informtica TG Trabalho em grupo RE Retroprojetor PS Projetor de slides TI Trabalho individual VI Videocassete AP Apostila SE Seminrio DS Data Show OU Outros PA Palestra FC Flipchart

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CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO

I. DISTRIBUIO DE PROBABILIDADES

1.1 Distribuio Binomial Variveis Discretas

Uma varivel aleatria associa um valor numrico a cada resultado de um experimento aleatrio e uma distribuio de probabilidades associa uma probabilidade a cada valor de uma varivel aleatria. Os experimentos binomiais tm a caracterstica de apresentarem exatamente dois resultados complementares: em processos industriais as pessoas falham ou no falham. Na medicina um paciente sobrevive um ano, ou morre. Em propaganda, um consumidor reconhece um produto, ou no.

Definio: Um experimento binomial um experimento que satisfaz as seguintes condies:

1. O experimento deve comportar um numero fixo de provas; 2. As provas devem ser independentes (o resultado de qualquer prova no afeta as

probabilidades das outras provas); 3. Cada prova deve ter todos os resultados classificados em duas categorias; 4. As probabilidades devem permanecer constantes para cada prova.

Se fizermos um experimento binomial, a distribuio da varivel aleatria x chamada uma distribuio de probabilidade binomial (ou distribuio binomial). Usa-se a seguinte denominao: S e F (sucesso ou falha) denotam as duas categorias possveis de todos os resultados: p e q denotam as possibilidades de S e F, respectivamente; assim:

( )P s p= ( ) 1P F p q= =

Sendo n = denota o numero fixo de provas; x = denota um nmero especfico de sucesso em n provas, podendo ser qualquer inteiro

entre 0 e n, inclusive; p = denota a probabilidade de sucesso em uma das n provas; q = denota a probabilidade de falha em uma das n provas; P(x) = denota a probabilidade de obter exatamente x sucessos em n provas;

Frmula utilizada para calcular a probabilidade binomial:

!( ) ( )! !x n xnP x p q

n x x

=

Exemplo: Dado que 10% das pessoas so canhotas, suponha que queiramos achar a probabilidade de obter exatamente 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes. Questiona-se:

a) Trata-se de um experimento binomial? b) Em caso afirmativo, identifique os valores de n, x, p e q. c) Aplicando a formula da probabilidade binomial, determine a probabilidade de obter

3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes.

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d) A probabilidade de ao menos 3 sucessos (alunos canhotos).

EXERCCIOS

1. Uma empresa produz 10% de peas defeituosas. As peas so embaladas em caixas que contm 12 peas. Calcule a probabilidade de um cliente comprar uma caixa contendo:

(a) nenhuma pea defeituosa; (b) uma pea defeituosa.

2. Um produtor de sementes vende pacotes com 20 sementes cada. Os pacotes que apresentarem mais de uma semente sem germinar so indenizados. A probabilidade de uma semente germinar 0,98.

(a) Qual a probabilidade de que um pacote no seja indenizado? (b) Se o produtor vende 1.000 pacotes, em quantos se espera indenizao?

3. Estatsticas de trfego revelam que 25% dos veculos interceptados numa auto-estrada no passam no teste de segurana. De 10 veculos interceptados, determine a probabilidade de 2 ou mais no passarem.

4. Numa criao de coelhos, 40% so machos. Qual a probabilidade de que nasam pelo menos 2 coelhos machos num dia em que nasceram 20 coelhos?

5. O fabricante de drives de disco utilizados em uma das mais conhecidas marcas de microcomputadores espera que 2% dos drives de disco apresentem defeitos durante o perodo de garantia do microcomputador. Numa amostra de 10 drives de disco, qual a probabilidade de que:

a) Nenhum ir apresentar defeito durante o perodo de garantia? b) Exatamente um ir apresentar defeito durante o perodo de garantia? c) Pelo menos dois iro apresentar defeito durante o perodo de garantia? d) Quais seriam as respostas para a letra (a) e (b) se fosse esperado que 1% dos drives de disco

apresentasse defeito?

1.2 DISTRIBUIO NORMAL

A distribuio normal desempenha papel importantssimo na Teoria Estatstica. Deduzida por De Moivre em 1753 como forma limite da Binominal, foi posteriormente redescoberta em 1774 por Laplace, e em 1809 por Gauss. Por essa razo conhecida ainda pelo nome de Distribuio de Gauss, de Laplace, ou ainda Laplace-Gauss.

A Distribuio Normal a mais importante distribuio de varivel aleatria contnua e bsica para o desenvolvimento da inferncia estatstica. Entre as distribuies tericas de varivel aleatria contnua, uma das mais empregadas a distribuio normal.

A distribuio normal caracterizada por uma funo, cujo grfico descreve uma curva em forma de sino. Esta distribuio depende de dois parmetros:

(mdia) este parmetro especifica a posio central da distribuio de probabilidades.

(desvio padro) este parmetro especifica a variabilidade da distribuio de probabilidades.

Existem infinitas distribuies normais, cada uma com usa prpria mdia e desvio padro. A distribuio normal com media zero e desvio padro de 1 chamada de distribuio normal padro ou padronizada. A escala horizontal do grfico da distribuio normal padro

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corresponde aos escores z (uma medida de posio que indica o numero de desvios-padro de um valor a partir da media). Pode-se transformar um valor x em um escore z, usando a seguinte frmula:

xz

=

onde: x = valores arbitrrios (intervalos) = mdia da distribuio normal = desvio-padro da distribuio normal

- +

Aps usar a frmula dada acima para transformar um valor x num escore z, pode-se usar a Tabela Normal Padro. A tabela enumera a rea acumulada sob a curva normal padro esquerda de z para escores z de 3,49 a 3,49.

A distribuio normal possui as seguintes caractersticas: - Varivel aleatria contnua. - Tem a forma de um sino. - simtrica em relao a mdia. - Prolonga-se de - a + . - A rea sob a curva normal considerada de tamanho 1 (100%).

Exemplos.

1. Determina a rea que corresponde ao escore z de 1,15.

2. Determina a rea acumulada que corresponde ao escore z de 1,15.

rea na tabela

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3. Calcule a rea acumulada que corresponde ao escore z de -0,24.

4. Esboce a curva normal padro e sombreie a rea apropriada sob a curva: a) para obter a rea a esquerda de z = 1,23. b) para obter a rea a direita de z = 1,23. c) para obter a rea entre dois escores z, -0,75 e 1,23.

5. Determine a rea sob a curva padro direita de z = 1,06.

6. Se um escore z for zero, qual das afirmaes a seguir ser verdadeira. Explique seu raciocnio. (a) a mdia zero. (b) o valor x correspondente igual a zero.

(c) o valor x correspondente igual mdia.

7. Analise os grficos e obtenha a probabilidade de z ocorrer na regio indicada.

8. Determine a probabilidade indicada usando a distribuio normal padro: a) P (z < 1,45) b) P (z > -1,95) c) P ( 0 < z < 2,05) d) P (z < -2,58 ou z > 2,58) e) P ( -0,95 < z < 1,44)

Exemplos para transformar um escore z em um valor x.

1. As velocidades de veculos ao longo de um trecho de uma via expressa tem uma media de 56km/h e um desvio padro de 8km/h. Obtenha as velocidades x correspondentes aos escores z = 1,96; -2,33 e 0. Interprete os seus resultados.

2. As notas dos candidatos ao concurso pblico do INSS esto normalmente distribudas com uma mdia de 75 pontos e um desvio padro de 6,5. Para poder entrar no servio pblico, o candidato precisa figurar entre os 5% melhores. Qual a menor pontuao possvel para a aprovao de um candidato?

3. Em uma amostra selecionada ao acaso de 1169 homens com idade entre 40 e 49 anos, foi constatado um nvel mdio total de colesterol de 211 miligramas por decilitros, com desvio padro de 39,2 miligramas por decilitros. Suponha que os nveis totais de colesterol sejam normalmente distribudos. Obtenha o mais alto nvel total de colesterol que um homem com idade entre 40 e 49 anos pode ter e ainda assim ficar entre o 1% mais baixo.

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EXERCCIOS

1. Um levantamento indica que pessoas usam seus computadores em media durante 2,4 anos antes de adquirir uma nova mquina. O desvio padro de 0,5 anos. Selecionando ao acaso algum que tenha computador, obtenha a probabilidade de que ele o use por menos de dois anos antes de comprar outro.

2. A taxa de hemoglobina no sangue de pessoas que possuem boa sade segue uma distribuio normal com mdia 12 e desvio padro 1. Qual a probabilidade de se encontrar uma pessoa normal com taxa de hemoglobina: (a) superior a 15? (b) Inferior a 10? (c) Entre 10 e 13 (d) Num grupo de 500 pessoas, em quantas devemos esperar as caractersticas acima?

3. Os depsitos mensais na caderneta de poupana tm distribuio normal com mdia igual a $ 500 e desvio padro $ 150. Se um depositante realizar um depsito, pede-se calcular a probabilidade de que esse depsito seja igual ou menor que $ 650.

4. A anlise estatstica de um investimento mostrou que seu resultado lquido uma varivel aleatria X com valor esperado $ 10 000 e desvio padro $ 4 000. Sabendo que a varivel X tem distribuio normal, pede-se calcular a probabilidade de que o resultado X seja menor que $ 5000.

5. As vendas mensais dos ltimos 50 meses apresentam uma mdia igual a $ 500 mil com desvio padro igual a $ 80 mil. Se a empresa estabeleceu uma meta de vendas para o prximo ms de $ 550 mil, pede-se calcular, considerando que os dados histricos se repetem no futuro prximo:

a) A probabilidade de ficar abaixo da meta. b) A probabilidade de superar a meta. c) A probabilidade de que as vendas se situem entre 80 % e 110 % da mdia.

6. Uma populao X tem distribuio normal com mdia igual a 20 e desvio padro igual a 5. Retirando aleatoriamente um elemento dessa populao, pede-se calcular a probabilidade desse elemento ser igual ou menor que 22.

7. A distribuio dos salrios anuais dos auxiliares de escritrio de uma grande empresa tem distribuio normal com mdia igual a R$12.500,00 e desvio padro igual a R$2.800,00. Calcular:

a) A proporo dos auxiliares de escritrio que ganha mais que R$14.500,00. b) A proporo dos auxiliares de escritrio que ganha menos que R$11.000,00 c) A proporo dos auxiliares de escritrio que ganha entre R$10.000,00 e R$14.000,00.

8. Suponha que um consultor esteja investigando o tempo que os trabalhadores de uma fbrica de automveis levam para montar determinada pea depois de terem sido treinados para realizar a tarefa por um mtodo de aprendizagem individual. O consultor determina que o tempo em segundos para montar a pea para os trabalhadores treinados por esse mtodo distribudo de maneira normal com mdia igual a 75 segundos e desvio padro igual a 6. Pede-se:

a) A probabilidade de um trabalhador montar uma pea em 81 segundos? b) Quantos segundos devem transcorrer antes que 10% dos trabalhadores da fabrica

montam uma pea?

9. Um conjunto de notas finais de provas da disciplina de Estatstica II foi considerado como sendo normalmente distribudo com uma mdia aritmtica de 73 e um desvio padro de 8.

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a) Qual a probabilidade de se obter no mximo uma nota 91 nesta prova? b) Que porcentagem de alunos tirou entre 65 e 89? c) Que porcentagem de alunos tirou entre 81 e 89? d) Qual a nota final do exame se somente 5% dos alunos que fizeram a prova tiram nota

mais alta?

10. Uma fabrica de carros sabe que os motores de sua fabricao tm durao normal com 150.000 km e desvio padro de 5000 km. Se a fabrica substitui o motor que apresenta durao inferior a garantia, qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de motores substitudos seja inferior a 0,2%?

11. As alturas dos alunos de uma determinada escola so normalmente distribudas com mdia 1,60m e desvio padro 0,30. Encontre a probabilidade de uma aluna escolhida ao acaso medir:

a) Entre 1,50 e 1,80 m. b) Mais que 1,60 m. c) Menos que 1,48m. d) Entre 1,54 e 1,58m. e) Mais que 1,55m. f) Menos que 1,55m ou mais que 1,75m.

12. Suponha-se que a renda anual de uma determinada cidade tenha uma mdia de R$ 5.000,00 com desvio padro de R$ 1.500,00. Admitindo-se uma distribuio normal, que podemos dizer de uma renda de R$ 7.000,00?

EXEMPLO DE DISTRIBUIO NORMAL COMO APROXIMAO DA DISTRIBUIO BINOMIAL

Se n.p 5 e n.q 5, ento a varivel aleatria binomial x tem distribuio aproximadamente normal, com mdia = np e desvio padro npq=

1. Uma maquina produz parafusos, dos quais 10% so defeituosos. Determinar a probabilidade de, em uma amostra tomada ao acaso de 400 parafusos produzidos por essa maquina, serem defeituosos: (a) no mximo 30; (b) entre 30 e 50 (c) 55 ou mais.

2. Numa cidade haver um plebiscito em que 1.250.000 eleitores decidiro entre aceitar (SIM) ou rejeitar (NO) certa poltica. Suponha que um partidrio da aceitao dessa poltica afirme que 80% dos votos sero SIM. Admitindo essa previso como verdadeira, qual a probabilidade de, em uma amostra de 900 eleitores, menos de 684 serem partidrios do SIM?

3. Cerca de 4,4% dos acidentes fatais com automveis so causados por pneus defeituosos (com base em dados do Conselho Nacional de Segurana). Se um estudo de segurana em uma rodovia comea com a escolha aleatria de 750 casos de acidentes fatais com veculos motorizados, estime a probabilidade de exatamente 35 deles terem sido causados por pneus defeituosos.

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Tabela Z reas sob a curval Normal z 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753

0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549

0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633

1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817

2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890

2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952

2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974

2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981

2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993

3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995

3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997

3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998

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Professora:

Carina Ins Panke da Silva

[email protected]

ESTATSTICA II

Cursos de Administrao e Cincias Contbeis

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II - ESTIMATIVAS

2.1 Estimativas pontuais e intervalares

As estatsticas amostrais so utilizadas como estimadores de parmetros populacionais. Por exemplo, uma mdia aritmtica da amostra usada como estimativa de ponto da mdia populacional.

Existem dois tipos principais de estimativas: estimativas de ponto e estimativas de intervalo.

A estimativa pontual um valor (ou ponto) nico usado para aproximar um parmetro populacional. A mdia amostral x a melhor estimativa pontual da mdia populacional . Mas, a estatstica de uma amostra, tal como x , varia de amostra para amostra, uma vez que depende dos itens selecionados na amostra, e esta variao deve ser levada em considerao ao se fornecer estimativas para a populao. Pensando nessa variao que foi desenvolvido a estimativa intervalar.

A estimativa intervalar um intervalo de valores que tem probabilidade de conter o verdadeiro valor da populao. Ou seja, o intervalo que construdo ter uma confiana ou probabilidade especificada de estar estimando corretamente o verdadeiro valor do parmetro da populao.

2.2 Intervalos de confiana

Um intervalo de confiana est associado a um grau de confiana que uma medida da nossa certeza de que o intervalo contm o parmetro populacional. A definio grau de confiana utiliza (alfa) para descrever uma probabilidade que corresponde a uma rea.

So escolhas comuns para o grau de confiana (ou nvel de confiana, ou coeficiente de confiana): 90%, 95% e 99%, veja a tabela.

Grau de confiana Valor Crtico z 90% 0,10 1,645 95% 0,05 1,96 99% 0,01 2,575

Um valor crtico um nmero na fronteira que separa os valores das estatsticas amostrais provveis de ocorrerem, dos valores que tm pouca chance de ocorrer.

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Para calcular limites de confiabilidade, utilizamos a seguinte equao

x = Z(/ n)

No nosso caso, inverte-se o x com , para se saber se o que se espera.

Exemplo: 1. Um fabricante de papel para impressora possui um processo de produo que opera

de maneira contnua, atravs de um turno completo de produo. esperado que o papel tenha um comprimento de 11 polegadas, e o desvio padro conhecido sejam 0,02 polegadas. A intervalos peridicos, so selecionadas amostras para determinar se o comprimento mdio do papel ainda se matm igual a 11 polegadas ou se algo de errado aconteceu no processo de produo para que tenha modificado o comprimento do papel produzido. Uma amostra aleatria de 100 folhas foi selecionada e verificou-se que o comprimento mdio do papel era de 10,998 polegadas. Caso seja desejada uma estimativa do intervalo de confiana de 95% do comprimento mdio do papel na populao, teremos

x Z(/ n) = 10,998 (1,96)(0,02/ 100) = 10,998 0,00392 10,99408 11,00192

Como 11 est entre o intervalo encontrado, o fabricante no tem com o que se preocupar. Caso se queira um intervalo de confiana maior, por exemplo 99%, a o que teremos?

2. A variabilidade do tempo de atendimento em um caixa bancrio conhecida = 0,10min. e tem distribuio normal. Uma amostragem de 40 pessoas indicou tempo mdio de atendimento de x = 1,5 min. Construir um intervalo de confiana de 95% para o tempo mdio de atendimento.

Valor crtico Valor crtico

Regio crtica Regio

crtica

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EXERCCIOS 1. O gerente do controle areo do aeroporto de So Paulo est interessado em conhecer o tempo que os avies 737 necessitam para aterrissar, medindo este tempo entre o instante que o piloto inicia a operao de descida e o instante que o avio abandona a pista de aterrissagem. Se a mdia de uma amostra aleatria de 33 avies igual a 21 minutos com desvio padro igual a 4,5 minutos, pede-se estimar o valor da mdia da populao considerando dois valores de intervalo de confiana: 90% e 95%.

2. Numa amostra aleatria de 32 notas de despesa numa semana em dezembro, um auditor constatou uma despesa mdia de R$220,00, com desvio padro de R$20,00.

a) Qual a estimativa pontual da quantia mdia? b) Construa um intervalo de 99% de confiana para a quantia mdia.

3. De uma populao com distribuio normal e desvio-padro igual a 5 foi retirada uma amostra aleatria de tamanho 20 e sua mdia calculada foi 24. Estime o valor da mdia da populao com ndice de confiana igual a 90%.

4. Uma amostra consiste em 75 aparelhos de TV adquiridos h vrios anos. Os tempos de substituio destes aparelhos tm mdia de 8,2 anos e desvio-padro de 1,1 ano. Construa um intervalo de 90% de confiana para o tempo mdio de substituio de todos os aparelhos de TVs.

5. Suponha que o proprietrio de uma loja de materiais de construo revendedor de tintas e queira calcular a verdadeira quantidade de tinta contida nas latas de um galo de 1 l, compradas de um fabricante nacionalmente conhecido. Sabe-se, pelas especificaes contidas no galo, que o desvio padro da quantidade de tinta igual a 0,02 l. Uma amostra aleatria de 50 latas selecionada, e a quantidade mdia de tinta por lata de 1 galo igual a 0,995 l. a) Desenvolva uma estimativa do intervalo de confiana de 99% da verdadeira mdia da

populao da quantidade de tinta contida em uma lata de 1 galo. b) Com base nos seus resultados, voc acha que o proprietrio da loja tem o direito de

reclamar ao fabricante? Por que? c) A populao de quantidade de tinta por lata tem que ser distribuda normalmente neste

caso? Explique. d) Explique por que um valor observado de 0,98 l para cada lata no seria incomum, apesar

de estar fora do intervalo de confiana que voc calculou? e) Suponha que voc utilizasse uma estimativa do intervalo de confiana de 95%, quais

seriam suas respostas para (a) e (b)?

6. O gerente de controle de qualidade de um fbrica de lmpadas de filamento precisa calcular a vida til mdia de uma remessa de lmpadas. Sabe-se que o desvio padro do processo de 100 horas. Uma amostra aleatria de 50 lmpadas indicou uma vida til mdia da amostra igual a 350 horas.

a) Desenvolva uma estimativa do intervalo de confiana de 99% da verdadeira mdia til das lmpadas nesta remessa.

b) Voc, conhecendo estes resultados, compraria uma lmpada deste fabricante? Explique.

c) Suponha que o desvio padro do processo mudasse para 80 horas. Qual seria sua resposta para (a)?

7. Um comerciante ficou muito curioso para descobrir qual a real quantidade de refrigerante que colocada em garrafas de 2 litros. Foi informado ao comerciante que o desvio

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padro para garrafas de 2 litros 0,05 litro. Uma amostra aleatria, de 100 garrafas de 2 litros, indica uma mdia da amostra de 1,99 litro.

a) Desenvolva a estimativa do intervalo de confiana de 95% da verdadeira mdia da quantidade de refrigerante de cada garrafa.

b) A populao de quantidade de refrigerante tem que ser distribuda normalmente neste caso? Explique.

c) Explique por que um valor observado de 2,02 litros no seria incomum. d) Suponha que a mdia da amostra mudasse para 1,97 litro. Quais seriam suas

respostas para (a) e (b)?

2.3 Determinao do tamanho da amostra

Exemplos: 1) Qual o tamanho da amostra necessrio pra estimar a mdia populacional de uma caracterstica dimensional de um processo com 95% de confiana cujo desvio-padro populacional = 2,45 cm e preciso de 0,5 cm?

2) Voc pretende fazer uma pesquisa para atualizar os dados sobre mdia salarial dos funcionrios de uma indstria de cigarros. Estudos anteriores sugerem um desvio-padro de R$330,00. Sabendo que a empresa tem 3400 funcionrios quantas pessoas voc deve pesquisar para estimar a mdia salarial de todos os funcionrios, quando

a) o erro mximo tolervel for 50 reais e o nvel de confiana 99%? b) o erro mximo tolervel for 50 reais e o nvel de confiana 95%? c) o erro mximo tolervel for 20 reais e o nvel de confiana 95%?

3) Para planejar o manuseio adequado do lixo domstico, uma cidade deve estimar o peso mdio do lixo descartado pelas residncias em uma semana. Determine o tamanho da amostra necessrio para estimar essa mdia, para que tenhamos 96% de confiana em que a mdia amostral esteja a menos de 0,9 kg da verdadeira mdia populacional. Para o desvio-padro populacional use o valor 5,65 kg, que o desvio padro duma cidade vizinha de mesmo porte.

2.4 Estimativas para a mdia populacional: pequenas amostras

Em muitas situaes da vida real, o desvio padro populacional desconhecido. Alm disso, em funo de fatores como tempo e custo, frequentemente no prtico colher amostras de tamanho superior a 30. Assim, como construir intervalos de confiana para a mdia populacional nessas condies? Se a varivel aleatria normalmente distribuda (ou aproximadamente normalmente distribuda), a distribuio amostral para x uma distribuio t (Student).

A distribuio t uma famlia de curvas, cada uma delas determinada por um parmetro chamado grau de liberdade. Os graus de liberdade so os nmeros de escolhas livres deixados aps uma amostra estatstica, tal como a mdia de x ter sido calculada. Quando se usa uma distribuio t para estimar uma mdia populacional, o nmero de graus de liberdade igual ao tamanho da amostra menos um.

Grau de Liberdades = n 1

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Quando o nmero de graus de liberdade cresce, a distribuio tende para a distribuio normal. Aps 30 graus de liberdade distribuio t est muito prxima da distribuio normal padro z.

Condies para utilizao da Distribuio t de Student 1. O tamanho da amostra deve ser pequeno, 30n ; 2. desconhecido; 3. A populao original tem distribuio essencialmente normal.

2.5 Obtendo os valores crticos de t 1. Determinar o valor crtico t para 95% de confiana quando o tamanho da amostra for 15. 2. Determinar o valor crtico de t para 90% de confiana quando o tamanho da amostra for 22.

2.6 Intervalos de confiana e a distribuio t O intervalo de confiana para uma mdia amostral quando se usa desvio padro amostral muito semelhante ao intervalo quando se usa desvio padro da populao.

Exemplos: 1. Voc seleciona ao acaso 16 restaurantes e mede a temperatura do caf vendido em cada um. A temperatura mdia amostral de 72C, com um desvio padro amostral de 12C. Obtenha o intervalo de confiana de 95% para a temperatura mdia. Suponha que as temperaturas estejam normalmente distribudas.

2. Voc seleciona ao acaso 20 casas hipotecrias e determina a atual taxa de juro que cada uma cobra. A taxa mdia amostral de 6,93% com desvio padro de 0,42% Obtenha o intervalo de confiana de 99% para a populao da taxa media de juro para as hipotecas. Suponha que as taxas de juros tenham distribuio aproximadamente normal.

EXERCCIOS

1. Nosso interesse estimar a mdia de consumo em quilmetros por litro de um novo modelo de carro da montadora lder do mercado de carros populares. Sabendo que a populao tem distribuio normal e o consumo em quilmetros por litros de uma amostra aleatria de 16 carros do novo modelo de carro igual a 14,8 com desvio padro igual a 2, pede-se estimar o valor da mdia da populao com intervalo de confiana igual a 95%.

2. Um analista de um departamento de pessoal seleciona aleatoriamente os registros de 16 empregados horistas e calcula a taxa mdia de salrio, R$ 7,50. Supe-se que os salrios na firma sejam distribudos normalmente. Se o desvio-padro dos salrios conhecido, e igual a R$1,00, estimar a taxa mdia de salrio na firma usando um intervalo de confiana de 90%.

3. O dimetro mdio de uma amostra de 12 bastes cilndricos includos em um carregamento de 2,350 mm com um desvio padro de 0,050 mm. A distribuio dos dimetros de todos os bastes includos no carregamento aproximadamente normal. Determinar o intervalo de confiana de 99% para estimar o dimetro mdio de todos os bastes includos no carregamento.

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2.7 Estimao da proporo numa populao

Exemplos: 1. Determine um intervalo de confiana de 98% para a verdadeira proporo populacional, se x = 50 e n = 200.

2) Qual o tamanho da amostra necessrio para estimar a verdadeira porcentagem populacional a menos de 4% usando um intervalo de confiana de 90%. razovel suspeitar que o verdadeiro valor seja 0,30 ou menos.

3) Qual o tamanho da amostra necessrio para obter um intervalo de 95% de confiana para a proporo populacional, se o erro tolervel 0,08?

EXERCCIOS

1. Em recente pesquisa levada a efeito junto a 200 habitantes de uma grande cidade, 30 se mostraram favorveis ao restabelecimento da pena de morte.

a) Construa um intervalo de 99% de confiana para a verdadeira proporo dos habitantes daquela cidade favorveis pena capital.

b) Que se pode dizer quanto ao tamanho do erro mximo para esse intervalo de confiana?

2. Uma biblioteca pblica deseja estimar a percentagem de livros de seu acervo publicados at 2000. Qual deve ser o tamanho da amostra aleatria para se ter 90% de confiana de ficar a menos de 5 % da verdadeira proporo?

3. Uma amostra aleatria de 40 homens trabalhando num grande projeto de construo revelou que 6 no estavam usando capacetes protetores. Construa um intervalo de 99% de confiana para a verdadeira proporo dos que esto usando capacetes neste projeto.

4. Uma amostra de 50 bicicletas de um estoque de 400 bicicletas acusou 7 com pneus vazios. Construa um intervalo de 99% de confiana para a populao das bicicletas com pneus vazios.

5. Selecionado aleatoriamente e pesquisados 500 universitrios, verificou-se que 135 deles tm computador pessoal.

a) Determine a estimativa pontual da verdadeira proporo de todos os universitrios que tm computador pessoal.

b) Determine um intervalo de 95% de confiana para a verdadeira proporo de todos os universitrios que tm computador pessoal.

6. Se uma faculdade tem 1200 alunos, qual tamanho de amostra necessrio para estimar a proporo de alunos que so a favor da pena de morte? Use um erro amostral de 2% e ndice de confiana de 95%.

7. Um estudo de sade envolve 1000 mortes selecionadas aleatoriamente, dentre as quais 331 causadas por doenas cardacas.

a) Com os dados amostrais, construa um intervalo de confiana de 99% para a proporo de todas as mortes causadas por doenas cardacas.

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b) Utilizando os dados amostrais como piloto, determine o tamanho da amostra necessrio para estimar a proporo de todas as mortes causadas por doenas cardacas. Admita um nvel de confiana de 98%, em que o erro da estimativa no supere 1%.

8. Uma papelaria gostaria de calcular o valor mdio do preo dos cartes de cumprimentos existente em seu estoque. Uma amostra aleatria de 20 cartes indica um valor mdio de $1,67 e um desvio padro de $0,32. Se o nmero de cartes no estoque da loja fosse igual a 300:

a) Desenvolva uma estimativa, com intervalo de confiana de 95%, do valor mdio de todos os cartes no estoque da loja.

b) Desenvolva uma estimativa, com intervalo de confiana de 95%, do valor mdio da populao de todos os cartes que esto no estoque.

c) Compare os resultados obtidos em (a) e (b). d) Quais seriam a respostas para (b) e (c) se a loja tivesse 500 cartes no estoque?

9. Uma concessionria de automveis gostaria de calcular a proporo de consumidores que ainda possuem o carro que compraram 5 anos atrs. Uma amostra aleatria de 200 consumidores, selecionados a partir dos registros da concessionria de automveis, indica que 82 consumidores ainda possuem os carros que compraram a 5 anos. Suponha que a populao consiste em 4.000 proprietrios:

a) Desenvolva uma estimativa, com intervalo de confiana de 95%, da verdadeira proporo de clientes que ainda possuem os carros que adquiriram cinco anos atrs.

b) E se a populao fosse de 6.000 proprietrios?

10. O gerente de um banco em uma cidade pequena gostaria de determinar a proporo de seus correntistas que recebem salrios semanais. Uma amostra aleatria de 100 correntistas selecionada, e 30 afirmam que so pagas semanalmente. Se o banco possui 1.000 correntistas:

a) Desenvolva uma estimativa, com intervalo de confiana de 90%, para a verdadeira proporo de correntistas que recebem salrios semanais.

b) Determine o tamanho da amostra necessrio para se calcular a vida til mdia, em uma margem de 0,05, com 90% de confiana.

c) Quais seriam as respostas para (a) e (b), se o banco tivesse 2.000 depositantes?

11. Observe os dados do problema do refrigerante (exerccio 7 da 1 lista de exerccios de Estimativas). Se a populao consiste em 2.000 garrafas:

a) Desenvolva uma estimativa, com intervalo de confiana de 95% da quantidade mdia de refrigerante em cada garrafa do total da populao.

b) Determine o tamanho da amostra necessrio para se calcular a quantidade mdia da populao, em uma margem de 0,01, com 95% de confiana.

c) Quais seriam suas respostas para (a) e (b) se a populao consistisse em 1.000 garrafas?

12. Uma pesquisa planejada para determinar as despesas mdicas anuais das famlias dos empregados de uma grande empresa. A gerncia da empresa deseja ter 95% de confiana de que a mdia da amostra est correta, e de 0,05 da mdia real das despesas mdias familiares. Um estudo-piloto indica que o desvio padro pode ser calculado como sendo igual a $400. Que tamanho da amostra seria necessrio se a companhia tivesse 3.000 empregados?

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Tabela de Distribuio t de Student

75% 80% 90% 95% 96% 98% 99% I.C. 15% 10% 5% 2,5% 2% 1% 0,5% Bilateral

GL 30% 20% 10% 5% 4% 2% 1% Unilateral 1 1,9626 3,0777 6,3137 12,7062 15,8945 31,8210 63,6559

2 1,3862 1,8856 2,9200 4,3027 4,8487 6,9645 9,9250

3 1,2498 1,6377 2,3534 3,1824 3,4819 4,5407 5,8408

4 1,1896 1,5332 2,1318 2,7765 2,9985 3,7469 4,6041

5 1,1558 1,4759 2,0150 2,5706 2,7565 3,3649 4,0321

6 1,1342 1,4398 1,9432 2,4469 2,6122 3,1427 3,7074

7 1,1192 1,4149 1,8946 2,3646 2,5168 2,9979 3,4995

8 1,1081 1,3968 1,8595 2,3060 2,4490 2,8965 3,3554

9 1,0997 1,3830 1,8331 2,2622 2,3984 2,8214 3,2498

10 1,0931 1,3722 1,8125 2,2281 2,3593 2,7638 3,1693

11 1,0877 1,3634 1,7959 2,2010 2,3281 2,7181 3,1058

12 1,0832 1,3562 1,7823 2,1788 2,3027 2,6810 3,0545

13 1,0795 1,3502 1,7709 2,1604 2,2816 2,6503 3,0123

14 1,0763 1,3450 1,7613 2,1448 2,2638 2,6245 2,9768

15 1,0735 1,3406 1,7531 2,1315 2,2485 2,6025 2,9467

16 1,0711 1,3368 1,7459 2,1199 2,2354 2,5835 2,9208

17 1,0690 1,3334 1,7396 2,1098 2,2238 2,5669 2,8982

18 1,0672 1,3304 1,7341 2,1009 2,2137 2,5524 2,8784

19 1,0655 1,3277 1,7291 2,0930 2,2047 2,5395 2,8609

20 1,0640 1,3253 1,7247 2,0860 2,1967 2,5280 2,8453

21 1,0627 1,3232 1,7207 2,0796 2,1894 2,5176 2,8314

22 1,0614 1,3212 1,7171 2,0739 2,1829 2,5083 2,8188

23 1,0603 1,3195 1,7139 2,0687 2,1770 2,4999 2,8073

24 1,0593 1,3178 1,7109 2,0639 2,1715 2,4922 2,7970

25 1,0584 1,3163 1,7081 2,0595 2,1666 2,4851 2,7874

26 1,0575 1,3150 1,7056 2,0555 2,1620 2,4786 2,7787

27 1,0567 1,3137 1,7033 2,0518 2,1578 2,4727 2,7707

28 1,0560 1,3125 1,7011 2,0484 2,1539 2,4671 2,7633

29 1,0553 1,3114 1,6991 2,0452 2,1503 2,4620 2,7564

30 1,0547 1,3104 1,6973 2,0423 2,1470 2,4573 2,7500

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TESTE DE HIPTESES

Muitas vezes o pesquisador tem alguma idia ou conjectura, sobre o comportamento de uma varivel. Neste caso, o planejamento de pesquisa deve ser de tal forma que permita, com os dados amostrais, testar a veracidade de suas idias sobre a populao em estudo. Considera-se que a populao seja o mundo real e as idias sejam hipteses de pesquisa, que podero ser testadas por tcnicas estatsticas denominadas de testes de hipteses ou testes de significncia.

Neste sentido, Teste de Hiptese consiste em analisar as diferenas entre os resultados obtidos, e verificar se a hiptese levantada condiz com a realidade.

Em outras palavras, o objetivo do teste estatstico de hiptese fornecer ferramentas que nos permitam validar ou recusar uma hiptese atravs dos resultados da amostra.

Na inteno de confirmar ou rejeitar uma hiptese, temos nomin-la (nula ou alternativa).

Para escrever as hipteses nula e alternativa, transforme a formulao verbal da alegao sobre um parmetro populacional em uma formulao matemtica.

Exemplos: 1. Escreva a formulao matemtica da alegao. Estabelea as hipteses nula e alternativa e identifique qual delas representa a alegao.

(a) Uma fabrica de bateria para automveis alega que a vida mdia de um determinado modelo de 74 meses.

(b) Uma estao de rdio alega que sua proporo de audincia local maior do que 39%.

Tipos de erros No importando qual das hipteses representa a alegao, voc comear sempre um

teste de hiptese assumindo que a condio de igualdade na hiptese nula verdadeira. Assim, quando realizar um teste de hiptese, voc deve tomar uma das duas decises: rejeitar a hiptese nula ou no rejeitar a hiptese nula.

Uma vez que sua deciso baseia-se em informao incompleta (uma amostra em vez de toda a populao), h sempre a possibilidade de se tomar a deciso errada.

Ento, quando se realiza um teste de hiptese, podem-se cometer dois tipos de erro: Erro tipo I ou Erro tipo II. Veja a Tabela.

Realidade 0H verdadeira 0H falsa

Aceitar 0H Deciso correta Erro tipo II Deciso Rejeitar 0H Erro tipo I Deciso Correta

Observe que o erro tipo I s poder acontecer se for rejeitado 0H e o erro tipo II quando for aceito 0H .

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Exemplo: O limite do Departamento de Agricultura para a contaminao por salmonela em frangos de 20%. Uma granja alega que seus frangos esto dentro do limite. Voc realiza um teste de hiptese para determinar se a alegao da granja verdadeira. Quando ocorrero os erros do tipo I e II? Qual deles o mais grave?

Estatstica de teste: uma estatstica amostral, ou um valor baseado nos dados amostrais. Utiliza-se uma estatstica de teste para tomar uma deciso sobre a rejeio da hiptese nula. Dado por

t

xz

n

=

Regio crtica: o conjunto de todos os valores da estatstica de teste que levam rejeio da hiptese nula.

Nvel de significncia: probabilidade de rejeitar a hiptese nula quando ela verdadeira. Denota por .

Valor crtico: o valor, ou valores, que separa(m) a regio crtica dos valores da estatstica de teste que no levam rejeio da hiptese nula. Dependem da natureza da hiptese nula, da distribuio amostral, e do nvel de significncia .

INTERPRETANDO UMA DECISO

Exemplo 1. Voc realiza um teste de hiptese para a alegao a seguir: Uma universidade alega que a proporo de seus estudantes graduados em 4 anos de 82%. ( 0H contm a afirmao original)

a) Interpretar a deciso quando for rejeitada a hiptese nula . H evidncias suficientes para garantir a rejeio da hiptese de que a proporo dos

estudantes da Universidade graduados em 4 anos de 82%. b) Interpretar a deciso quando NO for rejeitada a hiptese nula (aceita). No h evidncia suficiente para garantir a rejeio da afirmao de que a proporo

dos estudantes da Universidade graduados em 4 anos de 82%.

Exemplo 2. Voc realiza um teste de hiptese para a alegao a seguir: Uma universidade alega que a proporo de seus estudantes graduados em 4 anos superior a 82%. ( 0H NO contm a afirmao original)

a) Interpretar a deciso quando for rejeitada a hiptese nula. Os dados amostrais apiam a afirmao de que a proporo dos estudantes da

Universidade graduados em 4 anos superior 82%. b) Interpretar a deciso quando NO for rejeitada a hiptese nula (aceita). No h evidncia amostral para apoiar a afirmao de que a proporo dos estudantes

da Universidade graduados em 4 anos superior 82%.

Quando se aceita ou rejeita uma hiptese, estamos sempre falando da hiptese nula, mesmo que esta no tenha a alegao.

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Teste de hiptese quando

O desvio-padro populacional conhecido Usamos a distribuio normal (Tabela z) para comparar com a estatstica de teste

tz :

t

xz

n

=

O desvio-padro populacional DESCONHECIDO (n pequeno) Usamos a distribuio t de Student (Tabela t) com Grau de Liberdade 1n para comparar com a estatstica de teste tt :

t

xt

s

n

=

Exemplo 1. Os dois registros dos ltimos anos de um colgio atestam para os calouros admitidos

uma nota mdia de 115 com desvio-padro de 20 pontos (teste vocacional). Para testar a hiptese de que a mdia de uma nova turma a mesma, tirou-se, ao acaso, uma amostra de 20 notas obtendo-se mdia de 118 no teste. Com um nvel de significncia 5% = , faa o teste.

Exemplo 2. Um empresrio desconfia que o tempo mdio de espera para atendimento de seus

clientes superior a 20 minutos. Para testar essa hiptese ele entrevistou 20 pessoas e questionou quanto tempo demoravam a serem atendidas. O resultado dessa pesquisa aparece a seguir:

21,8x = min. e 1, 40s = min. Teste as hipteses usando = 0,05

3.1. Teste de hiptese sobre uma proporo

Segue os mesmos procedimentos para testes com mdias, sendo que a estatstica de teste dada por

( )

1t

p pz

p pn

=

Exemplo 1. Em um teste de gosto de consumidores, 100 bebedores regulares de Pepsi receberam amostras cegas de Coca e Pepsi; 48 deles preferiram a Coca. Ao nvel de significncia

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de 0,05, teste a afirmao de que a Coca preferida por 50% dos bebedores de Pepsi que participam de tais testes.

Exemplo 2: Um jornal afirma que aproximadamente 25% dos adultos em sua rea de circulao so

analfabetos segundo os padres governamentais. Teste essa afirmao contra a alternativa de que a verdadeira percentagem no 25% e use um nvel de significncia de 5%. Uma amostra de 740 pessoas indica que apenas 20 % seriam consideradas analfabetas segundo os mesmos padres.

Atividades

1. A Farmcia X vende um repelente de insetos que alega ser eficiente pelo prazo de 400 horas no mnimo. Uma anlise de nove itens escolhidos aleatoriamente acusou uma mdia de eficincia de 380 horas.

a) Teste a alegao da companhia, contra a alternativa que a durao inferior a 400 horas, ao nvel de 0,01, se o desvio padro amostral de 60 horas.

b) Repita a questo anterior sabendo que o desvio padro populacional 90 horas.

2. Um fabricante de automveis alega que seus carros tamanho-famlia, quando equipados com um tipo de pra-choques absorvente, podem suportar um choque de frente a uma velocidade de 10 mph, com um custo de conserto de no mximo R$ 100, Uma amostra de seis carros, examinada por um escritrio independente de pesquisa, revelou um custo mdio de reparo de R$ 150 por carro. O desvio padro amostral foi de R$ 30. Admita que a distribuio dos custos de conserto seja aproximadamente normal. H indcio suficiente para rejeitar a alegao da firma, ao nvel de 0,01?

3. Uma companhia de seguros iniciar uma campanha extensa de propaganda para vender aplices de seguro de vida, se verificar que a quantia mdia segurada por famlia inferior a R$10.000,00. Tomou-se uma amostra aleatria de 50 famlias, que acusaram seguro mdio de R$9.600,00, com desvio padro de R$1.000,00.

a) Com base na evidncia amostral, a alegao deve ser aceita ou rejeitada, ao nvel de 0,05?

b) A concluso a que se chegou, utilizando a evidncia amostral, pode estar errada? Qual seria o tipo de erro? Por qu?

4. Uma cervejaria distribui um tipo de cerveja sem lcool em garrafas que indicam o contedo de 940 ml. Um Instituto de pesquisa seleciona 50 dessas garrafas, mede seu contedo e obtm uma mdia amostral de 934 ml, com desvio-padro de 22 ml. Ao nvel de significncia de 0,01, teste a afirmao do Instituto de que a companhia est ludibriando os consumidores.

5. O gerente de controle de qualidade de certa empresa considera que a fabricao de secretrias eletrnicas como fora de controle quando a taxa geral de defeitos excede 4%. O teste de uma amostra de 150 secretrias eletrnicas acusou 9 defeituosas, o que corresponde a uma porcentagem de 6% de defeitos. O gerente de produo alega tratar-se apenas de uma diferena casual, e que a produo realmente est sob controle, no sendo necessria qualquer medida corretiva. Teste a afirmao do gerente de produo, ao nvel de 0,05 de significncia.

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6. As condies de mortalidade de uma regio so tais que a proporo de nascidos que sobrevivem at 60 anos de 0,6. Testar essa hiptese ao nvel de 2%, se em 1000 nascimentos amostrados aleatoriamente, verificou-se 530 sobreviventes at 60 anos. (R = rejeita-se 0H )

7. A compra de uma lavanderia operada por moedas est sendo levada em conta por um empresrio. O atual proprietrio declara que, nos ltimos 5 anos, a receita era de $675 dirios, com um desvio padro de $75. Uma amostra de 30 dias selecionados revela uma receita diria mdia de $650. a) H evidncias de que a declarao do atual proprietrio no seja vlida, para um nvel

de significncia de 0,01? b) Qual seria a resposta em (a) se o desvio padro fosse de $100?

8. Suponha que o diretor de produo de uma fbrica de tecidos precise determinar se uma nova mquina est produzindo determinado tipo de tecido de acordo com as especificaes do fabricante, que indicam que o tecido deve ter resistncia de rompimento de pelo menos 70 libras e um desvio padro de 3,5 libras. Uma amostra de 36 peas revela uma mdia da amostra igual a 69,7 libras. (Use nvel de significncia de 0,01) a) H evidncias de que a mquina no est atendendo s especificaes, em termos da

resistncia de rompimento? b) Qual seria a resposta em (a) se a mdia da amostra fosse 69 libras?

9. O diretor pessoal de uma grande companhia de seguros est interessado em reduzir a taxa de rotatividade de funcionrios no setor de processamento de dados no primeiro ano de emprego. Registros do passado indicam que 25% dos novos contratados nesta rea no esto mais empregados no final de um ano. Novos e extensos mtodos de treinamento so implementados para uma amostra de 150 funcionrios do processamento de dados. Ao final do perodo de um ano, 29 desses 150 indivduos no esto mais empregados. No nvel de significncia de 0,01, h evidncias de que a proporo de funcionrios de processamento de dados que tenham passado pelo novo treinamento e no estejam mais empregados seja diferente de 25%?

3.2. Teste para a diferena entre duas mdias

Caso 1: Desvios-padro populacionais 1 e 2 conhecidos

1 22 21 2

1 2

t

x xz

n n

=

+

Caso 2: Desvio padro populacionais 1 e 2 desconhecidos ( 30n ) Estatstica calculada:

1 22 21 2

1 2

t

x xt

s s

n n

=

+

Escolher o menor grau de liberdade 1 1GL n= ou 2 1GL n=

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Hipteses: 0 1 2: H = ou 0 1 2: H ou 0 1 2: H 1 1 2: H 1 1 2: H > 1 1 2: H <

3.3. Teste para a diferena entre duas propores populacionais p1 e p2

Estatstica calculada:

1 2

1 2

t

p pz

p q p qn n

=

+

sendo 1 21 2

x xpn n

+=

+ e 1q p=

Exemplo: Numa pesquisa sobre possuidores de videocassete, encontrou-se 120 nas 200 casas

pesquisadas do bairro X e 240 nas 500 pesquisas do bairro Y. H diferena entre a proporo dos possuidores de videocassete nos dois bairros? Use 10% =

EXERCCIOS

1. Duas pesquisas independentes sobre salrios em duas reas metropolitanas muito separadas revelaram a seguinte informao sobre o salrio mdio de operadores de equipamento pesado:

A B x 6,50/h 7,00/h s 1,50/h 1,00/h n 25 25

Pode-se concluir, ao nvel de 0,05, que os salrios mdios sejam diferentes?

2. Uma empresa de pesquisa de opinio seleciona, aleatoriamente, 300 eleitores de Santa Catarina e 400 do Rio Grande do Sul, e pergunta a cada um deles votar ou no num determinado candidato nas prximas eleies, 75 eleitores de SC e 120 do RS responderam afirmativo. H diferena entre as propores de eleitores favorveis ao candidato nesses dois estados? Use = 5%

3. Em uma pesquisa de opinio, 32 dentre 80 homens declararam apreciar certa revista, acontecendo o mesmo com 26 dentre 50 mulheres. Ao nvel de 5% de significncia, os homens e as mulheres apreciam igualmente a revista?

4.

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Mais atividades:

1. A compra de uma lavanderia operada por moedas est sendo levada em conta por um empresrio. O atual proprietrio declara que, nos ltimos 5 anos, a receita era de $675 dirios, com um desvio padro de $75. Uma amostra de 30 dias selecionados revela uma receita diria mdia de $650. a) Teste a hiptese de que a declarao do atual proprietrio no seja vlida, para um

nvel de significncia de 0,01. b) Qual seria a resposta em (a) se o desvio padro fosse de $100?

2. Suponha que o diretor de produo de uma fbrica de tecidos precise determinar se uma nova mquina est produzindo determinado tipo de tecido de acordo com as especificaes do fabricante, que indicam que o tecido deve ter resistncia de rompimento de pelo menos 70 libras e um desvio padro de 3,5 libras. Uma amostra de 36 peas revela uma mdia da amostra igual a 69,7 libras. (Use nvel de significncia de 0,01) a) H evidncias de que a mquina no est atendendo s especificaes, em termos da

resistncia de rompimento? b) Qual seria a resposta em (a) se a mdia da amostra fosse 69 libras?

3. O gerente do departamento de crdito de uma companhia de petrleo gostaria de determinar se a renda mensal mdia de possuidores de cartes de crdito igual a $75. Um auditor seleciona uma amostra aleatria de 50 contas e descobre que a mdia $83,40 com um desvio padro da amostra de $23,65. Utilizando o nvel de significncia de 0,05, o auditor deveria concluir que h evidncias de que a renda mdia seja diferente de $75?

4. Um fabricante de televisores declarou, no rtulo de garantia, que, no passado, no mais de 10% de seus aparelhos de televiso precisou de reparo durante os 2 primeiros anos de funcionamento. Para testar a validade dessa declarao, uma agncia de testes do governo seleciona uma amostra de 100 aparelhos e descobre que 14 aparelhos necessitaram de algum reparo nos primeiro 2 anos de funcionamento. Utilizando um nvel de significncia de 0,01, a declarao do fabricante vlida?

5. O diretor pessoal de uma grande companhia de seguros est interessado em reduzir a taxa de rotatividade de funcionrios no setor de processamento de dados no primeiro ano de emprego. Registros do passado indicam que 25% dos novos contratados nesta rea no esto mais empregados no final de um ano. Novos e extensos mtodos de treinamento so implementados para uma amostra de 150 funcionrios do processamento de dados. Ao final do perodo de um ano, 29 desses 150 indivduos no esto mais empregados. No nvel de significncia de 0,01, h evidncias de que a proporo de funcionrios de processamento de dados que tenham passado pelo novo treinamento e no estejam mais empregados seja diferente de 25%?

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Exerccios: Calcule a correlao existente entre as variveis apresentadas:

1) Preos e Quantidades vendidas do mesmo produto verificados em vrios locais de vendas: Preos (x) Quant. Vend(y) X Y X.Y

12 41

13 22

14,5 15

15 10

12,6 44

2) Dados os valores x (5, 10,20, 8, 4, 6, 12 e 15) e y (27, 46,73, 40, 30, 28, 46 e 59), nesta ordem respectivamente, e supondo que x expresse os valores de aquisio de plano de sade numa determinada empresa e y a produtividade de seus empregados, determine a correlao entre os dados.

3) Uma amostra aleatria de 10 alunos foi retirada de uma sala de 98 alunos. Deste foi verificado as notas de matemtica e estatstica:

Matemtica 5,0 8,0 7,0 10,0 6,0 7,0 9,0 3,0 8,0 2,0 Estatstica 6,0 9,0 8,0 10,0 5,0 7,0 8,0 4,0 6,0 2,0

Existe correlao entre as duas disciplinas? Qual?

4) A tabela abaixo apresenta valores que mostram como o comprimento de uma barra de ao varia conforme a temperatura

Temperatura (C) 10 15 20 25 30 Comprimento (mm)

1.003 1.005 1.010 1.011 1.014

Determine: a) O coeficiente de correlao; b) A reta ajustada a essa correlao; c) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 18C d) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 35C

5) Calcular a propaganda necessria para se alcanar uma venda prevista R$ 3.200,00 para 2007, sabendo-se que existe forte correlao direta entre as vendas e propaganda. Anos Vendas (x) Propag (y) x.y x

2002 1.500 75 2003 1.900 118 2004 2.300 155 2005 2.450 215 2006 2.700 230

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SRIES TEMPORAIS

Conjunto de medidas de uma mesma grandeza, relativos a vrios perodos consecutivos. A anlise de dados das Sries temporais tem dois objetivos: descrever os padres da srie no passado e

predizer valores futuros. PIB trimestralmente IPC e taxa de desemprego mensalmente ndice da Bovespa ou da Dow Jones dirio Muitas sries apresentam tendncias definidas 1. Componentes de dados de sries temporais Podem ser encaradas em trs componentes: - a componente tendencional; - a componente cclica; - a componente irregular. Componente sazonal: no h quando considerados dados anuais, mas de grande importncia para sries de dados trimestrais, mensais, semanais. 2. Determinao da tendncia pelo clculo de mdias mveis

Exemplo: considerando o PIB real de 1980 a 2000, qual a tendncia mvel para 1998.

Ano PIB real a preos de 2000 (em milhes de reais)

Mdia mvel - 5 anos (em milhes de reais)

Razo

1980 678,03 - - 1981 661,32 - - 1982 669,32 677,51 0,988358 1983 665,30 695,44 0,956657 1984 713,29 726,52 0,981795 1985 767,66 760,79 1,009033 1986 816,71 800,51 1,020242 1987 840,99 838,68 1,002757 1988 863,90 852,64 1,013199 1989 904,12 858,52 1,053111 1990 837,49 858,63 0,975382 1991 846,11 862,44 0,981073 1992 841,51 868,54 0,968882 1993 882,95 895,86 0,985593 1994 934,63 926,64 1,008622 1995 974,10 964,89 1,009538 1996 1.000,02 995,30 1,004744 1997 1.032,75 1.017,01 1,015477 1998 1.035,00 1.040,13 0,995063 1999 1.043,20 - - 2000 1.089,69 - -

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PIB A PREOS REAIS BASE 2000

Azul: PIB Real

Vermelho: Mdia mvel

3. Determinao da tendncia por meio de regresso Considere a srie abaixo de valores de rendas anuais de pizza em uma pequena cidade:

50, 66, 81, 90, 98, 106, 115, 130, 146, 162, 177, 186, 194, 202, 211, 226, 242, 258, 273, 282, 290, 298, 307, 322, 338

Considerando a progresso dos anos x e as vendas y, podemos calcular: Coeficiente angular = 11,862 Coeficiente linear = 51,662, ento y = 51,662 + 11,862x

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Ano

Vendas

efetivas

Valor da

tendncia Resduo

0 50,00 51,66 -1,66

1 66,00 63,52 2,48

2 81,00 75,39 5,61

3 90,00 87,25 2,75

4 98,00 99,11 -1,11

5 106,00 110,97 -4,97

6 115,00 122,83 -7,83

7 130,00 134,70 -4,70

8 146,00 146,56 -0,56

9 162,00 158,42 3,58

10 177,00 170,28 6,72

11 186,00 182,14 3,86

12 194,00 194,01 -0,01

13 202,00 205,87 -3,87

14 211,00 217,73 -6,73

15 226,00 229,59 -3,59

16 242,00 241,45 0,55

17 258,00 253,32 4,68

18 273,00 265,18 7,82

19 282,00 277,04 4,96

20 290,00 288,90 1,10

21 298,00 300,76 -2,76

22 307,00 312,63 -5,63

23 322,00 324,49 -2,49

24 338,00 336,35 1,65

Vendas de Pizzas

Vendas de Pizzas com a regresso

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Reduo diferena entre o valor de tendncia e vendas efetivas

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EXERCCIOS

1. Em certa empresa as importaes de matria prima (em milhes de toneladas), no perodo de 2000 a 2006, apresenta o comportamento demonstrado na tabela abaixo:

Ano 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Importaes 130 120 105 100 85 80 75

(a) Qual a estimativa do decrscimo anual dessas importaes? Para estimar o decrscimo anual encontre a reta de regresso. (b) Para que ano espera-se que essas importaes reduzam-se para 30.000.000 de toneladas? (c) Calcule a disperso anual

2. Em uma dada regio da fronteira, acredita-se que o gado alimentado em um determinado pasto tem um ganho maior que o usual. Estudos de laboratrio detectaram uma substncia no pasto e deseja-se verificar se ela pode ser utilizada para melhorar o ganho de peso dos bovinos. Foram escolhidos 15 bois de mesma raa e idade, e cada animal recebeu uma determinada concentrao da substncia X (em mg/l). O ganho de peso aps 30 dias, denotado Y, foi anotado e os dados foram os seguintes (em kg):

X 0,2 0,5 0,6 0,7 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 Y 9,4 11,4 12,3 10,2 11,9 13,6 14,2 16,2 16,2 17,7 18,8 19,9 22,5 24,7 23,1

a) Calcule o coeficiente de correlao linear entre as variveis. b) Determine o modelo de regresso linear que representa o efeito da concentrao de certa substncia no pasto e o ganho de peso de bovinos. c) Construa o grfico de disperso. d) Interprete os coeficientes a e b encontrados no item (b).

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NMEROS-NDICES Um jornal, por ocasio de um pleito eleitoral, publicou uma tabela com os resultados da apurao na regio: CIDADES CANDIDATO

X CANDIDATO

Y VOTOS

BRANCOS VOTOS NULOS

TOTAL

A 39.544 30.279 980 11.549 82.352 B 18.872 19.897 787 6.210 45.766 C 8.139 4.903 177 1.324 14.543 D 16.263 8.659 464 2.997 28.383 E 746 899 45 216 1.996 F 3.149 3.120 93 517 6.879

Nmeros Relativos:

CIDADES VOTOS BRANCOS (%)

A 1,19 B 1,72 C 1,22 D 1,63 E 2,36 F 1,35

Nmeros relativos X Nmeros absolutos

1. NMEROS NDICES

ANOS 1989 1990 1991 1992 1993 1994 MATRCULA 1.050 1.150 1.200 1.400 1.560 1.700 NMERO-NDICE 100,0 109,5 114,3 133,3 148,6 161,9

Nmero-ndice ou, simplesmente, ndice a relao entre dois estados de uma varivel ou de um grupo de variveis, suscetvel de variar no tempo ou no espao (ou de grupo de indivduos para grupo de indivduos).

O ndice representa, portanto, o nvel de um fenmeno em relao ao nvel que ele tinha num dado perodo (ou numa dada regio) tomado como base, e geralmente expresso em porcentagem.

Os ndices mais utilizados relacionam, em geral, variaes de preo, de quantidade ou de valor (preo x quantidade) ao longo do tempo. Mas no somente na economia, como tambm nas cincias fsicas, qumicas, naturais e sociais (Psicologia quociente de inteligncia QI).

2. RELATIVOS DE PREOS Quando queremos analisar a variao no preo (ou na quantidade e no valor)

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p0: preo na poca base pt: preo na poca atual p0,t: relativo de preo

q0: quantidade na poca base qt: quantidade na poca atual p0,t: relativo de quantidade

v0: valor na poca base vt: valor na poca atual v0,t: relativo de valor

Exemplo: Sabendo que o preo de determinado produto era de R$ 50 em 2004 e de R$ 60 em 2005, determine o

relativo de preo em 2005, tomando como base o ano de 2004. ( comum a notao 2004 = 100 para indicar que o ano de 2004 tomado como base.)

3. ELOS DE RELATIVOS Quando cada um deles calculado tomando como base o ano anterior, so os relativos de base mvel. Fazemos uso destes para acompanhar crescimento de perodo a perodo Assim, se um bem apresentou, um perodo de 2001 a 2004, respectivamente os preos de R$ 240, R$

300, R$ 360 e R$ 540, os elos relativos so:

4. RELATIVOS EM CADEIA o ndice de base fixa: todos relativos so calculados tomando como base uma determinada poca. Com os dados do caso anterior teremos:

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5. NDICES AGREGATIVOS At agora os ndices estudados servem somente para acompanhar preo de um bem s. Porm a variao nos preos exige um conjunto de bens (agregado): ndice agregativo.

5.1 ndice agregativo simples ndice mdio dos relativos

RELATIVOS DE PREOS BENS 2004 2005 A (m) 100 150 B (kg) 100 125 C (l) 100 160 = 300 = 435

n = 3 Ip = 435/3 = 145%

5.2 ndice agregativo ponderado Coeficientes de ponderao, atribuindo, a cada item, a importncia que lhe cabe. Vrias frmulas: de Laspeyres, de Paasche, de Fischer etc. Muito utilizados nos ndices de investigao econmica.

5.2.1 Frmula de Laspeyres ou mtodo da poca-base

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Exemplo: Considera a tabela:

2003 2004 Bens p q p q

A 20 4 28 3 B 40 3 56 3 C 15 8 30 12

5.3 ndices de preos Embora, sem respostas imediatas, para construir um ndice preo devemos considerar os seguintes pontos:

a) Qual o objetivo do ndice? Determinar o que ele est medindo e a quem se refere. Seleo dos produtos que comporo o ndice.

b) Que produtos devem ser includos no seu clculo? Os mais importantes e representativos. c) Quais os preos a serem includos no seu clculo? Identificar o setor (atacado, varejo, ...), decidir a

cotao e a forma de coleta dos preos. d) Qual o peso a ser atribudo a cada bem em particular? Depende da finalidade ou da utilidade do ndice.

Deve refletir a importncia do bem. e) Qual a frmula adequada? Em geral, quando se trata de ndices preos, usada a frmula de

Laspeyers, que possibilita revises peridicas.

5.3.1 ndice de custos de vida O ndice de custo de vida ou ndice de preos ao consumidor um nmero-ndice que procura medir a variao de preos de um conjunto de bens e servios necessrios vida do consumidor final padro (famlia padro). evidente que devem ser considerados os preos dos bens consumidos em alimentao, vesturio, mobilirio, habitao, lazer, sade, higiene etc., alm, claro, dos gatos com gua, luz, transportes, educao e outros.

5.3.2 IPC 5.3.3 ndice da Cesta Bsica 5.3.4 IGP 5.3.5 IPC da FIPE

6. DEFLACIONAMENTO DE DADOS

Aumento de preos implica baixas no poder aquisitivo. Salrios nominais X Salrios reais = Poder aquisitivo

Onde: SR Salrios Reais St Salrios atuais IP ndice de preo das pocas correspondentes ou deflator

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Exemplo: O salrio de um professor, em dezembro de 2005, era de R$ 1.071 e o IP de dezembro de 2005, com base em novembro, era de 101,24%, o valor aquisitivo desse professor dado por:

Outro exemplo: O faturamento de uma empresa no perodo de 2001 a 2004 dado pela tabela abaixo. Vamos determinar o seu faturamento atual, relativamente ao perodo de 2000.

ANOS FATURAMENTO (R$) IP (2000 = 100) FATURAMENTO A

PREOS DE 2000 (R$) 2001 180.000 140,8 2002 220.000 291,1 2003 430.000 362,5 2004 480.000 410,3

Obs.: Qualquer ano pode ser tomado por base, basta recalcular o IP (base fixa) Exerccios:

1) Dada a tabela: Quantidade de bens (2001-2004)

Anos Bens 2001 2002 2003 2004

Auto-veculos (mil unid. 1.128,00 1.165,20 780,90 859,30 Cimento (milhes de t) 24,90 27,20 26,10 25,40 Ao (milhes de t) 13,90 15,20 13,10 12,90 Petrleo bruto (milhes de m) 9,60 10,60 12,40 15,10 a. Calcule os relativos para o bem auto-veculos, tomando 2001 = 100; b. Forme a tabela dos elos de relativos para o cimento; c. Forme a tabela dos relativos em cadeia para o ao, tomando 2002 = 100 d. Calcule os relativos para o petrleo bruto, tomando 2002 = 100 e. Represente a evoluo dos ndices das questes a e c, usando o grfico em linha

2) O salrio mdio de determinada classe operria, em 2004, foi de R$ 1.280,00. O IP, nesse mesmo ano, era igual a 257,57 e o de 2001 era igual a 187,20, referidos ao perodo-base de 1992. Tomando o ano de 2001 como base, determine o salrio real dessa classe operria em 2004.

3) O IP, em dado perodo, aumenta de 15%. Qual deve ser o aumento dos salrios dos empregados de uma empresa, para que tenham um aumento real de 5%?

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Exerccios complementares de correlao e regresso:

1) Prevendo necessidades gerenciais. Gestores so parte importante da base de

recursos humanos de qualquer organizao. Dessa forma, uma organizao

deveria estar to preocupada com a previso das necessidades futuras da

gesto como est em relao a suas prprias necessidades digamos, recursos

naturais usados no processo de produo. Um procedimento comum de

previso estruturar a relao entre vendas e o nmero de gestores

necessrios, uma vez que a demanda por gestores o resultado de aumentos e

diminuies na demanda por produtos e servios que uma firma oferece a seus

consumidores. Para desenvolver essa relao, os dados mostrados na tabela

abaixo so coletados dos registros de uma firma.

Unidades

vendidas

(x)

Gestores

(y)

5 10

4 11

8 10

7 10

9 9

15 10

20 11

21 17

25 19

24 21

30 22

31 25

36 30

38 30

40 31

41 31

51 32

40 30

48 32

47 32

a) Existe correlao entre as duas variveis? Qual? Sim. r = 0,96

b) Determine a reta de ajustamento, se existir. y = 0,59x + 5,22

c) Qual a previso do nmero de gestores necessrios se a firma alcanar 50

unidades vendidas? y = 34,72

2) De acordo com a tabela abaixo:

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3) a) Verifique a correlao existente entre a distncia em km da Sede do Corpo de

Bombeiros e o estrago provocado pelo incndio em milhares de reais. R = 0,96

Forte correlao direta

b) Qual a previso de gastos em reparao dos estragos se o incndio ocorrer a

7 km de distncia da sede do Corpo de Bombeiros? y = 4,92x + 10,28 y =

44,72

c) Qual a previso de gastos em reparao dos estragos se o incndio ocorrer a

10 km de distncia da sede do Corpo de Bombeiros? y = 59,48

d) Qual seria a distncia da sede do Corpo de Bombeiros se os estragos com

incndio somaram a importncia de R$ 30,4 mil reais? x = 4,09

Distncia

da Estao

dos

Bombeiros

(x)

Estrago

do

Incndio

(y)

3,4 26,2

1,8 17,8

4,6 31,3

2,3 23,1

3,1 27,5

5,5 36,0

0,7 14,1

3,0 22,3

2,6 19,6

4,3 31,3

2,1 24,0

1,1 17,3

6,1 43,2

4,8 36,4

3,8 26,1

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livro estatística ii carina

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