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Aula II – Estatística Aplicada à Instrumentação Industrial - Avaliação

da Incerteza de Medição

Universidade Federal da BahiaEscola PolitécnicaDisciplina: Instrumentação e Automação Industrial I (ENGF99)Professor: Eduardo Simas ([email protected])

Prof. Eduardo Simas – DEE/UFBAENGF99 – Instrumentação e Automação

Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)

Introdução

• Neste módulo serão estudados aspectos importantes para ainstrumentação industrial relacionados com a adequada expressão de umvalor medido.

• Para isso é necessário a utilização de conhecimentos da estatística quepermitem a correta avaliação da “incerteza de medição”.

• Adicionalmente, deve-se seguir as regulamentações no que diz respeito aoarredondamento de um valor medido e ao correto uso dos algarismossignificativos

2Prof. Eduardo Simas – DEE/UFBAENGF99 – Instrumentação e Automação


Expressão do Valor Medido

• Qual o comprimento do segmento AB?– 13,4

– 13,5

– 13,6

• Como não é possível ter certeza do valor medido, convenciona-se utilizar ametade da menor divisão: LAB=13,5

• O valor medido é composto de 3 algarismos significativos (sendo que oúltimo algarismo é duvidoso, ou seja está dentro da incerteza da medição).



Algarismos Significativos

• Os algarismos significativos de um número contam-se da esquerda para adireita, a partir do primeiro não nulo.

• Exemplos:

– 0,002500 4 a.s.

– 83 2 a.s.

– 78,0 3 a.s.

– 0,18 2 a.s.

– 134,5 4 a.s.

– 26,10 4 a.s.

– 28,1 3 a.s.

– 0,0105 3 a.s.



Regras básicas de arredondamento (NBR-5891)

• REGRA 1 - Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo por conservar é menor que 5, ele permanecerá conservado sem modificações.

– Exemplo: 1,333 ⇒ 1,33

• REGRA 2 - Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo por conservar é superior a 5, ele deverá ser aumentado uma unidade.

– Exemplo: 1,666 ⇒ 1,67 ⇒ 1,7

• REGRA 3 - Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo por conservar é igual a 5 , e for seguido de um algarismo diferente de zero, o último algarismo por conservar deverá ser aumentado de uma unidade.

– Exemplo: 4,8512 ⇒ 4,9



Regras básicas de arredondamento (NBR-5891)

• REGRA 4 - Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo por conservar é um 5 seguidos de zeros:

– 4,5750; 2,750; 3,650; 1,25

• REGRA 4.1 - Quando o último algarismo por conservar é ímpar, aumenta-se de uma unidade o último algarismo por conservar:

– 4,5750 => 4,58

– 3,350 => 3,4

• REGRA 4.2 - Quando o último algarismo por conservar for par, ele permanecerá conservado sem modificação:

– 2,8650 => 2,86

– 1,650 => 1,6



Estatística aplicada à metrologia

• Estatística é ciência que realiza a análise e interpretação de dados comcaracterísticas aleatórias (variáveis aleatórias ou estocásticas).

• A confiabilidade metrológica utiliza ferramentas estatísticas para

– avaliar a eficiência de ensaios;

– produzir resultados confiáveis.

• A inferência estatística tira conclusões probabilísticas sobre aspectos daspopulações, a partir de amostras extraídas dessas populações.

• No âmbito da metrologia, conceitos de estatística são utilizados para aobtenção de estimativas da incerteza de medição.




Média:

• Considerando um conjunto de medições com “n” valores individuaisindependentes x1, x2, ..., xn, a média aritmética é definida como:

• Onde:

– x = média aritmética;

– xi = valores da amostra;

– n = números de elementos da amostra.

8

∑=

=

N

i

ixN

x1

1




Média - Exemplo:

• Após o ajuste de um transmissor de pressão, foram feitas três leiturasseguidas:

– 4,02 mA;

– 3,99 mA;

– 4,10 mA.

• Calcule a média das 3 leituras.




Média - Exemplo:


– 4,02 mA;

– 3,99 mA;

– 4,10 mA.





Média - Exemplo:


– 4,02 mA;

– 3,99 mA;

– 4,10 mA.


• O valor calculado deve ser expresso com o mesmo número de algarismossignificativos que os valores medidos:

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mA 04,4=x



Estatística aplicada à metrologiaVariância / desvio padrão:

• Avalia o quanto os valores observados estão dispersos ao redor da média:

• Exemplo: Após o ajuste de um transmissor de pressão, foram feitas asleituras:

– 4,02 mA;

– 3,99 mA;

– 4,10 mA.

Calcule a variância

das 3 leituras:

12

1

)(1

2

−

−

=

∑=

N

xx

S

N

i

i



Resumo Amostra x População

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• A análise da população a partir da amostra só faz sentido se a amostra éum conjunto representativo da população.




Distribuições de Probabilidade (Fx(x)):

• São utilizadas para descrever o comportamento das variáveis aleatórias.

• Exemplo de distribuições de probabilidade:

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)()( oox xxPxF ≤=

x

fx(x)

Área total sob a curva:

� �� < � < �� = � � ��

�

� � � = 1�

��

Função densidadede probabilidade



Estatística aplicada à metrologiaDistribuição Normal (ou Gaussiana):

• Na natureza, muitos fenômenos são descritos (mesmo que aproximadamente) pordistribuições normais.




Características da distribuição Normal :

– Forma de sino;

– Simétrica em relação á média;

– A probabilidade tende a zeronas extremidades.




Distribuição normal padronizada:

• Para trabalhar com distribuições normais, em geral são usadas tabelas.

• A distribuição normal padronizada foi criada para evitar o uso de umatabela para cada combinação de valores da média e do desvio padrão.

• É definida então a variável normalizada:

• A distribuição padronizada tem média zero e desvio um:




Exemplo: Distribuição normal padronizada:

• Na medição da temperatura ambiente de um laboratório, foram medidos valoresonde a temperatura média = 20,2 oC e o desvio padrão = 0,2 oC . Admitindo-se queo conjunto de temperaturas tenha uma distribuição normal, determinar aprobabilidade de que a temperatura do laboratório seja menor que 20,0 oC .

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Da tabela para z = 1 → 0,3413

Então: prob = 0,5 – 0,3413 = 0,1587

ou seja: prob=15,87%



Tabela da distribuição Normal Padronizada




Intervalo de Confiança / Confiabilidade:

• Intervalo de confiança é a faixa de valores onde espera-se que umavariável aleatória (no nosso caso o valor medido) ocorra.

• A confiabilidade é a probabilidade associada a um certo intervalo deconfiança:




Distribuição de Student

• Quando o número de pontos tomados é pequeno, fazer as análises utilizando adistribuição normal pode ser muito arriscado. Uma opção é a distribuição de Student.

• Na distribuição de Student é definido o parâmetro tv que é semelhante ao “z” dadistribuição normal padronizada:


Industrial I (Aula II – Incerteza de Medição)21


Distribuição de Student

• Para consulta na tabela da distribuição de Student é preciso conhecer onúmero de “graus de liberdade” associados à medição.

• O número de graus de liberdade (g.l.) é definido como sendo o número demedições (n) menos um:

g.l.=n-1




Distribuição de Student- Exemplo:

• A média do conjunto de dez medições de pressão é 374,9992 mmHg e um desvio padrão 0,00065 mmHg . Qual a probabilidade que uma medição seja menor que 374,9993 mmHg ?






1- Resultado utilizando a distribuição normal:

• Z = (374,9993 – 374,9992) / 0,00065 = 0.1538






1- Resultado utilizando a distribuição normal:

• Z = (374,9993 – 374,9992) / 0,00065 = 0.1538

• Da tabela temos P=55,96 %






2- Resultado utilizando a distribuição de Student:

• tv= (374,9993 – 374,9992) / (0,00065/√10) = 0.487







• tv= (374,9993 – 374,9992) / (0,00065/√10) = 0.487

• Da tabela (para nove graus de liberdade), o valor 0,487 não existe, mas temos 0,261 e0,543, faremos então uma interpolação linear para obtermos o valor da probabilidade:







• tv= (374,9993 – 374,9992) / (0,00065/√10) = 0.487

• Da tabela (para nove graus de liberdade), o valor 0,487 não existe, mas temos 0,261 e0,543, faremos então uma interpolação linear para obtermos o valor da probabilidade:

• (x – 0,60) / (0,70 – 0,60) = (0,487 – 0,261) / (0,543 – 0,261) então: x=0,68%




Distribuição Normal x de Student:

• Percebe-se que num mesmo problema o uso da distribuição de Student leva aresultados mais “conservadores” (maior probabilidade para um mesmo intervalo).

• A distribuição de Student considera que quanto menor o número de graus deliberdade, mais incerta será a variável medida.

• A diferença entre as distribuições só é significativa para um número pequeno de grausde liberdade (menor que 30).



Avaliação da Incerteza de Medição

Pode ser feita de duas formas (segundo o Guia para Expressão da Incerteza de Medição do Inmetro):

• Por análise estatística a partir de uma série de medições repetidas da mesma grandeza (avaliação tipo A).

• A partir de julgamento científico utilizando todas as informações disponíveis sobre o sistema de medição (avaliação do tipo B).



Avaliação da Incerteza Padrão do Tipo A

• Quando dispomos de uma série de N observações de uma variável x, a incerteza de medição U pode ser estimada por:

• Onde s é o desvio padrão das medições xi:

N

s=u

1

1

2

−

−∑N

)x(x

=s

N

=i

i

∑N

=i

ixN

=x1

1a média é dada por:



Avaliação da Incerteza do Tipo A

• A incerteza padrão é utilizada para intervalos de confiança da ordem de um desvio padrão:

• Da distribuição normal esse intervalo está associado a -1 > z > 1 → P=68 %.

• Para uma maior confiabilidade podemos utilizar a incerteza estendida:

• Se z=2 → → confiabilidade associada → 95 %

uxx ±=

uzxx ×±=

uxx 2±=




• Se o número de medições for pequeno, pode-se utilizar a distribuição de Student

para estimativa da confiabilidade:

1. Determinar o nível de confiabilidade desejado;

2. Determinar o número de graus de liberdade;

3. Encontrar na tabela o valor de tv associado;

4. Escrever a incerteza na forma:

Exemplo: Considerando n=5 e confiabilidade = 95%, encontre tv :

utxx v ×±=











P=0,5+0,95/2=0,975

v=n-1=4

utxx v ×±=











P=0,5+0,95/2=0,975

v=n-1=4

utxx v ×±=

tv=2,776 uxx 776,2±=




• Para uma certa confiabilidade, percebe-se da tabela da distribuição de Student que quanto maior o número de graus de liberdade, mais próximo da distribuição normal fica o resultado:

• Para confiabilidade de 95 % (P 0,975):

• v = 1 → tv = 12,706;

• v = 2 → tv = 4,303;

• v = 3 → tv = 3,182;

• ...

• v = 10 → tv = 2,228;

• ...

• v = 20 → tv = 2,086;



Exemplo prático com a incerteza de medição Tipo A

Considerando que a uma peça foi medida diretamente com um micrômetro e foram obtidas as 12 leituras a seguir, estime a incerteza padrão de medição.

10,002010,002310,004010,002310,001810,002010,002110,002310,001810,002410,002310,0023

Comprimentos medidos em mm.





10,002010,002310,004010,002310,001810,002010,002110,002310,001810,002410,002310,0023


A partir dos valoresmedidos chega-se a;

002310,=x 0,0006=s

0,0001732=N

s=u





10,002010,002310,004010,002310,001810,002010,002110,002310,001810,002410,002310,0023


A partir dos valoresmedidos chega-se a;

002310,=x 0,0006=s

0,0002=N

s=u

mm0,0002002310 )±,(=x

A variável medida é então expressa por:

Obs: a incerteza deve ser expressa com o mesmo número de casas decimais que o valor medido




Considerando o modelo da distribuição normal ( que nesse caso apresenta resultados semelhantes ao de Student), qual o intervalo que apresenta uma confiabilidade de 90% ?





Da tabela da distribuição normal para essa probabilidade temos: z=1,65.

uzxx ×±=





Da tabela da distribuição normal para essa probabilidade temos: z=1,65.

mm),,±,(=x 00020651002310 ×

uzxx ×±=

mm),±,(=x 00040002310

Obs: a incerteza de medição é sempre expressa na mesma quantidade de casas decimais que o valor medido e é sempre aproximada para o maior valor



Avaliação da Incerteza Tipo B

Para a variável x que não foi obtida a partir de uma série de observações a incerteza deve ser avaliada utilizando-se todas as informações disponíveis como:

– Medições anteriores;

– Especificações do fabricante;

– Dados de calibração;

– Conhecimento dos instrumentos e materiais utilizados;

– Etc.



Avaliação do Tipo B da incerteza de medição

• A incerteza padrão do tipo B é determinada por:

S = SY1 + SY2 + ... +SYN

Onde Y1 pode ser a incerteza associada a medidas anteriores, Y2 a incerteza associada às especificações do fabricante, etc

Incertezas devido às fontes Y1, Y2, ..., YN



Avaliação da incerteza de medição Tipo B

• Exemplo: Uma balança digital indica massas com intervalos de 0,1 kg. Sabendo que ela foi calibrada por uma massa padrão de incerteza padrão 0,01kg, calcule a incerteza padrão da balança.





• S = (0,1)/2 +

Metade da menor divisão (resolução) do instrumento





• S = (0,1)/2 + 0,01 = 0,06 kg.

Incerteza do processo de calibração

Metade da menor divisão (resolução) do instrumento

Obs: a incerteza de medição do tipo B também pode ser expressa na forma estendida. Neste caso em geral utiliza-se a aproximação pela curva normal.



Propagação de incertezas

• Quando uma grandeza x é calculada a partir de uma ou mais variáveis medidas, suaincerteza Sx pode ser estimada a partir das incertezas das variáveis medidas.

)y,,y,f(y=x k2 ...1Sendo:

Então, se as variáveis yi são não-correlacionadas:

2

2

2

2

1

... )(Syy

F++)(Sy

y

F=Sx K

K

1

∂

∂

∂

∂



Propagação de incertezas

• Exemplo: Considerando que uma grandeza X é estimada a partir da medição dasvariáveis Y1 e Y2, estime a incerteza na estimação de X.

21+YX=Y 22)(Sy)(Sy=Sx 1 2+

21 YX=Y × 22)Sy(y)Sy(y=Sx 11 22 +

1X=aY11 aSy)(aSy=Sx =

2



Exercícios:Questão 01: Considerando que foram realizadas as medições ao lado utilizando um voltímetro, calcule:

a. A incerteza padrão

b. A incerteza associada à confiabilidade de :

• 80 %

• 95 %

• 99 %

Questão 02: Refaça a Questão 01 considerando a distribuição de Student.

Questão 03: Um amperímetro digital foi calibrado utilizando um instrumento de incerteza padrão igual a0,0007 A, considerando que a menor divisão do mostrador do amperímetro é igual a 0,001 A, estime aincerteza associada a medições realizadas com este amperímetro para uma confiabilidade de 99%.

Questão 04: O comprimento de uma barra foi calculado a partir das distâncias L1 e L2 medidas dasextremidades da barra para um ponto referencial. A incerteza associada a cada uma das medições é de 0,001cm, estime a incerteza associada ao comprimento da barra.

Questão 05: Estima a incerteza de medição associada a uma variável Y que é medida de modo indireto apartir das variáveis X1 e X2, considerando que Y = 17 X1

2 + 1/X2 e que as incertezas de medição associadas àsmedições de cada variável foram respectivamente 0,01 e 0,05 para X1 e X2.

U (Volts)

12,102

12,103

12,105

12,103

12,101

12,103

12,104

12,103

12,103

12,104

12,102



aula ii –estatística aplicada à instrumentação industrial ... ii - estatística aplicada...

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