Éder David Borges da SilvaRenato Gonçalves de Oliveira

IntroduçãoObjetivo: Relacionar matematicamente duas ou mais variáveis, com uma função, por exemplo:

• Importante para entender os fenômenos físicos, químicos, biológicos, sociais, médicos...etc.• Variáveis devem ser quantitativas• Importante no estudo de otimização de processos

2Experimentação com recursos computacionais

iii XY 10

Classificação dos modelos quanto as parâmetros

Modelo linear

Modelo não-linear

3Experimentação com recursos computacionais

iii XY 10

00

iY

ii XY

1iiii XXY 2

210

iii XY 2

10

00

iY 2

1

ii XY

)ln(21

2i

i XXY

Modelos estatísticos quanto ao # variáveisModelo univariado:

Modelo múltiplo:

iii XY 10

innii XXY ...10

Experimento univariado

6Experimentação com recursos computacionais

10.3

20.2

62.1

40.1

12.1

99.0

90.0

88.0

Y

0.2

5.1

0.1

8.0

5.0

3.0

2.0

1.0

X

Altura Tempo de exposição

Experimento múltiploVolume estimado de madeira

113

104

96

93

90

87

86

82

78

65

Y

101

100

95

87

90

93

80

90

71

41

1X

96

78

84

96

70

61

81

80

48

79

2X

71

70

67

62

64

66

59

64

53

35

3X

Volume/área Área basal Área basal relativa

Altura

Método dos mínimos quadrados

Idéia do Método:

8Experimentação com recursos computacionais

2

1

0 )(min i

n

ii yyS

Estimador de Mínimo Quadrado

~~~XY

00.40.21

25.25.11

00.10.11

64.08.01

25.05.01

09.03.01

04.02.01

01.01.01

X

2

1

0

10.3

20.2

62.1

40.1

12.1

99.0

90.0

88.0

Y

YXXX ')'( 1^

~

MMQ

iiii XXY 2210

X0 X1 X2

Função lmFitting Linear Modelsajuste1 <- lm(Produção ~ altura)ajuste2 <- lm(Produção ~ altura+diametro)ajuste3 <- lm(Produção ~ I(altura)+I(diametro)

+I(diametro)^2)Summary(ajuste1)Call:lm(formula = Y ~ X1)

Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -10.7994 -2.6942 -0.1651 3.7156 13.0095

Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 33.9634 11.4989 2.954 0.01832 * X1 0.6537 0.1330 4.916 0.00117 **---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 7.106 on 8 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.7513, Adjusted R-squared: 0.7202 F-statistic: 24.17 on 1 and 8 DF, p-value: 0.001170

Anova(ajuste1)

Analysis of Variance Table

Response: Y df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X1 1 1220.39 1220.39 24.165 0.001170 **Residuals 8 404.01 50.50

ANOVA da Regressão

Fonte: Apostila Prof° Suely Giolo UFPR

ANOVA da Regressão

0...: 3210 mH Para algum i=1,2,3,...,m0:1 iH

Teste t de Student

)(

0

^

^

i

St ic

QMEXXSi

1

)()'(^

00

00

:

:

i

i

H

H

Coeficiente de determinação R2aju

n tamanho da amostrap número de parâmetrosi igual a 1, se inclui intercepto ou 0 sem

intercepto

)1(1 22 Rpn

inRAj

SQT

SQER 12

Análise do resíduoCom distribuição normal e µ=0 e σ²

conhecido

Introdução

nnm

RSR 1

1)(1

)(

Métodos de InterativosIdeia: SQE tem de ser minimizadas, em função dos parâmetros

Métodos de Interativos

Experimento

26300

5000

4100

3000

490

138

105

89

75

64

63

45

30

19

10

pot

0730.0

1013.0

1205.0

1468.0

1655.0

2120.0

2272.0

2404.0

2522.0

2628.0

2681.0

2753.0

2828.0

2931.0

3071.0

u

Determinação Laboratorial Câmara de Richards

Função nls

ajuste<-nls(u~ur+(us-ur)/((1+(alpha*pot)^n)^(1-1/n)),start=list(us=0.2236,ur=0.0611,alpha=0.056,n=1.5351))

nnm

RSR 1

1)(1

)(

>summary(ajuste)Formula: u ~ ur + (us - ur)/((1 + (alpha * pot)^n)^(1 - 1/n))

Parameters: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) us 0.324120 0.017744 18.27 1.41e-09 ***ur 0.007083 0.071083 0.10 0.922 alpha 0.038780 0.026202 1.48 0.167 n 1.211817 0.105207 11.52 1.77e-07 ***---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.01104 on 11 degrees of freedom

Number of iterations to convergence: 10 Achieved convergence tolerance: 4.152e-06

Coeficiente de determinação R2

Método de calculo manual no R# R^2# soma de quadrados residualSQE <- summary(ajuste)$sigma^2*summary(ajuste)

$df[2]SQE# soma de quadrado total corrigidaSQT <- var(u)*(length(u)-1)SQTR2 <- 1 - SQE/SQTR2