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MAT. – 5

1º VESTIBULAR UFOP 2007

GRUPO 1 – TIPO A

MATEMÁTICA

Questões de 01 a 04

01. Uma correia transportadora deposita areia num monte de formato cônico reto a uma taxa constante de 32 m /h . No monte que se forma, a razão entre a altura e o raio da base permanece constante e igual a 2 .

A) Encontre a expressão que fornece a altura do monte formado em função do tempo, considerando t = 0

como o instante em que o material começou a ser depositado.

333

3

3

33

22

32)(1412

12)(

22

12

12

1)(

4

1

3

1)(

4

1

3

1

3

12

12

tththhttV

TVV

TThVm

hm

hhVhhV

hhVhrV

hrr

h

B) Após quanto tempo o monte terá uma altura de 6 m ?

htttt 932733326 33

MAT. – 6


GRUPO 1 – TIPO A

02. Considere as circunferências 1C , 2C e 3C , tangentes entre si e tangentes aos lados

do retângulo ABCD .

As duas circunferências menores têm o mesmo raio e o segmento BC mede 4 cm . Determine:

A) As medidas dos raios das circunferências.

Raio das menores: cm14

4

Raio da maior: cm22

4

B) A medida do lado AB .

223

222121

22813 2222

AB

hAB

hhh

C) As equações reduzidas das circunferências 1C e 3C .

C1: Centro (1,1) raio=1 1)1()1(:1 22 yxC

C2: Centro (1+2 2 ,2) raio=2 4)2()221(:2 22 yxC

MAT. – 7


GRUPO 1 – TIPO A

03.

A) No desenvolvimento do binômio de Newton, n

a b , segundo as potências

decrescentes de a , a fórmula do termo geral é n- p pp+1

nT = a bp , onde np

é o

número de combinações de n elementos escolhidos p a p .

Considere o binômio de Newton

8

22

xx y +

y.

Calcule p

de tal forma que o expoente de x

no termo geral seja igual a 10. Em seguida, determine o termo p 1T .

701234

5678

4

870

4

8

4

8

4

8

412362

310

2

316

88

88

6

10610

5

66162

454

2

4316

51

2

54

2

3162

24

2216

1

22

4216

2

821

2

y

xyxT

yxyxTT

pppp

yxp

yxp

T

y

xyx

py

xyx

pT

p

ppp

ppp

p

p

pp

pp

p

p

B) Resolva a equação n+1 !n!

+ = 6n - 4n - 2 ! n -1 !

.

MAT. – 8


GRUPO 1 – TIPO A

04.

A) Determine os valores de:

A.1) 10

cos3

A.2) cosec

4

2

1

3

10cos

60cos

240cos

600cos3

18010cos

22

2

4cos

2

2

1

45

1

)45(

1)45(cos

ec

sen

senec

B) Simplifique a expressão: 3

2

3 - 2 3 + 2

1 11+ 1-

2 2

.

C) Sendo ,1 2 2 1

A = B =2 3 5 2

e tB a transposta de B , resolva a equação tXA A B .

211

16

01

14

32

21

12

23

21

52

32

21

12

23

12

23

1

1

12

23

det

1 11

171717

XX

AA

A

AABXAABXAABAXA

MAT. – 1


GRUPO 5 – TIPO A

MATEMÁTICA


01. Considere a seqüência de funções 1f x sen x , 22f x sen x , 3

3f x sen x ,..., n

nf x sen x , ... e as áreas 1A , 2A , 3A , ... , nA , ... , definidas pelos respectivos

gráficos no intervalo 0, .

Um aluno de Cálculo, motivado pelas inúmeras aplicações dessa disciplina,demonstrou que:

para par

para ímpar

2

n

n2

n

4 n -1 !n

n - 2n 2 !

2A

n -12 !

2n

n!

Calcule 1A e 4A .

8

3

1164

1234

!1164

!34

!2

2424

!144

21

12

1

!02

!1

!2

112

22

4

4

22

2

1

1

A

A

MAT. – 2


GRUPO 5 – TIPO A

02. Considere que as funções logarítmicas envolvidas na equação a seguir são reais ede variável real.

100 0,1 62 log 3 - x - log 2 - x = log6 +log6 log 7

Se a é raiz dessa equação, então calcule 6log a - 2 .

Condição de existência:202

03

xx

x

Para resolver a equação, devemos passar os logaritmos para a base 1°(mudança de base):

16log24log2log

)(42

9

4

2

135

2

16950365

422364223

42log23log

7log6log2log3log

110log10loglog

210log210loglog,

6log

7log6log6log

log

2log

log

3log2

666

2

1

2

2

11,0

2100

1,0100

a

NãoaxSe

x

x

xxx

xxxxx

xx

xx

Mas

xx

MAT. – 3


GRUPO 5 – TIPO A

03. Uma cunha esférica é determinada pela revolução de o60 do semicírculo a seguir,de raio 2cm , em torno do eixo e .

Calcule a área total e o volume desta cunha.

Volume de esfera: 333

3

322

3

4

3

4cmRVl

Área da superfície esférica: 222 16244 cmRAl

3606

160

Volume da cunha: 3

9

16

3

32

6

1cmVc

Área do fuso: 2

3

816

6

1cmAf

Mas, a área da cunha: 222

3

204

3

82

3

8

22 cmA

RAA cfc

2 cm 60º

ee

MAT. – 4


GRUPO 5 – TIPO A

04. Uma rua em linha reta, com 1200 metros de comprimento, foi arborizada com ipêsdo lado direito e flamboyants do lado esquerdo. Os ipês foram plantados de 25 em25 metros e os flamboyants de 30 em 30 metros. No início da rua, foi plantadauma árvore de cada espécie.Uma pessoa caminhou por essa rua partindo do seu início e parou para descansarsempre que ocorreu coincidência de espécies plantadas, uma em cada lado da rua.

Pergunta-se:

A) A que distância do início da rua ocorreu a primeira parada?

A1 é múltiplo de 25; a1 é múltiplo de 30 e, por ser a 2ª coincidência (1ª parada), é o menor possível mmmcaa 15030,25101

B) Quantas vezes a pessoa parou para descansar?

ma 1501 (1ª parada)



--------------------------------

man 1200 (n° parada)

Conclusão: parou para descansar 8 vezes.

MAT. – 5


GRUPO 5 – TIPO A

05. Um trapézio isósceles de base média medindo 20 cm está circunscrito a uma circunferência.

Determine o perímetro deste trapézio.

cmyxPerímetro

yxyxBbBb

bm

8044

80444022402

MAT. – 6


GRUPO 5 – TIPO A

06. No lançamento de uma moeda três vezes consecutivas, Pedro aposta com seucolega Antônio que ou sairá cara exatamente duas vezes ou os resultados serãotodos iguais. Antônio aposta que sairá coroa pelo menos uma vez. Determine asprobabilidades de Pedro e Antônio acertarem os resultados e diga quem tem maischances de ganhar a aposta.

C= Cara e K= Coroa

Conjunto total de possibilidades:

{ccc; cck; ckc; ckk; kcc; kck; kkc; kkk} = 8 possibilidades.

Conjunto das possibilidades de Pedro:

{ccc; cck; ckc; kcc; kkk} = 5 possibilidades.

Conjunto das possibilidades de Antônio:

{cck; ckc; ckk; kcc; kck; kkc; kkk}= 7 possibilidades

Probabilidade de Pedro=5/8

Probabilidade de Antônio=7/8. É Antônio quem tem mais chance de ganhar a aposta.

MAT. – 7


GRUPO 5 – TIPO A

07. Num sistema de coordenadas cartesianas, localizam-se o ponto P 3,4 e a reta r

de equação 2 0x y . Seja Q o ponto da reta r de abscissa a .

Determine:

A) A medida do segmento PQ em função de a .

No ponto Q,

1322

4469

23

243

202

2

22

22

22

aaPQ

aaaaPQ

aaPQ

aaPQ

ayyaax

B) O valor de a para que a medida do segmento PQ seja a mínima possível, emseguida, o valor desta medida mínima.(Sugestão: Sendo 0m , m será mínima quando m for mínimo)

PQ será mínima quando: 1322 22 aaPQ for mínimo

2PQ é mínima para 2

1

4

2

2A

Ba

2PQ mínima

2

25

2

5

2

25

2

2512

2

1131

2

1131

2

113

2

12

4

12

PQ

MAT. – 8


GRUPO 5 – TIPO A

08. Considere a expressão ...E x y x y x y , na qual o número de radicais

cresce indefinidamente.

A) Escreva E na forma m nE x y , em que m,n .

3

1

3

2

1

1

64

1

16

1

4

1

32

1

8

1

2

1

64

1

16

1

4

1

32

1

8

1

2

1

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1

3

1

4

34

1

4

11

4

1

164

1

16

1

4

1

3

2

4

32

1

4

11

2

1

132

1

8

1

2

1

yxE

q

a

q

a

yxE

yyyxxxE

yxyxyxE

B) Calcule o valor de E para x 8 e 1

y8

.

22

4

2

12

8

18 23

1

3

2

3

1

3

2

yxE

MAT. – 9


GRUPO 5 – TIPO A

09. Maria e sua irmã Vera foram com seu irmão mais novo à casa do seu tio. Lá,encontraram uma balança com defeito, que só indicava corretamente pesossuperiores a 70 kg . Dessa forma, eles se pesaram dois a dois e seus pesoscombinados foram:

Maria e Vera: 99 kg

Maria e o irmão: 81kg

Vera e o irmão: 74 kg

Determine o peso de cada um dos irmãos.

Mariakgx

Verakgy

Irmãokgz

zyxzyx

zy

zx

x

5374127

4681127

2899127

127254222

74

81

999

10. Considere o polinômio 4 3 2P x x a x b x c x d , em que:

P x P x x

P 1 = 2

P 0 = 6

Determine:

A) Os valores de a , b , c e d .

65

5660060

2121

0

24

24

234234

xxxP

bddP

dbP

dbxxxP

cacc

aa

dcxbxaxxdcxbxaxxxPxP

MAT. – 10


GRUPO 5 – TIPO A

B) A soma dos quadrados das raízes de P x .

103322

333

222

322

15

2

24255065

0650

24

23

22

21

432

212

212

224

xxxx

xxx

xxx

yyyyy

yxxxxP

11. Viajando 8 horas por dia, durante 6 dias, com uma velocidade média de /km hv , um ciclista faz certo percurso. Sabe-se que ele poderia fazer o mesmo percurso seviajasse 5 horas por dia, durante 8 dias, com uma velocidade média /4 km hsuperior à velocidade v . Assim sendo, calcule a velocidade v .

1° modo:

hkmvvvv

v

v

v/202056

46

5

46

8

8

5

2° modo: distância= velocidade média x tempo

tVd m

hkmv

v

vv

vdvd

/20

1608

1604048

44048

MAT. – 11


GRUPO 5 – TIPO A

12. Nos triângulos a seguir, o ângulo Â é reto. A medida do segmento CB é 20 cm , a

do segmento BD é 11cm e a do segmento DA é 5cm .

Determine o valor de tg . (Sugestão: Utilize a identidade tg tg

tg1 tg tg

)

56

333356

20481536512

125

3

412

51

12

5

3

4

1

3

4

12

16

12

5

12144256400

5112022

222222

tgtg

tgtgtg

tg

tg

tg

tgtg

tgtgtg

tgCA

ADtg

cmCACACA

CAABCBCA

MAT. – 12


GRUPO 5 – TIPO A

,

MAT. – 7


GRUPO 6 – TIPO A

MATEMÁTICA


01. Considere os cones circulares retos 1V AB , de diâmetro AB medindo 4 m e altura h

de 3m , e 2V CD (cone invertido), de diâmetro CD medindo 2x e altura z .

Pede-se:

A) y e z em função de x .

xzyyhz

xyx

y

hRAB

2

333

2

3

2

3

3;24

B) V em função de x , onde V é o volume do sólido 2 1V CV D .

2

2222

3;333

xV

hComo

hx

zyxzx

yxV

C) O gráfico de V em função de x no intervalo 0,2 .

V

A BV

1

C D

R

x

h

y

z

2

MAT. – 8


GRUPO 6 – TIPO A

02.

A) Numa progressão geométrica de termos positivos, o primeiro termo é cincovezes a razão, e a diferença entre o segundo termo e o primeiro vale 30 . Calcule a soma dos três primeiros termos.

1951354515135

45

15

3

3

2

06

0305530

5

33

2

1

2

1

2

211

1

Sa

a

a

q

q

q

qq

qqaqa

qa

B) Numa progressão aritmética crescente de quatro termos, a soma do primeirocom o último é 10 e o produto do segundo pelo terceiro é 21 . Escreva esta PA.

11,7,4,1

1,4,7,11

412

1210"11

2

1210'12

14444100

01110

011109

1021

99

10

9

20021

99

10

9

200

213

2102

3

210

2123

21021031032

21

103210310

2

222

11

11

11

111

32

11141

PA

PA

raa

aa

aaaaaa

aa

aa

rara

ararra

aa

raraaaa

03. Considere a reta r de equação x

y = 2+2

.

A) Expresse, em função de a , sendo a 0 , a área da região plana S, limitadasuperiormente pela reta r , inferiormente pelo eixo dos x e lateralmente peloeixo dos y e pela reta t de equação x a .

aa

aAaa

aAhbB

A 242

22

22

2

B) Calcule a para que as áreas da região S, na figura anterior, e a do triânguloretângulo de hipotenusa 85 e cateto 7, a seguir, sejam iguais.

6

142

208"

62

208'

4003366408482124

2128

2

.212

67

6364985785

222

22222

a

a

a

aaaa

aa

AuA

wwww

MAT. – 10


GRUPO 6 – TIPO A

04.A) Os restos das divisões de 197 e 281 por x são 17 e 29 , respectivamente.

Determine o máximo valor de x .

25229281

18017197

22

11

xqxq

xqxq

Como q1 e q2 são inteiros, x é divisor comum de 180 e 252. O máximo x é o MDC de 180 e 252.

X=36

B) Encontre o conjunto solução da equação 2t t3×2 - 4×2 +1= 0 .

32

323

1

2"

'

2

log,0

loglog"3

12

0"12

3

1"

32

24"1'

32

24'2

41216

0143

2

S

x

x

yyyy

yy

y

x

x

x

MAT. – 11


GRUPO 6 – TIPO A

05. José deposita mensalmente em um fundo, a partir de 1o de janeiro, a quantia de200 reais, a juros simples de 1,5% ao mês. Calcule o seu montante no fim de umano, para um total de 12 depósitos.

1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11 1/12 1/1200 203 206 ... 236 1Q

200 203 200 ... 233 2Q

200 203 ... 230 3Q

200 227 4Q

200 224 5Q

200 221 6Q

200 218 7Q

200 215 8Q

200 212 9Q

200 209 10Q

200 206 11Q

200 203 12Q

Montante = 12

ii 1

Q

Montante= 236+233+...+206+203

= 26342

12

1

203236

06.

A) Resolva a equação 2 2 2

2 2 3=

x +2x+1 x - 2x+1 x -1- .

3,3

1

36

108"

3

1

6

108'

100334640383

338

3312122

11

113

11

1212

11

3

1

2

1

2

2

2

222

2222

22

22

S

x

x

xx

xx

xxxxx

xx

xx

xx

xx

xxxx

MAT. – 12


GRUPO 6 – TIPO A

B) Resolva a inequação 2x 1 1

x 1 2.

152

46"

5

1

52

46'162036

0165

01654

3

04

11

24

4

14

124

1144

2

1

1

12

2

2

22

22

22

xx

xx

xx

xxxx

xxxx

x

x

1

01..

x

xC

5

1,1S

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