matematica rede 1a34matematicaemrede.com.br/docs/matematica_em_rede.pdf · objetivos 3. educação...

Dracena

2018

1ª edição

Matemática em

com multiplano

RUBENS FERRONATO

Copyright © 2018 Ateliê da escrita

Direção

Roberto Maluhy

Coordenação de produção

Larissa Prado

Capa e projeto gráfico

Marilice Viana

Editoração eletrônica

Marilice Viana, Victor Slovac Avila

Edição de texto

Ana Maria Onofre

Revisão

Vitor Hugo Silva

Imagens e vídeos

Rubens Ferronato

Av. Expedicionários, 1267, sala 102 – Centro

17900-000 – Dracena/SP

Tel. (11) 3031-9992

www.ateliedaescrita.com.br

[email protected]

Todos os direitos reservados.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Ferronato, Rubens

Matemática em rede com multiplano / Rubens

Ferronato. -- 1. ed. -- Dracena, SP : Ateliê da

Escrita, 2018.

Acompanha Kit Multiplano

ISBN 978-85-63488-37-4

1. Aprendizagem 2. Educação - Finalidades e

objetivos 3. Educação especial 4. Educação inclusiva

5. Educação matemática 6. Matemática - Estudo e

ensino 7. Professores - Formação profissionais

8. Sala de aula I. Título.

18-16772 CDD-510.7

Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Estudo e ensino 510.7

Maria Alice Ferreira - Bibliotecária - CRB-8/7964

APRESENTAÇÃOMATEMÁTICA PARA TODOS, SEM DIFICULDADE

Era para ser uma ferramenta para ajudar estudantes cegos ou com

baixa visão a entender um conhecimento que é difícil para muitos

educandos, a Matemática, mas a criatividade do professor Rubens

Ferronato acabou por descobrir uma forma revolucionária de ensinar para

todos, de forma muito mais fácil, interativa, que trabalha

multissensorialmente e possibilita a compreensão dos processos.

Assim nasceu o Multiplano, que começou em um tabuleiro

improvisado de madeira compensada com furos e pinos, onde seria

possível representar operações matemáticas que pudessem ser montadas

pelos próprios estudantes. O desafio principiou com o intuito de educar

um único estudante cego, porque o professor Rubens se negou a aceitar a

ideia de que alguns conceitos da Matemática seriam impossíveis de se

ensinar a cegos, e provou que quem pensava assim estava errado.

O professor não imaginava que as aulas montadas especificamente

para aquele estudante acabariam contagiando toda a turma, que lhe pediu

para ensinar a todos com o Multiplano, já que era muito mais fácil

aprender Matemática com aquele tabuleiro. Sem perceber, o professor

Rubens estava praticando aquilo que hoje é tido como uma das grandes

tendências globais: o desenho universal, ou seja, um caminho que acolhe a

todos, abraçando toda a diversidade humana, com inclusão e acessibilidade.

O Multiplano é hoje um trabalho premiado e recomendado no Brasil e

no exterior, nascido da experiência prática da sala de aula, foco da tese de

mestrado de Rubens Ferronato e aprimorado em 18 anos de estudo.

Participou do Prêmio Tecnologia Social da Fundação Banco do Brasil em

2003; em 2005, foi escolhido pelo Prêmio Top Educacional Mário

Palmério, da ABMES; recebeu o prêmio Finep de Inovação em 2012; foi

escolhido pela equipe curadora do Museu do Amanhã, no Rio de Janeiro,

para participar da exposição “Inovanças – Criações à Brasileira”, em 2017;

participou como único finalista brasileiro do prêmio VIVA ldea, da Viva

Prêmios Schmidheiny, que promove o empreendedorismo na América

Latina; e, em 2018, o professor Rubens foi classificado entre os 50

melhores professores do mundo, no Global Teacher Prize, considerado o

Oscar da Educação.

Quebrar o paradigma de que a Matemática é difícil e repleta de

fórmulas para se memorizar, desde a Educação Infantil até o Ensino

Superior, é uma das conquistas do Multiplano em várias instituições que já

o adotaram e adotam. Despertar, no estudante e no professor, o

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/s5y7vZ

entendimento dos conteúdos, relacionando-os com a aplicação prática no

dia a dia, é outra conquista.

Assim descreve o próprio autor sobre os objetivos de sua invenção:

“Surge como auxílio para professores que visam trabalhar conteúdos

privilegiando os aspectos sintático (estrutural), semântico (significado) e

histórico-social (contexto histórico e social do período) nas dimensões

visual, auditiva e sinestésica que a disciplina apresenta, com o objetivo de

atingir o maior número possível de estudantes. A partir do momento em

que essas dimensões são contempladas em sala de aula, o estudante

percebe maior relação da Matemática com sua vida, despertando, assim,

seu interesse”.

Esses resultados podem ser aferidos em histórias de vida. O primeiro

estudante cego a utilizar o Multiplano, Ivã de Pádua, chegou a diretor de

Recursos Humanos do Hospital Universitário de Cascavel/PR, cargo que

exigia conhecimentos matemáticos elaborados. Outro exemplo é Lucas

Radaelli, também cego, que estudou desde os 12 anos com o Multiplano, e

hoje é programador da Google. Géssica Pereira também tem uma grande

história. Ela perdeu a visão durante os estudos e tinha o sonho de cursar

Engenharia Elétrica, que só foi possível graças ao uso do Multiplano. Hoje,

ela é a primeira estudante cega do Brasil a finalizar Mestrado em

Engenharia Elétrica.

Em um olhar “macro”, o Multiplano também traz benefícios a todos os

estudantes. Em Brejo Santo, no Ceará, por exemplo, a escola estadual Maria

Leite Araújo, que estava abaixo da média no IDEB, saltou para a maior nota

do Estado com 8 meses de Multiplano.

A BNCC E A MATEMÁTICA AO ALCANCE DAS MÃOS

“Lembrar não é reviver, mas refazer, reconstruir, repensar, com imagens e ideias de hoje, as experiências do passado. A memória não é sonho, é trabalho.”

Alfredo Bosi

Nos apropriamos da fala de Bosi (1994, p. 55), porém não na

perspectiva de passado e sim de futuro. Nós queremos assumir o trabalho

de projetar o amanhã a partir das experiências, circunstâncias e ideias de

hoje. Projetar o futuro não como sonho, mas como trabalho. E assim

entendemos a necessidade de propor, com cuidado e responsabilidade, uma

nova experiência de ensino-aprendizagem.

O Multiplano atende os desafios da sala de aula. Tornar a Matemática

acessível, em todos os sentidos, significa pensar num instrumento que

enxergue todos os estudantes, com suas necessidades especiais, como

protagonistas do próprio aprendizado. Esse é um projeto que realmente

torna a aprendizagem da Matemática universal, com oportunidades iguais

para todos, sem preconceitos, com vistas a diminuir as desigualdades sociais.

E o que isso tem a ver com a Base Nacional Comum Curricular? Tudo,

pois a BNCC, em seus pressupostos básicos, suas competências gerais,

enfatiza a busca pela construção de uma sociedade mais ética, democrática,

responsável, sustentável e solidária, que respeite e promova a diversidade e

os direitos humanos, sem discriminação de qualquer natureza.

ALUNOS AUTÔNOMOS, ALUNOS PROTAGONISTAS

Devido à mudança na concepção de sujeito e consequentemente na de

sujeito educativo, faz-se necessária a diversificação de estratégias e

abordagens educativas com a finalidade de contribuir para que o estudante

encare seu protagonismo no processo de aprendizagem e que o professor

deixe de ser o centro da atividade de ensino e assuma o papel de

articulador, um estrategista, e, por que não, de designer.

No papel de articulador, o professor passa a discutir a própria natureza

da educação e a fomentar a autonomia intelectual do estudante. Trata-se de

reconhecer que o objetivo fundamental da educação é a formação do

indivíduo autônomo: educar é ajudar o estudante a encontrar respostas às

suas perguntas, mas, antes disso, contribuir para que ele se desenvolva como

sujeito de sua história e agente de intervenção e transformação social.

Ao longo do Ensino Fundamental – Anos Finais, os estudantes se

deparam com desafios de maior complexidade, sobretudo devido à

necessidade de se apropriarem das diferentes lógicas de organização dos

conhecimentos relacionados às áreas. Tendo em vista essa maior

especialização, é importante, nos vários componentes curriculares, retomar e

ressignificar as aprendizagens do Ensino Fundamental – Anos Iniciais no

contexto das diferentes áreas, visando ao aprofundamento e à ampliação de

repertórios dos estudantes.

Nesse sentido, também é importante fortalecer a autonomia desses

adolescentes, oferecendo-lhes condições e ferramentas para acessar e interagir

criticamente com diferentes conhecimentos e fontes de informação.

(...) Grifo do autor BNCC, p. 58.

Com o uso do Multiplano, estamos apresentando uma nova forma de

relação entre professor e estudantes: primeiro, trazendo a ideia de

atividade tendo em vista a superação da recepção passiva por parte do

estudante e da transmissão passiva por parte dos professores, na maioria

das vezes; segundo, rompendo com a ideia de que o estudante ouve e o

professor fala. Esperamos motivar os estudantes a não só ouvir, mas a

pensar e, assim, passar a questionar, discutir, discordar e estarem dispostos

também a compartilhar conhecimentos e a aprender com seus pares.

COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das

necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes

momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para

solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar

descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo

do trabalho. 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a

capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos

conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos

diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria,

Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento,

sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar

conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a

perseverança na busca de soluções.

4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e

qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a

investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes,

para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo

argumentos convincentes.

5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias

digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos,

sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias

e resultados. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se

situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto

prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões,

utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas,

esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens

para descrever algoritmos, como fluxogramas e dados).

7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões

de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos,

sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de

indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando

coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para

responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas,

de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma

determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e

aprendendo com eles.BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Versão

Final. Brasília: MEC 19 mar. 2018. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/abase/#fundamental/a-area-de-matematica>. Acesso em: 25 mai. 2018.

A MATEMÁTICA NA BNCCTrabalhar os conceitos matemáticos de forma concreta, por meio da

experiência tátil, potencializa os processos cognitivos que envolvem

análise, síntese e crítica e que favorece o letramento em Matemática.

Conforme a BNCC (p. 263):

A Matemática cria sistemas abstratos, que organizam e inter-relacionam

fenômenos do espaço, do movimento, das formas e dos números, associados

ou não a fenômenos do mundo físico.

Esses sistemas contêm ideias e objetos que são fundamentais para a

compreensão de fenômenos, a construção de representações significativas e

argumentações consistentes nos mais variados contextos.

Apesar de a Matemática ser, por excelência, uma ciência hipotético-

dedutiva, porque suas demonstrações se apoiam sobre um sistema de axiomas

e postulados, é de fundamental importância também considerar o papel

heurístico das experimentações na aprendizagem da Matemática.

O Ensino Fundamental deve ter compromisso com o desenvolvimento do

letramento matemático1

45, definido como as competências e habilidades de

raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente, de modo

a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de

problemas em uma variedade de contextos, utilizando conceitos,

procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. É também o letramento

matemático que assegura aos alunos reconhecer que os conhecimentos

matemáticos são fundamentais para a compreensão e a atuação no mundo e

perceber o caráter de jogo intelectual da matemática, como aspecto que

favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, estimula a

investigação e pode ser prazeroso (fruição).

[…]

Os processos matemáticos de resolução de problemas, de investigação, de

desenvolvimento de projetos e da modelagem podem ser citados como formas

privilegiadas da atividade matemática, motivo pelo qual são, ao mesmo

tempo, objeto e estratégia para a aprendizagem ao longo de todo o Ensino

Fundamental. Esses processos de aprendizagem são potencialmente ricos

para o desenvolvimento de competências fundamentais para o letramento

matemático (raciocínio, representação, comunicação e argumentação) e para

o desenvolvimento do pensamento computacional.

Referências bibliográficas

BOSI, E. Memória e sociedade: lembranças de velhos. 3. ed. São Paulo: Cia.

das Letras, 1994.

BRASIL. Ministério da Educação, Base Nacional Comum Curricular:

educação é a base. Brasília, 2016.

MATURANA, H. Ontologia da realidade. Belo Horizonte: UFMG, 1999.

45 Segundo a Matriz do Pisa 2012, o “letramento matemático é a capacidade individual de formular, empregar e interpretar a matemática em uma variedade de contextos. Isso inclui raciocinar matematicamente e utilizar conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas para descrever, explicar e predizer fenômenos. Isso auxilia os indivíduos a reconhecer o papel que a matemática exerce no mundo e para que cidadãos construtivos, engajados e reflexivos possam fazer julgamentos bem fundamentados e tomar as decisões necessárias.”. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/ marcos_referenciais/2013/matriz_avaliacao_matematica.pdf>. Acesso em: 23 mar. 2017.

PARA TER SUCESSO COM O MATERIAL DE FORMA INCLUSIVA

Olá, professor!

Antes de iniciar o trabalho, seguem algumas recomendações para que obtenha o sucesso almejado

com a aplicação do Multiplano em sala de aula:

1. É importante que use uma linguagem clara, com informações detalhadas para que o estudante

compreenda e consiga fazer a relação com o cotidiano.

2. Não fique inseguro, nem mude seus procedimentos diante de um estudante cego ou com baixa

visão, apenas intensifique e dinamize o uso do Multiplano para abstração dos conceitos.

3. Ao utilizar o Multiplano com estudantes com deficiência visual, você perceberá que todos os

alunos da classe serão beneficiados, porque a ferramenta facilita a compreensão dos conteúdos

desenvolvidos.

4. Com o tom de voz adequado, leia para a classe os textos escritos na lousa, em cartazes ou outros,

de modo que o aluno cego possa apreender o que está sendo trabalhado.

5. Seja sempre cauteloso ao se comunicar com a classe, evitando fazer comparações que possam

gerar sentimentos de inferioridade.

6. Trabalhe todos os conteúdos de forma a não subestimar o potencial de aprendizagem dos alunos

cegos. Essa prática valoriza a autoestima dos estudantes com deficiência visual, fazendo-os

perceber que são capazes.

7. É importante para o professor que queira melhorar a qualidade do ensino reconhecer que o

estudante cego é um ser único, dotado de limitações e potencialidades como todos os outros.

8. Você vai perceber que, quanto mais os educandos se deparam com situações concretas de

aprendizagem, independentemente de terem ou não restrição sensorial, mais fácil conseguem

fazer suas abstrações.

9. Para o estudante cego, a utilização de materiais concretos torna-se imprescindível, haja vista que

tem no concreto, no palpável, seu ponto de apoio para as abstrações.

10. Lembre-se de que o tato e a audição são os órgãos dos sentidos mais preciosos e aguçados nas

pessoas cegas, pois é através da exploração tátil e da acuidade auditiva que entram em contato

com as coisas do mundo e obtêm a maior parte das informações.

11. Na medida do possível, dê sentido a tudo o que está sendo ensinado – os estudantes, sejam cegos,

sejam não cegos, necessitam entender o conteúdo e não apenas “decorá-lo”.

12. Procure relacionar as terminologias matemáticas à sua origem etimológica, pois isso reforça a

apreensão de conceitos, além de ampliar o vocabulário e facilitar o processo de compreensão de

palavras nas várias situações de aprendizagem e do cotidiano.

13. Peça ajuda, pesquise, se porventura surgirem dúvidas.

14. E lembre-se: o acesso a todos os conteúdos matemáticos, sistematicamente programados na

proposta curricular da instituição de ensino, é um direito dos estudantes para o exercício pleno de

sua cidadania; a subtração ou seleção restritiva desses conteúdos pode acarretar-lhes fragilidades

por toda a vida.

KIT MULTIPLANO

Compartimento superior: reservado para hastes, barras de Estatística, pinos, fixadores, elásticos e base de operações.

Compartimento inferior: reservado para os pinos identificados em Braille, contendo 10 pinos de cada algarismo, sinal ou letra.

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/s5y7vZ

Multiplano Retangular: possui 546 furos distribuídos em 21 linhas e 26 colunas.

Pinos para diversas aplicações, como: fixador de elástico, indicador de posição, unidade de contagem, etc. Além disso, o pino com superfície esférica serve para indicar números positivos – intervalo fechado dentro dos números reais – e o pino de superfície plana é usado para números negativos – intervalo aberto de números reais –, entre outras aplicações.

Elásticos: são aplicados em figuras geométricas, como segmento de retas, em intervalos numéricos dos números reais, etc.

Multiplano Circular: possui 72 furos na circunferência, distribuídos de cinco em cinco graus. Além dos furos da extremidade, possui 12 furos no seu interior que representam a projeção do raio sobre os eixos, nos ângulos de 30°, 45° e 60° e um furo central.

Hastes para construção de sólidos geométricos (prismas, pirâmides).

Parábola: usada no plano cartesiano para representar o esboço de um gráfico de uma função de segundo grau.

Hastes trigonométricas para análise do comportamento das funções trigonométricas, como: seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.

Haste reta: usada no plano cartesiano para representar o esboço de um gráfico de função do primeiro grau, raio nas figuras circulares, etc.

Barras: aplicadas, em conteúdos de estatística, na montagem de gráficos de barras, desenho de figuras planas, etc.

Base de operações: aplicado para identificação de pequenos a grandes números, operações, etc.

Fixador de Multiplano: usado para o agrupamento de duas ou mais placas do Multiplano.

SUMÁRIOOperações de forma primitiva ........................................................................... 15

Tabuada ............................................................................................................ 16

Divisores ............................................................................................................ 18

Números primos ................................................................................................ 20

Números quadrados ........................................................................................... 20

Números triangulares ........................................................................................ 22

Raiz quadrada ................................................................................................... 23

Produtos notáveis .............................................................................................. 24

Figuras geométricas ........................................................................................... 26

Retas paralelas .................................................................................................. 27

Retas concorrentes ............................................................................................ 28

Planos côncavos e convexos ............................................................................... 29

Ângulos ............................................................................................................. 30

Triângulos .......................................................................................................... 32

Triângulos congruentes ...................................................................................... 35

Elementos de uma circunferência ...................................................................... 35

Triângulo retângulo inscrito ............................................................................... 36

Figuras regulares ............................................................................................... 38

Desenhos de personagens, objetos, animais, mapas ........................................... 39

Figuras simétricas .............................................................................................. 41

Mosaicos ............................................................................................................ 41

Cálculo de área .................................................................................................. 42

Teorema de Pick ................................................................................................. 46

Stomachion ....................................................................................................... 48

Gráficos de Estatística ........................................................................................ 49

Operações com pinos identificados em Braille e em algarismos indo-arábicos ... 54

Plano cartesiano ................................................................................................ 57

Gráficos ............................................................................................................. 58

Intervalos numéricos .......................................................................................... 61

Intervalos infinitos ............................................................................................. 62

Inequações ........................................................................................................ 63

Divisão de polinômios ........................................................................................ 65

Localização de números decimais ...................................................................... 68

Gráfico exponencial ........................................................................................... 68

Curva do segundo e do terceiro grau no mesmo plano ....................................... 69

Cônicas .............................................................................................................. 69

Equações ........................................................................................................... 71

Matrizes ............................................................................................................. 72

Frações .............................................................................................................. 72

Sistemas lineares ............................................................................................... 81

Trigonometria .................................................................................................... 84

Pentágonos proporcionais .................................................................................. 86

Figuras espaciais ................................................................................................ 86

Pirâmides .......................................................................................................... 87

Base para operações .......................................................................................... 88

Desafio .............................................................................................................. 94

Matemática em REDE com multiplano | 15

Seguem algumas aplicações matemáticas, lembrando que não se

limitam aos exemplos apresentados.

OPERAÇÕES DE FORMA PRIMITIVAHabilidades

EF01MA06 Construir fatos básicos da adição e utilizá-los em procedimentos de cálculo para resolver problemas.

EF02MA05 Construir fatos básicos da adição e subtração e utilizá-los no cálculo mental ou escrito.

EF02MA07 Resolver e elaborar problemas de multiplicação (por 2, 3, 4 e 5) com a ideia de adição de parcelas iguais por meio de estratégias e formas de registro pessoais, utilizando ou não suporte de imagens e/ou material manipulável.

EF03MA07 Resolver e elaborar problemas de multiplicação (por 2, 3, 4, 5 e 10) com os significados de adição de parcelas iguais e elementos apresentados em disposição retangular, utilizando diferentes estratégias de cálculo e registro.

Objetos de conhecimento

• Construção de fatos básicos da adição• Construção de fatos fundamentais da adição e da subtração• Problemas envolvendo adição de parcelas iguais (multiplicação)• Problemas envolvendo diferentes significados da multiplicação e da divisão: adição

de parcelas iguais, configuração retangular, repartição em partes iguais e medida

Adição

6 + 4 = 10

Subtração

12 – 5 = 7

Multiplicação

5 × 3 = 15

Divisão

14 ÷ 4 = 3 e resto igual a 2

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/ypgxAj

16 | Matemática em REDE com multiplano

TABUADAHabilidades

EF03MA07 Resolver e elaborar problemas de multiplicação (por 2, 3, 4, 5 e 10)

com os significados de adição de parcelas iguais e elementos

apresentados em disposição retangular, utilizando diferentes

estratégias de cálculo e registro.


• Problemas envolvendo diferentes significados da multiplicação e da divisão:

adição de parcelas iguais, configuração retangular, repartição em partes iguais

e medida

A tabuada vem sendo trabalhada nas escolas de um modo tal que não

surte o efeito esperado: os estudantes têm muita dificuldade em abstrair

esse conteúdo, uma vez que lhes são estipulados cem números a serem

decorados/memorizados, o que acaba gerando sentimento de impotência

frente a tantos algarismos.

Uma alternativa é que, antes de memorizá-la, o próprio estudante

construa a tabuada. Para isso devem inserir pinos no Multiplano em forma

de linhas e colunas e, a partir da contagem, será feita a anotação do

resultado. Quanto mais simplificada a tabuada se tornar para o estudante,

mais fácil será o seu reconhecimento como conhecimento cotidiano e,

consequentemente, mais facilitado será o seu processo de abstração.

Sendo assim, propomos mostrar aos estudantes apenas a quantidade

necessária de números dos quais ele precisa saber. Na resolução de

situações similares, bastará que ele aplique a propriedade comutativa da

multiplicação (a ordem dos fatores não altera o produto final). Por

exemplo: 2 × 3 é igual a 3 × 2. Acompanhe o exemplo a seguir.

Foi brincando com os pinos que aprendi a tabuada.

3 × 2 = 6 2 × 3 = 6

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/uV6c7u


3 × 3 = 9 4 × 7 = 28 7 × 4 = 28

O professor pode trabalhar de acordo com a necessidade e a

maturidade da turma, sem, necessariamente, seguir um cronograma

pré-estabelecido.

A tabuada do 1 é desnecessária, uma vez que o algarismo 1 é

elemento neutro e, portanto, gera como produto o próprio número que

está sendo multiplicado.

Na tabuada do 2, seguindo a linha de raciocínio apresentada, pode-se

começar a partir do produto 2 × 2, seguindo a ordem sucessiva até 2 × 9,

não havendo necessidade de apresentar ao aluno o produto de 2 × 1.

A partir do momento que o aluno conseguir perceber que

2 × 3 = 3 × 2 = 6, a tabuada do 3 começa pelo produto 3 × 3, pois já se sabe

quanto é 3 × 2, seguindo, sucessivamente, até 3 × 9; assim como a tabuada

do 4 pode ser iniciada direto pelo produto 4 × 4, ..., 4 × 9; a do 5 pode

iniciar pelo produto 5 × 5, ..., 5 × 9, e assim por diante.

Nota-se, portanto, que, para aprender: a tabuada do 2, basta o aluno

assimilar oito produtos; a tabuada do três, sete produtos; a do quatro, seis

produtos; seguindo essa lógica até a tabuada do 9. No caso da tabuada do 9,

bastará que o estudante assimile o produto 9 × 9, levando em consideração

que os demais, utilizando-se da propriedade da comutação, já terão sido

aprendidos. Totaliza-se, assim, somente 36 produtos a serem assimilados

em vez de cem, como é feito costumeiramente.

6 × 9 = 54 9 × 9 = 81


A tabela a seguir ilustra uma situação prática para o aluno assimilar

a tabuada:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81

A área demarcada em azul representa os produtos que realmente

precisam ser trabalhados com os estudantes.

A tabela a seguir representa os dez números que a maioria dos alunos

têm dificuldade em assimilar, levando-se em consideração que a

dificuldade maior está concentrada a partir da tabuada do 6.

x 6 7 8 9

6 36 42 48 54

7 49 56 63

8 64 72

9 81

DIVISORESHabilidades

EF03MA07 Resolver e elaborar problemas de multiplicação (por 2, 3, 4, 5 e 10)

com os significados de adição de parcelas iguais e elementos

apresentados em disposição retangular, utilizando diferentes

estratégias de cálculo e registro.


• Problemas envolvendo diferentes significados da multiplicação e da divisão:

adição de parcelas iguais, configuração retangular, repartição em partes iguais

e medida


Para o estudo dos divisores de um número, podem-se fixar pinos

numa linha, na quantidade que represente o número. Após a montagem

dessa disposição, fazem-se tentativas para encontrar outras formas de

montar retângulos ou quadrados.

Número 6 representado de duas maneiras: 1 × 6 e 2 × 3. Portanto, os divisores de 6 são os números {1, 2, 3, 6}.

Número 16 representado de três formas: 1 × 16; 2 × 8 e 4 × 4. O 4 × 4 indica que o 16 é um

número quadrado e seus divisores são: {1, 2, 4, 8, 16}.

Número 12 representado de três maneiras: 1 × 12; 2 × 6 e 3 × 4. Seus divisores: {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

Número 36 representado de cinco formas: 1 × 36; 2 × 18; 3 × 12; 4 × 9 e 6 × 6. Note que a representação 6 × 6 = 36 resulta em um produto que é chamado de número quadrado.


NÚMEROS PRIMOSHabilidades

EF06MA06 Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e

de divisor.


• Fluxograma para determinar a paridade de um número natural

• Múltiplos e divisores de um número natural

• Números primos e compostos

Número 7

Número 11

Número 17

NÚMEROS QUADRADOSHabilidades

EF08MA02 Resolver e elaborar problemas usando a relação entre

potenciação e radiciação, para representar uma raiz como

potência de expoente fracionário.


• Potenciação e radiciação

Você sabia que somente os números quadrados possuem quantidade ímpar de divisores? Descubra o motivo!

Viram! Só é possível representar um número primo de forma linear.

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/mVhUu6


O que é um número quadrado?

Para responder a essa pergunta, vamos colocar dois pinos um ao lado

do outro no Multiplano e questionar os estudantes: Esses dois pinos,

colocados um ao lado do outro, lembram a forma de um quadrado?

Observando a disposição dos dois pinos, dá para perceber que não

lembra a figura de um quadrado.

Agora vamos inserir mais um pino (três). E agora, essa disposição dos

três pinos lembra a forma de um quadrado?

Agora vamos inserir mais um pino (quatro). E então: essa disposição

lembra a forma de um quadrado?

Exemplo de números quadrados: 4, 9, 16, 25, ..., 100, etc.

22 32 42 52

E o doze? É um número quadrado?

Como dá para perceber, essa

disposição dos pinos não lembra a

figura de um quadrado e sim de

um retângulo.

Não lembra.

Agora sim!

Podemos visualizar uma disposição de pinos em forma de quadrado. Números quadrados são aqueles que, dispostos em linhas e colunas, formam uma figura quadrada.


Todos os números podem ser dispostos em forma de uma linha, de um

retângulo ou de vários retângulos.

Mas nem todos possibilitam a formação de um quadrado.

NÚMEROS TRIANGULARESHabilidades

EF08MA10 Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não

recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que

permita indicar os números ou as figuras seguintes.


• Sequências recursivas e não recursivas

É chamada de triangular a

quantidade de pinos cuja disposição

forma um triângulo isósceles, com

os três lados com a mesma

quantidade de pinos.

Sequência dos números triangulares: {1, 3, 6, 10, 15, ...}.

(1 + 3 = 4); (3 + 6 = 9); (6 + 10 = 16); (10 + 15 = 25); (15 + 21 = 36); ...

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/9k5f9W

Essa é para você. Descubra uma maneira prática de calcular outros números triangulares.Você sabia que a adição de dois números triangulares consecutivos sempre será um número quadrado?


RAIZ QUADRADAHabilidades

EF08MA02 Resolver e elaborar problemas usando a relação entre

potenciação e radiciação, para representar uma raiz como

potência de expoente fracionário.


• Potenciação e radiciação

A raiz quadrada representa o lado de um quadrado.

Com base nessa aplicação, quando pretendemos encontrar a raiz

quadrada de um número, estamos procurando, na verdade, o lado do

quadrado que tem como área o número que está “dentro” do símbolo raiz.

Por exemplo:

RAIZ QUADRADA DE 4: 4

Quadrado de lado 222 = 4

4 = 2



9 = 3




16 = 4



25 = 5

PRODUTOS NOTÁVEISHabilidades

EF09MA09 Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com

base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e

elaborar problemas que possam ser representados por equações

polinomiais do 2º grau.


• Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis

• Resolução de equações polinomiais do 2º grau por meio de fatorações

Partindo do número 4, deseja-se encontrar o próximo quadrado

perfeito. Para isso, temos que acrescentar dois pinos em uma das colunas,

dois pinos em uma das linhas e um pino para fechar o “cantinho”.

22 + 2 + 2 + 1 = 9 = 32

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/tb8biV

Para facilitar, vamos montar no Multiplano um número quadrado e, a partir dele, encontrar o próximo quadrado perfeito.


Continuando do 9 para o próximo número quadrado, temos que

acrescentar três pinos em uma das linhas, três pinos em uma das colunas,

mais o pino do “cantinho”. Ou podemos considerar: 32 mais 2 × 3 mais 1.

32 + 3 + 3 + 1 = 16 = 42

Assim: 42 mais 2 × 4 mais 1 é igual a 52.

42 + 2 × 4 + 1 = 52

16 + 8 + 1 = 25 = 52

Com o número quadrado 81, deseja-se construir o próximo quadrado

perfeito. O primeiro passo é tirar a raiz quadrada do 81: 81 = 9. Feito isso,

basta somar as partes: 81 + 2 × 9 + 1 = 100, o mesmo que 102.

Exemplo: se o número quadrado é o 144, qual é o próximo quadrado

perfeito?

Primeiro passo: tira-se a raiz quadrada 144 = 12.

Segundo passo: efetuar a soma 144 + 2 × 12 + 1 = 144 + 24 + 1 = 169 = 132

Se o quadrado perfeito tem n² pontos e lado n, então qual será o

próximo quadrado perfeito?

Conhecido um número quadrado, calcula-se a raiz, em seguida adicionamos a esse número duas vezes a raiz quadrada dele adicionado de 1 para completar o “cantinho”.


O próximo quadrado perfeito será (n + 1)² = n² + 2n + 1, como podemos

ver nas figuras acima.

Considerando o mesmo quadrado de área n² e lado n, queremos

encontrar a área do quadrado com lado (n + 2).

Temos a nova figura formada por n², mais 2n para a direita, 2n para

baixo e quatro pinos no canto. Algebricamente, podemos escrever:

(n + 2)2 = n2 + 2 × 2n + 4 ou (n + 2)2 = n2 + 4n + 22

Para (n + 3):

(n + 3)2 = n2 + 2 × 3n + 32 (n + 3)2 = n2 + 6n + 32

Partindo de n2, deseja-se encontrar o número quadrado (n + a)2.

Seguindo o raciocínio, devemos adicionar os valores n2 mais 2na mais a2.

Sendo assim: (n + a)2 = n2 + 2na + a2.

FIGURAS GEOMÉTRICASHabilidades

EF01MA14 Identificar e nomear figuras planas (círculo, quadrado, retângulo e

triângulo) em desenhos apresentados em diferentes disposições ou

em contornos de faces de sólidos geométricos.

EF05MA17 Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados,

vértices e ângulos, e desenhá-los, utilizando material de desenho ou

tecnologias digitais.


• Figuras geométricas planas: características, representações e ângulos

A identificação de figuras geométricas também pode ser feita através

do Multiplano. Para tanto, os pinos devem ser posicionados nos pontos de

vértice das figuras, para que os elásticos possam delimitar a área.

Os produtos notáveis são importantes para agilizar cálculos algébricos.

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https://goo.gl/u8qAvM


No material é possível fazer o deslocamento de um ou mais pontos

de vértice, o que permite ao estudante perceber a modificação ocorrida e suas implicações. Com as figuras construídas, todos os conceitos geométricos,

sejam eles referentes à geometria plana, analítica ou espacial, podem ser

explorados, além de ser possível utilizar as figuras com vistas a esclarecer os

fundamentos de problemas que envolvem probabilidade, entre outros.

Seguem exemplos de figuras que podem ser montadas no Multiplano.

Simulação de figuras geométricas no Multiplano.

Na montagem de uma figura, primeiro coloque os pinos e depois o

elástico. Ao desmontar a figura, primeiro retire o elástico e depois os pinos.

ENTES GEOMÉTRICOS PRIMITIVOS

Ponto. Segmento de reta. Pontos colineares. Plano.

RETAS PARALELASHabilidades

EF04MA16 Descrever deslocamentos e localização de pessoas e de objetos no espaço, por meio de malhas quadriculadas e representações como desenhos, mapas, planta baixa e croquis, empregando termos como direita e esquerda, mudanças de direção e sentido, intersecção, transversais, paralelas e perpendiculares.

EF06MA22 Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros.

Será necessário um pouco de força na retirada dos pinos, pois eles foram confeccionados com travas na sua base visando à sua proteção.

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https://goo.gl/Pia3FT

Na verdade, é impossível desenhar uma reta ou semirreta, apenas desenhamos segmentos de reta.



• Localização e movimentação: pontos de referência, direção e sentido

• Paralelismo e perpendicularismo

• Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas,

esquadros e softwares

Duas retas distintas de um plano são paralelas quando não têm um

ponto comum.

Exemplo de duas retas paralelas.

RETAS CONCORRENTESHabilidades

EF04MA16 Descrever deslocamentos e localização de pessoas e de objetos no

espaço, por meio de malhas quadriculadas e representações como

desenhos, mapas, planta baixa e croquis, empregando termos como

direita e esquerda, mudanças de direção e sentido, intersecção,

transversais, paralelas e perpendiculares.


• Localização e movimentação: pontos de referência, direção e sentido

• Paralelismo e perpendicularismo

Duas retas distintas em um plano são concorrentes quando têm um

único ponto comum.

As retas concorrentes são classificadas em dois tipos:

Retas oblíquas são as retas concorrentes que formam um ângulo

diferente de 90 graus entre si.

Retas perpendiculares são as retas

concorrentes que formam um ângulo de

90 graus entre si.

Exemplo de retas oblíquas.


Exemplo de retas perpendiculares.

Feixe de paralelas.

PLANOS CÔNCAVOS E CONVEXOSHabilidades

EF05MA17 Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados,

vértices e ângulos, e desenhá-los, utilizando material de desenho ou

tecnologias digitais.


• Figuras geométricas planas: características, representações e ângulos

Um plano delimitado por segmentos de retas é chamado de polígono e

pode ser côncavo ou convexo.

Polígono convexo. Polígono côncavo.

O polígono será côncavo se um segmento que corta a figura passar por

duas ou mais regiões internas. Caso corte apenas uma região, o polígono

será convexo.

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https://goo.gl/ycn4CU


ÂNGULOSHabilidades

EF06MA25 Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às

figuras geométricas.

EF06MA26 Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes

contextos e em situações reais, como ângulo de visão.


• Ângulos: noção, usos e medida

Ângulo é a reunião de duas semirretas

de mesma origem, não contidas numa

mesma reta.

Bissetriz de um ângulo é a reta que

divide um ângulo ao meio.

Ângulos consecutivos: dois ângulos

são consecutivos quando um lado de um

deles for também lado do outro.

Ângulos adjacentes são dois ângulos

consecutivos. São adjacentes se não têm

pontos internos comuns.

Representação de ângulo.

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https://goo.gl/YcEaoy

Representação de bissetriz de um ângulo.

Representação de ângulos consecutivos.

Representação de ângulos adjacentes.


Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são

semirretas opostas aos lados do outro.

Representação de ângulos opostos pelo vértice.

Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.

Representação de ângulos congruentes.

Reta transversal é o nome dado a uma reta que cruza as retas paralelas.

Representação de ângulos congruentes.

Reta transversal é o nome dado a uma reta que cruza as retas paralelas.

As relações entre os ângulos de duas retas paralelas e uma transversal são:

• Ângulos opostos pelo vértice: B1 e B4; B2 e B3; B5 e B8; B6 e B7.

• Ângulos de mesma medida: B1, B4, B5 e B3; B5, B8, B6 e B7.

O ângulo reto mede 90º. Para representá-lo, basta colocar dois pinos

em uma mesma linha e um outro numa coluna que já possui um ponto.

Observe.

Representação de ângulo reto.


Ângulo agudo é um ângulo de medida menor que 90º.

Ângulo obtuso é um ângulo de medida maior que 90º.

Ângulo externo

TRIÂNGULOS

Habilidades

EF06MA19 Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às

medidas dos lados e dos ângulos.

Representação de ângulo agudo.

Representação de ângulo obtuso.

Representação de ângulo externo.



• Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e

ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados

• Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero

CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS ÂNGULOSTriângulo retângulo: um dos ângulos internos possui medida de 90 graus.

Triângulo obtusângulo: um dos ângulos internos possui medida maior

de 90 graus.

Exemplo de triângulo obtusângulo.

Triângulo acutângulo, todos os ângulos internos possuem medida

menor que 90 graus.

Exemplo de triângulo retângulo.

Exemplo de triângulo acutângulo.


CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS LADOS

Triângulo escaleno: todos os

lados do triângulo possuem

medidas diferentes.

Triângulo isósceles: dois lados do triângulo possuem medidas iguais.

O triângulo isósceles deve ser construído com quantidade ímpar de

furos entre os pinos colocados na horizontal, formando um eixo de simetria

na vertical. Assim, todo pino colocado no eixo de simetria formará um

triângulo isósceles.

Exemplo de triângulos isósceles.

Triângulo equilátero: todos os lados do triângulo possuem medidas

iguais. É um caso particular do triângulo isósceles.

O triângulo equilátero deve ser construído sobre o Multiplano Circular,

para tornar possível medir seus ângulos.

Exemplo de triângulo equilátero.

Exemplo de triângulo escaleno.


TRIÂNGULOS CONGRUENTESHabilidades

EF08MA14 Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação

da congruência de triângulos.


• Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros

Os pares de triângulos possuem ângulos e lados ordenadamente

congruentes, ou seja, com medidas iguais.

Pares de triângulos congruentes.

ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIAHabilidades

EF07MA22 Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como

lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e

resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

EF07MA33 Estabelecer o número π como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver

problemas, inclusive os de natureza histórica.


• A circunferência como lugar geométrico

• Medida do comprimento da circunferência

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/8aZisv


O diâmetro divide o círculo em dois semicírculos.

Elementos de uma circunferência: diâmetro, corda e raio.

Quadrilátero circunscrito.

Quadrilátero inscrito.

TRIÂNGULO RETÂNGULO INSCRITO

Habilidades

EF09MA13 Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o

teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.

EF09MA14 Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras

ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas

cortadas por secantes.


• Relações métricas no triângulo retângulo

• Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração

• Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e

verificações experimentais


Todo triângulo com vértices nos extremos do diâmetro de um círculo e

um ponto sobre a circunferência será um triângulo retângulo.

Exemplos de triângulos retângulos inscritos na semicircunferência.

Segmentos tangentes tocam a circunferência em um único ponto.

Segmentos tangentes à circunferência.

O segmento secante corta a circunferência em dois pontos.

Segmentos tangente e secante.

Cálculo de ângulos de uma figura inscrita

• Cada ângulo de um triângulo inscrito no Multiplano Circular é igual

ao número de furos mais 1, do lado oposto ao ângulo interno desse

triângulo, multiplicado por 5 e dividido por 2. Ou seja, basta contar a

quantidade de furos mais 1 do lado oposto ao ângulo desejado,

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https://goo.gl/XNDm4L


multiplicar por 5 (graus entre os furos) e dividir por 2 (metade de

uma volta [360º]). Assim, temos:

• A medida dos ângulos opostos pelo vértice formados pela intersecção de retas que cruzam em qualquer ponto interno do Multiplano Circular é igual à média dos furos entre os pinos dos lados opostos aos ângulos mais 1, multiplicada por 5. Assim:

FIGURAS REGULARES

Habilidades

EF01MA14 Identificar e nomear figuras planas (círculo, quadrado, retângulo e triângulo) em desenhos apresentados em diferentes disposições ou em contornos de faces de sólidos geométricos.

EF07MA27 Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

EF08MA15 Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.

EF09MA15 Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.

BA = (17 + 1) × 5 ÷ 2 = 45ºBB = (29 + 1) × 5 ÷ 2 = 75ºBC = (23 + 1) × 5 ÷ 2 = 60º

BX = [(10 + 17) ÷ 2 + 1] × 5 = 72,5ºBY = [(18 + 23) ÷ 2 + 1] × 5 = 107,5º

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https://goo.gl/rJuVkn



• Figuras geométricas planas: reconhecimento do formato das faces de figuras geométricas espaciais

• Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero• Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares• Polígonos regulares

Toda figura regular é inscritível.

Hexágono regular inscrito em uma circunferência.

Quadrado inscrito em uma circunferência.

As diagonais juntamente com os lados do hexágono regular formam 6

triângulos equiláteros. Veja:

Hexágono regular inscrito em uma circunferência com suas diagonais.

DESENHOS DE PERSONAGENS, OBJETOS, ANIMAIS E MAPAS

Habilidades

EF01MA14 Identificar e nomear figuras planas (círculo, quadrado, retângulo e triângulo) em desenhos apresentados em diferentes disposições ou em contornos de faces de sólidos geométricos.


EF02MA15 Reconhecer, comparar e nomear figuras planas (círculo, quadrado, retângulo e triângulo), por meio de características comuns, em desenhos apresentados em diferentes disposições ou em sólidos geométricos.

EF03MA15 Classificar e comparar figuras planas (triângulo, quadrado, retângulo, trapézio e paralelogramo) em relação a seus lados (quantidade,

posições relativas e comprimento) e vértices.


• Figuras geométricas planas: reconhecimento do formato das faces de figuras geométricas espaciais

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https://goo.gl/quRkhN


FIGURAS SIMÉTRICASHabilidades

EF04MA19 Reconhecer simetria de reflexão em figuras e em pares de figuras geométricas planas e utilizá-la na construção de figuras congruentes, com o uso de malhas quadriculadas e de softwares de geometria.

EF07MA21 Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

EF08MA18 Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.


• Simetria de reflexão

• Simetrias de translação, rotação e reflexão

• Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação

Figura simétrica: corresponde à forma ou arranjo de partes em lados

opostos de um eixo simétrico, tendo cada parte, em um lado, a sua

contraparte espelhada. Encontramos simetria em muitas coisas que nos

cercam.

MOSAICOSHabilidades

EF07MA27 Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o

uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e

externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de

mosaicos e de ladrilhamentos.

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https://goo.gl/8xr8Lu

Na representação de uma estrela, por exemplo, encontramos quatro eixos de simetria. Identifique-os.

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https://goo.gl/X4kXVq



• Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero

Mosaico construído com pinos e elásticos.

CÁLCULO DE ÁREA

Habilidades

EF03MA21 Comparar, visualmente ou por superposição, áreas de faces de objetos, de figuras planas ou de desenhos.

EF04MA21 Medir, comparar e estimar área de figuras planas desenhadas em malha quadriculada, pela contagem dos quadradinhos ou de metades de quadradinho, reconhecendo que duas figuras com formatos diferentes podem ter a mesma medida de área.

EF05MA20 Concluir, por meio de investigações, que figuras de perímetros iguais podem ter áreas diferentes e que, também, figuras que têm a mesma área podem ter perímetros diferentes.

EF06MA29 Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.

EF07MA31 Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.

EF07MA32 Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

EF08MA19 Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.



• Comparação de áreas por superposição• Áreas de figuras construídas em malhas quadriculadas• Áreas e perímetros de figuras poligonais: algumas relações• Perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à medida do lado• Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem

ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros

• Área de figuras planas

Partindo do trabalho proposto com a tabuada, pode-se introduzir o

cálculo de área.

COM A UTILIZAÇÃO DE PINOS

Área do quadrado

Para calcular a área do quadrado, basta multiplicar o número de pinos

da base pelo número de pinos da altura.

Na figura temos: 6 × 6 = 36 UA

Área do retângulo

Para o cálculo da área do retângulo, segue-se o mesmo procedimento,

multiplicando o número de pinos do comprimento pelo da largura.

Na figura temos: 10 × 7 = 70 UA.

Os pinos representam uma unidade de área (UA).


Área do paralelogramo

A disposição dos pinos do retângulo foi alterada, formando um

paralelogramo de mesmo comprimento e altura e mesma área: 10 × 7 = 70 UA.

Na figura temos: 10 × 7 = 70 UA.

COM A UTILIZAÇÃO DE PINOS E ELÁSTICOS

Área do quadrado

Podemos também trabalhar a área do quadrado contornando a figura

com um elástico e fazer a contagem dos furos juntamente com os pinos que

formam os vértices da figura.

Temos no quadrado: 6 × 6 = 36 UA.

Área do retângulo

A área do retângulo apresenta um contorno de 10 por 7.

Temos no retângulo: 10 × 7 = 70 UA.

Lembre-se: os pinos dos vértices estão cobrindo os furos.

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/M7naJ3


Área do paralelogramo

Projetando os pontos do segmento superior no segmento inferior, e

contornando com um elástico, pode-se perceber que a área do

paralelogramo é igual à área do retângulo.

Área do trapézio

Construindo sobre o trapézio um retângulo com medida da base igual à

média da soma dos pontos superiores com os inferiores, temos um

retângulo com mesma área.

Perdeu-se uma área de um triângulo à esquerda, ganhou-se uma área

no lado direito, mantendo a mesma área do retângulo, que é o produto da

base pela altura.

Fazendo a conferência: 4 furos no segmento superior e 16 no segmento

inferior, tendo assim: (4 + 16) ÷ 2 = 10. E agora vamos multiplicar a média

dos segmentos (base maior e base menor) pela altura: 10 × 7 = 70 UA.


Área do triângulo

Para calcular a área do triângulo, basta retirar um pino do retângulo,

obtendo, assim, o triângulo retângulo com a metade da área do retângulo. Veja:

Área do losango

Para montar o losango, devemos deixar uma quantidade ímpar de furos

entre os pinos de uma mesma linha ou coluna, formando uma simetria.

Ligamos, então, os pinos com elásticos para desenhar o losango, em seguida

montamos um retângulo que tenha comprimento igual à maior diagonal do

losango e largura igual à diagonal menor. Comparando a figura, podemos

perceber que a área do retângulo formada é o dobro da área do losango. Assim,

podemos concluir que a área do losango será a metade do produto da diagonal

maior pela diagonal menor: 11 × 7÷ 2 = 38,5 UA.

Área do losango com pinos e elásticos. Área do losango dentro do retângulo.

TEOREMA DE PICKHabilidades

EF04MA21 Medir, comparar e estimar área de figuras planas desenhadas em

malha quadriculada, pela contagem dos quadradinhos ou de metades

de quadradinho, reconhecendo que duas figuras com formatos

diferentes podem ter a mesma medida de área.

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https://goo.gl/xszJM8



• Áreas de figuras construídas em malhas quadriculadas

Seja um polígono cujos vértices são pontos do reticulado (intersecção

de linhas e colunas). Aos pontos que estão sobre as arestas do polígono

chamamos pontos de fronteira e aos que estão no interior do polígono

chamamos pontos interiores. O polígono diz-se simples quando não possui

buracos no seu interior, nem intersecções das suas arestas.

O teorema seguinte foi descoberto em 1899 pelo matemático austríaco

Georg Alexander Pick (1859-1942) e permite calcular a área de um polígono

simples contando o número dos seus pontos de fronteira e o número dos

seus pontos interiores.

CÁLCULO DA ÁREA PELO TEOREMA DE PICKDado um polígono simples de área “A”, sejam “p” o número de pontos

de fronteira e “i” o número de pontos interiores, então a área desse

polígono é dada pela seguinte expressão: A = p ÷ 2 + i – 1.

Veja a figura:

A figura contém 9 intervalos por 6 intervalos, dando uma área igual a

9 × 6 = 54 UA. Agora vamos dividir o retângulo em três figuras diferentes:

Para calcular a área pelo Teorema de Pick não vamos considerar a

quantidade de pinos e sim os intervalos entre os pinos.

Primeira figura: p = 12; i = 4 A1 = 12 ÷ 2 + 4 – 1 = 9

Segunda figura: p = 12; i = 13 A2 = 12 ÷ 2 + 13 – 1 = 18

Terceira figura: p = 18; i = 19 A3 = 18 ÷ 2 + 19 – 1 = 27

Logo, temos: A1 + A2 + A3 = 9 + 18 + 27 = 54


O Teorema de Pick é interessante porque nos permite calcular a área

de um polígono simples a partir da contagem de pontos do reticulado. É de

fato surpreendente que seja possível substituir o processo habitual de

cálculo de uma área, que envolve medições de grandezas contínuas, por

uma contagem de grandezas discretas.

STOMACHIONHabilidades

EF07MA31 Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.

EF07MA32 Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.


• Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros

O Stomachion é um quebra-

-cabeças atribuído a Arquimedes,

composto de 14 figuras geométricas

que, juntas, formam um quadrado.

Observe a montagem abaixo:

Se considerarmos o quadrado delimitado pelos elásticos com 12

unidades de comprimento e largura, temos uma área total de 144 unidades

de área, assim distribuídas.


Veja! Uma figura repartida em tantas partes e a área de cada uma delas

é dada em números inteiros.

Para confirmar a área de cada figura geométrica pode-se aplicar o

Teorema de Pick.

GRÁFICOS DE ESTATÍSTICAHabilidades

EF01MA21 Ler dados expressos em tabelas e em gráficos de colunas simples.

EF02MA23 Realizar pesquisa em universo de até 30 elementos, escolhendo até

três variáveis categóricas de seu interesse, organizando os dados

coletados em listas, tabelas e gráficos de colunas simples.

EF03MA26 Resolver problemas cujos dados estão apresentados em tabelas de

dupla entrada, gráficos de barras ou de colunas.

EF03MA27 Ler, interpretar e comparar dados apresentados em tabelas de dupla

entrada, gráficos de barras ou de colunas, envolvendo resultados de

pesquisas significativas, utilizando termos como maior e menor

frequência, apropriando-se desse tipo de linguagem para

compreender aspectos da realidade sociocultural significativos.

EF03MA28 Realizar pesquisa envolvendo variáveis categóricas em um universo de

até 50 elementos, organizar os dados coletados utilizando listas,

tabelas simples ou de dupla entrada e representá-los em gráficos de

colunas simples, com e sem uso de tecnologias digitais.

EF04MA27 Analisar dados apresentados em tabelas simples ou de dupla entrada

e em gráficos de colunas ou pictóricos, com base em informações das

diferentes áreas do conhecimento, e produzir texto com a síntese de

sua análise.

EF04MA28 Realizar pesquisa envolvendo variáveis categóricas e numéricas e

organizar dados coletados por meio de tabelas e gráficos de colunas

simples ou agrupadas, com e sem uso de tecnologias digitais.


EF05MA24 Interpretar dados estatísticos apresentados em textos, tabelas e

gráficos (colunas ou linhas), referentes a outras áreas do

conhecimento ou a outros contextos, como saúde e trânsito, e

produzir textos com o objetivo de sintetizar conclusões.

EF05MA25 Realizar pesquisa envolvendo variáveis categóricas e numéricas, organizar

dados coletados por meio de tabelas, gráficos de colunas, pictóricos e de

linhas, com e sem uso de tecnologias digitais, e apresentar texto escrito

sobre a finalidade da pesquisa e a síntese dos resultados.

EF06MA31 Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos

(título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico.

EF06MA32 Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre

contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável,

entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de

gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

EF07MA37 Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados

pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

EF08MA23 Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um

conjunto de dados de uma pesquisa.


• Leitura de tabelas e de gráficos de colunas simples

• Coleta, classificação e representação de dados em tabelas simples e de dupla

entrada e em gráficos de colunas

• Leitura, interpretação e representação de dados em tabelas de dupla entrada e

gráficos de barras

• Leitura, interpretação e representação de dados em tabelas de dupla entrada,

gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e colunas e

gráficos pictóricos

• Leitura, coleta, classificação interpretação e representação de dados em

tabelas de dupla entrada, gráfico de colunas agrupadas, gráficos pictóricos e

gráfico de linhas

• Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou

múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas

• Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar

conjunto de dados

• Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e

adequação para determinado conjunto de dados

Conteúdos referentes à Estatística também podem ser concretizados

com auxílio do Multiplano, como a construção de gráficos, o que facilita,

principalmente ao estudante cego, o entendimento dos mesmos.


Pode-se propor aos estudantes que elaborem uma pesquisa sobre

determinado assunto e que construam um gráfico com base nos dados

pesquisados. Dependendo da faixa etária da turma, os estudantes podem

coletar, por exemplo, dados relacionados aos tipos de leitura de que mais

gostam (HQs, romances, poemas, ficção, etc.). Após recolhidos os dados,

podem fazer uma análise dos resultados (média, mediana, moda, etc.) para

então terem condições de construir os gráficos. Dessa forma, todos os

conceitos abstratos podem ser feitos na prática e demonstrados à turma.

Favoreça a participação significativa dos estudantes cegos no trabalho,

cuidando para que não se tornem meros espectadores.

Gráfico utilizando as barras gráficas. Gráfico de pontos: representa a quantidade mensal de sorvete que uma criança consumiu durante um ano.

Gráfico de linha.

Gráfico de linha de forma comparativa.

Gráfico de setores no Multiplano Circular.

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/ebgJfC


Em Estatística existem muitos cálculos e muitas formas de representar.

Aqui temos apenas algumas situações.

MÉDIA ARITMÉTICA As duas representações gráficas abaixo mostram a quantidade de livros

lida por um grupo de estudantes em cada mês de um ano. Numa foram

usados pinos e na outra, barrinhas.

Para calcular a média aritmética de livros lidos ao longo de um ano

temos que encontrar o ponto de equilíbrio entre as diferenças (entre os

meses em que se leu o maior número de livros e os em que se leu a menor

quantidade. As quantidades maiores transferem unidades para as menores

até criar uma igualdade.

Eis as duas representações da média mensal de livros lidos no período

de um ano.


MEDIANA

Mediana é o ponto central de uma distribuição de frequência.

Para encontrar o mês mediano, vamos retirar um pino de cada lado e

assim sucessivamente, até sobrar um ou dois pinos. Observe:

Se a quantidade de pinos for ímpar, resta 1, e se for par, restam dois

pinos.

Assim, a quantidade mediana de livros lidos ocorreu no mês de junho.

Ou seja, antes do mês de junho os estudantes realizaram a leitura de 50%

dos livros lidos no ano todo.

MODA

A moda é o mês em que foi lida a maior quantidade de livros. Nesse

caso a moda ocorreu no mês de janeiro.


OPERAÇÕES COM PINOS IDENTIFICADOS EM BRAILLE E EM ALGARISMOS INDO-ARÁBICOS

As operações básicas da Matemática (adição, subtração, multiplicação e

divisão) podem ser realizadas por um estudante cego no Multiplano partindo

do mesmo algoritmo que um estudante vidente em geral usa ao fazê-las no

caderno. Vamos aos procedimentos básicos para efetuar uma adição:

• os pinos identificados são transcritos na mesma linha para formar o

primeiro número (a 1a parcela),

• o sinal da operação e o conjunto dos outros pinos que formam o

segundo número (2a parcela) são colocados na linha abaixo;

• a operação em si, e seu resultado, é separada pelos elásticos,

simulando exatamente da mesma forma os traços comumente feitos

pelos estudantes videntes para indicar a igualdade.

A seguir temos um exemplo de adição: o número “897” é adicionado a

“485”. Para efetuar essa adição, basta colocar os pinos correspondentes aos

números da 1ª parcela em uma linha (897) e, na linha abaixo, coloca-se o

conjunto de pinos que forma a 2a parcela da operação (485), sempre

respeitando a ordem de alinhamento: unidade abaixo de unidade, dezena

com dezena, centena com centena, etc. Não é aconselhado colocar o “vai

um”; adiciona-se 7 + 5 e indica-se a resposta 12 abaixo, conforme as figuras

a seguir.

Ao adicionar 9 + 8, acrescenta-se o 1: 9 + 8 + 1 = 18.

897 + 485 = 1382

Para os conteúdos do Ensino Médio, optamos por não identificar a habilidade, uma vez que a BNCC permanece em análise pelo CNE.

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/MCEKMk


Finalizando a operação, faz-se a adição e coloca-se o resultado (1382)

de forma alinhada logo abaixo do elástico.

Na subtração, como pode ocorrer de os números do subtraendo serem

menores do que os do minuendo e, por isso mesmo, ser necessário fazer a

transformação (empréstimo), é preciso haver dois furos livres entre as

posições decimais, a fim de facilitar o deslocamento das quantidades de

uma unidade maior para uma menor.

A seguir, tem-se a subtração de “689” de “847”, em que, como a unidade

“7” do subtraendo não é suficiente para que dela sejam subtraídas “9”

unidades, fez-se necessário adicionar à unidade 7 uma dezena, deslocada do

subtraendo, para daí, sim, dar continuidade ao processo operatório, uma vez

que de “17” é possível retirar “9”, restando “8” unidades.

No alinhamento das dezenas dessa operação, o “empréstimo”

novamente foi necessário: deslocou-se uma centena das “4” do subtraendo,

formando “13” dezenas, das quais é possível subtrair “8” unidades,

restando “5”. Na posição das centenas, subtraiu-se 6 centenas de 7

centenas, restando 1 centena.

Colocam-se os números separados por dois furos, para que seja

possível realizar a transformação.

Faz-se toda a transformação antes de iniciar a subtração.

Subtração: 847 – 689 = 158.


Os exemplos de multiplicação e divisão seguem o mesmo processo.

Lembre-se de colocar o produto abaixo.

Multiplicação: 639 × 5 =

O produto de 5 × 9 = 45 unidades é colocado abaixo, e ao produto de

5 × 3 = 15 adicionam-se 4 unidades, e o resultado será 15 + 4 = 19 dezenas.

Multiplicação: 639 × 5 = 3195.

Divisão do número 546 ÷ 4 =

Divisão: 546 ÷ 4 = 136 com resto 2.


PLANO CARTESIANOHabilidades

EF05MA14 Utilizar e compreender diferentes representações para a localização

de objetos no plano, como mapas, células em planilhas eletrônicas e

coordenadas geográficas, a fim de desenvolver as primeiras noções de

coordenadas cartesianas.

EF05MA15 Interpretar, descrever e representar a localização ou

movimentação de objetos no plano cartesiano (1º quadrante),

utilizando coordenadas cartesianas, indicando mudanças de

direção, de sentido e giros.

EF06MA16 Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do

1º quadrante, em situações como a localização dos vértices de um

polígono.


• Plano cartesiano: coordenadas cartesianas (1º quadrante) e representação de

deslocamentos no plano cartesiano

• Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados

As atividades matemáticas que envolvem construção de gráficos e suas

implicações podem ser realizadas no Multiplano. As retas do plano

cartesiano que representam os eixos “x” e “y” estão em relevo. Para facilitar

a visualização, pode-se fixar pinos nos extremos de cada reta: um deles

precisa estar disposto horizontalmente (eixo x) e o outro, na mediatriz da

abscissa, disposto verticalmente (eixo y).

Delimitados os eixos, o plano fica,

consequentemente, dividido em quatro

quadrantes, exemplificados a seguir.

LOCALIZAÇÃO DOS PONTOS CARTESIANOSPara localizar um ponto nesse plano, por exemplo, o par ordenado (8,

6), ou seja, “8” para “x” e “6” para “y”, o estudante, em primeiro lugar,

Plano cartesiano montado no Multiplano (eixo x, da horizontal, e y, da vertical).

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/1Fz7ao


precisa localizar o ponto de origem (0,0), situado na intersecção das retas

que representam os eixos. Então, basta que deslize seus dedos sobre os

elásticos de acordo com o número respectivo do par ordenado. Assim, para

o par (8, 6), deslocam-se oito pontos à direita (eixo x) e seis furos acima

(eixo y). Para finalizar, basta que vá deslizando os dedos, respeitando o

quadrante, até que os dedos se encontrem. Pronto, esse encontro simboliza

o par ordenado; daí é só marcá-lo com um pino.

Para facilitar esse processo, pode-se utilizar pinos quando for localizar

os pontos sobre os eixos principais, para depois procurar a intersecção

desses pontos.

A observação do uso do material

por alunos cegos mostrou-nos que eles

assimilam a prática com uma bastante

facilidade e, em pouco tempo, a

abstração já se torna realidade.

GRÁFICOSNuma função de 1º grau, dada a equação, o estudante tem condições de

determinar alguns pontos resultantes, a fim de facilitar a análise dos

fenômenos envolvidos na função. Por exemplo, para f(x) = x − 2, pode ser encontrada a coordenada da raiz (2, 0). Após o cálculo da raiz, atribuem-se valores para “x” à direita e à esquerda da raiz. Assim, temos os pares

ordenados (3, 1), (1, −1), (4, 2), (0, −2), (5, 3), (−1, −3), (6, 4), (−2, −4), (7, 5), (−3, −5), (8, 6), (−4, −6), (9, 7), (−5, −7). Obtendo-se os pontos retirados da equação, marca-

-se, então, um a um no plano.

Por se tratar de uma equação de

1º grau, esses pontos, quando ligados,

resultam em uma reta de números inteiros.

Para facilitar, podemos localizar

dois pontos e ligá-los com um elástico

para representar uma reta formada por

números reais. Nesse ponto o estudante

poderá observar a inclinação da referida

Pontos do plano: (8, 6); (2, 4); (−5, 7); (−4, −4); (5, −5).

Gráfico da função f(x) = x − 2, apenas com coordenadas formadas por números inteiros.


reta e sua relação com a equação, ou seja, dependendo do sinal que

acompanha a incógnita “x”, ela terá uma ou outra inclinação (se positivo,

inclinado à direita; se negativo, à esquerda).

Reta da função afim crescente.

Reta da função afim decrescente.

Reta da função constante.

Retas de funções lineares.

Depois que o estudante compreender o processo, pode-se fazer somente

um esboço da reta resultante da equação, não sendo necessário encontrar

ponto a ponto. Esse esboço pode ser representado por uma reta generalizada,

como a que está representada a seguir, elaborada a partir de uma haste.

Esboço de uma reta crescente. Esboço de uma reta decrescente.

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/y19MJc


Estamos usando aqui a haste com pino agregado, que permite que o

estudante marque a raiz da equação, ou seja, o ponto que a reta resultante

cruza o eixo das abscissas (x).

PARÁBOLASNa construção de uma parábola, primeiro, se existirem, calculam-se as

raízes, em seguida atribui-se a “x” todos os valores entre as raízes, além de um

valor menor que a raiz situada à esquerda e um valor maior que a raiz à direita.

Assim para a curva y = x2 – 4, temos as raízes −2 e 2 vamos atribuir para “x” os valores −1, 0, 1, e os extremos mais próximos das raízes, −3 e 3. Após a escolha dos valores de “x” vamos substituir na equação y = x2 – 4 para encontrar os valores de “y” (−3, 5), (−2, 0), (−1, −3), (0, −4), (1, −3), (2, 0), (3, 5).

Marcando esses pontos no plano cartesiano temos a parábola:

Parábola de y = x2 – 4. Parábola de y = x2 – 6x + 8. Parábola de y = –x2 + 4x.

Parábola de y = –x2 – 4x – 6. Parábola de y = –x2 − 6x – 9. Parábola de y = x² − 2x + 2.

Gráfico de y = x . Gráfico de y= -x + 2 . Gráfico de y = |2 x + 6|.

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/UbKk5x


Gráfico de y = |x2 – x – 6|.

Para facilitar, pode-se fazer somente um esboço da parábola resultante

da equação. Esse esboço pode ser representado por uma curva

generalizada, com dois pinos para serem colocados nas raízes.

INTERVALOS NUMÉRICOS

Habilidades

EF09MA06 Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre

duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e

utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações

funcionais entre duas variáveis.


• Funções: representações numérica, algébrica e gráfica

Sendo a e b reais com a < b.

Intervalo fechado de extremos a e b Superfície Esférica

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/YG9X7T


Intervalo aberto de extremos a e b Superfície Plana

Intervalo aberto à esquerda (ou fechado

à direita) de extremos a e b.

Intervalo aberto à direita (ou fechado à

esquerda) de extremos a e b.

INTERVALOS INFINITOS

Habilidades

EF09MA06 Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre

duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e

utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações

funcionais entre duas.


• Funções: representações numérica, algébrica e gráfica

x ≥ a

x > a

x < a

x ≤ a

Quando um número “x” vai para o infinito, coloca-se um pino na extremidade

do Multiplano para simbolizar que o “x” segue para o infinito.


INEQUAÇÕES

Habilidades

EF08MA08 Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo,

que possam ser representados por sistemas de equações de 1º grau

com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano

cartesiano como recurso.


• Reconhecer que uma inequação é uma sentença matemática que representa

uma desigualdade

• Resolver uma inequação do 1º grau com uma incógnita

• Descrever uma situação por meio de uma inequação do 1º grau com uma

incógnita

Sabendo como se concretizam as funções de 1º e 2º graus, o estudante tem condições de fazer análises relativas a uma função produto e/ou

quociente, inequações, etc. Para tanto, elásticos podem ser anexados ao

Multiplano logo abaixo do plano cartesiano, para que se possa estudar a

variação do sinal dentro do conjunto dos números reais. O número de elásticos dependerá do número de funções envolvidas no processo: cada

linha demarcada abaixo do plano cartesiano representa uma função (S1 e

S2), e o último (S1 × S2) representa o resultado do produto ou do quociente

entre os sinais.

A seguir, apresentamos um exemplo de uma função produto

f(x) = (−x − 5) (x2 − 6x + 5). Para resolvê-la, o estudante tem que:• construir o gráfico de cada polinômio pertencente ao produto no

mesmo plano cartesiano;

• isolar as funções e calculá-las de modo separado;

• localizar a raiz de −x − 5 = 0, x = −5, e fazer um esboço do gráfico da função através da reta generalizada;

• localizar a raiz x = −5, introduzir o pino, girar a haste para representar uma reta decrescente;

• a partir da coluna da raiz, deslizar os dedos até que encontre a

primeira reta abaixo do plano (S1);

• marcar o ponto através de um pino em “S1” e, com auxílio do gráfico,

analisar a variação dos sinais dessa função;

• verificar em que intervalo a região do gráfico é positiva e, com

elástico, marcar em “S1” esse intervalo.

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/X8dHAc


Para essa primeira função, a raiz é “−5” e a inclinação do gráfico vai se dar à esquerda. Assim, para os valores de “x” menores que “−5” a região do gráfico é positiva, para os maiores, negativa.

Feito o estudo da primeira função e marcados os resultados em “S1”, o

esboço não é mais necessário, podendo ser retirado. Então, o estudante fará

a análise da segunda função, procedendo como na primeira: localiza as

raízes (1 e 5); faz um esboço do gráfico; marca essas raízes na segunda linha abaixo do plano (S2); e faz o estudo do sinal da função, anotando nela,

com auxílio de elásticos, os intervalos onde fica positiva. Feito isso, o

esboço do gráfico da segunda função pode ser retirado.

Para finalizar, o estudante marcará as raízes de ambos os gráficos na

terceira linha abaixo do plano (S1 × S2) para que possa fazer o produto dos

sinais. Vai deslizar os dedos em cada intervalo separado e analisar o

produto dos sinais em cada um deles.

O intervalo composto de dois elásticos trata-se de região positiva; onde encontrar apenas um elástico, trata-se de região negativa.

Gráfico de (−x − 5). Abaixo do plano está indicada, com elástico, a região positiva (S1).

S1

Gráfico de (x2 − 6x + 5). Abaixo do plano, estão indicadas, com elástico, as regiões positivas.

S1

S2

O resultado identificado em “S1 × S2” será positivo se os intervalos

analisados em S1 e S2 tiverem sinais iguais; se os sinais forem diferentes, o

resultado será negativo. Assim, para esse exemplo, o produto dos sinais

indicou que: para as regiões onde “x” é menor do que “−5”, a região é positiva; entre “−5” e “+1”, região negativa; valores de “x” compreendidos entre “+1” e “+5”, região positiva; e para “x” maior do que “+5”, região negativa.

Plano cartesiano com função produto solucionada, em que S1

representa a reta generalizada (abaixo, em S1 foram marcados os

resultados dos sinais), S2 representa a parábola generalizada (abaixo,

em S2 foram marcados os resultados dos sinais), e em S1 × S2 são

marcados os resultados do produto/quociente da função.

A presença de dois elásticos representa região positiva.

S1

S2

S1 × S2


DIVISÃO DE POLINÔMIOSHabilidades






• Sistema de equações polinomiais de 1º grau: resolução algébrica e

representação no plano cartesiano

A divisão de polinômios também pode ser trabalhada no Multiplano. A

foto abaixo apresenta um exemplo de como isso pode ser feito.

Os números positivos que acompanham a incógnita de um polinômio,

independentemente do grau do expoente, podem ser representados por

pinos “em pé”, e os negativos, por pinos “deitados”. Para que os pinos não

se espalhem ou mudem de posição e também para delimitar a posição de

“x” de acordo com o grau de seu expoente (..., x3, x2, x1, x0), “quadradinhos”

são necessários e podem ser formados usando-se elásticos.

No exemplo a seguir temos um pino “em pé” na posição onde “x” tem

expoente 2 (x2), cinco pinos “deitados” na posição onde “x” tem expoente 1

(x1) e seis pinos “em pé” na posição da constante (x0), identificando o

polinômio como x2 − 5x + 6”, o qual, no caso, é dividendo da operação. Ao lado, ligeiramente acima, temos representado o polinômio “x − 2”, que é o divisor da operação. Abaixo do divisor é colocado o quociente da divisão,

nesse caso “x − 3”. A resolução segue os mesmos procedimentos do estudante vidente,

que anota no caderno, mas com o uso de pinos no lugar de algarismos,

sendo alguns pinos para representar números positivos e outros para

representar os negativos. O estudante cego vai identificar o grau do

expoente da incógnita de acordo com a posição que ocupa nos

“quadradinhos”, começando pelo dividendo, com o expoente zero,

aumentando em direção à esquerda. Nos espaços reservados ao divisor e ao

quociente, a posição segue a ordem decrescente, dos expoentes de maior

grau para os de menor grau, no sentido da direita.

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/4GLdWn


Segue o esquema de montagem de uma operação com polinômios no

Multiplano:

Se algum valor de “x” ficar sem representação, como no caso do

polinômio “x3 − 7x”, onde faltam os valores de “x2” e da constante, os

espaços respectivos a esses expoentes de “x” ficam vazios, uma vez que são

os “quadradinhos” que estarão indicando qual o grau do expoente da

incógnita. Para determinar a quantidade de quadrados do quociente, deve-

se verificar o grau do dividendo pelo divisor x3 ÷ x = x2, devendo-se montar

três quadrados no quociente. A seguir, a divisão de x3 − 7x por x − 3:

Dentro dos retângulos são colocados pinos que representam os coeficientes de x. Se for positivo, o pino é colocado “em pé”, se negativo, é colocado “deitado”.


LOCALIZAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAISHabilidades

EF05MA02 Ler, escrever e ordenar números racionais na forma decimal com

compreensão das principais características do sistema de numeração

decimal, utilizando, como recursos, a composição e decomposição e a

reta numérica.


• Números racionais expressos na forma decimal e sua representação na reta

numérica

Para a construção de gráficos com variáveis que assumem valores decimais,

deve-se acoplar várias placas do Multiplano, a fim de representar os números

decimais. Para isso, devemos colocar um pino a cada 10 furos para indicar os

números inteiros. É o que será demonstrado nas figuras do tema a seguir.

GRÁFICO EXPONENCIALPara a construção do gráfico de uma função exponencial, deve-se

atribuir para x valores próximos de zero, em seguida substituir na função

para encontrar os respectivos valores de f(x):

Assim, para as funções temos:

Gráfico da função: f(x) = 1

2

x

x −2 −1 0 1 2

f(x) 4 2 1 0,5 0,25

Gráfico da função: f(x) = log2 x

x 0,25 0,5 1 2 4 8

f(x) −2 −1 0 1 2 3



Gráfico da função: f(x) = 1

x

CURVA DO SEGUNDO E DO TERCEIRO GRAU NO MESMO PLANO

CÔNICAS

ELIPSEElipse é o conjunto dos pontos de um plano, cuja soma das distâncias a

dois pontos fixos F1, F2 desse plano é constante.

Para construir a elipse, marque dois pontos no plano formado por uma ou mais placas Multiplano.

Coloque dois pinos separados por alguns pontos F1 e F2, corte um fio que tenha uma medida maior que a distância entre os dois pontos, em seguida, com o auxílio de um pino, estique o fio em qualquer direção.

Ao coincidir com um furo, introduza o pino nesse, pegue outro pino e continue o mesmo procedimento até formar a volta completa. É importante ressaltar que, dependendo do tamanho da elipse, será necessário um elástico maior.

Construção de elipse.


A função f(x) = x2 − 4x em amarelo e g(x) = x3 − 6x2 + 8x em vermelho.


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https://goo.gl/t4Z27k


HIPÉRBOLEHipérbole é o conjunto de pontos P de um plano α, tais que a diferença

de suas distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 desse plano é uma constante

positiva e menor que a distância entre esses pontos fixos.

1o passo: acople várias placas Multiplano conforme o tamanho da

figura que se deseja construir e estique dois elásticos para representar o

plano cartesiano.

2o passo: marque dois pontos no eixo “x” A1 e A2, simétricos ao eixo

“y” separados por alguns furos.

3o passo: marque um ponto F1 no eixo “x” distando alguns furos do

lado esquerdo de A1; também no mesmo eixo, mantenha a mesma

quantidade de furos do lado direito de A2 e marque F2.

4o passo: marque um ponto S externo a F1, a F2 na mesma reta;

5o passo: corte um barbante de comprimento maior que o grande plano;

6o passo: faça um laço em uma das extremidades do barbante;

7o passo: prenda o laço do barbante em A1, estique até S e faça um nó

no ponto S.

8o passo: coloque o nó em A2 novamente estique em S e faça um laço

em S.

9o passo: prenda um laço do lado da maior distância em F1 e o outro

laço em F2, pegue o nó e estique no sentido do primeiro quadrante; no local

que o nó tocar no plano, marque com um pino o ponto P. Passe para o

quarto quadrante estique o barbante e marque outro ponto;

10o passo: troque os laços, maior distância do laço até ao nó em F2,

menor em F1. Vá ao segundo quadrante, proceda como nos anteriores e

marque o terceiro ponto; passe para o terceiro quadrante, e marque o

quarto ponto;

11o passo: aumente a distância de F2 até S e marque um ponto S1.

Repita os passos do 7º ao 10º.

12o passo: proceda da mesma forma, sempre mudando o ponto S até

marcar uma quantidade de pontos suficientes para ligar posteriormente

com elásticos ou barbante e formar a hipérbole.

Para construir a hipérbole no Multiplano, acompanhe o passo a passo ao lado.

Construção de hipérbole.

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https://goo.gl/41pSzJ


Para calcular uma equação, é mais fácil se usarmos as propriedades:

1º propriedade: some ou retire o mesmo valor de ambos os lados.

2º propriedade: multiplique ou divida pelo mesmo valor em ambos os lados.

Assim também é valido para as demais operações como potência e

radiciação.

É importante lembrar que o sinal de igualdade representa um equilíbrio e

“tudo que faço de um lado da equação devo fazer do outro”.

EQUAÇÕESHabilidades

EF09MA09 Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com

base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e

elaborar problemas que possam ser representados por equações

polinomiais do 2º grau.


• Reconhecer uma equação do 2º grau com uma incógnita e identificar seus

coeficientes

• Identificar e classificar uma equação do 2º grau em completa ou incompleta.

• Resolver equações incompletas do 2º grau

• Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações

polinomiais do 2º grau incompletas

• Resolver equações completas do 2º grau (Fatoração, completar quadrados e

fórmula resolutiva)

• Resolver equações literais do 2º grau

• Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações

polinomiais do 2º grau completas

• Determinar a quantidade de raízes de uma equação do 2º grau por meio do seu

discriminante

2x + 8 = 202x = 12x = 6

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/8xxu3t

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/tQTLrY


MATRIZES

Para cálculo de matrizes, determinantes e sistemas lineares, deve-se proceder

de forma análoga aos livros didáticos do Ensino Médio. As fotos a seguir são

apenas ilustrativas.

Matriz 2×3 Matriz 3×3

Determinante usando a regra de Sarrus. Montagem de um sistema linear.

FRAÇÕES

Habilidades

EF06MA07 Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de

partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações

equivalentes.

EF06MA09 Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de

uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem

uso de calculadora.

EF06MA10 Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com

números racionais positivos na representação fracionária.

EF07MA08 Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros,

resultado da divisão, razão e operador.


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https://goo.gl/Q1y7L1



• Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, comparação,

adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e

subtração de frações

• Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, comparação,

adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e

subtração de frações

• Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão

e operador

Para o trabalho com frações propõe-se não utilizar o mmc (mínimo múltiplo comum), conteúdo dificultoso para os estudantes, uma vez que gera muitas dúvidas, tais como: “Como vou aprender frações se não consigo resolver o mmc?”. Na verdade, o educando, na maioria das vezes, não compreende para que serve calcular o mmc.

Aprender frações é importante para a vida do estudante, porque em várias situações do dia a dia ele tem de lidar com números na forma decimal, como no registro de quantidades e medidas, na leitura de preços, etc. É importante que os estudantes compreendam que os números decimais são resultados de divisões entre dois números inteiros, ou seja, uma fração. Portanto, simplificar a resolução de frações significa simplificar a vida cotidiana, facilitando o empirismo do raciocínio lógico-matemático.

Exemplo: João e Pedro resolveram comer uma pizza. O garçom a dividiu ao meio. Logo depois que terminaram de comer, chegou José, amigo de Pedro e João. Decidiram, então, pedir outra pizza, que foi dividida em três partes. Como João tinha um compromisso inadiável, logo que os três amigos terminaram de comer a pizza ele foi acertar sua parte nas despesas. Mas, quando chegou ao caixa, surgiu a seguinte dúvida: “Quanto eu tenho que pagar?”.

Foram pedidas duas pizzas: uma dividida em duas partes outra dividida em três partes.

João comeu metade da primeira pizza e a terça parte da segunda.

Logo, temos as frações 1

2

1

3+ , que representam as duas partes que João

comeu de pizza.

É fração? Tenho que pensar!

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/CTFmBf


Não é improvável que o estudante resolva essa adição fazendo o

seguinte cálculo: 1

2

1

3+ resultado que não é verdadeiro:

2

5, na verdade, representam menos

da metade de uma pizza, mas João comeu mais do que a metade. Vejamos:

1

2+ ≠

1

3

2

5

Para resolver essa adição, propõe-se que, em vez de calcular o mmc, o

estudante trabalhe com frações equivalentes, isto é, com denominador

igual. O denominador indica em quantas partes foi repartido o todo e o

numerador indica quantas partes foram tomadas desse todo. Se as partes

do todo forem equivalentes, será mais fácil efetuar a operação.

Transpondo essa noção ao exemplo das pizzas, só é possível

estabelecer uma relação entre elas a partir do momento em que os pedaços

forem do mesmo tamanho.

1

2

3

6=

1

3

2

6=


3

6

2

6

5

6+ =

Portanto, João comeu 5 pedaços de 6.

Só é possível adicionar frações quando os denominadores forem iguais. E

encontrar frações equivalentes com denominadores iguais é um processo fácil e

que dispensa o cálculo do mmc: basta multiplicar a primeira fração pelo

denominador da segunda e multiplicar a segunda fração pelo denominador da

primeira. No caso de três ou mais frações, utiliza-se a propriedade associativa.

Observe os exemplos a seguir.

a. 1

2

1

3

1 3

2 3

1 2

3 2

3

6

2

6

5

6+ =

⋅

⋅

+⋅

⋅

= + =

b. 1

2

1

3

1

2

1

3

1

4

1

5

1

4

1

5

1 3

2 3

1 2

3 2+ + + + +

+ +

=⋅⋅

+⋅⋅

+� �11 5

4 5

1 4

5 4

3

6

2

6

⋅⋅

+⋅⋅

= +

+

+ +

= + =⋅⋅

+⋅⋅

= + =5

20

4

20

5

6

9

20

5 20

6 20

9 6

20 6

100

120

54

120

154

120==

÷÷

=154 2

120 2

77

60

Pode-se representar uma fração usando-se retângulos. Os retângulos

com elásticos cruzados em seu interior representam as partes tomadas da

fração.

5

8

2

5

2

5

4

10=

PRODUTO DE FRAÇÕESÉ importante lembrar que a fração tem várias interpretações: pode ser

relação entre medidas, parte de uma medida de comprimento, de uma área,

relação entre lados de uma figura, etc.

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https://goo.gl/npfLGo


Na primeira figura, temos 6 x 4 = 24 pinos; na segunda figura, temos 9 x 5 = 45.

Ou seja, quando multiplicamos dois números, esses números

representam dimensões (comprimento por largura), e a resposta é a área

da figura.

Para calcular o produto de duas frações, consideramos o total de pinos do

comprimento da figura (ou número de colunas) como sendo o denominador da

primeira fração, o total de pinos da largura (ou número de linhas) como sendo

denominador da segunda fração, e identificamos com elástico o total de pinos

dos numeradores das frações em seus lados correspondentes.

Como exemplo vamos multiplicar 2

3

por 3

4.

O primeiro passo é construir uma figura

de comprimento com três pinos (denominador

da primeira fração) e largura com quatro

pinos (denominador da segunda fração). Em

seguida identificamos com elástico os

numeradores das frações em seus lados

correspondentes.

A fração 2

3 representa dois pinos

marcados num total de três e a fração 3

4

representa três pinos identificados num

total de quatro.

A figura contornada por elástico tem

seis pinos em um retângulo formado por

doze pinos.

Assim podemos concluir que 2

3

3

4

6

12× = .

Todo produto pode ser escrito em forma de linhas por colunas.


Voltando à figura formada, podemos reagrupar os pinos e formar

figuras semelhantes:

Os três pinos da quarta linha passaram para a quarta coluna, formando

dois grupos semelhantes; o grupo identificado por elástico é o produto de 2

3

3

4× e o grupo da direita representa parte do todo. Assim temos:

6

12

1

2= .

A quantidade de pinos não muda, apenas a forma de representar a fração

(de seis pinos em doze mudamos para um grupo em dois). As frações 6

12 e

1

2 são frações equivalentes.

Outro exemplo: 5

8

6

10×

A figura retangular identificada com elástico representa o produto de

5 × 6 = 30 pinos e a figura inteira representa o produto de 8 × 10 = 80 pinos. Assim, concluímos que para calcular produto de fração por fração basta

multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador.5

8

6

10

30

80× = , ou seja, 30 pinos num total de 80.

Vamos agrupar os pinos para tentar simplificar:

Pode-se concluir que 30

80

3

8= (lê-se: trinta pinos em oitenta é igual a

três grupos de dez em oito grupos de dez).

Dá para simplificar?Se for possível, explique. Quero entender.

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https://goo.gl/KaygSU

Seguindo o mesmo raciocínio, temos cinco colunas identificadas com elástico, num total de oito colunas, e seis linhas identificadas, num total de dez.

Veja que foi possível formar oito grupos contendo dez pinos cada um.


DIVISÃO DE FRAÇÕES

Vamos voltar à figura anterior para relembrar o produto:

Comprimento vezes largura é igual à área, 6 × 4 = 24.

Na divisão, é fazer o inverso: a medida da área dividida pelo

comprimento à largura.

24 : 6 = 4: nesse caso o dividendo é a área, o divisor é o comprimento e

o quociente (resposta) é a largura.

Quer dizer que estamos partindo do todo para encontrar as partes?

E agora como encontrar partes de partes?

Nesse caso a fração do dividendo é parte da área de um todo referência

e o divisor seja o outro lado da figura.

Vamos adotar em nossos exemplos como padrão de referência uma

figura quadrada de lado 1, ou seja, uma unidade de medida.

Lembrando que o padrão de referência deve ser ajustado de forma que

o total de pinos seja divisível pelos denominadores das frações.

Consideremos as colunas como numerador (área do todo referência) e

as linhas como denominador (lado).

No primeiro exemplo vamos dividir um por meio, 11

2÷ .

Nesse caso tem que ser um quadrado de lado formado com dois pinos.

1

1

Nossa, e agora, como explicar?


Agora vamos manter o lado unitário com dois pinos (coluna) e dividir

as linhas ao meio.

1/2

1

Assim, a figura formada tem um total de duas colunas e uma linha.

E podemos concluir que 11

2

2

12÷ = = [lê-se um (representado por duas

colunas) dividido por meio (inicialmente representado por duas linhas) é

igual a duas colunas por uma linha].

Então vamos ver outros exemplos: 1

2

1

3÷

A figura referência deve ter lado divisível por dois e por três.

1

1

O dividendo é que representa a área de meia figura.

E nosso divisor é 1

3÷ =, ou seja, vamos tomar um terço do outro lado da figura.

que é a figura resultante

da divisão do 1

2

1

3÷

1/2

1 1/3

1/2

Para facilitar basta multiplicar os denominadores 2 × 3 = 6.

1

1/2

1

1


Logo, 1

2

1

3

3

2÷ = ; ou seja, meia figura (de seis linhas por seis colunas)

dividida na terça parte é uma figura formada com três colunas por duas

linhas.

Vamos ver outra: 2

3

3

4÷

Nossa figura de referência deve ter um total de pinos em seus lados igual ao

produto dos denominadores 3 × 4 = 12.

1

1

Da fração 2

3, vamos dividir o comprimento em três partes e

manter duas partes.

1 1

1 2/3

Da fração 2

3, vamos dividir o comprimento em três partes e

manter duas partes.

1 3/4

2/32/3

Agora ficou mais fácil, posso até ajudar no próximo exemplo.

Pronto, a figura ao lado representa a

divisão do 2

3

3

4÷ .


Contando as colunas temos um total de 8 e o número de linhas é igual a 9.

Assim, podemos concluir que 2

3

3

4

8

9÷ = : dois terços (de uma figura 12 × 12)

dividido por três quartos é igual a oito nonos (oito linhas por nove colunas)

Assim podemos afirmar que na divisão de fração (pela regra) basta manter a

primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda.

2

3

3

4

2

3

4

3

8

9÷ = × =

SISTEMAS LINEARES

Habilidades






• Sistema de equações polinomiais de 1º grau: resolução algébrica e

representação no plano cartesiano

João e Pedro são pecuaristas. Um dia se encontraram e começaram a

negociar. João disse a Pedro: “Dê-me um de seus bois que ficarei com o dobro

da quantia que você tem”. E então Pedro retrucou: “Não, dê-me um dos seus

que nós ficamos com a mesma quantia”. Quantos bois têm cada um?

A primeira impressão que se tem é a de que o problema não tem

solução, por não aparecer números no enunciado. As informações de um

problema devem ser escritas na ordem em que são contadas e não podem

ser alteradas.

Esse problema tem somente duas variáveis. Só é possível encontrar

solução se pudermos escrever duas equações.

Primeira informação: “Dê-me um de seus bois que eu ficarei com o

dobro da quantia que você tem”.

A quantidade de João mais um boi é igual à quantidade de Pedro

menos um boi. Então, a equação matemática resultante é:

J + 1 = 2 (P − 1)

Segunda informação: “Não, dê-me um dos seus bois que nós ficamos

com a mesma quantia”.


Equação matemática: J − 1 = P + 1Escrevendo uma nova equação para reduzir as equações vamos encontrar:

J − P = 2, ou seja, que João tem dois bois a mais que Pedro.Todo problema que tem duas equações necessita de um confronto

entre elas para encontrar a solução.

Solução geométrica:

J + 1 = 2P − 2 1a equação

J − 1 = P + 1 2a equação

Nesse método de solução, monta-se um gráfico de cada equação, onde

a solução será a intersecção das retas resultantes.

1a equação: atribui-se um valor a qualquer uma das duas variáveis,

substitui-se esse mesmo valor na equação para encontrar a relação que

este tem com a outra variável, para formar o par ordenado, e após localizá-

lo no plano cartesiano.

Vamos marcar a quantidade de João no eixo “x” e a quantidade de

Pedro no eixo “y”:

Pela 1a equação, temos:

J + 1 = 2P − 2Se J = 1, então P = 2.

Se J = 9, então P = 6.

Pela 2a equação, temos: J = P + 2.

Se J = 1, então P = −1.Se J = 10, então P = 8.

Agora, vamos construir os dois gráficos em

um mesmo plano cartesiano, pois é a

intersecção entre eles que permitirá

conhecermos a resposta:

Vamos atribuir valores para João e descobrir qual seria a quantia de Pedro.

Vamos ver! O resultado diz que João tem 7 bois e Pedro tem 5.Se Pedro der 1 boi para João ficará com a metade de João, se João der 1 boi para Pedro ambos ficarão com a mesma quantidade.

O ponto de intersecção das retas forma o par ordenado (7, 5), o qual é a solução do problema.


TRIGONOMETRIAHabilidades

EF09MA11 Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre

arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo

uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.


• Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo

Outro conteúdo que pode ser explorado no Multiplano é o de

Trigonometria. Isso porque no material a representação do círculo

trigonométrico pode ser feita, através do Multiplano circular, que

permite o estudo dos conceitos e cálculos relativos a esse assunto.

Conceitos muitas vezes, distantes do estudante, que desconhece o

porquê dos fenômenos, simplesmente os memoriza. É o caso das

relações que envolvem seno, cosseno, tangente, etc. Na maioria dos

casos o professor transmite ao estudante os valores que essas funções

apresentam dependendo do ângulo analisado, assim como o sinal que

esses valores podem ter conforme o quadrante em que estiverem

localizados. Mas o porquê desses valores e o porquê da variação de

sinais muitas vezes não são informações que chegam até estudantes,

principalmente aos cegos, mesmo porque faltam materiais didáticos

apropriados. Mas, com auxílio do Multiplano, todas as relações

trigonométricas podem ser concretizadas, o que facilita ao educando a

compreensão dos fenômenos e consequente abstração.

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/g3JWqt

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/rRkJ1m

Cosseno: é a projeção do raio sobre o eixo “x”.


Seno: é a projeção do raio sobre o eixo “y”.

Tangente: sua medida é identificada na reta que toca o círculo, paralela ao eixo “y”, na intersecção com o prolongamento do raio.

Cotangente: sua medida é identificada na intersecção do raio com a reta que toca o círculo, paralela ao eixo “x”.

Secante: a medida da secante começa no centro da circunferência, segue pelo eixo “x” até a intersecção com a reta que toca o círculo e é perpendicular ao raio.

Cossecante: a medida da cossecante começa no centro da circunferência, segue pelo eixo “y” até a intersecção com a reta que toca o círculo e é perpendicular ao raio.

Vista de todas as funções trigonométricas.


PENTÁGONOS PROPORCIONAISHabilidades

EF05MA18 Reconhecer a congruência dos ângulos e a proporcionalidade entre os

lados correspondentes de figuras poligonais em situações de

ampliação e de redução em malhas quadriculadas usando tecnologias

digitais.


• Ampliação e redução de figuras poligonais em malhas quadriculadas:

reconhecimento da congruência dos ângulos e da proporcionalidade dos lados

correspondentes

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/7yH13R

Gráfico da função cosseno.

Gráfico da função tangente.

Gráfico da função seno.

Gráfico da função cotangente.

Gráfico da função seno, cosseno, tangente e cotangente.


FIGURAS ESPACIAISHabilidades

EF09MA17 Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse

conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.


• Vistas ortogonais de figuras espaciais

As figuras espaciais podem ser construídas no Multiplano. As medidas das

hastes são adequadas para serem montadas sobre o Multiplano Circular, onde

podem ser montados os prismas regulares de base triangular, quadrada,

hexagonal. Outros prismas podem ser montados com as mesmas hastes, basta

fazer algumas tentativas.

Prisma de base quadrada montado sobre o Multiplano Circular: é uma forma fácil de visualizar a base, as arestas, os vértices, o apótema, as diagonais, etc. As hastes possuem medidas iguais ao lado da base, tornando nessa configuração um cubo.

ACESSE O VÍDEO

https://goo.gl/hm9e48

Prisma de base pentagonal.

Prisma de base hexagonal.

Prisma de base triangular.


PIRÂMIDESHabilidades

EF02MA14 Reconhecer, nomear e comparar figuras geométricas espaciais (cubo,

bloco retangular, pirâmide, cone, cilindro e esfera), relacionando-as

com objetos do mundo físico.

EF03MA13 Associar figuras geométricas espaciais (cubo, bloco retangular,

pirâmide, cone, cilindro e esfera) a objetos do mundo físico e nomear

essas figuras.

EF03MA14 Descrever características de algumas figuras geométricas espaciais

(prismas retos, pirâmides, cilindros, cones), relacionando-as com suas

planificações.

EF04MA17 Associar prismas e pirâmides a suas planificações e analisar, nomear e

comparar seus atributos, estabelecendo relações entre as

representações planas e espaciais.

EF05MA16 Associar figuras espaciais a suas planificações (prismas, pirâmides,

cilindros e cones) e analisar, nomear e comparar seus atributos.

EF06MA17 Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e

arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base,

para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.


• Figuras geométricas espaciais (cubo, bloco retangular, pirâmide, cone, cilindro

e esfera): reconhecimento e características

• Figuras geométricas espaciais (cubo, bloco retangular, pirâmide, cone, cilindro

e esfera): reconhecimento, análise de características e planificações

• Figuras geométricas espaciais (prismas e pirâmides): reconhecimento,

representações, planificações e características

• Figuras geométricas espaciais: reconhecimento, representações, planificações e

características

• Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices,

faces e arestas)

Pirâmide de base quadrada e seus elementos: arestas, vértices, apótema da base, apótema da lateral, etc.


As pirâmides são facilmente construídas no Multiplano. Primeiro deve-se

colocar os pinos de acordo com a base, em seguida colocar uma haste no centro

do círculo, enroscar os elásticos na parte inferior na ponta de dois pinos passantes

e finalmente enroscar o elástico no topo do pino central para formar o corpo e a

altura da pirâmide.

Pirâmide de base hexagonal. Pirâmide de base dodecagonal.

Vista superior.

BASE PARA OPERAÇÕESOs números podem ser escritos e calculados no Multiplano. O processo de

identificação de um número é idêntico aos números romanos antigos ou ao

método Sorobã. A intenção nesse processo de cálculo é aproximar o estudante

cego ao método convencional utilizado no quadro de giz com os demais

estudantes. Sabemos que o método do Sorobã é diferente do usado com lápis e

papel, mas, com a base de operações sobre o Multiplano, o aluno pode resolver

com um método combinado entre quadro de giz e Sorobã.

A identificação de um número é feita a partir dos furos, localizados

abaixo da “base de operação”; na primeira coluna identificamos as

unidades, na segunda as dezenas, na terceira as centenas, e assim por

diante, conforme a base decimal. Um pino colocado abaixo da “base de

operação” identifica o número um; colocado no segundo furo representa o

dois; no terceiro, o três e no quarto representa o quatro. Para identificar o

número cinco, coloca-se um pino no furo da “base de operação”; o número

seis está representado juntamente com os pinos cinco e um, já o número


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https://goo.gl/CZHA8S


sete está composto com os pinos cinco e dois, e assim sucessivamente até o

nove. O número 10 está representado por apenas um pino na ordem das

dezenas e nenhum na unidade. Vejamos alguns números:

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10


OPERAÇÕES:Na adição, segue-se o mesmo método feito no caderno, só não tem o “vai um”. Observe ao lado.

11

523

23

1523

41523

8 9 7+ 4 8 5

8 9 7+ 4 8 5

1 2


8 9 7+ 4 8 5

1 8 2

8 9 7+ 4 8 51 3 8 2

6 3 9× 4

6 3 9× 4

3 6


6 3 9× 4

1 5 6

6 3 9× 42 2 5 6

8 4 7– 6 8 9

8 4 7– 6 8 9


7 1 3 1 7– 6 8 9

1 5 8

Subtração: Nessa sempre saio perdendo!

7 1 3 1 7– 6 8 9

5 4 6 4 5 4 6 4– 4 1

1


DESAFIODados três pontos no plano cartesiano A(x0, y0), B(x1, y1) e

C(x2, y2). Determinar um triângulo que contém estes três pontos como

ponto médio de seus lados.

Considerando os pontos dos vértices do triângulo X1(x3,

y3), X2(x4, y4) e X3(x5, y5), as coordenadas de cada ponto serão:

X1 (x3 = x0 + x1 − x2, y3 = y0 + y1 − y2),

X2 (x4 = x0 + x2 − x1, y4 = y0 + y2 − y1),

X3 (x5 = x1 + x2 − x0, y5 = y1 + y2 − y0).

5 4 6 4– 4 1 3 6

1 4– 1 2

2 6– 2 4

2

5 4 6 4– 4 1 3

1 4– 1 2

2

Marcando os pontos X1(−3, 9), X2(9, −3) e X3(−7, −5) no Multiplano, e ligando com um elástico, pode-se perceber que realmente os pontos encontrados são vértices do triângulo que tem como ponto médio os pontos A(3, 3); B(-5, 2) e C(1, –4).


Na figura acima foram marcados os pontos: A(3, 3); B(−5, 2) e C(1, −4).Os pontos de vértice são: X1(3 − 5 − 1, 3 + 2 + 4),X1(−3, 9);X2(3 + 1 + 5, 3 − 4 − 2),X2(9, −3).X3(−5 + 1 − 3, 2 − 4 − 3)X3(−7, −5)

Já aprendi! Vou marcar três pontos no Multiplano e criar vários triângulos que

possuem como ponto médio os vértices do triângulo anterior.

Demonstração do teorema:

Se: A(x0,y0) é ponto médio dos pontos X1(x3,y3) e X2(x4,y4),

B(x1,y1) é ponto médio dos pontos X1(x3,y3) e X3(x5,y5),

C(x2,y2) é ponto médio dos pontos X2(x4,y4) e X3(x5,y5),

Então:

a) 2x0 = x3 + x4 => x3 = 2x0 − x4

b) 2x1 = x3 + x5 =>x3 = 2x1 − x5

c) 2x2 = x4 + x5

d) De “a” e “b” temos:

2x0 − x4 = 2x1 − x5 => 2x0 − 2x1 = x4 − x5

e) Somando “c” com “d” temos:

2x2 + 2x0 − 2x1 = 2 x4

f) Dividindo “e” por dois, o

resultado é: x4 = x0 + x2 − x1.

g) Substituindo “f” em “c”:

2x2 = x0 + x2 − x1 + x5 => x5 = x1 + x2 − x0

h) Substituindo “g” em “b”:

x3 = 2x1 − (x1 + x2 − x0) => x3 = x0 + x1 − x2

Os vértices são sempre números inteiros.

A demonstração de y3, y4 e y5 fica a seu critério.


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