BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS

• 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO – ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES •

• FOLHA Nº 06 – GABARITO COMENTADO •

1) 5 + 8 + 3 + a + b terá que ser divisível por 9. Daí para se ter o maior valor possível 16 + a + b tem que ser má-

ximo, logo a + b = 11.

LETRA D

2) a2b – 3 = 17 a2b = 20

a4b – 3 = 77 a22b = 80, dividindo uma equação pela outra temos:

2b = 4 b = 2, logo a = 5

N = (5 + 1)³ . 25 N = 2³ . 3³ . 25 N = 28 . 3³, logo o número de divisores é (8 + 1) . (3 + 1) = 36

LETRA B

3) z = x + y

x = z5

z = 5x, logo y = 4x. logo são proporcionais a 1, 4 e 5

LETRA B

4) 72

1005

58100

62100

5. . .+ = +( )m m

360 + 58 m = 62 m + 310

4 m = 50

m = 12,5

LETRA C

5) (2 + b)³ = 0 + 5b + 7b² + b³

8 + 12b + 6b² + b³ = 5b + 7b² + b³

b² – 7b – 8 = 0

(b – 7) . (b – 1) = 0.

Como b é base, b = 7.

LETRA A

6) Ao pegar o capital emprestado, a pessoa paga juros de jc i t

=. .

100; como i é numericamente igual a t, então j

c t=

. 2

100.

Como aplicará esse capital a uma taxa de 24% ao mês, o juros obtido será o lucro da pessoa, logo

J’ = 0,24ct. Assim, o lucro máximo será obtido pela diferença J – j’ = 0,24ct – c t. 2

100 e o máximo será o xv da função.

T = -ba2

T = −−( )

0 242 100

.

. .c

c T = 12 meses

LETRA B

27) L = lucro, V = venda e C = custo

L = V – C V = L + C; L = 0,7 C

V = 0,7 C + C V = 1,7 C

0,2.1,7 C = 170

1,7 C = 850

C = 500

Com o aumento de 170 reais, C’ = 670

V’ = 1,7 . 670 = 1139

LETRA C

8) Aumentos sucessivos: ( 1 + i)

Descontos sucessivos: ( 1 – i)

(1 + 0,3) (1 + 0,2) (1 – x) = 1

1,3 . 1,2 . (1 – x) = 1

1,56 . (1 – x) = 1

1 – x = 0,641

X = 1 – 0,641 x = 0,359 = 35,9%

LETRA B

9) N = 24 . 35 . 56, como queremos os múltiplos de 10, N = 10.(23 . 35 . 55)

Total de divisores: (3 + 1).(5 + 1).(5 + 1) = 4 . 6 . 6 = 144

LETRA D

10) As medidas, em dm, da caixa são 10 dm x 6 dm x 4 dm, logo o seu volume é dado por:

V = 10 . 4 . 6 = 240 l

300ml = 0,3 l

Ele vende 34

240 180. =

Como cada copo custa R$ 4,00, o total arrecadado é 4.180 . 103

= 2400

LETRA E

11) y = 2x² - 6x – P

Calculando as raízes:

xb b ac

a

xp

xp

p

=− ± −

=± −( ) − −( )

=± +

+ >

2 4

2

6 6 2 4 2

22

6 36 8

436 8 6

. ..

Logo as raízes possuem sinais opostos

LETRA B

3

12) 3 10 0

2 0 3

3 10 0

3 6 3 0

x y z

x y z

x y z

x y z

− − =

+ − = −( )

− − =

− − + =

Somando as equações encontramos y = – z e x = 3z

Substituindo,

3 3

3

27 93

182

9

3 2

2 3

3 3

3 3

3

3

z z z

z z z

z zz z

zz

( ) + ( ) −( )( ) −( ) −−−

=

.

LETRA B

13) S = n15 + n15 + ........... + n15, como são n parcelas, S = n16

n164 = 13n2 – 36

n4 – 13n2 – 36 = 0

(n² – 9) . (n² – 4) = 0

n² = 9 n = ± 3

n² = 4 n = ± 2

LETRA B

14) Como m ≤ n, a diferença entre os polinômios terá o grau do maior dele.

LETRA E

15) k²x - kx = k² – 2k – 8 + 12x

k²x – kx – 12x = k² – 2k – 8

x (k² – k – 12) = (k – 4) . (k + 2)

x (k – 4) . (k + 3) = (k – 4) . (k + 2)

x = k k

k k

−( ) +( )−( ) +( )

4 2

4 3

.

.

k – 4 ≠ 0

K + 3 = 0 k = – 3

LETRA B

4

16) y = – 497x² + 1988x – 1987

S = -BA

S = 1988497

P = CA

P = -1987497

Xv = − =BA2

1988994

= 2

YV = – 497(2)² + 1988 . 2 – 1987

YV = 995

I) Falso; o valor máximo é 995

II) Verdadeiro; pois o produto é positivo e isso só é possível quando os sinais das raízes são iguais.

III) Falso. Uma vez que o eixo de simetria da parábola passa pelo ponto 2, a distância do ponto 2 até o ponto

107(105 unidades) deve ser a mesma do ponto 2 até o ponto – 130( 132 unidades)

IV) Verdadeiro; a interseção com o eixo das ordenadas é o valor de c = – 1987.

LETRA C

17) a + b + c = 0

a + b = – c

(a + b)³ = (– c)³

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = – c³

a³ + b³ + c³ = – 3ab(a + b)

a³ + b³ + c³ = 3abc

LETRA C

18) Pelo teorema de Bolzano, quando x = – 3 o valor numérico é positivo e quando x = 7, o valor numérico é negativo,

a função admite um número ímpar de raízes no intervalo ]– 3 , 7[. Como o gráfico é uma parábola, essa função

admitirá uma raiz nesse intervalo e, com isso, o valor de c é positivo.

LETRA D

19) m³ + n³ = −( ) − −( )b a b a

ca

/ / .3

3

m³ + n³ = − + =−b

ab ca

abc ba

3

3 2

3

33

3.

m³ . n³ = (m . n)³ = ca

3

3

Toda equação pode ser escrita como x² - Sx + P = 0

xabc b

ax

ca

23

3

3

3

30−

−

( )+ =

a³x² – b(3ac + b²)x + c³ = 0

LETRA A

20) y = ax² + bx + c

Para que admita um valor máximo, devemos ter a < 0.

Para que as raízes tenham sinais contrários, devemos ter c > 0 uma vez que a < 0.

b qualquer.

LETRA A

5

21) Como M é médio de AC, TEMOS:

x + y = y + 4 – x, ou seja: 2x = 4 daí x = 2 cm

LETRA A

22) Os triângulos BEF e MCE, são congruentes pois, o ângulo FBC é igual ao ângulo MCE.

Sendo M ponto médio de CD, o segmento FE = EM = AD2

Como AD = 16 cm, então FE = 8 cm.

LETRA C

23) Observe que o triângulo BCE é semelhante ao triângulo CFG

52 = (5 – 2x)2 + (5 – x)2

25 = 25 – 20x +4x2 +25 –10x +x2

5 x2 – 30 x + 25 = 0 (: 5) temos:

(x – 1) (x – 5) = 0.

Daí, x = 1

LETRA B

24) Vamos construir o triângulo equilátero BCP, como na figura.

Como BD = AC, conclui-se, portanto que os triângulos ABC e BDP são congruentes.

Como a medida do ângulo CPD = 20°, logo a medida do ângulo BDC = 150°.

O ângulo assinalado (BCD ) + 10° + 150° = 180°, então a medida do ângulo

BCD = 20°

LETRA C

25) O ângulo α = a + b.

Observe que os triângulos AOE e CDE são isósceles e o triângulo CDO é retângulo.

Logo, 2a + 2b = 90°. Daí, a + b = 45° = α

LETRA D

626) O triângulo ACP é retângulo e DP é a mediana relativa à hipotenusa.

Observe que AD = DC = DP = CP = PC.

O ângulo PDB = PBD = x = 15°

LETRA C

27) Como o ponto M é médio do arco AB, podemos afirmar que o triângulo COM é equilátero, e CP, a sua altura. Observe

que o quadrilátero COPN é inscritível.

A medida do ângulo α assinalado tem a mesma medida do ângulo PCO = 30°

LETRA E

28) Como o arco ACB é igual a 90°, a medida do ângulo x assinalado, vale a metade do replemento do arco ACB.

Ou seja: x =

360 902-

= 135°

LETRA D

29) Sendo CH a altura relativa ao lado AB, podemos afirmar que o ângulo HAF = 30°

Observe que o no triângulo ACF, o ponto D é o incentro, daí; o ângulo DCF = 10° e o ângulo DFC = 60°.

Como x + 60° + 10° = 180°; temos que a medida x = 110°

LETRA B

30) Observe que o triângulo BDP é isóscele, e que os triângulos ABC e BDP são congruentes.

Daí, podemos afirmar que os ângulos ABC e DBP são iguais a 3x.

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, temos:

10x = 180; x = 18, logo: 3x = 54° = 60gr

LETRA E