gabarito ciclo 0 - matemática 2015

Professor: Jordan Piva 07/02/2015

GABARITO SIMULADO IME/ITA - CICLO 0 - 2015

1) GAB: E

Total de mesas: 14 x 8 x 3 = 336

Total de cadeiras: 336 x 4 = 1344

_______

2) GAB: A/D

a) (F) 32

1729

64

1729 6

6

6

(obs: houve um erro de digitao, o correto seria 1728)

b) (V) 2

27

2

3

23

23

126

43 3

95

88

4

48

c) (V)

11

34

253

27)2(0

32

d) (F) 81,09

16

3

11

2

6

2

422

2

2

2

1

e) 86427327291024

______

3) GAB: C

75751375620070056200

7005

Dddd

dD

dD

______

4) GAB: D

Claramente temos o seguinte padro:

Para n = 500

_______

5) GAB: B

A configurao abaixo a nica que satisfaz o problema:

_________


6) GAB: B

Quadriltero inscritvel soma dos ngulos opostos 180

'...'51'42257

1801806 xxx

_________

7) GAB: C

Pitgoras: 231 222 rrr

602

1cos

3

4

360

2 rSSetor

_________

8) GAB: E

mmc(120, 150) = 600

Assim cada coluna deve ter 5120

600 blocos do tipo X ou 4

150

600 blocos do tipo Y.

- Colunas tipo X: ,...235

117

- Colunas do tipo Y: ,...364

145

Total: 23 + 36 = 59

__________

9) GAB: A

Quadrado: yxyxyx 2224

Lado: 3

312366 2 yySy

3

322 yx

Permetro: 3222 yx

____________

10) GAB: E

Volume retirado: )4(12 xx

Para o volume retirado ser mximo: 22

04

2

21

xx

xv

Volume maquete: 24022126412

___________


11) GAB: B

519852101052 baabbabaab

Alm disso, 1ou1111 babbabaab 1 Caso: 3191 ba , absurdo!

2 Caso: 3132481 naab

__________

12) GAB: C

12

1

2

1yxyx (Elevando ao quadrado)

124

214

22

1

2

1 22 xy

xy

xyxyx 012 logo x (*)

Elevando ao quadrado novamente: 141444

4 22

yxxx

yx .

Para x = 2 (que satisfaz a condio *), temos y = 7.

__________

13) GAB: E

471

:)(71

921

:)(31

2

222 x

xx

xx

xx

x

Seja 4545211

2

22 kx

xkx

xk

__________

14) GAB: A

2

1121 22 ababbaba (pois 222 ba )

2

5

2

122233 abbababa

15) GAB: C

Relaes mtricas no tringulo retngulo: 6369422 AIAImnh

522

813

2

DdS ABCD

___________

16) GAB: B

fcil ver que a frao da letra a menor do que 2, o que elimina o item e.

Como as letras a e b possuem o mesmo numerador, e o denominador de b maior que o de a

sabemos que b < a (eliminando o item a)


Temos ainda:

0000.000.1

000.000.2000.000.1000.000.2

000.000.1

000.000.2000.000.1

2

222

xxxx

x

x

x

x

(Obs: Podemos multiplicar "cruzado" pois todos os termos so positivos).

Assim, para 412.765.384.250x temos d > b e para 412.765.383.250x temos c > d.

Donde a menor frao a b.

___________

17) GAB: B

Propriedade do tringulo retngulo: mediana relat. a hipotenusa = metade da hipotenusa

Assim, na figura, MC = DM = AM = BM. Logo:

60 DCMCDM

; 50 ABMBAM

4060e80 BMABMDBMA

______________

18) GAB: D

A soma dos algarismos de 2005 7, de modo que de se o bloco 2005 aparece n vezes a soma

de todos os algarismos ser 7n.

771 1 aSn ;

4142 2 aSn ;

1213 3 aSn ;

8284 4 aSn ;

5355 5 aSn ;

2426 6 aSn ;

9497 7 aSn ;

6568 8 aSn ;

3639 9 aSn ;

07010 10 aSn ;

A partir de 11a a sequncia ir repetir, logo:

9025)58147()0369258147(200... 200521 aaa

____________

19) GAB: C

Primeiro veja que se 2n a expresso ser negativa;

Para Zn

nn

8

2

7

3:1

2

3

;

Para Zn

nn

7

3

7

3:0

2

3

;


Agora veja que:7

73

7

737

7

322

3

2

3

n

nn

n

nnn

n

n.

Como essa expresso deve ser inteira, devemos ter: nn 7372 .

Para 073:1 nn , logo devemos ter: 523772 nnn .

Para 111

11

7

3:2

2

3

n

nn ok!

Para Zn

nn

16

30

7

3:3

2

3

Para Zn

nn

23

67

7

3:4

2

3

Para 432

128

7

3:5

2

3

n

nn ok!

_____________

20) GAB: B

6113971030997300310031003100271000000999973 22233 Soma: 171611397

_____________

21) GAB: B

Seja x a maior projeo do quadrado menor no retngulo e y a menor, temos:

2;1823

73

xy

yx

yx

Por Pitgoras: 55222 lyxl

____________

22) GAB: C

9...02999...7000...999110310310110 20084016602432008 nn

onde temos 2007 9's no incio (da esquerda para direita) e 2008 9's no final.

_____________

23) GAB: E

Uma vez que 1C e 3C so tangentes interiores, sabemos que 1O , 3O e A so colineares.


Agora veja que 333 rAOPO (raio da circunferncia 3C )

Alm disso, 222 rAOPO (raio da circunferncia 2C )

Como 32OO comum aos tringulos AOOPOO 3232 e temos uma congruncia por LLL, logo:

902323 OPOOO

, pois 21OO tangente a 3C em P .

_______________

24) GAB: B

Podemos ver a equao dada como uma equao do 2 grau em x:

0682953 22 yyxyx , por Bhskara:

01ou0623

6

359

6

9659

6

72962481902559 222

yxyxyy

x

yyyyyyyyx

A rea sombreada pode ser obtida pela diferenas das reas dos

tringulos:

2

5

2

11

2

23

S

______________

25) GAB: E

Dividindo a equao por 4y : y

x

y

x 24

2

43

. Seja

y

xt

2

, temos:

Qttttt

ttttttttt

2

131ou10)3)(1(

0)1(3)1)(1(033034

2

34

Como x e y so inteiros positivos: 22

1 xyy

x (quadrado perfeito).

No intervalo pedido temos 44 quadrados. (de fato, 20072025452 )

____________


26) GAB: C

Temos o primeiro 21 na sequncia 11.12.13.

O prximo na sequncia 21.22.23;

outro em 102.103; 112.113; 121.122.123; 132.133; 142.143; 152.153; 162.163; 172.173;

182.183; 192.193; 210.211.212.213.214.215.216.217.218.219; 221; 321; 421; 521; 621; 721;

821; 921;

Contabilizando 31 sequncias pedidas.

_____________

27) GAB: E

Seja x o nmero obtido aps retirarmos os trs ltimos dgitos de n e a, b e c esses dgitos,

temos: )(1000 abcxn .

Pelo enunciado: 333 )(1000 xabcxxnnx com 999)( abc .

Logo: 3299910003 xxx .

Alm disso 0)( abc , ou seja, 3210003 xxx , donde 327683232 3 nx .

Soma dos algarismos: 2686723

______________

28) GAB: D

Repare que )1)(2(232)3( 2 nnnnnn , desse modo a expresso

equivalente a:

5105102102101101100

10099....

98

87

76

65

______________

29) GAB: A

fcil ver que se um nmero natural par, seu quadrado ser mltiplo de quatro, logo, no

podemos ter a e b pares simultaneamente, pois o lado esquerdo seria mltiplo de quatro e o

lado direito no.

Sabemos tambm que se um nmero mpar seu quadrado tambm ser mpar, logo no

podemos ter a e b com paridades opostas, uma vez que o lado esquerdo seria mpar e 6 par.

Vejamos o que acontece se a e b forem mpares:

12)1()1()21(4)(4

6814414412e12

22

22

cttkkcttkk

cttkktbka

Agora veja que num produto de dois nmeros consecutivos, um deles tem que ser par, de

modo que o lado esquerdo par e o lado direito mpar.

Logo, no existem a, b e c inteiros que satisfazem o problema.

______________


30) GAB: C

1

12222

22

t

tyx

yx

yxt (elevando a quarta)

4

88

1

1

t

tyx .

Seja 2882

e1

1

1

1kyx

k

kt

t

tk

Pelo enunciado temos

531

12

1

1

1

13

1

k

k

k

k

k

k

k

tt .

Assim, 156

25

1

4

1

1

1

14

2

2

2

2

2

88

88

88

88

k

k

k

k

k

k

yx

yx

yx

yx

______________

31) GAB: E

Se X um repunit temos NnXn

,9

110. Como rqXpX 2 deve ser repunit

devemos ter:

9

1102m

rqXpX

nn

m

nn

mnn

mnn

rqppqp

rqppqp

rqp

222

2

2

10

9

10

109

10

819

10

29

9109819291010

9

110

9

110

9

110

Para n grande o lado esquerdo tende a p e o lado direito a nm 2109 , de modo que esses

valores devem ser iguais. Assim, temos nmp 2109 e nn

rqppq

10

9

10

81929

.

Novamente considerando n grande o lado esquerdo tende a pq 29 enquanto que o direito

tende a zero, de modo que nmqpq 210229 .

Deste modo, 2 um valor possvel para q.

(De fato, se X repunit XX 29 2 sempre ser repunit).

32) GAB: A

Prolonguemos o lado LK at um ponto X, de modo que

KX=KN. (abrindo a porta)

Seja XLNMLNx

e MNANMy

, temos:

yxMKL

yxMKLyNMA

22

218021802180


Agora por ngulo externo: yxNXLANL

Repare agora que os tringulos LNXLAN e possuem os mesmos ngulos, logo so

semelhantes.

Por semelhana: b

aLA

LX

LN

LN

LA 2 .

_____________

33) GAB: A

Veja que: 2333 224244 , logo:

422222222 332323 A ______________

34) GAB: C

Como cba 0 , temos: ccbanc 3 .

Uma vez que n mltiplo de c, devemos ter cn 2 , logo cba .

Assim, bbanb 4222 , e como n mltiplo de b bn 3 .

Desse modo, n mltiplo de 2 e de 3, ou seja, mltiplo de 6.

______________

35) GAB: D

Temos 122 xx , multiplicando por x:

251222 23 xxxxxx , multiplicando por x:

512212525 24 xxxxxx .

Assim, 496025125125125 34 .

Porm a soma das razes : 1691252 34 a

b.

________________

36) GAB: D

Seja ),( pkkmdcd , temos que d divide k e d divide k p, logo d divide k (k p)= p.

Assim, d = 1 ou d = p.

- 1 Caso: d = p

Nesse caso, devemos ter **22 ,,e ZyZxpypkpxk

0e11))((12222 yxyxyxyxpyppx , absurdo!

- 2 Caso: d = 1

Nesse caso, devemos ter **22 ,,e ZyZxypkxk

1e))((22 yxpyxpyxyxypx , somando:

4

1

2

12

pk

px


37) GAB: C

Pelas equaes temos que 2x e 2y so inteiros, donde 2

1ou xxxx (o mesmo

valendo para o y).

- 1 Caso: yyxx e

13332

22

Ny

Nxy

Nyx,

Absurdo! (y inteiro, portanto o lado esquerdo mltiplo de 3 e o lado direito no)

- 2 Caso: yyxx e2

1

233

32

222

1

Ny

Nxy

Nyx,

Absurdo! (y inteiro, portanto o lado esquerdo mltiplo de 3 e o lado direito no)

- 3 Caso: 2

1e yyxx

53332

2

1

22

NxNxy

Nyx

Absurdo! (x inteiro, portanto o lado esquerdo mltiplo de 3 e o lado direito no)

- 4 Caso: 2

1e

2

1 yyxx

2

1

2

333

322

1

222

1

NyNy

Nxy

Nyx

, nesse caso Zy 2

1, ok!

Temos ento 2

32

2

5 NyNx .

Finalmente, 4

3

2

1

2

3 2

NNNNxy

38) GAB: E

Apesar de, em todos os pases, a desigualdade ter reduzido 10%, a desigualdade global

depende tambm do crescimento da populao de cada pas.

Deste modo, possvel ocorrer uma diminuio da desigualdade, podendo ser, inclusive,

diferente de 10%.

39) GAB: D

Soluo 1:


14121

14121

01153

01753

3

3

23

23

.

Agora olhemos para a funo RRf : , com xxxf 2)( 3 .

A funo f mpar e injetora, portanto:

21111)1( fff .

Soluo 2:

Somando as equaes: 0653 2233 . Seja t , temos:

2222 t e tt 3333 , de modo que:

066353065233 2323 ttttttt fcil ver que 2t soluo, e dividindo por 2t temos a seguinte fatorao:

0332 2 ttt . Vejamos porque o segundo fator no pode ser nulo.

0333 222 Podemos olhar essa equao como uma equao do 2 grau em :

2

111031031

2

22 .

Porm, R ,011103 2 . (De fato, temos 0e0 a nessa funo).

Logo no existe soluo real para o segundo fator.

40) GAB: C

Repare que CBDDC

2 e que BDCCB

.

Essas relaes lembram a ideia de ngulo central e ngulo inscrito,

e de fato, no problema A o centro do crculo circunscrito ao

BCD (*).

Usando isso, temos:

362

108180

BDADBAABAD

, donde

1083672 DPA

Provemos a afirmao (*):

Seja X o centro da circunferncia circunscrita ao BCD , temos que:

36.2 DBCDXC

e 72.2 BDCBXC

Considere o crculo circunscrito ao CDA . Como CDDXC

, X tambm deve pertencer a

esse crculo.


Agora considere o crculo circunscrito ao CBA . Como CBBXC

, X tambm deve

pertencer a esse crculo.

Logo X est na interseo dos crculos circunscritos aos CADCAB e , ou seja,

CXAX ou .

Obviamente CX no faz sentido!

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