Matemática Financeira

Aula 03 – Taxa Real de Juros

Taxa Real de Juros

• Inflação– É o fenômeno conhecido como o aumento

persistente dos preços de bens e serviços

– Fatores: Escassez de produtos, déficit orçamentário, emissão descontrolada de dinheiro, balança de pagamentos, etc.

– Média ponderada dos preços de alguns produtos (cesta básica)

Taxa Real de Juros

• Inflação– Em virtude de a inflação corroer o poder

aquisitivo da moeda, é fundamental analisar a relação das taxas de juros com as taxas de inflação

– Muitas vezes uma aplicação financeira produz resultados que são meramente ilusórios, quando o aplicador não leva em conta a inflação

Taxa Real de Juros

• Índice de Preços

• Variação porcentual de preços

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Taxa Real de Juros

• No início de setembro de certo ano, o preço de um produto era $ 30,00 e, no início de outubro do mesmo ano, era $ 31,00.– Qual o índice de preços deste produto

entre as duas datas?

– Qual a variação porcentual de preços correspondente?

Taxa Real de Juros

• Taxa Acumulada– É a variação porcentual de preços entre a

data inicial ti e a data final tn.

1111 21 nAC jjjj

Taxa Real de Juros

• Em janeiro, fevereiro, março e abril de certo ano, o preço de um produto teve os seguintes aumentos, respectivamente: 1,2%, 1,5%, 0,6% e 0,7%. Qual a taxa acumulada de aumento no quadrimestre?

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• Medidas de Inflação

– A taxa de inflação de um dado mês é a variação porcentual do preço médio da cesta básica naquele mês em relação ao preço médio da cesta básica no mês anterior

– O índice de inflação é definido como 1 (100%) no mês base; em um mês qualquer o índice é igual ao preço médio da cesta básica desse mês dividido pelo preço médio da cesta básica do mês base

Taxa Real de Juros

• Consideremos que, no mês base, o preço médio de uma cesta básica seja $ 500,00 e, nos meses subseqüentes, seja $ 510,00, $ 520,00 e $ 540,00. Obter as taxas de inflação de cada mês, em relação ao mês anterior, e os respectivos índices.

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• Que taxa mensal de inflação (taxa constante) deverá vigorar em cada um dos próximos cinco meses para que a taxa acumulada no período seja de 9%?

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Principais Índices Agregados de Preços

• Índice de Preços por Atacado (IPA)– Calculado mensalmente (FGV)

– Mede as variações de preços de produtos em transações feitas no atacado

– IPA – Conceito Oferta Global

– IPA – Conceito Disponibilidade Interna

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• Índice de Preços ao Consumidor (IPC) e Índice de Custo de Vida (ICV)

– Mede as variações de preços de produtos de consumo de famílias com características bem definidas

– Os órgãos que calculam estes índices dependem da região do país

– Exemplo: Em São Paulo temos o IPC da FIPE (USP) e da FGV, o ICV do DIEESE e o ICVM da OESP

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• Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC)– É calculado pelo IBGE, utilizando-se dados

de 11 regiões metropolitanas do País, com dados de consumo de faixas de renda de um a oito salários mínimos

– Uma variante é o IPCA, que se baseia em dados de consumo na faixa de 1 a 40 salários mínimos

A ponderação das despesas

Tipo de Gasto Peso % do Gasto

Alimentação 25,21

Transportes e comunicação 18,77

Despesas pessoais 15,68

Vestuário 12,49

Habitação 10,91

Saúde e cuidados pessoais 8,85

Artigos de residência 8,09

Total 100

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• Índice geral de Preços (IGP)– É um dos mais populares, calculado

mensalmente pela FGV

– O índice é dado pela média ponderada dos seguintes índices:• IPA com peso 0,6 (60%)

• IPC do Rio de Janeiro com peso 0,3 (30%)

• Índice Nacional da Construção Civil (INCC) com peso 0,1 (10%)

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• Índice geral de Preços (IGP)– Pode ser dado no conceito de oferta global

ou no conceito de disponibilidade interna

– O período de coleta de dados é do 1º ao 30º dias de cada mês, e a taxa de inflação é divulgada por volta do 15º dia do mês seguinte

Mês / Ano Índice do mês Índice acumulado últimos 12 meses Número índice

(em %) no ano (em %) (em %) acumulado a partir

de Jan/93

jul/10 0,22 5,7085 5,9832 1.112,74

jun/10 0,34 5,4764 5,0737 1.110,30

mai/10 1,57 5,119 4,3826 1.106,53

abr/10 0,72 3,4941 2,954 1.089,43

mar/10 0,63 2,7543 2,259 1.081,64

fev/10 1,09 2,111 0,7652 1.074,87

jan/10 1,01 1,01 -0,4509 1.063,28

dez/09 -0,11 -1,4364 -1,4364 1.052,65

nov/09 0,07 -1,3279 -1,762 1.053,81

out/09 -0,04 -1,3969 -1,762 1.053,07

set/09 0,25 -1,3574 -0,6515 1.053,49

ago/09 0,09 -1,6034 -0,5425 1.050,86

Índice Geral de Preços – IGP-DI

Taxa real de Juros

• Índice Geral de Preços de Mercado (IGP-M)– Criado em 1989

– Metodologia semelhante à do IGP tradicional, só que o período de coleta de dados para o cálculo do preço médio da cesta básica é do 21º dia de cada mês ao 20º dia do mês seguinte; neste caso, a taxa de inflação é divulgada no final de cada mês

Índice Geral de Preços de Mercado – IGP-M

Mês/ano Índice do mês Índice acumulado últimos 12 meses Número índice

(em %) no ano (em %) (em %) acumulado a partir

de Jan/93

jul/10 0,15 5,8476 5,7927 1.030,33

jun/10 0,85 5,6891 5,18 1.028,79

mai/10 1,19 4,7983 4,1892 1.020,12

abr/10 0,77 3,5659 2,8919 1.008,12

mar/10 0,94 2,7745 1,9525 1.000,42

fev/10 1,18 1,8174 0,2556 991,1039

jan/10 0,63 0,63 -0,6559 979,5453

dez/09 -0,26 -1,7123 -1,7123 973,4128

nov/09 0,1 -1,4561 -1,5842 975,9503

out/09 0,05 -1,5545 -1,3089 974,9753

set/09 0,42 -1,6037 -0,3915 974,488

ago/09 -0,36 -2,0152 -0,699 970,4123

Taxa Real de Juros

• Taxa Real de Juros 11 1 iPS

jPjPPS 12

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Capital aplicado a uma taxa i

Inflação no período j

Ganho real

Taxa Real de Juros

• Um capital foi aplicado, por um ano, à taxa de juros igual a 22% a.a. No mesmo período, a taxa de inflação foi de 12%. Qual a taxa real de juros?

• Um capital foi aplicado por seis meses a uma taxa de 7% a.s. No mesmo período, a taxa de inflação foi de 9%. Qual a taxa real da aplicação?

Taxa Real de Juros

• Atualização Monetária– Foi criada em meados da década de 1960,

utilizava como indexador a variação das Obrigações Reajustáveis do Tesouro Nacional (ORTN)

– Em 1991 foi criada a Taxa Referencial (TR), visando a dar uma medida para a expectativa de inflação

Taxa Real de Juros

• Atualização Monetária– Assim, a partir de taxas médias de

aplicações financeiras prefixadas, eliminando-se a taxa real embutida, obtém-se a TR

– Atualmente, os valores da TR são dados diariamente, sendo a taxa válida de um dia do mês até o mesmo dia do mês seguinte

– Os indexadores mais utilizados são: a TR, o IGP-DI, o IGP-M e o INCC

Taxa Real de Juros

• Atualização Monetária– Consideremos um valor monetário P,

contratado na data 0, para ser pago na data n (já com juros reais embutidos), com correção monetária entre as duas datas

nACAC jjjPjPPjP 1111 21

Taxa Real de Juros

• Um indivíduo comprou um terreno pagandouma pequena entrada mais três prestaçõesanuais de $ 15.000,00 cada (estas prestaçõesjá embutem um juro real), corrigidasmonetariamente pelas taxas de indexaçãoentre a data da compra e a data dopagamento. Consideremos que as taxas deindexação sejam de 10% no primeiro ano, 15%no segundo ano e 20% no terceiro. Quais osvalores das prestações corrigidasmonetariamente?

Taxa Real de Juros

• Inflação e Deflação– Na presença de inflação, em longos períodos

de tempo, fica difícil analisar o comportamento de uma série histórica de valores monetários utilizando-se a moeda corrente

– Uma das maneiras de eliminar o efeito inflacionário consiste em expressar todos os valores em moeda de poder aquisitivo constante (UR)

Taxa Real de Juros

• Um investidor aplicou $ 70.000,00 em uma carteira de ações que passou a valer $ 35.000,00 seis meses depois. No mesmo período a inflação foi de 8%. Qual a sua taxa real de perda?

• Durante dois semestres consecutivos, as taxas de inflação foram de 9% e 12%. Se um investidor aplicou seu dinheiro no mesmo período a uma taxa de juros de 19% a.a., qual sua taxa real de perda?

Taxa Real de Juros

• Caderneta de Poupança– Os rendimentos são dados por uma taxa

real de 0,5% a.m., mais correção monetária dada pela TR do período considerado

– Os rendimentos são isentos de tributação

005,11 jPSPOUP

Taxa Real de Juros

• Uma pessoa aplicou $ 3.000,00 em uma caderneta de poupança.– Qual o seu montante 30 dias depois,

sabendo-se que a TR neste período foi de 0,7%?

– Qual o seu montante 60 dias após a aplicação inicial, sabendo-se que a TR dos últimos 30 dias foi de 0,4%?

– Qual a taxa efetiva de juros no período de 60 dias?

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Exercícios

1) Um investidor abriu uma caderneta de poupança com $ 5.000,00. Qual seu montante três meses depois, sabendo-se que as taxas mensais de correção monetária foram de 1,4%, 1,1% e 0,96%?

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2) Em janeiro, fevereiro, março e abril de um certo ano, as taxas de inflação foram, respectivamente, 1,3%, 1,2%, 0,8% e 0,77%. Obtenha uma unidade de referência com valor de $ 1,00 no dia 31 de Dezembro do ano anterior

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3) Um investidor aplicou $ 10.000,00 em um CDB e recebeu um montante de $ 10.200,00 um mês depois. No mesmo período, a taxa de inflação foi de 1,2%. Qual a taxa de juros auferida no período?

Taxa Real de Juros

4) Uma empresa levanta um empréstimo para capital de giro por dois meses à taxa de 4% a.b. Qual deverá ser a taxa de inflação no período para resultar em uma taxa real de 2,2% a.b.?

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5) Em agosto de um certo ano, o preço de um produto aumentou 2% e, em setembro do mesmo ano, aumentou 3%. Qual a taxa de aumento acumulado no bimestre?

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6) Um imposto municipal é cobrado de uma pessoa em três parcelas mensais de $ 600,00 cada, pagas em 30/60/90 dias e atualizadas monetariamente. Qual o valor de cada parcela após a correção, considerando as seguintes taxas de atualização: 0,9% no primeiro mês, 1,5% no segundo mês e 1,2% no terceiro mês?

Taxa Real de Juros

7) Um investidor aplicou $ 30.000,00 por um ano e resgatou um montante de $ 36.000,00. Na data da aplicação, um certo índice de preços valia 123,34 e, na data do resgate, valia 140,61. Qual a taxa real auferida na aplicação?

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8) A taxa de inflação acumulada em cinco meses foi de 8%. Qual deverá ser a taxa de inflação no sexto mês para que a taxa acumulada no semestre seja de 10%?