CAPÍTULO VII - ANÁLISE DIMENSIONAL E SIMILARIDADE

1.Introdução

Capítulos anteriores Princípios fundamentais

Equações gerais da TQM

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

solução analítica

simples

complicadas

particulares

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

1

conclusão : simplificações

admissíveis em cada caso

Introdução de Simplificaçõessistema manipulável de

equações diferenciais

estudo experimental prévio

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

admissíveis em cada caso

Estudos experimentais o cientista ou engenheiro

MODELOS*

(* escala reduzida em relação aos sistemas reais)

extrapolando os resultados obtidos para as dimensões

dos sistemas reais (scale-up) 2

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Dados quantitativos precisos

geométrica, cinemática e dinâmica

Modelo

estudo necessário para que haja semelhança

(ou similaridade)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

geométrica, cinemática e dinâmica

* Para realizar a escalada, ou scale-up, procura-se estabelecer critérios

que asseguram a “semelhança” de comportamento entre o modelo e o

sistema real .

.

3

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Equações apresentadas até o momento

Homogeneidade Dimensional

Método: Análise Dimensional

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

grupos de variáveis que compõem os

chamados grupos adimensionais

reduzem o número original de variáveis e

número de dados experimentais 4

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

2. Semelhanças ou Similaridades e Teoria do Modelo

Similaridade Geométrica

T eoria da similaridade (origem)

generalizado de modo a abranger

similaridade de figuras

geométricas

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

generalizado de modo a abranger

outras características do sistema

Dois triângulos ou polígonos com o mesmo no

de lados são geometricamente semelhantes,

quando os ângulos correspondentes são iguais

e os lados correspondentes são proporcionais

A B B'

C

C'

ABAB

ACAC

BCB C′

=′=

′ ′5

Triângulos semelhantesTriângulos semelhantes

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

y

xO

R Q

S

P

y

x

O

R Q

S

P

'

' '

'

'

''

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

'

Polígonos semelhantesPolígonos semelhantes

6

O´R´

OR

Q´R´

QR

P´Q´

PQ

O´P´

OP===

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Considerando dois sistemas

(real e o seu modelo)

A) Existe uma correspondência biunívoca* ponto a ponto, conjunta entre os

dois sistemas. Curvas, áreas e volumes tomados por pontos são igualmente

correspondentes.

B) Escolhe-se um sistema coordenadas

geometricamente semelhantes , se:

Coordenadas cartesiana

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I B) Escolhe-se um sistema coordenadas

(x, y, z) e (x’, y’, z’)

Coordenadas cartesiana

7

*A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder".

L===zz

yy

xx ´´´

( fator de escala linear)( fator de escala linear)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

D) Para A e A' áreas de duas curvas correspondentes 2L=

AA´

C) Para l e l’ comprimentos de duas curvas

correspondentesL=

ll

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

ϕ = ϕ′

8

E) Para V e V’ volumes correspondentes 3L=

VV

F) Para ϕ e ϕ’ dois ângulos correspondentes

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

* Similaridade dos movimentos entre os sistemas

* Estabelecida uma correspondência entre as escalas de tempo do

sistema e do modelo

Similaridade Cinemática

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

* Se existir uma correspondência biunívoca e

completa entre as partículas de dois sistemas

tal que t e t’ sejam dois tempos

correspondentes

′tt

= λ

partículas

correspondentes

9

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

* Se dois sistemas - o protótipo e seu modelo -

partículas correspondentes ocupam pontos correspondentes

geometricamente semelhantes

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

sistemassistemas sãosão cinematicamentecinematicamente correspondentescorrespondentes

tempos correspondentes

10

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

A semelhança geométrica é uma condição necessária, mas não suficiente

para haver semelhança cinemática dos escoamentos.

11

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Então:

′ =′

v xdx

dt´′ =

′v y

d y′ =

′v z

dz

′=

′=

´= ⇒

′=

′=

′=

x

x

y

y

z

zL

dx

dx

dy

dy

dz

dzL

v dx

dt= v dy

dt= v dz

dt= ′ = =t

t

′dt

dtλ λzyx

dt´ dt´

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Logo: ou

fatorfator dede escalaescala dede velocidadevelocidade

′=

′=

′=

v x v y

v

v zv

L

λvx y z

(x ' , y' , z' , t' ) = L

λV (x, y, z, t)V

fatorfator de de escalaescala de de aceleraçãoaceleraçãoa(x ' , y' , z' , t' ) = L

λ2

a (x, y, z, t) 12

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Similaridade Dinâmica

* Esta existe, quando sobre volumes correspondentes, atuam forças em direções

correspondentes e módulos proporcionais.

Homogeneidade adimensional uma dada equação que descreve

um dado escoamento

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

razão entre um e outro termo da equação

seja necessariamente adimensional

cada termo da equação tenha a mesma unidade

13

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Exemplo clássico

cada um dos termos tem um

significado físico

Conhecendo o significado físico de cada um dos termos da equação

interpretação física para os parâmetros adimensionais formados

Equação de Navier-Stokes

DVDt

= g - ∇p

ρ+ ν ∇

2V

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

significado físicoDVDt

= g - ∇ρ

+ ν ∇ V

g forçaforça gravitacionalgravitacional, g, g

∇p forçaforça de de pressãopressão, p/, p/ρ L

forçasforças viscosasviscosas, , ν v

L2

forçaforça de de aceleraçãoaceleração ouou de de inérciainércia, v /L2DVDt

= V

t+ vx

V

x+ vy

V

y+ vz

V

z∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

14

v2r∇ν

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

A razão entre dois desses grupos quaisquer será adimensional

Dividido cada um dos termos do

lado direito da equação de N-S

Parâmetros ou grupos adimensionais – análise de escoamento de fluidos

Grupo Razão de forçasrepresentativas

Nome Símbolo

Número de

Reynolds

Re

µ

ρvL viscosaForça

inércia de Força

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

pela força de inércia

15

Número de

Froude

Fr

Número de

Euler

Eu

gL

v2

nalgravitacio Força

inércia de Força

inércia de Força

pressão de Força

2vp

ρ

Re p/ tubo, o comprimento significativo é o diâmetro

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

16

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Se em sistemas geometricamente semelhantes, os números adimensionais

(Fr, Eu, Re) forem iguais

os sistemas são dinamicamente semelhantes

Razão das forças

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Estendível ao sistema real

* Similaridade dinâmica é um requisito fundamental para o scale-up

Ex.: Frp = Fr mRep = Re m

17Protótipo – escala anterior a industrial

Modelo – padrão (bancada, laboratório)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Exercício 1:

Petróleo a 30°C escoa através de um oleoduto de 0,75m de

diâmetro interno com uma velocidade média de 2,5m/s.

Com que velocidade deve a água (ν = 8 10-7 m2/s) escoar no

interior de uma tubulação com 0,075m de diâmetro interno,

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

interior de uma tubulação com 0,075m de diâmetro interno,

para que os escoamentos sejam semelhantes. Considere

νpetróleo= 6 10-6 m2/s.

18

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Método de Buckingham (Π )

Numa situação na qual não há uma equação diferencial que

descreva o sistema

análise dimensional (importante)

Procedimento generalizado

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

listar as variáveis significativas

do problema

Procedimento generalizado

Método de Buckingham (Π)

determinar o número de

parâmetros adimensionais

19

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Etapas para aplicação da análise dimensional

1. Escolher as variáveis que intervêm no fenômeno. Isto requer um certo

conhecimento do mesmo

2. Escrever a relação funcional, como por exemplo, F (v, D, ρ, µ ,H) = 0

3. Determinar o número de grupos adimensionais, na forma:

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

3. Determinar o número de grupos adimensionais, na forma:

i = n - k

onde : i = número de grupos adimensionais

n = número de variáveis envolvidas

k = número de dimensões do problema

20

Pro

fa.

Kat

ia T

anno

us

4. Selecionar as grandezas da base

* NãoNão escolhaescolha aa grandezagrandeza dependentedependente parapara formarformar aa basebase. As variáveis devem

contêm todas as dimensões envolvidas. Muitas vezes, escolhe-se condições

cinemáticas, uma variável ligada às forças ou massa do sistema, por exemplo: D,

v, ρ.

OBS: deve-se escolher a maior matriz quadrática, onde obtém-se o maior determinante

não nulo. A matriz dimensional é simplesmente a matriz formada pelos expoentes das

dimensões fundamentais M, L e T que aparecem em cada variável envolvida

Unic

amp

/FE

Q/E

Q5

41

Fen

ôm

eno

s d

e T

ransp

ort

e I

-P

rofa

. K

atia

Tan

no

us

dimensões fundamentais M, L e T que aparecem em cada variável envolvida

21

Π1 = v a Db ρc µd = (LT-1)a (L)b (ML-3)c ML-1 T -1

(grupo independente)

5. Escrever os parâmetros Π em termos dos expoentes

Pro

fa.

Kat

ia T

anno

us

6. Para cada parâmetro Π, escrever as equações lineares de modo que a soma dos

expoentes de cada dimensão seja nula

M0 L0T 0 = 1 = ( Lt -1)a (L)b (ML-3)c ML-1 T-1 (grupo dimensional)

7. Resolver os sistemas de equações lineares.

8. Substituir os expoentes nas expressões do item 5 para obter os parâmetros

adimensionais

Unic

amp

/FE

Q/E

Q5

41

Fen

ôm

eno

s d

e T

ransp

ort

e I

-P

rofa

. K

atia

Tan

no

us

22

9. Estabelecer a relação funcional

φ1 (Π1, Π2 , Π3, ...., Π n-k ) = 0

10. Se for o caso, combinar os parâmetros Π para alterar suas formas,

mantendo inalterado o número de adimensionais independentes

Π2 = f (Π1, Π3, ..., Πn-k )

DIMENSÕES DE ALGUMAS GRANDEZAS

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

23

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Métodos dos Mínimos Quadrados

Os dados obtidos experimentalmente podem visar o dimensionamento de unidades

maiores ou podem ser utilizados para a compreensão de fenômenos ou

comportamento que ocorrem em dada situação.

Nestes dois últimos casos é interessante obter uma equação que relacione os dados

experimentais, de modo a evitar a apresentação dos resultados somente através de

Tabelas.

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

24

Tabelas.

Para o ajuste de curvas, ou seja, funções a partir de dados experimentais existem

vários métodos numéricos, dos quais a mais simples é o método dos mínimos

quadrados.

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annousConsidere as seguinte propriedades do fluido (ρ, γ, µ, σ, E), as características

cinemáticas e dinâmicas dos escoamentos (v, ∆p) e características geométricas

e dinâmicas do escoamento (L1,L2,L3 ou diâmetro).

Encontrar os seguintes números adimensionais, que são frequentes na mecânica

Exemplo 2:

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Encontrar os seguintes números adimensionais, que são frequentes na mecânica

de fluidos: Froude, Reynolds, Cauchy (ou Mach), Weber, Euler, fatores

geométricos.

Defina as forças envolvidas em cada um destes números.

25