matemática / estatística

Matemática / Estatística Matemática / Estatística

REDE DOCTUM DE ENSINO

CURSO DE CIÊNCIAS BIOLÓGICAS

Prof. REGINALDO NASCIMENTO ROCHA

www.professorreginaldo.com

http://www.professorreginaldo.com/

Matemática / Estatística Matemática / Estatística EXERCÍCIOS DE REVISÃO

a) 15.( 5 ) b) 150÷30 c) Raiz quadrada de 81 d) (- 12).(- 3) e) (-5).( 30) f) 4. (-15) g) (-10) ÷ (2) h) 25 ÷ (-5) i) (-100) ÷ (-20) j) 12 . (- 5) . (-3) k) (15 ÷ 3) . (- 2) - 20 + 10 L) 2 . 4 - 10 - 38 m) (23 -30) . (0) n) (0) ÷ 100 0) 25 ÷ 0

p) Um menino tinha 100 bolinhas. Ele decidiu fazer as seguintes operações: vendeu 1/4 do total de 100 bolinhas; deu de presente 1/5 do total de 100 bolinhas ao seu irmão. Após essas operações, ele decidiu ficar com 28 bolinhas e dividir o restante entre três amigos. Com quantas bolinhas cada amigo ficou?

q) Uma caixa d'água de 5.000 litros foi preenchida com 2/3 de água. Uma outra caixa d'água de 10.000 litros foi preenchida com 3/5 de água. Qual a quantidade total de água usada nas duas caixas?

r) Quanto vale 20% de 100? s) Quanto vale 35% de 160?

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Chamamos equação do 1º grau toda equação do tipo: ax + b = 0 , em que “x” é a variável e “a” e “b” são coeficientes reais.

Exemplo: Na equação de 1º Grau -2x + 3 = 0, o valor do coeficiente “a” será sempre aquele que acompanha o “X”, e o valor do coeficiente “b” será o número que aparece sozinho. Quando não existir esse número sozinho é porque ele vale “zero”. Assim, no exemplo dado:

a = - 2 e b = 3

Exercícios: Identifique os coeficientes a e b das equações abaixo:

a) 8x – 240 = 0 b) 5x + 10 = 0 c) - 3x = 0 d) x + 12 = 0

RAIZ DA EQUAÇÃO DE 1º GRAU

Considere a equação do 1º grau 6x - 72 = 0. Vejamos o que acontece quando substituímos a variável “x” pelos valores 2, 10, e 12:X = 2 => 6x - 72 = 0 => 6. 2 - 72 = 0 => 12 – 72 = 0 = > - 60 = 0 (falso)X = 10 => 6x - 72 = 0 => 6. 10 - 72 = 0 => 60 – 72 = 0 = > – 12 = 0 (falso)X = 12 => 6x - 72 = 0 => 6. 12 - 72 = 0 => 72 – 72 = 0 = > 0 = 0 (verdadeiro) Note que, para x = 12 a equação transforma-se numa sentença verdadeira. O valor 12 é chamado raiz da equação. Logo, Raiz de uma equação de 1º grau é o número real que transforma essa equação numa sentença matemática verdadeira.

Exercícios: Ache as raízes das equações seguintes: a) x – 6 = 0 b) 5x + 20 = 0 c) – 6x + 30 = 0 d) x + 6 = - 2x e) 21x - 42 = 0 f) 7x + 12 = x + 24 g) - 6x + 6 = - 5x h) x – 6 = - 3x + 2 i) x – 2 = - 2 j) 8x + 12 = 12

FUNÇÃO DE 1º GRAU:

Chama-se Função de 1º grau toda função do tipo f(x) = ax + b . A nomenclatura f(x) é comumente chamada de “y”. O gráfico de uma função de 1º grau é uma reta. Veja o seguinte exemplo: sabe-se que uma bactéria, ao entrar no organismo humano, se multiplica segundo a seguinte fórmula: y = 2x + 1. Sendo “y” o número de bactérias e “x” o número de dias em que ela, e sua descendência, permanece no organismo. Pede-se:a)No décimo dia, quantas bactérias existirão?b) Construa o gráfico da evolução da quantidade de bactérias.


FUNÇÃO DE 1º GRAU: Para se fazer o gráfico de uma função de 1º Grau siga as seguintes dicas: 1) Deve-se escolher valores para “x”2) Depois substituir os valores escolhidos para “x” na função y = 2x + 13) Para cada “x” escolhido será achado um “y” correspondente, formando “pontos” de um gráfico.4) Esses pontos “x” e “y” devem ser marcados e interligados no gráfico, onde “x” é a abscissa (linha horizontal) e “y” é a ordenada (linha vertical).

- EXERCÍCIOS: FAÇA O GRÁFICO DAS FUNÇÕES DE 1º GRAU SEGUINTES: a) y = x + 3 b) y = 3x c) y = x - RESOLVA OS PROBLEMAS SOBRE FUNÇÃO DE 1º GRAU:

- Uma árvore cresce segundo a função de 1º grau seguinte: y = 2x, onde “y” representa o tamanho (altura) da árvore em metros e “x” representa o tempo em anos. Pede-se: a) Qual será o tamanho da árvore após 12 anos? b) Depois de quantos anos a árvore terá atingido 30 metros de altura? - Um vírus, ao se infiltrar no corpo humano, se multiplica com alta velocidade, segundo a fórmula y = 4x + 1. Sendo “y” o número de vírus e “x” o número de dias que o vírus permanece no organismo, Pede-se: a)Qual a quantidade de vírus estará presente no organismo após 75 dias?b) Após 1 ano (365 dias), qual a quantidade de vírus no organismo?


EQUAÇÃO DO 2º GRAU Chamamos equação do 2º grau toda equação do tipo: ax2 + bx + c = 0 , em que “x” é a variável e “a”, “b” e “c” são coeficientes reais, com a # 0. Exercícios: Identifique os coeficientes “a”, “b” e “c” das equações abaixo: a) x2 + 8x – 240 = 0 b) 3x2 + 5x + 10 = 0 c) - 3x2 - 2x = 0 d) 5x2 + 12 = 0 RAÍZES DA EQUAÇÃO DE 2º GRAU

Raiz de uma equação de 2º grau é o número real que transforma essa equação numa sentença matemática verdadeira. Mas como achar essas raízes?-Segue a fórmula de Bhaskara: ∆= b2 - 4ac -Seguem as fórmulas para achar as raízes:

REGRAS:Se ∆ > 0, então existem duas raízes para o problema.Se ∆ = 0, então existe apenas uma raiz para o problema.Se ∆ < 0, então não existem raízes para o problema.

Exercícios: Ache as raízes das equações de 2º grau seguintes: a) x² + x – 6 = 0 b) 2x² + 5x + 2 = 0 c) x² – 6x + 5 = 0 d) 5x² + 6 = 0 e) X² + 8x + 12= 0


Matemática / EstatísticaMatemática / Estatística

Margotto, PR (ESCS) www.paulomargotto.com.br

Os testes estatísticos são utilizados para:

¤ Comparar amostras(saber se houve modificação dos grupos inicialmentesemelhantes após o início da intervenção)

¤ Detectar variáveis interferentes

¤ Analisar se o tratamento depende de outras variáveis (peso, idade, sexo)



A ciência não é um conhecimento definitivo sobre a realidade, mas é um conhecimento hipotético que

pode ser questionado e corrigido.

Ensinar ciências não significa apenas descrever fatos, anunciar leis e apresentar novas descobertas, mas

Maneira crítica e racional de buscar conhecimento: Método

Indutivo; Dedutivo; Descritivo.

Vieira S., 1991.

Ensinar o método científico

- Variáveis (dados):- Qualitativas :(diferentes categorias sem valores numéricos):

- Quantitativos ou Contínuos: (dados expressos por nº): idade, altura, peso, renda familiar

- População e Amostra:- População: Conj. de elementos com determinada

característica- Amostra: Subconjunto com menor nº de elementos

- Independentes: grupo selecionados com tratamento distinto- Dependentes: para cada elemento do grupo tratado existe

um grupo controle semelhante (sexo, idade, etc)




Nascidos vivos na Maternidade “X” segundo o ano de registro

Título

Cabeçalho (separado do corpo por um traço horizontal)

Ano de RegistroAno de Registro FreqüênciaFreqüência Freqüência relativaFreqüência relativa1998 (1)1998 (1) 83288328 32,88 32,88 (8828/25494)

1999 (1)1999 (1) 82148214 32,2232,22

2000 (1)2000 (1) 88988898 34,9034,90

Coluna indicadora

TotalTotal 2549425494 100100

Fonte: Margotto, PR (2001)Fonte: Margotto, PR (2001)Nota: dados retirados do livro da sala de parto Nota: dados retirados do livro da sala de parto (1): os RN < 500g não foram incluídos(1): os RN < 500g não foram incluídos.



Tabela de Contingência ou de Dupla Entrada(cada entrada é relativa a um dos fatores)

Gestantes sem pré-natal/gestantes com pré-natal e mortalidade perinatal

FatorFator Mortalidade PerinatalMortalidade Perinatal TotalTotal

Sim NãoSim Não

Gestantes sem pré-natal Gestantes sem pré-natal

55 83355 833 938938

Gestantes com pré-natal Gestantes com pré-natal 156 6720156 6720 68766876

Permite calcular o risco, a freqüência (incidência) entre expostos e não

expostos a um determinado fator (será discutido adiante).

INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 05

COLETA E APRESENTAÇÃO DE DADOS:

COLETACOLETA OBSERVAÇÃOOBSERVAÇÃO

DIRETADIRETA

INDIRETAINDIRETA

APURAÇÃO EAPURAÇÃO E

APRESENTAÇÃOAPRESENTAÇÃO

TABELASTABELAS

GRÁFICOSGRÁFICOS

Exportações bras ileiras

03/95

SP 1344

MG 542

RS 332

ES 285

PN 250

SC 202

Fonte: SECEX

Ex p o r ta ç õ e s b r a s ile ir a s

0 3 /9 5

0

500

1000

1500

SP MG RS E S P N SC

Es tad o

US

$ m

ilh

õe

s

INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 06

GRÁFICOS PARA APRESENTAÇÃO DE DADOS:

A M O S T R A N º 2 0D E F E IT O S F R E Q U Ê N C IA

A 2 8B 2 0C 1 4D 1 3E 1 0F 5

C Q - 0 1 /0 2 / 99

C O L UNA S

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

A B C D E F

DEFEIT O S

FR

EQ

UÊ

NC

IA

B A R R A S

0 1 0 2 0 3 0

A

B

C

D

E

F

DE

FE

ITO

S

F REQ U Ê NC IA

L IN H A S

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

A B C D E F

D EF EIT O S

FR

EQ

UÊ

NC

IA

P IZ Z A

A31 %

B22 %

C16 %

D14 %

E11 %

F6 %

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 08

A Distribuição de freqüência compreende um

arranjo tabular dos dados por classes, juntamente

com suas freqüências correspondentes.

Dados Brutos e Rol:

Intervalos de variação de uma variável.

li Li

AMOSTRAS10831575191812

AMOSTRAS35781012151819

AMOSTRAS

00 |---------- 05

05 |---------- 10

10 |---------- 15

15 |---------- 20

ClassesClasses


Tipos de freqüências:

Freqüência absoluta ( fi ) são os valores

que realmente representam o número de

dados de uma classe.

Freqüência relativa ( fri ) são os valores

das razões entre as freqüências simples e

a freqüência total.

Freqüência acumulada ( Fi ) é o total da

das freqüências de todos os valores infe-

riores ao limite superior do intervalo de

uma dada classe.

Freqüência acumulada relativa ( Fri ) é

a freqüência acumulada da classe, divi-

dida pela freqüência total.

nfi

fi

fifri

fiFi

fi

FiFri


Regras gerais de uma distribuição de freqüências:

1 - Após ordenação dos dados de forma tabulada, deter-

minar o maior e menor número e, então, calcular a

amplitude total do rol ( R );

2 - Definir o número de classes ( K );

3 - Determinar as freqüências de classe ( fi , fri , Fi e Fri ).

Exemplo:

i ESTATURAS xi fi fri FI Fri

[ cm ]

1 155 |----- 161 158 2 0,067 2 0,067

2 161 |----- 167 164 4 0,133 6 0,200

3 167 |----- 173 170 7 0,233 13 0,433

4 173 |----- 179 176 9 0,300 22 0,733

5 179 |----- 185 182 5 0,167 27 0,900

6 185 |----- 191 188 3 0,100 30 1,000

30 1,000

ESTATURAS DE ALUNOS [ cm ]

155 158 162 164 165 166 167 168 168 170

170 171 172 173 174 174 175 176 176 177

178 178 180 183 183 184 184 185 188 190

UFES


Histogramas:

Polígonos:

ESTATURA DE ALUNOS

0

2

4

6

8

10

158 164 170 176 182 188

ESTATURAS [ cm ]

FR

EQ

.

ESTATURA DE ALUNOS

0%

20%

40%

60%

80%

100%

158 164 170 176 182 188

ESTATURAS [ cm ]

FR

EQ

.

ESTATURA DE ALUNOS

0

2

4

6

8

10

158 164 170 176 182 188

ESTATURAS [ cm ]

FR

EQ

.

ESTATURA DE ALUNOS

0%

20%

40%

60%

80%

100%

158 164 170 176 182 188

ESTATURAS [ cm ]

FR

EQ

.



- Tabelas de distribuição de freqüências:Peso ao nascer de nascidos vivos, em Kg

2,5222,522 3,2003,200 1,9001,900 4,1004,100 4,6004,600 3,4003,400

2,7202,720 3,7203,720 3,6003,600 2,4002,400 1,7201,720 3,4003,400

3,1253,125 2,8002,800 3,2003,200 2,7002,700 2,7502,750 1,5701,570

2,2502,250 2,9002,900 3,3003,300 2,4502,450 4,2004,200 3,8003,800

3,2203,220 2,9502,950 2,9002,900 3,4003,400 2,1002,100 2,7002,700

3,0003,000 2,4802,480 2,5002,500 2,4002,400 4,4504,450 2,9002,900

3,7253,725 3,8003,800 3,6003,600 3,1203,120 2,9002,900 3,7003,700

2,8902,890 2,5002,500 2,5002,500 3,4003,400 2,9202,920 2,1202,120

3,1103,110 3,5503,550 2,3002,300 3,2003,200 2,7202,720 3,1503,150

3,5203,520 3,0003,000 2,9502,950 2,7002,700 2,9002,900 2,4002,400

3,1003,100 4,1004,100 3,0003,000 3,1503,150 2,0002,000 3,4503,450

3,2003,200 3,2003,200 3,7503,750 2,8002,800 2,7202,720 3,1203,120

2,7802,780 3,4503,450 3,1503,150 2,7002,700 2,4802,480 2,1202,120

3,1553,155 3,1003,100 3,2003,200 3,3003,300 3,9003,900 2,4502,450

2,1502,150 3,1503,150 2,5002,500 3,2003,200 2,5002,500 2,7002,700

3,3003,300 2,8002,800 2,9002,900 3,2003,200 2,4802,480 --

3,2503,250 2,9002,900 3,2003,200 2,8002,800 2,4502,450 --

Como transformar está tabela em uma Tabela de Distribuição de Freqüência ?

Menor peso: 1570g

Maior peso: 4600g



- Tabela de distribuição de freqüências- Definir as faixas de peso (Classes em Kg):

PESOSPESOS Ponto MédioPonto Médio FreqüênciaFreqüência

1,51,5ΙΙ— 2,0— 2,0 1,751,75 33

2,02,0Ι—Ι— 2,5 2,5 2,252,25 1616

2,52,5Ι—Ι— 3,0 3,0 2,752,75 3131

3,03,0Ι—Ι— 3,5 3,5 3,253,25 3434

3,53,5Ι—Ι— 4,0 4,0 3,753,75 1111

4,0 4,0 Ι—Ι— 4,5 4,5 4,254,25 44

4,54,5Ι—Ι— 5,0 5,0 4,754,75 11

- Cálculo do R (Amplitude Total = maior valor - menor valor).-N º de classes: K = Raiz de n (<100) ou K = 1+ 3,222 log n (≥ 100) no exemplo: K = 1 + 3,222 log 100 = 7,444 (7 ou 8 classes)- Intervalo de classe (h) = R / K- Extremos da classe: limites inferior (1,5) e limite superior (2,0) Obs: pertencem à 1ª classe os Valores 1,5 e inferiores à 2,0 Kg.



Medidas de Tendência Central

MÉDIA / MODA / MEDIANA

•Para dados não agrupados(quando se tem uma quantidade pequena de dados)

Peso ao nascer em Kg de 12 RNPeso ao nascer em Kg de 12 RN

2,52,5 2,02,0 3,03,0 4,04,0

3,03,0 1,01,0 1,51,5 2,52,5

3,53,5 1,51,5 2,52,5 1,01,0

Obs: coloque sempre os dados na ordem crescente.A média: X = 1,0+1,0+1,5+ ... 4,0 = 2,3 ….e a Moda e Mediana?

12



MEDIDAS DE POSIÇÃO 19

Exemplos de Média aritmética para dados agrupados:

1º - Sem intervalo de classe:

2º - Com intervalo de classe:

COMPOSIÇÃO FAMILIAR

Nº DE MENINOS fi xi fi

0 2 0

1 6 6

2 10 20

3 12 36

4 4 16

34 78

ES T A T U R A D E A L UN O S

i ES T A T U R AS [ c m ] x i f i x if i

1 1 50 | --- -- 1 54 1 52 4 6 08

2 1 54 | --- -- 1 58 1 56 9 14 04

3 1 58 | --- -- 1 62 1 60 11 17 60

4 1 62 | --- -- 1 66 1 64 8 13 12

5 1 66 | --- -- 1 70 1 68 5 8 40

6 1 70 | --- -- 1 74 1 72 3 5 16

40 64 40

29,234

78

i

ii

f

fxX

16140

6440

i

ii

f

fxX


Relações entre a Média, Moda e Mediana:

Assimetria Positiva ou à direitaAssimetria Positiva ou à direita

MoMo MdMd MédiaMédia

MédiaMédia = = MdMd = = MoMo

SimetriaSimetria

MédiaMédia MdMd MoMo

Assimetria Negativa ou à esquerdaAssimetria Negativa ou à esquerda




Exemplo de Moda para dados agrupados:

ES T A T U R A D E A L UN O S

i ES T A T U R AS [ c m ] x i f i x if i

1 1 50 | --- -- 1 54 1 52 4 6 08

2 1 54 | --- -- 1 58 1 56 9 14 04

3 1 58 | --- -- 1 62 1 60 11 17 60

4 1 62 | --- -- 1 66 1 64 8 13 12

5 1 66 | --- -- 1 70 1 68 5 8 40

6 1 70 | --- -- 1 74 1 72 3 5 16

40 64 40

6,159432

2158

3811

2911

)(*

2

)(*

1

*

21

1*

Mo

ffD

ffD

hDD

DlMo

post

ant


A Moda para dados agrupados:

1º Caso: Sem intervalos de classe

Ex.:

Mo = 2

2º Caso: Com intervalos de classe

CO MPO SIÇÃO FAMILIAR

M ENIN OS fi

0 2

1 6

2 12

3 4

4 1

soma: 25

*

21

1*

**

2

hDD

DlMo

LlMobruta

)(*

2

)(*

1

post

ant

ffD

ffD




Exemplo de Mediana para dados agrupados:

Md

i E S T A T U R A S x i f i F I

[ c m ]

1 1 5 0 | - - - -- 1 5 4 1 5 2 4 4

2 1 5 4 | - - - -- 1 5 8 1 5 6 9 1 3

3 1 5 8 | - - - -- 1 6 2 1 6 0 1 1 2 4

4 1 6 2 | - - - -- 1 6 6 1 6 4 8 3 2

5 1 6 6 | - - - -- 1 7 0 1 6 8 5 3 7

6 1 7 0 | - - - -- 1 7 4 1 7 2 3 4 0

4 0

cmMd

Md

f

hFfi

lMdant

5,160

11

4132

40

158

2*

*)(

*


A Mediana para dados agrupados:

1º Caso: Sem intervalos de classe

Exemplo.:

2º Caso: Com intervalos de classe

COMPO SIÇÃO FAMILIAR

M ENINOS fi

0 2

1 6

2 12

3 4

4 1

soma: 25

2

ª3

5,122

25

2

Md

classe

fi

*

*)(

* 2

f

hFfi

lMdant



As medidas de Dispersão ou Variabilidade

descrevem a diversificação dos valores de uma

variável em torno de um valor de tendência

central tomado como ponto de comparação.

Sejam os Conjuntos:

A = ( 70 , 70 , 70 , 70 , 70 )

B = ( 68 , 69 , 70 , 71 , 72 )

C = ( 10 , 50 , 70 , 90 , 130 )

Como representar uma população, amostra

ou conjunto de dados ?

As medidas de dispersão são:

- Amplitude Total. - Variância.

- Desvio Médio. - Desvio Quartílico.

- Desvio Padrão. - Desvio Percentílico.

- Coeficiente de Variação.

MEDIDAS DE DISPERSÃO 29

70x

MEDIDAS DE DISPERSÃO 31

Desvio-padrão ( S ):

Raiz quadrada média dos quadrados dos desvios

tomados em relação à média.

Obs.: n - 1 graus de liberdade.

Quando n > 30 , usar somente n no denominador,

ao invés de n-1.

Exemplo:

1

agrupados-nãoDados

2

n

xxS i

1

agrupadosDados

2

n

xxfS ii

67,35,134

54

4

2540916

15

)611()68()66()63()62(

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