dissertação apresentada ao instituto de matemática e estatística da

Classi�cação de módulos de pesosobre álgebras de Weyl

André Silva de Oliveira

Dissertação apresentadaao

Instituto de Matemática e Estatísticada

Universidade de São Paulopara

obtenção do títulode

Mestre em Matemática

Programa: Mestrado em Matemática

Orientador: Prof. Dr. Vyacheslav Futorny

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio �nanceiro da CNPq

(Processo 164261/2014-1)

São Paulo, fevereiro de 2016

Classi�cação de módulos de pesosobre álgebras de Weyl

Esta versão da dissertação contém as correções e alterações sugeridas

pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho,

realizada em 28/04/2016. Uma cópia da versão original está disponível no

Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.

Comissão Julgadora:

• Prof. Dr. Vyacheslav Futorny - IME-USP

• Prof. Dr. Viktor Bekkert - UFMG

• Prof. Dr. Kostiantyn Iusenko - IME-USP

Resumo

OLIVEIRA, A. S. Classi�cação de módulos de peso sobre álgebras de Weyl. 2016.

161 f. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São

Paulo, São Paulo, 2016.

Neste trabalho, introduzimos as álgebras de Weyl clássicas A = An e as generalizadas

A = D(σ, a). Apresentamos algumas propriedades importantes dessas álgebras, dentre ou-

tras, que a n-ésima álgebra de Weyl An é um domínio simples Noetheriano à esquerda.

Introduzimos os módulos de peso sobre A e estudamos os A-módulos de peso projetivos.

Iniciamos a classi�cação dos A-módulos de peso simples (isto é, irredutíveis) através de uma

categoria linear CO e do seu esqueleto SO cf. [BBF04]. A classi�cação total dos A∞-módulos

de peso simples é dada utilizando a ação de certas localizações no anel de polinômios cf.

[FGM14]. Classi�camos os blocos do tipo mansa na categoria dos A-módulos de peso lo-

calmente �nitos e determinamos os A-módulos indecomponíveis nos blocos do tipo mansa.

Seguindo [FGM14], descrevemos os A-módulos de peso injetivos e projetivos indecomponí-

veis e deduzimos uma descrição dos blocos na categoria dos A-módulos de peso por quivers

e relações.

Palavras-chave: álgebras de Weyl, módulos de peso simples, módulos de peso indecompo-

níveis.

i

Abstract

OLIVEIRA, A. S. Classi�cation of weight modules over Weyl algebras. 2016. 161 f.

Dissertation (Masters) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo,

São Paulo, 2016.

In this dissertation, we introduce the classical Weyl algebras A = An and the generalized

A = D(σ, a). There are some important properties of these algebras, among others, that

the n-th Weyl algebra An is a left Noetherian simple domain. We introduced the weight

modules over A and study the projective weight A-modules. Started the classi�cation of

simple weight A-modules (this is, irreducible) by linear category CO and its skeleton SO in

accordance with [BBF04]. The complete classi�cation of simple weight A-modules is given

using the action of certain localizations in the polynomial ring in accordance with [FGM14].

We classify the tame blocks in the category of locally-�nite weight A-modules and deter-

mine the indecomposable A-modules in the tame blocks. Following [FGM14], we describe

indecomposable projective and injective weight A-modules and deduce the description of the

blocks in the category of weight A-modules by quivers and relations.

Keywords: Weyl algebras, simple weight modules, indecomposable weight modules.

iii

Sumário

Introdução ix

0.1 Considerações Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

0.2 Organização do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

1 Álgebras de Weyl 1

1.1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Forma canônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Geradores e relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3 O grau de um operador em An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.4 Anel de operadores diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Problemas com corpos com característica prima . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Álgebra de Weyl de posto in�nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Álgebra de Weyl generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Módulos sobre a álgebra de Weyl 29

2.1 Módulos sobre a álgebra de Weyl An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Módulos graduados e �ltrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1 Anéis e módulos graduados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.2 Anéis �ltrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.3 Álgebra graduada associada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.4 Módulos �ltrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.5 Filtrações induzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3 Anéis e módulos Noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.1 Anéis Noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4 Módulos de peso sobre A = Ak,I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5 Módulos de peso projetivos sobre A = Ak,I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.6 Involução e dualidade restrita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.7 Realização via ação polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

v

vi SUMÁRIO

3 Classi�cação 65

3.1 Módulos de peso simples sobre uma álgebra de Weyl generalizada A = D(σ, a) 65

3.1.1 Módulos de peso sobre A = D(σ, a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1.2 Categoria CO e seu esqueleto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.1.3 Descrição dos módulos de peso simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1.4 Exemplo: caso A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2 Tipo de representação e módulos indecomponíveis para An, 1 ≤ n ≤ ∞ . . . 77

3.2.1 Indecomponíveis para A(F, I), |I| = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2.2 Indecomponíveis para A(F, I), |I| = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2.3 Indecomponíveis para blocos do tipo mansa . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3 Módulos de peso simples sobre A = Ak,I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.4 Realizações via polinômios torcidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.5 Localização das realizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.6 Descrição explícita do quiver de W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.7 Koszulidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.8 Descrição dos blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A Álgebras de Lie 93

A.1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

A.2 Álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

A.2.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

A.2.2 Derivações de álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

A.2.3 Ideais e homomor�smos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

A.2.4 Álgebras de Lie Solúveis e Nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

A.2.5 Teoremas de Lie e Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

A.2.6 Representações de sl(2, k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

A.3 Teoria de estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

A.3.1 Decomposição de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

A.3.2 Sistema de raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

A.3.3 Subálgebra de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

A.4 Álgebras Envolventes Universais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

A.5 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

B Teoria de Categorias 115

B.1 Categorias e Funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

B.2 Categorias Aditivas e Abelianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

B.3 Categorias R-mod e mod-R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

B.3.1 Funtores covariantes de R-mod em S-mod . . . . . . . . . . . . . . . 125

B.3.2 Funtores contravariantes de R-mod em S-mod . . . . . . . . . . . . . 127

SUMÁRIO vii

B.3.3 Bifuntores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

B.3.4 O funtor Hom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

B.3.5 Módulos Projetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

B.3.6 Módulos Injetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

B.3.7 O funtor Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

B.4 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

C Localização 137

C.1 Localizações em anéis comutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

C.2 Localizações em anéis não comutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

C.3 Localizações em módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

C.4 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Referências Bibliográ�cas 145

viii SUMÁRIO

Introdução

0.1 Considerações Preliminares

As álgebras de Weyl são objetos de estudo clássicos em teoria de representações de

álgebras associativas, que surgem naturalmente em matemática e em física, e tem muitas

importantes aplicações. Por exemplo, uma parte essencial da abordagem dos D-módulos, em

que D é um anel de operadores diferenciais, para a teoria de representação de uma álgebra

de Lie g simples de dimensão �nita é a existência de um homomor�smo natural de U (g)

(álgebra envolvente universal de g) para uma álgebra de Weyl An de posto �nito. No caso

de uma álgebra de Lie a�m existe um homomor�smo similar, mas agora para uma álgebra

de Weyl A∞ de posto in�nito.

A álgebra A∞ pode ser vista como uma álgebra de Weyl generalizada de posto in�nito e

então temos uma categoria natural de representações consistindo dos então chamados mó-

dulos de peso. Tais módulos sobre álgebras de Weyl de posto �nito ou in�nito tem sido

extensivamente estudados nos últimos 20 anos. Várias construções e resultados de classi�-

cações aparecem em [BB00], [BBF04] e [GS06]. Em particular, uma classi�cação parcial de

A∞-módulos de peso simples foi dada em [BBF04] e uma total em [FGM14].

0.2 Organização do Trabalho

No Capítulo 1 apresentamos as álgebras de Weyl. Na Seção 1.1 introduzimos a n-ésima

álgebra de Weyl An(k) com 2n geradores, sobre um corpo k de característica 0, de duas ma-

neiras diferentes: como um quociente de uma k -álgebra livre por um ideal de relações e como

um anel de operadores diferenciais sobre o anel dos polinômios em n variáveis comutativas

k [x1, . . . , xn], ou seja, mostramos que

D(k[x1, . . . , xn]) = An(k).

Ainda na Seção 1.1, apresentamos algumas propriedades dessa álgebra, tais como, An(k)

é um domínio e um anel simples. Na Seção 1.2 discutimos alguns problemas que podem

ocorrer caso o corpo base k tenha característica prima.

Na Seção 1.3 exigimos que o corpo base k, além de ter característica 0, fosse algebri-

camente fechado. Tomamos um conjunto I, in�nito e enumerável, satisfazendo a seguinte

ix

x INTRODUÇÃO

condição: |I| < |k|, e de�nimos uma k -álgebra B de polinômios com uma quantidade in�nita

de variáveis comutativas xi, i ∈ I. Partindo dessa k -álgebra, de�nimos a k -álgebra de Weyl

de posto in�nito A = Ak,I com geradores Xi, Yi, i ∈ I, em que Xi é o operador linear de

B que age por multiplicação pela variável xi, enquanto Yi é o operador que age derivando

em relação a variável xi. Construímos uma k -subálgebra A0 ⊆ A, gerada pelos elementos

ti = XiYi = xi∂i, i ∈ I. Provamos que A0 é k -subálgebra comutativa maximal em A e que o

conjunto de todos os ti's são algebricamente independentes sobre k, logo A0∼= k[ti | i ∈ I].

Além disso, descrevemos os ideais maximais em A0. Finalizamos o capítulo com a Seção 1.4,

em que apresentamos as álgebras de Weyl generalizadas que foram introduzidas por Bavula

[Bav92a], e que desempenham um papel muito importante na classi�cação dos módulos sobre

as álgebras de Weyl.

No Capítulo 2, estudamos os módulos sobre as álgebras de Weyl. Na Seção 2.1 conside-

ramos módulos sobre a n-ésima álgebra de Weyl An(k) e mostramos que k [x1, . . . , xn] é um

An(k)-módulo irredutível de torção e além disso

k[x1, . . . , xn] ∼= An(k)/n∑i=1

An(k) · ∂i.

Na Seção 2.2 mostramos duas importantes �ltrações da álgebra An(k), no caso a �ltração

de Bernstein B = Br(An(k)) e a �ltração ordem C. Utilizando a �ltração de Bernstein

mostramos que Sn = grBAn(k), a álgebra graduada de An(k) associada com a �ltração B, éisomorfa ao anel de polinômios sobre k com 2n variáveis. Na Seção 2.3 provamos o Teorema

da Base de Hilbert e mostramos que An(k) é um anel Noetheriano à esquerda.

Na Seção 2.4 voltamos nossa atenção para a álgebra de Weyl A = Ak,I de posto in�nito e

para os A-módulos (cf. [FGM14]). De�nimos um A-módulo de peso e consideramos W como

a subcategoria plena de A-mod consistindo de todos os A-módulos de peso. Para p ∈ k I,

denotamos por Wp a subcategoria plena de W consistindo de todos os A-módulos de peso

M tais que supp(M) ⊆ p+ ZIf e explicitamos a seguinte decomposição usual

W ∼=⊕

ξ∈kI/ZIf

Wpξ

em que pξ ∈ ξ é algum representante �xo da classe ξ em kI/ZIf .

Na Seção 2.5, consideramos para p ∈ k I, a subcategoria plena Vp de A0-mod consistindo

de todos A0-módulos N tais que mp ·N = {0}. De�nimos um par de funtores adjuntos exatos:

Resp : W→ Vp e Indp =: A⊗A0 − : Vp →W

funtor restrição e indução, respectivamente, e através disso discutimos algumas propriedades

de P (p) e L(p), um A-módulo de peso projetivo e seu topo, respectivamente. Encerramos a

seção provando que P (p) é a cobertura projetiva de L(p).

ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO xi

Na Seção 2.6 consideramos Wf , a subcategoria plena de W consistindo de todos os A-

módulos de peso com espaços de peso de dimensão �nita. Temos que P (p) e L(p) ∈ Wf .

De�nimos uma dualidade restrita canônica ∨ nesta subcategoria. Para M ∈Wf temos que:

M∨ :=⊕p∈kI

Homk(Mp, k)

e como L(p)∨ ∼= L(p), temos que P (p)∨ é o envelope injetivo de L(p). Finalizamos o capítulo

com a Seção 2.7, em que apresentamos uma realização do A-módulo de peso projetivo P (p).

No Capítulo 3, na Seção 3.1, descrevemos os módulos de peso sobre a álgebra de Weyl

generalizada A = D(σ, a) e estudamos a ação de um grupo G (gerado pelos automor�smos

σi(tj) = tj − δij1) que age no conjunto dos ideais maximais de D, maxD . De�nimos uma

categoria linear CO (uma categoria de�nida a partir de uma órbita O, que foi primeiramente

introduzida em [DGO96]) e provamos que WO(A) (a categoria dos A-módulos de peso com

órbita O) é equivalente a categoria CO-mod (categoria dos módulos sobre CO). Exibimos

também um esqueleto SO de CO e o descrevemos algebricamente. Descrevemos também os

módulos simples sobre A, em que esta descrição foi feita via redução à dois tipos de categorias

lineares chamadas de A(F, I) e B(F, I, J, τ). Encerrando a seção, classi�camos os A-módulos

de peso simples, para um corpo k qualquer.

Na Seção 3.2 classi�camos os blocos do tipo mansa na categoriaW lfO (A) (dos módulos de

peso localmente �nitos sobre A com órbita O). Segue de [BB00][Seção 2.6] que B(F, I, J, τ)

é selvagem se |I| + |J | > 1, e A(F, I) é selvagem para |I| > 2. Portanto, como o nosso

objetivo era descrever os indecomponíveis nos blocos do tipo mansa, foi su�ciente descrever os

indecomponíveis para as categorias A(F, I) com |I| ≤ 2 e para B(F, I, J, τ) com |I|+ |J | = 1

(que corresponde ao caso n = 1).

Na Seção 3.3 (cf. [FGM14]) classi�camos os módulos de peso simples sobre A = Ak,I (sem

utilizar o conceito de órbita), em que para p ∈ kI, a aplicação p 7→ L(p), é uma bijeção

entre kI/ ∼ e o conjunto das classes de isomor�smos dos A-módulos de peso simples. Inclu-

sive é dado um exemplo de um A∞-módulo de peso simples que não possui break maximal,

justi�cando assim a não utilização do conceito de órbitas para classi�car módulos de peso

sobre A∞. Na Seção 3.4, realizamos os A-módulos de peso simples via polinômios torcidos,

utilizando automor�smos θJ de A. Concluímos que B(p)θJ e (B(p)θJ)∨ são o envelope in-

jetivo e a cobertura projetiva de L(p)θJ , respectivamente. Na Seção 3.5, localizamos essas

realizações, tal que DJA é a localização de Ore de A com respeito ao subconjunto multi-

plicativo de Ore gerado por todo Xi, com i ∈ I (visto que a ação adjunta de Xi em A é

localmente nilpotente). De�nimos o funtor FJ := ResDJA

A◦ IndDJA

Ana categoria A-mod, e

provamos que L(p) ∼= Fp′

IrJpL(0) e B(p) ∼= FJpL(p).

Na Seção 3.6, descrevemos um quiver Q = QE partindo de um conjunto não vazio E e

denotamos a respectiva categoria dos caminhos de Q por CE. Na Seção 3.7 provamos que a

categoria CE é Koszul. Finalizamos o capítulo mostrando que os blocos deW (a subcategoria

xii INTRODUÇÃO

plena de A-mod consistindo de todos os A-módulos de peso, cf. Capítulo 2, Seção 2.4) são

descritos por CE, para um E apropriado, ou seja, para Jp 6= ∅, a categoria Wp é equivalente

a categoria dos módulos sobre CJp .

Capítulo 1

Álgebras de Weyl

A história da álgebra de Weyl começa com o nascimento da mecânica quântica. Mecânicaquântica é a teoria física que obtém sucesso no estudo dos sistemas físicos cujas dimensõessão próximas ou abaixo da escala atômica, tais como moléculas, átomos, elétrons, prótonse outras partículas subatômicas. Em física, chama-se "sistema" um fragmento concreto darealidade que foi separado para estudo. Cada sistema ocupa um estado num instante detempo. As leis da física devem dizer como o sistema evolui (de estado em estado). Muitosfenômenos quânticos difíceis de se imaginar concretamente podem ser compreendidos com umpouco de abstração matemática. Na mecânica quântica, todos os estados são representadospor vetores em um espaço vetorial complexo: o espaço de Hilbert H (na matemática, umespaço de Hilbert é uma generalização do espaço euclideano, ou seja, é um espaço vetorialdotado de um produto interno, com noções de distância e ângulo). Assim cada vetor noespaço H representa um estado que pode ser ocupado pelo sistema.

Os alicerces da mecânica quântica foram estabelecidos durante a primeira metade doséculo XX por Albert Einstein, Werner Heisenberg, Max Planck, Niels Bohr, Paul Dirac,entre outros. Para Werner Heisenberg essa mecânica tinha que ser baseada nas quantidadesque podiam de fato serem observadas, os observáveis. Nas palavras de Paul Dirac:"As coisasque são observadas, ou que estejam ligadas às quantidades observadas, estão todas associadascom duas órbitas com base no modelo atômico de Bohr e não com apenas uma. Suponha quenós consideremos todas as quantidades de um determinado tipo associado com duas órbitas,e queremos descrevê-las. A maneira mais natural de escrever um conjunto de quantidades,cada uma associada à dois elementos é da seguinte forma:

× × × . . .× × × . . .× × × . . .· · · . . .

uma lista de quantidades que se con�gura em termos de linhas e colunas. As linhas re-presentam um dos estados e as colunas o outro. Os matemáticos chamam um conjunto dequantidades como este de matriz." O efeito disso foi a introdução das quantidades não co-mutativas. Assim, juntamente com Max Born e Pascual Jordan, Heisenberg estabeleceu asbases da formulação matricial da mecânica quântica, a "Mecânica Matricial".

No �nal da década de 1920, Heisenberg formulou o princípio da incerteza. De acordocom esse princípio, não podemos determinar com precisão e simultaneamente a posição e omomento de uma partícula. Pode-se exprimir o princípio da incerteza nos seguintes termos:o produto da incerteza associada ao valor de uma coordenada xi pela incerteza associadaao seu correspondente momento linear pi (o momento linear, uma grandeza vetorial, em

1

2 ÁLGEBRAS DE WEYL 1.1

mecânica clássica é o produto da massa pela velocidade de um corpo, isto é, ~p = m · ~v) nãopode ser inferior, em grandeza, à constante de Planck normalizada. Em termos matemáticos,exprime-se assim:

∆xi∆pi ≥~2

em que ~ é a constante de Planck (h) dividida por 2π. As álgebras de Weyl foram introdu-zidas por Hermann Weyl para estudar o princípio de incerteza de Heisenberg em mecânicaquântica.

As álgebras de Weyl podem ser de�nidas de várias maneiras diferentes, mas todas asde�nições são equivalentes. O leitor pode encontrar mais detalhes em [Cou95].

1.1 Conceitos Básicos

Vamos introduzir a álgebra de Weyl como um anel de operadores de um espaço vetorialde dimensão in�nita. Vamos �xar algumas notações. Ao longo deste capítulo, k será umcorpo de característica zero (o caso em que a característica é prima será tratado na Seção1.2) e k [X] o anel dos polinômios k [x1, . . . , xn] em n variáveis comutativas sobre k.

O anel k [X] é um espaço vetorial de dimensão in�nita sobre k. A k -álgebra dos operadoreslineares do espaço vetorial k [X] é denotada por Endk(k [X]). Observamos que as operaçõesnesta álgebra Endk(k [X]) são a adição e composição dos operadores. Então Endk(k [X])é um anel não comutativo com unidade. A álgebra de Weyl pode ser de�nida como umasubálgebra de Endk(k [X]).

De�nição 1.1.1. Sejam x1, . . . , xn os operadores lineares de k[X] que são de�nidos em umpolinômio f ∈ k[X] pela fórmula xi(f) = xi · f , 1 ≤ i ≤ n. Similarmente, sejam ∂1, . . . , ∂n osoperadores lineares de�nidos por ∂i(f) = ∂f/∂xi, 1 ≤ i ≤ n. A n-ésima álgebra de Weyl An

é a k-subálgebra de Endk(k[X]) de posto �nito gerada pelos operadores x1, . . . , xn e ∂1, . . . , ∂n.

Dizemos que An tem posto �nito, pois tem uma quantidade �nita de geradores.Observamos que xi, ∂i, 1 ≤ i ≤ n, também podem ser chamados de k -endomor�smos de

k [X].Para m ≤ n, a ação dos operadores de Am em k [X] está bem de�nida. Então Am é uma

subálgebra de An de modo natural. Podemos escrever An(k) ao invés de An, se for necessárioexplicitar o corpo sobre o qual a álgebra está de�nida.

Temos que An é uma k -álgebra associativa unital. De acordo com a de�nição, os elementosde An são combinações lineares sobre k de monômios nos geradores x1, . . . , xn, ∂1, . . . , ∂n.Contudo, temos que ser cuidadosos quando representar os elementos de An porque estaálgebra não é comutativa. Podemos veri�car isso facilmente. Considere o operador ∂i ◦ xie o aplique em um polinômio f ∈ k [X], ou seja, (∂i ◦ xi)(f) = ∂i(xi · f). Utilizando aregra de derivação do produto, temos que ∂i(xi · f) = (∂i(xi)) · f + xi · (∂i(f)). Então(∂i ◦ xi)(f) = (1)(f) + (xi ◦ ∂i)(f). Portanto, como f é arbitrário, ∂i ◦ xi = 1 + xi ◦ ∂i, emque 1 é o operador identidade. Podemos escrever esta relação usando comutadores. Em umaálgebra associativa, o comutador [a, b] entre dois elementos é dado por ab − ba. Então, seP,Q ∈ An, o comutador entre eles é o operador [P,Q] = P ◦Q−Q◦P . Portanto [∂i, xi] = 1.

Agora vamos considerar [∂i, xj], com i 6= j, [∂i, ∂j], com 1 ≤ i, j ≤ n, e [xi, xj], com1 ≤ i, j ≤ n. Seja f ∈ k [X], um polinômio arbitrário:

• (∂i ◦ xj)(f) = ∂i(xj · f) = (∂i(xj)) · f + xj · (∂i(f)) = (0)(f) + (xj ◦ ∂i)(f). Portanto∂i ◦ xj = xj ◦ ∂i, ou seja, [∂i, xj] = 0, quando i 6= j.

1.1 CONCEITOS BÁSICOS 3

• Sabemos que vale a seguinte igualdade:∂2f

∂xi∂xj=

∂2f

∂xj∂xi. Então (∂i ◦ ∂j)(f) = (∂j ◦

∂i)(f). Portanto [∂i, ∂j] = 0, 1 ≤ i, j ≤ n.

• Sabemos que as variáveis xi e xj comutam para todo 1 ≤ i, j ≤ n. Assim xi · (xj · f) =xj · (xi · f). Então (xi ◦ xj)(f) = (xj ◦ xi)(f). Portanto [xi, xj] = 0, 1 ≤ i, j ≤ n.

As relações entre os geradores da n-ésima álgebra de Weyl An são resumidas abaixo:

[∂i, xj] = δij

[∂i, ∂j] = [xi, xj] = 0

em que 1 ≤ i, j ≤ n e δij é o símbolo do delta de Kronecker (é igual à 1 se i = j e 0 casocontrário).

Denotamos o operador "multiplicação por xi" pelo símbolo xi. Escreveremos xi tantopara a variável como para o operador correspondente. Isto torna a notação menos carregada.Pela mesma razão nós vamos dispensar os índices para os geradores de A1, e escreveremossimplesmente x e ∂. Vamos também dispensar o sinal ◦ para a multiplicação em An.

Proposição 1.1.1. Para 1 ≤ i ≤ n, valem as seguintes propriedades:

1. [∂i, f ] = ∂i(f) = ∂f/∂xi, para cada f ∈ k[X].

2. [∂i, xui ] = uxu−1

i , para todo u ∈ N∗.

3. [∂ui , xi] = u∂u−1i , para todo u ∈ N∗.

4. (Fórmula de Leibniz) Para cada k, l ∈ N:

∂ki xli =

k∑j=0

(k

j

)∂ji (x

li)∂

k−ji

em que(kj

)=

k!

j!(k − j)!. Em particular:

[∂ki , xli] =

k∑j=1

(k

j

)∂ji (x

li)∂

k−ji

Demonstração. 1. Sejam g ∈ k [X], um polinômio arbitrário, e f o k -endomor�smo dek [X] tal que f(g) = f · g. Temos que:

(∂if)(g) = ∂i(f · g) = f · (∂i(g)) + (∂i(f)) · g = (f∂i)(g) + (∂f/∂xi)(g)

Portanto ∂if − f∂i = ∂f/∂xi, ou melhor, [∂i, f ] = ∂f/∂xi = ∂i(f).

2. Podemos considerar f = xui , com u ∈ N∗. Então pelo item 1, temos que [∂i, xui ] =

∂i(xui ) = uxu−1

i .

3. Seja u ∈ N∗. Vamos usar indução sobre u. Se u = 1, sabemos que [∂i, xi] = 1, logoo resultado é válido. Suponhamos então que u > 1 e que o resultado seja válido parau− 1. Temos que:

[∂ui , xi] = ∂ui xi−xi∂ui = ∂i∂u−1i xi−xi∂i∂u−1

i = ∂i∂u−1i xi−xi∂i∂u−1

i +∂ixi∂u−1i −∂ixi∂u−1

i


Assim:[∂ui , xi] = ∂i[∂

u−1i , xi] + [∂i, xi]∂

u−1i = ∂i[∂

u−1i , xi] + ∂u−1

i

Agora, usando a hipótese de indução, temos o resultado desejado:

[∂ui , xi] = (u− 1)∂i∂u−2i + ∂u−1

i = u∂u−1i − ∂u−1

i + ∂u−1i = u∂u−1

i

4. Vamos considerar l ∈ N∗, pois se l = 0, não temos que provar nada. Vamos usarindução em k. O caso k = 0 é trivial. Seja k = 1.

1∑j=0

(1

j

)∂ji (x

li)∂

1−ji = xli∂i + ∂i(x

li) = xli∂i + ∂xli/∂xi = xli∂i + lxl−1

i

Utilizando a relação descrita no item 2 temos que:

1∑j=0

(1

j

)∂ji (x

li)∂

1−ji = ∂ix

li

Assim o caso k = 1 está veri�cado. Seja k > 1. Suponhamos que o resultado é válidopara k − 1. Vamos veri�car que também é válido para k. Temos que ∂ki x

li = ∂i∂

k−1i xli.

Usando a hipótese de indução temos que:

∂i∂k−1i xli = ∂i

k−1∑j=0

(k − 1

j

)∂ji (x

li)∂

k−1−ji =

k−1∑j=0

(k − 1

j

)∂i

(∂ji (x

li)∂

k−1−ji

)Agora usando a regra de derivação do produto temos:

∂ki xli =

k−1∑j=0

(k − 1

j

)∂i

(∂ji (x

li)∂

k−1−ji

)=

k−1∑j=0

(k − 1

j

)(∂j+1i (xli)∂

k−1−ji + ∂ji (x

li)∂

k−ji

)Então:

∂ki xli =

k−1∑j=0

(k − 1

j

)∂ji (x

li)∂

k−ji +

k−1∑j=0

(k − 1

j

)∂j+1i (xli)∂

k−1−ji

=k−1∑j=0

(k − 1

j

)∂ji (x

li)∂

k−ji +

k∑j=1

(k − 1

j − 1

)∂ji (x

li)∂

k−ji

Portanto:

∂ki xli = xli∂

ki +

k−1∑j=1

(k − 1

j

)∂ji (x

li)∂

k−ji +

k−1∑j=1

(k − 1

j − 1

)∂ji (x

li)∂

k−ji + ∂ki (xli)


Pela Fórmula de Stie�el(kj

)=(k−1j

)+(k−1j−1

), temos:

∂ki xli = xli∂

ki +

k−1∑j=1

[(k − 1

j

)+

(k − 1

j − 1

)]∂ji (x

li)∂

k−ji + ∂ki (xli)

=

(k

0

)xli∂

ki +

k−1∑j=1

(k

j

)∂ji (x

li)∂

k−ji +

(k

k

)∂ki (xli) =

k∑j=0

(k

j

)∂ji (x

li)∂

k−ji

Assim temos o resultado desejado:

∂ki xli =

k∑j=0

(k

j

)∂ji (x

li)∂

k−ji

Em particular:

∂ki xli = xli∂

ki +

k∑j=1

(k

j

)∂ji (x

li)∂

k−ji

Isto é,

[∂ki , xli] =

k∑j=1

(k

j

)∂ji (x

li)∂

k−ji

1.1.1 Forma canônica

Agora vamos construir uma base para a n-ésima álgebra de Weyl An como um k -espaçovetorial. Esta base é conhecida como base canônica. Se um elemento de An está escritocomo uma combinação linear dos elementos desta base então dizemos que ele está na formacanônica.

É mais fácil descrever a base canônica se usarmos uma notação de multi-índices. Ummulti-índice α é um elemento de Nn, ou seja, α = (α1, . . . , αn). Sendo assim, xα é o monômioxα1

1 . . . xαnn . O grau deste monômio é o comprimento |α| do multi-índice α, ou seja, |α| =α1 + . . . + αn. De maneira análoga ∂β, com β ∈ Nn, é o monômio ∂β1

1 . . . ∂βnn . Observamosque o par (α, β), em que α, β ∈ Nn, é um multi-índice de N2n, então faz sentido falar de seucomprimento, isto é, |α|+ |β| = α1 + . . .+ αn + β1 + . . .+ βn. O fatorial de um multi-índiceα ∈ Nn é de�nido por α! = α1! . . . αn!. Denotaremos por ei o multi-índice em que todas asentradas são nulas, com exceção da i-ésima entrada, que é igual a 1.

De�nição 1.1.2. Uma boa ordem ≺ em Nn é dita ordem monomial se é compatível com asoma: α ≺ β implica α + γ ≺ β + γ para todo γ ∈ Nn.

Para qualquer ordem monomial ≺ em Nn temos que 0 = (0, . . . , 0) ≺ α para todo α ∈ Nn.Se α, β ∈ Nn são tais que αi ≤ βi para todo i, então α ≺ β. Podemos relacionar qualquerordem ≺ em Nn com uma ordem (também denotada por ≺) no conjunto dos monômios{xα | α ∈ Nn}, ou seja, xα ≺ xβ se, e somente se, α ≺ β.

De�nição 1.1.3. A ordem lexicográ�ca (denotada por <lex) em Nn é de�nida como segue:

(α1, . . . , αn) <lex (β1, . . . , βn)

se, e somente se, a primeira componente não nula de (α1 − β1, . . . , αn − βn) é negativa.


A ordem lexicográ�ca <lex é uma ordem monomial. Seja α <lex β, ou seja, a primeiracomponente não nula de (α1 − β1, . . . , αn − βn) é negativa. Assim, para γ ∈ Nn, a primeiracomponente não nula de (α1 + γ1 − β1 − γ1, . . . , αn + γn − βn − γn) é negativa, ou seja,α + γ <lex β + γ.

Lema 1.1.1. Sejam σ, β ∈ Nn tais que |σ| ≤ |β|. Então ∂β(xσ) = β! se σ = β, e 0 casocontrário.

Demonstração. Sejam σ, β ∈ Nn tais que |σ| ≤ |β|. Temos que:

∂β(xσ) = ∂β11 . . . ∂βnn (xσ11 . . . xσnn ) =∂β1

∂xβ11

. . .∂βn

∂xβnn(xσ11 . . . xσnn ) =

∂β1xσ11

∂xβ11

. . .∂βnxσnn

∂xβnn

Observamos que se σi = 0, para algum i, então ∂βii (xσii ) = ∂βii (1) = 0 e se βi = 0, para algumi, então ∂βii (xσii ) = 1(xσii ) = xσii . Logo se σi = βi = 0, então ∂βii (xσii ) = 1.

Para 1 ≤ i ≤ n, o monômio xσii só depende da variável xi. Assim cada derivada parcial∂/∂xi corresponde à derivada ordinária d/dxi.

Se σ = β, então σi = βi, 1 ≤ i ≤ n. Assim, para todo i:

∂βixσii∂xβii

= βi · (βi − 1) · · · 2 · 1 = βi!

Então ∂β(xσ) = β1! . . . βn!def.= β!.

Se σ 6= β, então σi 6= βi, para no mínimo algum i. Como σi, βi ∈ N, temos que σi > βiou σi < βi. Se σi > βi, a�rmamos que existe 1 ≤ j ≤ n, j 6= i, tal que σj < βj. De fato:suponha que para todo 1 ≤ j ≤ n, j 6= i, σj ≥ βj e σi > βi. Então σ1 + . . .+ σi + . . .+ σn ≥β1 + . . . + βi + . . . + βn. Assim σ1 + . . . + σi + . . . + σn > β1 + . . . + βi + . . . + βn, ou seja,|σ| > |β|. Isso contradiz a escolha de σ, β tais que |σ| ≤ |β|.

Portanto σj < βj, para algum j. Então∂βjx

σjj

∂xβjj

= 0. Resultando em ∂β(xσ) = 0.

Proposição 1.1.2. O conjunto C = {xα∂β | α, β ∈ Nn} é uma base de An como um espaçovetorial sobre k.

Demonstração. Vamos veri�car que o conjunto C gera a álgebra An como k -espaço vetorial.Considere um monômio nos geradores de An, isto é, λ1 · · ·λr, em que λj ∈{x1, . . . , xn, ∂1, . . . , ∂n}, 1 ≤ j ≤ r. Usando a relação [∂i, xj] = δij podemos escrevê-lo comouma soma de monômios, com coe�cientes em k, em que todas as potências dos x's estãoagrupadas à esquerda de todos os ∂'s. Dessa forma o monômio λ1 · · ·λr é escrito como umacombinação linear de elementos pertencentes à C. Portanto C é um conjunto gerador de An,como k -espaço vetorial.

Agora vamos veri�car que C é linearmente independente sobre k. Seja D uma combinaçãolinear �nita de elementos de C, isto é,D =

∑α,β cαβx

α∂β, em que cαβ ∈ k. Temos que mostrarque se algum cαβ é não nulo, então D 6= 0. Como D é um operador linear de k [X], D 6= 0 se,e somente se, existe um polinômio f para o qual D(f) 6= 0. Nós construiremos tal polinômiof .

Seja σ ∈ Nn o menor elemento, com respeito à ordem lexicográ�ca, que aparece como ex-poente de ∂ em D. Vamos calcular D(xσ) =

∑α,β cαβx

α∂β(xσ). Usando o Lema 1.1.1, temosque D(xσ) = σ!

∑α cασx

α, pois se σ é estritamente menor que β, na ordem lexicográ�ca,então ∂β(xσ) = 0. Pela escolha de σ, existe α ∈ Nn tal que cασ 6= 0. Temos que D(xσ) é não


nulo , pois no mínimo um dos coe�cientes cασ é não nulo. Portanto f = xσ é o polinômioprocurado, ou seja, D 6= 0.

Dessa forma um operador P ∈ An, se escreve de forma única como uma combinaçãolinear �nita dos elementos da base C, ou seja, P =

∑α,β cαβx

α∂β, em que cαβ ∈ k. Logo,podemos escrever P =

∑β pβ∂

β, em que pβ =∑

α cαβxα ∈ k[x1, . . . , xn] = k[X].

Observação 1.1.1. Seja A uma álgebra associativa. Para quaisquer u, v, w ∈ A, temos:

1. [vw, u] = vwu− uvw = vwu− uvw + vuw − vuw = v[w, u] + [v, u]w.

2. [u, vw] = uvw − vwu = uvw − vwu+ vuw − vuw = v[u,w] + [u, v]w.

Proposição 1.1.3. Sejam α, β, σ, η ∈ Nn. Então:

[xα∂β, xσ∂η] = xα[∂β, xσ]∂η + xσ[xα, ∂η]∂β.

Demonstração. Para demonstrar esse resultado, vamos utilizar a Observação 1.1.1.

[xα∂β, xσ∂η]Obs.1.1.1.1

= xα[∂β, xσ∂η] + [xα, xσ∂η]∂β

Obs.1.1.1.2= xα(xσ[∂β, ∂η] + [∂β, xσ]∂η) + (xσ[xα, ∂η] + [xα, xσ]∂η)∂β

Como [∂β, ∂η] = [xα, xσ] = 0, temos que

[xα∂β, xσ∂η] = xα[∂β, xσ]∂η + xσ[xα, ∂η]∂β.

Proposição 1.1.4. Seja β ∈ Nn, com βi 6= 0. Então [∂β, xi] = βi∂β−ei.

Demonstração.

[∂β, xi] = [∂β11 . . . ∂βnn , xi]

= ∂β11 . . . ∂βnn xi − xi∂β11 . . . ∂βnn

= ∂β11 . . . ∂βii . . . ∂βnn ∂βii xi − ∂β11 . . . ∂βii . . . ∂βnn xi∂

βii

= ∂β11 . . . ∂βii . . . ∂βnn [∂βii , xi]Prop.1.1.1.3

= ∂β11 . . . ∂βii . . . ∂βnn βi∂βi−1i

= βi∂β−ei

Proposição 1.1.5. Sejam α, β ∈ Nn, p ∈ k[X] e cαβ ∈ k. Então para 1 ≤ i ≤ n:

1. [cαβxα∂β, xi] =

{0 , se βi = 0

βicαβxα∂β−ei , se βi 6= 0

2. [∂i, cαβxα∂β] =

{0 , se αi = 0

αicαβxα−ei∂β , se αi 6= 0

3. [∂β, p] = ∂i[∂β−ei , p] + [∂i, p]∂

β−ei, desde que βi 6= 0.


Demonstração. 1. [cαβxα∂β, xi] = cαβ[xα∂β, xi · 1]. Pela Proposição 1.1.3, temos que

cαβ[xα∂β, xi · 1] = cαβ(xα[∂β, xi]1 + xi[xα, 1]∂β) = cαβx

α[∂β, xi]

Se βi = 0, então [∂β, xi] = 0, ou seja, [cαβxα∂β, xi] = 0. Se βi 6= 0, pela Proposição

1.1.4, [∂β, xi] = βi∂β−ei . Assim [cαβx

α∂β, xi] = βicαβxα∂β−ei .

2. [∂i, cαβxα∂β] = cαβ[1 · ∂i, xα∂β]. Pela Proposição 1.1.3, temos que

cαβ[1 · ∂i, xα∂β] = cαβ(1[∂i, xα]∂β + xα[1, ∂β]∂i) = cαβ[∂i, x

α]∂β

Se αi = 0, então [∂i, xα] = 0, ou seja, [∂i, cαβx

α∂β] = 0. Se αi 6= 0, pela Proposição1.1.1, item 1, [∂i, x

α] = αixα−ei . Assim [∂i, cαβx

α∂β] = αicαβxα−ei∂β.

3. Um polinômio p ∈ k [X] tem a forma p =∑

α cαxα, com cα ∈ k. Então [∂β, p] =∑

α cα[∂β, xα]. Considerando βi 6= 0, temos que∑

α cα[∂β, xα] =∑

α cα[∂i∂β−ei , xα].

Pela Observação 1.1.1, [∂i∂β−ei , xα] = ∂i[∂

β−ei , xα] + [∂i, xα]∂β−ei . Então:∑

α

cα[∂β, xα] =∑α

cα[∂i∂β−ei , xα] = ∂i[∂

β−ei ,∑α

cαxα] + [∂i,

∑α

cαxα]∂β−ei

Portanto[∂β, p] = ∂i[∂

β−ei , p] + [∂i, p]∂β−ei

.

1.1.2 Geradores e relações

Outra forma de de�nir a álgebra de Weyl é por geradores e relações. Esta maneira émais direta e explícita. Mais precisamente, nós podemos de�nir a álgebra de Weyl como umquociente de uma k -álgebra livre com 2n geradores por um ideal de relações.

De�nição 1.1.4 (k -álgebra livre). Seja {xi | i ∈ I} um conjunto não vazio. O conjuntok 〈xi | i ∈ I〉 é uma k-álgebra, em que o produto de dois monômios é a justaposição simples eλxi = xiλ, para todo i ∈ I e para todo λ ∈ k. Os elementos de k 〈xi | i ∈ I〉 são "polinômios"com coe�cientes em k com variáveis não comutativas {xi | i ∈ I}. k 〈xi | i ∈ I〉 é uma k -álgebra associativa livre.

Teorema 1.1.1 (Propriedade universal). Sejam I um conjunto não vazio e A uma k-álgebra.Seja:

f : I −→ Ai 7−→ ai

uma função. Então existe um único homomor�smo de k-álgebras ϕ : k 〈xi | i ∈ I〉 −→ A talque ϕ(xi) = ai, para todo i ∈ I.

De�nição 1.1.5. Seja k〈y1, . . . , yn, z1, . . . , zn〉 a k-álgebra associativa livre nos geradoresy1, . . . , yn, z1, . . . , zn. Seja J o ideal gerado pelos elementos [yi, yj], [zi, zj] e [zi, yj] − δij,1 ≤ i, j ≤ n. Seja A∗n(k) o quociente da k-álgebra associativa livre pelo ideal J.

A k -álgebra associativa livre k〈y1, . . . , yn, z1, . . . , zn〉 é o conjunto de todas as combinaçõeslineares �nitas de palavras em y1, . . . , yn, z1, . . . , zn sobre k. A multiplicação de dois monômios


é a justaposição simples, de acordo com a de�nição. Temos também que An(k) (a n-ésimaálgebra de Weyl) é uma k -álgebra associativa livre, gerada por x1, . . . , xn, ∂1, . . . , ∂n.

Podemos de�nir o homomor�smo sobrejetivo de k -álgebras associativas

φ : k 〈y1, . . . , yn, z1, . . . , zn〉 −→ An(k)

por φ(yi) = xi e φ(zi) = ∂i, 1 ≤ i ≤ n, de acordo com o Teorema 1.1.1.O ideal J gerado pelos elementos [yi, yj], [zi, zj] e [zi, yj]− δij, 1 ≤ i, j ≤ n, está contido

no kernel de φ, isto é, J ⊆ Kerφ, por conta das relações satisfeitas pelos geradores da n-ésima álgebra de Weyl An(k). Então φ induz um homomor�smo de k -álgebras associativasφ : A∗n(k) −→ An(k), tal que φ(w + J) = φ(w) para todo w ∈ k〈y1, . . . , yn, z1, . . . , zn〉.

Teorema 1.1.2. φ : A∗n(k) −→ An é um isomor�smo.

Demonstração. Exatamente como na demonstração da Proposição 1.1.2, podemos usar asrelações entre as classes yi + J , zi + J , 1 ≤ i ≤ n, para veri�car que todo elemento de A∗n(k)pode ser escrito como uma combinação linear de monômios da forma

ym11 . . . ymnn zp11 . . . zpnn + J

em que m = (m1, . . . ,mn), p = (p1, . . . , pn) ∈ Nn. Pela Proposição 1.1.2, as imagens destesmonômios sob φ formam uma base de An(k) como um espaço vetorial sobre k. Portanto,em particular, os monômios devem ser linearmente independentes em A∗n(k). Assim, essehomomor�smo é um isomor�smo de k -espaços vetoriais, e portanto, de k -álgebras.

Vamos mostrar um importante exemplo da relação entre uma k -álgebra associativa livreunital e a n-ésima álgebra de Weyl An(k).

Exemplo 1.1.1. A n-ésima álgebra de Heisenberg Hn é uma álgebra de Lie dada por gera-dores P1, . . . , Pn, Q1, . . . , Qn, C que satisfazem as seguintes relações:

[Pi, Pj] = [Qi, Qj] = 0 , [Qi, Pj] = δijC

com 1 ≤ i, j ≤ n, em que C está no centro. An(k) é imagem homomór�ca de U(Hn)(álgebra envolvente universal da n-ésima álgebra de Heisenberg), pois podemos de�nir umepimor�smo φ : U(Hn)→ An, tal que φ(Pi) = xi, φ(Qi) = ∂i, 1 ≤ i ≤ n. Portanto, An(k) éo quociente de U(Hn) pelo ideal gerado por C − 1.

1.1.3 O grau de um operador em An

O grau de um operador de An comporta-se, em muitos aspectos, como o grau de umpolinômio. As diferenças são contabilizadas pela não comutatividade de An.

De�nição 1.1.6. Seja D ∈ An. O grau de D é o maior comprimento dos multi-índices(α, β) ∈ Nn × Nn, para qual xα∂β aparece com coe�ciente não nulo na forma canônica deD. É denotado por deg(D). Se D é o operador nulo, por convenção, deg(D) = −∞.

Exemplo 1.1.2. Seja P = 2x1∂2 + x1x32∂1∂2 ∈ A2. Temos que deg(P ) = 6.

Teorema 1.1.3. Para D,D′ ∈ An, o grau satisfaz as seguintes propriedades:

1. deg(D +D′) ≤ max{deg(D), deg(D′)}.

2. deg(DD′) = deg(D) + deg(D′).


3. deg[D,D′] ≤ deg(D) + deg(D′)− 2.

Demonstração. Se D,D′ ∈ An, estão escritos na forma canônica, então D+D′ também está.Então concluímos que deg(D + D′) ≤ max{deg(D), deg(D′)}. Notamos que se deg(D) 6=deg(D′) então temos a igualdade, ou seja, deg(D +D′) = max{deg(D), deg(D′)}.

Vamos usar indução sobre deg(D) + deg(D′) para provar os itens 2 e 3. Se deg(D) oudeg(D′) é zero, então D ou D′ é constante. Sem perda de generalidade vamos supor que Dé uma constante. Temos que deg(DD′) = deg(D′) = 0 + deg(D′) = deg(D) + deg(D′). Damesma forma [D,D′] = 0. Assim deg[D,D′] = −∞ ≤ deg(D) + deg(D′)− 2.

Suponhamos que deg(D), deg(D′) ≥ 1 e que o resultado é válido quando deg(D) +deg(D′) < k. Escolhemos D,D′ ∈ An, tal que deg(D)+deg(D′) = k. Pelo item 1 é su�cienteprovar os itens 2 e 3 quando D,D′ são monômios. Suponhamos primeiramente que D = ∂β

e D′ = xα com |α|+ |β| = k. Se βi 6= 0, então pela Proposição 1.1.5, item 3, temos que:

[∂β, xα] = ∂i[∂β−ei , xα] + [∂i, x

α]∂β−ei

Por indução, temos que:

deg[∂β−ei , xα] ≤ |α|+ |β| − 1− 2 = |α|+ |β| − 3

pois |β − ei| = |β| − 1. Temos também:

deg[∂i, xα] ≤ |α|+ 1− 2 = |α| − 1

Então, usando a hipótese de indução novamente (pois deg(∂i)+deg[∂β−ei , xα] < k e deg[∂i, xα]

+deg(∂β−ei) < k ) concluímos que:

deg(∂i[∂β−ei , xα]) = deg(∂i) + deg[∂β−ei , xα] ≤ 1 + |α|+ |β| − 3 = |α|+ |β| − 2

edeg([∂i, x

α]∂β−ei) = deg[∂i, xα] + deg(∂β−ei) ≤ |α| − 1 + |β| − 1 = |α|+ |β| − 2

Portanto

deg[∂β, xα] = deg(∂i[∂β−ei , xα] + [∂i, x

α]∂β−ei)

≤ max{deg(∂i[∂β−ei , xα]), deg([∂i, x

α]∂β−ei)}≤ |α|+ |β| − 2 = deg(xα) + deg(∂β)− 2

Assim deg[D,D′] ≤ deg(D)+deg(D′)−2, portanto vale o item 3. Sabemos que [∂β, xα] =∂βxα−xα∂β. Temos que deg(xα∂β) 6= deg[∂β, xα], pois deg(xα∂β) = |α|+ |β| e deg[∂β, xα] ≤|α|+ |β| − 2. Então:

deg(∂βxα) = deg([∂β, xα] + xα∂β) = max{deg[∂β, xα], deg(xα∂β)} = |α|+ |β|

Assim deg(DD′) = deg(D) + deg(D′), isto é, vale o item 2.Agora sejam D = xσ∂β e D′ = xα∂η, em que |σ|+ |β|+ |α|+ |η| = k. Se |α| = |β| = 0, o

resultado é óbvio. Então suponhamos que este não seja o caso. Temos que ∂βxα = xα∂β +P ,tal que P = [∂β, xα] e sabemos pelo caso anterior que deg[∂β, xα] ≤ |α|+ |β| − 2. Assim:

DD′ = xσ∂βxα∂η = xσ(∂βxα)∂η = xσ(xα∂β + P )∂η = xσ+α∂β+η + xσP∂η


Como deg(xσ) + deg(P ) + deg(∂η) ≤ |σ|+ |β|+ |α|+ |η| − 2 < k, pela hipótese de indução:

deg(xσP∂η) = deg(xσ) + deg(P ) + deg(∂η) ≤ |σ|+ |β|+ |α|+ |η|− 2 = deg(D) + deg(D′)− 2

Ou seja, deg(xσP∂η) ≤ deg(D) + deg(D′)− 2. Observamos que deg(xσ+α∂β+η) = |σ|+ |β|+|α|+ |η| = deg(D) + deg(D′). Portanto deg(xσ+α∂β+η) 6= deg(xσP∂η). Então:

deg(DD′) = deg(xσ+α∂β+η + xσP∂η)

= max{deg(xσ+α∂β+η), deg(xσP∂η)}= deg(xσ+α∂β+η) = |σ|+ |β|+ |α|+ |η|= deg(D) + deg(D′)

Ou seja, deg(DD′) = deg(D)+deg(D′), isto é, vale o item 2. Os cálculos acima nos mostramque DD′ = xσ+α∂β+η + Q1, em que deg(Q1) ≤ deg(D) + deg(D′)− 2. Similarmente, temosque D′D = xσ+α∂β+η + Q2, em que deg(Q2) ≤ deg(D) + deg(D′) − 2. Então [D,D′] =DD′ −D′D = Q1 −Q2. Portanto deg[D,D′] = deg(Q1 −Q2) ≤ deg(D) + deg(D′)− 2, valeo item 3. Assim concluímos a demonstração.

Como no caso do anel de polinômios sobre um corpo, o Teorema 1.1.3 pode ser usadopara provar o seguinte resultado:

Corolário 1.1.1. A álgebra An é um domínio.

Demonstração. Sejam D,D′ ∈ An, dois operadores não nulos. Podemos supor sem perda degeneralidade que D,D′ estão escritos na forma canônica.

Temos que deg(D), deg(D′) ≥ 0. Pelo Teorema 1.1.3, item 2, deg(DD′) = deg(D) +deg(D′) ≥ 0. Então DD′ 6= 0 e portanto An é um domínio.

Um anel comutativo simples é um corpo, mas isso não é verdade para anéis não comu-tativos. A álgebra de Weyl An é um anel simples, mas está muito longe de ser um anel dedivisão.

Teorema 1.1.4. A álgebra An é simples.

Demonstração. Seja I um ideal bilateral não nulo de An. Seja D 6= 0, um elemento commenor grau em I. Se D tem grau 0, ele é uma constante. Assim AnD = DAn = An ⊆ I.Portanto I = An.

Agora vamos assumir que D tem grau k > 0 e chegaremos em uma contradição. Suponhaque (α, β) é um multi-índice de comprimento k. Seja xα∂β um somando de D com coe�cientenão nulo, em que βi 6= 0. Vamos analisar o elemento [xi, D]. D = aαβx

α∂β + D′, em quedeg(D′) < k. Assim [xi, D] = [xi, aαβx

α∂β] + [xi, D′]. Temos que:

[xi, aαβxα∂β]

Prop.1.1.5.1= −βiaαβxα∂β−ei

Então deg([xi, aαβxα∂β]) = deg(−βiaαβxα∂β−ei) = |α| + |β| − 1 = k − 1. Por outro lado,

pelo Teorema 1.1.3, item 3, deg[xi, D′] ≤ 1 + deg(D′) − 2 = deg(D′) − 1 < k − 1. Como

deg([xi, aαβxα∂β]) 6= deg[xi, D

′], pelo Teorema 1.1.3, item 1, deg[xi, D] = k−1. Como k > 0,deg[xi, D] ≥ 0 e assim [xi, D] é não nulo.

Como I é um ideal bilateral de An e D 6= 0, D ∈ I, temos que [xi, D] = xiD − Dxi ∈I. Mas isso contradiz a minimalidade de D. Então β = (0, . . . , 0) e |α| = k. Como k > 0,devemos ter αi 6= 0, para algum i = 1, 2, . . . , n. Agora vamos analisar o elemento [∂i, D].


Seja D = aαxα + D′, em que deg(D′) < k. Assim [∂i, D] = aα[∂i, x

α] + [∂i, D′]. Temos

que:

[∂i, xα]

Prop.1.1.1.1= αix

α−ei

Temos que deg(aα[∂i, xα]) = deg(aααix

α−ei) = |α| − 1 = k − 1. Pelo Teorema 1.1.3, item3, deg[∂i, D

′] ≤ 1 + deg(D′) − 2 = deg(D′) − 1 < k − 1. Então pelo Teorema 1.1.3, item1, concluímos que deg[∂i, D] = k − 1 e como k > 0, [∂i, D] é um elemento não nulo. ComoD ∈ I é não nulo e I é um ideal bilateral de An, [∂i, D] ∈ I. Isso novamente contradiz aminimalidade de D.

Portanto se I é um ideal bilateral de An não nulo, I = An, ou seja, An é simples.

O kernel de um endomor�smo de An é um ideal bilateral. Então temos o seguinte Coro-lário:

Corolário 1.1.2. Todo endomor�smo não nulo de An é injetivo.

Embora An não tenha nenhum ideal bilateral além dos triviais, An não é um anel dedivisão. De fato, os únicos elementos de An que possuem inversos são as constantes.

Proposição 1.1.6. As unidades da álgebra de Weyl An são as constantes.

Demonstração. Vamos demonstrar esse fato usando o grau de um operador.Seja D ∈ An um operador não nulo. Se D possui um inverso, então existe D′ ∈ An, não

nulo, tal que DD′ = 1, em que 1 é o operador identidade. Calculando os graus, pelo Teorema1.1.3, item 2, obtemos deg(D)+deg(D′) = 0. Como o grau de um operador não nulo é semprenão negativo, temos que deg(D), deg(D′) ≥ 0. Então concluímos que deg(D) = deg(D′) = 0.Portanto D é uma constante, isto é, D ∈ k.

Então todo operador não constante de An gera um ideal à esquerda não trivial. Porém,a álgebra de Weyl não é um anel de ideais principais à esquerda. Por exemplo, o ideal àesquerda gerado por ∂1, ∂2 em A2 não é principal (veja [Cou95], Capítulo 2, Exercício 4.1).Entretanto, todo ideal à esquerda de An é gerado por dois elementos. Este é um importanteresultado atribuído à J. T. Sta�ord. A prova é muito técnica e pode ser encontrada no artigooriginal de Sta�ord [Sta78] e também em [Bjö79].

1.1.4 Anel de operadores diferenciais

Já de�nimos a n-ésima álgebra de Weyl An de duas maneiras: como uma k -subálgebrade Endk(k [X]) gerada pelos operadores x1, . . . , xn e ∂1, . . . , ∂n; e como um quociente de umak -álgebra associativa livre em 2n geradores {y1, . . . , yn, z1, . . . , zn} por um ideal de relações.

Agora vamos de�nir de uma terceira maneira. Na verdade, vamos mostrar que as álgebrasde Weyl são membros da família dos anéis de operadores diferenciais. Por esse motivo, a n-ésima álgebra de Weyl também é conhecida, como anel de operadores lineares diferenciaiscom coe�cientes polinomiais.

Seja R uma k -álgebra comutativa. Todo elemento a ∈ R dá origem à um operador linearem R, a multiplicação à esquerda por a, isto é, r 7−→ ar, para todo r ∈ R. O resultado disso,é a existência de um homomor�smo de anéis R −→ Endk(R), tal que a 7−→ ϕa, em que ϕa ∈End k(R) é a multiplicação à esquerda por a. Este homomor�smo é injetivo, pois se ϕa = 0,então ϕa(r) = ar = 0, para todo r ∈ R, em particular para r = 1R, isto é, a1R = a = 0.Então podemos considerar R como uma subálgebra de End k(R).


De�nição 1.1.7. Uma k -derivação de R é um operador linear δ ∈ Endk(R) que satisfazδ(ab) = δ(a)b + aδ(b), para todos a, b ∈ R (Regra de Leibniz). O k-espaço vetorial de todasas k-derivações de R é um R-módulo à esquerda denotado por Derk(R), com a seguinte açãode R: (aδ)(b) = aδ(b), δ ∈ Derk(R), a, b ∈ R. Além disso Derk(R) também possui estruturade álgebra de Lie sobre k com o colchete de�nido pelo comutador, isto é, [δi, δj] = δiδj− δjδi,em que δi, δj ∈ Derk(R).

Vamos de�nir, indutivamente, a ordem de um operador. Um operador linear P ∈ End k(R)tem ordem zero se [P, a] = 0, para todo a ∈ R. Suponhamos já de�nidos operadores comordem < n. Um operador P ∈ End k(R) tem ordem n se ele não tem ordem menor do quen e [P, a] tem ordem menor do que n para todo a ∈ R. Seja Dn(R) o conjunto de todos osoperadores lineares de End k(R) com ordem ≤ n.

Dn(R) é um k -espaço vetorial. Vamos concluir usando indução em n. Se P,Q ∈ D0(R),temos que [P +Q, a] = [P, a] + [Q, a] = 0, para todo a ∈ R, ou seja, P +Q ∈ D0(R). Vamossupor por indução que P,Q ∈ Dn−1(R) implica [P + Q, a] ∈ Dn−2(R), para todo a ∈ R,isto é, P +Q ∈ Dn−1(R). Sejam P,Q ∈ Dn(R), então [P +Q, a] = [P, a] + [Q, a], para todoa ∈ R. Por hipótese de indução a soma em Dn−1(R) é fechada e já que P,Q ∈ Dn(R) éequivalente à [P, a], [Q, a] ∈ Dn−1(R), para todo a ∈ R, temos que [P, a] + [Q, a] ∈ Dn−1(R),ou seja, [P +Q, a] ∈ Dn−1(R), para todo a ∈ R. Então P +Q ∈ Dn(R). De forma análoga,mostra-se indutivamente que para λ ∈ k e para P ∈ Dn(R) temos que λP ∈ Dn(R). Como asoperações soma e multiplicação por escalar são fechadas, Dn(R) ⊆ End k(R), é um k -espaçovetorial.

Observação 1.1.2. Seja R um anel. Sejam a, b, c ∈ R. Então a identidade de Jacobi ésatisfeita, isto é, [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0.

De�nição 1.1.8. De�na indutivamente D0(R) = {P ∈ Endk(R) | [P, a] = 0,∀a ∈ R}, epara i > 0, Di(R) = {P ∈ Endk(R) | [P, a] ∈ Di−1(R),∀a ∈ R}. Claramente Di(R) ⊆ Dj(R)

se i < j. Chamando D(R) =∞⋃i=0

Di(R), obtemos desta forma uma álgebra associativa,

chamada de anel de operadores diferenciais de uma k-álgebra R.

Em outras palavras, o anel D(R) é o conjunto de todos os operadores de End k(R) comordem �nita, com as operações de soma e composição de operadores.

Para que esta de�nição faça sentido, devemos mostrar que a soma e o produto de doisoperadores de ordem �nita tem ordem �nita. Antes, provaremos o seguinte resultado:

Lema 1.1.2. Os operadores de ordem ≤ 1 correspondem aos elementos de Derk(R) +R. Oselementos de ordem zero são os elementos de R.

Demonstração. Seja Q ∈ D1(R). Como Q ∈ End k(R) então Q(1R) ∈ R. Tome P = Q −Q(1R).

Observamos que [a, b] = 0, para todos a, b ∈ R, pois R é uma k -álgebra comutativa.Como cada elemento de R dá origem à um operador linear em R, então todo b ∈ R temordem zero, ou seja, R ⊆ D0(R). Assim Q(1R) ∈ D1(R), e como esse é um k -espaço vetorial,Q−Q(1R) ∈ D1(R), ou seja, P ∈ D1(R). Como Q ∈ D1(R), [Q, a] ∈ D0(R), para todo a ∈R. Então [b, [Q, a]] = 0, para todos a, b ∈ R. Usando a Observação 1.1.2 e o fato [b, a] = 0,para todos a, b ∈ R:

[b, [a, P ]] + [a, [P, b]] + [P, [b, a]] = 0⇒ [b, [a, P ]] = [P, b]a− a[P, b] = [[Q, b], a] = 0

Portanto P tem ordem ≤ 1 e [a, P ] tem ordem zero para todo a ∈ R. Observamos tambémque P (1R) = (Q−Q(1R))(1R) = Q(1R)−Q(1R) = 0.


Como [[P, a], b] = 0, para todo b ∈ R, escrevendo os comutadores explicitamente, obtemosa equação:

(Pa)b− (aP )b− b(Pa) + b(aP ) = 0

Aplicando este operador em 1R ∈ R, temos que P (ab) = aP (b) + bP (a) − baP (1R). ComoP (1R) = 0, segue que P é uma k -derivação de R. Mas Q = P +Q(1R) ∈ Derk(R) +R, comodesejado.

Já sabemos que R ⊆ D0(R). Vamos mostrar que D0(R) ⊆ R. Seja Q ∈ D0(R). Logo[Q, a] = 0, para todo a ∈ R. Em particular [Q, 1R] = 0. Então Q(1R) − 1RQ = 0, isto é,Q = Q(1R) ∈ R. Portanto D0(R) = R.

Sendo assim, podemos caracterizar os operadores de ordem ≤ 1.

Proposição 1.1.7. Sejam P ∈ Dn(R) e Q ∈ Dm(R). Então P +Q tem ordem �nita e PQ∈ Dn+m(R).

Demonstração. Se n = m, trivialmente P + Q ∈ Dn(R), ou seja, P + Q tem ordem �nita.Seja n 6= m. Podemos supor sem perda de generalidade que n < m. Como Dn(R) ⊆ Dm(R),temos que P,Q ∈ Dm(R), e como esse é k -espaço vetorial, P + Q ∈ Dm(R). Então P + Qtem ordem �nita.

Agora vamos mostrar que PQ ∈ Dn+m(R). Para isso, vamos usar indução em m + n.Se m + n = 0, como m,n ≥ 0, temos que m = n = 0. Pelo Lema 1.1.2, P,Q ∈ R, logoPQ ∈ R = D0(R), e o resultado é válido. Suponhamos que o resultado é válido sempre quem+ n < k. Se m+ n = k e a ∈ R, temos que:

[PQ, a]Obs.1.1.1

= P [Q, a] + [P, a]Q

A de�nição de ordem implica que [Q, a] ∈ Dm−1(R) e [P, a] ∈ Dn−1(R). Então, pela hipó-tese de indução P [Q, a], [P, a]Q ∈ Dn+m−1(R). Logo [PQ, a] ∈ Dn+m−1(R). Portanto PQ ∈Dn+m(R), como desejado.

Agora vamos calcular explicitamente Derk(k[x1, . . . , xn]).

Proposição 1.1.8. Toda derivação de k[X] = k[x1, . . . , xn] é da forma∑n

i=1 fi∂i, paraalguns f1, . . . , fn ∈ k[X].

Demonstração. É evidente que as derivadas parciais ∂1, . . . , ∂n são derivações de k [x1, . . . , xn].Seja D ∈ Derk(k[X]), uma derivação arbitrária.

Seja xki ∈ k[X]. Vamos provar por indução em k que D(xki ) = kxk−1i D(xi), para i =

1, . . . , n. Se k = 1, o resultado vale trivialmente. Suponhamos que k > 1 e que o resultadoseja válido para k − 1. Então:

D(xki ) = D(xixk−1i ) = xiD(xk−1

i ) + xk−1i D(xi)

Usando a hipótese de indução:

D(xki ) = xi(k−1)xk−2i D(xi)+x

k−1i D(xi) = kxk−1

i D(xi)−xk−1i D(xi)+x

k−1i D(xi) = kxk−1

i D(xi)

Portanto D(xki ) = kxk−1i D(xi), para i = 1, . . . , n.

Vamos considerar um monômio qualquer de k[X], isto é, xs11 · · ·xsnn , com s1, . . . , sn ∈ N.Vamos calcular (D −

∑ni=1 D(xi)∂i)(x

s11 · · ·xsnn ).

D(xs11 · · ·xsnn ) =n∑i=1

xs11 · · · xsii · · ·xsnn D(xsii ) =

n∑i=1

sixs11 · · ·x

si−1i · · ·xsnn D(xi)


e

(n∑i=1

D(xi)∂i)(xs11 · · · xsnn ) =

n∑i=1

D(xi)∂i(xs11 · · ·xsnn ) =

n∑i=1

D(xi)sixs11 · · ·x

si−1i · · ·xsnn

Portanto (D−∑n

i=1 D(xi)∂i)(xs11 · · ·xsnn ) = 0. Como os monômios xs11 · · ·xsnn , com s1, . . . , sn

∈ N, formam uma base de k[X], temos queD−∑n

i=1D(xi)∂i = 0, ou seja,D =∑n

i=1 D(xi)∂i,com D(x1), . . . , D(xn) ∈ k[X].

Nosso objetivo é mostrar que a n-ésima álgebra de Weyl An é o anel dos operadores dife-renciais da k -álgebra dos polinômios em n variáveis comutativas, ou seja, D(k[x1, . . . , xn]) =D(k[X]) = An. Antes provaremos dois lemas.

Lema 1.1.3. Seja P ∈ D(k[X]). Se [P, xi] = 0, para todo i = 1, . . . , n, então P ∈ k[X].

Demonstração. Vamos mostrar usando as hipóteses que [P, f ] = 0, para todo f ∈ k[X].Como o comutador é bilinear, é necessário provar que [P, f ] = 0, quando f é um monômioem k[X].

Seja f = xα, para algum α ∈ Nn e assuma que αi 6= 0. Vamos provar o resultado usandoindução em |α|. Se |α| = 1, por hipótese [P, xi] = 0, 1 ≤ i ≤ n. Seja |α| > 1 e vamos suporque o resultado seja válido para todo β ∈ Nn tal que |β| < |α|. Temos que:

[P, xα] = [P, xixα−ei ]

Obs.1.1.1= [P, xi]x

α−ei + xi[P, xα−ei ]

Usando a hipótese de indução, isto é, [P, xi] = [P, xα−ei ] = 0, concluímos que [P, xα] = 0.Portanto [P, f ] = 0, para todo f ∈ k[X], ou seja, P ∈ D0(k[X]).

Pelo Lema 1.1.2, concluímos que P ∈ k[X].

De�nição 1.1.9. Seja Cr o conjunto dos operadores em An que podem ser escritos na forma∑α fα∂

α com |α| ≤ r, em que fα ∈ k[X].

Podemos pensar que Cr é o conjunto dos operadores de An com "ordem" ≤ r (veja Ca-pítulo 2, Subseção 2.2.2). Sabemos que Dr(k[X]) é o conjunto dos operadores de End k(k[X])com ordem ≤ r. Logo Cr ⊆ Dr(k[X]). Se P ∈ Cr, então P =

∑α fα∂

α com |α| ≤ r, fα ∈k[X]. Temos que |α| ≤ r < r + 1, logo P ∈ Cr+1. Então Cr ⊆ Cr+1 ∩ Dr(k[X]). Recipro-camente, se tomamos Q ∈ Cr+1 ∩Dr(k[X]), ele terá ordem ≤ r, por pertencer à Dr(k[X]).Logo Q ∈ Cr+1, será da forma Q =

∑β gβ∂

β com |β| ≤ r, gβ ∈ k[X], ou seja, Q ∈ Cr. EntãoCr+1 ∩Dr(k[X]) ⊆ Cr.

PortantoCr = Cr+1 ∩Dr(k[x1, . . . , xn])

Pela Proposição 1.1.8 temos que C1 = Derk(k[x1, . . . , xn])+k[x1, . . . , xn] e C0 = k[x1, . . . , xn].O próximo lema é formalmente equivalente ao fato que todo campo vetorial

F = (F1, . . . , Fn) em Rn que satisfaz ∂iFj = ∂jFi, para todos 1 ≤ i, j ≤ n, admite umafunção potencial. No próximo lema usaremos a convenção de que se k < n então Nk éidenti�cado com o subconjunto de Nn com as últimas n− k coordenadas nulas.

Lema 1.1.4. Sejam P1, . . . , Pn ∈ Cr−1 e suponha que [Pi, xj] = [Pj, xi] para todos 1 ≤ i, j ≤n. Então existe Q ∈ Cr tal que Pi = [Q, xi], para i = 1, . . . , n.

Demonstração. Como Pn ∈ Cr−1, temos que Pn =∑

α fα∂α, com |α| ≤ r − 1 e fα ∈

k[X]. Como αn ∈ N, então (αn + 1) 6= 0. Seja (αn + 1)−1 = 1/(αn + 1). Podemos de�nir


Q′ =∑

α(αn + 1)−1fα∂α+en , com (αn + 1)−1fα ∈ k[X]. Como |α| ≤ r − 1, temos que

|α + en| = |α|+ 1 ≤ r. Portanto Q′ ∈ Cr. Vejamos agora que [Q′, xn] = Pn.

[Q′, xn] = [∑α

(αn + 1)−1fα∂α+en , xn] =

∑α

(αn + 1)−1[fα∂α+en , xn]

Obs.1.1.1=

∑α

(αn + 1)−1(fα[∂α+en , xn] + [fα, xn]∂α+en) =∑α

(αn + 1)−1fα[∂α∂n, xn]

Obs.1.1.1=

∑α

(αn + 1)−1fα(∂α[∂n, xn] + [∂α, xn]∂n)Prop.1.1.4

=∑α

(αn + 1)−1fα(αn + 1)∂α

=∑α

fα∂α = Pn

Suponhamos por indução que determinamos um Q′ ∈ Cr tal que [Q′, xi] = Pi para k + 1 ≤i ≤ n. Desta maneira, pelas hipóteses, [[Q′, xi], xk] = [Pk, xi], para k + 1 ≤ i ≤ n. Vamosprovar que o resultado é válido para k.

Seja G = [Q′, xk]− Pk ∈ An. Então [G, xi] = 0, para k + 1 ≤ i ≤ n. De fato:

[G, xi] = [[Q′, xk], xi]− [Pk, xi] = [[Q′, xk], xi]− [Pi, xk]

= [[Q′, xk], xi]− [[Q′, xi], xk]Obs.1.1.2

= [[xi, xk], Q′] = [0, Q′] = 0

Segue da identidade [∂β, xn] = βn∂β−en (Proposição 1.1.4), que se [∂β, xn] = 0, então βn =

0. Então [G, xn] = 0 implica, pela Proposição 1.1.2, que G pode ser escrito como umacombinação linear de monômios da forma xα∂β com β ∈ Nn−1. Como [G, xi] = 0, parak + 1 ≤ i ≤ n, podemos aplicar esse resultado várias vezes e concluir que G =

∑α∈Nk fα∂

α

com fα ∈ k[X]. Seja Q′′ =∑

α∈Nk(αk + 1)−1fα∂α+ek .

Q′ ∈ Cr ⊆ Dr(k[X]) implica que [Q′, xk] ∈ Cr ∩Dr−1(k[X]) = Cr−1. Como Pk ∈ Cr−1, Gtambém pertence à Cr−1. Logo |α| ≤ r − 1. Então |α + ek| = |α|+ 1 ≤ r, ou seja, Q′′ ∈ Cr.Por construção [Q′′, xi] = 0, para k+1 ≤ i ≤ n. Assim [Q′−Q′′, xi] = [Q′, xi]− [Q′′, xi] = Pi,para k + 1 ≤ i ≤ n. Mas [Q′′, xk] = G. De fato:

[Q′′, xk] =∑α∈Nk

(αk + 1)−1fα[∂α∂k, xk] =∑α∈Nk

(αk + 1)−1fα(αk + 1)∂α = G

Então [Q′ − Q′′, xk] = [Q′, xk] − [Q′′, xk] = [Q′, xk] − G = Pk. Portanto [Q′ − Q′′, xi] = Pi,para k ≤ i ≤ n, e a indução está completa.

Teorema 1.1.5. O anel dos operadores diferenciais de k[x1, . . . , xn] é An, ou seja,D(k[x1, . . . , xn]) = An. Além disso, Dm(k[x1, . . . , xn]) = Cm.

Demonstração. É su�ciente provar que Dm(k[x1, . . . , xn]) ⊆ Cm, pois a inclusão oposta éclara. Faremos indução em m. Seja P ∈ D(k[x1, . . . , xn]). Se m = 0, claramente C0 =D0(k[x1, . . . , xn]). Se P ∈ D1(k[x1, . . . , xn]), então pelo Lema 1.1.2, P ∈ Derk(k[x1, . . . , xn])+k[x1, . . . , xn]. Assim P ∈ C1, pela Proposição 1.1.8. Suponha, por indução, queDr(k[x1, . . . , xn]) = Cr para r ≤ m − 1. Seja P ∈ Dm(k[x1, . . . , xn]). Para 1 ≤ i ≤ n,tome Pi = [P, xi]. Como P ∈ Dm(k[x1, . . . , xn]), Pi tem ordem r ≤ m− 1, e segue que Pi ∈Cm−1. Mas, para todos 1 ≤ i, j ≤ n,

[Pi, xj] = [[P, xi], xj]Obs.1.1.2

= [[P, xj], xi] = [Pj, xi]

Então pelo Lema 1.1.4 existe Q ∈ Cm tal que [Q, xi] = Pi, 1 ≤ i ≤ n. Assim [Q− P, xi] = 0em D(k[x1, . . . , xn]). Uma vez que é válido para 1 ≤ i ≤ n, concluímos pelo Lema 1.1.3 que

1.3 PROBLEMAS COM CORPOS COM CARACTERÍSTICA PRIMA 17

Q− P ∈ k[x1, . . . , xn] = C0 ⊆ Cm. Portanto como Q ∈ Cm e Q− P ∈ Cm, temos que P ∈Cm. Assim Dm(k[x1, . . . , xn]) ⊆ Cm, ou seja, Dm(k[x1, . . . , xn]) = Cm, como desejado.

Se P ∈ D(k[x1, . . . , xn]), existe r tal que P ∈ Dr(k[x1, . . . , xn]) = Cr ⊆ An, ou seja,D(k[x1, . . . , xn]) ⊆ An. Reciprocamente, se Q ∈ An, Q =

∑α fα∂

α, com fα ∈ k[x1, . . . , xn].Logo, existe m tal que |α| ≤ m, para todo α que aparece como expoente em ∂. Logo Q ∈Cm = Dm(k[x1, . . . , xn]). Assim An ⊆ D(k[x1, . . . , xn]). Portanto:

D(k[x1, . . . , xn]) = An

1.2 Problemas com corpos com característica prima

Como foi observado no começo deste Capítulo, é essencial que o corpo base sobre o quala álgebra de Weyl está de�nida tenha característica zero. Entretanto, não é imediatamenteclaro porque se deve fazer tal restrição. A�nal, a de�nição da álgebra de Weyl pode fazertodo sentido sem qualquer restrição na característica do corpo k.

O problema é mais profundo. Em primeiro lugar, a álgebra de Weyl com característicaprima sofre com problema de dupla personalidade. Isto acontece porque os dois caminhospelos quais nós de�nimos An (como um anel de operadores diferenciais e como o quocientede uma k -álgebra livre por um ideal de relações) serão dois anéis não isomorfos. Vejamos oque acontece para o corpo Zp, em que p é primo, no caso de uma variável.

Considere primeiro a álgebra de operadores R1 gerada por Zp[x] e sua derivação ∂ emrelação à variàvel x. Vamos calcular ∂p(xk). Se k < p, então ∂p(xk) = 0. Se k ≥ p, então:

∂p(xk) = k . . . (k − p+ 1)xk−p = 0

pois o coe�ciente é divisível por p. Então ∂p = 0 como operador em Zp[x]. Concluímos queo anel de operadores R1 tem elementos nilpotentes. Seja b ∈ R1, um elemento nilpotente.Então existe n ∈ N tal que bn = 0 e bn−1 6= 0. Sendo assim 0 = bn = bbn−1. Portanto, emparticular, R1 não é um domínio.

Agora considere o anel R2 gerado sobre Zp por y, z sujeito à relação [z, y] = 1. Este anelé um domínio. Logo R1 e R2 são anéis não isomorfos. Contudo, R2 não é igual à álgebra deWeyl com característica zero em outro aspecto: não é um anel simples.

Por exemplo, seja f ∈ Zp[y] então [z, f ] = ∂f/∂y. Em particular, [z, yp] = pyp−1 = 0,sobre Zp. Segue que yp comuta com todo elemento de R2. Então o ideal gerado por yp emR2 é um ideal bilateral. Em particular, R2 não é um anel simples.

Estes comentários super�ciais servem para mostrar que o caso da característica prima émuito diferente do caso da característica zero. A álgebra de Weyl com característica primaé discutida com maiores detalhes em [Smi85].

1.3 Álgebra de Weyl de posto in�nito

Agora vamos de�nir a álgebra de Weyl de posto in�nito. Como já mencionamos, o corpok tem característica zero. Vamos exigir nesta seção que ele também seja algebricamentefechado. Vamos basear essa seção em [FGM14][Seções 2.1 e 2.2].

Seja I um conjunto in�nito enumerável satisfazendo a seguinte condição: |I| < |k| (acardinalidade do conjunto I é menor que a cardinalidade do corpo k). Seja B a k -álgebracomutativa dos polinômios em in�nitas variáveis xi, i ∈ I.


Vamos considerar o grupo abeliano aditivo kI consistindo de todos os vetores v = (vi)i∈I

com coe�cientes em k. Seja ZIf o subgrupo de kI, formado por todos os vetores com coe�-

cientes inteiros, com no máximo, uma quantidade �nita de coe�cientes não nulos. Para v∈ ZI

f denotaremos por xv o monômio∏i∈I

xvii . Denotaremos por NIf o conjunto de todos os

vetores pertencentes a ZIf em que todos os coe�cientes são inteiros não negativos.

O anel de polinômios k [x] com uma variável x é um k -espaço vetorial, que tem umabase in�nita formada por 1, x, x2, . . .. No caso do anel de polinômios com várias variáveisx1, . . . , xn, um monômio é um produto xα1

1 · · ·xαnn , em que α1, . . . , αn são inteiros não ne-gativos. Similar ao caso com uma variável, os polinômios com variáveis x1, . . . , xn, formamum k -espaço vetorial que tem uma base formada por todos os monômios chamada de basemonomial ou base canônica.

Portanto, os monômios {xv | v ∈ NIf} formam uma base para B como k -espaço vetorial.

De fato, se p(xi1 , . . . , xin) ∈ B, é um polinômio nas variáveis xi1 , . . . , xin , com i1, . . . , in ∈ I,podemos considerar que p(xi1 , . . . , xin) ∈ k[xi1 , . . . , xin ]. Podemos de�nir a álgebra dos po-linômios k[xi1 , . . . , xin ] com n variáveis comutativas xi1 , . . . , xin por iteração k[xi1 , . . . , xin ] =k[xi1 , . . . , xin−1 ][xin ]. Esta de�nição corresponde à ideia de que uma soma de monômios emn variáveis comutativas xi1 , . . . , xin deve ser escrita como um polinômio na última variá-vel xin , colocando-a em evidência em cada monômio, em que os coe�cientes pertencem àk [xi1 , . . . , xin−1 ] (para mais detalhes indicamos [SZ91], Capítulo I). Dessa forma existem:um inteiro não negativo m, coe�cientes cαi1 ...αin ∈ k e 0 ≤ αi1 , . . . , αin ≤ m inteiros nãonegativos tais que:

p(xi1 , . . . , xin) =m∑

αi1 ,...,αin=0

cαi1 ...αinxαi1i1· · ·xαinin

ou seja, p(xi1 , . . . , xin) é uma combinação linear de monômios com coe�cientes em k. Oscoe�cientes cαi1 ...αin na representação canônica acima são únicos, pois se considerarmos duaspossíveis representações canônicas do mesmo polinômio p(xi1 , . . . , xin), isto é,

p(xi1 , . . . , xin) =m∑

αi1 ,...,αin=0

cαi1 ...αin xαi1i1· · ·xαinin =

m∑αi1 ,...,αin=0

dαi1 ...αin xαi1i1· · ·xαinin

usando indução em n, concluímos que cαi1 ...αin = dαi1 ...αin , para todos 0 ≤ αi1 , . . . , αin ≤ m.

De�nição 1.3.1 (Álgebra de Weyl de posto in�nito). Para i ∈ I, seja Xi = xi o operadorlinear em B dado pela multiplicação por xi. Seja Yi = ∂i, o operador linear em B dado peladerivada parcial com respeito à variável xi, isto é, ∂i é uma derivação de B de�nida por∂i · xj = δij nos geradores, em que δij é o símbolo do delta de Kronecker. A álgebra de Weylde posto in�nito A = Ak,I é a subálgebra de Endk(B) gerada por todos Xi e Yi, i ∈ I.

Quando dizemos que o posto de A é in�nito, queremos dizer que ela é gerada por umaquantidade in�nita de elementos.

É fácil de veri�car que os geradores satisfazem as seguintes relações:

[Yi, Xj] = δij · 1

[Xi, Xj] = [Yi, Yj] = 0

para todo i, j ∈ I, em que 1 é o operador identidade e 0 o operador nulo.

1.3 ÁLGEBRA DE WEYL DE POSTO INFINITO 19

Estas relações dão uma apresentação para a álgebra A, ou seja, qualquer outra relaçãoentre os geradores de A, é combinação destas relações listadas acima.

De�nição 1.3.2. Para i ∈ I, seja ti = XiYi = xi∂i ∈ A. Denotaremos por A0 a subálgebrade A gerada por todos ti, i ∈ I.

Proposição 1.3.1. A0 é uma subálgebra comutativa de A.

Demonstração. Sabemos que [Yi, Xj] = δij · 1, [Xi, Xj] = 0 e [Yi, Yj] = 0 para todo i, j ∈ I.Vamos veri�car que quaisquer dois geradores de A0 comutam. Sejam ti, tj ∈ A0, com i 6= j.Então:

titj = XiYiXjYj = XiXjYiYj = XjXiYjYi = XjYjXiYi = tjti

Para v ∈ ZIf de�nimos o elemento:

Xv =∏i:vi>0

Xvii

∏i:vi<0

Y −vii

Proposição 1.3.2. A álgebra de Weyl de posto in�nito A é livre tanto como A0-módulo àesquerda como à direita, com base {Xv | v ∈ ZI

f}.Demonstração. Vamos provar que A é livre como A0-módulo à esquerda. De maneira análogaé possível provar que também é livre como A0-módulo à direita.

Considere um monômio nos geradores de A, isto é, Zk1 · · ·Zkr , com Zkl ∈ {Xi, Yj | i, j ∈I}, 1 ≤ l ≤ r. Usando a relação [Yj, Xi] = δji · 1, podemos "reorganizar" o monômio demaneira que ele seja uma soma de monômios em que todos os X's estão à esquerda de todosos Y 's, com coe�cientes em k, ou seja, Zk1 · · ·Zkr =

∑ai1···imj1···jnX

ui1i1· · ·Xuim

imYvj1j1· · ·Y vjn

jn,

em que ai1···imj1···jn ∈ k, {i1, · · · , im, j1, · · · , jn} ∈ I, (ui1 , . . . , uim) ∈ Nm e (vj1 , . . . , vjn) ∈ Nn. Podemos reescrever da seguinte maneira:

Zk1 · · ·Zkr =∑

ai1···imj1···jnXui1i1· · ·Xuim

imY−(−vj1 )

j1· · ·Y −(−vjn )

jn

em que −vj1 < 0, . . . ,−vjn < 0. Como k ⊂ A0, temos que A é gerado pelo conjunto {Xv | v ∈ZIf} como A0-módulo à esquerda.Agora vamos provar que o conjunto é linearmente independente sobre A0. Sabemos que

Yj, j ∈ I, é o operador linear em B dado pela derivada parcial com respeito à variávelxj, ou seja, Yj(xi) = ∂j(xi) = δji · 1. Dado v = (vi)i∈I ∈ ZI

f , se vi < 0, então vi seráexpoente de Yi com sinal oposto, ou seja, Y −vii . Dessa forma −vi é um inteiro não negativo.Considerando Y

−vj1j1· · ·Y −vjnjn

, com {j1, . . . , jn} ∈ I, temos que (−vj1 , . . . ,−vjn) ∈ Nn. SejaP =

∑u,v auvX

ui1i1· · ·Xuim

imY−vj1j1· · ·Y −vjnjn

, com auv ∈ A0, em que u = (ui1 , . . . , uim) ∈ Nm ev = (−vj1 , . . . ,−vjn) ∈ Nn. Vamos provar que se algum auv 6= 0 então P =

∑u,v auvX

uY v 6=0. Seja w = (−wj1 , . . . ,−wjn) ∈ Nn o menor multi-índice, com respeito à ordem lexicográ�ca,que aparece como expoente de Y em P . Notamos que se r < n, então Nr é identi�cado como subconjunto de Nn em que as últimas n − r coordenadas são nulas, ou seja, se w ∈Nr então w ∈ Nn, basta "completar" as n − r coordenadas com zeros. Vamos considerarxw = x

−wj1j1· · · x−wjnjn

∈ B. Observamos que −wj1 > 0, . . . ,−wjn > 0. Usando o Lema 1.1.1,temos que P (xw) =

∑u,v auvX

uY v(xw) = w!∑

u auwXu, pois se w é estritamente menor

que v, na ordem lexicográ�ca, então Y v(xw) = 0. Pela escolha de w, existe u ∈ Nm tal queauw 6= 0. Como A não possui divisores de zero implica que auwXu 6= 0. Temos que P (xw)é não nulo , pois no mínimo um dos coe�cientes auw é não nulo. Portanto P 6= 0, comodesejado.


Proposição 1.3.3. Os geradores de A0, ti, i ∈ I, são algebricamente independentes sobrek.

Demonstração. Seja R uma k -álgebra. Dizemos que os elementos u1, . . . , un ∈ R são algebri-camente independentes sobre k se não existe um polinômio não nulo f(x1, . . . , xn) no anelde polinômios k[x1, . . . , xn] tal que f(u1, . . . , un) = 0.

Queremos provar que o conjunto {ti}i∈I é algebricamente independente sobre k. Bastaprovar para uma quantidade �nita de elementos. Seja {ti1 , . . . , tin}, em que i1, . . . , in ∈ I, eik 6= il, 1 ≤ k, l ≤ n.

Seja p(xi1 , . . . , xin) ∈ B, um polinômio não nulo, nas variáveis xi1 , . . . , xin , com i1, . . . , in∈ I. Então p(xi1 , . . . , xin) =

∑αi1 ,...,αin

cαi1 ...αinxαi1i1· · ·xαinin , com cαi1 ...αin ∈ k e αi1 , . . . , αin

são inteiros não negativos.Vamos supor que p(ti1 , . . . , tin) = 0, ou seja:∑αi1 ,...,αin

cαi1 ...αin tαi1i1· · · tαinin = 0 =⇒

∑αi1 ,...,αin

cαi1 ...αin (Xi1Yi1)αi1 · · · (XinYin)αin = 0

Seja (XjYj)αj , j ∈ I, αj um inteiro não negativo. Temos que (XjYj) · · · (XjYj)︸︷︷︸

αjvezes

. Usando a

relação [Yj, Xj] = 1, (XjYj)αj =

∑βjdβjX

βjj Y

βjj , com dβj ∈ k e βj é um inteiro não negativo.

Então: ∑βi1 ,...,βin

dβi1 ...βinXβi1i1Yβi1i1· · ·Xβin

inYβinin

= 0

com dβi1 ...βin ∈ k e βi1 , . . . , βin são inteiros não negativos.

Como ik 6= il, 1 ≤ k, l ≤ n, temos que∑

βi1 ,...,βindβi1 ...βinX

βi1i1· · ·Xβin

inYβi1i1· · ·Y βin

in= 0.

Seja σ = (σi1 , . . . , σin) o menor multi-índice, com respeito à ordem lexicográ�ca, que aparececomo expoente de Y , ou seja, Y

σi1i1· · ·Y σin

in. Observamos que dσi1 ...σin 6= 0 e X

σi1i1· · ·Xσin

in6= 0.

Escolhemos xσi1i1· · ·xσinin = xσ ∈ B. Como p(ti1 , . . . , tin) = 0 é o operador nulo em B,

temos que p(ti1 , . . . , tin)(xσ) = 0, isto é,∑

βi1 ,...,βindβi1 ...βinX

βi1i1· · ·Xβin

inYβi1i1· · ·Y βin

in(xσ) = 0.

Pelo Lema 1.1.1 temos que 0 = p(ti1 , . . . , tin)(xσ) = σ! (dσi1 ...σin Xσi1i1· · ·Xσin

in). Isso é um

absurdo, pois a álgebra A não possui divisores de zero. Então, não existe polinômio não nuloem B que anule {ti1 , . . . , tin}. Portanto {ti}i∈I é algebricamente independente sobre k.

Proposição 1.3.4. Nenhum elemento Xv, com v 6= 0, v ∈ ZIf , comuta com todos os

elementos de A0.

Demonstração. Seja Z uma combinação linear de elementos da forma∏

i:ui>0

Xuii

∏i:ui<0

Y −uii ,

em que u ∈ ZIf e os coe�cientes estão em k, ou seja, Z =

∑u auXu, com au ∈ k. Usando

a ordem lexicográ�ca podemos considerar Z = avXv + Z ′, com v 6= 0, em que deg(Z ′) <deg(Xv).

Suponhamos que ZA0 = A0Z, isto é, Za = aZ, para todo a ∈ A0.Temos que Xv = X

vi1i1· · ·Xvim

imY−uj1j1

· · ·Y −ujnjn, com {i1, . . . , im, j1, . . . , jn} ∈ I e uj1 <

0, . . . , ujn < 0. Notemos que para v, cada coordenada vi, será expoente de X ou de Y , deacordo com a de�nição de Xv. Logo um índice i de X, não aparecerá como índice de Y , evice-versa. Novamente pela de�nição de Xv, temos que vi1 ≥ 1.


Vamos escolher ti1 = Xi1Yi1 ∈ A0 e calcular [Xv, ti1 ].

[Xv, ti1 ] = [Xvi1i1· · ·Xvim

imY−uj1j1

· · ·Y −ujnjn, Xi1Yi1 ]

Obs.1.1.1.2= Xi1 [X

vi1i1· · ·Xvim

imY−uj1j1

· · ·Y −ujnjn, Yi1 ] + [X

vi1i1· · ·Xvim

imY−uj1j1

· · ·Y −ujnjn, Xi1 ]Yi1

Obs.1.1.1.1= Xi1([X

vi1i1· · ·Xvim

im, Yi1 ]Y

−uj1j1

· · ·Y −ujnjn+X

vi1i1· · ·Xvim

im[Y−uj1j1

· · ·Y −ujnjn, Yi1 ])

+(Xvi1i1· · ·Xvim

im[Y−uj1j1

· · ·Y −ujnjn, Xi1 ] + [X

vi1i1· · ·Xvim

im, Xi1 ]Y

−uj1j1

· · ·Y −ujnjn)Yi1

Temos que [Xvi1i1· · ·Xvim

im, Xi1 ] = [Y

−uj1j1

· · ·Y −ujnjn, Yi1 ] = 0. Então:

[Xv, ti1 ] = Xi1 [Xvi1i1· · ·Xvim

im, Yi1 ]Y

−uj1j1

· · ·Y −ujnjn︸︷︷︸1

+Xvi1i1· · ·Xvim

im[Y−uj1j1

· · ·Y −ujnjn, Xi1 ]Yi1︸︷︷︸

2

Simpli�cando 1:

Xi1 [Xvi1i1· · ·Xvim

im, Yi1 ]Y

−uj1j1

· · ·Y −ujnjn=

Xi1Xvi1i1· · ·Xvim

imYi1Y

−uj1j1

· · ·Y −ujnjn−

Xi1Yi1Xvi1i1· · ·Xvim

imY−uj1j1

· · ·Y −ujnjn

= Xi1Xvi1i1Yi1X

vi2i2· · ·Xvim

imY−uj1j1

· · ·Y −ujnjn−

Xi1Yi1Xvi1i1Xvi2i2· · ·Xvim

imY−uj1j1

· · ·Y −ujnjn

= Xi1 [Xvi1i1, Yi1 ]X

vi2i2· · ·Xvim

imY−uj1j1

· · ·Y −ujnjn

Pela Proposição 1.1.1, item 2, [Xvi1i1, Yi1 ] = −[Yi1 , X

vi1i1

] = −vi1Xvi1−1

i1. Assim

Xi1 [Xvi1i1· · ·Xvim

im, Yi1 ]Y

−uj1j1

· · ·Y −ujnjn= −vi1X

vi1i1· · ·Xvim

imY−uj1j1

· · ·Y −ujnjn= −vi1Xv

Agora vamos simpli�car 2:

Xvi1i1· · ·Xvim

im[Y−uj1j1

· · ·Y −ujnjn, Xi1 ]Yi1 =

Xvi1i1· · ·Xvim

imY−uj1j1

· · ·Y −ujnjnXi1Yi1 −

Xvi1i1· · ·Xvim

imXi1Y

−uj1j1

· · ·Y −ujnjnYi1

†= X

vi1i1· · ·Xvim

imY−uj1j1

· · ·Y −ujnjnXi1Yi1 −

Xvi1i1· · ·Xvim

imY−uj1j1

· · ·Y −ujnjnXi1Yi1 = 0

Na passagem † usamos o fato que i1 6= jk, 1 ≤ k ≤ n. Portanto [Xv, ti1 ] = −vi1Xv 6= 0, poisvi1 ≥ 1. Então −avvi1Xv 6= 0. Temos que:

[Z, ti1 ] = av[Xv, ti1 ] + [Z ′, ti1 ] = −avvi1Xv + [Z ′, ti1 ]

Como deg(Z ′) < deg(Xv), pelo Teorema 1.1.3, item 3, temos que deg[Z ′, ti1 ] ≤ deg(Z ′)+2− 2 < deg(Xv). Então [Z ′, ti1 ] não cancela o elemento −avvi1Xv. Portanto [Z, ti1 ] 6= 0.

Chegamos assim à uma contradição.

Já que nenhum elementoXv, com v 6= 0, comuta com todos os elementos de A0, segue queA0 é uma subálgebra comutativa maximal em A. Em outras palavras, A0 é uma subálgebracomutativa maximal em A, porque não existe elemento de A r A0 que comute com todos


os elementos de A0, isto é, não existe uma subálgebra comutativa A′ de A que contenha A0

propriamente.Nós provamos que os geradores da álgebra A0, os ti, i ∈ I, são algebricamente inde-

pendentes sobre k. Além disso, provamos também que eles comutam entre si. Sendo assimpodemos dizer que:

A0∼= k[ti | i ∈ I]

ou seja, A0 pode ser vista como uma k -álgebra comutativa dos polinômios em in�nitasvariáveis ti, i ∈ I.

Agora vamos de�nir alguns conceitos importantes e resultados envolvendo o anel dospolinômios em n variáveis comutativas k [x1, . . . , xn] com coe�cientes em k. Observamos queesse anel na verdade é uma k -álgebra, pois contém k como subanel (subanel dos polinômioscom grau 0). Para mais detalhes indicamos [SZ91] (Capítulos I e II) e [Jac80] (Capítulo 7).

Observação 1.3.1. Quando dizemos que um polinômio f(x1, . . . , xn) =∑ai1...inx

i11 · · ·xinn

em k[x1, . . . , xn] é não nulo, signi�ca que algum coe�ciente ai1...in deste polinômio é não nulo.Se o corpo não tiver característica 0 pode acontecer que um polinômio não nulo assuma ovalor zero em todos os pontos de kn. Por exemplo, o polinômio de uma variável f(x) = x2 +x∈ F2[x] é zero quando avaliamos nos dois pontos {0, 1} de F2, mas f não é o polinômio nulo.

Temos que kn é o k -espaço vetorial n-dimensional das n-uplas (a1, . . . , an), em que ai ∈k.

Para qualquer subconjunto Z de kn, o ideal

I(Z) = {f ∈ k[x1, . . . , xn] | f(a1, . . . , an) = 0 para todos (a1, . . . , an) ∈ Z}

de todos os polinômios que se anulam identicamente em Z é um ideal no anel dos polinômiosk [x1, . . . , xn]. Ele é chamado de ideal de Z.

Para qualquer conjunto S ⊆ k[x1, . . . , xn], podemos de�nir um subconjunto algébricoV (S) sobre k como o seguinte subconjunto de kn:

V (S) = {(a1, . . . , an) ∈ kn | f(a1, . . . , an) = 0 para todo f ∈ S}

Notemos que V (S) = V (〈S〉), então todos os conjuntos algébricos são conjuntos de zerosde algum ideal, assim só precisamos considerar os conjuntos algébricos V (I) para algumideal I ⊆ k[x1, . . . , xn].

Pelo Teorema da Base de Hilbert (veja Capítulo 2, Teorema 2.3.2), se I ⊆ k[x1, . . . , xn]é um ideal, então ele é �nitamente gerado, isto é, I = 〈f1, . . . , fm〉, para alguns polinômiosfi, 1 ≤ i ≤ m. Em particular, todo conjunto algébrico é um conjunto de zeros comuns deuma quantidade �nita de polinômios, para qualquer subconjunto S ⊆ k[x1, . . . , xn], ou seja,V (S) = V (〈S〉) = V (〈f1, . . . , fm〉) = V (f1, . . . , fm).

Podemos dar um signi�cado geométrico à alguns quocientes do anel de polinômios. SejaZ um conjunto algébrico em kn. Se tomarmos qualquer polinômio f(x1, . . . , xn), pode-mos considerá-lo como uma k -função avaliada em kn, por avaliação em cada ponto p =(a1, . . . , an), isto é, f(p) para todo p ∈ kn. Podemos restringir tal função polinomial f ao sub-conjunto Z ⊆ kn, e tomar uma função em Z. Mas diferentes polinômios f, g ∈ k [x1, . . . , xn],podem acabar restringindo a mesma função em Z. Isto acontece se, e somente se, f − gse anula identicamente em Z se, e somente se, f − g ∈ I(Z) se, e somente se, f = g emk[x1, . . . , xn]/I(Z). Então k[x1, . . . , xn]/I(Z) é simplesmente o anel de funções em Z quesão restrições de funções polinomiais em kn, é chamado de anel das funções k-regulares e édenotado por k [Z] (não deve ser confundido com um anel de polinômios na variável Z).


Se I ⊆ k[x1, . . . , xn] é um ideal próprio, sua intersecção com os polinômios de grau 0, k⊆ k [x1, . . . , xn], é {0}. Então o anel quociente k[x1, . . . , xn]/I também contém k como umsubanel, e então o quociente é uma k -álgebra. Anéis quocientes da forma C = k[x1, . . . , xn]/I,em que I é um ideal próprio, são chamados de k-álgebras de tipo �nito e sua dimensão comoum k -espaço vetorial é enumerável. As classes de equivalências xi em C serão denotadaspor yi por conveniência, e chamadas de funções coordenadas. Claramente, f(x1, . . . , xn) =f(y1, . . . , yn) pela de�nição das operações de anel em C, e então estes yi's geram C comouma k -álgebra, isto é, todo elemento de C pode ser escrito como um polinômio nas variáveisyi's com coe�cientes em k. Se f(x1, . . . , xn) ∈ I, por de�nição, a classe de equivalênciaf(x1, . . . , xn) = 0 em C, isto é, f(y1, . . . , yn) = 0. Reciprocamente, se f(y1, . . . , yn) = 0,então f ∈ I. Logo I é precisamente o conjunto das "restrições" ou "relações" que medem a"distância" do anel C para o anel de polinômios k [x1, . . . , xn].

Vamos caracterizar os ideais maximais de k [x1, . . . , xn].Um ideal I em um anel comutativo R é chamado de ideal maximal se ele é um ideal

próprio, e não contém nenhum ideal próprio além dele mesmo. Todo ideal próprio de umanel comutativo R está contido em algum ideal maximal em R, pelo Lema de Zorn.

Como resultado da álgebra comutativa temos que um ideal próprio I em um anel comu-tativo R é maximal se, e somente se, R/I é um corpo. De fato, se I ⊆ J para algum idealJ ⊆ R, então o conjunto J/I = {a | a ∈ J} é um ideal de R; J é um ideal próprio de R se, esomente se, J/I é um ideal próprio de R/I; além disso, J = I se, e somente se, J/I = {0};portanto I é um ideal maximal em R se, e somente se, R/I não contém ideais próprios alémde {0}.

Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, todo polinômio de grau ≥ 1 em C[x] tem umaraiz em C. Como consequências deste teorema: todo polinômio de grau ≥ 1 em C[x] é umproduto de polinômios lineares e os únicos ideais maximais em C[x] são os ideais 〈x− a〉,para algum a ∈ C. Então os ideais maximais em C[x] estão em correspondência biunívocacom C.

Agora vamos reunir alguns fatos importantes da teoria dos corpos que serão relevantesposteriormente.

Se k ⊆ K é um extensão de corpos algébrica (isto é, todo elemento de K é algébricosobre k) e k é algebricamente fechado então k = K.

Se k ⊆ K é uma extensão de corpos tal que K é uma k -álgebra de tipo �nito, e k éum conjunto não enumerável, então K é uma extensão algébrica de k. De fato, como todoelemento de k é certamente algébrico sobre k, basta tomar a ∈ Krk e considerar o conjunto{(a − c)−1 | c ∈ k}; observamos que (a − c) 6= 0, para todo c ∈ k e todos os elementos doconjunto acima são distintos; a cardinalidade do conjunto é a mesma cardinalidade de k,ou seja, o conjunto é um subconjunto não enumerável de K; como a dimensão de K comok -espaço vetorial é enumerável, o conjunto é linearmente dependente; segue que a é algébricosobre k. Como consequência desse fato: se k ⊆ K é uma extensão de corpos tais que K éuma k -álgebra de tipo �nito e k é algebricamente fechado e não enumerável, então k = K.

Uma extensãoK de k é transcendente se ela não é algébrica, isto é, seK contém elementosque são transcendentes sobre k. Se K é obtida de k por adjunção de elementos de algumconjunto transcendente L, então K é dita ser uma extensão puramente transcendente de k.

A seguinte proposição é geralmente chamada de pequeno Nullstellensatz, embora sejaequivalente ao grande Nullstellensatz. Na Alemanha, "Nullstellensatz" signi�ca "Teoremados Zeros".

Proposição 1.3.5 (Hilbert's Nullstellensatz I). Seja k um corpo algebricamente fechado.Então o ideal I ⊆ k[x1, . . . , xn] é maximal se, e somente se, I = 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉 para


alguns ai ∈ k. Em outras palavras, os ideais maximais estão em correspondência biunívocacom os pontos de kn.

Demonstração. Vamos veri�car primeiro que os ideais I = 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉 são ma-ximais. Para isso precisamos mostrar que R/I é um corpo, em que R = k[x1, . . . , xn]. Sef(x1, . . . , xn) é qualquer polinômio em R, podemos reescrevê-lo como

f((x1 − a1) + a1, . . . , (xn − an) + an)

Agora qualquer potência ((xi−ai) +ai)ni pode ser escrita na forma (xi−ai)gi +anii (por

expansão binomial), em que gi é algum polinômio em xi. Substituindo estes em f , temospela expansão de Taylor de f :

f(x1, . . . , xn) = f(a1, . . . , an) +n∑i=1

hi(x1, . . . , xn)(xi − ai)

em que hi ∈ R. O segundo termo do lado direito da igualdade pertence claramente aoideal I = 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉. Isto mostra que todo elemento em R = k[x1, . . . , xn] écongruente ao elemento f(a1, . . . , an) ∈ k (mod I). Temos também que todo elemento a ∈ k⊆ R é claramente congruente somente à ele mesmo (mod I) (pois I ∩ k = {0}). Então R/Ié simplesmente o corpo k, e portanto I é maximal.

Reciprocamente, seja I ⊆ R = k[x1, . . . , xn] um ideal maximal. Pela de�nição R/I éuma k -álgebra de tipo �nito, contendo k, e é um corpo. Denotemos por K. Então k ⊆ Ké uma extensão de corpos, e pelas hipóteses concluímos que k = K. Denotando as classesde equivalências de xi por xi ∈ K = R/I, segue que xi = ai ∈ k para todo i = 1, . . . , n.Dizer que xi = ai em K, por de�nição, signi�ca que xi − ai ∈ I para todo i. Então oideal 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉 ⊆ I. Entretanto, já provamos que o ideal 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉é maximal. Então ele é igual à I, que é um ideal próprio.

Generalizando esse resultado para A0∼= k[ti | i ∈ I], temos que o ideal de A0 gerado pelos

elementos ti − pi, pi ∈ k, i ∈ I, é maximal em A0. Então, para p ∈ kI, denotamos por mp oideal maximal em A0 gerado por ti − pi, i ∈ I, isto é, mp = 〈ti − pi〉i∈I.

O próximo lema sobre os ideais maximais da k -álgebra A0 tem uma relação com o "Hil-bert's Nullstellensatz I".

Lema 1.3.1. Todo ideal maximal em A0 tem a forma mp, para algum p ∈ kI.

Demonstração. Seja m um ideal maximal em A0. Então A0/m é um corpo. Logo (A0/m)/ké uma extensão de corpos.

Como k é algebricamente fechado, todo polinômio com coe�cientes em k, possui todas assuas raízes em k. Sendo assim, todos os elementos algébricos de A0/m sobre k pertencem àk. Seja z ∈ (A0/m)r k. O elemento z é transcendente sobre k, pois se existisse um polinômionão nulo com coe�cientes em k tal que z fosse raiz deste polinômio, então z ∈ k, pois k éalgebricamente fechado. Então a extensão de corpos k ↪→ A0/m é um isomor�smo ou é umaextensão puramente transcendente.

Suponhamos que k ∼= A0/m. Para ti, i ∈ I, existe pi ∈ k tal que pi é congruente a ti(mod m), ou seja, ti−pi ∈ m, para i ∈ I. Então mp = 〈ti − pi〉i∈I ⊆ m, em que p ∈ kI. Comom é maximal em A0, por de�nição m 6= A0. Então mp ⊆ m implica que mp = m, pois mp émaximal em A0.

Se a extensão é puramente transcendente, escolhemos z ∈ (A0/m)rk (que é transcendentesobre k). Notemos que (z − c) 6= 0, para qualquer c ∈ k. Temos que o conjunto formado

1.4 ÁLGEBRA DE WEYL GENERALIZADA 25

pelos elementos (z− c)−1, com c percorrendo k, é linearmente independente sobre k. De fato:suponhamos que (z− c1)−1, . . . , (z− cn)−1, com c1, . . . , cn ∈ k, são linearmente dependentessobre k ; então existem a1, . . . , an ∈ k, nem todos nulos tal que a1(z−c1)−1+. . .+an(z−cn)−1 =0 . Consideremos f(x) ∈ k [x], tal que f(x) = a1(x− c1)−1 + . . .+ an(x− cn)−1. Temos quef(z) = 0 e como k é algebricamente fechado, temos que z ∈ k, isso é uma contradição.Isso signi�ca que a k -dimensão de A0/m é no mínimo |k|, isto é, ≥ |k|. Por outro lado, ak -dimensão de A0 é |I| e |I| < |k| (condição imposta no início da seção), ou seja, a k -dimensãode A0/m é < |k|, uma contradição.

Portanto o resultado segue.

1.4 Álgebra de Weyl generalizada

As álgebras de Weyl generalizadas foram introduzidas por Bavula em [Bav92a].Vimos na Seção 1.1 que a n-ésima álgebra de Weyl An(k) é a k -álgebra associativa unital

com geradores x1, . . . , xn,∂1, . . . , ∂n que satisfazem as seguintes relações:

[xi, xj] = [∂i, ∂j] = 0 e [∂i, xj] = δij

para 1 ≤ i, j ≤ n.Nesta seção n pode ser um inteiro positivo ou in�nito enumerável.Pela de�nição dada por Bavula em [Bav92a]: seja D um anel, σ um automor�smo de

D e a um elemento central de D (ou seja, a pertence ao centro de D); a álgebra de Weylgeneralizada D(σ, a) de grau 1 é o anel gerado por D e por duas indeterminadas X e Ysujeitas às relações:

Xd = σ(d)X e Y d = σ−1(d)Y

para todo d ∈ D eY X = a e XY = σ(a)

Em muitos casos D é uma álgebra sobre um corpo k e σ é um automor�smo de álgebras.Então, neste caso, D(σ, a) é uma k -álgebra.

Exemplo 1.4.1. Seja D = k[H], a k-álgebra dos polinômios na variável H. Sejam σ o únicoautomor�smo de D que veri�ca σ(H) = H − 1 e a = αH + β um polinômio de grau 1. Aálgebra de Weyl generalizada D(σ, a) que obtemos tem relações:

HY = Y H − Y ; XH = HX −X

YX = αH + β ; XY = αH + β − α

Neste caso temos a relação XY = Y X − α. Desta maneira temos uma apresentação deD(σ, a) com geradores X, Y e uma relação XY = Y X − α. Concluímos que a álgebra deWeyl generalizada de grau 1 que corresponde a esses dados é isomorfa à álgebra de Weylclássica A1 = k 〈∂, x | ∂x− x∂ = 1〉.

Agora vamos à realização de An(k) como uma álgebra de Weyl generalizada de grau nD(σ, a) (veja [Bav92a], [BB00] ou [BBF04]).

De�nição 1.4.1. Para um grupo G, seja A(G) = {α ∈ Aut(G) | xα(x) = α(x)x para todo x ∈G}. Os automor�smos que pertencem a A(G) são chamados de automor�smos comutantes.


Para de�nirmos a álgebra de Weyl generalizada de grau n partimos de uma álgebraassociativa unital D; uma n-upla de elementos centrais a = (a1, . . . , an) de D; e uma n-uplade automor�smos comutantes σ = (σ1, . . . , σn) de D (σiσj = σjσi, para todo i, j) tais queσi(aj) = aj se i 6= j. A álgebra D(σ, a) é gerada sobre D por elementos Xi, Yi, i = 1, . . . , n,que satisfazem as relações:

Xid = σi(d)Xi , Yid = σ−1i (d)Yi

YiXi = ai , XiYi = σi(ai)

[Xi, Xj] = [Yi, Yj] = 0 , 1 ≤ i, j ≤ n

[Yi, Xj] = 0 , 1 ≤ i 6= j ≤ n

para todo d ∈ D.Os elementos ti = ∂ixi na álgebra de Weyl An(k) geram uma álgebra polinomial D =

k[t1, . . . , tn]. Observamos que na Seção 1.3 de�nimos ti = xi∂i, logo ti = ti + 1, em que 1 éo operador identidade. Tomando a = (a1, . . . , an), em que ai = ti ∈ D, de�nindo Xi = xi eYi = ∂i, e considerando σ = (σ1, . . . , σn) como a n-upla dos automor�smos comutantes deD dados por σi(tj) = tj − δij · 1, obtemos uma realização de An(k) como a álgebra de Weylgeneralizada D(σ, a).

A álgebra A∞ pode ser vista como uma álgebra de Weyl generalizada de posto in�nito.

Exemplo 1.4.2. A álgebra de Weyl quântica A1(q) = 〈∂, x | ∂x− qx∂ = 1〉 sobre k, em queq 6= 0 ∈ k, é uma álgebra de Weyl generalizada A1(q) ∼= D(σ, a), em que D = k[H] (a álgebrados polinômios na variável H), a = H, σ é de�nido da seguinte maneira σ(H) = q−1(H−1),e usamos as identi�cações x↔ X, ∂ ↔ Y e ∂x↔ H.

Exemplo 1.4.3. O plano quântico Λ = k 〈X, Y | XY = qY X〉, em que q 6= 0 ∈ k, é umaálgebra de Weyl generalizada Λ ∼= D(σ, a), em que D = k[H] (a álgebra dos polinômios navariável H), a = H, σ é de�nido da seguinte maneira σ(H) = qH, e usamos as identi�caçõesX ↔ X, Y ↔ Y e Y X ↔ H.

Seja uma k -álgebra A =⊗n

i=1Ai o produto tensorial (sobre k) de álgebras de Weylgeneralizadas Ai = Di(σi, ai) de grau 1 sobre um corpo k algebricamente fechado, em queDi = k[Hi] são anéis de polinômios em uma variável; σi é um automor�smo de Di tal queσi(Hi) = λiHi + µi, em que λi 6= 0, µi ∈ k ; e ai é um elemento não nulo de Di. Então A éuma álgebra de Weyl generalizada de grau n.

Ou seja,

A =

(n⊗i=1

Di

)(σ = (σ1, . . . , σn), a = (a1, . . . , an))

é uma álgebra deWeyl generalizada de grau n, com anel básicoD =⊗n

i=1Di = k[H1, . . . , Hn],o anel de polinômios em n variáveis; com ai = Hi, para i = 1, . . . , n; e com automor�smos{σi : σi(Hi) = λiHi + µi, σi(Hj) = Hj, se i 6= j}.

Vejamos dois exemplos dessa construção:

Exemplo 1.4.4. A n-ésima álgebra de Weyl An(k) = A1 ⊗ . . . ⊗ A1 (n vezes), é a álgebrade Weyl generalizada D(σ, a) de grau n em que D = k[H1, . . . , Hn], {ai ∈ D | ai = Hi, 1 ≤i ≤ n} e {σi | σi(Hj) = Hj − δij, 1 ≤ i, j ≤ n}.

Exemplo 1.4.5. A álgebra de Weyl quântica de grau n

An(q) = A1(q)⊗ . . .⊗ A1(q) (n vezes) , q 6= 0 ∈ k

1.5 REFERÊNCIAS 27

é outro exemplo de uma álgebra de Weyl generalizada que é o produto tensorial de álgebrasde Weyl generalizadas de grau 1.

Suponhamos que A = D(σ, a), . . . ,A′ = D′(σ′, a′) são álgebras de Weyl generalizadas degrau n, . . . ,m respectivamente. Então o produto tensorial entre elas (sobre k)

A⊗ . . .⊗A′ = D ⊗ . . .⊗D′(σ ∪ . . . ∪ σ′, a ∪ . . . ∪ a′)

é uma álgebra de Weyl generalizada de grau n+ · · ·+m com anel base D ⊗ . . .⊗D′.A álgebra oposta Aop de uma álgebra de Weyl generalizada também é uma álgebra de

Weyl generalizada:Aop = Dop(σ−1, σ(a))

em que σ−1 = (σ−1i )i e σ(a) = (σi(ai))i.

Podemos graduar uma álgebra de Weyl generalizada. Seja A = D(σ, a) uma álgebrade Weyl generalizada de grau n. Para qualquer vetor w = (w1, . . . , wn) ∈ Zn, tomemosvw = vw1(1) . . . vwn(n), em que para quaisquer 1 ≤ i ≤ n e m > 0:

vm(i) = Xmi , v−m(i) = Y m

i e v0(i) = 1.

No caso n = 1 escrevemos vm para vm(1).Segue da de�nição de uma álgebra de Weyl generalizada que

A =⊕w∈Zn

Aw

é uma Zn-álgebra graduada, com espaços homogêneos Aw = Dvw = vwD, tais que AwAu ⊆Aw+u, para todos w, u ∈ Zn.

Segue que A é um D-módulo livre à esquerda e à direita.Observamos que na Seção 1.3 de�nimos o elemento

Xv =∏i:vi>0

Xvii

∏i:vi<0

Y −vii

para v ∈ ZIf , e provamos que o conjunto formado por elementos dessa forma, variando o

vetor v, é uma base de A = Ak,I como A0-módulo à direita e à esquerda. Na verdade, aquelaideia é praticamente uma generalização desta graduação descrita acima.

1.5 Referências

Grande parte da Seção 1.1 foi baseada em [Cou95] [Capítulos 1, 2 e 3]. A Seção 1.2 foibaseada em [Cou95][Capítulo 2]. A Seção 1.3 foi baseada em [FGM14][Seções 2.1 e 2.2]. ASeção 1.4 foi baseada em [Bav92a], [BBF04] e [BB00].

Capítulo 2

Módulos sobre a álgebra de Weyl

2.1 Módulos sobre a álgebra de Weyl An

Podemos pensar que o conceito de um módulo sobre um anel é uma generalização danoção de espaço vetorial sobre um corpo, pois em um módulo os escalares pertencem à umanel arbitrário.

Vamos começar lembrando a de�nição de um R-módulo. Seja R um anel. Um R-móduloà esquerda M é um subgrupo abeliano aditivo, munido da ação R × M −→ M , tal que(a,m) 7→ a ·m, que satisfaz:

1. a · (m+ n) = a ·m+ a · n;

2. (a+ b) · n = a · n+ b · n;

3. (ab) ·m = a · (b ·m);

4. 1R ·m = m.

para todos a, b ∈ R e para todos m,n ∈ M . Em alguns casos, chamaremos simplesmente deR-módulo. Também escrevemos am para denotar o elemento a ·m do R-módulo M .

No Capítulo 1, vimos que a álgebra de Weyl An é um subanel de Endk(k [x1, . . . , xn]),em que k [x1, . . . , xn] é o anel dos polinômios em n variáveis comutativas. Deduz-se daí quek [x1, . . . , xn] é um An-módulo à esquerda, em que a ação de xi em k [x1, . . . , xn] é dada pelamultiplicação pela variável xi, enquanto ∂i age pela diferenciação com respeito à xi.

De�nição 2.1.1. Seja R um anel. Um R-módulo M não nulo é irredutível, ou simples, seos únicos submódulos de M são os triviais.

De�nição 2.1.2. Seja M um R-módulo à esquerda. Um elemento u ∈ M é um elementode torção se annR(u) = {a ∈ R | au = 0} (aniquilador de u) é um ideal à esquerda de Rnão nulo. Se todo elemento de M é de torção, então M é dito ser um módulo de torção.

Observação 2.1.1. A de�nição dada acima é encontrada em [Cou95]. Observamos quealguns autores de�nem um módulo de torção sobre um domínio de integridade, de�nem umsubmódulo de torção t(M), e então M é módulo de torção se t(M) = M .

Lema 2.1.1. Seja R um anel e M um R-módulo à esquerda irredutível.

1. Se 0 6= u ∈M , então M ∼= R/annR(u).

2. Se R não é um anel de divisão, então M é um R-módulo de torção.

29

30 MÓDULOS SOBRE A ÁLGEBRA DE WEYL 2.1

Demonstração. 1. Considere a aplicação φ : R −→ M de�nida por φ(1R) = 1Ru = u.Esta aplicação é um homomor�smo de R-módulos. Como u 6= 0 e M é irredutível, φ ésobrejetora, pois o R-submódulo à esquerda de M gerado por u é igual à M , ou seja,im(φ) = M . Temos também que ker(φ) = annR(u). De fato: se b ∈ annR(u), entãoφ(b) = bu = 0, isto é, b ∈ ker(φ); reciprocamente, se a ∈ ker(φ) então φ(a) = 0 = au,isto é, a ∈ annR(u). Pelo Primeiro Teorema do Isomor�smo para R-módulos, temosque R/ker(φ) ∼= im(φ). Portanto R/annR(u) ∼= M .

2. Suponhamos que annR(u) = 0, para algum 0 6= u ∈ M . Segue do item 1. que M ∼= R.Como M é irredutível, os únicos ideais à esquerda de R são os triviais. Mas neste casoR é um anel de divisão, contradizendo a hipótese. Então annR(u) 6= 0. Portanto M éum R-módulo de torção.

Vamos aplicar este resultado para o An-módulo k [x1, . . . , xn].

Proposição 2.1.1. k[x1, . . . , xn] é um An-módulo de torção irredutível. Além disso,

k[x1, . . . , xn] ∼= An/n∑i=1

An · ∂i

Demonstração. Primeiramente, 1 ∈ k é claramente um gerador de k [x1, . . . , xn] como An-módulo à esquerda. Agora suponha que f 6= 0 é um polinômio de k [x1, . . . , xn] e considere osubmódulo An · f (submódulo gerado por f). Seja xi11 · · · xinn um monômio com maior graupossível, de acordo com a ordem lexicográ�ca, dentre todos os monômios que aparecem emf com coe�cientes não nulos. Seja a o seu coe�ciente. Então ∂i11 · · · ∂inn (f) = i1! . . . in!a, que éuma constante não nula pertencente ao submódulo gerado por f . Assim k[x1, . . . , xn] ⊆ An·f .Portanto An · f = k[x1, . . . , xn]. Concluímos, que os únicos submódulos de k [x1, . . . , xn] sãoos triviais, ou seja, k [x1, . . . , xn] é um An-módulo irredutível.

Já provamos que An não é um anel de divisão no Capítulo 1. Portanto segue do Lema2.1.1(2), que k [x1, . . . , xn] é um An-módulo de torção.

Agora 1 é um elemento não nulo de k [x1, . . . , xn] que é aniquilado por ∂1, . . . , ∂n. Então oideal à esquerda J de An gerado por ∂1, . . . , ∂n, J =

∑ni=1 An · ∂i, está contido em annAn(1).

Reciprocamente, seja P ∈ annAn(1). Como P ∈ An, P pode ser escrito na forma f +Q, emque Q ∈ J e f ∈ k [x1, . . . , xn]. Então 0 = P ·1 = Q ·1+f ·1 = f ·1, implica que f = 0. AssimP = Q ∈ J . Concluímos que J = annAn(1). O isomor�smo segue do Lema 2.1.1(1).

Podemos generalizar essa ideia como segue. Escolha g1, . . . , gn ∈ k [x1, . . . , xn] e considereo ideal à esquerda J de An gerado por ∂1− g1, . . . , ∂n− gn. Todo elemento de An é da formaf + P , para f ∈ k [x1, . . . , xn] e P ∈ J (veja [Cou95], Capítulo 5, Exercício 4.1). Entãoa aplicação ψ : An/J −→ k[x1, . . . , xn] de�nida por ψ(f + J) = f é um isomor�smo dek -espaços vetoriais. Embora a ação dos x's seja preservada pelo isomor�smo, a aplicação ψnão é um isomor�smo de An-módulos. De fato, se f é um polinômio, então

∂i · (f + J) =∂f

∂xi+ f · ∂i + J =

∂f

∂xi+ f · gi + J

Logo ψ(∂i · (f + J)) = ∂i · f + gi · f = (∂i + gi) · f , tal que o lado direito deve ser calculadoem k [x1, . . . , xn] com a sua ação natural. Portanto ψ não preserva a ação de ∂i.

O An-módulo An/J é irredutível; a prova é similar a demonstração da Proposição 2.1.1.Um outro módulo que está intimamente relacionado ao k [x1, . . . , xn] é o An-módulo

An/∑n

i=1 An ·xi. Como um k -espaço vetorial ele é isomorfo à k[∂] = k[∂1, . . . , ∂n], o conjunto

2.1 MÓDULOS SOBRE A ÁLGEBRA DE WEYL AN 31

dos polinômios nas variáveis ∂1, . . . , ∂n. Usando este isomor�smo, podemos identi�car aação do An diretamente em k [∂1, . . . , ∂n]: os ∂'s agem por multiplicação, enquanto a ação dexi em ∂j é dada por −δij · 1. Além das semelhanças óbvias, os An-módulos k [∂1, . . . , ∂n] ek [x1, . . . , xn] estão relacionados de modo mais profundo que vai ser explicado posteriormentena Proposição 2.1.3.

Seja R um anel e M um R-módulo à esquerda. Suponhamos que σ é um automor�smode R. Podemos de�nir um novo R-módulo à esquerda Mσ, do seguinte modo:

De�nição 2.1.3. Seja Mσ um conjunto, tal que Mσ = M como grupos abelianos e existeuma ação de R em Mσ de�nida por a • u = σ(a)u, para todos a ∈ R, u ∈ M . Mσ é umR-módulo à esquerda, chamado de módulo torcido de M por σ.

A diferença entre M e Mσ, reside na ação de R em Mσ. Sendo assim, Mσ herda muitasdas propriedades de M .

Proposição 2.1.2. Seja R um anel, M um R-módulo à esquerda e σ um automor�smo deR. Então:

1. Mσ é irredutível se, e somente se, M é irredutível.

2. Mσ é um módulo de torção se, e somente se, M é um módulo de torção.

3. Se N é um submódulo de M então (M/N)σ ∼= Mσ/Nσ.

4. Seja J um ideal à esquerda de R. Seja σ(J) = {σ(r) | r ∈ J}. Então σ(J) é um idealà esquerda de R e (R/J)σ ∼= R/σ−1(J).

Demonstração. 1. Um R-módulo M é irredutível se, e somente se, para todo 0 6= u ∈ M ,R · u = M se, e somente se, para quaisquer u, v ∈ M , não nulos, existe a ∈ R tal queau = v. Esta equação se traduz como σ−1(a)•u = σ(σ−1(a))u = au = v em Mσ, o queprova 1.

2. Similarmente, para a ∈ R, u ∈ M , a equação au = 0 em M , torna-se σ−1(a) • u =σ(σ−1(a))u = au = 0 em Mσ, o que prova 2.

3. É uma aplicação imediata do Primeiro Teorema do Isomor�smo para R-módulos.

4. Como σ é um automor�smo de R, segue que σ(J) é um ideal à esquerda de R, poisσ(J) 6= ∅; se σ(r1), σ(r2) ∈ σ(J), temos que σ(r1) + σ(r2) = σ(r1 + r2) ∈ σ(J),pois J é um ideal à esquerda de R; além disso, para b ∈ R, σ(r) ∈ σ(J), temos quebσ(r) = σ(σ−1(b))σ(r) = σ(σ−1(b)r) ∈ σ(J), pois σ−1(b)r ∈ J . Seja φ : R −→ (R/J)σum homomor�smo de R-módulos de�nido por φ(1R) = 1R +J . Se b ∈ R, então φ(b) =b • φ(1R) = σ(b)(1R + J) = σ(b) + J . Assim φ é sobrejetiva. Além disso, b ∈ ker(φ) ⇔φ(b) = σ(b) + J = 0 + J ⇔ σ(b) ∈ J ⇔ b ∈ σ−1(J). Então ker(φ) = σ−1(J). Portanto4 segue do Primeiro Teorema do Isomor�smo para R-módulos.

Vamos aplicar esta construção para An. Um importante exemplo é a Transformação deFourier. Seja F um automor�smo de An de�nido por F(xi) = ∂i e F(∂i) = −xi (veja[Cou95], Capítulo 1, Exercício 4.8). Seja M um An-módulo à esquerda. O módulo torcidoMF é chamado de Transformação de Fourier de M . A razão para o nome é que F transformaum operador diferencial com coe�cientes constantes em um polinômio.

Proposição 2.1.3. A Transformação de Fourier de k[x1, . . . , xn] é k[∂1, . . . , ∂n].


Demonstração. Segue da Proposição 2.1.1 que k[x1, . . . , xn] ∼= An/J , em que J =∑n

i=1 An·∂i.Como F−1(J) =

∑ni=1 An · F−1(∂i) =

∑ni=1 An · xi, podemos aplicar a Proposição 2.1.2(4),

e temos que:

(k[x1, . . . , xn])F ∼= (An/J)F ∼= An/F−1(J) = An/n∑i=1

An · xi

Temos que An/∑n

i=1 An · xi ∼= k[∂1, . . . , ∂n], como k -espaços vetoriais, portanto a Transfor-mação de Fourier de k [x1, . . . , xn] é k [∂1, . . . , ∂n], ou seja, (k[x1, . . . , xn])F ∼= k[∂1, . . . , ∂n].

Segue da Proposição 2.1.2(1) e da Proposição 2.1.3, que k [∂1, . . . , ∂n] é um An-móduloirredutível.

2.2 Módulos graduados e �ltrados

Como vimos no Capítulo 1, Subseção 1.1.3, podemos de�nir um grau para os elementosda álgebra de Weyl. Usando esse grau, podemos construir um anel comutativo Sn = grBAn,que funciona como uma sombra de An. Podemos então desenhar um esboço do que An

realmente se parece. Este é o melhor método que nós temos para entender a estrutura deAn e seus módulos.

2.2.1 Anéis e módulos graduados

Uma importante característica do anel de polinômios é que ele admite uma função grau.Nós queremos generalizar e formalizar o que signi�ca para uma álgebra ter um grau. Issoleva à de�nição de anéis graduados. Estes anéis encontram sua justi�cativa em geometriaalgébrica, mais precisamente em geometria algébrica projetiva. De�niremos anéis graduadossem assumir comutatividade.

De�nição 2.2.1. Seja R uma k-álgebra. R é k - álgebra graduada se existem k-subespaçosvetoriais Ri, i ∈ N, tais que:

1. R =⊕

i∈NRi,

2. Ri ·Rj ⊆ Ri+j.

Os Ri são chamados de componentes homogêneas de R. Os elementos de Ri são oselementos homogêneos de grau i. Se Ri = {0} quando i < 0, dizemos que a graduação épositiva. Vamos considerar somente graduações positivas.

O exemplo mais importante de uma álgebra graduada é o anel de polinômios k [x1, . . . , xn].Os monômios xk11 . . . xknn com k1+. . .+kn = m, formam uma base da componente homogêneade grau m.

Os mais importantes anéis graduados que aparecem em geometria algébrica são quoci-entes de anéis de polinômios. Eles são construídos como segue.

De�nição 2.2.2. Seja R uma k-álgebra graduada. Um ideal bilateral I de R é um idealgraduado se I =

⊕i≥0(I ∩Ri).

Então, um ideal graduado é gerado por elementos homogêneos. A recíproca também éverdadeira: um ideal gerado por elementos homogêneos será graduado.

2.2 MÓDULOS GRADUADOS E FILTRADOS 33

De�nição 2.2.3. Sejam R =⊕

i≥0Ri e S =⊕

i≥0 Si, k-álgebras graduadas. Um homo-mor�smo de k-álgebras φ : R → S é um homomor�smo graduado se φ(Ri) ⊆ Si, para todoi ≥ 0.

Assim, um homomor�smo graduado é aquele que preserva o grau. Os conceitos de homo-mor�smo graduado e ideal graduado estão relacionados, como mostra o próximo resultado:

Proposição 2.2.1. Sejam R =⊕

i≥0Ri e S =⊕

i≥0 Si, k-álgebras graduadas.

1. O kernel de um homomor�smo graduado de k-álgebras φ : R→ S é um ideal bilateralgraduado de R.

2. Se I é um ideal bilateral graduado de R então R/I é uma k-álgebra graduada.

Demonstração. 1. Suponha que φ é um homomor�smo graduado. O kernel de φ é umideal bilateral de R. Seja a = a0 ⊕ . . . ⊕ as ∈ R, um elemento do kernel de φ. Entãoφ(a) = φ(a0) + . . . + φ(as). Como φ é graduado, φ(ai) ∈ Si, para cada i = 0, . . . , s.Então a soma é direta, isto é, φ(a) = ⊕si=0φ(ai). Como φ(a) = 0, temos que φ(ai) = 0,para cada i. Então ai ∈ ker(φ), para i = 0, . . . , s. Assim ker(φ) = ⊕i≥0(ker(φ) ∩ Ri).Portanto 1. está provado.

2. Seja I um ideal bilateral graduado de R. Então podemos decompor o anel quocienteR/I em uma soma direta de k -espaços vetoriais,

R/I ∼=⊕i≥0

(Ri/(I ∩Ri))

Se ai ∈ Ri e aj ∈ Rj então (ai + I)(aj + I) = aiaj + I corresponde à um elementode Ri+j/(I ∩Ri+j), sob esse isomor�smo. Então R/I é um anel graduado (isto é, umak -álgebra graduada), o que prova 2.

Isto nos fornece uma maneira de gerar exemplos de anéis graduados. Sejam f1, . . . , fkpolinômios homogêneos em k [x1, . . . , xn]. O quociente k[x1, . . . , xn]/ 〈f1, . . . , fk〉 é um anelgraduado, em que 〈f1, . . . , fk〉 é o ideal de k [x1, . . . , xn] gerado por f1, . . . , fk.

Uma álgebra graduada admite um tipo especial de módulo.

De�nição 2.2.4. Seja R =⊕

i≥0Ri uma k-álgebra graduada. Um R-módulo à esquerda Mé um módulo graduado se existem k-espaços vetoriais Mi, para i ≥ 0, tais que:

1. M =⊕

i≥0Mi,

2. Ri ·Mj ⊆Mi+j.

Os Mi são as componentes homogêneas de grau i de M . Observamos que a de�nição demódulo graduado depende da estrutura graduada escolhida para a álgebra R.

Podemos de�nir submódulos graduados e homomor�smos de módulos graduados imi-tando as de�nições correspondentes para anéis graduados.

De�nição 2.2.5. Sejam R uma k-álgebra graduada e M,M ′ R-módulos à esquerda gra-duados. Um submódulo N de M é um submódulo graduado se N =

⊕i≥0(N ∩Mi). Um

homomor�smo de R-módulos θ : M →M ′ é um homomor�smo graduado se θ(Mi) ⊆M ′i .


Segue que o ker(θ) é um submódulo graduado e que o módulo quociente M/N é umR-módulo graduado. A demonstração é similar a prova da Proposição 2.2.1.

Isto permite produzir exemplos de módulos graduados. Seja R =⊕

i≥0Ri uma k -álgebragraduada e Rn o R-módulo à esquerda livre de posto n. Este módulo tem uma graduaçãonatural, sua m-ésima componente homogênea é o espaço vetorial∑

i1+...+in=m

(Ri1 ⊕ · · · ⊕Rin)

Se L é um submódulo graduado de Rn, então Rn/L é um módulo à esquerda graduado�nitamente gerado. A importância dos anéis graduados é explicada na próxima subseção.

2.2.2 Anéis �ltrados

No Capítulo 1, Subseção 1.1.3, introduzimos o grau de um operador na álgebra de WeylAn. Entretanto, este grau não pode ser usado para graduar o anel An. O problema é queum elemento como ∂1x1 deveria ser homogêneo de grau 2, mas é igual à x1∂1 + 1, que não éhomogêneo. Para usar esse grau efetivamente, devemos generalizar anéis graduados, obtendoanéis �ltrados.

De�nição 2.2.6. Seja R uma k-álgebra. Uma família F = {Fi}i≥0 de k-espaços vetoriais éuma �ltração de R se

1. F0 ⊆ F1 ⊆ F2 ⊆ · · · ⊆ R,

2. R =⋃i≥0 Fi,

3. Fi · Fj ⊆ Fi+j.

Se uma álgebra tem uma �ltração, ela é chamada de álgebra �ltrada. Por convenção Fj ={0}, se j < 0.

Agora vamos mostrar que toda álgebra graduada é �ltrada. Suponha que G =⊕

i≥0Gi

é uma k -álgebra graduada. Considere os k -espaços vetoriais Fr =⊕r

i=0Gi. ClaramenteFr ⊆ Fr+1 e a união de todos os Fr é G. Como

Fr · Fs = (r⊕i=0

Gi)(s⊕j=0

Gj) =⊕

i+j≤r+s

Gi ·Gj

e Gi ·Gj ⊆ Gi+j, temos que Fr · Fs ⊆ Fr+s. Então {Fr}r≥0 é uma �ltração de G. Por outrolado, existem álgebras �ltradas que não tem uma graduação natural. Isto acontece com aálgebra de Weyl An, que possui diferentes �ltrações. Vamos apresentar dois exemplos.

A primeira �ltração de An que será discutida é a �ltração de Bernstein. É a �ltraçãode�nida usando o grau dos operadores de An. Seja r ∈ N. Denote por Br o conjunto detodos os operadores de An de grau ≤ r. Esses são subespaços vetoriais de An. As condições1. e 2. de uma �ltração são claramente satisfeitas pelos Br's, enquanto que 3. é consequênciado Teorema 1.1.3(2), ou seja, para D ∈ Bs e D′ ∈ Bt, o grau de DD′ é ≤ s+ t, isto é, DD′

∈ Bs+t. Então B = {Br}r∈N é uma �ltração de An. Também escrevemos B(An) ou Br(An).A �ltração de Bernstein tem uma característica muito especial: cada Br é um espaço

vetorial de dimensão �nita. Uma base para Br é determinada por monômios xα∂β com|α|+ |β| ≤ r. Em particular, B0 = k e {1, x1, . . . , xn, ∂1, . . . , ∂n} é a base de B1.


Um outro importante exemplo de �ltração para An é a �ltração ordem, denotada porC. Como no Capítulo 1, Subseção 1.1.4, denote por Cr o k -espaço vetorial de todos osoperadores de ordem ≤ r em An. É claro que a propriedade 1. de uma �ltração é válida paraC, a propriedade 2. é consequência do Teorema 1.1.5 e a propriedade 3. é uma consequênciada Proposição 1.1.7 (Capítulo 1, Subseção 1.1.4). Note que C0 = k[x1, . . . , xn] é um k -espaçovetorial de dimensão in�nita. Apesar desta desvantagem, a �ltração ordem tem a vantagemde que, ao contrário da �ltração de Bernstein, é bem de�nida para outros anéis de operadoresdiferenciais.

2.2.3 Álgebra graduada associada

Nós podemos usar uma �ltração de uma álgebra para construir uma graduação destaálgebra.

Seja R uma k -álgebra. Suponha que F = {Fi}i∈N é uma �ltração de R. Como primeiropasso na construção da álgebra graduada, introduziremos a aplicação símbolo de ordem r,que é a projeção canônica de k -espaços vetoriais

σr : Fr → Fr/Fr−1

Então para um operador d ∈ Fr, o símbolo σr(d) é não nulo se, e somente se, d /∈ Fr−1.Considere agora o k -espaço vetorial

grFR =⊕i≥0

(Fi/Fi−1)

Queremos fazer a graduação da k -álgebra R. Para isto é su�ciente de�nir uma multiplicaçãode dois elementos homogêneos, e estender por linearidade. Um elemento homogêneo de grFRé da forma σr(a) para algum a ∈ Fr. Seja σm(b), para b ∈ Fm, um outro elemento homogêneo,e de�na o produto entre eles por

σr(a)σm(b) = σr+m(ab)

Vamos veri�car que este produto está bem de�nido, isto é, o elemento σr+m(ab) emFr+m/Fr+m−1 não depende da escolha de a e b. Seja a1 um outro elemento em Fr tal queσr(a1) = σr(a) em Fr/Fr−1. Então σr(a1−a) = 0 em Fr/Fr−1. Isto signi�ca que a1−a ∈ Fr−1.Como F é uma �ltração, a1b− ab ∈ Fr+m−1. Logo σr+m(a1b− ab) = 0 em Fr+m/Fr+m−1, ouseja, σr+m(a1b) = σr+m(ab) em Fr+m/Fr+m−1. Similarmente, podemos mostrar que σr+m(ab)não depende da escolha de b.

Então grFR com esta multiplicação é uma k -álgebra graduada, com componentes homo-gêneas Fi/Fi−1. De fato: sejam x ∈ Fr/Fr−1 e y ∈ Fm/Fm−1. Temos que, existem a ∈ Fr talque σr(a) = x e b ∈ Fm tal que σm(b) = y. Assim xy = σr(a)σm(b) = σr+m(ab). Portanto xy∈ Fr+m/Fr+m−1, como queríamos. Dizemos que grFR é a álgebra graduada de R associadacom a �ltração F .

Vejamos agora uma importante aplicação deste resultado. Seja Sn = grBAn, a álgebragraduada de An associada com a �ltração de Bernstein B.

Teorema 2.2.1. A álgebra graduada Sn é isomorfa ao anel de polinômios sobre k em 2nvariáveis.

Demonstração. Vamos dividir a prova em alguns passos. Para i = 1, . . . , n, sejam yi = σ1(xi)


e yi+n = σ1(∂i). Se yj = σ1(xj), observamos que:

ymj = yj · · · yj︸︷︷︸m vezes

= σ1(xj) . . . σ1(xj) = σ(1+···+1)(xj · · ·xj) = σm(xmj )

Da mesma forma, se yj+n = σ1(∂j), então ymj+n = σm(∂mj ).

Primeiro passo: Sn é gerada por y1, . . . , y2n como uma k -álgebra.

Como Sn é uma k -álgebra graduada, é su�ciente provar para elementos homogêneosde Sn. Mas, um elemento homogêneo de Sn é da forma σr(d), para algum d ∈ An comgrau r. Agora d ∈ Br, ou seja, d é uma combinação linear de monômios xα∂β, com|α|+ |β| ≤ r. Se |α|+ |β| = r, então

σr(xα∂β) = σ|α|+|β|(x

α∂β) = σ|α|(xα)σ|β|(∂

β)

= (σα1+...+αn(xα11 · · ·xαnn ))(σβ1+...+βn(∂β11 · · · ∂βnn ))

= (σα1(xα11 ) · · · σαn(xαnn ))(σβ1(∂

β11 ) · · ·σβn(∂βnn ))

= (yα11 · · · yαnn )(yβ1n+1 · · · y

βn2n )

Então σr(d) é uma combinação linear de monômios em y1, . . . , y2n de grau r, comoqueríamos provar.

Segundo passo: Sn é um anel comutativo.

Como Sn é gerada por y1, . . . , y2n, precisamos somente mostrar que esses elementoscomutam em Sn. Para i = 1, . . . , n, temos que yiyi+n = σ1(xi)σ1(∂i) = σ2(xi∂i) eyi+nyi = σ2(∂ixi). Como ∂ixi = xi∂i + 1 e σ2(1) = σ1(1)σ1(1) = 0, temos que

σ2(∂ixi) = σ2(xi∂i)

Então yiyi+n = yi+nyi, para i = 1, . . . , n. Se 1 ≤ i, j ≤ n, temos que yiyj = σ2(xixj) =σ2(xjxi) = yjyi. Analogamente, se n + 1 ≤ i, j ≤ 2n, temos que yiyj = yjyi. Agora,seja 1 ≤ i ≤ n e n+ 1 ≤ j ≤ 2n, com j 6= i+ n, ou seja, j − n 6= i. Então

yiyj = σ1(xi)σ1(∂j−n) = σ2(xi∂j−n) = σ2(∂j−nxi) = yjyi

Concluímos que os geradores de Sn comutam.

Seja k [z1, . . . , z2n] o anel dos polinômios em 2n variáveis. Os dois passos anteriores nospermite de�nir um homomor�smo de anéis sobrejetivo

φ : k[z1, . . . , z2n] −→ Sn

por φ(zi) = yi. Como os z's tem grau 1 em k [z1, . . . , z2n] e os y's tem grau 1 em Sn, segueque φ é um homomor�smo de k -álgebras graduado.

Terceiro passo: φ é injetivo.

Seja F (z1, . . . , z2n) ∈ k [z1, . . . , z2n]. Então F (z1, . . . , z2n) =∑cαβz

α11 · · · zαnn zβ1n+1 · · · z

βn2n .

Suponhamos que φ(F (z1, . . . , z2n)) = 0. Como φ é um homomor�smo graduado, pode-mos assumir que F é um polinômio homogêneo. Seja

F (y1, . . . , y2n) =∑

cαβyα11 · · · yαnn yβ1n+1 · · · y

βn2n


em que α1 + · · · + αn + β1 + · · · + βn = r. De�na um operador d ∈ An da seguintemaneira

d =∑

cαβxα11 · · ·xαnn ∂β11 · · · ∂βnn

Então

σr(d) =∑

cαβσr(xα∂β) =

∑cαβy

α11 · · · yαnn yβ1n+1 · · · y

βn2n = F (y1, . . . , y2n)

Por outro lado, 0 = φ(F (z1, . . . , z2n)) = F (y1, . . . , y2n). Se σr(d) = φ(F (z1, . . . , z2n)) =0, então d ∈ Br−1. Assim d pode ser escrito como uma combinação linear de monô-mios xα∂β com |α| + |β| < r. Por construção, d é também uma combinação linearde monômios de grau r. Pela Proposição 1.1.2 (Capítulo 1) a escrita de d comocombinação linear desses monômios é única. Logo todos os coe�cientes cαβ são ze-ros. Então F (z1, . . . , z2n) é o polinômio nulo e φ é injetivo como desejado, ou seja,k[z1, . . . , z2n] ∼= Sn = grBAn.

Uma observação é que a álgebra graduada grCAn associada à �ltração por ordem tambémé isomorfa ao anel de polinômios em 2n variáveis (veja [Cou95], Capítulo 7, Exercício 6.5).

2.2.4 Módulos �ltrados

Para de�nir um módulo �ltrado devemos começar com um anel �ltrado. Por uma questãode simplicidade vamos dar a de�nição somente para a álgebra de Weyl An com a �ltraçãode Bernstein B = {Br}r∈N.

De�nição 2.2.7. Seja M um An-módulo à esquerda. Uma família Γ = {Γi}i≥0 de k-espaçosvetoriais de M é uma �ltração do módulo M se ela satisfaz:

1. Γ0 ⊆ Γ1 ⊆ · · · ⊆M ,

2.⋃i≥0 Γi = M ,

3. BiΓj ⊆ Γi+j.

Por convenção Γj = {0} se j < 0.

Embora essa seja a de�nição padrão de uma �ltração de módulo, vamos exigir que as�ltrações tenham uma condição adicional. Antes, observamos que 3. com i = 0, implicaque cada Γj é um k -espaço vetorial. A quarta condição que uma �ltração de módulo devesatisfazer é:

4. Γi é um k-espaço vetorial de dimensão �nita.

É claro que B é uma �ltração de An como um An-módulo. Um exemplo mais interessanteé o An-módulo k [x1, . . . , xn]. Os espaços vetoriais Γi de todos os polinômios com grau ≤ iformam uma �ltração de k [x1, . . . , xn] para a �ltração de Bernstein B. De fato as propriedades1., 2. e 4. de uma �ltração de módulo são claramente satisfeitas pelos Γi. Vejamos que 3.também é satisfeita. Sejam P ∈ Bi e f ∈ Γj. Seja xσ11 · · ·xσnn um monômio com maior graupossível, de acordo com a ordem lexicográ�ca, dentre todos os monômios que aparecem emf com coe�cientes não nulos; da mesma maneira seja xα1

1 · · ·xαnn ∂β11 · · · ∂βnn um monômiocom maior grau possível em P . Temos que |σ| ≤ j e |α| + |β| ≤ i. Seja xα∂β(xσ). Os


resultados possíveis de ∂β(xσ) são uma constante não negativa c (Lema 1.1.1) ou cxγ, emque c é uma constante e |γ| = |σ| − |β| > 0. Em todos os casos possíveis o grau de Pf , vistocomo um polinômio nas variáveis x1, . . . , xn com coe�cientes em k, terá no máximo grau|α|+ |γ| = |α|+ |σ| − |β| ≤ i− |β|+ j − |β| ≤ i+ j, ou seja, Pf ∈ Γi+j.

Seguindo o padrão da Subseção 2.2.3, podemos de�nir o módulo graduado associado comum módulo �ltrado.

Seja M um An-módulo à esquerda e seja Γ uma �ltração de M com respeito à B. De�naa aplicação símbolo de ordem r da �ltração Γ como sendo a projeção canônica

µr : Γr → Γr/Γr−1

Agora tome o k -espaço vetorial

grΓM =⊕i≥0

(Γi/Γi−1)

De�niremos uma ação de Sn nesse k -espaço vetorial, em que Sn = grBAn. Se a ∈ Br e u ∈Γi, seja

σr(a) · µi(u) = µr+i(au)

Como os elementos de Sn e grΓM são somas �nitas únicas de elementos homogêneos, es-tendendo essa fórmula por linearidade obtemos uma ação de Sn em grΓM . Vamos veri�carque essa ação está bem de�nida, isto é, não depende das escolhas de a e u. Seja a1 um outroelemento em Br tal que σr(a1) = σr(a). Então σr(a1 − a) = 0 em Br/Br−1. Assim a1 − a∈ Br−1. Como Γ é uma �ltração de M com respeito à B, temos que (a1 − a)u = a1u − au∈ Γr+i−1. Então µr+i(a1u − au) = 0 em Γr+i/Γr+i−1. Portanto µr+i(a1u) = µr+i(au) emΓr+i/Γr+i−1.

Agora seja u1 um outro elemento em Γi tal que µi(u1) = µi(u). Como µi(u1− u) = 0 emΓi/Γi−1, concluímos que u1−u ∈ Γi−1. Novamente, como Γ é uma �ltração deM com respeitoà B, temos que a(u1 − u) = au1 − au ∈ Γr+i−1. Então µr+i(au1 − au) = 0 em Γr+i/Γr+i−1.Portanto µr+i(au1) = µr+i(au) em Γr+i/Γr+i−1. Assim a ação está bem de�nida.

Agora, vamos veri�car que para a ∈ Bi/Bi−1 e u ∈ Γj/Γj−1 temos que au ∈ Γi+j/Γi+j−1.Sabemos que existe x ∈ Bi tal que σi(x) = a e existe y ∈ Γj tal que µj(y) = u. Assimau = σi(x)µj(y) = µi+j(xy), em que xy ∈ Γi+j. Portanto au ∈ Γi+j/Γi+j−1.

Portanto grΓM é um Sn-módulo graduado com componentes homogêneas Γi/Γi−1. EsseSn-módulo é chamado de módulo graduado associado à �ltração Γ .

Seja Γ a �ltração deM com respeito à �ltração de Bernstein B, em queM é o An-módulok [x1, . . . , xn], como de�nida anteriormente. Queremos determinar o módulo graduado deM associado à �ltração Γ . Temos que Γi/Γi−1 é isomorfo ao espaço vetorial de todos ospolinômios homogêneos de grau i. Assim grΓM é isomorfo à k [x1, . . . , xn] como k -espaçosvetoriais. Entretanto vimos no Teorema 2.2.1 que Sn é isomorfa ao anel de polinômios em2n variáveis y1, . . . , y2n. Queremos determinar a ação de y1, . . . , y2n, em um polinômio f degrau r, o qual pode ser considerado como um elemento de Γr/Γr−1. Para i = 1, . . . , n, temosque yi ·f = xif . Para i = n+1, . . . , 2n, devemos ser cuidadosos. Observamos que yi ·f é, porde�nição, µr(∂i(f)). Mas ∂i(f) é homogêneo de grau ≤ r−1. Então yi ·f = 0. Em particularannSn(grΓM) é o ideal gerado por yn+1, . . . , y2n.


2.2.5 Filtrações induzidas

Seja M um An-módulo com uma �ltração Γ com respeito à B. Suponha que N é umsubmódulo de M . Podemos usar Γ para construir �ltrações para N e M/N . Essas sãochamadas de �ltrações induzidas por Γ .

Para obter uma �ltração para N considere Γ ′ = {N ∩ Γi}i≥0. Como N ∩ Γi−1 ⊆ N ∩ Γi,para i ≥ 0, podemos de�nir o quociente N ∩ Γi/N ∩ Γi−1, em que Γ−1 = {0}. A inclusãoN ↪→M nos permite de�nir aplicações lineares injetivas:

φr : N ∩ Γr/N ∩ Γr−1 → Γr/Γr−1

pois N ∩ Γi ↪→M ∩ Γi = Γi para i ≥ 0.Esta família de aplicações produzem uma aplicação linear:

φ : grΓ′N → grΓM

Um cálculo com elementos homogêneos de Sn e de grΓ′N mostra que φ é um homomor�smo

de Sn-módulos. Como os φr são injetivos, então φ também é. Logo grΓ′N ⊆ grΓM .

Agora vamos considerar o módulo quocienteM/N . Seja Γ ′′r o subespaço deM/N de�nidopor

Γ ′′r = Γr/(Γr ∩N)

Observamos que como N ∩ Γr ⊆ M ∩ Γr = Γr, podemos de�nir o quociente Γr/(Γr ∩ N).Vamos veri�car que Γ ′′ = {Γ ′′i }i≥0 é uma �ltração de M/N .

Como Γr e N são subespaços vetoriais deM temos que Γr/(Γr∩N) ∼= (Γr+N)/N . ComoΓr+N ⊆M , então (Γr+N)/N ⊆M/N . Portanto Γ ′′i = Γi/(Γi∩N) ∼= (Γi+N)/N ⊆M/N ,para i ≥ 0. Além disso, Γi−1 + N ⊆ Γi + N . Então (Γi−1 + N)/N ⊆ (Γi + N)/N . PortantoΓi−1/(Γi−1 ∩ N) ⊆ Γi/(Γi ∩ N), ou seja, Γ ′′i−1 ⊆ Γ ′′i , para i ≥ 0. Logo vale a propriedade1. de uma �ltração de módulo. Como

⋃i≥0 Γi = M , temos que

⋃i≥0 Γi + N = M . Assim⋃

i≥0(Γi + N)/N = M/N . Portanto⋃i≥0 Γ

′′i = M/N , e vale a propriedade 2. Além disso,

sabemos que Γi é um subespaço com dimensão �nita, para todo i ≥ 0. Logo Γi/(Γi ∩ N)tem dimensão �nita, ou seja, Γ ′′i tem dimensão �nita para todo i ≥ 0, e vale 4. Para mostrara validade da propriedade 3, seja b ∈ Bi e x ∈ Γ ′′j . Posso considerar que x ∈ (Γj + N)/N ,ou seja, x = (x1 + x2) + N , em que x1 ∈ Γj e x2 ∈ N (que é An-submódulo de M). Assimbx = bx1 + bx2 +N ∈ (Γi+j +N)/N , isto é, bx ∈ Γi+j/(Γi+j ∩N) = Γ ′′i+j, e vale 3.

Vejamos que Γ ′′r /Γ′′r−1∼= Γr/(Γr−1 + Γr ∩N).

Primeiro vamos veri�car que Γr∩(Γr−1+N) = Γr∩Γr−1+Γr∩N . Seja x ∈ Γr∩(Γr−1+N).Como x ∈ Γr−1 + N , então x = y + z, em que y ∈ Γr−1 e z ∈ N . Como Γr−1 ⊆ Γr, y ∈Γr ∩ Γr−1. z = x − y ∈ Γr, logo z ∈ Γr ∩ N . Portanto x = y + z ∈ Γr ∩ Γr−1 + Γr ∩ N .Reciprocamente, seja x = y+ z, com y ∈ Γr ∩ Γr−1 e z ∈ Γr ∩N . Assim y e z ∈ Γr, ou seja,x ∈ Γr. Como y ∈ Γr−1 e z ∈ N , x ∈ Γr−1 +N . Portanto x ∈ Γr ∩ (Γr−1 +N). Observamostambém que Γr−1 + Γr ∩N = Γr ∩ Γr−1 + Γr ∩N . Então:

Γr/(Γr−1 + Γr ∩N) = Γr/(Γr ∩ (Γr−1 +N)) ∼= (Γr + (Γr−1 +N))/(Γr−1 +N)

Assim:

Γr/(Γr−1 + Γr ∩N) ∼= (Γr +N)/(Γr−1 +N) ∼= ((Γr +N)/N)/((Γr−1 +N)/N) ∼= Γ ′′r /Γ′′r−1

Temos que Γr−1 + Γr ∩N ⊆ Γr. Seja a aplicação linear ϕ : Γr → Γr/(Γr−1 + Γr ∩N), tal


que x 7→ x+ (Γr−1 + Γr ∩N). Observamos que:

ker(ϕ) = {x ∈ Γr |x+ (Γr−1 + Γr ∩N) = 0} = {x ∈ Γr ∩ (Γr−1 + Γr ∩N)} = Γr−1 + Γr ∩N

Como Γr−1 ⊆ ker(ϕ), existe a aplicação linear

πr : Γr/Γr−1 → Γr/(Γr−1 + Γr ∩N) ∼= Γ ′′r /Γ′′r−1

a projeção canônica, tal que πr(x + Γr−1) = ϕ(x). A família dessas projeções nos dá umak -aplicação linear

π : grΓM → grΓ′′M/N

Esta aplicação é um homomor�smo sobrejetivo de Sn-módulos.

Lema 2.2.1. Seja M um An-módulo com uma �ltração Γ compatível com B. A sequênciade Sn-módulos

0 // grΓ′N

φ // grΓMπ // grΓ

′′M/N // 0

é exata.

Demonstração. Observamos que:

ker(πr) = {x+ Γr−1 ∈ Γr/Γr−1 | πr(x+ Γr−1) = ϕ(x) = 0} = {x+ Γr−1 | x ∈ ker(ϕ)}

Então ker(πr) = (Γr−1 + Γr ∩N)/Γr−1. Temos que:

(Γr−1 + Γr ∩N)/Γr−1∼= (Γr ∩N)/((Γr ∩N) ∩ Γr−1) = (Γr ∩N)/(Γr−1 ∩N)

Então temos uma sequência exata de espaços vetoriais

0 // (Γr ∩N)/(Γr−1 ∩N)φr // Γr/Γr−1

πr // Γr/(Γr−1 + Γr ∩N) // 0

A sequência de Sn-módulos no Lema é obtida adicionando essas sequências de espaços ve-toriais para r ≥ 0. Portanto ela é exata.

A sequência exata do Lema 2.2.1 é muito útil. Vejamos uma aplicação típica. Seja d ∈An de grau r e seja M = An/An · d. Tome B como a �ltração de An como An-módulo àesquerda. A �ltração induzida em An · d é B′s = Bs−rd. Então:

B′s/B′s−1 = Bs−rd/Bs−r−1d ∼= (Bs−r/Bs−r−1)σr(d)

Como Bs/Bs−1 é a componente homogênea de grau s de Sn, então

grB′(An · d) ∼= Snσr(d)

Pelo Lema 2.2.1, existe uma sequência exata,

0 // Snσr(d) // Sn // grB′(M) // 0

em que grB′(M) ∼= Sn/Snσr(d).

2.3 ANÉIS E MÓDULOS NOETHERIANOS 41

2.3 Anéis e módulos Noetherianos

Vamos provar que a n-ésima álgebra de Weyl An é um anel Noetheriano à esquerda.Sabemos que a imagem homomór�ca de um módulo �nitamente gerado é �nitamente

gerada. Entretanto um módulo �nitamente gerado pode ter um submódulo que não é �-nitamente gerado. Um exemplo é o anel de polinômios em in�nitas variáveis k[x1, x2, . . .].Tomado como módulo sobre ele mesmo este anel é um módulo à esquerda cíclico: é geradopor 1. Contudo, o ideal gerado por todas as variáveis x1, x2, . . . não pode ser �nitamentegerado.

Um R-módulo à esquerda é chamado de Noetheriano se todos os seus submódulos são �-nitamente gerados. Espaços vetoriais de dimensão �nita sobre k são k -módulos Noetherianos.Todo ideal do anel de polinômios em uma variável k [x] é um k [x]-módulo Noetheriano.

Existem várias de�nições equivalentes para R-módulos Noetherianos. Escolhemos a maisnatural. Seguem duas mais:

Teorema 2.3.1. Seja M um R-módulo à esquerda. As seguintes condições são equivalentes:

1. M é Noetheriano.

2. Para cada cadeia ascendente in�nita N1 ⊆ N2 ⊆ . . . de submódulos de M , existe r ≥ 0tal que Ni = Nr para todo i ≥ r.

3. Todo conjunto S de submódulos de M contém um submódulo L que não está propria-mente contido em nenhum outro submódulo em S.

A condição 2. é conhecida como condição de cadeia ascendente. A condição 3. é a condiçãomaximal: o submódulo L é chamado de elemento maximal de S.

Demonstração. Suponhamos que 1 seja válida. Se N1 ⊆ N2 ⊆ . . . é uma cadeia ascendentein�nita de submódulos de M , então Q =

⋃i≥1Ni é um submódulo de M . Logo Q é gerado

por uma quantidade �nita de elementos, u1, . . . , ut. Assim existe r ≥ 0, tal que u1, . . . , ut ∈Nr. Então Q = Nr = Ni, para todo i ≥ r, como desejado em 2.

Vamos assumir que 2 é válida. Vamos provar 3. por contradição. Suponhamos que S nãocontém um elemento maximal. Se N1 ⊆ N2 ⊆ . . . ⊆ Nr é alguma cadeia de elementos de S,então podemos torná-la maior. Como nenhum elemento de S é maximal, existe Nr+1 ∈ Stal que Nr ( Nr+1. Neste caso podemos construir uma cadeia ascendente in�nita própria desubmódulos de M , contradizendo 2.

Finalmente, vamos assumir 3. Sejam N um submódulo de M , S o conjunto de todosos submódulos de N �nitamente gerados e L o elemento maximal de S. Suponhamos queL ( N e tomemos u ∈ N r L. Então L + Ru é �nitamente gerado (pois L é) e contémL propriamente: uma contradição, pois L é maximal em S. Então L = N , ou seja, N é�nitamente gerado. Portanto M é Noetheriano.

Vamos enunciar algumas propriedades básicas dos módulos Noetherianos, mas antes va-mos mostrar um lema técnico.

Lema 2.3.1. Seja M um módulo à esquerda sobre um anel R. Sejam N,P1 e P2 submódulosde M tal que P2 ⊆ P1. Se N + P1 = N + P2 e N ∩ P1 = N ∩ P2, então P1 = P2.

Demonstração. Precisamos somente mostrar que P1 ⊆ P2. Suponhamos que u1 ∈ P1. MasP1 ⊆ N + P1, logo u1 ∈ N + P1 = N + P2. Então u1 = x+ u2, com x ∈ N , u2 ∈ P2. Assimx = u1 − u2 ∈ N ∩ P1 = N ∩ P2. Em particular, x ∈ P2. Portanto u1 = x + u2 ∈ P2, comodesejado.


Proposição 2.3.1. Sejam M um módulo à esquerda sobre R e N um submódulo de M .

1. M é Noetheriano se, e somente se, M/N e N são Noetherianos.

2. Seja N ′ um outro submódulo de M e suponha que M = N +N ′. Se N,N ′ são Noethe-rianos, então M é Noetheriano.

Demonstração. 1. É claro que um submódulo de um módulo Noetheriano é Noetheriano.Logo, se M é Noetheriano então N é Noetheriano. Por outro lado, um submódulo deM/N é da forma L/N para algum submódulo L de M que contém N (Teorema daCorrespondência entre R-módulos). SeM é Noetheriano então L é �nitamente gerado.Logo L/N é �nitamente gerado. Assim M/N é Noetheriano.

Reciprocamente, suponhamos que N e M/N são Noetherianos. Seja L1 ⊆ L2 ⊆ . . .,uma cadeia ascendente in�nita de submódulos deM . Então (L1∩N) ⊆ (L2∩N) ⊆ . . .,é uma cadeia ascendente de submódulos de N . Como N é Noetheriano, esta cadeiaestaciona. Em outras palavras, existe s tal que (Ls ∩N) = (Li ∩N), para todo i ≥ s.Similarmente, a cadeia (N + L1)/N ⊆ (N + L2)/N ⊆ . . ., de submódulos de M/N ,também estaciona. Logo existe r tal que N +Lr = N +Li, para todo i ≥ r. Tomandot = max{s, r}, temos que N +Lt = N +Li e Lt ∩N = Li ∩N , para i ≥ t. Então peloLema 2.3.1, Lt = Li, para i ≥ t. Portanto M é Noetheriano.

2. Observamos que M/N = (N + N ′)/N ∼= N ′/(N ′ ∩ N). Como N ′ é Noetheriano eN ′ ∩ N é submódulo de N ′, temos que M/N é Noetheriano, por 1. Como N e M/Nsão Noetherianos, usando 1 novamente concluimos que M é Noetheriano.

2.3.1 Anéis Noetherianos

Dizemos que um anel R é um anel Noetheriano à esquerda se R é Noetheriano como umR-módulo à esquerda. Corpos e domínios de ideias principais, como Z ou k [x], são exemplosde anéis Noetherianos à esquerda.

Os anéis mais importantes em geometria algébrica são Noetherianos, pois o anel depolinômios em uma quantidade �nita de variáveis é Noetheriano. Isto foi provado por D.Hilbert em 1890 e é peça fundamental da álgebra comutativa. Vamos apresentar uma versãomais moderna do resultado de Hilbert, mas o teorema original segue como consequência.

Teorema 2.3.2 (Teorema da Base de Hilbert). Seja R um anel comutativo Noetheriano. Oanel de polinômios R[x] é Noetheriano.

Demonstração. Suponha que R[x] não é Noetheriano. Seja I um ideal de R[x] que nãoé �nitamente gerado. Vamos construir, indutivamente, uma cadeia ascendente in�nita deideais em R; assim conseguiremos uma contradição. Vamos escolher f1 ∈ I com o menorgrau possível, de acordo com a ordem lexicográ�ca. Como I não é �nitamente gerado, entãoI 6= 〈f1〉. Tome f2 ∈ I r 〈f1〉 de grau minimal. Para cada r tendo encontrado, f1, . . . , fr∈ I, seja fr+1 o polinômio com o menor grau possível em I r 〈f1, . . . , fr〉. Como I não é�nitamente gerado, essa construção produz uma sequência in�nita de polinômios f1, f2, . . .∈ I. Seja ni o grau e ai o coe�ciente líder de fi.

Como R é Noetheriano, a cadeia ascendente de ideais 〈a1〉 ⊆ 〈a1, a2〉 ⊆ . . ., deve estaci-onar. Para algum r, 〈a1, . . . , ar〉 = 〈a1, . . . , ar+1〉. Então ar+1 =

∑ri=1 biai, para alguns bi ∈

R. Seja

g = fr+1 −r∑i=1

bixnr+1−nifi

2.3 ANÉIS E MÓDULOS NOETHERIANOS 43

Por construção os graus satisfazem n1 ≤ n2 ≤ . . ., logo g é de fato um polinômio. Observamosque como f1, . . . , fr, fr+1 ∈ I, que é um ideal de R[x], então g ∈ I. Além disso, comofr+1 /∈ 〈f1, . . . , fr〉, temos que g /∈ 〈f1, . . . , fr〉. Agora vamos analisar o grau de g; primeiroobservamos que fr+1 − ar+1x

nr+1 tem grau menor do que o grau de fr+1. Temos que

g = fr+1 −r∑i=1

bixnr+1−nifi = fr+1 −

r∑i=1

bixnr+1−ni(aix

ni + f ′i)

em que cada f ′i tem grau menor que ni. Assim

g = fr+1 −r∑i=1

aibixnr+1 −

r∑i=1

bixnr+1−nif ′i = fr+1 − ar+1x

nr+1 −r∑i=1

bixnr+1−nif ′i

Portanto, g tem grau menor do que o grau de fr+1, uma contradição. Portanto I deve ser�nitamente gerado.

Uma indução simples usando o Teorema 2.3.2 é tudo o que precisamos para provar oTeorema da Base de Hilbert original :

Corolário 2.3.1. Seja k um corpo. O anel de polinômios k[x1, . . . , xn] é Noetheriano.

Embora todo ideal de k [x1, . . . , xn] seja �nitamente gerado, não é verdade que existe umlimite superior para a quantidade de geradores dos ideais neste anel. Por exemplo, é fácilde construir ideais Ir de k [x1, x2] que não podem ser gerados por menos do que r elementos(veja [Cou95], Capítulo 8, Exercício 4.2).

Vamos usar o Teorema da Base de Hilbert para provar que An é um anel Noetherianoà esquerda. Na verdade, isso seguirá de um teorema um pouco mais geral. Recordamos queB é a �ltração de Bernstein de An e Sn = grBAn é a álgebra graduada de An associada a�ltração B.Teorema 2.3.3. Seja M um An-módulo à esquerda com uma �ltração Γ com respeito à�ltração de Bernstein B. Se grΓM é um Sn-módulo Noetheriano, então M é Noetheriano.

Demonstração. Sejam N um submódulo de M , e Γ ′ a �ltração de N induzida por Γ . ComogrΓ

′N ⊆ grΓM e o último é Noetheriano, concluímos que grΓ

′N é �nitamente gerado.

Como os geradores de grΓ′N são uma quantidade �nita, eles tem grau ≤ m, para algum

inteiro m. Desejamos mostrar que N é gerado por elementos em Γ ′m. Suponhamos que elenão é, e seja r o menor inteiro para o qual existe v ∈ Γ ′r que não pode ser gerado porelementos de Γ ′m. Claramente r > m. Seja µr a aplicação símbolo de ordem r de Γ ′, ou seja,µr : Γ ′r → Γ ′r/Γ

′r−1. Como grΓ

′N é �nitamente gerado e µr(v) ∈ Γ ′r/Γ ′r−1, existem ai ∈ An e

ui ∈ Γ ′ri , tal que

µr(v) =s∑i=1

σr−ri(ai)µri(ui)

em que ri ≤ m, para i = 1, 2, . . . , s. Então µr(v −s∑i=1

aiui) = 0, ou seja,

v −s∑i=1

aiui ∈ Γ ′r−1,

que por conta da minimalidade de r, pode ser escrito como uma An-combinação linear deelementos em Γ ′m. Então v pode ser escrito como uma An-combinação linear de elementosem Γ ′m. Isso é uma contradição. Logo N pode ser gerado por elementos em Γ ′m.


Para terminar a prova devemos mostrar que uma quantidade �nita de elementos de Γ ′msão su�cientes para gerar N . Mas Γ ′m é um subespaço do espaço vetorial Γm de dimensão�nita. Então ele tem uma base �nita, que será um conjunto de geradores para N comoAn-módulo.

Corolário 2.3.2. An é um anel Noetheriano à esquerda.

Demonstração. O anel graduado Sn = grBAn associado à �ltração de Bernstein, é um anelde polinômios em 2n variáveis pelo Teorema 2.2.1. Então pelo Corolário 2.3.1 do Teoremada Base de Hilbert, Sn é Noetheriano. Portanto, pelo Teorema 2.3.3, An é Noetheriano àesquerda como An-módulo. Concluímos assim que An é um anel Noetheriano à esquerda.

2.4 Módulos de peso sobre A = Ak,I

Esta seção será baseada em [FGM14][Seção 3.1].Seja A = Ak,I a álgebra de Weyl de posto in�nito, cf. Capítulo 1, Seção 1.3. Vamos

considerar que k é um corpo que tem característica zero e é algebricamente fechado; comok ⊆ A então um A-módulo M é um k -espaço vetorial.

De�nição 2.4.1. Seja M um A-módulo e m um ideal maximal em A0. Um elemento x ∈M é chamado de peso se m · x = {0}. O A-módulo M é chamado de módulo de peso se eletem uma base consistindo de elementos de peso.

Devemos lembrar que pelo Lema 1.3.1, do Capítulo 1, todo ideal maximal em A0, tem aforma mp = 〈ti − pi〉i∈I, para algum p = (pi)i∈I ∈ kI, em que ti = XiYi, i ∈ I.

De�nição 2.4.2. Para p ∈ kI, Mp = {x ∈M | ti · x = pi · x, ∀i ∈ I} é o espaço de pesocom peso p.

A dimensão de Mp como k -espaço vetorial é chamada de multiplicidade do peso de Mp.Suponhamos que x ∈ M seja um elemento de peso tal que x ∈ Mp, para p ∈ kI. Vamos

analisar o que acontece quando A age em x. Podemos analisar utilizando os geradores de A.

1. Seja Xj, com j ∈ I.

(a) Quando i 6= j, temos que:

tiXj · x = XiYiXj · x = XjXiYi · x = Xjti · x = Xjpi · x = piXj · x

Então tiXj · x = piXj · x.(b) Quando i = j, temos que:

tiXi · x = XiYiXi · x = XiXiYi · x+Xi · x = Xiti · x+Xi · x = (pi + 1)Xi · x

Então tiXi · x = (pi + 1)Xi · x

Portanto Xj · x ∈ Mp+ej , em que ej tem 1 na j-ésima coordenada e 0 nas outras.

2. Seja Yj, com j ∈ I.

(a) Quando i 6= j, temos que:

tiYj · x = XiYiYj · x = YjXiYi · x = Yjti · x = Yjpi · x = piYj · x

Então tiYj · x = piYj · x.

2.4 MÓDULOS DE PESO SOBRE A = AK,I 45

(b) Quando i = j, temos que:

tiYi ·x = XiYiYi ·x = YiXiYi ·x−Yi ·x = Yiti ·x−Yi ·x = piYi ·x−Yi ·x = (pi−1)Yi ·x

Então tiYi · x = (pi − 1)Yi · x

Portanto Yj · x ∈ Mp−ej , em que ej tem 1 na j-ésima coordenada e 0 nas outras.

Concluímos que se x ∈ Mp então A · x ⊆∑

v∈ZIfMp+v.

Vamos descobrir a estrutura de um A-módulo de peso.Seja M um A-módulo de peso. Pela De�nição 2.4.1, ele possui uma base consistindo de

elementos de peso, ou seja, {mj}j∈J é uma base de M , J é um conjunto de índices, tal quecadamj é um elemento de peso. Temos queM =

⊕j∈J A·mj, em que A·mj é o A-submódulo

de M gerado por mj; mas cada mj é um elemento de peso e já sabemos como é a ação deA em um elemento de peso. Portanto dizer que M é um A-módulo de peso é o mesmo quedizer que M tem a seguinte estrutura:

M =⊕p∈kI

Mp

De�nição 2.4.3. Seja M um A-módulo de peso. O conjunto de todos p ∈ kI tal que Mp 6={0} é chamado de suporte de M e é denotado por supp(M).

Observamos que se M é um A-módulo de peso tal que p ∈ supp(M), o A-submódulogerado por Mp, isto é, A ·Mp tem suporte contido em p+ ZI

f .Agora vamos analisar a categoria que tem como objetos os A-módulos de peso.Sejam A-mod a categoria de todos os A-módulos e W a subcategoria de A-mod con-

sistindo de todos os A-módulos de peso. Observamos que W é uma subcategoria plenade A-mod, pois um homomor�smo entre dois A-módulos de peso, é simplesmente um ho-momor�smo entre dois A-módulos. Então para M,N ∈ W temos que HomW(M,N) =HomA(M,N).

Para p ∈ k I, denotamos por Wp a subcategoria plena de W consistindo de todos osA-módulos de peso M tais que supp(M) ⊆ p+ ZI

f .

Proposição 2.4.1. Wp = Wm se, e somente se, m ∈ p+ ZIf .

Demonstração. Suponhamos que Wp = Wm e seja M ∈ Wp = Wm. Então supp(M) ⊆m + ZI

f e supp(M) ⊆ p + ZIf . Assim supp(M) = {q | q = m + z, z ∈ ZI

f} e supp(M) ={q | q = p+ z, z ∈ ZI

f}. Seja q′ ∈ supp(M), então q′ = p+ z1 = m+ z2, com z1, z2 ∈ ZIf .

Portanto m = p+ (z1 − z2) ∈ p+ ZIf .

Reciprocamente, seja m ∈ p + ZIf . Então existe z ∈ ZI

f tal que m = p + z. Seja M∈ Wm. Logo supp(M) ⊆ m + ZI

f = p + z + ZIf = p + ZI

f . Assim M ∈ Wp. De maneiraanáloga, se N ∈Wp, supp(N) ⊆ p+ZI

f = m−z+ZIf = m+ZI

f . Assim N ∈Wm. PortantoWp = Wm.

Vamos entender a relação entre a categoria W e suas subcategorias plenas Wp, com p ∈kI.

Dado M ∈ W podemos escrevê-lo na forma:

M =∑v∈ZI

f

Mp1+v

⊕∑v∈ZI

f

Mp2+v

⊕. . .


em que pi − pj /∈ ZIf , tomados dois a dois. Para cada ξ ∈ kI/ZI

f , seja,

M(ξ) =⊕pξ∈ξ

Mpξ

em que pξ é um representante da classe ξ. Temos que M(ξ) é A-submódulo de M visto queA ·Mpξ

⊆∑

v∈ZIfMpξ+v.

Logo M =⊕

ξM(ξ). Então M ∈ Wpξ1

⊕Wpξ2

⊕. . ., ou seja, temos a decomposição

usualW ∼=

⊕ξ∈kI/ZI

f

Wpξ

em que pξ ∈ ξ é algum representante �xo da classe ξ em kI/ZIf .

Considerando uma álgebra de Weyl generalizada cf. Capítulo 1, Seção 1.4, existe a de-�nição de um módulo de peso sobre essa álgebra, que apresentaremos no Capítulo 3. Um casoparticular aparece em [BB00] em que a álgebra de Weyl generalizada éA =

⊗ni=1Ai, em que Ai = k[Hi](σi, ai), como de�nida no Capítulo 1. Um A-módulo

M é chamado de módulo de peso generalizado (respec. de peso) se M =⊕

λ∈knMλ (respec.

se M =⊕

λ∈knMλ), em que o espaço vetorial de dimensão �nita Mλ (respec. Mλ) consistede elementosm ∈M tais que (Hi−λi)rm = 0 (respec. (Hi−λi)m = 0) para algum r = r(m).

2.5 Módulos de peso projetivos sobre A = Ak,I

Basearemos grande parte desta seção em [FGM14][Seção 3.2].Seja A0 a subálgebra comutativa maximal de A = Ak,I, cf. Capítulo 1, Seção 1.3.Vamos considerar agora A0-mod, a categoria de todos os A0-módulos.

Observação 2.5.1. Seja M um módulo à esquerda sobre um anel comutativo R. Entãopodemos considerar M como R-módulo à direita, com mr := rm, para todos r ∈ R, m ∈ M .Similarmente, qualquer R-módulo à direita pode ser considerado como R-módulo à esquerda.Por esta razão, para anéis comutativos não precisamos fazer distinção entre R-módulos àesquerda e à direita. Simplesmente chamamos eles de R-módulos. Como A0 é comutativa,todo A0-módulo à esquerda é também A0-módulo à direita, e vice versa.

Para p ∈ k I, denotamos por Vp a subcategoria plena de A0-mod consistindo de todosA0-módulos N tais que mp ·N = {0}.

Inicialmente notamos que A0/mp é um A0-módulo irredutível e pertence a Vp. Tambémvamos denotá-lo por:

kp := A0/mp.

Observamos que para M,N ∈ Vp temos que HomVp(M,N) = HomA0(M,N).

Pela De�nição 2.1.2, N ∈ Vp é um A0-módulo de torção, em que annA0(N) = mp,pois mp é um ideal maximal em A0 (observamos que A0 é um domínio de integridade).Suponhamos que {0} 6= N ∈ Vp seja irredutível. Então, pelo Lema 2.1.1(1), temos que

N ∼= A0/mp

A categoria Vp não tem auto extensões, então qualquer N ∈ Vp, que não seja irredutível,é uma soma direta de A0-módulos A0/mp.

Vamos veri�car que A0/mp é um A0-módulo projetivo em Vp. Notemos que A0/mp é�nitamente gerado, como A0-módulo, por {1 + mp} = 1kp .

2.5 MÓDULOS DE PESO PROJETIVOS SOBRE A = AK,I 47

Para todos M,N ∈ Vp, tais que existe um epimor�smo g : M → N e para todof : A0/mp → N , A0-homomor�smo, vamos mostrar que existe f ′ : A0/mp → M , A0-homomor�smo, tal que gf ′ = f , ou seja, vamos mostrar que o seguinte diagrama comuta:

A0/mp

f ′

||

f

��M g

// N // 0

Observamos primeiramente que mp ·M = mp ·N = {0}.Seja f(1kp) = ni, em que ni ∈ N . Sabemos que mp · 1kp = {0}. Temos que f(0) =

f(mp · 1kp) = mp · f(1kp) = mp · ni = {0}, pois N ∈ Vp. Então se a = b em A0/mp, temosque f(a− b) = f(0) = 0, isto é, f(a) = f(b). Portanto f está bem de�nida.

Como g é epimor�smo, existe mi ∈ M tal que g(mi) = ni. Novamente, mp ·mi = {0},pois M ∈ Vp. Assim g(0) = g(mp ·mi) = mp · g(mi) = mp · ni = {0}. Então se mi = mj

em M , temos que g(mj −mi) = g(0) = 0, isto é, g(mj) = g(mi) = ni. Portanto g está bemde�nida.

De�nimos f ′ : A0/mp → M , por f ′(1kp) = mi. Temos que f ′(0) = f ′(mp · 1kp) =mp · f ′(1kp) = mp · mi = {0}. Se a = b em A0/mp, temos que f ′(a) = f ′(b). Portanto f ′

também está bem de�nida.Então (gf ′)(1kp) = g(f ′(1kp) = g(mi) = ni = f(1kp). Estendendo por linearidade, temos

que gf ′ = f . Portanto A0/mp é um A0-módulo projetivo em Vp.Concluímos que a categoria Vp, tem um único objeto simples (irredutível)

kp := A0/mp,

a menos de isomor�smo, que é também projetivo.

De�nição 2.5.1. Seja C uma categoria abeliana. C é uma categoria semissimples se existeuma coleção de objetos simples {Xα} ⊆ C, tal que qualquer objeto X ∈ C, é uma soma diretadessa coleção de objetos simples.

Sabemos que A0-mod é uma categoria abeliana e kp ∈ Vp é o único objeto simples deVp. Além disso, qualquer objeto em Vp se decompõe como soma direta do A0-módulo kp.Portanto Vp é uma categoria semissimples.

Vamos de�nir mais alguns conceitos que serão úteis posteriormente.

De�nição 2.5.2. Sejam R e S anéis, f : S → R um homomor�smo de anéis e N umR-módulo à esquerda. Então N tem estrutura de S-módulo à esquerda de�nida como segue:se a ∈ S e n ∈ N então an := f(a)n. Dizemos que o S-módulo à esquerda SN é obtido doR-módulo à esquerda RN por restrição de escalares.

Em particular, se f : S → R é um homomor�smo de anéis então R tem estrutura deS-módulo à esquerda como segue: se a ∈ R e b ∈ S então ba := f(b)a (Analogamente,R tem estrutura de S-módulo à direita). Além disso, R tem estrutura de (R, S)-bimódulo(denotada por RRS) bem de�nida, pois a ação de R em R pela esquerda e a ação de S emR pela direita são relacionadas pela lei associativa, isto é,

r · (r′ · s) = r · (r′ · f(s)) = (r · r′) · f(s) = (r · r′) · s

para todos r, r′ ∈ R, s ∈ S. (Analogamente, R tem estrutura de (S,R)-bimódulo).


A restrição de escalares pode ser vista como um funtor resf , de R-módulos em S-módulos,chamado de funtor restrição. Um R-homomor�smo u : M → N automaticamente torna-seum S-homomor�smo entre as restrições de M e N . De fato, se m ∈ M e a ∈ S, entãou(a ·m) = u(f(a) ·m) = f(a) · u(m) = a · u(m).

De�nição 2.5.3. Sejam R e S anéis, f : S → R um homomor�smo de anéis e M um S-módulo à esquerda. Sabemos que R tem estrutura de (R, S)-bimódulo, ou seja, RRS. Existeo produto tensorial R⊗SM que tem estrutura de R-módulo à esquerda dada por b(b′⊗m) =(bb′)⊗m, para todos b, b′ ∈ R, m ∈ M . Dizemos que o R-módulo à esquerda R⊗SM é obtidodo S-módulo à esquerda M por extensão de escalares. Chamamos o R-módulo à esquerdaR⊗S M de módulo induzido.

Intuitivamente, estender os escalares signi�ca transformar um módulo sobre um anel Sem um módulo sobre um anel R, através de um homomor�smo de anéis de S para R. Onovo módulo admite mais escalares do que o original, por isso o nome "extensão".

A extensão de escalares pode ser interpretada como um funtor indf , de S-módulos emR-módulos, chamado de funtor indução. Ele envia M em R ⊗S M e um S-homomor�smou : M → N em um R-homomor�smo uR : R⊗S M → R⊗S N , de�nido por uR = idR ⊗ u.

Observação 2.5.2. Se R é um anel comutativo então um R-módulo é automaticamenteum R-bimódulo. Em particular, se M e N são R-módulos, em que R é um anel comutativo,então M ⊗R N é um R-módulo. Nesse caso, M ⊗R N ∼= N ⊗RM .

Observação 2.5.3. Se R, S são anéis e M é um (R, S)-bimódulo. Então R ⊗R M ∼= M ∼=M ⊗S S.

De�nição 2.5.4. Sejam R e S anéis, f : S → R um homomor�smo de anéis e M umS-módulo à esquerda. Sabemos que R tem estrutura de (S,R)-bimódulo, ou seja, SRR. En-tão HomS(R,M) é um R-módulo à esquerda por (aφ)(a′) = φ(a′a), para a, a′ ∈ R e φ ∈HomS(R,M). Chamamos o R-módulo à esquerda HomS(R,M) de módulo coinduzido.

Também podemos de�nir um funtor coindf , de S-módulos em R-módulos, que envia Mem HomS(R,M) e é chamado de funtor coindução. Para um S-homomor�smo u : M → Ntemos o R-homomor�smo HomS(R, u) : HomS(R,M) → HomS(R,N).

Vejamos as relações entres os funtores resf , indf e coindf . Para mais detalhes indicamos[Bro82].

Primeiro veremos que o funtor indução indf é adjunto à esquerda para o funtor restriçãoresf .

Seja R ⊗S M o R-módulo à esquerda obtido de M por extensão de escalares de S paraR, através do homomor�smo f : S → R. Ele é um "enlargamento" de M no sentido queexiste uma aplicação canônica de S-módulos i : M → R ⊗S M dado por m 7→ 1 ⊗ m. Aaplicação i é universal para S-aplicações de M em um R-módulo no seguinte sentido: dadoum R-módulo à esquerda N (observamos que N é um S-módulo à esquerda por restriçãode escalares) e uma aplicação de S-módulos u : M → N , existe uma única aplicação deR-módulos g : R⊗S M → N tal que gi = u. O diagrama abaixo ilustra essa situação:

M i //

u

��

R⊗S M

∃!g{{

N


Isto nos diz que o funtor indução (extensão de escalares) é adjunto à esquerda para o funtorrestrição de escalares. Podemos ver essa conexão de uma maneira mais explícita.

Novamente consideremos f : S → R um homomor�smo de anéis, M um S-módulo àesquerda e N um R-módulo à esquerda. Seja u ∈ HomS(M,N), em que N é um S-módulo àesquerda via restrição de escalares. De�nimos Fu : R⊗S M → N como sendo a composição

R⊗S MidR⊗u−→ R⊗S N −→ N

em que a última aplicação é de�nida por r⊗ n 7→ rn. Temos que Fu é um R-homomor�smoe então F : HomS(M,N)→ HomR(R⊗SM,N) está bem de�nido e é um homomor�smo degrupos abelianos. Existe um homomor�smo inverso G : HomR(R⊗SM,N)→ HomS(M,N)de�nido como segue. Seja v ∈ HomR(R⊗S M,N). Então Gv é a composição

M −→ S ⊗S Mf⊗idM−→ R⊗S M

v−→ N

em que a primeira aplicação é o isomor�smo canônico m 7→ 1⊗m.Esta construção mostra que os grupos HomR(R⊗SM,N) e HomS(M,N) são isomorfos.

Na verdade, este isomor�smo depende somente do homomor�smo f , e então ele é funtorial.Na linguagem da teoria de categorias, o funtor indução indf é adjunto à esquerda para ofuntor restrição de escalares resf , ou seja,

HomR(indf (M), N) ∼= HomS(M, resf (N))

para quaisquer S-módulo à esquerda M e R-módulo à esquerda N .Temos também que o funtor coindução coindf é adjunto à direita para o funtor restrição

resf .Seja HomS(R,M) o R-módulo à esquerda obtido de M por coextensão de escalares de S

para R, através do homomor�smo f : S → R. Ele é um "enlargamento" deM no sentido queexiste uma aplicação canônica de S-módulos p : HomS(R,M)→ M , dada por f 7→ f(1). Aaplicação p é universal para S-aplicações de um R-módulo paraM no seguinte sentido: dadoum R-módulo N e uma aplicação de S-módulos u : N →M , existe uma única aplicação deR-módulos g : N → HomS(R,M) tal que pg = u. O diagrama abaixo descreve a situação:

HomS(R,M)

p

��N

∃!g

::

u//M

Mais concisamente, HomR(N,HomS(R,M)) ∼= HomS(N,M), ou seja,

HomR(N, coindf (M)) ∼= HomS(resf (N),M)

para quaisquer S-módulo M e R-módulo N . Isto nos diz que o funtor coindução é adjuntoà direita para o funtor restrição. Concluímos assim que o funtor restrição tem tanto umadjunto à esquerda quanto um adjunto à direita.

Baseado nas de�nições dadas acima vamos de�nir dois funtores: um de W em Vp e ooutro de Vp em W, em que W é uma subcategoria plena da categoria A-mod e Vp é umasubcategoria plena da categoria A0-mod, de�nidas anteriormente.

Como A0 é k -subálgebra de A temos o homomor�smo inclusão ι : A0 → A. Então um


A-módulo M , tem estrutura de A0-módulo, por am = ι(a)m, para todos a ∈ A0, m ∈ M .Seja M um A-módulo de peso, ou seja, M =

⊕p∈kI Mp.

M ∈ A0-mod, restringindo os escalares. Além disso, cada espaço de peso Mp é um A0-módulo, visto que A0 é uma k -álgebra comutativa. Temos também que mp · Mp = {0}.Portanto podemos de�nir o funtor restrição

Resp : W→ Vp

tal que M 7→ Resp(M) = Mp e para um homomor�smo f : M → M ′ em W, ou seja,f :⊕

p∈kI Mp →⊕

p∈kI M′p, temos que Resp(f) = fp : Mp → M ′

p é um homomor�smo emVp. Observamos que se p /∈ supp(M), então Resp(M) = {0}.

Seja 0 //M ′ f //Mg //M ′′ // 0 uma sequência exata de A-módulos de peso. Observa-

mos que para um homomor�smo de A-módulos de peso f : M →M ′ temos que Resp(ker(f))= ker(Resp(f)) = ker(fp) e Resp(im(f)) = im(Resp(f)) = im(fp). Aplicando o fun-

tor Resp na sequência exata obtemos a sequência 0 //M ′p

fp //Mp

gp //M ′′p

// 0 . Como

ker(f) = {0} temos que Resp(ker(f)) = Resp({0}) = {0}. Assim ker(fp) = {0}. Comoim(g) = M ′′ temos que Resp(im(g)) = M ′′

p. Assim im(gp) = M ′′p. Como im(f) = ker(g) te-

mos que im(fp) = Resp(im(f)) = Resp(ker(g)) = ker(gp). Então ao aplicar o funtor Respem uma sequência exata, obtemos uma sequência exata. Portanto o funtor Resp é exato.

Agora vamos de�nir um outro funtor.ComoA0 é k -subálgebra deA, podemos a�rmar queA tem estrutura de (A,A0)-bimódulo,

ou seja, AAA0 . Seja N ∈ Vp. Temos que A ⊗A0 N existe e tem estrutura de A-módulo àesquerda por a(a′⊗n) = (aa′)⊗n, para todos a, a′ ∈ A, n ∈ N . Portanto A⊗A0N ∈ A-mod.

Observamos que A ⊗A0 N é gerado pelo conjunto 1 ⊗ N = {1 ⊗ n | n ∈ N}, comoA-módulo à esquerda. Para todo 1 ⊗ n ∈ 1 ⊗ N , temos que mp · (1 ⊗ n) = 1 ⊗ mp · n = 0.Então 1⊗N ⊆ (A⊗A0 N)p.

Para i ∈ I, aplicando os geradores Xi, Yi de A em um elemento 1⊗n temos que Xi ·(1⊗n)∈ (A⊗A0N)p+ei e Yi ·(1⊗n) ∈ (A⊗A0N)p−ei , como visto na seção anterior. Pela Proposição1.3.2 (Capítulo 1), cada a ∈ A é da forma

a =∑v∈ZI

f

Xvav

em que cada av ∈ A0. Então

a(1⊗ n) = a⊗ n =∑v∈ZI

f

Xvav ⊗ n =∑v∈ZI

f

Xv ⊗ av · n =∑v∈ZI

f

Xv ⊗ nv

em que cada nv ∈ N . Pelas observações da seção anterior, a⊗ n ∈∑

v′∈ZIf(A⊗A0 N)p+v′ .

Podemos considerar que A⊗A0 N = span{a⊗ n | a ∈ A, n ∈ N} como k -espaço vetorial(ver Apêndice B, Obs. B.3.2). Portanto A ⊗A0 N é um A-módulo de peso, isto é, A ⊗A0 N∈ W. Além disso, supp(A ⊗A0 N) ⊆ p + ZI

f , ou seja, A ⊗A0 N ∈ Wp. Portanto podemosde�nir o funtor indução

Indp =: A⊗A0 − : Vp →W

tal que N 7→ Indp(N) = A⊗A0 N e para um homomor�smo f : N → N ′ em Vp temos queIndp(f) = A⊗A0 f = idA ⊗ f : A⊗A0 N → A⊗A0 N

′ é um homomor�smo em W.Vamos mostrar que o funtor Indp é exato. Já sabemos que o funtor A ⊗A0 − é exato

à direita (ver Apêndice B, Teorema B.3.19). Precisamos mostrar que é exato à esquerda,


isto é, que preserva a injetividade. Em outras palavras: se M ↪→ M ′ é injetor implica queA⊗A0 M ↪→ A⊗A0 M

′ é injetor.

Seja 0 // N ′f // N

g // N ′′ // 0 uma sequência exata em Vp. Aplicando o funtor Indp

nessa sequência obtemos 0 // A⊗A0 N′ idA⊗f // A⊗A0 N

idA⊗g // A⊗A0 N′′ // 0 . Vamos mos-

trar que idA ⊗ f é um monomor�smo.Vimos que A é livre como A0-módulo (Capítulo 1, Proposição 1.3.2). Então A ∼=

⊕j∈J A0

como A0-módulos. Consideremos então a aplicação (⊕

j∈J A0)⊗A0N′ idA⊗f−→ (

⊕j∈J A0)⊗A0N .

Usando o Teorema B.3.20 (Apêndice B) temos que:

(⊕j∈J

A0)⊗A0 N′ ∼=⊕j∈J

(A0 ⊗A0 N′) ∼=

⊕j∈J

N ′

Assim, o seguinte diagrama comuta:

(⊕j∈J

A0)⊗A0 N′ idA⊗f //

∼=��

(⊕j∈J

A0)⊗A0 N

⊕j∈J

N ′⊕f //

⊕j∈J

N

∼=

OO

Como f é um monomor�smo, temos que⊕

f é um monomor�smo. Então idA ⊗ f é ummonomor�smo. Portanto o funtor Indp é exato.

Como mostrado anteriormente o funtor Indp é adjunto à esquerda para o funtor Resp eo funtor Resp é adjunto à direita para o funtor Indp, ou seja, Indp e Resp são um par defuntores adjuntos exatos. Portanto

HomW(Indp(N),M) ∼= HomVp(N,Resp(M))

para quaisquer N ∈ Vp, M ∈ W.Além disso, o funtor Indp aplica objetos projetivos de Vp em objetos projetivos de

W. Seja N um A0-módulo projetivo em Vp. Então HomVp(N, ·) é exato em Vp. Logo

HomW(A⊗A0 N, ·) é exato em W. Portanto A⊗A0 N = Indp(N) é um A-módulo projetivoem W.

Pelo Corolário B.3.6 (Apêndice B) temos que:

A⊗A0 A0/mp∼= A/Amp

Então:P (p) := Indp(kp) = A⊗A0 A0/mp

∼= A/Amp

é projetivo em W, ou seja, P (p) é um A-módulo de peso projetivo.Além disso, por adjunção, para qualquer M ∈ W temos um isomor�smo natural

HomW(P (p),M) ∼= Mp. Vejamos as justi�cativas.Seja R um anel. Suponha que RM e RN são R-módulos e que I é um ideal de R que

aniquila tanto M quanto N . Então M e N carregam uma estrutura natural de R/I-módulo(isto será discutido posteriormemte) e certamente todo R-homomor�smo entre eles é umR/I-homomor�smo. Então temos que HomR(M,N) = HomR/I(M,N). Agora vamos mostrarque HomR(R,M) ∼= M .

Seja φ : HomR(R,M) → M de�nida por φ(ϕ) = ϕ(1R). Sejam ϕ, ψ ∈ HomR(R,M) e r


∈ R. Então φ(ϕ+ r ·ψ) = (ϕ+ r ·ψ)(1R) = φ(ϕ) + r ·φ(ψ). Assim φ é um R-homomor�smo.Suponhamos agora que ϕ ∈ ker(φ). Então para todo r ∈ R, ϕ(r) = r · ϕ(1R) = r · φ(ϕ) =r · 0 = 0. Assim ϕ = 0, e então φ é injetora. Por �m, seja m ∈ M . De�na ψm : R → M ,por ψm(r) = r ·m. Como para todos x, y, r ∈ R temos que ψm(x+ r · y) = (x+ r · y) ·m =ψm(x) + r · ψm(y), temos que ψm é um R-homomor�smo. Assim ψm ∈ HomR(R,M). Alémdisso, φ(ψm) = ψm(1R) = 1R ·m = m. Então φ é sobrejetora. Portanto HomR(R,M) ∼= M .

Usando o par de funtores adjuntos Indp e Resp, temos que:

HomW(P (p),M) ∼= HomVp(A0/mp, Resp(M)) = HomVp

(A0/mp,Mp)

Como A0/mp e Mp são A0/mp-módulos à esquerda, pelas justi�cativas dadas acima,HomVp

(A0/mp,Mp) ∼= Mp. Portanto, para todo M ∈ W temos:

HomW(P (p),M) ∼= Mp (2.1)

Queremos de�nir o topo do A-módulo P (p). Antes de de�nir o topo top(M) de um R-móduloM , precisamos de�nir o radical do R-móduloM . Vamos relacionar alguns resultadosimportantes e as demonstrações podem ser encontradas em [Lam01] e [Bea99].

Em 1943, Jacobson desenvolveu uma teoria de estrutura de anéis sem hipóteses de �ni-tude. Considerando-se um módulo simples sobre o anel R como uma representação do anel,ele de�niu o que hoje é conhecido como o radical de Jacobson (rad(R)), isto é, a intersecçãodos kernels de todas as representações de R para R-módulos à esquerda simples. Um anelR é chamado de semissimples de Jacobson se rad(R) = {0}. O rad(R) é um ideal bilateralde R e rad(R/rad(R)) = {0}, ou seja, R/rad(R) é um anel semissimples de Jacobson.

Um ponto de vista um pouco mais geral, é considerar radicais para módulos. Em par-ticular, o principal interesse é saber como um determinado módulo está relacionado commódulos simples. Um submódulo é minimal se, e somente se, ele é simples; é maximal se, esomente se, o módulo quociente correspondente é simples.

Temos que a soma de todos os submódulos minimais de M é o socle de M , denotado porsoc(M). O módulo M é chamado de semissimples se ele pode ser expresso como uma somade submódulos minimais. Também dizemos que M é um R-módulo à esquerda semissimples(ou completamente redutível) se todo R-submódulo de M é um somando direto de M .

Teorema 2.5.1. Sejam R um anel e M um R-módulo à esquerda. Então as seguintes pro-priedades são equivalentes:

1. M é semissimples.

2. M é a soma direta de uma família de submódulos simples.

3. M é a soma de uma família de submódulos simples.

Demonstração. [Lam01], Capítulo 1, Teorema 2.4, pg 27.

Vejamos a de�nição do radical de Jacobson de um módulo:

De�nição 2.5.5. Sejam R um anel e M um R-módulo à esquerda. O radical de Jacobsonde M , denotado por rad(M), é a intersecção de todos os R-submódulos à esquerda maximaisde M . Se M não possui submódulos maximais, então rad(M) = M .


Observamos que módulos que não sejam �nitamente gerados, podem não ter submódulosmaximais. Nesse caso rad(M) = M .

O socle e o radical de Jacobson de um módulo podem ser caracterizados de várias ma-neiras.

O radical de Jacobson é um caso particular da teoria dos radicais. É importante ressaltarque é possível estudar radicais de módulos a partir de um ponto de vista mais geral (paramais detalhes [Bea99], Capítulo 3). Existe também uma extensa (mas bastante diferente)teoria de radicais de anéis. A ideia geral é a de fatorar uma "parte ruim" em algum sentido.No caso do radical de Jacobson, espera-se que a parte que resta, M/rad(M), é o maispróximo possível de um módulo semissimples.

Algumas propriedades do radical estão reunidas nas seguintes proposições:

Proposição 2.5.1.

1. Sejam R um anel e M,M ′ R-módulos à esquerda. Então: M ′ ⊆ M ⇒ rad(M ′) ⊆rad(M).

2. Seja {Mi}i∈I uma família de R-módulos. Então: rad(⊕i∈IMi) =

⊕i∈Irad(Mi).

3. Se F é um R-módulo à esquerda livre então rad(F ) = rad(R)F .

Demonstração. [Lam01], Capítulo 8, Proposição 24.6, pg 359.

Proposição 2.5.2. Seja R um anel. Suponha que L,M e N são R-módulos à esquerda�nitamente gerados.

1. Um elemento m ∈ M pertence à rad(M) se, e somente se, f(m) = 0, para qualquer f∈ HomR(M,S) e qualquer R-módulo à esquerda simples S.

2. Se f ∈ HomR(M,N), então f(rad(M)) ⊆ rad(N).

3. rad(R)M = rad(M).

4. Assuma que L e M são R-submódulos de N . Se L ⊆ rad(N) e L + M = N entãoM = N .

Observamos que se M é um R-módulo à esquerda e I é um ideal de R, tal que I ⊆annR(M), podemos considerarM como (R/I)-módulo à esquerda: se a ∈ R/I é representadopor a ∈ R, de�na am como sendo am, em que m ∈M . Observe que esta de�nição independeda escolha do representante a de a pois IM = 0. De fato: seja b ∈ R um outro representantetal que a = b. Então a− b = 0, ou seja, a− b ∈ I. Como IM = 0, temos que (a− b)m = 0,isto é, am = bm. Portanto am = bm.

O topo de um R-módulo à esquerda M é o R-módulo à esquerda

top(M) = M/rad(M).

Como rad(R)M = rad(M) então rad(R)(M/rad(M)) = {0}; assim top(M) tambémé R/rad(R)-módulo à esquerda com respeito a ação de R/rad(R) de�nida pela fórmula(a+ rad(R)) · (m+ rad(M)) = am+ rad(M).

Observamos que se f : M → N é um R-homomor�smo então f(rad(M)) ⊆ rad(N) eentão f induz um homomor�smo top(f) : top(M)→ top(N) de R/rad(R)-módulos de�nidopela fórmula top(f)(m+ rad(M)) = f(m) + rad(N).


Antes de voltar nossa atenção para o A-módulo de peso projetivo P (p), de�nido anteri-ormente, vamos analisar a relação entre um grupo formado por alguns automor�smos de A0

e o grupo abeliano aditivo ZIf . Essa relação trará informações sobre a estrutura de P (p).

Denotaremos por σi o automor�smo de A0 dado por:

σi(tj) =

{tj se i 6= j

ti + 1 se i = j

Seu inverso σ−1i é de�nido da seguinte maneira:

σ−1i (tj) =

{tj se i 6= j

ti − 1 se i = j

Seja H o grupo gerado por σi, para todo i ∈ I. Sabemos que todo ideal maximal em A0

tem a forma mp, para algum p ∈ kI (Lema 1.3.1, Capítulo 1). Dessa forma identi�camosideais maximais mp em A0 com elementos p em kI (k é algebricamente fechado) da seguinteforma (ti − pi) ↔ pi para todo i, ou seja, existe uma relação biunívoca entre os ideaismaximais de A0 e os elementos de kI. Para cada j ∈ I, tj ∈ A0 é identi�cado com pj ∈ k,então σi(pj) = pj se i 6= j, e σi(pj) = pi + 1 se i = j. Assim para p = (pj)j∈I ∈ kI, temos queσi(p) = p+ ei, em que ei tem 1 na i-ésima coordenada e 0 nas outras. De maneira análoga,σ−1i (p) = p− ei. Podemos generalizar essa ideia. Seja σ ∈ H. Então σ = σr1i1 · · ·σ

rnin, em que

i1, . . . , in ∈ I e somente uma quantidade �nita dos rj é não nula. Logo, σ(p) = p + v, paraalgum v ∈ ZI

f .Se M é um A-módulo de peso e x ∈ M tal que x ∈ Mp, com p ∈ kI, vimos na seção

anterior que Xix ∈ Mp+ei e Yix ∈ Mp−ei , com i ∈ I. Logo, para qualquer p ∈ kI temos queXiMp ⊆Mσi(p) e YiMp ⊆Mσ−1

i (p).

Observando as relações σi(p) = p+ei e σ−1i (p) = p−ei, percebemos que a identi�cação

entre os ideais maximais de A0 e os elementos de kI, dá origem à uma identi�cação naturalentre σi ∈ H e ei ∈ ZI

f . O mesmo vale para σ−1i e −ei. Portanto H ∼= ZI

f .O grupo ZI

f age livremente em kI. Além disso, recordemos que os elementos de ZIf são

naturalmente índices da base livre {Xv | v ∈ ZIf} de A com um A0-módulo.

P (p) é A-módulo de peso, com supp(P (p)) ⊆ p+ ZIf . Logo:

P (p) =⊕v∈ZI

f

P (p)p+v

De acordo com a discussão acima, temos que:

P (p) ∼=⊕σ∈ZI

f

P (p)σ(p)

Como ZIf∼= H, temos que todos os σ(p) são diferentes entre si.

Observamos que P (p)p = Resp(P (p)) = A0 ⊗A0 kp ∼= kp. Sabemos que kp := A0/mp,então para i ∈ I, ti é congruente a pi (mod mp), em que pi ∈ k. Podemos construir umaidenti�cação entre kp e k, ou seja, eles são isomorfos como k -espaços vetoriais. PortantoP (p)p é unidimensional sobre k. Logo, para qualquer σ ∈ ZI

f , P (p)σ(p) é unidimensionalsobre k.

Agora que sabemos algo sobre a estrutura dos A-módulos de peso projetivos P (p), vamosseguir de�nindo alguns conceitos importantes, para no �m desta seção mostrar que P (p) é


um A-módulo indecomponível e ele é a cobertura projetiva do seu topo.

De�nição 2.5.6. Seja R um anel. Um R-módulo à esquerda M 6= {0} é indecomponível seele não possui submódulos não triviais M1 e M2 tais que M = M1

⊕M2.

De�nição 2.5.7. Um anel R (não necessariamente comutativo) é local se ele tem um únicoideal à esquerda maximal.

Equivalentemente, podemos dizer que um anel R é um anel local se o conjunto formadopelos elementos não inversíveis de R (isto é, RrU(R), tal que U(R) é o grupo das unidadesde R) for um ideal.

Os corpos são anéis locais com um único ideal à esquerda maximal {0} (nesse caso é umideal bilateral, pois o anel é comutativo).

De�nição 2.5.8. Um idempotente em um anel R é um elemento e tal que e2 = e. Se e, f sãoidempotentes em um anel R, dizemos que e, f são idempotentes ortogonais se ef = fe = 0.

Proposição 2.5.3. Sejam R um anel e M um R-módulo.

1. Seja M = M1

⊕· · ·⊕

Mr uma decomposição de M em soma direta de submódu-los. Sejam π1, . . . , πr as projeções e ι1, . . . , ιr as inclusões canônicas associadas à essadecomposição. Para cada j = 1, . . . , r, seja ej = ιjπj. Tem-se então que os ele-mentos e1, . . . , er ∈ EndR(M) são idempotentes dois a dois ortogonais e tais quee1 + · · ·+ er = idM .

2. Sejam e1, . . . , er ∈ EndR(M) idempotentes dois a dois ortogonais e tais que e1 + · · ·+er = idM . Tem-se então que M = M1

⊕· · ·⊕

Mr, em que Mi = ei(M), para todoi = 1, . . . , r.

Demonstração. 1. Para m = m1 + · · · + mr ∈ M , temos que ej(m) = ιjπj(m) = mj.Então m = e1(m) + · · · + er(m) = (e1 + · · · + er)(m), isto é, e1 + · · · + er = idM .Além disso, e2

j(m) = ej(ej(m)) = ej(mj) = mj = ej(m), ou seja, e2j = ej e para j 6= k,

ejek(m) = ej(mk) = 0.

2. Claramente, para i = 1, . . . , r, Mi = ei(M) ⊆ M . Para todo m ∈ M , m = idM(m) =(e1 + · · · + er)(m) = e1(m) + · · · + er(m). Portanto M = M1 + · · · + Mr. Para m ∈M , seja m = m1 + · · · + mr, com mi ∈ Mi = ei(M). Como mi ∈ ei(M), existe ni ∈M tal que ei(ni) = mi. Então ei(m) = ei(m1 + · · ·+mr) = ei(e1(n1) + · · ·+ er(nr)) =ei(ni) = mi. Portanto m é escrito de maneira única, ou seja, a soma é direta. AssimM = M1

⊕· · ·⊕

Mr.

Proposição 2.5.4. Um R-módulo M é indecomponível se, e somente se, 0 e idM forem osúnicos idempotentes de EndR(M).

Demonstração. Seja e ∈ EndR(M) um elemento idempotente e seja f = idM−e. Observamosque f 2(m) = f(f(m)) = f(m−e(m)) = m−e(m)−e(m)+e2(m) = m−e(m) = f(m). Alémdisso fe(m) = f(e(m)) = e(m)− e2(m) = 0. Então e, f são idempotentes ortogonais e, pelaProposição 2.5.3(2), M = M1

⊕M2, em que M1 = e(M) e M2 = f(M). Se e 6= 0 e e 6= idM ,

teríamos M1 6= 0, M2 6= 0 e, portanto, M não seria indecomponível. Reciprocamente, se Mnão fosse indecomponível, existiriam submódulos M1 6= 0, M2 6= 0 tais que M = M1

⊕M2.

Pela Proposição 2.5.3(1), teríamos idempotentes e, f ∈ EndR(M) tais que e 6= 0, f 6= 0 ee+ f = idM .


Em um anel local R os únicos idempotentes são 0 e 1R, uma vez que se 0 6= e ∈ R é umidempotente, temos que e2 = e ⇒ e(1R − e) = 0. Se e 6= 1R, então e e 1R − e seriam nãoinversíveis e, como R é local, 1R = (1R − e) + e seria não inversível. Mas 1R é uma unidade.Portanto e = 1R.

Então se M é um R-módulo para o qual EndR(M) é local, então M é indecomponível,pela Proposição 2.5.4. Alguns autores denominam fortemente indecomponível todoR-móduloM para o qual EndR(M) é um anel local.

Proposição 2.5.5. Para qualquer p ∈ kI temos:

1. P (p) é indecomponível;

2. O A-módulo top(P (p)) = L(p) é simples com dimkL(p)p = 1, e L(p) é o único (amenos de isomor�smo) módulo simples com esta propriedade.

Demonstração. 1. Pelo isomor�smo natural 2.1 temos que HomW(P (p), P (p)) ∼= (P (p))p.Ou seja, EndW(P (p)) ∼= k. Como k é um anel local, os únicos idempotentes deEndW(P (p)) são 0 e idP (p). Portanto, pela Proposição 2.5.4, P (p) é um A-móduloindecomponível.

2. Como P (p) é gerado por P (p)p como A-módulo, qualquer submódulo próprio de P (p)não intercepta P (p)p. Ou seja, N ′ é um submódulo próprio de P (p) se, e somente se,p /∈ supp(N ′). Como supp(N1

⊕N2) = supp(N1) ∪ supp(N2), a soma de todos os

submódulos próprios de P (p) é um submódulo próprio. Seja N a soma de todos ossubmódulos próprios de P (p). Temos que N é o único submódulo maximal de P (p),pois se N ⊆ N ′ ( P (p), ou seja, N ′ é próprio, então N ′ ⊆ N , resultando em N ′ = N ,e se existisse outro submódulo maximal de P (p), este estaria contido em N , logoseria o próprio N . Assim rad(P (p)) = N . Dessa forma L(p) = top(P (p)) = P (p)/Né simples. Além disso, L(p)p = P (p)p/Np = P (p)p/{0} = P (p)p, implicando quedimkL(p)p = 1. Para �nalizar vamos provar que L(p) é o único módulo simples comesta propriedade. Suponhamos que S seja um A-módulo simples tal que dimkSp = 1.Então existe 0 6= v ∈ S tal que A · v = S, visto que S é simples. Podemos de�niro A-epimor�smo ϕ : P (p) → S, por 1 ⊗ 1kp 7→ v. Assim P (p)/ker(ϕ) ∼= S. Pelasimplicidade de S temos que ker(ϕ) é maximal, ou seja, ker(ϕ) = N . Portanto L(p) =P (p)/N ∼= S.

Vamos mostrar que P (p) é cobertura projetiva de L(p).

De�nição 2.5.9. SejaM um R-módulo. Uma cobertura projetiva deM é um par (P, p), emque P é um módulo projetivo e p : P →M é um epimor�smo, tal que se Q é qualquer outromódulo projetivo e q : Q → M é um epimor�smo, então existe um epimor�smo λ : Q → Pque faz o seguinte diagrama comutar:

Q

λ

~~

q

��P p

//M

Em outras palavras p : P → M é um epimor�smo essencial, ou seja, seu kernel é umsubmódulo supér�uo em P (um submódulo S ⊆ P é supér�uo se S + L = P , para algumsubmódulo L de P , implica que L = P ).

2.6 INVOLUÇÃO E DUALIDADE RESTRITA 57

Proposição 2.5.6. Se P é um R-módulo projetivo então a aplicação quociente p : P →P/rad(P ) é uma cobertura projetiva.

Demonstração. Seja Q um outro R-módulo projetivo e q : Q → P/rad(P ) outro epimor-�smo, ou seja,

Q

q

��P p

// P/rad(P )

Como p é epimor�smo e Q é projetivo, existe t : Q → P com pt = q. Assim, t(Q) +rad(P ) = P . Agora, se t(Q) 6= P , existe um submódulo maximal X ( P com t(Q) ⊆ X.Mas rad(P ) ⊆ X, pois o radical é a intersecção de todos os submódulos maximais; logoP = t(Q) + rad(P ) ⊆ X ( P , uma contradição. Então t(Q) = P . Portanto t é epimor�smo,como desejado.

Sabemos que P (p) é A-módulo projetivo e que existe um epimor�smo p : P (p)→ L(p).Portanto, usando a Proposição 2.5.6, P (p) é uma cobertura projetiva de L(p).

2.6 Involução e dualidade restrita

Basearemos essa seção, principalmente, em [FGM14][Seção 3.3].Seja R uma k -álgebra. Um anti-automor�smo involutivo de R é um isomor�smo τ : R→

R, tal que τ 2 = τ e τ(ab) = τ(b)τ(a), para todos a, b ∈ R. A álgebra de Weyl de postoin�nito A = Ak,I possui um anti-automor�smo involutivo canônico � : A→ A que é de�nidonos geradores via X�i = Yi. Este anti-automor�smo involutivo �xa a k -álgebra comutativaA0. De fato, seja ti, com i ∈ I:

t�i = (XiYi)� = Y �i X

�i = (X�i )�Yi = XiYi = ti

É interessante notar que, se N é um A-módulo à direita então podemos de�nir um A-módulo à esquerda N t; basta considerar N t = N , como grupos abelianos e de�nir a açãode A pela esquerda por an = na�, para todos a ∈ A, n ∈ N t . Para veri�car que N t é umA-módulo à esquerda, basta veri�car (ab)n = a(bn):

(ab)n = n(ab)� = n(b�a�) = (nb�)a� = a(nb�) = a(bn)

em que a, b ∈ A e n ∈ N t. A mesma construção pode ser usada para transformar módulosà esquerda em módulos à direita.

Vamos de�nir o primeiro dual de um R-módulo. Seja M um R-módulo à direita, oprimeiro dual M∗ = HomR(M,R) é um R-módulo à esquerda com ação de�nida por(rf)(a) = f(ar), em que r ∈ R, f ∈ M∗ e a ∈ M . Assim, M∗ é um R-módulo de tipooposto ao tipo de M , ou seja, os elementos de R agem no lado oposto ao que agem em M .

Se f : M → N é um R-homomor�smo, então f ∗ : N∗ → M∗ é de�nido por ϕ 7→ ϕf .Se f for um epimor�smo, então f ∗ é um monomor�smo. Suponha que ϕ ∈ N∗ e f ∗(ϕ) = 0.Assim ϕf = 0 é o homomor�smo nulo de M para R, ou seja, ϕ(f(m)) = 0, para todo m ∈M . Como f é epimor�smo, segue que ϕ(n) = 0, para todo n ∈ N , portanto ϕ = 0.

Então, o primeiro dual converte sobrejetividade em injetividade. Suponhamos agora quef : M → N seja um monomor�smo. Então M é identi�cado com um submódulo de N ,M ∼= f(M) ⊆ N . Para ϕ ∈ N∗, o homomor�smo f ∗(ϕ) = ϕf é simplesmente a restrição


de ϕ ao submódulo f(M). Dizer que f ∗ é epimor�smo signi�ca que todo homomor�smoφ : M → R tem a forma ϕf , isto é, cada homomor�smo f(M) → R pode ser estendidoa um homomor�smo N → R. Isto nem sempre é verdade. Porém se k é um corpo e Me N são k -espaços vetoriais de dimensão �nita (vale para dimensão in�nita também, masa justi�cativa utiliza o Lema de Zorn, e por isso não é construtiva) em que f : M → Né uma aplicação linear injetora, então f ∗ é sobrejetora. De fato, M é identi�cado com osubespaço f(M) de N , isto é, M ∼= f(M); pelo Teorema do completamento da base, existecomplemento para f(M) em N , isto é, existe P tal que N = f(M)⊕ P ; seja π : N → M aprojeção canônica de N em f(M), isto é, π(f(m) + p) = m, para todos m ∈ M , p ∈ P , ouseja, πf = idM ; logo f ∗π∗ = idM∗ ; portanto, para cada ϕ em M∗, temos que f ∗(π∗(ϕ)) = ϕ,em que π∗(ϕ) = ϕπ ∈ N∗, então f ∗ é uma aplicação linear sobrejetora.

O próximo resultado que vamos mostrar, chamado de "Lema para produzir Injetivos",nos permite utilizar módulos injetivos conhecidos sobre um anel para produzir módulosinjetivos sobre outro. Sejam S,R anéis e P um (R, S)-bimódulo �xo que é plano como R-módulo à esquerda. Lembremos que um R-módulo à esquerda P é dito ser plano se o funtor−⊗RP é exato na categoria dos R-módulos à direita. Para qualquerM ∈mod-S, de�nimosM = HomS(PS,MS).

Podemos tomar M como um R-módulo à direita por: (fr)(p) = f(rp), em que f ∈ M ,r ∈ R e p ∈ P .

Lema 2.6.1. Se M é um S-módulo à direita injetivo, então M será um R-módulo à direitainjetivo.

Demonstração. Precisamos provar a exatidão do funtor HomR(−, M). Para qualquer N ∈mod-R, temos o seguinte isomor�smo canônico (Teorema B.3.21, Apêndice B):

HomR(N, M) = HomR(N,HomS(P,M)) ∼= HomS(N ⊗R P,M)

Como RP é plano, o funtor −⊗R P é exato em mod-R, para qualquer N ∈ mod-R. ComoMS é injetivo, então HomS(−,M) é exato emmod-S. Concluímos do isomor�smo acima queo funtor HomR(−, M) é exato emmod-R. Portanto M é um R-módulo à direita injetivo.

Observamos que um R-módulo à esquerda M , tal que R é uma k -álgebra, pode ser vistocomo (R, k)-bimódulo e qualquer k -espaço vetorial é certamente k -injetivo. Então, temos oseguinte caso especial do Lema 2.6.1:

Corolário 2.6.1. Seja R uma k-álgebra. Seja RP um R-módulo à esquerda projetivo �xo,visto como (R, k)-bimódulo. Então, para qualquer k-espaço vetorial M , Homk(P,M) é umR-módulo à direita injetivo.

Demonstração. Todo módulo livre é plano; e uma soma direta de módulos é plana se, esomente se, cada módulo é plano. Como todo módulo projetivo é somando direto de ummódulo livre, temos que todo módulo projetivo é plano (ver [Rot09], Capítulo 3, Proposição3.46, pág. 132). Então o R-módulo à esquerda P é plano, ou seja, o funtor −⊗R P é exato.Pelo Lema 2.6.1, HomR(−, M) é exato em mod-R. Portanto M = Homk(P,M) é um R-módulo à direita injetivo.

A álgebra de Weyl de posto in�nito A = Ak,I é uma k -álgebra e P (p) é um A-módulode peso à esquerda projetivo. Então P (p) tem estrutura de (A, k)-bimódulo. Pelo Corolário2.6.1 temos que, em particular, Homk(P (p), k) é um A-módulo à direita injetivo, ou seja,P (p)∗ = Homk(P (p), k) é um A-módulo à direita injetivo.


Denotaremos por Wf a subcategoria plena de W consistindo de todos os A-módulos depeso com espaços de peso de dimensão �nita. De�niremos uma dualidade restrita na categoriaWf . Esta dualidade preserva objetos simples e envia objetos projetivos em injetivos.

Pela Subseção 2.5 temos que P (p) e L(p) pertencem à Wf , para todo p ∈ kI.Para uma k -álgebra R de�nimos a álgebra oposta Rop de R como a k -álgebra cuja estru-

tura de espaço vetorial do conjunto subjacente é a mesma que em R, mas a multiplicação◦ em Rop é de�nida pela fórmula a ◦ b = ba. Podemos observar que qualquer R-módulo àesquerda pode ser visto como um Rop-módulo à direita e vice versa. Seja N um R-móduloà esquerda. Vamos de�nir a ação de Rop à direita via n · a = an para a ∈ Rop e n ∈ N .Vejamos que N é Rop-módulo à direita:

n · (a ◦ b) = n · (ba) = (ba)n = b(an) = (an) · b = (n · a) · b

para todos a, b ∈ Rop e n ∈ N . Dessa maneira a categoria mod-Rop é identi�cada com acategoria R-mod.

O conceito de dualidade é muito amplo e geral. A ideia comum é que há duas coisas quebasicamente são dois lados da mesma moeda. Do ponto de vista da teoria de categorias, adualidade pode ser vista como um funtor. O protótipo para a nossa teoria da dualidade é ateoria dos espaços vetoriais de dimensão �nita. Esta teoria não se estende para espaços emque a dimensão é arbitrária.

Vejamos um exemplo que foi retirado de [ASS06], Capítulo I.Seja R uma k -álgebra com dimensão �nita. Sejam modfg-R, a categoria dos R-módulos

à direita �nitamente gerados, emodfg-Rop, a categoria dos Rop-módulos à direita (ou dos R-módulos à esquerda) �nitamente gerados. Um R-módulo à direita M é um k -espaço vetorialde dimensão �nita. Podemos de�nir o funtor D : modfg-R −→ modfg-Rop, que associacada R-módulo à direita M com o seu primeiro dual M∗ = Homk(M, k), que como já vimos,é um R-módulo à esquerda. Como M é um k -espaço vetorial, M∗ é o k -espaço dual. Paraum homomor�smo h : M → N em modfg-R temos o homomor�smo dual de R-módulos àesquerda D(h) = Homk(h, k) = h∗ : D(N)→ D(M), de�nido por ϕ 7→ ϕh.

Lembremos que um funtor covariante F : C → D é dito uma equivalência entre ascategorias C e D, se existe um funtor G : D → C e isomor�smos funtoriais Ψ : 1C

'→ GFe Φ : 1D

'→ FG, tais que 1C e 1D são os funtores identidade em C e D, respectivamente.Neste caso dizemos que o funtor G é um quase-inverso de F e que as categorias C e D sãoequivalentes (C ≈ D). Um funtor contravariante F : C → D é dito uma dualidade entre ascategorias C e D se o funtor covariante induzido F ′ : Cop → D for uma equivalência entre ascategorias Cop e D.

O funtor D do exemplo, é uma dualidade de categorias chamado de k-dualidade padrão(para mais detalhes veja [ASS06], Capítulo I).

Voltemos agora nossa atenção para a categoria Wf . Aqui é importante ressaltar queconsiderar o primeiro dual do módulo pode trazer problemas, como não existir a equivalênciade categorias. Sendo assim vamos considerar uma dualidade restrita.

A categoria Wf tem uma dualidade restrita canônica ∨ de�nida como segue: para M ∈Wf temos que

M∨ :=⊕p∈kI

Homk(Mp, k)

.Este tipo de dualidade restrita também é conhecida como contragradiente.Observamos que cada espaço de peso Mp tem estrutura de (A0, k)-bimódulo, então

Homk(Mp, k) = M∗p é um A0-módulo à direita. Logo M∨ =

⊕p∈kI M

∗p é um A0-módulo


à direita.A ação da k -álgebra de Weyl A pela esquerda em M∨ é de�nida via o anti-automor�smo

involutivo �, de�nido no início dessa seção. Para i ∈ I, sejam Xi,Yi ∈ A:

Yi · τ(v) = τ(Y �i · v) = τ(Xiv)

eXi · τ(v) = τ(X�i · v) = τ(Yiv)

para quaisquer v ∈ M , τ ∈ M∨. Para veri�car que M∨ é um A-módulo à esquerda com essaação basta veri�car que (ab)τ = a(bτ), para todos a, b ∈ A e τ ∈ M∨. De fato:

(ab)τ(m) = τ((ab)�m) = τ((b�a�)m) = τ(b�(a�m)) = bτ(a�m)) = a(bτ(m))

para todo m ∈ M , ou seja, (ab)τ = a(bτ).Seja M ∈ Wf , ou seja, M =

⊕p∈kI Mp, em que Mp tem dimensão �nita sobre k, para

todo p ∈ kI. Logo M∗p = Homk(Mp, k) também tem dimensão �nita sobre k, para todo p ∈

kI. Seja τ ∈ M∗p e mp um ideal maximal em A0. Para todos i ∈ I, m ∈ Mp temos que:

(ti − pi)τ(m) = τ((ti − pi)�m) = τ((ti − pi)m) = τ(0) = 0,

pois � �xa os elementos de A0. Logo mpτ = 0. Então M∗p é um espaço de peso. Assim

M∨ =⊕

p∈kI M∗p é um A-módulo de peso, tal que M∗

p tem dimensão �nita sobre k, paratodo p ∈ kI. Portanto M∨ ∈ Wf . Ou seja, a dualidade restrita ∨ envia M ∈ Wf em M∨ ∈Wf .

Se f : M → N é um homomor�smo em Wf , então f∨ : N∨ →M∨, de�nido por ϕ 7→ ϕf ,é um homomor�smo em Wf .

Temos que supp(M∨) = supp(M), para todo M ∈Wf . De fato, Mp 6= {0} para algum p∈ kI se, e somente se, existe 0 6= x ∈ Mp tal que podemos de�nir uma transformação linearnão nula de Mp em k, x 7→ 1. Em outras palavras Mp 6= {0} se, e somente se, M∗

p 6= {0}, esegue o resultado.

Temos que supp(P (p)) = supp(P (p)∨). Seja N∨ a soma de todos os submódulos própriosde P (p)∨; então N∨ é o único submódulo maximal de P (p)∨, assim L(p)∨ = P (p)∨/N∨ é umA-módulo simples. Temos também que supp(L(p)∨) = supp(L(p)), e como dimkL(p)p = 1,existe 0 6= u ∈ L(p)p. Logo p ∈ supp(L(p)) = supp(L(p)∨), ou seja, existe 0 6= τ ∈L(p)∗p. Como L(p)∨ é um A-módulo simples, ele é gerado por τ . Existe um epimor�smoϕ : P (p)→ L(p)∨, de�nido por 1⊗1kp 7→ τ , ou seja, L(p)∨ é imagem homomór�ca de P (p).Então P (p)/ker(ϕ) ∼= L(p)∨, e pela simplicidade de L(p)∨, ker(ϕ) é um submódulo maximalem P (p). Na demostração da Proposição 2.5.5(2) vimos que existe um único submódulomaximal N em P (p), portanto, L(p) ∼= L(p)∨.

Agora vamos de�nir um envelope injetivo, que também é conhecido como casca injetiva.Antes disso, precisamos de outras de�nições e resultados. Para mais detalhes, indicamos[Lam98].

De�nição 2.6.1. Sejam R um anel eM um R-módulo à esquerda. Um R-módulo à esquerdaE ⊇M é dito ser uma extensão essencial de M se cada submódulo não nulo de E interceptaM não trivialmente. Uma extensão essencial E ⊇M é dita ser maximal se nenhum módulocontendo E propriamente é uma extensão essencial de M .

Se E ⊇M é uma extensão essencial, dizemos também que M é um submódulo essencial(ou grande) de E e denotamos M ⊆e E. A noção de um submódulo grande é dual à noção


de um submódulo supér�uo (ou pequeno). Observamos essa dualidade pelas de�nições: Umsubmódulo S ⊆ P é supér�uo se S+L = P , para algum submódulo L de P , implica L = P ,enquanto que o submódulo S ⊆ E é essencial se S ∩ L = {0}, para algum submódulo L deE, implica L = {0}.

Observação 2.6.1. Temos o seguinte fato: M ⊆e E se, e somente se, para cada 0 6= a ∈E, existe r ∈ R tal que 0 6= ra ∈ M . Esse é um fato bastante óbvio que di�cilmente requeruma prova. No entanto, ele fornece uma forma conveniente para veri�car se M ⊆e E. Naverdade, na maioria das vezes, nós veri�camos essencialmente por aplicação deste critério.

Observação 2.6.2. (Transitividade) Se M ⊆e E e E ⊆e E ′, então M ⊆e E ′. Isto se-gue facilmente da Observação 2.6.1, ou diretamente da De�nição 2.6.1. A propriedade datransitividade para essencialidade é considerada básica.

A noção de uma extensão essencial leva a uma nova interpretação da injetividade de umR-módulo, como segue.

Lema 2.6.2. Um R-módulo à esquerda M é injetivo se, e somente se, ele não tem nenhumaextensão essencial própria.

Demonstração. Primeiro vamos assumir queM é injetivo, e considere uma extensão própriaqualquer E ) M . Temos a seguinte sequência exata 0 //M

ι // Eπ // E/M // 0 .

Pelo Teorema B.3.13 (Apêndice B) essa sequência cinde, então temos que E = M⊕

N ,para algum submódulo N 6= {0} (pois E ) M). Como N ∩ M = {0}, então E ⊇ Mnão é uma extensão essencial. Reciprocamente, vamos assumir que M não tem nenhumaextensão essencial própria. Pelo Teorema B.3.16 (Apêndice B), M pode ser identi�cado comum submódulo de um R-módulo à esquerda injetivo I, isto é, existe um monomor�smoι : M → I. Pelo Lema de Zorn, existe um submódulo S ⊆ I, maximal com respeito apropriedade S ∩ M = {0}. Então no quociente I/S, qualquer submódulo não nulo S ′/Sintercepta a imagem de M não trivialmente, então ι(M) ⊆e I/S. Por hipótese, devemos terι(M) = I/S. Isto signi�ca que I = M

⊕S. Então, pelo Corolário B.3.3 (Apêndice B), M é

um R-módulo à esquerda injetivo.

Lema 2.6.3. Qualquer R-módulo à esquerda M tem uma extensão essencial maximal.

Demonstração. Vamos �xar o módulo injetivo I ⊇ M , e considerar qualquer família deextensões essenciais deM em I que são linearmente ordenadas por inclusão. Pela Observação2.6.1, é claro que a união da família é também uma extensão essencial de M . Pelo Lema deZorn, segue que podemos encontrar um submódulo E maximal com respeito a propriedadeM ⊆e E ⊆ I. A�rmamos que E é uma extensão essencial maximal de M . De fato, se istoé falso, podemos encontrar um módulo E ′ contendo E propriamente, ou seja, E ( E ′ talque M ⊆e E ′ (E ′ é algum R-módulo, que não precisa necessariamente estar em I). Pelainjetividade de I, a aplicação inclusão E ⊆ I pode ser estendida para alguma g : E ′ → I.Temos que (ker(g)) ∩M = {0} e como M ⊆e E ′ implica que ker(g) = {0}. Logo, podemosidenti�car E ′ com g(E ′). Mas então M ⊆e E ′ contradiz a maximalidade de E.

Teorema 2.6.1. Para R-módulos à esquerda M ⊆ I, as seguintes a�rmações são equiva-lentes:

1. I é extensão essencial maximal sobre M .

2. I é injetivo, e é essencial sobre M .


3. I é injetivo minimal sobre M .

Demonstração. Vamos mostrar que 1. =⇒ 2. Como I já é uma extensão essencial, bastamostrar que I é injetivo. Pela Propriedade da Transitividade na Observação 2.6.2, 1. implicaque I não tem extensão essencial própria, pois caso I (e E

′, então M ⊆e E ′, contrariandoa maximalidade de I. Portanto, I é injetivo pelo Lema 2.6.2.

Agora vamos mostrar que 2. =⇒ 3. Basta mostrar que I é minimal. Seja I ′ um módulo in-jetivo tal queM ⊆ I ′ ⊆ I. Temos a seguinte sequência exata 0 // I ′

ι // Iπ // I/I ′ // 0 .

Pelo Teorema B.3.13 (Apêndice B) essa sequência cinde, então temos que I = I ′⊕

N , paraalgum submódulo N ⊆ I. Como N ∩M = {0}, devemos ter N = {0} (pois M ⊆e I), entãoI ′ = I.

3. =⇒ 1. Vamos assumir que I é injetivo minimal sobreM . A prova do Lema 2.6.3 produzum submódulo E ⊆ I que é uma extensão essencial maximal sobre M . Usando 1. =⇒ 2 emE, concluímos que E é injetivo. A minimalidade de I implica que E = I, como desejado.

De�nição 2.6.2. Se os R-módulos à esquerda M ⊆ I satisfazem as propriedades 1., 2. e3. do Teorema 2.6.1 (que são equivalentes), dizemos que I é um envelope injetivo (ou cascainjetiva) de M .

Em outras palavras um envelope injetivo para um R-módulo M é qualquer móduloinjetivo I que seja uma extensão essencial deM , ou seja, é o menor módulo injetivo contendoM .

Observamos que, pelo Lema 2.6.3, qualquer módulo M tem um envelope injetivo.Os módulos injetivos são duais dos módulos projetivos, pois em termos dos diagramas

que caracterizam os dois, o diagrama da injetividade é o diagrama da projetividade com as�echas invertidas. Temos também que a noção de submódulo essencial é dual a noção desubmódulo supér�uo. Logo a cobertura projetiva é o dual do envelope injetivo.

Como P (p) é A-módulo projetivo, temos que P (p)∨ é A-módulo injetivo.Como p : P (p)→ P (p)/N = L(p) é um epimor�smo, temos que p∨ : L(p)∨ → P (p)∨ é

um monomor�smo.Na Seção 2.5, com p : P (p)→ L(p), provamos que (P (p), p) é uma cobertura projetiva

de L(p). Então por conta da dualidade ∨, temos que (P (p)∨, p∨) é o envelope injetivo deL(p)∨ ∼= L(p).

2.7 Realização via ação polinomial

Realização matemática refere-se a um processo no qual um objeto abstrato e genérico étransformado em um objeto exato e especí�co. Após este processo, nós dizemos que o objetoabstrato está matematicamente realizado. Vamos tomar os A-módulos de peso projetivosP (p) e através da realização via ação polinomial transformá-los em objetos concretos.

Esta seção será baseada em [FGM14][Seção 3.4].Vamos lembrar que no Capítulo 1, Seção 1.3, de�nimos B como a k -álgebra comutativa

dos polinômios em in�nitas variáveis xi, i ∈ I. Podemos tomar B como um A-módulo àesquerda, em que a ação de Xi em B é dada pela multiplicação pela variável xi, enquantoYi age pela diferenciação com respeito à xi.

Essa ação de A = Ak,I em B admite a seguinte generalização óbvia. Para p ∈ kI, sejaxp :=

∏i∈I x

pii . Denotaremos por B(p) o conjunto de todas as combinações k -lineares �nitas

dos elementos xm, em que m ∈ p + ZIf (ou seja, m pertence a classe de p em kI/ZI

f ).De�nimos a ação de Xi em B(p) à esquerda, pela multiplicação por xi e a ação de Yi em

2.8 REFERÊNCIAS 63

B(p) à esquerda, pela derivada parcial com respeito à xi. Dessa forma B(p) é um A-móduloà esquerda.

Para xv ∈ B(p), ou seja, v ∈ p+ZIf , vamos considerar o ideal maximal mv = 〈ti − vi〉i∈I

de A0. Então, para i ∈ I:

(ti − vi)(xv) = (XiYi − vi)(xv) = vixv − vixv = 0.

Então mv · xv = {0}. Logo, B(p) tem estrutura de A-módulo de peso. Portanto,

B(p) =⊕

v ∈ p+ZIf

B(p)v

em que supp(B(p)) = p + ZIf e todos os espaços de peso não nulos de B(p) são unidimen-

sionais.

Proposição 2.7.1.

1. Seja p ∈ kI, tal que se pi ∈ Z implica que pi ∈ {0, 1, 2, . . .}, para todo i. Então B(p)e B(p)∨ são o envelope injetivo e a cobertura projetiva de L(p), respectivamente.

2. Seja p ∈ kI, tal que se pi ∈ Z implica que pi ∈ {−1,−2, . . .}, para todo i. Então B(p)e B(p)∨ são a cobertura projetiva e o envelope injetivo de L(p), respectivamente.

Demonstração. Vamos provar o item 2. O item 1. é provado similarmente. Seja p ∈ kI,tal que se pi ∈ Z implica que pi ∈ {−1,−2, . . .}, para todo i. Como ∨ é uma dualidade,é su�ciente mostrar que B(p) ∼= P (p). Sabemos pelo isomor�smo natural 2.1 (Capítulo 2,Seção 2.5) que HomW(P (p), B(p)) ∼= B(p)p. Por construção, B(p)p 6= {0}. Então existe umhomomor�smo de A-módulos não nulo ϕ : P (p)→ B(p). Temos que ϕ é um monomor�smo.Comparando os elementos de P (p) e B(p), segue que a aplicação ϕ é um epimor�smo, ouseja, é uma bijeção.

2.8 Referências

A Seção 2.1 foi baseada em [Cou95][Capítulo 5]. A Seção 2.2 foi baseada em [Cou95][Capítulo 7]. A Seção 2.3 foi baseada em [Cou95] [Capítulo 8]. A Seção 2.4 foi baseada em[FGM14] [Seção 3.1]. A Seção 2.5 foi baseada em [FGM14] [Seção 3.2]. Também utilizamos[Lam01], [Bea99] [Capítulos 2 e 3] e [Bro82] [Seção 3.3]. A Seção 2.6 foi baseada em [FGM14][Seção 3.3] e em [Lam98] [Capítulo 3]. A Seção 2.7 foi baseada em [FGM14] [Seção 3.4].

Capítulo 3

Classi�cação

3.1 Módulos de peso simples sobre uma álgebra de Weylgeneralizada A = D(σ, a)

Antes de tudo, daremos um breve histórico dos estudos sobre módulos de peso simplessobre álgebras de Weyl.

Em [Blo81], Block classi�cou os módulos simples para a álgebra de Weyl A1 sobre umcorpo k algebricamente fechado de característica 0 junto com os módulos simples para aálgebra de Lie sl(2, k). Uma abordagem alternativa usando álgebras de Weyl generalizadasquando k é arbitrário foi proposta em [Bav92a], [Bav92b] e em [BvO97].

Módulos de peso sobre A1 (e sobre algumas outras álgebras de Weyl generalizadas degrau 1) para corpos arbitrários foram estudadas em [DGO96]. Para corpos algebricamentefechados de característica 0, módulos simples holônomos sobre a álgebra de Weyl A2 foramclassi�cados em [BvO00]. Módulos de peso generalizados e de peso para An com n < ∞(e para algumas outras álgebras de Weyl generalizadas) sobre um corpo algebricamentefechado foram investigadas em [BBL97] e [BB00]. Em particular, [BBL97] deu uma descriçãoexplícita dos módulos de peso para álgebras de Weyl complexas An com n < ∞ e usouisso para construir os módulos de peso que têm todos os espaços de peso unidimensionaispara álgebras de Lie complexas simples de dimensões �nitas. O artigo [BB00] forneceu umaclassi�cação das representações em blocos do tipo mansa na categoria dos módulos de pesolocalmente �nitos e descreveu módulos indecomponíveis em blocos do tipo mansa. Nestecaso, todos os módulos simples podem ser obtidos como produtos tensoriais de módulossimples sobre A1.

No artigo [BBF04], Bekkert, Benkart e Futorny, combinam as técnicas utilizadas em[BB00], [DGO96], e [GP68] para descrever os módulos de peso simples sobre An, com n ≤ ∞e k um corpo qualquer. Também foram classi�cados os tipos de representações em blocos dotipo mansa na categoria de todos os módulos de peso localmente �nitos junto com os módulosindecomponíveis de cada um desses blocos. A partir da classi�cação de certos módulos depeso simples sobre A∞, foram obtidos alguns exemplos de módulos simples Z-graduados parauma álgebra de Heisenberg de dimensão in�nita com componentes homogêneas de dimensõesin�nitas e um central não nulo.

Basearemos essa seção em [BBF04][Seções 2, 3, 4 e 5].

3.1.1 Módulos de peso sobre A = D(σ, a)

Vamos assumir para 1 ≤ n ≤ ∞ que A é uma realização da n-ésima álgebra de Weyl Ancomo a álgebra de Weyl generalizada D(σ, a), tal que D = k[t1, . . . , tn], em que ai = ti = ∂ixi

65

66 CLASSIFICAÇÃO 3.1

∈ D, cf. Capítulo 1, Seção 1.4. Nesta seção vamos considerar que k é um corpo qualquer.Seja G o grupo gerado pelos automor�smos σi (1 ≤ i ≤ n) de D, em que σi(tj) = tj − δij1.Então G age no conjunto maxD dos ideais maximais de D.

Um A-módulo V é um módulo de peso se

V =⊕

m∈maxD

Vm , Vm = {v ∈ V | mv = {0}},

e se Vm 6= {0}, dizemos que m é um peso de V . O conjunto supp(V ) = {m ∈ maxD | Vm 6={0}} é o suporte de V . Podemos veri�car também que xiVm ⊆ Vσi(m) e ∂iVm ⊆ Vσ−1

i (m), para1 ≤ i ≤ n (veja Capítulo 2, Seção 2.5).

SejaW(A) a categoria dos A-módulos de peso. Para cada subconjunto T ⊆ maxD vamosdenotar por WT (A) a subcategoria plena de W(A) consistindo de todos os módulos de pesoV com supp(V ) ⊆ T . Todo módulo de peso V pode ser decomposto em uma soma direta deA-submódulos:

V =⊕O

VO , VO =⊕m∈O

Vm

em que O percorre todas as órbitas de G em maxD.Lembremos que se um grupo G age num conjunto X e x ∈ X, o subconjunto de X,

o(x) = {g · x | g ∈ G} é chamado de órbita de x.Então a categoria W(A) se decompõe em uma soma de subcategorias plenas correspon-

dendo as órbitas de G. Em particular, se V é indecomponível, então seu suporte pertence àuma única órbita.

Uma órbita é cíclica (resp. linear) se τ(m) = m para algum τ ∈ G, τ 6= e (resp. τ(m) 6= mpara todos τ ∈ G, τ 6= e), em que e denota o elemento neutro do grupo G. Se char(k) = 0,então toda órbita é linear. Caso contrário, se char(k) = p > 0, então toda órbita O é cíclicae |O| <∞ se n <∞.

Observação 3.1.1. Seja V ∈ W(A) simples e assuma que m ∈ supp(V ). Suponha quea correspondente órbita é linear. Seguindo [BvO97], vamos considerar A(m) = A/Am ∈W(A) e o submódulo maximal N(m) ⊂ A(m), o qual é a soma de todos os submódulos queinterceptam D/m trivialmente. Então V ∼= A(m)/N(m). Portanto, para órbitas lineares oproblema é descrever o submódulo N(m).

Vamos assumir que char(k) = p > 0. A álgebra A = An é Zn-graduada (veja Capítulo1, Seção 1.4): A =

∑j∈Zn Aj. Para j = (j1, . . . , jn) ∈ Zn, os espaços homogêneos Aj = Dvj,

em que vj = vj1(1) · · · vjn(n), vj(i) = xji , v−j(i) = ∂ji , v0(i) = 1, para todos i = 1, . . . , n ej > 0. De�ne-se a subálgebra de Veronese A[p] =

∑j∈Zn Apj (cf. [BvO97]). Se m é um ideal

maximal de D, então A[p]m ⊆ A[p], pois D ⊆ A0.

Observação 3.1.2. Sejam char(k) = p > 0 e V ∈ W(A) um módulo simples para A = An.Vamos assumir que Vm 6= {0} para algum ideal maximal m de D. Vamos de�nir um A-módulo por A(m) = A ⊗A[p]

Vm. Então V ∼= A(m)/N(m), em que N(m) é o submódulomaximal em A(m) que intercepta trivialmente D/m. O problema de descrever tais módulossimples se reduz a determinar os módulos simples para A[p]/A[p]m e o submódulo maximalN(m).

As Observações 3.1.1 e 3.1.2 fornecem a construção de todos os An-módulos de pesosimples, reduzindo o problema da classi�cação à descrição do submódulo maximal N(m).Como a determinação do submódulo maximal N(m) pode ser extremamente não trivial,

3.1MÓDULOS DE PESO SIMPLES SOBRE UMA ÁLGEBRA DE WEYL GENERALIZADA A = D(σ, A)

67

no que segue vamos adotar uma abordagem alternativa baseada nas ideias de [DGO96] e[BB00].

Dizemos que um ideal maximal m de D é um break com respeito a i se ti ∈ m para algumi ∈ {1, . . . , n}. Uma órbita O é degenerada com respeito a i se ela contém um break comrespeito a i (para algum m ∈ O). Geralmente por simplicidade dizemos que O é degeneradasem especi�car i ou m.

Um ideal maximal m de D é um break maximal com respeito a I = I(m) ⊆ {1, . . . , n} seti ∈ m para cada i ∈ I, e tj /∈ τ(m) para todos j /∈ I, τ ∈ G. De�nimos Ic := {1, . . . , n}r Ie dizemos que o break maximal tem ordem |I| (que pode ser in�nita se n =∞).

Vejamos que breaks maximais existem para órbitas degeneradas quando n < ∞. Supo-nhamos que O = O(m) é degenerada. Se n ∈ O é um break com respeito a i, então ti ∈ n.Além disso, para qualquer produto τ = σk11 · · ·σknn ∈ G com o termo σi omitido, temos queti ∈ τ(n), pois σj(ti) = ti para j 6= i. Suponhamos que I = {i1, . . . , is} ⊆ {1, . . . , n} é umconjunto maximal de índices tal queO tem breaks ni1 , . . . , nis relativos a i1, . . . , is, respectiva-mente, e não tem breaks com respeito a qualquer j ∈ Ic. Vamos assumir ni = σ

r1,i1 · · ·σrn,in (m)

para cada i ∈ I. Então para i ∈ I, ti ∈ σri,ii (m), logo ti ∈ n := σ

ri1,i1i1· · ·σris,isis

(m), e n é umbreak maximal em O com respeito a I = {i1, . . . , is}.

Como não é evidente que existem breaks maximais para A∞, vamos assumir que asórbitas degeneradas O, quando estamos considerando A∞, tenham um break maximal m.Neste caso, o conjunto de breaks I(m) pode ser �nito ou in�nito.

No que segue, seja τ(m) = (τ1, . . . , τn), em que τi = σi se σi(m) = m e τi = e, casocontrário. Cada τi induz um automor�smo em D/m (Se τi = e é óbvio; se τi = σi, tal queσi(m) = m, basta considerar a projeção canônica σi : D → D/m, temos que m ⊆ ker(σi), epela maximalidade de m, temos que σ′i : D/m→ D/m é um isomor�smo).

3.1.2 Categoria CO e seu esqueleto

Começaremos com os conceitos abstratos necessários para descrever os módulos sobrea álgebra de Weyl, que podem ser encontrados em [GR97][Cap. 2]. Ultimamente surgirammuitas categorias particulares determinadas por esses módulos.

Categorias

Seja F um corpo. Uma categoria C é dita uma F-categoria se cada conjunto de mor�smosC(α, β) é equipado com uma estrutura de F-bimódulo, a composição é F-linear com respeitoas estruturas de F-módulo à esquerda e à direita, e (αλ)β = α(λβ) para quaisquer mor�smospossíveis α, β (λ ∈ F). Se adicionalmente, αλ = λα para todos mor�smos α (λ ∈ F), entãodizemos que C é uma categoria F-linear. Uma F-álgebra A dá origem à uma F-categoria comsomente um objeto α tal que C(α, α) = A, e a composição é a multiplicação em A.

Para qualquer categoria C, podemos associar uma categoria F-linear FC cujos objetossão os mesmos Ob(C) = Ob(FC), e o espaço de mor�smos FC(α, β) tem como base sobre Fos elementos de C(α, β). A composição em FC é a extensão F-linear da composição em C.

Um funtor F-linear entre duas categorias F-lineares C e D é um funtor F : C → D cujasaplicações F (α, β) : C(α, β)→ D(Fα, Fβ) são F-lineares para todos α, β ∈ Ob(C).

Sejam F-mod a categoria dos F-espaços vetoriais e AbGroups dos grupos abelianos.Dada uma F-categoria C, vamos denotar por C-mod a categoria de todos os funtores aditivosM : C → AbGroups (observamos que o conjunto de todos os funtores de uma C em umacategoria D é uma categoria, porque podemos de�nir um mor�smo entre dois funtores doconjunto). Os funtores M são chamados de C-módulos, ou mais precisamente, C-módulos à


esquerda. Para α ∈ Ob(C), os elementos de M(α) são os elementos do módulo M (em α).Fazendo a ação do modo que estamos acostumados, escrevemos au ao invés de M(a)u parau ∈ M(α) e a ∈ C(α, β). Para cada α ∈ Ob(C), o grupo M(α) torna-se um F-espaço vetorialse tomarmos λu = (λ1α)u, para todos u ∈ M(α) e λ ∈ F. Por C-fdmod, indicamos a sub-categoria plena de todos os objetos M em C-mod que possuem dimensão �nita localmente,isto é, dimF(M(α)) <∞, para todo α ∈ Ob(C).

Agora vamos de�nir alguns conceitos que já são conhecidos na teoria dos módulos, masque considerando o conceito de módulo dado acima, tem suas particularidades. São eles:submódulo, módulo simples, soma direta e módulo indecomponível.

Se N é um C-submódulo de M , então N(α) é um subespaço de M(α) para todo α ∈Ob(C), e au ∈ N(β) para todos a ∈ C(α, β) e u ∈ N(α). O módulo M é simples se elenão tem C-submódulos não triviais; enquanto M é uma soma direta M = M1 ⊕M2 se M1

e M2 são submódulos tais que M(α) = M1(α) ⊕M2(α) para todo α ∈ Ob(C). O móduloM é indecomponível se ele não pode ser escrito como uma soma direta M = M1 ⊕M2 desubmódulos próprios.C-módulos à direita podem ser de�nidos como Cop-módulos, em que Cop é a categoria

oposta à C. Neste caso escrevemos va para v ∈ M(β) e para a ∈ C(α, β) = Cop(β, α). Acategoria dos C-módulos à direita será denotada por mod-C e a subcategoria plena dosobjetos que possuem dimensão �nita localmente por fdmod-C.

Para F-categorias C eD um C-D-bimódulo é um funtor aditivo B : C×Dop → AbGroups.Se u ∈ B(γ, δ), então u é um elemento do módulo B com origem γ e destino δ, e escrevemosaub ao invés de B(a, b)u para a ∈ C(γ, γ′) e b ∈ D(δ′, δ). Qualquer F-categoria C pode ser vistacomo um C-C-bimódulo aplicando o par de objetos (β, γ) em C(β, γ) ∈ Ob(AbGroups).

Dadas duas F-categorias C e D, a categoria E é o produto tensorial E = C ⊗F D dascategorias C e D se Ob(E) = Ob(C) × Ob(D), E((α, β), (γ, δ)) = C(α, γ) ⊗F D(β, δ), e acomposição de mor�smos é de�nida da seguinte maneira (a⊗ b)(c⊗ d) = ac⊗ bd.

A categoria C é dita básica se:

• Todos os seus objetos são não isomorfos, tomados dois a dois;

• Para cada objeto α não existem idempotentes não triviais em C(α, α).

Uma subcategoria plena S é um esqueleto de uma categoria C se ela é básica, e cadaobjeto α ∈ Ob(C) é isomorfo à um somando direto de uma soma direta (�nita) de algunsobjetos de S. Se a categoria C tem a propriedade de ter uma única decomposição em somadireta, então ela tem um esqueleto que é único a menos de isomor�smo. O funtor inclusãonatural I : S → C de um esqueleto S em C é uma equivalência de categorias. Por contadesse funtor, C é um C-S-bimódulo de maneira óbvia.

Quivers

Um quiver Q (ou aljava) é uma upla (Q0, Q1, s, e) consistindo de um conjunto Q0 devértices, um conjunto Q1 de �echas, e aplicações s, e : Q1 → Q0 que especi�cam os vérticesiniciais e �nais. Um caminho p em Q de comprimento l(p) = n ≥ 1 é uma sequência de�echas an, . . . , a1 tais que s(ai+1) = e(ai) para 1 ≤ i < n, s(a1) = s(p) (início/origem dep) e e(an) = e(p) (término/destino de p). Então a concatenação p′p de dois caminhos p, p′

é de�nida de maneira natural desde que s(p′) = e(p). Cada vértice a ∈ Q0 determina umcaminho 1a (de comprimento 0) conhecido como caminho trivial em que s(1a) = e(1a) = a.Um caminho de comprimento l ≥ 1 é chamado de ciclo se s(a1) = e(al), ou seja, se começae termina no mesmo vértice. Um ciclo de comprimento 1 é chamado de loop (ou laço).


69

Se Q = (Q0, Q1, s, e) é um quiver, diremos que Q′ = (Q′0, Q′1, s′, e′) é um subquiver (ou

subaljava) de Q se Q′0 ⊆ Q0, Q′1 ⊆ Q1 e a restrições de s e t a Q′1 são iguais a s′ e e′,respectivamente.

Um quiver Q determina uma categoria pathQ em que os objetos são os vértices de Q e osmor�smos de um vértice a para um vértice b são os caminhos de a para b. A composição empathQ dos caminhos de comprimento positivo é simplesmente a concatenação, e o caminho1a age como identidade em todos os caminhos para os quais a composição faça sentido.

A correspondente álgebra de caminhos, que abreviaremos simplesmente por FQ, temuma F-base consistindo dos caminhos de Q com multiplicação dada pela concatenação doscaminhos. Se R é o ideal de FQ gerado por uma família {ρi} de mor�smos, dizemos queFQ/R é uma categoria F-linear de�nida pelo quiver Q e por relações {ρi}.

Exemplo 3.1.1. Seja Q o quivera◦ βhh

consistindo de um simples ponto e um loop simples. A base da álgebra de caminhos FQ é{1a, β, β2, . . . , βl, . . .} e a multiplicação dos vetores da base é dada por:

1aβl = βl1a = βl , para todo l ≥ 0 e

βlβr = βl+r , para todos l, r ≥ 0

em que β0 = 1a. Então FQ é isomorfa à álgebra de polinômios F[t] com uma variável; oisomor�smo é induzido pela aplicação F-linear 1a 7→ 1 e β 7→ t.

Categoria COVamos mostrar que a categoria WO(A) dos módulos de peso sobre a álgebra de Weyl

A = An (1 ≤ n ≤ ∞) com suporte na órbita O (no caso n = ∞ assumimos que se O édegenerada ela possui um break maximal), é equivalente à CO-mod, a categoria dos módulossobre uma certa categoria CO primeiramente introduzida em [DGO96].

Vamos assumir que m é um break maximal �xado na órbita O se O é degenerada, e équalquer elemento �xado de O caso contrário. Para um dado n ∈ O denotaremos por σn oelemento de G/stab(m) tal que n = σn(m) (em que stab(m) é o subgrupo estabilizador de mem G; lembremos que se um grupo G age em um conjunto X e x ∈ X, o subgrupo de G,Gx = {g ∈ G | gx = x} é chamado de estalizador de x). Então, σn induz um isomor�smoD/m → D/n, que também denotaremos por σn (seja σn : D → D/n o homomor�smosobrejetor canônico; como ker(σn) = n temos que m ⊆ ker(σn); mas m é um ideal maximal,logo ker(σn) = m; portanto D/m ∼= D/n) e seu inverso induz um isomor�smo σ−1

n : D/n→D/m.

De�nimos CO como a D/m-categoria com Ob(CO) = O, gerados sobre D/m pelo conjuntode mor�smos {Xn,i, Yn,i | n ∈ O, 1 ≤ i ≤ n}, em que Xn,i : n → σi(n) e Yn,i : σi(n) → n,sujeitos às relações:

• Xn,iλ = λXn,i , Yn,iλ = λYn,i , Yn,iXn,i = σ−1n (ti)1n e Xn,iYn,i = σ−1

n (ti)1σi(n) ,ti = ti + n, para todos λ ∈ D/m, n ∈ O, e todo 1 ≤ i ≤ n tal que σi(m) 6= m;

• Xn,iλ = σi(λ)Xn,i , Yn,iσi(λ) = λYn,i , Yn,iXn,i = σ−1n (ti)1n e Xn,iYn,i =

σiσ−1n (ti)1σi(n) , ti = ti + n, para todos λ ∈ D/m, n ∈ O, e todo 1 ≤ i ≤ n tal

que σi(m) = m;

• Un,iVp,j − Vq,jUr,i = 0 para todo j 6= i e para todos possíveis U, V ∈ {X, Y }, n, p, q, r∈ O, para os quais a última igualdade faça sentido.


Observamos que a categoria CO é F-linear quando σi(m) 6= m para todo i; em particular,CO é sempre F-linear quando F tem característica 0 (pois nesse caso a órbita é linear, ouseja, τ(m) 6= m, para todo τ 6= e ∈ G).

Proposição 3.1.1. Seja A = An, a n-ésima álgebra de Weyl sobre o corpo k, e seja O umaórbita de maxD (se n =∞ e O é degenerada vamos assumir que ela tem um break maximal).Então WO(A) ≈ CO-mod.

Demonstração. Vamos assumir que m é o ideal maximal designado de O (o ideal maximalm utilizado na de�nição da categoria CO). Seja V =

⊕n∈O Vn pertencente à WO(A). Para

cada n ∈ O seja MV (n) := Vn.Como Vn é D-módulo e nVn = {0}, temos que Vn é D/n-espaço vetorial. Usando o

isomor�smo σn : D/m→ D/n, podemos tomar MV (n) como D/m-espaço vetorial via dv :=σn(d)v, (d = d+m). Para v ∈ MV (n) e w ∈ MV (σi(n)), de�nimos Xn,iv := xiv ∈ MV (σi(n))(pois xiVn ⊆ Vσi(n)) e Yn,iw := ∂iw ∈ MV (n) (pois ∂iVσi(n) ⊆ Vσ−1

i (σi(n)) = Vn). Então se d ∈D/m, temos

Xn,idv = xiσn(d)v = σi(σn(d))xiv

=

{dXn,iv se σi(m) 6= m

σi(d)Xn,iv se σi(m) = m,

visto que σi(n) = n para todo n ∈ O, e σi(σn(d)) = σn(σi(d)), sempre que σi(m) = m. Damesma forma Yn,idw = dYn,iw. Além disso, Yn,iXn,iv = ∂ixiv = tiv = (ti + n)v = σ−1

n (ti)vpara ti = ti + n, e Xn,iYn,iw = xi∂iw = σi(ti)w = (σi(ti) + σi(n))w = σ−1

n (ti)w. A razãopara esta última igualdade é que existe uma ação de G em G/stab(m), e sob estão açãoσiσn = σσi(n). Portanto, MV (MV : CO → D/m-mod) é um CO-módulo, e temos um funtor

F :WO(A)→ CO-mod , V 7→MV .

Reciprocamente, para cada M ∈ CO-mod, vamos de�nir o A-módulo VM :=⊕

n∈OM(n),em que dv := σ−1

n (d)v, d = d + n ∈ D/n, xiv := Xn,iv, e ∂iv := Yσ−1i (n),iv, para v ∈ M(n).

Isto resulta em um funtor

F ′ : CO-mod→WO(A) , M 7→ VM

que é o inverso de F . Portanto as duas categorias são equivalentes.

Esqueleto de COPara uma dada órbita O vamos de�nir o conjunto BO de acordo com as regras descritas

abaixo. Se O é não degenerada, então BO := {m}, para m ∈ O �xado, usado para de�nira categoria CO, e I(m) = ∅. Se O é uma órbita degenerada linear, então m ∈ O é o breakmaximal �xado usado na construção de CO; vamos assumir que o conjunto de breaks éI = I(m) = {i1, . . . , is}; seja BO := {σδ1i1 · · ·σ

δsis

(m) | δj ∈ {0, 1}} (em que somente umaquantidade �nita dos δj é não nula, quando n = ∞); neste caso, para cada ideal maximaln = σδ1i1 · · ·σ

δsis

(m) ∈ BO, seja

On := {σγ11 · · ·σγnn (n) | γi = (−1)δi+1k, k ∈ N se i ∈ I, e γi ∈ Z se i ∈ Ic},

(em que somente uma quantidade �nita dos γi é não nula, quando n =∞). SeO é uma órbitadegenerada cíclica, e m ∈ O é o break maximal usado para de�nir CO, então BO := {m} e


71

Om := O.Como σi(tj) = tj, quando i 6= j, existe a seguinte relação de equivalência: n ∼ σi(n)

se, e somente se, ti /∈ n. Vamos introduzir uma relação de equivalência ∼ no conjunto dosideais maximais n ∈ maxD. Esta relação é uma extensão transitiva da especi�cada acima.Vejamos:

Lema 3.1.1. Suponhamos que n e p pertencem a O. Então n ∼ p se, e somente se, n e psão isomorfos em CO.

Demonstração. Considerando a construção da categoria CO, seja m o break maximal �xadodeO seO é degenerada e o único elemento deBO seO é não degenerada. Vamos assumir paracada n ∈ O, σn ∈ G/stab(m) satisfazendo σn(m) = n como na demonstração da Proposição3.1.1.

É su�ciente argumentar para qualquer n ∈ O que, n ∼ σi(n) se, e somente se, n e σi(n)são isomorfos em CO.

Vamos assumir que n ∼ σi(n). Então ti /∈ n, logo (ti + n) 6= 0. Como σ−1n : D/n→ D/m

é um isomor�smo, σ−1n (ti + n) 6= 0. Pela de�nição de CO, Xn,i e Yn,i são invertíveis em CO.

Portanto n e σi(n) são isomorfos em CO.Reciprocamente, suponhamos que n e σi(n) são isomorfos em CO. Segue da de�nição dos

mor�smos em CO que CO(n, σi(n)) = (D/m)Xn,i e CO(σi(n), n) = (D/m)Yn,i, para 1 ≤ i ≤ n.Então Xn,i e Yn,i são isomor�smos. Se ti ∈ n, então σ−1

n (ti + n) = 0 ∈ D/m e Yn,iXn,i =σ−1n (ti + n)1n = 0, uma contradição. Logo ti /∈ n e, portanto, n ∼ σi(n).

Observação 3.1.3. Seja n = σδ1i1 · · ·σδsis

(m) ∈ BO. Se j ∈ I e δj = 1, então tj /∈ n, logon ∼ σj(n). Se j ∈ Ic, então tj /∈ m, assim tj /∈ n e n ∼ σj(n). Portanto, para n ∈ BO, aclasse de equivalência de n é exatamente On, e O é a união disjunta dos conjuntos On, n ∈BO.

Corolário 3.1.1. A subcategoria plena SO com Ob(SO) = BO é um esqueleto da categoriaCO.

Demonstração. Vamos assumir que m é o ideal maximal designado em O, utilizado parade�nir a categoria CO, e o correspondente conjunto de breaks é I = I(m) = {i1, . . . , is}(que é vazio se O é não degenerada). No caso degenerado, o ideal maximal σδ1i1 · · ·σ

δsis

(m)

tem break em {ik | δk = 0}, pois se δk = 0 em σδ1i1 · · · σδsis

então tik = σδ1i1 · · ·σδsis

(tik) ∈σδ1i1 · · ·σ

δsis

(m), visto que tik ∈ m. Assim, esses ideais são dois a dois não isomorfos. De fato,sejam nik e n dois ideais maximais da forma σδ1i1 · · ·σ

δsis

(m), tais que nik tem break em ik en não possui break em ik. Então, tik ∈ nik se, e somente se, σik(nik) não é equivalente a nikse, e somente se, σik(nik) � nik . Por outro lado, tik /∈ n e tik /∈ σik(nik), isto é, σik(nik) ∼= n.Logo, n � nik (observamos que esse isomor�smo em CO é uma relação de equivalência peloLema 3.1.1, logo é transitivo).

Além disso, se n = σr11 · · ·σrnn (m) ∈ O (com somente uma quantidade �nita de ri's nãonula, quando n = ∞), então pelo Lema 3.1.1, n é isomorfo a σδ1i1 · · ·σ

δsis

(m) ∈ BO tal queδi = 1 sempre que i ∈ I e ri ≥ 1 (pois ti /∈ σδ1i1 · · ·σ

δsis

(m) e ti /∈ n, logo σδ1i1 · · ·σδsis

(m) ∼ n,portanto são isomorfos), e δi = 0, caso contrário, ou seja i ∈ Ic (pois ti /∈ m, o que implicaque ti /∈ σδ1i1 · · ·σ

δsis

(m) e ti /∈ n, visto que m é break maximal, e novamente σδ1i1 · · ·σδsis

(m) ∼n).

No caso não degenerado, BO = {m} e todo elemento de O é isomorfo a m pelo Lema3.1.1. De fato, I = ∅, então ti /∈ m, para todo i. Assim σi(m) ∼ m, isto é, σi(m) ∼= m em CO,para todo i. Concluímos então que qualquer objeto n ∈ O será isomorfo a m ∈ BO.


Portanto, em ambos os casos (O degenerada ou não degenerada), SO é um esqueleto deCO, pois os objetos de SO (os elementos de BO) não são isomorfos tomados dois a dois ecada objeto de CO (os elementos da órbita O) é isomorfo a um objeto de SO.

Descrição algébrica do esqueleto SOPara um dado corpo F e um subconjunto arbitrário I do conjunto N dos inteiros positivos,

de�nimos a categoria A = A(F, I) como a categoria F-linear com conjunto de objetos Ob(A):= {0, 1}|I| (o qual assumimos ter somente uma quantidade �nita de componentes não nulasquando |I| = ∞) gerada (sobre F) pelo conjunto de mor�smos, A1 := {aα,i, bα,i | α ∈Ob(A), i ∈ I, αi = 0}, em que aα,i : α→ β e bα,i : β → α, tais que βj = αj para todo j 6= i eβi = 1, sujeitos às relações:

• aα,ibα,i = bα,iaα,i = 0, para todos aα,i, bα,i ∈ A1;

• uα,ivβ,j − vγ,juδ,i = 0, para todo j 6= i e todos os possíveis u, v ∈ {a, b}, α, β, γ, δ ∈Ob(A), para os quais a última igualdade faça sentido.

Quando I é vazio, seja A(F, ∅) a categoria com um único objeto ω, e com conjunto demor�smos F1ω.

A F-álgebra correspondente à categoria A(F, I) consiste de combinações F-lineares �nitasde mor�smos na categoria, e o produto é simplesmente a composição dos mor�smos sempreque é de�nido e é 0 caso contrário. Ela tem um elemento unidade se I é �nito. Vamos adotara mesma notação A(F, I) para a álgebra. A álgebra A(F, I) tem dimensão �nita quando |I| =s <∞, como por exemplo I = {i1, . . . , is}, em que A(F, I) ∼= A(F, {i1})⊗ · · · ⊗ A(F, {is}).A álgebra A(F, {i}) é isomorfa à álgebra Q1 := FQ1/R correspondendo ao seguinte quivere relações:

Q1 : ◦1a

** ◦2

b

jj ab = ba = 0

Como Q1 é gerada sobre F por 11, 12, a, b, módulo as relações ab = 0 = ba, ela temdimensão 4 (observamos que existem as relações óbvias: a2 = 0, 12

1 = 11, 122 = 12, b2 = 0,

a11 = a, 12a = a, 11b = b e b12 = b).Para subconjuntos I e J de N e uma I∪J-upla τ = (τi)i∈I∪J de automor�smos comutantes

de F, seja B(F, I, J, τ) a F-categoria com um único objeto, ω, cuja álgebra dos endomor�smosé uma álgebra associativa unital sobre F gerada por ai, bi, cj, c

−1j , i ∈ I, j ∈ J , sujeitos às

relações: aibi = biai = 0, aiλ = τi(λ)ai, λbi = biτi(λ), para i ∈ I e λ ∈ F, cjc−1j = 1 = 1ω,

cjλ = τj(λ)cj, para j ∈ J e λ ∈ F, e usvt = vtus, para todos u, v ∈ {a, b, c} e todos s, t ∈I ∪ J .

Proposição 3.1.2. Seja A = An a n-ésima álgebra de Weyl e vamos assumir que O éuma órbita em D = k[t1, . . . , tn] sob o grupo de automor�smos G (se O é degenerada en =∞, vamos assumir que O tem break maximal). Seja m o único elemento de BO no casonão degenerado, e o break maximal de O utilizado na de�nição da categoria CO, no casodegenerado.

1. Se char(k) = 0, então SO ∼= A(D/m, I(m));

2. Se char(k) = p > 0, então SO ∼= B(D/m, I(m), I(m)c, τ(m)).

Demonstração. O Corolário 3.1.1 mostra que a categoria SO com objetos BO é um esqueletode CO.


73

Vamos assumir que char(k) = 0. Quando I(m) 6= ∅, de�nimos o funtor G : A(D/m, I(m))→ SO como segue:

G(α) = σα(m) , G(aα,i) = Xσα(m),i , G(bα,i) = Yσα(m),i

em que σα =∏

i σαii . Observamos que σα(m) = σα1

i1· · ·σαsis (m) ∈ BO = Ob(SO), em que

i1, . . . , is ∈ I(m). Como SO é um esqueleto de CO, temos que SO ⊆ CO (é uma subcategoriaplena de CO). Pela de�nição da categoria CO, os mor�smos em SO são da forma Xσα(m),i eYσα(m),i, em que σα(m) ∈ BO e i ∈ I(m). Assim podemos de�nir um funtor G′ de maneiranatural, que é o inverso de G, e segue que G é um isomor�smo. Agora vamos supor queI(m) = ∅. Logo, a órbita é não degenerada. Observamos que no caso em que I(m) = ∅, acategoria A(D/m, ∅) possui um único objeto ω com conjunto de mor�smos F1ω e no casoem que a órbita é não degenerada, BO = Ob(SO) também possui um único objeto m. Entãotemos o funtor G : A(D/m, ∅)→ SO de�nido por:

G(ω) = m , G(1ω) = 1m

que é um isomor�smo.Agora, vamos supor que char(k) = p > 0, e para 1 ≤ i ≤ n, ri denotará o menor inteiro

positivo tal que σrii (m) = m. Então, ri = p ou 1.Assim de�nimos um funtor G : B(D/m, I(m), I(m)c, τ(m))→ SO da seguinte maneira:

G(ω) = m

G(ai) = Xσri−1i (m),i

Xσri−2i (m),i

· · ·Xσi(m),iXm,i

G(bi) = Ym,iYσi(m),i · · ·Yσri−2i (m),i

Yσri−1i (m),i

G(cj) = Xσrj−1

j (m),jXσrj−2

j (m),j· · ·Xσj(m),jXm,j

Por conta das relações satisfeitas pelas categorias, G é um isomor�smo.

Observação 3.1.4. As álgebras A(D/m, I(m)) possuem dimensão �nita quando |I(m)| <∞; enquanto que as álgebras B(D/m, I(m), I(m)c, τ(m)) sempre possuem dimensão in�nita.

3.1.3 Descrição dos módulos de peso simples

Nesta subseção vamos descrever os módulos de peso simples para a álgebra de WeylA = An com 1 ≤ n ≤ ∞ (em que A é uma realização da n-ésima álgebra de Weyl An como aálgebra de Weyl generalizada D(σ, a) cf. Capítulo 1, Seção 1.4). Estes resultados generalizamaqueles obtidos em [BB00], em que o corpo subjacente era algebricamente fechado. O casoda primeira álgebra de Weyl sobre um corpo arbitrário foi tratado previamente em, porexemplo, [DGO96], [Bav92a], [Bav92b] e [BvO97].

A descrição dos módulos de peso para a álgebra de Weyl A será feita via redução à classede categorias lineares. Embora essas categorias pareçam mais complicadas do que álgebras,pela necessidade de lidar com muitos objetos, elas nos oferecem uma certa comodidade, queas vezes é decisiva para os cálculos, mas muitas vezes para a compreensão também.

Se o corpo tem característica 0, pela Proposição 3.1.2, podemos concentrar a análise emálgebras da forma A(F, I).

Então, vamos assumir que F é um corpo com característica 0. Para cada α ∈ Ob(A(F, I)),de�nimos um A(F, I)-módulo simples Sα tal que Sα(β) = δαβF, em que δαβ é o delta deKronecker, para todos os objetos β ∈ Ob(A(F, I)), e todos os mor�smos são triviais.


Para lidar com o caso n =∞ precisamos do seguinte resultado conhecido, que pode serencontrado em [DOF94].

Lema 3.1.2. Seja C uma categoria, assuma queM é um C-módulo simples e queM(α) 6= {0}para algum α ∈ Ob(C). Então M(α) é simples como um C(α, α)-módulo. Reciprocamente,para qualquer C(α, α)-módulo simples N , existe um único (a menos de isomor�smo) C-módulo simples M tal que M(α) ∼= N como C(α, α)-módulos.

Proposição 3.1.3. Qualquer módulo simples sobre a álgebra A = A(F, I) é isomorfo à Sαpara algum objeto α ∈ Ob(A(F, I)).

Demonstração. Se n < ∞ e I ⊆ {1, . . . , n}, então a a�rmação é clara pois A(F, I) temdimensão �nita. Suponhamos que n =∞, e seja M um A-módulo simples. Para um objetoα ∈ Ob(A) denotaremos porM(α), o móduloM em α. Vamos assumir queM(α) 6= {0}. PeloLema 3.1.2, M(α) é um A(α, α)-módulo simples. Suponhamos que u ∈ A(α, α), u 6= 0, 1α, eu = (u1)β1,i1 · · · (um)βm,im em que uj ∈ {a, b}, βj ∈ Ob(A), e ij ∈ I para cada j = 1, . . . ,m.Como u ∈ A(α, α), então para cada j, existe k tal que {uj, uk} = {a, b} e ij = ik. Usandoo segundo conjunto de relações (as relações comutantes) em A(F, I), podemos reescrever ucomo o produto u =

∏j aβj ,sjbβj ,sj . Mas então, pelo primeiro conjunto de relações emA(F, I),

temos que u = 0, o que contradiz nossa suposição. Portanto, A(α, α) = F1α. Como M(α) éum A(α, α)-módulo simples, ou seja, M(α) é F1α-módulo simples, ele é unidimensional.

Consideremos o conjunto J de todo β ∈ Ob(A) tal que αj = βj para todo j ∈ I excetoum e M(β) 6= {0}. Quando β ∈ J e βi 6= αi, dizemos que β é um α-sink se aα,i 6= 0 (entãobα,i = 0, pois aα,ibα,i = bα,iaα,i = 0) e é um α-source se bα,i 6= 0 (então aα,i = 0, poisaα,ibα,i = bα,iaα,i = 0). Seja J1 (resp. J2) o conjunto de todos α-sinks em J (resp. o conjuntode todos α-sources em J) e J3 = J r (J1 ∪ J2). Vamos considerar o seguinte submódulode M : M ′ = A(

∑β∈J1∪J3 M(β)). A�rmamos que M ′ ∩M(α) = {0}. De fato, se u ∈ A e

uM(β) = M(α) para algum β ∈ J1 ∪ J3, então segue das relações comutantes que u contémbα,i, em que βi = 1 e βj = αj para j 6= i. Mas como β ∈ J1 ∪J3, ele deve ser tal que bα,i = 0,e então u = 0. Concluímos queM ′∩M(α) = {0}, logoM ′ = {0} pela simplicidade deM(α).Este argumento mostra que sempre que M(α) 6= {0}, então ele não tem nenhum α-sinks.Mas então, pela simplicidade, devemos ter M = M(α), e portanto M = Sα neste caso.

Se o corpo tem característica p > 0, pela Proposição 3.1.2, é su�ciente considerar asálgebras B(F, I, J, τ) em que I, J ⊆ N.

Vamos assumir Γ ⊆ I e ξ : Γ → {0, 1}. Temos a seguinte subálgebra de B(F, I, J, τ),associada a estes dados,

RΓ,ξ = F[di, c±1j , τ | i ∈ Γ, j ∈ J ]

em que di = ai se ξ(i) = 0 e di = bi se ξ(i) = 1 (na subálgebra somente os automor�smosτi com i ∈ Γ ∪ J são usados, e RΓ,ξ é uma álgebra dos polinômios torcida - veja Seção 3.4).Então para um ideal maximal N em RΓ,ξ, de�nimos o módulo simples SΓ,ξ,N = RΓ,ξ/N.Notemos que quando I = ∅, então Γ = ∅; e sempre que Γ = ∅, vamos assumir que existeapenas um ξ e RΓ,ξ := F[c±1

j , τ | j ∈ J ]. Novamente neste caso, para todo ideal maximal Nde RΓ,ξ, de�nimos SΓ,ξ,N = RΓ,ξ/N.

Proposição 3.1.4. Os módulos SΓ,ξ,N constituem uma lista exaustiva de B(F, I, J, τ)-módulossimples não isomorfos tomados dois a dois.

Demonstração. Como o caso I = ∅ é natural conforme descrito acima, podemos assumir queS é um B(F, I, J, τ)-módulo simples em que I 6= ∅.


75

Como B(F, I, J, τ) possui um único objeto ω, podemos dizer que S = S(ω). Então, aiu ∈S e biu ∈ S, para todos ai, bi ∈ B(F, I, J, τ)(ω, ω) e u ∈ S, ou seja, aiS ⊆ S e biS ⊆ S. Alémdisso, para qualquer mor�smo d ∈ B(F, I, J, τ)(ω, ω) e qualquer u ∈ S temos que, daiu ∈ aiSe dbiu ∈ biS, por conta das relações satisfeitas pelos mor�smos na categoria B(F, I, J, τ).Logo aiS e biS são B(F, I, J, τ)-submódulos de S, para todo i ∈ I.

Como S é simples, cada um deles coincide com S ou com {0}. Mas aiS = S implicabiS = biaiS = {0} e vice versa. Portanto, ou aiS = biS = {0} , ou aiS = S e biS = {0}, ouaiS = {0} e biS = S, para qualquer i ∈ I. Seja Γ = {i ∈ I | ou aiS 6= {0} ou biS 6= {0}}.De�nimos ξ : Γ→ {0, 1} por ξ(i) = 0 se aiS 6= {0}, ξ(i) = 1 se biS 6= {0}. Então B(F, I, J, τ)módulo o aniquilador de S em F[ai, bi, τ | i ∈ I] é isomorfo à RΓ,ξ. O resultado segue.

Agora vamos descrever os módulos simples para a álgebra de Weyl A = An de acordocom as Proposições 3.1.3 e 3.1.4. Como antes, vamos assumir D = k[t1, . . . , tn] em queti = ∂ixi. Posteriormente descreveremos os módulos de peso simples para a álgebra A, queé o propósito desta seção.

Vamos assumir primeiramente que char(k) = 0 e que O é uma órbita não degenerada deG em maxD. Neste caso, BO = {m}. Seja

S(O) =⊕n∈O

D/n

e de�nimos uma estrutura de A-módulo à esquerda em S(O) especi�cando para i = 1, . . . , n:

xi(d+ n) := σi(d) + σi(n) , ∂i(d+ n) := tiσ−1i (d) + σ−1

i (n).

Como S(O) é gerado por 1 + m, pois cada elemento da órbita O é isomorfo a m, temos queS(O) ∼= A/Am, em que 1 + m 7→ 1 + Am.

Agora vamos supor que char(k) = 0, O é degenerada, e m é o break maximal �xado.Para p ∈ BO seja

S(O, p) :=⊕n∈Op

D/n.

Podemos de�nir uma estrutura de A-módulo à esquerda em S(O, p) da mesma formaque de�nimos acima (em S(O)), mas quando a imagem não está em S(O, p), o resultado é0. Assumindo p = σδ1i1 · · ·σ

δsis

(m), em que I(m) = {i1, . . . , is}, temos neste caso S(O, p) ∼=A/A(p, Zi1 , . . . , Zis), tal que Zk = xk se p é um break com respeito a k (ou seja, se δk = 0),e Zk = ∂k, caso contrário. O isomor�smo é dado por 1 + p 7→ 1 + A(p, Zi1 , . . . , Zis). Segueda construção que S(O) e S(O, p) são A-módulos simples.

Suponhamos agora que char(k) = p > 0. Seja m o ideal maximal designado quando aórbita O é não degenerada, e seja m o break maximal �xado quando O é degenerada. Vamosassumir que I = I(m) é o conjunto de breaks de m, e seja Γ um subconjunto de I. Escolhaξ : Γ→ {0, 1}. Então para n ∈ O, de�nimos

RΓ,ξ(n) = (D/n)[di, c±1j , τ(n) | i ∈ Γ, j ∈ Ic],

em que di := ai se ξ(i) = 0 e di := bi se ξ(i) = 1. Notemos que se Γ = ∅, então RΓ,ξ(n) =(D/n)[c±1

j , τ(n) | j = 1, . . . , n] (e existe somente um ξ possível). Seja N um ideal maximalno anel RΓ,ξ(m). Seja

S(O,Γ, ξ,N) :=⊕n∈O

RΓ,ξ(n)/σn(N),

em que σn(N) signi�ca aplicar σn nos coe�cientes dos elementos de N (lembrando que


σn : D/m → D/n). De�nimos uma estrutura de um A-módulo à esquerda em S(O,Γ, ξ,N)especi�cando para cada i ∈ {1, 2, . . . , n},

xi(f + σn(N)) =

σi(f) + σiσn(N) se n 6= σm para qualquer σ ∈ Gi;biσiσn(f) + σiσn(N) se n = σm para algum σ ∈ Gi, i ∈ Γ e ξ(i) = 1;

ciσiσn(f) + σiσn(N) se n = σm para algum σ ∈ Gi e i ∈ I(m)c;

0 em todos os outros casos.

∂i(f+σn(N)) =

tiσ−1i σn(f) + σ−1

i σn(N) se n 6= σiσm para qualquer σ ∈ Gi;aitiσ

−1i σn(f) + σ−1

i σn(N) se n = σiσm para algum σ ∈ Gi, i ∈ Γ

e ξ(i) = 0;

c−1i tiσ

−1i σn(f) + σ−1

i σn(N) se n = σiσm para algum σ ∈ Gi e i ∈ I(m)c;

0 em todos os outros casos.

em que Gi é o subgrupo de G gerado por σj para todos j 6= i. Segue da construção queS(O,Γ, ξ,N) é um A-módulo simples.

O próximo teorema fornece uma classi�cação dos An-módulos de peso simples, em que1 ≤ n ≤ ∞.

Teorema 3.1.1. Seja An a n-ésima álgebra de Weyl para 1 ≤ n ≤ ∞ sobre um corpo k,

1. Se char(k) = 0, então os módulos S(O) e S(O, p), em que p ∈ BO, constituem umalista exaustiva de An-módulos de peso simples não isomorfos, tomados dois a dois, comsuporte em O.

2. Se char(k) = p > 0, então os módulos S(O,Γ, ξ,N) constituem uma lista exaustiva deAn-módulos de peso simples não isomorfos, tomados dois a dois, com suporte O.

(Em 1. e 2., assume-se que a órbita O tem um break maximal quando O é degenerada en =∞.)

Demonstração. Fixemos uma órbita O de D = k[t1, . . . , tn] sob o grupo G e seja CO eSO a categoria e o esqueleto, respectivamente, associados. Podemos identi�car SO comuma álgebra A(D/m, I(m)) ou B(D/m, I(m), I(m)c, τ(m)) usando o funtor G de�nido nademonstração da Proposição 3.1.2. Vamos usar a determinação dos módulos para essasálgebras através das Proposições 3.1.3 e 3.1.4. Denotaremos por E o funtor equivalênciaCO ⊗SO − : SO-mod → CO-mod e seja F ′ : CO-mod → WO(A) dado na demonstração daProposição 3.1.1.

1. char(k) = 0: Quando a órbita O é não degenerada, temos que I(m) = ∅ e A(D/m, ∅)possui um único elemento ω. O funtor G identi�ca SO com A(D/m, ∅), então podemospensar que o A(D/m, ∅)-módulo simples Sω é um SO-módulo simples. Temos queF ′EG : A(D/m, ∅)-mod → WO(A), assim F ′EG(Sω) ∈ WO(A) é um A-módulo depeso simples. É fácil ver que F ′EG(Sω) ∼= S(O). Quando a órbita é degenerada, em é o break maximal designado com conjunto de breaks I(m), temos para cada α ∈A(D/m, I(m)) que F ′EG(Sα) ∼= S(O, σα(m)), em que σα =

∏i∈I(m) σ

αii .

3.2 TIPO DE REPRESENTAÇÃO E MÓDULOS INDECOMPONÍVEIS PARA AN , 1 ≤ N ≤ ∞ 77

2. char(k) = p > 0: Utilizando o funtor G podemos identi�car B(D/m, I(m), I(m)c, τ(m))com SO. Para o módulo simples SΓ,ξ,N sobre B(D/m, I(m), I(m)c, τ(m)) temos queF ′EG(SΓ,ξ,N) ∼= S(O,Γ, ξ,N). A a�rmação neste caso é uma consequência da Propo-sição 3.1.4.

3.1.4 Exemplo: caso A1

Seja A1 = k[t](σ, t) a primeira álgebra de Weyl, em que t = ∂x e σ(t) = t − 1 (umarealização como uma álgebra de Weyl generalizada de grau 1). Os A1-módulos de pesosimples foram descritos em [Blo81], [Bav92a], [Bav92b] e [BvO97], e eles são os seguintes:

1. Vamos assumir que char(k) = 0, O é uma órbita não degenerada de max(k[t]) sob σ,e m ∈ O. Então m é um ideal principal gerado por um polinômio irredutível diferentede t sobre k e S(O) = A/Am é o correspondente A-módulo simples.

2. Vamos assumir que char(k) = 0, O é uma órbita degenerada, e m ∈ O é o breakmaximal �xado (o qual é único aqui). Então m = 〈t〉, BO = {m, σ(m)}, S(O,m) ∼=A/Ax e S(O, σ(m)) ∼= A/A∂.

3. Vamos assumir que char(k) = p > 0, O é não degenerada, e m é o ideal maximal �xadoem O. Se σ(m) 6= m, então RΓ,ξ(m) = (k[t]/m)[c±1] (aqui Γ = ∅ e existe apenas umξ). Então os A-módulos simples S(O, ∅, ξ,N) são parametrizados por ideais maximaisN = 〈f〉 de (k[t]/m)[c±1] gerados por polinômios irredutíveis f de (k[t]/m)[c] diferentesde c. Quando σ(m) = m, (por exemplo, quando m é gerado por um polinômio da formaf(t) = tp − t − ν para algum ν ∈ k não nulo e f irredutível), então R := RΓ,ξ(m) =(k[t]/m)[c±1, σ] é uma álgebra polinomial torcida. Neste caso, os A-módulos simplesS(O, ∅, ξ,N) são parametrizados por ideais maximais N de R. Qualquer ideal maximalé principal, N = 〈f〉, em que f é irredutível em R, e R/ 〈f〉 ∼= R/ 〈g〉 se, e somentese, f e g são similares. (veja por exemplo, [DGO96].)

4. Vamos assumir que char(k) = p > 0, O é degenerada, e m ∈ O é o break maximal�xado. Então m = 〈t〉, e RΓ,ξ(m) = k[t]/m ∼= k se Γ = ∅ e RΓ,ξ(m) ∼= k[d] se Γ 6= ∅.Então, no primeiro caso, existe um único módulo simples; enquanto no segundo, osmódulos simples S(O,Γ, ξ,N) são parametrizados por ideais maximais N ⊂ k[d].

Para mais exemplos indicamos [BBF04].

3.2 Tipo de representação e módulos indecomponíveispara An, 1 ≤ n ≤ ∞

Basearemos esta seção em [BBF04][Seção 7].Vamos classi�car os blocos do tipo mansa na categoria dos módulos de peso localmente

�nitos sobre álgebras de Weyl An, �nitas ou in�nitas, sobre um corpo k. Também vamosdeterminar os módulos indecomponíveis nos blocos do tipo mansa. Estes resultados genera-lizam aqueles em [BB00] e [DGO96].

Vamos utilizar os seguintes conceitos que podem ser encontrados em [Dro80].

De�nição 3.2.1. Seja F um corpo algebricamente fechado, e seja F 〈x, y〉 uma álgebra as-sociativa livre com unidade 1 sobre F em dois geradores x e y.


• Uma F-categoria C é chamada de selvagem se existe um C-F 〈x, y〉-bimódulo M , livrede posto �nito como um F 〈x, y〉-módulo à direita, tal que o funtor M⊗F〈x,y〉− preservaindecomponibilidade e classes de isomor�smo.

• Uma F-categoria C é chamada de mansa se, para cada vetor dimensão d, existe umalocalização R = F[x]f com respeito à algum f ∈ F[x] e uma quantidade �nita de C-R-bimódulos B1, . . . , Bn tal que cada Bj é livre de posto �nito como um R-módulo àdireita, e tal que todo indecomponível X ∈ C-fdmod com dimFX(α) = dα é isomorfoa Bj ⊗R S para algum j e algum R-módulo simples S.

No caso de um corpo arbitrário F dizemos que uma F-categoria C é selvagem (resp.mansa) se ela é selvagem (resp. mansa) sobre o fecho algébrico F de F.

Vamos considerar que os An-módulos de peso V que são localmente �nitos, isto é, todos osVm são espaços vetoriais sobre D/m com dimensão �nita, em que D = k[t1, . . . , tn] e ti = ∂ixi.SejaW lf (An) a categoria dos An-módulos de peso localmente �nitos. Para cada subconjuntoT ⊆ maxD denotaremos porW lf

T (An) a subcategoria plena emW lf (An) consistindo de todosos módulos V com supp(V ) ⊆ T . Os módulos de peso localmente �nitos indecomponíveissobre a álgebra de Weyl A1 foram descritos em [DGO96] (veja também [BB00] para o casoAn (n < ∞) sobre um corpo algebricamente fechado). Por conta dos isomor�smos entrecategorias das Subseções 3.1.2 e 3.1.3, podemos focar nas categorias A(F, I) e B(F, I, J, τ)para um corpo F (que geralmente especi�camos por D/m) e vamos considerar os móduloslocalmente �nitos indecomponíveis sobre elas.

Segue de [BB00][Seção 2.6] que B(F, I, J, τ) é selvagem se |I| + |J | > 1, e A(F, I) éselvagem para |I| > 2. Portanto, como o nosso objetivo é descrever os indecomponíveis nosblocos do tipo mansa, é su�ciente descrever os indecomponíveis para as categorias A(F, I)com |I| ≤ 2 e para B(F, I, J, τ) com |I|+ |J | = 1 (que corresponde ao caso n = 1).

Na Subseção 3.1.3 construímos os módulos simples para A(F, I). A categoria A(F, ∅)tem um único objeto ω e conjunto de mor�smos F1ω. Então ela é uma álgebra simples, equalquer módulo indecomponível de dimensão �nita sobre A(F, ∅) é simples.

3.2.1 Indecomponíveis para A(F, I), |I| = 1

Lembremos que a categoria A(F, I), |I| = 1, é isomorfa à categoria Q1 = FQ1/R corres-pondendo ao seguinte quiver e relações:

Q1 : ◦1a

** ◦2

b

jj ab = ba = 0.

Vamos denotar por Si, i = 1, 2, os módulos simples para Q1. Logo são indecomponíveis.Agora sejaMa (resp.Mb) o Q1-módulo tal queMa(1) = Mb(1) = Fe1,Ma(2) = Mb(2) = Fe2,em que a ação é dada por ae1 := e2 e be2 := 0 (resp. ae1 := 0 e be2 := e1). Dessas observações,segue a seguinte proposição:

Proposição 3.2.1. Os módulos S1, S2, Ma, Mb, constituem uma lista exaustiva de Q1-módulos indecomponíveis de dimensão �nita não isomorfos tomados dois a dois.

3.2.2 Indecomponíveis para A(F, I), |I| = 2

Pode-se ver que a categoria A(F, I), |I| = 2, é isomorfa a categoria Q2 := FQ2/Rcorrespondendo ao seguinte quiver e relações:


Q2 : ◦1a1

**

b0

��

◦2

b1

jj

a2

��0◦

a0

UU

b3

44 ◦3

b2

II

a3tt

aibi = biai = 0 para i ∈ {0, 1, 2, 3}

aiaj = blbm para i, j, l,m ∈ {0, 1, 2, 3}, sempre que for possível

Consideramos os objetos 0, 1, 2, 3 como os elementos de Z4 = Z/4Z e denotamos os corres-pondentes módulos simples por Si, i ∈ Z4.

Agora, suponhamos que Mi, i ∈ Z4, é o Q2-módulo tal que Mi(j) = Fej para j ∈ Z4, emque a ação em Mi é dada por aiei = ei+1, ai+1ei+1 = ei+2, bi−1ei = ei−1, bi−2ei−1 = ei−2, eujek = 0 para todas as outras instâncias de u ∈ {a, b} e j, k ∈ Z4.

Para cada n ∈ N, n > 1, e j ∈ Z4 de�nimos o Q2-móduloMn,j,0 (resp.Mn,j,1) como segue.Consideremos n elementos e1, . . . , en. Para l ∈ Z4, uma F-base do espaço vetorial Mn,j,0(l)(resp. Mn,j,1(l)) é o conjunto formado pelos ek tais que j + k − 1 ≡ l (mod 4). A ação de ale bl−1 em Mn,j,0(l) (resp. Mn,j,1(l)) é dada pelas regras:

alek =

{ek+1 , se l é par (resp. ímpar) , k < n, e j + k − 1 ≡ l (mod 4);

0 , caso contrário.

bl−1ek =

{ek−1 , se l é par (resp. ímpar) , k > 1, e j + k − 1 ≡ l (mod 4);

0 , caso contrário.

Em todos os outros casos, temos ujek = 0 para u ∈ {a, b} e j, k ∈ Z4.Denotaremos por Irr0F[x] o conjunto dos polinômios irredutíveis mônicos f 6= x em F[x],

e por Ind0F[x] = {fn | f ∈ Irr0F[x] e n ∈ N}. Para cada f(x) = xe + ζexe−1 + · · · + ζ1

∈ Ind0F[x], de�nimos o Q2-módulo Mf,1 (resp. Mf,2) como segue: seja Mf,1(i) := Fe (resp.Mf,2(i) := Fe) para i ∈ Z4, e de�nimos

Mf,1(a0) = Mf,1(a2) = Mf,1(b1) = Ie

Mf,1(b0) = Mf,1(b2) = Mf,1(a1) = Mf,1(a3) = 0,

Mf,1(b3) = Ff ,

Mf,2(b0) = Mf,2(b2) = Mf,2(a1) = Ie,

Mf,2(a0) = Mf,2(a2) = Mf,2(b1) = Mf,2(b3) = 0,

Mf,2(a3) = Ff ,

em que Ff é a matriz companheira de Frobenius correspondente ao polinômio f :

Ff =

0 0 · · · 0 −ζ1

1 0 · · · 0 −ζ2

0 1 · · · 0...

......

. . .... −ζe−1

0 0 · · · 1 −ζe


Como consequência da Proposição 3.3.1 em [BB00] temos:

Proposição 3.2.2. Os módulos Si,Mi,Mn,i,0, Mn,i,1, Mf,1, Mf,2, em que f ∈ Ind0F[x], i∈ Z4, e n ∈ N, n > 1, constituem uma lista exaustiva de Q2-módulos indecomponíveis dedimensão �nita não isomorfos tomados dois a dois.

Teorema 3.2.1. Seja O uma órbita de G em maxD para a álgebra de Weyl A = An (1 ≤n ≤ ∞) sobre k (assume-se que O possui break maximal quando O é degenerada e n =∞).

1. Se char(k) = 0, então a categoria W lfO (A) é mansa se, e somente se, ou O é não

degenerada ou a ordem do break maximal é menor ou igual à 2;

2. Se char(k) = p > 0, então a categoria W lfO (A) é mansa se, e somente se, n = 1.

Demonstração. 1. (char(k) = 0) Se O é não degenerada com ideal maximal �xado m ,então W lf

O (A) ≈ A(D/m, ∅)-fdmod ≈ (D/m)-fdmod pelas Proposições 3.1.1 e 3.1.2,entãoW lf

O (A) é mansa. Se O é degenerada com break maximal designado m com ordem|I| = 1, então W lf

O (A) ≈ A(D/m, I)-fdmod pelas Proposições 3.1.1 e 3.1.2, portantoW lfO (A) é mansa pela Proposição 3.2.1 . Se O é degenerada com break maximal m de

ordem 2, então W lfO (A) ≈ A(D/m, I)-fdmod, |I| = 2, pelas Proposições 3.1.1 e 3.1.2,

portanto W lfO (A) é mansa pela Proposição 3.2.2.

Reciprocamente, a a�rmação segue do fato que A(F, I) é selvagem para |I| > 2.

2. (char(k) = p > 0) Se B(F, I, J, τ) é mansa, então |I| + |J | = 1 (pois B(F, I, J, τ) éselvagem para |I| + |J | > 1). Isto corresponde ao caso n = 1, o qual foi tratado em[DGO96] e [BB00][Seção 4.1].

A recíproca é consequência do Teorema 5.7 em [DGO96].

3.2.3 Indecomponíveis para blocos do tipo mansa

Pelo Teorema 3.2.1(2), A1 é a única álgebra de Weyl de característica p que possuiblocos do tipo mansa, e os módulos indecomponíveis nestes blocos foram determinados em[BB00][Seção 4.1]. Então, o que segue será concentrado no caso de característica 0 e naconstrução dos An-módulos de peso indecomponíveis para os blocos do tipo mansa, usandoas Proposições 3.1.1 e 3.1.2, e a descrição dos A(F, I)-módulos no caso |I| ≤ 2 (por contado Teorema 3.2.1(1)).

De�nição 3.2.2. Vamos assumir que char(k) = 0, e que a órbita O tem break maximal mde ordem 1 com respeito a i.

• M(O, p) := S(O, p) para p ∈ BO (cf. Subseção 3.1.3);

• M(O, xi) :=⊕

n∈OD/n, tal que para cada j:

xj(d+ n) := σj(d) + σj(n)

e

∂j(d+ n) :=

{0 , se j = i, σ−1

i (n) ∈ Om, e n ∈ Oσi(m);

tjσ−1j (d) + σ−1

j (n) , caso contrário.


• M(O, ∂i) :=⊕

n∈OD/n, tal que para j = 1, . . . , n:

xj(d+ n) :=

{0 , se j = i, n ∈ Om, e σi(n) ∈ Oσi(m);

σj(d) + σj(n) , caso contrário.

e∂j(d+ n) := tjσ

−1i (d) + σ−1

j (n).

Observação 3.2.1. Sejam O, m, i como na De�nição 3.2.2. Então:

• M(O,m) ∼= A/A(m, xi);

• M(O, σi(m)) ∼= A/A(σi(m), ∂i);

• M(O, xi) ∼= A/Am;

• M(O, ∂i) ∼= A/Aσi(m).

Agora vamos supor queO é uma órbita deD = k[t1, . . . , tn] sob o grupo de automor�smosG de An com break maximal m com respeito a i, j ∈ {1, . . . , n} (i 6= j). Assumindo F =D/m, de�nimos a aplicação γ : BO → Z4 pela seguinte regra: γ(m) = 0, γ(σi(m)) = 3,γ(σj(m)) = 1 e γ(σiσj(m)) = 2.

Para M um Q2-módulo, associamos o correspondente módulo de peso M sobre A = Ande acordo com o seguinte procedimento: para p ∈ BO suponhamos M(p) ∼= M(γ(p)) (comoD/m-espaços vetoriais); via a aplicação que envia v ∈ M(γ(p)) em vp ∈ M(p). Para cada n∈ Op, suponhamos M(n) ∼= M(p) via vp 7→ vn para todo v ∈ M(γ(p)).

Como σ−1n induz um isomor�smo de D/n em D/m, podemos considerar M(n) como um

D/n-módulo; então como um D-módulo que é aniquilado por n. Portanto M =⊕

n∈OM(n)em que M(n) = {u ∈M | nu = {0}}. Para a An-ação de�nimos:

• Se n ∈ Om e σi(n) ∈ Oσi(m):

xivn = (M(b3)v)σi(n) , ∂ivσi(n) = (M(a3)v)n;

xivσj(n) = (M(a1)v)σiσj(n) , ∂ivσiσj(n) = (M(b1)v)σj(n);

• Se n ∈ Om e σj(n) ∈ Oσj(m):

xjvn = (M(a0)v)σj(n) , ∂jvσj(n) = (M(b0)v)n;

xjvσi(n) = (M(b2)v)σiσj(n) , ∂jvσiσj(n) = (M(a2)v)σi(n);

• Em todos os outros casos:

xlvn = vσl(n) , ∂lvn = tlvσ−1l (n).

Para p ∈ BO, denotamos por S(O, p), M(O, p), M(O, n, p, 0), M(O, n, p, 1), M(O, f, 1),e M(O, f, 2) os An-módulos de peso que correspondem via este processo aos Q2-módulosSγ(p), Mγ(p), Mn,γ(p),0, Mn,γ(p),1, Mf,1 e Mf,2 respectivamente como na Proposição 3.2.2.

Observação 3.2.2. Sejam O, m, i, j, e p ∈ BO como descrito acima. Então:

• S(O,m) ∼= A/A(m, xi, xj);


• S(O, σi(m)) ∼= A/A(σi(m), ∂i, xj);

• S(O, σj(m)) ∼= A/A(σj(m), ∂j, xi);

• S(O, σiσj(m)) ∼= A/A(σiσj(m), ∂i, ∂j);

• M(O, p) ∼= A/Ap.

Teorema 3.2.2. Seja O uma órbita de G em maxD para a álgebra de Weyl An (1 ≤ n ≤ ∞)sobre um corpo k de característica 0 (assume-se que O tem break maximal se O é degeneradae n =∞).

• Se O é não degenerada, então o módulo simples S(O), é o único (a menos de isomor-�smo) módulo indecomponível em W lf

O (An);

• Se O tem um break maximal m de ordem 1 com respeito a i, então os módulos S(O,m),S(O, σi(m)), M(O, xi) e M(O, ∂i), constituem uma lista exaustiva de módulos inde-componíveis não isomorfos tomados dois a dois em W lf

O (An);

• Se O tem um break maximal m de ordem 2 com respeito a i e j, então os módulosS(O, p), M(O, p), M(O, n, p, 0), M(O, n, p, 1), M(O, f, 1), e M(O, f, 2), em que f ∈Ind0(D/m)[x], p ∈ BO e n ∈ N, n > 1, constituem uma lista exaustiva de módulosindecomponíveis não isomorfos tomados dois a dois em W lf

O (An).

Demonstração. Como na demonstração do Teorema 3.1.1, usaremos o funtor F ′EG, em queE é um funtor equivalência CO ⊗SO −, F ′ é dado na demonstração da Proposição 3.1.1, e Gé de�nido na demonstração da Proposição 3.1.2.

1. Se a órbita O é não degenerada, então segue das Proposições 3.1.1 e 3.1.2, queW lfO (An)

≈A(D/m, ∅)-fdmod ≈D/m-fdmod. Portanto todo módulo indecomponível é simplesnesse caso, e a a�rmação segue do Teorema 3.2.1.

2. Vamos assumir que O tem um break maximal m de ordem 1 com respeito a i. Então:

F ′EG(S1) ∼= S(O,m) , F ′EG(S2) ∼= S(O, σi(m)),

F ′EG(Ma) ∼= M(O, xi) , F ′EG(Mb) ∼= M(O, ∂i).

Consequentemente, o resultado neste caso segue das Proposições 3.1.1, 3.1.2 e 3.2.1.

3. Suponhamos que O tem um break maximal m de ordem 2 com respeito a i e j. Sejaγ : Q2 → BO como de�nido anteriormente. Assim:

F ′EG(Sk) ∼= S(O, γ−1(k)) , F ′EG(Mk) ∼= M(O, γ−1(k)),

F ′EG(Mn,k,l) ∼= M(O, n, γ−1(k), l) , F ′EG(Mf,s) ∼= MO,f,s,

em que k ∈ Z4, l ∈ {0, 1}, e s ∈ {1, 2}, obtemos o resultado desejado usando asProposições 3.1.1, 3.1.2 e 3.2.2.

3.3 MÓDULOS DE PESO SIMPLES SOBRE A = AK,I 83

3.3 Módulos de peso simples sobre A = Ak,I

A classi�cação dos A∞-módulos de peso simples dada por Bekkert, Benkart e Futorny em[BBF04] foi parcial. Contudo, em [FGM14] existe uma classi�cação completa dos módulosde peso simples sobre álgebras de Weyl de dimensão in�nita A = Ak,I.

Basearemos essa seção em [FGM14][3.5].Considere o conjunto:

S := {m ∈ p+ ZIf : ∀i, pi ∈ {0, 1, 2, . . .} ⇒ mi ∈ {0, 1, 2, . . .}}

e seja N :=⊕m∈S

B(p)m. Então N é um submódulo de B(p). De fato, N ⊆ B(p), e con-

siderando um elemento qualquer n = n1 ⊕ . . . ⊕ ns de N , em que nj ∈ B(p)vj . Para i∈ I, Xinj ∈ B(p)vj+ei e Yinj ∈ B(p)vj−ei , em que ei tem 1 na i-ésima coordenada e0 nas outras. Então para qualquer a ∈ A, anj ∈ B(p)vj±uj , em que uj ∈ ZI

f . Logo an∈ B(p)v1±u1

⊕. . .⊕

B(p)vs±us . Como cada vs ± us = vs em p + ZIf , temos que an ∈

B(p)v1

⊕. . .⊕

B(p)vs , portanto, an ∈ N .Considere o conjunto:

S ′ := {m ∈ S : ∀i, pi ∈ {−1,−2, . . .} ⇒ mi ∈ {0, 1, 2, . . .}}

e seja N ′ :=⊕m∈S′

B(p)m ⊆ N . Então N ′ é um submódulo de N , por um argumento seme-

lhante ao dado no parágrafo anterior.Observamos que os elementos de S ′ são todos os elementos m da classe p +ZI

f , em quepi ∈ Z implica que mi ∈ N, para todo i.

Para p ∈ kI denotemos por p o conjunto de todo k ∈ p + ZIf que satisfaz as seguintes

condições para todo i ∈ I:

pi ∈ {−1,−2,−3, . . .} =⇒ ki ∈ {−1,−2,−3, . . .}

pi ∈ {0, 1, 2, 3, . . .} =⇒ ki ∈ {0, 1, 2, 3, . . .}

Seja m ∈ S r S ′. Logo, se pi ∈ {0, 1, 2, 3, . . .} então mi ∈ {0, 1, 2, 3, . . .} e se pi ∈{−1,−2,−3, . . .} então mi /∈ {0, 1, 2, 3 . . .}. Mas m = p + v, para algum v ∈ ZI

f . Entãose pi ∈ {−1,−2,−3, . . .}, mi = pi + vi deve pertencer a Z r {0, 1, 2, 3 . . .}. Então podemosconcluir que, se pi ∈ {−1,−2,−3, . . .}, então mi ∈ {−1,−2,−3, . . .}.

Temos que S r S ′ = supp(N/N ′) = p.

Proposição 3.3.1. Para p ∈ kI temos que:

1. supp(L(p)) = p;

2. Se s ∈ kI, então L(p) ∼= L(s) se, e somente se, s ∈ p.

Demonstração. Primeiramente vamos mostrar que o módulo N/N ′ é simples. Seja m ∈ p eseja v ∈ (N/N ′)m um elemento não nulo. Temos que mostrar que v gera N/N ′. Sabemos queum R-módulo M é simples se, e somente se, dados quaisquer u, v ∈ M não nulos, existe a ∈R tal que au = v. Então é su�ciente veri�car que, dado i ∈ I, temos Xiv 6= 0 se mi 6= −1 etemos Yiv 6= 0 se mi 6= 0. Entretanto, ambas a�rmações seguem diretamente das de�nições.Portanto N/N ′ é um A-módulo simples.

Como (N/N ′)p 6= {0}, por construção, temos queN/N ′ ∼= L(p), pela Proposição 2.5.5(2).Agora 1. segue por construção e 2. segue por 1. e pela Proposição 2.5.5. De fato, se L(p) ∼=


L(s), pelo item 1., supp(L(p)) = p = supp(L(s)) = s, logo s ∈ p. Reciprocamente, se s ∈ p,então L(p) é simples e L(p)s 6= {0}; mas pela Proposição 2.5.5(2), L(s) é o único A-módulosimples, a menos de isomor�smo, com essa propriedade, portanto L(p) ∼= L(s).

Os resultados descritos acima podem ser resumidos como segue: seja ∼ uma relação deequivalência em kI de�nida como segue: p ∼ m se, e somente se, p = m. Claramente arelação descrita é re�exiva e simétrica. Além disso, se p ∼ q e q ∼ m, ou seja, p = q eq = m, então p = m, logo p ∼m. Portanto a relação também é transitiva.

Teorema 3.3.1 (Teorema 5 de [FGM14] - Classi�cação dos A-módulos de peso simples).A aplicação p 7→ L(p), p ∈ kI, é uma bijeção entre kI/ ∼ e o conjunto das classes deisomor�smos dos A-módulos de peso simples.

Abaixo segue um exemplo da não existência de break maximais quando tomamos módulosde peso sobre An, com n =∞:

Exemplo 3.3.1. Tome p = (1, 1, . . .), isto é, pi = 1, para todo i. O módulo simples L(p) élocalmente �nito com respeito à cada ∂i, entretanto, não existe v ∈ L(p) para o qual ∂iv = 0,para todo i. Exemplos similares são encontrados em [MZ11][Subseção 4.2].

Observação 3.3.1. O Teorema 3.3.1 pode ser transferido mutatis mutandis para o produtotensorial de álgebras de Weyl generalizadas de posto um no sentido de [Bav92a] associadasà k[x] e σ : k[x]→ k[x], de�nido por σ(x) = x+ 1.

3.4 Realizações via polinômios torcidos

Basearemos esta seção em [FGM14][Seção 3.6].Vamos de�nir um anel de polinômios torcido e mais detalhes podem ser encontrados em

[GJ89][Cap. 1].

De�nição 3.4.1. Seja α um endomor�smo de um anel R. Uma α-derivação à esquerda deR é qualquer aplicação aditiva δ : R→ R tal que δ(rs) = α(r)δ(s) + δ(r)s para todos r, s ∈R. Por outro lado, uma α-derivação à direita de R é qualquer aplicação aditiva δ : R→ R talque δ(rs) = δ(r)α(s)+rδ(s) para todos r, s ∈ R. Se α é a identidade em R, uma α-derivaçãode R é simplesmente uma derivação de R.

Temos que δ(1) = δ(1 · 1) = α(1)δ(1) + δ(1) · 1 = 2δ(1), logo δ(1) = 0.Por exemplo, em qualquer anel de polinômios k [x] a derivada usual d/dx é uma derivação.

Dado qualquer endomor�smo α de um anel R, e qualquer elemento d ∈ R, a regra δ(r) = dr−α(r)d de�ne uma α-derivação de R. De fato, δ(rs) = d(rs)− α(rs)d = (dr)s− α(r)α(s)d =(δ(r) + α(r)d)s− α(r)α(s)d = δ(r)s+ α(r)(ds− α(s)d), logo δ(rs) = δ(r)s+ α(r)δ(s).

Dados um anel R, um endomor�smo α de R, e uma α-derivação δ de R, vamos cons-truir um anel de polinômios torcido S. Ele será um R-módulo à esquerda livre, com base1, θ, θ2, . . .. Podemos obter o anel de polinômios torcido S como um subanel do anel de en-domor�smos de um grupo abeliano adequado. Assim S vai satisfazer todos os axiomas deum anel.

Proposição 3.4.1. Sejam R um anel, α um endomor�smo de R e δ uma α-derivação de R.Então existe um anel S, contendo R como um subanel, tal que S é um R-módulo à esquerdalivre com uma base da forma 1, θ, θ2, . . ., e θr = α(r)θ + δ(r), para todo r ∈ R.

3.4 REALIZAÇÕES VIA POLINÔMIOS TORCIDOS 85

Demonstração. Seja E = EndZ(R[x]), em que x é uma indeterminada. Existe um homomor-�smo de anéis injetivo R → E, pois qualquer elemento r ∈ R corresponde a multiplicaçãoà esquerda por r em R[x]. Nós identi�camos R com sua imagem sob este homomor�smo,então R é agora um subanel de E.

Vamos estender α e δ à homomor�smos em E em que α(rxi) = α(r)xi e δ(rxi) = δ(r)xi,para todo r ∈ R e i = 0, 1, 2, . . .. Então α se transforma em um endomor�smo de R[x] e δuma α-derivação de R[x]. Agora de�na θ ∈ E de acordo com a regra: θ(f) = α(f)x+ δ(f).Para r ∈ R e f ∈ R[x] temos que:

(θr)(f) = α(rf)x+ δ(rf) = α(r)α(f)x+ α(r)δ(f) + δ(r)f = α(r)θ(f) + δ(r)f

Então θr = α(r)θ + δ(r), para todo r ∈ R. Em particular θR ⊆ Rθ +R.Da relação θR ⊆ Rθ + R, segue por indução que θiR ⊆ Rθi + Rθi−1 + · · · + Rθ + R,

para todo i = 0, 1, 2, . . .. Consequentemente, (Rθi)(Rθj) = R(θiR)θj ⊆ Rθi+j + Rθi+j−1 +· · · + Rθj+1 + Rθj, para todos i, j = 0, 1, 2, . . .. Portanto o conjunto

∑Rθi é fechado sob

multiplicação. Então∑Rθi é um subanel de E, que vamos denotar por S. Então S é gerado

como R-módulo à esquerda por 1, θ, θ2, . . ..Resta mostrar que 1, θ, θ2, . . . é um conjunto linearmente independente à esquerda sobre

R. Observamos que θ(xj) = α(xj)x+ δ(xj) = α(1)xjx+ δ(1)xj = xj+1 para todo j = 0, 1, . . .e θi(x0) = xi para todo i = 0, 1, . . .. Dado um elemento s = r0 + r1θ + · · · + rnθ

n ∈ S, comr0, . . . , rn ∈ R, segue que s = s(x0) = r0 + r1x + · · · + rnx

n, e então s = 0 se, e somentese, r0 = · · · = rn = 0. Então os θi's são linearmente independentes à esquerda sobre R, eportanto formam uma base para S como R-módulo à esquerda.

O anel S da Proposição 3.4.1 é essencialmente único no seguinte sentido: sejam S1 e S2

extensões de R tais que Si é R-módulo à esquerda livre com base na forma 1, θi, θ2i , . . ., e

θir = α(r)θi + δ(r), para todo r ∈ R:

1. Se φ : R → T é um homomor�smo de anéis e existe um elemento ξ ∈ T tal queξφ(r) = φα(r)ξ + φδ(r), para todo r ∈ R, então φ se estende unicamente para umhomomor�smo de anéis Φ : S1 → T tal que Φ(θ1) = ξ.

2. O homomor�smo identidade em R se estende a um isomor�smo de anéis Φ : S1 → S2

tal que Φ(θ1) = θ2.

De�nição 3.4.2. Sejam R um anel, α um endomor�smo de R, e δ uma α-derivação deR. O anel S construído na Proposição 3.4.1, é denotado por R[θ;α, δ] e é chamado deanel polinomial torcido ou extensão de Ore de R. No caso que α é a identidade em R,abreviaremos R[θ;α, δ] por R[θ; δ], e chamaremos este anel de anel de operador diferencial(formal). No caso δ = 0, abreviaremos R[θ;α, δ] por R[θ;α]

Sejam R um anel, um endomor�smo α de R, e uma α-derivação à direita δ em R. Ocorrespondente anel de polinômios torcido é um R-módulo à direita livre com uma base1, θ, θ2, . . ., em que rθ = θα(r) + δ(r), para todo r ∈ R.

De�nição 3.4.3. Seja R[θ;α, δ] um anel de polinômios torcido. Qualquer elemento p nãonulo em R[θ;α, δ] pode ser expressado unicamente na forma p = rnθ

n+rn−1θn−1+. . .+r1θ+r0

para algum inteiro não negativo n e alguns elementos ri ∈ R com rn 6= 0. O inteiro n échamado de grau de p, deg(p) = n, e o elemento rn é o coe�ciente líder de p. O elementozero de R[θ;α, δ] por de�nição tem grau −∞ e coe�ciente líder 0.


No caso em que R é domínio e α é injetivo, deg(pq) = deg(p) + deg(q), para todos p, q ∈R[θ;α, δ]. Em particular, R[θ;α, δ] é um domínio neste caso.

Um domínio de ideais à direita principais é um domínio no qual todos os ideais à direitasão principais. Domínio de ideais principais à esquerda são de�nidos analogamente.

Teorema 3.4.1. Sejam R um anel de divisão, α um endomor�smo de R e δ uma α-derivaçãode R. Então o anel de polinômios torcido S = R[θ;α, δ] é um domínio de ideias à esquerdaprincipais. Se α é um automor�smo de R então S também é um domínio de ideais à direitaprincipais.

Demonstração. [GJ89], Cap. 1, Teorema 1.11, pág. 12.

Existe um teorema análogo ao teorema da Base de Hilbert, para um anel de polinômiostorcido. Notemos que α deve ser um automor�smo de R, por hipótese.

Teorema 3.4.2. Sejam R um anel, α um automor�smo de R, e δ uma α-derivação deR. Se R é um anel Noetheriano à direita (à esquerda), então o anel de polinômios torcidoS = R[θ;α, δ] é Noetheriano à direita (à esquerda).

Demonstração. [GJ89], Cap. 1, Teorema 1.12, pág. 13.

Claramente, o Teorema 3.4.2 pode ser aplicado ao anel de polinômios torcido iterado,isto é, um anel da forma R[θ1;α1, δ1][θ2;α2, δ2] · · · [θn;αn, δn], em que α1 é um automor�smode R e δ1 é uma α1-derivação de R, enquanto α2 é um automor�smo de R[θ1;α1, δ1] e δ2 éuma α2-derivação de R[θ1;α1, δ1], etc.

Um caso particular interessante é um anel de operadores diferenciais iterado construído apartir de um anel R e uma lista �nita δ1, . . . , δn de derivações comutantes em R, da seguintemaneira. Primeiramente construímos R[θ1; δ1]. Então de�nimos a aplicação ∂2 em R[θ1; δ1]de acordo com a regra ∂2(

∑riθ

i1) =

∑∂2(ri)θ

i1. Como δ2 comuta com δ1, cálculos roti-

neiros mostram que ∂2 é uma derivação em R[θ1; δ1], e formamos o anel R[θ1; δ1][θ2; ∂2].Similarmente δ3 se estende a uma derivação ∂3 em R[θ1; δ1][θ2; ∂2], e formamos o anelR[θ1; δ1][θ2; ∂2][θ3; ∂3]. O anel de operadores diferenciais R[θ1; δ1][θ2; ∂2] · · · [θn; ∂n], é deno-tado por R[θ1, . . . , θn; δ1, . . . , δn], e a menos de isomor�smo, ele independe da ordem na qualos δi's são listados.

De�nição 3.4.4. Seja δ uma derivação em um anel R. Um δ-ideal de R é qualquer ideal Ide R tal que δ(I) ⊆ I. O anel R é chamado δ-simples se os únicos δ-ideais não nulos de Rsão {0} e R.

Vejamos agora uma construção direta, análoga a Proposição 3.4.1, em que dessa veztrabalharemos com endomor�smos aditivos do anel de polinômios de Laurent R[x, x−1], emque θ do anel de polinômios torcido, possui inverso.

Proposição 3.4.2. Sejam R um anel e α um automor�smo de R. Então existe um anel S,contendo R como subanel, com uma unidade θ ∈ S tal que S é um R-módulo à esquerdalivre com uma base da forma 1, θ, θ−1, θ2, θ−2, . . . e θr = α(r)θ, para todo r ∈ R.

Demonstração. Seja E = EndZ(R[x, x−1]), em que x é uma indeterminada, e identi�que Rem E (como um subanel) via multiplicação à esquerda. Vamos estender α a um automor�smode R[x, x−1] em que α(rxi) = α(r)xi, para todos i ∈ Z, r ∈ R. Então de�nimos θ ∈ E deacordo com θ(f) = α(f)x, e observe que θr = α(r)θ, para todo r ∈ R. Além disso, θ éinvertível em E, e θ−1(f) = α−1(f)x−1, para todo f ∈ R[x, x−1].

Como na demonstração da Proposição 3.4.1, o conjunto S =∑

i∈ZRθi é um subanel de

E, e as potências de θ são linearmente independentes sobre R.

3.5 LOCALIZAÇÃO DAS REALIZAÇÕES 87

De�nição 3.4.5. Sejam R um anel e α um automor�smo de R. O anel S construído naProposição 3.4.2 é denotado por R[θ, θ−1;α] e é chamado de anel de Laurent torcido. Noteque se α é a identidade em R, então R[θ, θ−1;α] é o anel de polinômios de Laurent ordináriosobre R. Note também que o subanel de R[θ, θ−1;α] gerado por R e θ pode ser identi�cadocom o anel de polinômios torcido R[θ;α].

A = Ak,I é a álgebra de Weyl de posto in�nito, cf. Capítulo 1, Seção 1.3. Vamos considerarque k é um corpo que tem característica zero e é algebricamente fechado e I é um conjuntoin�nito enumerável em que |I| < |k|. Seja ti = XiYi = xi∂i, para i ∈ I.

Para J ⊆ I, seja θJ o automor�smo de A dado por:{θJ(Xj) = Yj e θJ(Yj) = −Xj , se j ∈ J

θJ(Xi) = Xi e θJ(Yi) = Yi , se i /∈ J

Para i ∈ I temos:

θJ(ti) =

{−ti − 1 , se i ∈ J

ti , se i /∈ J

Para um A-módulo à esquerda M , o módulo torcido obtido da ação de A em M por θJ

será denotado porM θJ . EntãoM = M θJ como k -espaços vetoriais e a diferença entre os doisreside na ação de A em M θJ .

Pelo descrito acima temos que M θJ é um módulo de peso se, e somente se, M é. Ou seja,M =

⊕p∈kI Mp se, e somente se, M θJ =

⊕θJ(p)∈kI MθJ(p). Além disso, p ∈ supp(M) se, e

somente se, Mp 6= {0} se, e somente se, MθJ(p) 6= {0} se, e somente se, θJ(p) ∈ supp(M θJ),em que θJ(p)i = pi se i /∈ J e θJ(p)i = −pi − 1 se i ∈ J.

Denotemos por kI+ o conjunto de todo p ∈ kI tal que se pi ∈ Z implica que pi ∈

{0, 1, 2, . . .}, para todo i. Para p ∈ kI+ denotemos por Jp o conjunto de todo i ∈ I tal

que pi ∈ Z.Pelo Teorema 3.3.1 obtemos imediatamente o seguinte resultado:

Corolário 3.4.1. 1. Seja L um A-módulo de peso simples. Então existe um único p ∈kI

+ e J ⊆ Jp tal que L ∼= L(p)θJ. De fato, se L = L(p), então J = {i ∈ I : qi ∈{−1,−2, . . .}} e p = θJ(q).

2. Para p,q ∈ kI+, J ⊆ Jp e J′ ⊆ Jq temos que L(p)θJ ∼= L(q)θJ′ se, e somente se, p =

q e J = J′.

Combinando o Corolário 3.4.1 com a Proposição 2.7.1 obtemos:

Corolário 3.4.2. Sejam p ∈ kI+ e J ⊆ Jp. Então B(p)θJ e (B(p)θJ)∨ são o envelope injetivo

e a cobertura projetiva de L(p)θJ, respectivamente.

3.5 Localização das realizações

Basearemos esta seção em [FGM14][Seção 3.7]. Vamos continuar utilizando as notaçõesda seção anterior.

Seja J ⊆ I. A ação adjunta de Xi em A é localmente nilpotente e portanto Xi, i ∈ J, geraum subconjunto multiplicativo de Ore de A dando origem à correspondente localização deOre DJA de A com respeito a esse subconjunto. De�nimos o funtor FJ := ResDJA

A◦ IndDJA

A

na categoria A-mod.


Além disso, similarmente à [Mat00][Lema 4.3], a álgebra DJA tem uma família de auto-mor�smos ϕx, x ∈ kJ, que são polinômios nas componentes de x e tais que para x ∈ ZJ epara qualquer a ∈ A temos que:

ϕx(a) =∏i∈J

X−xii a∏i∈J

Xxii

Observamos que se a está �xo, então ele comuta com todos, mas uma quantidade �nitados Xi's, e então a expressão faz sentido por cancelar todos os outros termos.

Para um DJA-módulo M , denotamos por Mϕx o DJA-módulo obtido de M depois detorcido por ϕx. Notemos que supp(Mϕx) = supp(M) + x, em que x é considerado como umelemento de kI de�nindo todas as componentes em Ir J como zero.

Proposição 3.5.1. Seja p ∈ kI+.

1. L(p) ∼= Fp′

IrJpL(0), em que p′ ∈ kIrJp com p′i = pi.

2. B(p) ∼= FJpL(p).

Demonstração. Pelo Teorema 3.3.1, L 7→ supp(L) de�ne uma bijeção entre o conjunto dosA-módulos de peso simples e kI/ ∼. Como todo módulo simples tem multiplicidades depeso no máximo 1, para um A-módulo de peso M temos que M ∼= L(p) se, e somente se,supp(M) = supp(L(p)). Por outro lado, supp(Fp′

IrJpL(0)) = p = supp(L(p)), que implica 1.

Para provar 2. vamos usar a descrição polinomial de B(p) da Subseção 2.7. Uma base vetorialde FJpL(p) pode ser expressa unicamente na forma xmxq, em que mi ∈ {0,−1,−2, . . .}se i ∈ Jp, mj = 0 se j /∈ Jp, e q ∈ p. Então xmxq 7→ xm+q de�ne um isomor�smoFJpL(p) ∼= B(p).

Notemos que devido ao Corolário 3.4.1, o envelope injetivo de todo módulo de pesosimples L é isomorfo à localização de L com relação à um subconjunto multiplicativo deOre de A apropriado. Apresentar os injetivos indecomponíveis como localizações dos seussubmódulos simples é um ideia explorada para categorias de módulos de peso de álgebrasde Lie simpléticas em [GS06].

3.6 Descrição explícita do quiver de W

Basearemos esta seção em [FGM14][Seção 4.1].Para um conjunto não vazio E de�nimos o quiver Q = QE como segue: os vértices de Q

são todos subconjuntos �nitos de E. Para U,W ∈ Q existe uma �echa de U para W se, esomente se, a diferença simétrica U4W é um conjunto unitário.

Lembremos que a diferença simétrica entre dois conjuntos A e B, denotada por A4B, éa união dos dois conjuntos menos a interseção entre eles, ou seja, A4B = (A \B)∪ (B \A).

Vamos impor em Q as seguintes relações: se U e W são tais que existem �echas α : U →W e β : W → U , então αβ = βα = 0; Se U,W,U ′,W ′ são conjuntos diferentes tais queexistem �echas α : U → W ,β : W → W ′, α′ : U → U ′ e β′ : U ′ → W ′, então βα = β′α′.

Exemplo 3.6.1. Seja E = {1, 2}. Os subconjuntos de E, que no caso serão os vérticesde QE, são ∅, {1}, {2} e {1, 2}. Temos que existe uma �echa entre ∅ e {1}, pois ∅4{1} =∅∪{1}r(∅∩{1}) = {1}r∅ = {1}, porém não existe �echa entre {1} e {2}, pois {1}4{2} =

3.7 KOSZULIDADE 89

{1} ∪ {2}r ({1} ∩ {2}) = {1, 2}r ∅ = {1, 2}. Portanto o quiver Q = QE correspondente éo seguinte:

∅η

++

ξ

��

{1}η

kk

ξ

{2}

ξ

UU

η22 {1, 2}

ξ

JJ

ηss

As relações de QE são: η2 = ξ2 = 0 e ηξ = ξη.

Seja Q = QE um quiver, em que E é um conjunto não vazio. A categoria dos caminhosde Q com as relações descritas acima será denotada por CE. No caso a categoria de umquiver Q tem como objetos os vértices e os mor�smos entre dois objetos são os caminhosentre dois vértices dados.

A categoria CE é canonicamente isomorfa ao produto tensorial⊗

i∈E Ci, tal que no casode E ser in�nito o produto tensorial é entendido como o limite direto do sistema direcionadoformado por todos os produtos tensoriais com respeito aos subconjuntos �nitos de E (veja[Bla77]). Notemos que a álgebra C{1} é a categoria de caminhos do seguinte quiver comrelações:

∅α

++ {1}α

jj α2 = 0 (3.1)

É fácil ver que no caso em que E é �nito todos os CE-módulos projetivos são injetivos etemos o mesmo comprimento de Loewy.

3.7 Koszulidade

Basearemos esta seção em [FGM14][Seção 4.2].Seguem algumas de�nições e comentários importantes. Para maiores detalhes indicamos

[ASS06].

De�nição 3.7.1 (Resolução projetiva). Uma resolução projetiva de um R-módulo M é

uma sequência exata . . . // Pndn // Pn−1

// . . . // P1d1 // P0

d0 //M // 0 tal quecada Pi é um R-módulo projetivo. Tal resolução é dita minimal se d0 : P0 → M e di :Pi → ker(di−1), ∀i ≥ 1, forem coberturas projetivas . Uma resolução projetiva é dita decomprimento n se Pn 6= {0} e Pi = {0}, ∀i > n. Neste caso, se n for o menor inteiro comessa propriedade, dizemos que M tem dimensão projetiva igual a n e denotamos por dp(M).

Sejam Q um quiver �nito, em que Q0 = {1, . . . , n}, kQ sua álgebra de caminhos e ei ocaminho trivial associado ao vértice i ∈ Q0. Então kQ é uma álgebra associativa e o conjunto{ei}ni=1 é um sistema completo de idempotentes ortogonais primitivos de kQ. Em particular ,kQ tem identidade 1 = e1 + · · ·+ en. Além disso, kQ = e1(kQ)⊕· · · en(kQ) é a decomposiçãode kQ em módulos projetivos indecomponíveis, dois a dois não isomorfos; e kQ tem dimensão�nita se, e somente se, Q não possui ciclos orientados.

Se I é um ideal de kQ gerado por combinações lineares de caminhos de comprimentodois, dizemos que Q = kQ/I é uma álgebra quadrática. Por outro lado, se cada gerador de Ifor um caminho de Q, dizemos que Q é uma álgebra monomial.


Seja kQ a álgebra de caminhos de um quiver Q sobre k. Para cada n ≥ 0, denotamos por(kQ)n o k -espaço vetorial gerado pelos caminhos de comprimento n em Q. Então:

kQ =⊕i≥0

(kQ)i

é uma k -álgebra graduada, em que (kQ)n(kQ)m ⊆ (kQ)n+m, ∀m,n ≥ 0.Seja R =

⊕i≥0Ri um anel graduado tal que R0 é um anel semissimples, então dizemos

que o ideal r =⊕

i≥1Ri é o radical de Jacobson graduado de R. Em outras palavras, é aintersecção dos ideais maximais graduados de R.

Sejam M,P R-módulos graduados, p : P → M um epimor�smo de grau 0, ou seja,p(Pn) ⊆ Mn para todo n ≥ 0, e P um R-módulo projetivo tal que ker(p) ⊆ rad(P ) = Pr.Então o par (P, p) é chamado de cobertura projetiva graduada de M .

De�nição 3.7.2 (Resolução projetiva graduada). Seja M um R-módulo graduado �nita-mente gerado. Por uma resolução projetiva graduada para M , entendemos uma sequên-

cia exata . . . // Pndn // Pn−1

// . . . // P1d1 // P0

d0 //M // 0 em que, para cadai ≥ 0, Pi é um R-módulo projetivo graduado e cada aplicação di é um R-homomor�smo degrau 0. Se além disso, im(dn) ⊆ Pn−1r, para todo n ≥ 1, então a resolução acima é ditaminimal.

De�nição 3.7.3 (Resolução linear). Seja M um R-módulo graduado �nitamente gerado.

Suponha que . . . // Pndn // Pn−1

// . . . // P1d1 // P0

d0 //M // 0 é uma resolu-ção projetiva graduada de M . Dizemos que esta resolução é linear de comprimento n se paratodo 0 ≤ i ≤ n, Pi é gerado em grau i. Por outro lado, dizemos que M tem resolução linearse existe uma resolução projetiva graduada

. . . // Pndn // Pn−1

// . . . // P1d1 // P0

d0 //M // 0

que é linear para cada n ≥ 0.

Toda resolução linear é minimal.Recordemos que uma k -álgebra associativa Z-graduada C =

⊕i∈ZCi é chamada Koszul

se C0 é semissimples, Ci = {0} se i < 0, e a i-ésima componente da resolução projetivagraduada minimal de C0 é gerada em grau i (tal resolução é chamada linear). Similarmentede�nimos Koszulidade para categorias k -lineares.

Proposição 3.7.1. Seja E como na Seção 3.6. Então a categoria CE é Koszul.

Demonstração. Para t ∈ E a álgebra C{t} é dada por 3.1 (Subseção 3.6). Ela é quadrática emonomial, então é Koszul (é muito simples escrever as resoluções projetivas lineares dos C{t}-módulos simples). O resultado agora segue da observação que qualquer produto tensorial deálgebras Koszul é Koszul. Para ver este último fato, �xemos uma resolução linear para cadamódulo simples sobre cada fator tensorial do produto. Tensoriando estas resoluções juntas(cada resolução por fator tensorial) e tomando o complexo total de maneira usual obtemosresoluções projetivas lineares para CE-módulos simples. O caso com uma quantidade �nitade fatores pode ser encontrada em [BF85]. O caso in�nito segue tomando o limite diretocom respeito ao sistema direcionado dado pelos subconjuntos �nitos de E.

DESCRIÇÃO DOS BLOCOS 91

3.8 Descrição dos blocos

Finalmente, vamos mostrar que os blocos de W são descritos por CE para E apropriado.Recordemos que para p ∈ kI

+ denotamos por Jp o conjunto de todo i ∈ I tal que pi ∈ Z. SeJp = ∅, o módulo projetivo P (p) é simples, o que signi�ca que Wp é semissimples e então éisomorfa à k -mod.

Teorema 3.8.1. Se Jp 6= ∅, então a categoria Wp é equivalente a categoria dos módulossobre CJp.

Demonstração. Fixemos algum objeto representativo em cada classe de isomor�smos deprojetivos indecomponíveis em Wp e seja X a subcategoria plena de Wp que é geradapor estes representantes �xos. Para provar nosso teorema aplicaremos a teoria clássica deMorita para anéis com unidades locais, veja [Abr83][Teorema 4.2]. A única coisa não trivialque temos que veri�car é que X é isomorfa à CJp .

Para m ∈ p + ZIf , seja U(m) o conjunto de todo i ∈ Jp satisfazendo uma das duas

condições: pi ∈ {−1,−2, . . .} enquanto mi ∈ {0, 1, 2, . . .} ou pi ∈ {0, 1, 2, . . .} enquanto mi

∈ {−1,−2, . . .}. Então a aplicação P (m) 7→ U(m) induz uma bijeção de objetos de Xem objetos de CJp . Encontramos a inversa desta aplicação da seguinte maneira: para umconjunto �nito U ⊂ Jp de�nimos p(U) como segue:

l(U)i =

pi , se pi /∈ Z ou i /∈ U0 , se i ∈ U e pi < 0

−1 , se i ∈ U e pi ≥ 0

Para cada U �xemos algum vU ∈ P (p(U))p(U) não nulo.Tomemos agora algum conjunto �nito U ⊂ Jp e i ∈ Ip r U .Se pi < 0, então de�nimos o homomor�smo αU,i : P (p(U)) → P (p(U∪{i})) enviando vU

em Y −pivU∪{i}, e de�nimos também o homomor�smo βU,i : P (p(U∪{i}))→ P (p(U)) enviandovU∪{i} em X−pivU .

Se pi > 0, então de�nimos o homomor�smo αU,i : P (p(U))→ P (p(U∪{i})) enviando vU emXpi+1vU∪{i}, e de�nimos também o homomor�smo βU,i : P (p(U∪{i})) → P (p(U)) enviandovU∪{i} em Y pi+1vU .

É fácil veri�car que esses homomor�smos satisfazem as relações de�nidas em CJp . Compa-rando os elementos dos módulos projetivos indecomponíveis em Wp e sobre CJp , concluímosque estas são todas as relações que os de�nem. O resultado segue.

3.9 Referências

Baseamos as Seções 3.1 e 3.2 em [BBF04][Seções 2, 3, 4 e 7], enquanto que as Seções 3.3,3.4, 3.5, 3.6, 3.7 e 3.8, foram baseadas em [FGM14][Seções 3.5, 3.6, 3.7, 4.1, 4.2 e 4.3].

92 CLASSIFICAÇÃO

Apêndice A

Álgebras de Lie

As álgebras de Lie surgiram com Sophus Lie (1842-1899) na década de 1870. Elas nas-ceram da tentativa de obter uma teoria para o estudo das equações diferenciais análogo àteoria de Galois para equações polinomiais. Utilizando as chamadas transformações de con-tato, Sophus Lie examinou um processo, criado por Jacobi, de obtenção de novas soluçõesde equações diferenciais a partir de uma dada solução. Isso levou Lie a tratar seus grupos detransformações (denominados atualmente grupos de Lie) através do que hoje chamamos "ál-gebra de Lie" (ou grupos in�nitesimais). Uma das características da teoria de Lie é contraporos conceitos complementares de grupos e álgebras de Lie.

Depois da introdução, a teoria das álgebras de Lie foi desenvolvida por Wilhelm Killing(1847-1923) e Élie Cartan (1869-1951).

A.1 Conceitos Básicos

Antes de falar sobre as álgebras de Lie vamos de�nir alguns conceitos e enunciar algunsresultados que foram úteis ao longo do presente trabalho. Para mais detalhes das estruturasalgébricas elementares, homomor�smos e os teoremas relacionados recomendamos ao leitor[Rot03] e [Lam01].

De�nição A.1.1. Um anel R é um grupo abeliano aditivo munido com um produto R ×R −→ R, denotado por (a, b) 7→ ab, tal que para todos a, b, c ∈ R,

1. a(bc) = (ab)c;

2. a(b+ c) = ab+ ac e (b+ c)a = ba+ ca;

3. Existe 1R ∈ R tal que 1Ra = a = a1R.

Se além disso, ab = ba, para todos a, b ∈ R, dizemos que o anel é comutativo.

De�nição A.1.2. Um ideal à esquerda I de um anel R é um subconjunto não vazio de Rque é subgrupo aditivo e é tal que RI ⊆ I, ou seja, para todos a ∈ R e b ∈ I implica que ab∈ I. Analogamente, de�ne-se ideal à direita. Um ideal é bilateral se é um ideal à esquerdae à direita. Um ideal I é dito próprio se I 6= R ou equivalentemente se 1R /∈ I.

De�nição A.1.3. Sejam R um anel e I um ideal bilateral de R. O grupo abeliano aditivoR/I é um anel com produto (a + I)(b + I) = ab + I, para todo a, b ∈ R. Chamamos esseanel de anel quociente.

93

94 APÊNDICE A

De�nição A.1.4. Um anel não nulo R é dito simples se {0} e R são os únicos ideaisbilaterais em R. Os ideais {0} e R são chamados de ideais triviais.

De�nição A.1.5. Um homomor�smo de anéis é uma aplicação f de um anel R em umanel S tal que:

1. f(a+ b) = f(a) + f(b), para todos a, b ∈ R;

2. f(ab) = f(a)f(b), para todos a, b ∈ R;

3. f(1R) = 1S.

Se f é um homomor�smo de R em R, é chamado de endomor�smo de R.

Lembremos que um endomor�smo de um anel é um automor�smo se for bijetor (isto é,se for um isomor�smo).

De�nição A.1.6. Seja R um anel comutativo. Um ideal p de R é dito primo se p 6= R e seab ∈ p ⇒ a ∈ p ou b ∈ p. Um ideal m de R é dito maximal em R se m 6= R e toda vez queexista um outro ideal I tal que m ⊆ I ⊆ R então ou I = m ou I = R.

De�nição A.1.7. Um anel não nulo R é um anel de divisão se todo elemento não nulo deR possui inverso multiplicativo, ou seja, é uma unidade. Um anel de divisão comutativo éum corpo.

Teorema A.1.1. Seja k um anel comutativo. Então as seguintes condições são equivalentes:

1. k é um corpo.

2. {0} é um ideal maximal em k.

3. k é um anel simples.

De�nição A.1.8. Seja R um anel não nulo. Se existir um inteiro positivo n tal que, paratodo a ∈ R, na = a + . . . + a = 0 (n vezes), então o menor desses inteiros positivosserá chamado de característica do anel R. Diremos, nesse caso, que R tem característicapositiva. Se não existir nenhum inteiro positivo com a propriedade acima, diremos que R temcaracterística zero. Diremos que um corpo k tem característica 0 e denotamos por char(k) = 0(resp. p, p é um primo) se, como anel, tiver característica 0 (resp. p, p é um primo).

De�nição A.1.9. Um elemento em um anel R é dito regular se não é um divisor de zeronem à direita, nem à esquerda de R.

De�nição A.1.10. Um anel não nulo R é dito ser um domínio se todos os seus elementosnão nulos são regulares. Em outras palavras, se ab = 0 implica a = 0 ou b = 0 em R, ouainda, a 6= 0, b 6= 0 implica ab 6= 0. Se além disso, R for um anel comutativo, então R échamado de domínio de integridade.

Proposição A.1.1. Seja R um anel comutativo. p é um ideal primo de R se, e somente se,R/p é um domínio de integridade; m é um ideal maximal em R se, e somente se, R/m é umcorpo.

Demonstração. [Rot03], Capítulo 6, Proposição 6.4, pág. 321 e [Rot03], Capítulo 6, Propo-sição 6.7, pág. 322.

CONCEITOS BÁSICOS 95

De�nição A.1.11. Seja R um anel. Um R-módulo à esquerda é um grupo abeliano aditivoM munido de uma aplicação R×M →M , que leva (a,m) 7→ am e que satisfaz:

1. a(m+ n) = am+ an;

2. (a+ b)n = an+ bn;

3. (ab)m = a(bm);

4. 1Rm = m.

para todos a, b ∈ R e para todos m,n ∈ M . De�ne-se R-módulo à direita simetricamente.Se R = k é um corpo, o k-módulo M na verdade é um k -espaço vetorial.

Se M é um R-módulo à esquerda (à direita) então um submódulo à esquerda (à direita)N de M é um subgrupo aditivo N de M , fechado sob multiplicação por escalar: rn ∈ N ,para todos n ∈ N e r ∈ R. Se N é um R-submódulo de M , então o módulo quociente éo grupo quociente M/N (M é um grupo abeliano e N é um subgrupo) equipado com amultiplicação por escalar r(m+N) = rm+N , para todos r ∈ R, m ∈ M .

Seja M um R-módulo e {Mi : i ∈ I} uma família de submódulos de M . O submódulode M gerado por

⋃i∈IMi é denotado por

∑i∈IMi e, como é fácil ver, é formado por todos os

elementos da forma m1 + . . . + mr, em que r é um inteiro positivo e mj ∈ Mij . Dizemosque M é a soma direta de {Mi : i ∈ I} se M =

∑i∈IMi e para todos j ∈ I, temos que

Mj ∩ (∑i 6=j

Mi) = {0}. Denotamos esse fato da seguinte maneira: M =⊕i∈IMi. Se o conjunto I

for �nito, digamos, I = {1, . . . , r}, escrevemos M = M1

⊕· · ·⊕

Mr e nos referimos à essaigualdade como uma decomposição de M em soma direta de submódulos. Nesse caso, cadaelemento m ∈ M se escreve de maneira única na forma m = m1 + · · ·+mr, com mj ∈ Mj,para todo j = 1, . . . , r.

De�nição A.1.12. Sejam M e N R-módulos. Uma aplicação f : M → N é um homomor-�smo de R-módulos (ou um R-homomor�smo) se:

1. f(m1 +m2) = f(m1) + f(m2);

2. f(am1) = af(m1);

para todos m1,m2 ∈ M e para todo a ∈ R. Ou seja, f é um homomor�smo de gruposabelianos aditivos que comuta com a ação de cada a ∈ R.

Seja M um R-módulo e suponha que M = M1

⊕· · ·⊕

Mr seja uma decomposição deM como soma direta de submódulos. Agora para cada j, considere as seguintes aplicações:πj : M → Mj, de�nida por m 7→ mj, e ιj : Mj → M , de�nida por mj 7→ mj. Então paracada j, πj é um homomor�smo sobrejetor, chamado projeção canônica sobre M e ιj é umhomomor�smo injetor, chamado inclusão canônica de Mj.

Os homomor�smos canônicos de�nidos acima satisfazem as seguintes identidades:

r∑j=1

ιjπj = idM e πjιk = δjk · idMk

Agora vamos enunciar teoremas muito importantes da teoria dos módulos. Observamosque mutatis mutandis existem teoremas análogos para anéis.

96 APÊNDICE A

Teorema A.1.2 (Primeiro Teorema do Isomor�smo). Se f : M → N é um R-homomor�smode módulos, então existe um R-isomor�smo

ϕ : M/ker(f)→ im(f)

.

Demonstração. [Rot03], Capítulo 7, Teorema 7.8, pág. 429.

Teorema A.1.3 (Segundo Teorema do Isomor�smo). Se S e T são submódulos de umR-módulo M , então existe um R-isomor�smo

S/(S ∩ T )→ (S + T )/T

.


Teorema A.1.4 (Terceiro Teorema do Isomor�smo). Se T ⊆ S ⊆ M é uma torre deR-submódulos, então existe um R-isomor�smo

(M/T )/(S/T )→M/S

.


Teorema A.1.5 (Teorema da Correspôndencia). Se T é um submódulo de um R-móduloM , então existe uma bijeção

ϕ : {submódulos intermediários : T ⊆ S ⊆M} → {submódulos de M/T}

dado por S 7→ S/T . Além disso, S ⊆ S ′ em M se, e somente se, S/T ⊆ S ′/T em M/T .


De�nição A.1.13. Seja f : R → S um homomor�smo de anéis. Se a ∈ R e b ∈ S de�naab = f(a)b. Logo S tem estrutura de R-módulo e estrutura de anel. Chamamos ao anel Sequipado com sua estrutura de R-módulo de R-álgebra. Em outras palavras uma R-álgebraé um anel S junto com um homomor�smo de anéis f : R → S. Sendo assim uma álgebrasobre um corpo k é um k-espaço vetorial (k-módulo) equipado com um produto bilinear, ouseja, é um conjunto munido com um produto, uma soma e uma multiplicação por escalaresdo corpo k.

De�nição A.1.14. Se f : R → S e g : R → T são dois homomor�smos de anéis, umhomomor�smo de R-álgebras h : S → T é um homomor�smo de anéis que também é umhomomor�smo de R-módulos.

De�nição A.1.15. Seja k um corpo. Uma álgebra associativa sobre k ou k-álgebra associa-tiva é um espaço vetorial A sobre k munido de um produto A×A→ A, (a, b) 7→ ab, tal quea(bc) = (ab)c, para todos a, b, c ∈ A.

Observação A.1.1. Uma álgebra é unital se possui elemento identidade com respeito aoproduto.

ÁLGEBRAS DE LIE 97

A.2 Álgebras de Lie

Agora vamos apresentar uma introdução à teoria das álgebras de Lie. Para mais detalhesrecomendamos [Hum13], [Mar10], [Eti11] e [Sam90].

A.2.1 Generalidades

De�nição A.2.1. Uma álgebra de Lie consiste de um espaço vetorial g sobre um corpo k,munido de um produto (colchete ou comutador)

[·, ·] : g× g→ g

com as seguintes propriedades:

1. É bilinear;

2. É anti-simétrico, isto é, [x, x] = 0 para todo x ∈ g (o que implica [x, y] = −[y, x] paratodo x, y ∈ g e é equivalente se o corpo dos escalares k não tem característica dois);

3. Satisfaz a identidade de Jacobi, isto é, para todo x, y, z ∈ g,

[x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = 0.

Recordemos que An(k), a n-ésima álgebra de Weyl sobre k, com geradores x1, . . . , xne ∂1, . . . , ∂n, satisfaz as seguintes relações: [∂i, xj] = δij · 1, [∂i, ∂j] = [xi, xj] = 0, para1 ≤ i, j ≤ n. Segue que podemos considerar An(k) como uma álgebra de Lie sobre k.

Em geral, uma álgebra é um espaço vetorial A sobre um corpo k munido de um produto,isto é, uma aplicação de A × A para A. Qualquer aplicação deste tipo que mereça o nomede produto deve ser bilinear e usualmente é denotado por justaposição. A anti-simetria e aidentidade de Jacobi são características das álgebras de Lie. Outros tipos de álgebras têmoutros tipos de propriedades que a de�nem. Por exemplo, as álgebras associativas, satisfazema seguinte propriedade adicional: a(bc) = (ab)c, como visto anteriormente.

Observação A.2.1. O colchete de Lie não é em geral associativo, pois em qualquer cir-cunstância [[x, x], y] = 0, e no entanto [x, [x, y]] nem sempre se anula.

De�nição A.2.2. A dimensão de uma álgebra de Lie g é sua dimensão como espaço vetorialsobre um corpo k.

De�nição A.2.3. Seja g uma álgebra de Lie. Uma subálgebra de g é um subespaço vetorialh de g que é fechado pelo colchete, isto é, [h, h] ⊂ h, ou ainda, [x, y] ∈ h se x, y ∈ h.

Observação A.2.2. Qualquer elemento não nulo pertencente à g de�ne uma subálgebra uni-dimensional (no caso, o subespaço vetorial gerado por esse elemento) com o mesmo produtode g.

Dada uma álgebra associativa A, de�nimos A(−) como a álgebra de Lie com o colchetede�nido por [a, b] = ab− ba, para todo a, b ∈ A.

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo k de dimensão n. O conjunto de todas astransformações lineares de V em V é uma álgebra associativa, Endk(V ), com as operaçõesde soma (de�nida ponto a ponto) e composição. Como k -espaço vetorial, Endk(V ) temdimensão n2. Podemos identi�car esse espaço vetorial com o espaço das matrizes n × n

98 APÊNDICE A

com coe�cientes em k. Então Endk(V )(−) é uma álgebra de Lie, com o colchete de�nido daseguinte maneira: [x, y] = xy−yx, para todo x, y ∈ Endk(V ). Denotamos essa álgebra de Liepor gl(V ). Ela é chamada de álgebra de Lie linear geral, pois é intimamente ligada ao grupolinear geral GL(V ), que consiste de todos os endomor�smos de V que são inversíveis. Nocaso do espaço das matrizes, o colchete é de�nido da mesma forma, tais que x, y são matrizes.Nesse último caso denotamos a álgebra de Lie por gl(n, k) ou simplesmente gl(n), quandoo corpo não for relevante. A tábua de multiplicação para gl(n, k) relativa à base canônicaconsistindo de matrizes eij (com 1 na posição (i, j) e 0 nas outras), em que eijekl = δjkeil, é:[eij, ekl] = δjkeil − δliekj.

Qualquer subálgebra da álgebra de Lie gl(V ) é chamada de álgebra de Lie linear. Elasse dividem em quatro famílias Al, Bl, Cl e Dl (l ≥ 1) que são chamadas de álgebras de Lieclássicas, porque elas correspondem à certos grupos de Lie lineares clássicos. Para Bl e Dl,seja char(k) 6= 2.

1. Al: Seja dim(V ) = l + 1. Denotemos por sl(V ), ou sl(l + 1, k), o conjunto dos en-domor�smos de V com traço zero. Recordemos que o traço de uma matriz tr é asoma das entradas da sua diagonal principal. O traço independe da escolha da basede V , e por isso faz sentido para um endomor�smo de V . Como tr(xy) = tr(yx) etr(x + y) = tr(x) + tr(y), segue que sl(V ) é uma subálgebra de gl(V ), chamada deálgebra linear especial, por causa da sua conexão com o grupo linear especial SL(V )dos endomor�smos com det igual à 1. Então:

sl(l + 1, k) = {x ∈ gl(l + 1, k) | tr(x) = 0}

Temos que dim(sl(l + 1, k)) = (l + 1)2 − 1.

2. Cl: Seja dim(V ) = 2l, com base {v1, . . . , v2l}. De�nimos uma forma bilinear f anti

simétrica não degenerada de V com matriz s =

(0 Il−Il 0

). A dimensão par é uma

condição necessária para a existência de uma forma bilinear não degenerada satisfa-zendo f(v, w) = −f(w, v). Denotemos por sp(V ), ou sp(2l, k), a álgebra simplética,cuja de�nição consiste de todos os endomor�smos x de V que satisfazem f(x(v), w) =−f(v, x(w)). Então:

sp(2l, k) = {x ∈ gl(2l, k) | sx+ xts = 0}

em que xt é a transposta de x. Temos que dim(sp(2l, k)) = 2l2 + l.

3. Bl: Seja dim(V ) = 2l+1 ímpar, e tome f , uma forma bilinear simétrica não degenerada,

em V cuja matriz é s =

1 0 00 0 Il0 Il 0

. A álgebra ortogonal o(V ), ou o(2l+1, k), consiste

de todos os endomor�smos x de V satisfazendo f(x(v), w) = −f(v, x(w)).

4. Dl(l≥2): Aqui obtemos outra álgebra ortogonal. A construção é idêntica à construção

em Bl, exceto que a dim(V ) = 2l é par e s tem forma s =

(0 IlIl 0

).

Exemplo A.2.1. Vejamos outras subálgebras de gl(n, k): seja t(n, k) o conjunto das ma-trizes triangulares superiores (aij), aij = 0 se i > j; seja n(n, k), as matrizes estritamentetriangulares superiores (aij = 0, se i ≥ j); �nalmente, seja d(n, k) o conjunto das matri-zes diagonais. Temos que t(n, k), n(n, k) e d(n, k) são subálgebras de gl(n, k). Além disso,

ÁLGEBRAS DE LIE 99

t(n, k) = d(n, k) + n(n, k) (soma direta de espaços vetoriais), com [d(n, k), n(n, k)] = n(n, k),logo [t(n, k), t(n, k)] = n(n, k).

A.2.2 Derivações de álgebras de Lie

Algumas transformações lineares de álgebras de Lie surgem naturalmente como deriva-ções de álgebras. Lembremos que uma derivação de uma k -álgebra associativa A é umaaplicação linear δ : A → A satisfazendo a regra δ(ab) = aδ(b) + δ(a)b. A coleção Der k(A)de todas as derivações de A é um subespaço vetorial de End k(A). O comutador [δ, δ′] deduas derivações é uma derivação (embora o produto ordinário de duas derivações, no caso acomposição, não seja necessariamente uma derivação). Então Der k(A) é uma subálgebra degl(A).

Como uma álgebra de Lie g é uma k -álgebra, faz sentido de�nirmos Der k(A). Certasderivações surgem naturalmente como segue. Se x ∈ g, y 7→ [x, y] é um endomor�smode g, que denotamos por ad(x). De fato, ad(x) ∈ Der k(A), porque podemos escrever aidentidade de Jacobi na forma: [x, [y, z]] = [[x, y], z] + [y, [x, z]], ou seja, ad(x)([y, z]) =[ad(x)(y), z]+[y, ad(x)(z)]. Derivações dessa forma são chamadas internas, e todas as outrasexternas. É possível que ad(x) = 0, enquanto x 6= 0; isto ocorre em alguma álgebra de Lieunidimensional, por exemplo. A aplicação g → Derk(A)), que envia x em ad(x) é chamadade representação adjunta de g.

Algumas vezes x é simultaneamente um elemento de g e de uma subálgebra h de g. Paraevitar ambiguidade, a notação adg(x) ou adh(x) serão usadas para indicar que x está agindoem g ( respectivamente, h). Por exemplo, se x é uma matriz diagonal, então add(n,k)(x) = 0,enquanto que adgl(n,k)(x), não é necessariamente zero.

Vimos alguns exemplos naturais de álgebras de Lie lineares. Temos que, toda álgebra deLie de dimensão �nita é isomorfa à alguma álgebra de Lie linear.

Teorema A.2.1 (Teorema de Ado). Toda álgebra de Lie de dimensão �nita g, de caracte-rística zero, tem uma representação de dimensão �nita �el.

Demonstração. [Jac79], Capítulo V I, pág. 202.

Algumas vezes é desejável, entretanto, contemplar álgebras de Lie abstratamente. Porexemplo, se g é um espaço vetorial arbitrário sobre k de dimensão �nita, podemos considerarg como uma álgebra de Lie, em que [x, y] = 0, para todos x, y ∈ g. Tal álgebra, com umamultiplicação de Lie trivial, é chamada de abeliana, porque no caso linear [x, y] = 0 signi�caque x e y comutam.

A.2.3 Ideais e homomor�smos

De�nição A.2.4. Um subespaço vetorial h de uma álgebra de Lie g é um ideal se para todoy ∈ h, x ∈ g, temos que [x, y] ∈ h.

Como [x, y] = −[y, x], a condição poderia ser escrita [y, x] ∈ h.É claro que todo ideal é subálgebra. Nem toda subálgebra, no entanto, é ideal. Vejamos:

Exemplo A.2.2. Consideremos o subespaço de sl(2,R) gerado por

(1 00 −1

). Esse subes-

paço é uma subálgebra por ser unidimensional. Não é, porém, um ideal pois

[

(1 00 −1

),

(0 10 0

)] =

(0 20 0

)

100 APÊNDICE A

Obviamente {0} (o subespaço consistindo somente do vetor nulo) e g são ideais de g. Umexemplo menos trivial é o centro de g, Z(g) = {z ∈ g | [x, z] = 0,∀x ∈ g}. Notemos que gé abeliana se, e somente se, Z(g) = g. Outro importante exemplo é a álgebra derivada deg, denotada por [g, g], que é análoga ao subgrupo comutador de um grupo. Ela consiste detodas as combinações lineares de comutadores [x, y], e claramente é um ideal.

Evidentemente g é abeliana se, e somente se, [g, g] = {0}. No outro extremo, um estudo datábua de multiplicação para g = sl(n, k) (n 6= 2, se char(k) = 2) mostra que g = [g, g] nestecaso, e similarmente para outras álgebras de Lie lineares clássicas (ver [Hum13], Capítulo I,exercício 1.9).

Se h1 e h2 são ideais de g então

h1 + h2 = {x+ y | x ∈ h1, y ∈ h2}

é também um ideal. Similarmente,

[h1, h2] = {∑i,j

aij[xi, yj] | xi ∈ h1, yj ∈ h2, aij ∈ k}

é um ideal de g. A álgebra derivada [g, g] é um caso especial desta construção.É natural analisar a estrutura de uma álgebra de Lie olhando seus ideais. Se g não tem

ideais exceto ela mesma e {0}, e se além disso [g, g] 6= {0}, dizemos que g é simples. Acondição [g, g] 6= {0} (isto é, g não abeliana) é imposta com intuito de evitar dar destaqueindevido à uma álgebra unidimensional. Claramente, g simples implica que Z(g) = {0} e[g, g] = g.

Exemplo A.2.3. Seja g = sl(2, k), char(k) 6= 2. Tomemos como base canônica para g astrês matrizes:

x =

(0 10 0

), y =

(0 01 0

)e h =

(1 00 −1

)A tábua de multiplicação é completamente determinada pelas equações:

[x, y] = h , [h, x] = 2x e [h, y] = −2y

Notemos que x, y, h são autovetores para ad(h), correspondendo aos autovalores 2,−2, 0,respectivamente. Como char(k) 6= 2, estes autovalores são distintos. Se g′ 6= {0} é um idealde g, seja ax+ by + ch um elemento não nulo arbitrário de g′. Aplicando ad(x) duas vezes,temos −2bx ∈ g′, e aplicando ad(y) duas vezes, temos −2ay ∈ g′. Então, se a ou b é nãonulo, g′ contém y ou x (char(k) 6= 2), e então por conta das equações acima, segue queg′ = g. Por outro lado, se a = b = 0, então 0 6= ch ∈ g′, e novamente por conta dasequações, segue que g′ = g. Concluímos que g = sl(2, k) é simples.

No caso que g não é simples (e não é unidimensional) é possível "extrair" um ideal próprionão nulo h e assim obter um álgebra de Lie de dimensão menor. A construção de uma álgebraquociente g/h (h é um ideal de g) é formalmente a mesma construção de um anel quociente:como espaço vetorial g/h é simplesmente o espaço quociente e sua multiplicação de Lie estábem de�nida por [x+ h, y + h] = [x, y] + h, ou seja, [x, y] = [x, y], para todo x, y ∈ g.

Agora vamos mencionar uma dupla de noções relacionadas analogamente com o queocorre na teoria dos grupos. O normalizador de uma subálgebra h de uma álgebra de Lie g éde�nido por Ng(h) = {x ∈ g | [x, h] ⊂ h}. Pela identidade de Jacobi, Ng(h) é uma subálgebrade g e é descrita como a maior subálgebra de g que contém h como ideal (inicialmente h é sóuma subálgebra). Se h = Ng(h), dizemos que h é auto-normalizada. O centralizador de um

ÁLGEBRAS DE LIE 101

subconjunto X ⊆ g é Cg(X) = {x ∈ g | [x,X] = 0}. Novamente pela identidade de Jacobi,Cg(X) é uma subálgebra de g. Por exemplo, Cg(g) = Z(g).

De�nição A.2.5. Uma transformação linear ψ : g→ h (com g e h álgebras de Lie sobre k) éum homomor�smo de álgebras de Lie se preserva o colchete, isto é, ψ([x, y]) = [ψ(x), ψ(y)],para todo x, y ∈ g.

ψ é um monomor�smo se ker(ψ) = {0}, é um epimor�smo se im(ψ) = h e um isomor-�smo se é epimor�smo e monomor�smo.

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo k e gl(V ) a álgebra de Lie dos endomor�smosde V . Seja g uma álgebra de Lie (sobre o mesmo corpo de escalares de V ). Uma representaçãode g em V é um homomor�smo ρ : g→ gl(V ).

Na terminologia usual, V é o espaço da representação, enquanto que sua dimensão é adimensão da representação. Uma representação ρ é dita �el se ker(ρ) = 0.

A noção de representar vem da ideia de descrever (representar) as álgebras de Lie comoálgebras de transformações lineares. No caso das representações �éis, g ∼= im(ρ) e, portanto,a álgebra g pode ser vista como uma subálgebra de gl(V ) (ou de gl(n), se a dimensão é�nita). Essa ideia de considerar álgebras de Lie como subálgebras de gl(V ) é realizada, pelomenos ao nível teórico, para as álgebras de Lie de dimensão �nita, por conta do Teorema deAdo A.2.1.

Um exemplo importante de representação é a representação adjunta ad : g → gl(g),de�nida anteriormente, que envia x em ad(x), tal que ad(x)(y) = [x, y]. Claramente adé uma transformação linear. Além disso, preserva o colchete, ou seja, [ad(x), ad(y)](z) =ad([x, y])(z). Agora vamos analisar quem é o ker(ad). Ele consiste de todos x ∈ g para osquais ad(x) = 0, isto é, para os quais [x, y] = 0 (para todo y ∈ g). Então o ker(ad) = Z(g).Isto tem uma interessante consequência: se g é simples, temos que Z(g) = {0}, então ad :g→ gl(g) é um monomor�smo. Isto signi�ca que qualquer álgebra de Lie simples é isomorfaà uma álgebra de Lie linear.

Um automor�smo de g é um isomor�smo de g em g. Aut(g) denota o grupo de todoseles. Importantes exemplos ocorrem quando h é uma álgebra de Lie linear ⊆ gl(V ). Se g ∈GL(V ) é algum endomor�smo inversível de V , e se além disso ghg−1 = h, então é imediatoque a aplicação x 7→ gxg−1 é um automor�smo de h. Por exemplo, se h = gl(V ) ou atémesmo sl(V ), a condição ghg−1 = h é automática, então obtemos desta maneira uma grandecoleção de automor�smos.

A.2.4 Álgebras de Lie Solúveis e Nilpotentes

É natural estudar uma álgebra de Lie g via seus ideais. Vamos explorar a formação dasálgebras derivadas.

Primeiro, de�nimos uma sequência de ideais de g (a série derivada) por:

g(0) = g , g(1) = [g, g] , g(2) = [g(1), g(1)] , . . . , g(i) = [g(i−1), g(i−1)]

Dizemos que g é solúvel se g(n) = {0}, para algum n. Por exemplo, abeliana implicasolúvel, enquanto que álgebras simples são de�nitivamente não solúveis.

Vejamos agora algumas observações sobre solubilidade:

Proposição A.2.1. Seja g uma álgebra de Lie.

1. Se g é solúvel, então todas as subálgebras e imagens homomór�cas de g são solúveis.

2. Se h é um ideal solúvel de g tal que g/h é solúvel, então g é solúvel.

102 APÊNDICE A

3. Se h1, h2 são ideais solúveis de g, então h1 + h2 é solúvel.

Demonstração. [Hum13], Capítulo I, Seção 3.1, pág. 11.

Seja g uma álgebra de Lie arbitrária e seja h um ideal maximal solúvel (isto é, nãoincluso em nenhum ideal solúvel maior). Se h′ é algum outro ideal solúvel de g, então, pelaProposição A.2.1(3) e pela maximalidade de h, h + h′ = h. Isto prova a existência de umúnico ideal maximal solúvel. Temos o seguinte resultado:

Proposição A.2.2. Seja g uma álgebra de Lie de dimensão �nita. Então, existe em g umúnico ideal solúvel r(g) ⊆ g que contém todos os ideais solúveis de g.

Demonstração. [Mar10], Capítulo 1, Proposição 1.28, pág. 49.

O ideal da proposição anterior é chamado de radical solúvel de g e é denotado por r(g).No caso em que o r(g) = {0}, g é chamada semissimples. Uma álgebra de Lie semissimplesé uma soma direta de álgebras de Lie simples.

A de�nição de solubilidade imita a correspondente noção em teoria dos grupos, dadaspor Abel e Galois. Em contraste, a noção de grupo nilpotente é mais recente, e existe umanoção correspondente para álgebras de Lie. De�nimos a sequência de ideias de g, a sériecentral descendente, por:

g0 = g , g1 = [g, g](= g(1)) , g2 = [g, g1] , . . . , gi = [g, gi−1]

Dizemos que g é nilpotente se gn = {0}, para algum n. Por exemplo, qualquer álgebraabeliana é nilpotente. Claramente, g(i) ⊆ gi para todo i, então álgebras nilpotentes sãosolúveis. A recíproca é falsa, entretanto.

Vejamos agora algumas propriedades sobre nilpotência:

Proposição A.2.3. Seja g uma álgebra de Lie.

1. Se g é nilpotente, então todas as subálgebras e imagens homomór�cas de g são nilpo-tentes.

2. Se g/Z(g) é nilpotente, então g é nilpotente.

3. Se g é nilpotente e não nula, então Z(g) 6= {0}.


A condição para g ser nilpotente pode ser reescrita como segue: para algum n (depen-dendo somente de g), ad(x1)ad(x2) · · · ad(xn)(y) = 0, para todos xi, y ∈ g. Em particular,(ad(x))n = 0 para todos x ∈ g. Agora se g é qualquer álgebra de Lie, e x ∈ g, dizemosque x é ad-nilpotente se ad(x) é um endomor�smo nilpotente. Usando esta linguagem: seg é nilpotente, então todos os elementos de g são ad-nilpotentes. A recíproca também éverdadeira.

Teorema A.2.2 (Teorema de Engel). Se todos os elementos de g são ad-nilpotentes, entãog é nilpotente.


Lema A.2.1. Seja x ∈ gl(V ) um endomor�smo nilpotente. Então ad(x) é nilpotente.



O Teorema de Engel A.2.2 é deduzido do seguinte resultado:

Teorema A.2.3. Seja g uma subálgebra de gl(V ), V com dimensão �nita. Se g consiste deendomor�smos nilpotentes e V 6= {0}, então existe v ∈ V não nulo para o qual g · v = 0.


A.2.5 Teoremas de Lie e Cartan

Com o intuito de ter disponíveis os autovalores de ad(x) para x arbitrário (não somentepara ad(x) nilpotente), vamos assumir que k é um corpo algebricamente fechado.

A essência do Teorema de Engel para álgebras de Lie nilpotentes é a existência de umautovetor comum para uma álgebra de Lie consistindo de endomor�smos nilpotentes (Te-orema A.2.3). O próximo Teorema é similar em natureza, mas requer o fecho algébrico docorpo k, a �m de assegurar que k conterá todos os autovalores necessários.

Teorema A.2.4. Seja g uma subálgebra solúvel de gl(V ), V com dimensão �nita. Se V 6={0}, então V contém um autovetor comum para todos os endomor�smos em g.

Demonstração. [Hum13], Capítulo II, Seção 4.1, pág. 15.

Corolário A.2.1 (Teorema de Lie). Seja g uma subálgebra solúvel de gl(V ), dim(V ) =n < ∞. Então as matrizes de g em relação à uma base adequada de V são triangularessuperiores.


Corolário A.2.2. Seja g uma álgebra de Lie solúvel. Então existe uma cadeia de ideias deg,

{0} = g0 ⊆ g1 ⊆ . . . ⊆ gn = g

tal que dim(gi) = i.


Corolário A.2.3. Seja g uma álgebra de Lie solúvel. Então x ∈ [g, g] implica que adg(x) énilpotente. Em particular, [g, g] é nilpotente.


Temos que em uma álgebra de Lie de dimensão �nita existe um ideal nilpotente queengloba todos os ideais nilpotentes:

Proposição A.2.4. Seja g uma álgebra de Lie de dimensão �nita. Então, existe um idealde g, denotado por rn(g) e denominado radical nilpotente ou nil-radical de g, que contémtodo ideal nilpotente de g.

Demonstração. [Mar10], Capítulo 2, Proposição 2.17, pág. 74.

Agora vamos obter um critério poderoso para solubilidade de uma álgebra de Lie g,baseado nos traços de certos endomor�smos de g. É óbvio que g será solúvel se [g, g] énilpotente (esta é a recíproca do Corolário A.2.3). Por sua vez, o Teorema de Engel A.2.2diz que [g, g] será nilpotente se (e somente se) cada ad[g,g](x), x ∈ [g, g], é nilpotente.

104 APÊNDICE A

Lema A.2.2. Sejam A ⊆ B dois subespaços de gl(V ), dim(V ) < ∞. Seja M = {x ∈gl(V ) | [x,B] ⊆ A}. Suponha que x ∈ M satisfaz tr(xy) = 0, para todos y ∈ M . Então x énilpotente.


Teorema A.2.5 (Critério de Cartan). Seja g uma subálgebra de gl(V ), V com dimensão�nita. Suponha que tr(xy) = 0, para todos x ∈ [g, g], y ∈ g. Então g é solúvel.


Corolário A.2.4. Seja g uma álgebra de Lie tal que tr(ad(x)ad(y)) = 0, para todos x ∈[g, g], y ∈ g. Então g é solúvel.


Seja g uma álgebra de Lie qualquer. Se x, y ∈ g, de�nimos κ(x, y) = tr(ad(x)ad(y)). Entãoκ é uma forma bilinear simétrica em g, chamada de forma de Killing. κ é também associativa,no sentido que κ([x, y], z) = κ(x, [y, z]). Isto segue da identidade tr([x, y]z) = tr(x[y, z]), paraendomor�smos x, y, z de um espaço vetorial de dimensão �nita.

Lema A.2.3. Seja h um ideal de g. Se κ é a forma de Killing de g e κh a forma de Killingde h (vistos como álgebras de Lie), então κh = κ|h×h.


Em geral, uma forma bilinear simétrica β(x, y) é chamada de não degenerada se seuradical S é {0}, em que S = {x ∈ g | β(x, y) = 0, para todos y ∈ g}. Como a forma deKilling é associativa, seu radical é mais do que um subespaço: S é um ideal de g. Da álgebralinear, uma maneira prática para testar a não degeneralidade é como segue: �xemos umabase x1, . . . , xn de g. Então κ é não degenerada se, e somente se, a matriz n×n cuja entrada(i, j) é κ(xi, xj) tem determinante não nulo.

Teorema A.2.6. Seja g uma álgebra de Lie. Então g é semissimples se, e somente se, suaforma de Killing é não degenerada.


Vamos enunciar uma importante consequência da não degeneralidade da forma de Killing.Antes observamos que ad(g) é um ideal de Der k(g) (para qualquer álgebra de Lie g), pois[δ, ad(x)] = ad(δx), para todos x ∈ g, δ ∈ Der k(g).

Teorema A.2.7. Se g é uma álgebra de Lie semissimples, então ad(g) = Derk(g) (isto é,toda derivação de g é interna).


O Teorema A.2.7 pode ser usado para introduzir uma decomposição de Jordan abstrataem uma álgebra de Lie g semissimples arbitrária.

Antes vamos considerar alguns fatos. Sejam V um espaço vetorial sobre k de dimensão�nita e x ∈ End k(V ). Chamamos x de semissimples se as raízes do seu polinômio mini-mal sobre k são todas distintas. Equivalentemente, x é semissimples se, e somente se, xé diagonalizável. Observamos que dois endomor�smos semissimples que comutam entre si,podem ser simultaneamente diagonalizados. A decomposição x = xs + xn é chamada de de-composição de Jordan-Chevalley (aditiva) de x, ou simplesmente decomposição de Jordan;


xs, xn são chamadas, respectivamente, a parte semissimples e a parte nilpotente de x. En-tão ad(x) = ad(xs) + ad(xn) é a decomposição de Jordan de ad(x) em End(End k(V )) (ver[Hum13], Capítulo II, Seção 4.2, Lema A).

Se A é alguma k -álgebra de dimensão �nita, então Der k(A) contém as partes semissimplese nilpotentes de todos os seus elementos (ver [Hum13], Capítulo II, Seção 4.2, Lema B).

Em particular, como Der k(g) coincide com ad(g) (Teorema A.2.7), enquanto g→ ad(g)é 1 − 1, cada x ∈ g determina únicos elementos s, n ∈ g tal que ad(x) = ad(s) + ad(n) é adecomposição de Jordan de ad(x) em End k(g).

O Critério de Cartan (Teorema A.2.5) para solubilidade é usado para provar que umaálgebra de Lie g semissimples tem forma de Killing não degenerada. Em geral, seja g umaálgebra de Lie semissimples e seja φ : g→ gl(V ) uma representação �el de g. De�nimos umaforma bilinear simétrica β(x, y) = tr(φ(x)φ(y)) em g. A forma β é associativa (em particularseu radical é um ideal). Além disso, β é não degenerada: de fato, o Teorema A.2.5 mostraque φ(S) ∼= S é solúvel, então S = {0} (a forma de Killing é simplesmente β no caso especialφ = ad).

Agora, sejam g uma álgebra de Lie semissimples e β qualquer forma bilinear associativasimétrica não degenerada em g. Se {x1, . . . , xn} é uma base de g, existe uma única basedual {y1, . . . , yn} relativa a β, satisfazendo β(xi, yj) = δij. Se φ : g → gl(V ) é qualquerrepresentação de g, tomemos cφ(β) =

∑i φ(xi)φ(yi) ∈ End k(V ) (xi, yi percorrendo a base

dual de β). cφ(β) é um endomor�smo de V que comuta com φ(g).No caso que φ : g → gl(V ) é uma representação �el, com forma traço (não degenerada)

β(x, y) = tr(φ(x)φ(y)), �xando uma base {x1, . . . , xn} de g, escrevemos simplesmente cφpara cφ(β) e o chamamos de elemento Casimir de φ.

A.2.6 Representações de sl(2, k)

Nesta Subseção vamos considerar que todos os módulos possuem dimensão �nita sobre k,em que k é um corpo algebricamente fechado. Seja g = sl(2, k), cuja a base canônica consistede:

x =

(0 10 0

), y =

(0 01 0

)e h =

(1 00 −1

)em que a tábua de multiplicação é completamente determinada pelas equações:

[x, y] = h , [h, x] = 2x e [h, y] = −2y

Seja V um g-módulo arbitrário. Como h é semissimples, implica que h age diagonalmenteem V . Como k é algebricamente fechado, todos os autovalores desejados estão em k. Podemosconsiderar uma decomposição de V como soma direta de autoespaços Vλ = {v ∈ V | h · v =λ·v}, λ ∈ k. Claramente, o subespaço Vλ é {0} quando λ não é autovalor para o endomor�smode V o qual representa h. Sempre que, Vλ 6= {0}, dizemos que λ é um peso de h em V edizemos que Vλ é um espaço de peso.

Lema A.2.4. Se v ∈ Vλ, então x · v ∈ Vλ+2 e y · v ∈ Vλ−2.


Como dim(V ) < ∞, e a soma V =⊕

λ∈k Vλ é direta, deve existir Vλ 6= {0} tal queVλ+2 = {0} (graças ao Lema A.2.4 , x · v = 0, para algum v ∈ Vλ). Em geral, qualquer vetornão nulo em Vλ aniquilado por x será chamado de vetor maximal de peso λ.

Vamos assumir agora que V é um g-módulo irredutível. Escolhemos um vetor maximalv0 ∈ Vλ. Sejam v−1 = 0 e vi = (1/i!)yi · v0 ( i ≥ 0).

106 APÊNDICE A

Lema A.2.5. 1. h · vi = (λ− 2i)vi,

2. y · vi = (i+ 1)vi+1,

3. x · vi = (λ− i+ 1)vi−1 (i ≥ 0).


Por causa do Lema A.2.5(1), os vetores vi não nulos são todos linearmente independentes.Como a dim(V ) <∞, seja m o menor inteiro para o qual vm 6= 0 e vm+1 = 0; evidentementevm+i = 0, para todo i > 0. Os itens (1)-(3) do Lema A.2.5 juntos, mostram que o subespaçode V com base {v0, v1, . . . , vm} é um g-submódulo, diferente de {0}. Como V é irredutível,o subespaço deve ser o espaço V . Além disso, em relação à base ordenada {v0, v1, . . . , vm},as matrizes dos endomor�smos representando x, y, h, são uma matriz triangular superiornilpotente, uma matriz triangular inferior nilpotente e uma matriz diagonal, respectivamente.

Um olhar mais atento ao Lema A.2.5, item 3, revela um fato: para i = m + 1, o ladoesquerdo é zero, enquanto que o lado direito é (λ−m)vm. Como vm 6= 0, concluímos que λ =m. Em outras palavras, o peso de um vetor maximal é um inteiro não negativo (dim(V )−1).Dizemos que ele é o peso máximo de V . Além disso, cada peso µ ocorre com multiplicidadeum (isto é, dim(Vµ) = 1, se Vµ 6= {0}). Em particular, como V determina λ unicamente(λ = dim(V )− 1), o vetor maximal v0 é o único possível em V (além dos múltiplos escalaresnão nulos). Para resumir:

Teorema A.2.8. Seja V um módulo irredutível sobre g = sl(2, k).

1. Em relação à h, V é a soma direta de espaços de peso Vµ, com µ = m,m−2, . . . ,−(m−2),−m, em que m+ 1 = dim(V ) e dim(Vµ) = 1, para cada µ.

2. V tem (a menos de múltiplos escalares) um único vetor maximal, cujo peso (chamadode peso máximo de V ) é m.

3. A ação de g em V é dada explicitamente pelo Lema A.2.5, se a base é escolhida naforma prescrita. Em particular, existe no máximo um g-módulo irredutível (a menosde isomor�smo) de cada dimensão possível m+ 1, m ≥ 0.

A.3 Teoria de estrutura

A.3.1 Decomposição de Cartan

Seja g uma álgebra de Lie semissimples não nula. Vamos estudar a estrutura de g, viasua representação adjunta.

Se g consiste inteiramente de elementos nilpotentes (isto é, ad-nilpotentes), então g deveser nilpotente (Teorema de Engel A.2.2). Se este não for o caso, podemos encontrar x ∈ gcuja parte semissimples xs na decomposição abstrata de Jordan é não nula. Isso mostra queg possui subálgebras não nulas (geradas pelos xs) consistindo de elementos semissimples.Chamamos cada uma dessas subálgebras de subálgebra toral.

Lema A.3.1. Uma subálgebra toral de g é abeliana.


TEORIA DE ESTRUTURA 107

Agora �xemos uma subálgebra toral maximal h de g, isto é, uma subálgebra toral que nãoestá propriamente contida em nenhuma outra. Por exemplo, se g = sl(n, k), então h podeser tomada como o conjunto das matrizes diagonais (de traço 0).

Como h é abeliana (pelo Lema A.3.1), adg(h) é uma família comutativa de endomor-�smos semissimples de g. De acordo com um resultado de Álgebra Linear, adg(h) é si-multaneamente diagonalizável. Em outras palavras, g é uma soma direta dos subespaçosgα = {x ∈ g | [h, x] = α(h)x, para todos h ∈ h}, em que α percorre h∗. Notemos queg0 é simplesmente Cg(h), o centralizador de h; ele contém h por conta do Lema A.3.1. Oconjunto de todos α ∈ h∗ não nulos para os quais gα 6= {0} é denotado por Φ; os elemen-tos de Φ são chamados de raízes de g em relação a h (e são uma quantidade �nita). Comesta notação temos um decomposição em espaços de raízes (ou decomposição de Cartan):

g = Cg(h)⊕(⊕

α∈Φ

gα

).

Proposição A.3.1. Para todos α, β ∈ h∗, [gα, gβ] ⊆ gα+β. Se x ∈ gα, com α 6= 0, entãoad(x) é nilpotente. Se α, β ∈ h∗, e α + β 6= 0, então gα é ortogonal à gβ, com relação aforma de Killing κ de g.


Corolário A.3.1. A restrição da forma de Killing para g0 = Cg(h) é não degenerada.


Proposição A.3.2. Seja h uma subálgebra toral maximal de g. Então h = Cg(h).


Corolário A.3.2. A restrição da forma de Killing κ para h é não degenerada.


O corolário identi�ca h com h∗: cada φ ∈ h∗ corresponde ao (único) elemento tφ ∈ h,satisfazendo φ(h) = κ(tφ, h) para todo h ∈ h. Em particular, Φ corresponde ao subconjunto{tα | α ∈ Φ} de h.

Pela Proposição A.3.1 se α, β ∈ h∗ e α + β 6= 0 temos que κ(gα, gβ) = 0; em particular,κ(h, gα) = 0, para todo α ∈ Φ (Proposição A.3.2), então a restrição de κ para h é nãodegenerada.

Proposição A.3.3.

1. Φ gera h∗.

2. Se α ∈ Φ, então −α ∈ Φ.

3. Sejam α ∈ Φ, x ∈ gα, y ∈ g−α. Então [x, y] = κ(x, y)tα.

4. Se α ∈ Φ, então [gα, g−α] é unidimensional, com base tα.

5. α(tα) = κ(tα, tα) 6= 0, para todos α ∈ Φ.

6. Se α ∈ Φ e xα é algum elemento não nulo de gα, então existe yα ∈ g−α tais quexα, yα, hα = [xα, yα], geram uma subálgebra de g simples tridimensional isomorfa àsl(2, k) via:

xα 7→(

0 10 0

), yα 7→

(0 01 0

), hα 7→

(1 00 −1

)

108 APÊNDICE A

7. hα =2tα

κ(tα, tα); hα = −h−α.


A.3.2 Sistema de raízes

Vamos �xar um espaço euclideano E, isto é, um espaço vetorial sobre R de dimen-são �nita munido com uma forma bilinear simétrica positiva de�nida (α, β). Geometrica-mente, uma re�exão em E é uma transformação linear inversível que deixa �xo algumhiperplano (subespaço de codimensão um) e envia qualquer vetor ortogonal ao hiperplanoem seu negativo. Qualquer vetor α determina uma re�exão σα , com hiperplano re�etidoPα = {β ∈ E | (β, α) = 0}. Temos que:

σα(β) = β − 2(β, α)

(α, α)α

Como o número 2(β, α)/(α, α) ocorre frequentemente, abreviaremos ele por 〈β, α〉. Notemosque 〈β, α〉 é linear somente na primeira variável.

Um subconjunto Φ do espaço euclideano E é chamado um sistema de raízes em E se osseguintes axiomas são satisfeitos:

(R1) Φ é �nito, gera E, e não contém o 0 (o vetor nulo).

(R2) Se α ∈ Φ, os únicos múltiplos de α em Φ são ±α.

(R3) Se α ∈ Φ, a re�exão σα deixa Φ invariante.

(R4) Se α, β ∈ Φ, então 〈β, α〉 ∈ Z.

Chamaremos l = dim(E) de posto do sistema de raízes Φ.Φ é chamado irredutível se não pode ser particionado em uma união de dois subconjuntos

próprios tais que cada raiz em um conjunto é ortogonal a cada raiz do outro.Seja Φ um sistema de raízes em E. Denotemos porW o subgrupo de GL(E) gerado pelas

re�exões σα, com α ∈ Φ. Por (R3), W permuta o conjunto Φ, que por (R1) é �nito e geraE. Podemos identi�car W com um subgrupo do grupo simétrico de Φ; em particular, W é�nito. W é chamado de grupo de Weyl de Φ.

Existe a noção de isomor�smo entre sistemas de raízes Φ,Φ′ dos respectivos espaçoseuclideanos E,E ′: dizemos que (Φ, E) e (Φ′, E ′) são isomorfos se existe um isomor�smo deespaços vetoriais (não necessariamente uma isometria) φ : E → E ′ enviando Φ em Φ′ talque 〈φ(β), φ(α)〉 = 〈β, α〉, para cada par α, β ∈ Φ.

Seja Φ um sistema de raízes com posto l em um espaço euclideano E, com grupo de WeylW. Um subconjunto ∆ de Φ é chamado de base se:

(B1) ∆ é uma base de E,

(B2) Toda raiz β pode ser escrita como β =∑kαα (α ∈ ∆) com coe�cientes inteiros kα,

todos não negativos ou não positivos para cada β.

Em vista de (B1) a cardinalidade de ∆ é l, e a expressão para β em (B2) é única.De�nimos a altura de uma raiz β =

∑kαα (em relação à ∆) por ht(β) =

∑α∈∆ kα. Se todos

os kα ≥ 0 (resp. todos kα ≤ 0), dizemos que β é positiva (resp. negativa).

ÁLGEBRAS ENVOLVENTES UNIVERSAIS 109

As coleções das raízes positivas e negativas (em relação à ∆) são usualmente denotadaspor ∆+ e ∆−. As raízes em ∆ são chamadas raízes simples ; �xemos uma ordem nestas raízes,digamos ∆ = {α1, . . . , αl}, em que l é a dimensão de h. Os elementos λi ∈ h∗ de�nidos como〈λi, αj〉 = δij são chamados de pesos fundamentais com relação a ∆. A matriz (〈αi, αj〉)i,j, amenos de permutações dos índices, é um invariante de g e é chamada de Matriz de Cartande g. As informações da Matriz de Cartan podem ser apresentadas no diagrama de Dynkin.

A.3.3 Subálgebra de Cartan

De�nição A.3.1. Seja g uma álgebra de Lie. Uma subálgebra de Cartan de g é umasubálgebra h ⊆ g que satisfaz

1. h é nilpotente;

2. O normalizador de h em g coincide com h , isto é, Ng(h) = h.

Uma subálgebra de Cartan também é chamada de CSA. Esta de�nição não implicana existência das CSA's (na verdade, sobre corpos �nitos a questão da existência não estátotalmente resolvida). Para álgebras de Lie g semissimples, sobre um corpo k de característica0, as CSA's de g são precisamente as subálgebras torais maximais de g. Para mais detalhesindicamos o Capítulo IV de [Hum13].

Na sua tese em 1894, Élie Cartan classi�cou todas as álgebras de Lie simples de dimen-são �nita sobre C. Estas álgebras de Lie são isomorfas as álgebras de Lie clássicas ou sãoisomorfas as chamadas álgebras de Lie excepcionais. Para um corpo k algebricamente fe-chado com característica 0, de acordo com os teoremas de classi�cação, existe uma (a menosde isomor�smo) e somente uma álgebra de Lie simples com sistema de raízes Al (l ≥ 1),Bl (l ≥ 2), Cl (l ≥ 3), Dl (l ≥ 4), E6, E7, E8, F4, G2. Chamamos E6, E7, E8, F4 e G2

de álgebras de Lie excepcionais, e um pré-requisito para estudá-las é a teoria das álgebrasde Jordan. Para mais detalhes sobre a classi�cação das álgebras de Lie simples e sobre asálgebras de Lie excepcionais, indicamos [Hum13] (Capítulo V , Seção 19, pág. 102) e [Sam90](Capítulo 2, Seções 13 e 14).

Esta classi�cação foi generalizada posteriormente para álgebras de Lie de dimensão �nitasobre um corpo arbitrário de característica 0, principalmente por Claude Chevalley (1909-1984) e Harish-Chandra (1923-1983).

Em sua classi�cação, Élie Cartan introduziu o conceito de matrizes de Cartan, espaçosde raízes e decomposição em espaços de raízes de uma álgebra de Lie.

A.4 Álgebras Envolventes Universais

Observamos que algumas de�nições e conceitos da teoria de categorias usados nessaSeção podem ser conferidos com mais detalhes no Apêndice B. Nessa Seção k é um corpoarbitrário.

Vamos associar a cada álgebra de Lie g sobre k uma álgebra associativa com 1 (comdimensão in�nita, em geral), que é gerada "livremente" por g sujeita às relações de comutaçãoem g. Esta é a álgebra envolvente universal que é uma ferramenta básica na teoria derepresentações.

Sejam Assk a categoria de todas as álgebras associativas sobre um corpo k e Liek acategoria de todas as álgebras de Lie sobre k. Já de�nimos anteriormente A(−), como a

110 APÊNDICE A

álgebra de Lie obtida da álgebra associativa A. Como conjuntos, estas duas álgebras sãoiguais. Temos então a seguinte aplicação:

gl : Assk −→ LiekA 7−→ gl(A) = A(−)

Proposição A.4.1. A aplicação gl é um funtor.

Demonstração. Já sabemos que gl leva um Ob(Assk) em um Ob(Liek). Agora vamos mostrarque gl leva um homomor�smo de Assk em um homomor�smo de Liek. De fato, sejam A,B ∈Assk e f : A→ B um homomor�smo de álgebras associativas. Então f satisfaz as seguintespropriedades:

1. f(1A) = 1B;

2. f(λa) = λf(a), ∀λ ∈ k e ∀a ∈ A;

3. f(a+ b) = f(a) + f(b), ∀a, b ∈ A;

4. f(ab) = f(a)f(b), ∀a, b ∈ A.

As propriedades 1., 2. e 3. dizem que f é k -linear. Agora, utilizando 4., temos que:

f([a, b]) = f(ab− ba) = f(ab)− f(ba) = f(a)f(b)− f(b)f(a) = [f(a), f(b)],∀ a, b ∈ A

Isso mostra que o homomor�smo f de álgebras associativas pode ser estendido à um homo-mor�smo de álgebras de Lie. Note que a aplicação é a mesma. Sendo assim, denotaremos porf um homomor�smo de álgebras associativas e por f (−) (ou gl(f)), o mesmo homomor�smo,visto como homomor�smo de álgebras de Lie. Temos então:

f (−) : A(−) → B(−)

Pelo diagrama abaixo podemos veri�car que g(−) ◦ f (−) = (g ◦ f)(−), em que A,B,C ∈ Assk,e f : A→ B e g : B→ C são homomor�smos de álgebras associativas.

Af //

g◦f

((

induz

��

Bg //

induz

��

C

induz

��A−

f− //

(g◦f)−

66B−g− // C−

Portanto a aplicação gl preserva a composição. Obviamente idA : A → A, induz (idA)(−) :A(−) → A(−). Portanto gl é um funtor.

Agora vamos construir, partindo de uma álgebra de Lie g, uma álgebra associativa unitalU(g).

Fixemos um espaço vetorial V sobre k de dimensão �nita. Sejam T 0V = k, T 1V =

V , T 2V = V ⊗ V , . . ., TmV = V ⊗ . . . ⊗ V (m cópias). De�nimos T(V ) =∞⊕j=0

T jV , e

introduzimos um produto associativo, de�nido nos geradores homogêneos de T(V ) pela regra

ÁLGEBRAS ENVOLVENTES UNIVERSAIS 111

(v1⊗ . . .⊗vk) ·(w1⊗ . . .⊗wm) = v1⊗ . . .⊗vk⊗w1⊗ . . .⊗wm ∈ T k+mV . Isto faz com que T(V )seja uma álgebra graduada associativa com 1, que é gerada por 1 junto com qualquer basede V . Nós a chamamos de álgebra tensorial em V . T(V ) é a álgebra associativa universal emn geradores (n = dim(V )), no seguinte sentido: dado qualquer k -aplicação linear φ : V → A(A uma álgebra associativa sobre k com 1), existe um único homomor�smo de k -álgebrasψ : T(V )→ A tal que ψ(1) = 1 e o seguinte diagrama comuta (i é a inclusão):

V i //

φ%%

T(V )

ψ��A

Agora seja I um ideal bilateral em T(V ) gerado por todos (x ⊗ y) − (y ⊗ x) (x, y ∈V ) e chamamos S(V ) = T(V )/I de álgebra simétrica em V ; σ : T(V ) → S(V ) denotaráa aplicação canônica. Notemos que os geradores de I encontram-se em T 2V . Então temosque I = (I ∩ T 2V )

⊕(I ∩ T 3V )

⊕. . .. Portanto, σ é injetivo em T 0V = k, T 1V = V (o

que nos permite identi�car V com um subespaço de S(V )), e S(V ) herda uma graduação

de T(V ): S(V ) =∞⊕j=0

SjV . O efeito de fatorar I é simplesmente fazer os elementos de V

comutarem. Então S(V ) é universal (no sentido acima) para aplicações lineares de V emk -álgebras associativas comutativas com 1. Além disso, se {x1, . . . , xn} é alguma base �xade V , então S(V ) é canonicamente isomorfa à álgebra de polinômios sobre k em n variáveis,com base consistindo de 1 e todos xi(1) · · ·xi(t), t ≥ 1, 1 ≤ i(1) ≤ . . . ≤ i(t) ≤ n.

O grupo simétrico Sm age em Tm(V ) permutando os índices dos tensores v1 ⊗ . . . ⊗ vm(vi ∈ V ). Um elemento de TmV �xado por Sm é chamado de tensor simétrico homogêneo deordem m.

Para uma álgebra de Lie g arbitrária (que pode ter dimensão in�nita), uma álgebraenvolvente universal de g é um par (U, i), em que U é uma álgebra associativa sobre k com1 e i : g→ U é uma aplicação linear satisfazendo:

i([x, y]) = i(x)i(y)− i(y)i(x)

para todos x, y ∈ g, e vale o seguinte: para qualquer k -álgebra associativa A com 1 e qualqueraplicação linear j : g → A satisfazendo j([x, y]) = j(x)j(y) − j(y)j(x), existe um únicohomomor�smo de álgebras φ : U→ A (enviando 1 em 1) tal que φ ◦ i = j.

A unicidade de um tal par (U, i) é de fácil veri�cação: dado um outro par (B, i′) sa-tisfazendo as mesmas hipóteses, temos os homomor�smos φ : U → B e ψ : B → U. Porde�nição, existe uma única aplicação U→ U que faz o seguinte diagrama comutar:

U

��

g

i88

i &&U

Mas idU e ψ ◦ φ satisfazem o diagrama, então ψ ◦ φ = idU. Similarmente, φ ◦ ψ = idB.A existência do par (U, i) pode ser vista em [Hum13], Capítulo V , Seção 17.2, pág. 91.

Seja T(g) a álgebra tensorial em g, e seja J o ideal bilateral em T(g) gerado por todos(x ⊗ y) − (y ⊗ x) − [x, y] (x, y ∈ g). De�nimos U(g) = T(g)/J , e seja π : T(g) → U(g) ohomomor�smo canônico. Notemos que J ⊆

⊕j>0

T jg, então π aplica T 0g = k isomor�camente

112 APÊNDICE A

em U(g) (Portanto, U(g) contém os escalares). A�rmamos que (U(g), i) é uma álgebraenvolvente universal de g, em que i : g→ U(g) é a restrição de π à g.

Até agora conhecemos pouco sobre a estrutura de U(g), exceto que ela contém os esca-lares.

Por simplicidade seja T = T(g), S = S(g) e U = U(g); Similarmente, escreveremosTm, Sm.

De�nimos uma �ltração em T por Tm = T 0⊕

T 1⊕

. . .⊕

Tm, e seja Um = π(Tm), U−1 ={0}. Claramente, UmUp ⊆ Um+p e Um ⊆ Um+1. Seja Gm = Um/Um−1 (isto é simplesmenteum espaço vetorial), e pela multiplicação em U de�nimos uma aplicação bilinear Gm×Gp →Gm+p (a aplicação está bem de�nida). Esta se estende a uma aplicação bilinear G×G→ G,

tal que G =∞⊕m=0

Gm, transformando G em uma álgebra associativa graduada com 1.

Como π aplica Tm em Um, podemos compor as aplicações lineares φm : Tm → Um →Gm = Um/Um−1. Ela é sobrejetiva, porque π(Tm−Tm−1) = Um−Um−1. As aplicações φm secombinam e produzem uma aplicação linear φ : T→ G, que é sobrejetiva e aplica 1 em 1.

Lema A.4.1. φ : T → G é um homomor�smo de álgebras. Além disso, φ(I) = {0}. Entãoφ induz um homomor�smo ω de S = T/I para G.

Demonstração. [Hum13], Capítulo V , Seção 17.3, pág. 91.

O seguinte Teorema é um resultado básico sobre U(g); ele (ou seu Corolário A.4.3 ) échamado de Teorema de Poincaré-Birkho�-Witt (ou Teorema PBW ).

Teorema A.4.1. O homomor�smo ω : S→ G é um isomor�smo de álgebras.


Corolário A.4.1. Seja W um subespaço de Tm. Suponha a aplicação canônica Tm → Sm

que envia W isomor�camente em Sm. Então π(W ) é um complemento para Um−1 em Um.


Corolário A.4.2. A aplicação canônica i : g→ U(g) é injetiva (então g pode ser identi�cadacom i(g)).


Corolário A.4.3. Seja {x1, x2, x3, . . .} qualquer base ordenada de g. Então os elementosxi(1) · · · xi(m) = π(xi(1) ⊗ · · · ⊗ xi(m)), m ∈ Z+, i(1) ≤ i(2) ≤ . . . ≤ i(m), juntamente com 1,formam uma base para U(g).


Corolário A.4.4. Seja h uma subálgebra de g, e estenda uma base ordenada {h1, h2, . . .}de h para uma base ordenada {h1, . . . , x1, . . .} de g. Então o homomor�smo U(h) → U(g)induzido pela injeção h→ g→ U(g) é também injetivo, e U(g) é um U(h)-módulo livre combase consistindo de todos xi(1) · · ·xi(m), i(1) ≤ i(2) ≤ . . . ≤ i(m), juntamente com 1.


Observação A.4.1. A �nitude da dimensão da álgebra de Lie g não implica na �nitude dadimensão da sua álgebra envolvente universal. Por exemplo, a álgebra de Lie gl(n) é geradapelas matrizes elementares eij, com 1 ≤ i, j ≤ n, e portanto possui dimensão n2. Por outrolado, U(gl(n)) é, segundo o Teorema PBW, gerada por monômios do tipo eα11

11 · eα1212 . . . eαnnnn ,

e como há in�nitos monômios desse tipo, concluímos que a dimensão da álgebra envolventenão é �nita.

REFERÊNCIAS 113

A.5 Referências

A Seção A.1 foi baseada em [Rot03][Capítulos 3, 6 e 7] e [Lam01]. As Seções A.2, A.3 eA.4 foram baseadas em [Hum13].

114 APÊNDICE A

Apêndice B

Teoria de Categorias

A teoria de categorias foi fundada por Saunders Mac Lane e Samuel Eilenberg por voltade 1940. É uma teoria razoavelmente abstrata que aparentemente não tem nenhum con-teúdo, razão pela qual foi batizada de "absurdo abstrato". No entanto, é uma linguagemmuito �exível e poderosa, que tem se tornado totalmente indispensável em muitas áreasda matemática, tal como geometria algébrica, topologia, teoria de representações, e muitasoutras.

Observamos que muitas propriedades matemáticas podem ser uni�cadas e simpli�cadaspor uma apresentação com diagramas de �echas. Além disso, muitas propriedades matemáti-cas podem ser representadas por propriedades universais de diagramas. Intuitivamente, umacategoria pode ser pensada como um aglomerado de "pontos e �echas", em que as "�echas"satisfazem certas propriedades. Os "pontos" são os objetos da categoria e as "�echas" sãoos mor�smos.

Neste Apêndice estão as de�nições básicas da teoria geral de categorias e de alguns re-sultados já clássicos. Os resultados apresentados aqui não serão provados. Para um conheci-mento mais profundo e maiores detalhes, o leitor deve utilizar o livro clássico "Categories forthe Working Mathematician" [Lan98]. Também utilizaremos ao longo do Apêndice os seguin-tes livros: "Introduction to Representation Theory" [Eti11], "A �rst course of homologicalalgebra" [Nor73], "Advanced modern algebra" [Rot03] e "An Introduction to HomologicalAlgebra" [Rot09].

B.1 Categorias e Funtores

De�nição B.1.1. Uma categoria C é o seguinte conceito:

1. Uma classe de objetos Ob(C);

2. Para todos objetos X, Y ∈ Ob(C), existe uma classe HomC(X, Y ) = Hom(X, Y ) demor�smos (ou �echas) de X para Y (para f ∈ Hom(X, Y ), podemos escrever f : X →Y ). Também podemos denotar essa classe por C(X, Y );

3. Para todos objetos X, Y, Z ∈ Ob(C), existe uma aplicação composição

◦ : Hom(Y, Z)× Hom(X, Y )→ Hom(X,Z)

tal que (f, g) 7→ f ◦ g, que satisfaz os seguintes axiomas:

(a) A composição é associativa, isto é, (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h), para quaisquer f, g, hpara quais a composição faça sentido;

115

116 APÊNDICE B

(b) Para cada X ∈ Ob(C), existe um mor�smo 1X ou idX ∈ Hom(X,X), chamadode mor�smo unitário ou mor�smo identidade, tal que 1X ◦ f = f e g ◦ 1X = g,para quaisquer f, g para quais a composição faça sentido;

(c) Se os pares (X, Y ) e (X ′, Y ′) são distintos, então a intersecção dos conjuntosHom(X, Y ) e Hom(X ′, Y ′) é vazia.

Observação B.1.1. Nós escreveremos X ∈ C, ao invés de X ∈ Ob(C).

Exemplo B.1.1. Seguem alguns exemplos de categorias:

1. A categoria Sets. Os objetos da categoria Sets são conjuntos. Se X, Y são dois con-juntos, podemos de�nir HomSets(X, Y ), a classe de todas as aplicações arbitrárias de-�nidas de X para Y . A composição dos mor�smos é a composição usual de aplicações.

2. A categoriaGroups. Os objetos da categoriaGroups são grupos. O mor�smo de�nidoentre dois objetos é um homomor�smo de grupos. A composição dos mor�smos é acomposição entre dois homomor�smos de grupos.

3. A categoria AbGroups, cujos objetos são os grupos abelianos e os mor�smos sãohomomor�smos de grupos.

4. A categoria Rings. Os objetos da categoria Rings são anéis. O mor�smo de�nidoentre dois objetos é um homomor�smo de anéis. A composição dos mor�smos é acomposição entre dois homomor�smos de anéis.

5. A categoria Vectk, que tem como objetos os espaços vetoriais sobre um corpo k. Omor�smo entre dois objetos é uma aplicação linear e a composição entre dois mor�smosé a composição entre duas aplicações lineares.

6. A categoria R-mod dos módulos à esquerda sobre um anel R. Os mor�smos sãohomomor�smos de módulos sobre R. A composição entre mor�smos é a composiçãoentre homomor�smos de R-módulos. De maneira análoga mod-R é a categoria dosmódulos à direita sobre um anel R.

7. A categoria Top, em que os objetos são espaços topológicos. Se X, Y são dois espaçostopológicos, podemos de�nir HomTop(X, Y ), a classe de todas as aplicações contínuasde�nidas deX para Y . A composição dos mor�smos é a composição usual de aplicaçõescontínuas.

8. A categoria hTop de homotopia de todos os espaços topológicos. Os mor�smos são asclasses de homotopia das aplicações contínuas e os objetos são os espaços topológicos.

Infelizmente, não podemos simpli�car esta de�nição substituindo a palavra "classe", poruma mais familiar, "conjunto". Na verdade, isto excluiria o importante Exemplo B.1.1(1),pois como é bem conhecido, não existe conjunto de todos os conjuntos, e trabalhar comum tal conjunto leva à contradições. A de�nição precisa de uma classe e a distinção exataentre uma classe e um conjunto é assunto da teoria dos conjuntos, e não será discutido aqui.Felizmente, para �ns mais práticos, esta distinção não é essencial.

De�nição B.1.2. Se Ob(C) de uma categoria C é um conjunto e HomC(X, Y ) são conjuntospara todos X, Y ∈ C, dizemos que a categoria é pequena. Se somente a segunda condição ésatisfeita dizemos que a categoria é localmente pequena.

CATEGORIAS E FUNTORES 117

Nós podemos mencionar que muitos exemplos, incluindo os Exemplos B.1.1(1) à B.1.1(8),são categorias localmente pequenas.

De�nição B.1.3. Seja C uma categoria. Uma subcategoria C ′ de C, é uma categoria quesatisfaz as seguintes condições:

1. Ob(C ′) ⊆ Ob(C);

2. HomC′(X, Y ) ⊆ HomC(X, Y ), para todos X, Y ∈ C ′;

3. A composição em C ′ é induzida pela composição em C;

4. Os mor�smos identidade em C ′ são mor�smos identidade em C.

Exemplo B.1.2. 1. Top é uma subcategoria de Sets.

2. Groups é uma subcategoria de Sets.

3. AbGroups é uma subcategoria de Groups.

De�nição B.1.4 (Subcategoria Plena). Seja D uma subcategoria de C. Dizemos que D éuma subcategoria plena de C se, para todos X, Y ∈ D

HomD(X, Y ) = HomC(X, Y )

No Exemplo B.1.2(3) temos uma subcategoria plena, pois um mor�smo entre dois gru-pos abelianos não depende se você considera eles como grupos abelianos ou simplesmentegrupos. Já os Exemplos B.1.2(1) e B.1.2(2), não são subcategorias plenas, pois os mor�smosda categoria Sets são aplicações arbitrárias que não serão necessariamente contínuas ouhomomor�smos de grupos.

De�nição B.1.5 (Categoria Produto). Se (Ci)i∈I é uma família de categorias, de�nimos acategoria produto

∏i∈ICi como segue:

1. Os objetos de∏i∈ICi são todos da forma (Xi)i∈I , tal que para cada i ∈ I, Xi é objeto de

Ci;

2. Hom∏i∈ICi ((Xi)i∈I , (Yi)i∈I) =

∏i∈I

HomCi (Xi, Yi);

3. Se (ui)i∈I ∈ Hom∏i∈ICi ((Xi)i∈I , (Yi)i∈I) e (vi)i∈I ∈ Hom∏

i∈ICi ((Yi)i∈I , (Zi)i∈I) então

(vi)i∈I ◦ (ui)i∈I = (vi ◦ ui)i∈I ∈ Hom∏i∈ICi ((Xi)i∈I , (Zi)i∈I).

Dada uma categoria, podemos obter novas categorias de várias maneiras. Uma maneiraé inverter todas as "�echas". Uma de�nição mais precisa é:

De�nição B.1.6 (Categoria Oposta). Dada uma categoria C, de�nimos seu oposto, deno-tando por Cop, como a categoria com os mesmos objetos de C, mas com HomCop(X, Y ) =HomC(Y,X). A composição nesta categoria é de�nida como segue: seja f ∗ ∈ HomCop(X, Y )(com f ∈ HomC(Y,X)), então a composição com g∗ ∈ HomCop(Y, Z) (com g ∈ HomC(Z, Y ))é dada por

g∗ ◦ f ∗ = (f ◦ g)∗

118 APÊNDICE B

Observação B.1.2. Fazendo duas vezes a inversão, temos a categoria original, de modoque o oposto de uma categoria oposta é a própria categoria original, isto é, (Cop)op = C.

De�nição B.1.7 (Pullback / Produto Fibrado). Sejam C um categoria e f1 : X1 → X ef2 : X2 → X dois mor�smos, com X,X1, X2 ∈ C. O pullback ou produto �brado do par(f1, f2) é uma tripla (W,h1, h2), em que W ∈ C e h1 : W → X1, h2 : W → X2 são mor�smosem C tais que:

1. f1 ◦ h1 = f2 ◦ h2;

2. Para todo objeto Z de C e todo par de mor�smos g1 : Z → X1 e g2 : Z → X2 tal quef1 ◦ g1 = f2 ◦ g2, existe um único mor�smo g : Z → W tal que h1 ◦ g = g1 e h2 ◦ g = g2.

Zg2

!!

g

g1

��

Wh2 //

h1

��

X2

f2

��X1 f1

// X

Segue da propriedade 2. da De�nição B.1.7 que, quando existe um pullback (W,h1, h2)do par (f1, f2), este é único a menos de isomor�smos. Por simplicidade, quando não houverambiguidade, diremos apenas que o objeto W é o produto �brado de f1 e f2.

Proposição B.1.1. O pullback de dois mor�smos f : M → N e g : M ′ → N em R-modexiste.

Demonstração. [Rot03], Capítulo 7, Proposição 7.36, pág. 456.

De�nição B.1.8 (Pushout). Sejam C um categoria e f : Z → X e g : Z → Y doismor�smos, com X, Y, Z ∈ C. O pushout do par (f, g) é uma tripla (P, i1, i2), em que P ∈C e i1 : X → P , i2 : Y → P são mor�smos em C tais que:

1. i1 ◦ f = i2 ◦ g;

2. Para todo objeto Q de C e todo par de mor�smos j1 : X → Q e j2 : Y → Q tal quej1 ◦ f = j2 ◦ g, existe um único mor�smo u : P → Q tal que u ◦ i1 = j1 e u ◦ i2 = j2.

Q

P

u

__

Yi2oo

j2

mm

X

i1

OOj1

QQ

Z

g

OO

foo

Segue da propriedade 2. da De�nição B.1.8 que, quando existe um pushout (P, i1, i2) dopar (f, g), este é único a menos de isomor�smos. O pushout é o dual do pullback, e por contadisso também é conhecido como coproduto des�brado.


Proposição B.1.2. O pushout de dois mor�smos f : M → N e g : M → N ′ em R-modexiste.


Agora uma de�nição sobre os tipos de mor�smos nas categorias:

De�nição B.1.9 (Monomor�smo/Epimor�smo/Isomor�smo). Seja C uma categoria e X, Y, Z∈ C. Um mor�smo f ∈ HomC(Y, Z) é um monomor�smo se para todos g, h ∈ HomC(X, Y )com f ◦g = f ◦h, temos que g = h. Um mor�smo f ∈ HomC(X, Y ) é um epimor�smo se paratodos g, h ∈ HomC(Y, Z) com g ◦f = h◦f , temos que g = h. Um mor�smo f ∈ HomC(X, Y )é um isomor�smo se existe um g ∈ HomC(Y,X) tal que f ◦ g = idY e g ◦ f = idX .

De�nição B.1.10 (Objeto Inicial/Terminal). Seja C uma categoria. Um objeto I em C échamado inicial se HomC(I,X) tem um único elemento para todo X em C. Analogamente,um objeto terminal T em C é tal que HomC(X,T ) consiste de um único elemento para todoX em C. Um objeto que é tanto inicial quanto terminal é chamado de zero ou objeto nulo.

Nem toda categoria tem objeto inicial ou terminal (ou ambos).

Exemplo B.1.3. 1. A categoria Groups tem como objeto inicial e terminal o grupounitário {e}, em que e é o elemento neutro.

2. A categoria R-mod tem como objeto inicial e terminal o R-módulo nulo {0}.

3. A categoria Field dos corpos, não tem nem objeto inicial nem objeto terminal.

Quando dois objetos algébricos ou geométricos são isomorfos, normalmente não é umaboa ideia dizer que eles são iguais ou literalmente a mesma coisa. A razão é que tais objetossão normalmente iguais de muitas maneiras diferentes, isto é, há muitas maneiras de tomarum isomor�smo entre eles.

Dois objetos X e Y de C são ditos isomorfos se existe um isomor�smo f : X → Y .Quaisquer dois objetos iniciais (respectivamente, �nais ou nulos) de C são isomorfos. Doisobjetos isomorfos tem essencialmente as mesmas propriedades. Obviamente, a relação "iso-mor�smo" é de fato uma relação de equivalência em Ob(C). A classe dos objetos que sãoisomorfos à X é denotada por [X] e será chamada de tipo de X. Uma nova categoria podeser construída pelos tipos de objetos de uma categoria C, e esta categoria será chamada decategoria tipo de C ou esqueleto de C. Claramente, a categoria tipo de C tem as mesmaspropriedades de C.

De�nição B.1.11 (Funtor Covariante/Contravariante). Sejam C e D categorias. Um funtorcovariante F : C → D é um par de aplicações:

1. Uma aplicação F : Ob(C) −→ Ob(D), tal que X 7→ F (X), para cada X ∈ C.

2. Uma aplicação FX,Y : HomC(X, Y ) −→ HomD(F (X), F (Y )), para cada X, Y ∈ C.

tal que F (idX) = idF (X), para cada X ∈ C e F (f ◦ g) = F (f) ◦ F (g) (escrevemos simpli-�cadamente F (f) ao invés de FX,Y (f)). Se FX,Y : HomC(X, Y ) → HomD(F (Y ), F (X)) eF (f ◦ g) = F (g) ◦ F (f), F é chamado de funtor contravariante.

120 APÊNDICE B

Claramente, um funtor covariante de C para Dop e um funtor covariante de Cop para Dsão naturalmente associados cada um com um funtor contravariante de C para D e recipro-camente. Então, o estudo geral dos funtores contravariantes pode ser reduzido ao estudo dosfuntores covariantes.

Notamos que funtores podem ser compostos de maneira óbvia. Temos também que qual-quer categoria tem o funtor identidade 1C : C → C, que leva um objeto X em X e ummor�smo f ∈ HomC(X, Y ) em f ∈ HomC(X, Y ).

Exemplo B.1.4. Seguem alguns exemplos de funtores :

1. Funtor Esquecimento: é um funtor que "perde" ou "esquece" na sua imagem, parteda estrutura de uma categoria. Seja F1 : Top → Sets, tal que para cada espaçotopológico X, F1(X) é o conjunto subjacente e para cada aplicação contínua f , F1(f)é a aplicação correspondente. F1 é um funtor esquecimento. Também temos comoexemplos F2 : Groups→ Sets, F3 : Rings→ AbGroups.

2. V 7→ V ∗, em que V ∗ é o espaço dos funcionais lineares de V em k (corpo), é um funtordeVectk → Vectopk .

3. Os funtores Hom: se C é uma categoria localmente pequena, então temos o funtorHom(X, ·) : C → Sets, dado por Y 7→Hom(X, Y ). Temos também o funtor Hom(·, X) :C → Sets, dado por Y 7→ Hom(Y,X).

4. Seja Q um quiver. Considere a categoria C(Q), cujos objetos são os vértices e osmor�smos são os caminhos orientados entre eles. Então funtores de C(Q) em Vectk,são representações de Q sobre k.

5. Os funtores de soma direta e produto tensorial, são funtores de Vectk × Vectk →Vectk. As operações V 7→ V ⊗n, V 7→ SnV e V 7→ ∧nV , também são funtores emVectk.

De�nição B.1.12 (Transformação Natural). Sejam C,D categorias e F ,G dois funtores deC para D. Uma transformação natural de F em G (ou mor�smo funtorial) é uma funçãoη : F → G, tal que para todo X ∈ C existe um mor�smo ηX : F (X)→ G(X),ou seja,

C 3 X 7−→ ηX ∈ HomD(F (X), G(X))

tal que para todos X,X ′ ∈ C e para todo f ∈ HomC(X,X ′) o diagrama

F (X)

ηX

��

F (f) // F (X ′)

ηX′

��G(X)

G(f) // G(X ′)

comuta.

Uma das características importantes de funtores entre categorias que os distingue dasaplicações ou funções habituais é que a classe de todos os funtores entre duas categoriasdadas formam uma categoria, pois podemos de�nir de modo não trivial um mor�smo entredois funtores dessa classe, isto é, entre dois funtores dados de uma categoria C em umacategoria D existe uma transformação natural.


Observação B.1.3. Se T : C → D é um funtor covariante, X, Y ∈ C e f ∈ HomC(X, Y )é um isomor�smo, então T (f) ∈ HomD(T (X), T (Y )) é um isomor�smo. O mesmo acontecese T for contravariante. Portanto os funtores preservam os isomor�smos.

De�nição B.1.13 (Funtor totalmente �el). Um funtor F : C → D é dito pleno se para todosX, Y ∈ C e para todo g ∈ HomD(F (X), F (Y )), existe f ∈ HomC(X, Y ) tal que g = F (f).Um funtor F : C → D é dito �el se para todos X, Y ∈ C e para todos f, g ∈ HomC(X, Y )a igualdade F (f) = F (g) implica f = g. Um funtor F : C → D é dito totalmente �el se épleno e �el, ou seja, se para todos X, Y ∈ C, a aplicação

FX,Y : HomC(X, Y )→ HomD(F (X), F (Y ))

é uma bijeção.

Em outras palavras: para X, Y ∈ C temos uma aplicação

FX,Y : HomC(X, Y )→ HomD(F (X), F (Y ))

tal que f 7→ F (f). Então F é pleno se para todos X, Y ∈ C, a aplicação FX,Y é sobrejetorae é �el se para todos X, Y ∈ C, a aplicação FX,Y é injetora. Observamos que a composiçãode funtores plenos é um funtor pleno e a composição de funtores �éis é um funtor �el.

Existe a noção de isomor�smo de categorias: dizemos que um funtor F : C → D é umisomor�smo de categorias se existe outro funtor G : D → C tal que G◦F é o funtor identidadeem C e F ◦G é o funtor identidade em D.

De�nição B.1.14 (Equivalência de Categorias). Um funtor F : C → D é uma equivalênciade categorias (e as categorias C e D são equivalentes) se existe G : D → C tal que F ◦ G éisomorfo à 1D e G ◦ F é isomorfo à 1C.

De�nição B.1.15 (Funtor Representável). Seja C uma categoria localmente pequena e F :C → Sets um funtor. Dizemos que F é um funtor representável se existe um objeto X ∈ Ctal que F é isomorfo ao funtor Hom(X, ·). Mais precisamente, se nos é dado um objeto X∈ C, junto com um isomor�smo ξ : F ∼= Hom(X, ·), dizemos que o funtor F é representadopor X (usando ξ).

Lema B.1.1 (Lema de Yoneda). Se um funtor F é representado por um objeto X, entãoX é único a menos de isomor�smo, isto é, se X, Y são dois objetos em C, então paraqualquer isomor�smo de funtores φ : Hom(X, ·) → Hom(Y, ·) existe um único isomor�smoaφ : X → Y induzido por φ.

Demonstração. [Eti11], Capítulo 7, Lema 7.5.1, pág. 184.

Outra noção fundamental em teoria de categorias é a noção de funtores adjuntos:

De�nição B.1.16 (Funtores Adjuntos). Os funtores F : C → D e G : D → C são um parde funtores adjuntos se para todos X ∈ C, Y ∈ D, temos um isomor�smo

ξXY : HomD(F (X), Y )→ HomC(X,G(Y ))

que é funtorial em X e Y , ou seja, se temos um isomor�smo de funtores Hom(F (·), ·) →Hom(·, G(·)), em que Hom(F (·), ·) : C × D → Sets, Hom(·, G(·)) : C × D → Sets. Nestasituação dizemos que F é adjunto à esquerda para G e G é adjunto à direita para F .

122 APÊNDICE B

Nem todo funtor tem adjunto à esquerda ou à direita, mas se ele existe, ele é único e podeser construído canonicamente (isto é, se de alguma forma encontro esses dois funtores, entãoexiste um isomor�smo canônico entre eles). Isto segue do Lema de Yoneda B.1.1, pois seF,G são um par de funtores adjuntos, então F (X) representa o funtor Y 7→ Hom(X,G(Y ))e G(Y ) representa o funtor X 7→ Hom(F (X), Y ).

B.2 Categorias Aditivas e Abelianas

Os tipos de categorias que mais aparecem em teoria de representações são as categoriasabelianas.

De�nição B.2.1 (Coproduto). Sejam C uma categoria e X, Y objetos da categoria C. Ocoproduto de X e Y , denotado por X + Y ou X t Y , é um objeto Z ∈ C munido commor�rmos injetivos ι1 : X → Z, ι2 : Y → Z, tal que, para todo W ∈ C e para todo par demor�smos φ1 : X → W , φ2 : Y → W , existe um único mor�smo ψ : Z → W que faz oseguinte diagrama comutar (isto é, ψ ◦ ι1 = φ1 e ψ ◦ ι2 = φ2):

Xι1 //

φ1

""

X + Y

∃!ψ

��

Yι2oo

φ2

||W

Nem sempre o coproduto existe. Podemos construir exemplos de categorias em que umpar de objetos não tem coproduto. (Veja [Rot03], Exercício 7.21, pág. 458). Nas categoriasSets, Groups e R-mod o coproduto sempre existe. O coproduto de dois objetos em Setsé chamado de união disjunta de conjuntos, em Groups é chamado de produto livre e emR-mod é chamado de soma direta.

Proposição B.2.1. Sejam M e N , R-módulos à esquerda. Então o coproduto entre M e Nexiste em R-mod e ele é a soma direta.


Proposição B.2.2. Sejam C uma categoria e X, Y objetos da categoria C. Então quaisquerdois coprodutos de X e Y , caso existam, são equivalentes.


De�nição B.2.2 (Produto). Sejam C uma categoria e X, Y objetos da categoria C. O pro-duto de X e Y , denotado por X × Y ou X u Y , é um objeto P ∈ C munido com projeçõesπ1 : P → X, π2 : P → Y , tal que, para cada objeto Q ∈ C e para todo par de mor�smosφ1 : Q→ X, φ2 : Q→ Y , existe um único mor�smo ψ : Q→ P que faz o seguinte diagramacomutar (isto é, π1 ◦ ψ = φ1 e π2 ◦ ψ = φ2):

Q

φ1

||

∃!ψ

��

φ2

""X X × Yπ1oo π2 // Y

O produto de dois objetos existe, entre outras, nas categorias R-mod, Groups e Top.Nestes casos, e em muitos outros, é chamado de produto direto.

CATEGORIAS ADITIVAS E ABELIANAS 123

Proposição B.2.3. Sejam C uma categoria e X, Y objetos da categoria C. Então quaisquerdois produtos de X e Y , caso existam, são equivalentes.


De�nição B.2.3 (Biproduto). Sejam C uma categoria e X, Y objetos da categoria C. Su-ponhamos que C tem um objeto zero. Um biproduto para X e Y é um objeto B, geralmentedenotado por X ⊕ Y , de C que é o produto e o coproduto de X e Y , e para qual a coleçãode mor�smos πi e ιi, i = 1, 2, satisfazem: π1 ◦ ι1 = idX , π2 ◦ ι2 = idY , πi ◦ ιj = 0 se i 6= j, eι1 ◦ π1 + ι2 ◦ π2 = idB. Segue o diagrama do biproduto de X e Y :

Xι1 //

X ⊕ Yπ1

ooπ2 //

Yι2

oo

Seja C uma categoria localmente pequena, ou seja, para todos X, Y ∈ C, HomC(X, Y ) éum conjunto. Em muitos exemplos os conjuntos HomC(X, Y ) tem alguma estrutura adicional.Por exemplo, na categoriaVectk, para V,W espaços vetoriais sobre k, cada HomVectk(V,W ),o conjunto de todas as aplicações lineares de V paraW , é um espaço vetorial sobre k. Um casomais simples é quando para todo X, Y ∈ C, os conjuntos HomC(X, Y ) são grupos abelianosaditivos:

De�nição B.2.4 (Categoria Pré-aditiva/Ab-categoria). Seja C uma categoria. C será umacategoria pré-aditiva (ou Ab-categoria) se cada HomC(X, Y ), com X, Y ∈ C, é um grupoabeliano aditivo e a composição ◦ é bilinear, isto é:

1. Para todos f, g ∈ HomC(X, Y ) e p ∈ HomC(Y, Z) temos que p ◦ (f + g) = p ◦ f + p ◦ g∈ HomC(X,Z);

2. Para todos f, g ∈ HomC(X, Y ) e q ∈ HomC(Z,X) temos que (f + g) ◦ q = f ◦ q+ g ◦ q∈ HomC(Z, Y ).

Temos que AbGroups, R-mod, mod-R são todas Ab-categorias.

Teorema B.2.1. Dois objetos X e Y em uma Ab-categoria C tem um produto em C se, esomente se, tem um biproduto em C. Especi�camente, dado um biproduto B de X e Y , oobjeto B com os mor�smos π1, π2 é um produto de X e Y , enquanto que, B com os mor�smosι1, ι2 é um coproduto. Em particular, dois objetos X e Y tem um produto em C se, e somentese, tem um coproduto em C.

Demonstração. [Lan98], Capítulo V III, Teorema 2, pág. 190.

Seja C uma Ab-categoria eX, Y, Z ∈ C. Então a composição ◦ : HomC(Y, Z)×HomC(X, Y )→ HomC(X,Z), tal que (g, f) 7→ g◦f , é bilinear. Usando a propriedade universal do produtotensorial para Z-módulos ⊗Z (veja Seção B.3, Subseção B.3.7), temos que existe uma únicaaplicação linear HomC(Y, Z) ⊗Z HomC(X, Y ) → HomC(X,Z). Portanto para cada triplaX, Y, Z ∈ C, existe um mor�smo de grupos abelianos aditivos chamado composição tal que,g ⊗ f 7→ g ◦ f .

De�nição B.2.5. Sejam C e D Ab-categorias. Um funtor F : C → D é dito ser aditivoquando toda aplicação T : HomC(X, Y ) → HomD(T (X), T (Y )) é um homomor�smo degrupos abelianos aditivos, isto é, T (f + g) = T (f) + T (g), para todos f, g ∈ HomC(X, Y ).

Claramente, a composição de funtores aditivos é um funtor aditivo.

124 APÊNDICE B

De�nição B.2.6 (Categoria Aditiva). Uma categoria C é aditiva se:

1. C tem um objeto zero 0. Como o objeto 0 é inicial e terminal, existe uma única apli-cação nula entre dois objetos X e Y , via X → 0→ Y ;

2. C é uma Ab-categoria, isto é, HomC(X, Y ) é um grupo abeliano aditivo para todos X, Y∈ C, tal que a aplicação nula é o elemento neutro e a composição é bilinear;

3. C tem um biproduto para cada par de objetos.

Antes de de�nir uma Categoria Abeliana, precisamos de�nir mais alguns conceitos:

De�nição B.2.7 (kernel/cokernel). Seja C uma categoria com mor�smos nulos e sejamX, Y ∈ C. Seja f ∈ HomC(X, Y ).

1. O kernel de f é um par (K, k) em que K ∈ C e k : K → X é tal que f ◦ k = 0 e seexiste um g ∈ HomC(P,X) tal que f ◦ g = 0, existe um único h ∈ HomC(P,K) tal queg = k ◦ h. Isto é,

Kk // X

f // Y

P

∃!h

cc

g

OO

2. O cokernel de f é um par (C, c) em que C ∈ C e c : Y → C é tal que c ◦ f = 0 e seexiste um q ∈ HomC(Y,Q) tal que q ◦ f = 0, existe um único d ∈ HomC(C,Q) tal qued ◦ c = q. Isto é,

Xf // Y c //

q

��

C

∃!d||

Q

Sejam C uma categoria, X, Y ∈ C e f ∈ HomC(X, Y ). Sejam (K, k) e (C, c), o kernel eo cokernel de f , respectivamente. Então a imagem de f é o kernel do seu cokernel, ou seja,im(f) = ker(c) e a coimagem de f é o cokernel do seu kernel, ou seja, coim(f) = coker(k).Pela de�nição kernels são sempre monomor�smos e cokernels são sempre epimor�smos.

De�nição B.2.8 (Categoria Abeliana). C é uma categoria abeliana se satisfaz as seguintescondições:

1. C é uma categoria aditiva;

2. Todo mor�smo em C tem um kernel e um cokernel;

3. Todo monomor�smo é um kernel e todo epimor�smo é um cokernel.

A condição 3. é poderosa. Ela implica, por exemplo, que qualquer mor�smo f que sejamonomor�smo e epimor�smo é um isomor�smo. Para f : X → Y monomor�smo, signi�caque f = ker(g), para algum g : Y → Z, daí g ◦ f = 0 = 0 ◦ f . Como f é epimor�smo, temosque g = 0 : Y → Z. Então f = ker(g) = ker(0). Temos que 1Y : Y → Y é o ker(0), pois0 ◦ 1Y = 0. Portanto f = 1Y é um isomor�smo. As categorias R-mod, mod-R, AbGroups(e muitas outras) são todas categorias abelianas, com os kernels e cokernels usuais.

Em [Eti11] a de�nição de uma categoria abeliana, na verdade é o Teorema de Freyd-Mitchell :

CATEGORIAS R-MOD E MOD-R 125

De�nição B.2.9. Uma categoria abeliana é uma Ab-categoria que é equivalente à uma sub-categoria plena C da categoria R-mod, fechada sob somas diretas �nitas, kernels, cokernelse imagens de mor�smos.

Proposição B.2.4. Em uma categoria abeliana C, todo mor�smo f tem uma fatorizaçãof = v ◦ u, em que v é um monomor�smo e u é um epimor�smo.

ker(f) k // X u //

f

&&im(f) v // Y c // coker(f)

Além disso, v = ker(coker(f)) e u = coker(ker(f)), ou seja, c ◦ v = 0 e u ◦ k = 0.

Demonstração. [Lan98], Capítulo V III, Proposição 1, pág. 195.

B.3 Categorias R-mod e mod-R

A categoria R-mod tem como objetos R-módulos à esquerda, tal que R é um anel. Osmor�smos dessa categoria são os homomor�smos de R-módulos à esquerda. Dados M,M ′ ∈R-mod, todos os R-homomor�smos de M para M ′ formam um grupo abeliano aditivo, de-notado por HomR−mod(M,M ′) ou simplesmente HomR(M,M ′). A adição em HomR(M,M ′)é de�nida por (f + g)(a) = f(a) + g(a).

Vimos que a categoria R-mod é uma Ab-categoria, aditiva e abeliana. Vimos tambémque em R-mod a soma direta entre dois R-módulos sempre existe. Na teoria clássica dosmódulos soma direta �nita e produto direto �nito são indistinguíveis.

Também existe a categoria dos R-módulos à direita mod-R. Vou me referir à um R-módulo à esquerda somente como R-módulo. Somente vou especi�car "módulo à esquerda"e "módulo à direita" quando for necessário.

B.3.1 Funtores covariantes de R-mod em S-mod

Sejam R, S dois anéis. Suponha que cada módulo M em R-mod está associado com ummódulo F (M) em S-mod e que cada R-homomor�smo f : M → M ′ corresponde à umS-homomor�smo F (f) : F (M)→ F (M ′). Além disso suponha que:

1. F (idM) = idF (M), para todo M ∈ R-mod;

2. F (g ◦ f) = F (g) ◦ F (f), para todos f : M →M ′, g : M ′ →M ′′ em R-mod.

Nestas circunstâncias dizemos que temos um funtor covariante F : R-mod → S-mod, deR-módulos para S-módulos.

Se temos um diagrama comutativo de R-módulos e R-homomor�smos, quando aplicamoso funtor covariante F , obtemos um diagrama em S-mod, que também é comutativo. Sef : M → M ′ é um isomor�smo em R-mod e g : M ′ → M é seu inverso, então F (f) :F (M)→ F (M ′) é um isomor�smo em S-mod e F (g) : F (M ′)→ F (M) é seu inverso.

De�nição B.3.1. Seja F : R-mod → S-mod um funtor covariante. F é dito aditivo separa f : M →M ′ e g : M →M ′, R-homomor�smos, F (f + g) = F (f) + F (g).

De�nição B.3.2. Uma sequência de R-homomor�smos em R-mod

. . .fn−1 //Mn−1

fn //Mnfn+1 //Mn+1

fn+2 // . . .

126 APÊNDICE B

é exata em Mn se im(fn) = ker(fn+1). Dizemos que a sequência é exata se for exata emtodos os R-módulos que a compõem, exceto eventualmente nas extremidades.

Teorema B.3.1. Seja 0 //M1σ1 //M

π2 //M2// 0 uma sequência exata em R-mod. As

seguintes a�rmações são equivalentes:

1. im(σ1)(= ker(π2)) é um somando direto de M .

2. Existe um R-homomor�smo π1 : M →M1 tal que π1 ◦ σ1 = 1M1.

3. Existe um R-homomor�smo σ2 : M2 →M tal que π2 ◦ σ2 = 1M2.

4. Existem R-homomor�smos π1 : M →M1 e σ2 : M2 →M tal que M = M1 ⊕M2.

Demonstração. [Nor73], Capítulo 1, Teorema 4, pág. 5.

De�nição B.3.3. Seja 0 //M1σ1 //M

π2 //M2// 0 uma sequência exata em R-mod. Se

uma das condições do Teorema B.3.1 for satisfeita, dizemos que a sequência exata cinde.

Por outro lado, se 0 //M ′ //M //M ′′ // 0 é uma sequência exata que cinde, entãotemos um isomor�smo M ∼= M ′ ⊕M ′′.


π2 //M2// 0 uma sequência exata que cinde em R-

mod e F : R-mod → S-mod um funtor covariante aditivo. Então:

0 // F (M1)F (σ1)// F (M)

F (π2)// F (M2) // 0

é uma sequência exata que cinde em S-mod.


De�nição B.3.4. Seja F : R-mod → S-mod um funtor covariante. Assuma que sem-pre que 0 //M ′ //M //M ′′ // 0 é exata em R-mod, então 0 // F (M ′) // F (M) // F (M ′′)

(respect. F (M ′) // F (M) // F (M ′′) // 0 ) é exata em S-mod. Dizemos que F é exato à es-

querda (respect. exato à direita). Caso a exatidão de 0 //M ′ //M //M ′′ // 0 implique queF (M ′) // F (M) // F (M ′′) é exata em S-mod, dizemos que F é parcialmente exato. Se

F é exato à esquerda e à direita, isto é, sempre que 0 //M ′ //M //M ′′ // 0 é exata emR-mod implica que 0 // F (M ′) // F (M) // F (M ′′) // 0 é exata em S-mod, então F é ditoser um funtor exato.

Então, pela De�nição B.3.4, percebemos que se F for exato à esquerda preserva mono-mor�smos e se for exato à direita preserva epimor�smos.

Seja F : R-mod → S-mod um funtor covariante:

Lema B.3.1. Suponha que F é exato à esquerda e que 0 //M ′ //M //M ′′ é exata emR-mod. Então 0 // F (M ′) // F (M) // F (M ′′) é exata em S-mod.

Lema B.3.2. Suponha que F é exato à direita e que M ′ //M //M ′′ // 0 é exata emR-mod. Então F (M ′) // F (M) // F (M ′′) // 0 é exata em S-mod.

Lema B.3.3. Suponha que F é exato e que M ′ //M //M ′′ é exata em R-mod. EntãoF (M ′) // F (M) // F (M ′′) é exata em S-mod.


As provas dos lemas acima são aplicações diretas da De�nição B.3.4. Por esse motivoforam omitidas.

Teorema B.3.3. Suponha que F é parcialmente exato, então ele é aditivo.


Suponha que o funtor covariante F : R-mod→ S-mod é exato e queM1 é um submódulode um R-móduloM . Então a aplicação inclusão nos dá uma sequência exata 0 //M1

//M

e então 0 // F (M1) // F (M) é exata. Dessa forma F (M1) pode ser considerado um S-submódulo de F (M).

Proposição B.3.1. Seja F : R-mod → S-mod um funtor covariante exato. Então Fpreserva imagens e kernels.

Demonstração. [Nor73], Capítulo 1, Exercício 5, pág. 18.

B.3.2 Funtores contravariantes de R-mod em S-mod

Sejam R, S dois anéis. Suponha que cada módulo M em R-mod está associado com ummódulo G(M) em S-mod e que cada R-homomor�smo f : M → M ′ corresponde à umS-homomor�smo G(f) : G(M ′)→ G(M). Além disso suponha que:

1. G(idM) = idG(M), para todo M ∈ R-mod;

2. G(g ◦ f) = G(f) ◦G(g), para todos f : M →M ′, g : M ′ →M ′′ em R-mod.

Dizemos que temos um funtor contravariante G : R-mod → S-mod, de R-módulos paraS-módulos.

Se temos um diagrama comutativo de R-módulos e R-homomor�smos, quando aplicamoso funtor contravariante G, obtemos um diagrama em S-mod, que também é comutativo,mas com todas as "�echas" invertidas. Se f : M → M ′ é um isomor�smo em R-mod eg : M ′ → M é seu inverso, então G(f) : G(M ′) → G(M) é um isomor�smo em S-mod eG(g) : G(M)→ G(M ′) é seu inverso.

O funtor contravariante aditivo é de�nido de maneira análoga ao funtor covariante adi-tivo.


π2 //M2// 0 uma sequência exata que cinde em R-

mod e G : R-mod → S-mod um funtor contravariante aditivo. Então:

0 // G(M2)G(π2)// G(M)

G(σ1)// G(M1) // 0

é uma sequência exata que cinde em S-mod.

Demonstração. A prova é análoga à demonstração do Teorema B.3.2.

De�nição B.3.5. Seja G : R-mod→ S-mod um funtor contravariante. É dito ser exato àesquerda (respect. exato à direita) se a exatidão de 0 //M ′ //M //M ′′ // 0 em R-mod im-plica na exatidão de 0 // G(M ′′) // G(M) // G(M ′) (respect. G(M ′′) // G(M) // G(M ′) // 0 )

em S-mod. Além disso, caso a exatidão de 0 //M ′ //M //M ′′ // 0 implique na exatidão deG(M ′′) // G(M) // G(M ′) em S-mod, dizemos que G é parcialmente exato. Finalmente,

se G é exato à esquerda e à direita, isto é, a exatidão de 0 //M ′ //M //M ′′ // 0 em R-mod implica na exatidão de 0 // G(M ′′) // G(M) // G(M ′) // 0 em S-mod, então G é ditoser um funtor exato.

128 APÊNDICE B

Então um funtor contravariante exato à esquerda converte um epimor�smo em um mo-nomor�smo, enquanto que um funtor contravariante exato à direita transforma um mono-mor�smo em um epimor�smo.

Seja G : R-mod → S-mod um funtor contravariante:

Lema B.3.4. Suponha que G é exato à esquerda e que M ′ //M //M ′′ // 0 é exata emR-mod. Então 0 // G(M ′′) // G(M) // G(M ′) é exata em S-mod.

Lema B.3.5. Suponha que G é exato à direita e que 0 //M ′ //M //M ′′ é exata emR-mod. Então G(M ′′) // G(M) // G(M ′) // 0 é exata em S-mod.

Lema B.3.6. Suponha que G é exato e que M ′ //M //M ′′ é exata em R-mod. EntãoG(M ′′) // G(M) // G(M ′) é exata em S-mod.

As provas dos lemas acima, seguem diretamente da De�nição B.3.5.

Teorema B.3.5. Suponha que G é parcialmente exato, então ele é aditivo.

Demonstração. A prova é similar à demonstração do Teorema B.3.3

B.3.3 Bifuntores

Ao invés de considerar funtores em uma variável, podemos considerar funtores em váriasvariáveis. Um tal funtor pode ser covariante em algumas das variáveis e contravariante nasoutras. Vamos de�nir um funtor de duas variáveis, um bifuntor, contravariante na primeiracoordenada e covariante na segunda.

Sejam R,R′ e S anéis. Suponha que para cada M ∈ R-mod e N ∈ R′-mod existe ummódulo T (M,N) em S-mod associado, e suponha que dados f : M ′ → M em R-mod eg : N → N ′ em R′-mod, existe um S-homomor�smo correspondente T (f, g) : T (M,N) →T (M ′, N ′). Se ainda:

1. T (idM , idN) = idT (M,N);

2. T (f ◦ f1, g1 ◦ g) = T (f1, g1) ◦ T (f, g), para todas M ′′ f1 //M ′ f //M em R-mod e

Ng // N ′

g1 // N ′′ em R′-mod.

então dizemos que T é um bifuntor de R-mod × R′-mod em S-mod, que é contravariantena primeira variável e covariante na segunda.

Assuma que T é tal funtor. Tome um módulo �xo M em R-mod. Então obtemos umfuntor covariante T (M, ·) : R′-mod→ S-mod. Seja g : N → N ′ em R′-mod, então T (M, g)signi�ca T (idM , g). Se tomarmos N �xo em R′-mod, obtemos um funtor contravarianteT (·, N) : R-mod → S-mod.

Se T (M, ·) e T (·, N) são aditivos, para todos M,N , então T é dito ser aditivo. Se T foraditivo, então:

T (M, g1 + g2) = T (M, g1) + T (M, g2)

em que g1, g2 : N → N ′ em R′-mod, e:

T (f1 + f2, N) = T (f1, N) + T (f2, N)

em que f1, f2 : M ′ →M em R-mod.


Ainda, se T (M, ·) e T (·, N) são exatos à esquerda, para todos M,N , então T é chamadode exato à esquerda. Se T é exato à esquerda e as sequências:

M ′ //M //M ′′ // 0

e0 // N ′ // N // N ′′

são exatas em R-mod e R′-mod respectivamente, então as sequências:

0 // T (M ′′, N) // T (M,N) // T (M ′, N)

e0 // T (M,N ′) // T (M,N) // T (M,N ′′)

serão exatas em S-mod. As noções de funtores exato à direita, exato e parcialmente exatosão generalizadas da mesma maneira.

B.3.4 O funtor Hom

Sejam M,N ∈ R-mod. Devemos lembrar que todos os R-homomor�smos de M para Nformam um grupo abeliano aditivo denotado por HomR(M,N). Observamos também que acategoria dos grupos abelianos aditivos é identi�cada com a categoria dos Z-módulos.

Sejam u : M ′ →M e v : N → N ′, R-homomor�smos. De�nimos a aplicação:

HomR(u, v) : HomR(M,N)→ HomR(M ′, N ′)

tal que f ∈ HomR(M,N) 7→ v ◦ f ◦ u ∈ HomR(M ′, N ′). Claramente HomR(u, v) é umhomomor�smo de grupos abelianos e se u, v são aplicações identidade, então HomR(u, v) étambém uma aplicação identidade. Além disso, se u′ : M ′′ → M ′ e v′ : N ′ → N ′′ estão emR-mod, então:

HomR(u ◦ u′, v′ ◦ v) = HomR(u′, v′) ◦ HomR(u, v)

De fato, HomR(M,N) é um bifuntor de R-mod × R-mod em Z-mod (categoria dos gruposabelianos aditivos) e é contravariante na primeira variável e covariante na segunda, isto é,para M ∈ R-mod �xo, HomR(M, ·) é covariante, e para N ∈ R-mod �xo, HomR(·, N) écontravariante. Este funtor é chamado de funtor Hom.

Notamos que se u1, u2 : M ′ →M e v1, v2 : N → N ′, então:

HomR(u1 + u2, N) = HomR(u1, N) + HomR(u2, N)

eHomR(M, v1 + v2) = HomR(M, v1) + HomR(M, v2)

Concluímos que o funtor Hom é aditivo.

Teorema B.3.6. O funtor Hom é exato à esquerda.


O Teorema B.3.6 diz que se 0 //M ′ //M //M ′′ // 0 é exata em R-mod, então

0 // HomR(M ′′, N) // HomR(M,N) // HomR(M ′, N)

130 APÊNDICE B

é exata para todo N ∈ R-mod. Temos também que se 0 // N ′ // N // N ′′ // 0 é exataem R-mod, então

0 // HomR(M,N ′) // HomR(M,N) // HomR(M,N ′′)

é exata para todo M ∈ R-mod.

B.3.5 Módulos Projetivos

Seja P um objeto de R-mod.

De�nição B.3.6. P é dito ser um R-módulo projetivo se o funtor HomR(P, ·), de R-modem Z-mod, é exato.

Na verdade, em alguns livros existe a seguinte proposição:

Proposição B.3.2. Um R-módulo à esquerda P é projetivo se, e somente se, HomR(P, ·) éum funtor exato.


Se um módulo é projetivo, então qualquer módulo que seja isomorfo à ele também é. Oseguinte lema nos fornece um critério útil para saber se um módulo é projetivo:

Lema B.3.7. Seja P um R-módulo. Então as seguintes a�rmações são equivalentes:

1. P é projetivo.

2. Para todo M,N ∈ R-mod, tais que existe um epimor�smo g : M → N e para todof : P → N , R-homomor�smo, existe f ′ : P →M , R-homomor�smo, tal que g◦f ′ = f ,ou seja,

P

f ′

~~

f

��M g

// N // 0

Demonstração. [Nor73], Capítulo 2, Lema 1, pág. 27.

De�nição B.3.7. SeM é um R-módulo que possui uma base, isto é, um sistema de geradoreslinearmente independentes, M é um R-módulo livre. Equivalentemente, M é um R-módulolivre se é isomorfo à uma soma direta de cópias de R, ou seja, M ∼= ⊕i∈IR.

Teorema B.3.7. Todo R-módulo livre é R-projetivo.


A recíproca do Teorema B.3.7 não é verdadeira, ou seja, ser R-projetivo não implica serR-livre:

Exemplo B.3.1. Seja R = Mn×n(k), a álgebra das matrizes com n linhas e n colunas com

entradas em um corpo k, n ≥ 2. O R-módulo M =

a1

...an

| ai ∈ k é projetivo, mas não

é livre.


De�nição B.3.8. Sejam M,N R-módulos. Direi que N é imagem homomór�ca de M seexistir um epimor�smo ϕ : M → N .

Proposição B.3.3. SejaM um R-módulo. Existe um R-módulo livre F tal queM é imagemhomomór�ca de F , isto é, existe π : F →M epimor�smo. Em outras palavras,M é isomorfoà um quociente do R-módulo livre F .


Teorema B.3.8. Seja P um R-módulo. Então P é um R-módulo projetivo se, e somente

se, toda sequência exata da forma 0 //Mf // N

g // P // 0 cinde.

Demonstração. [Rot03], Capítulo 7, Proposição 7.54, pág. 475. A prova usa pullback comoferramenta.

Teorema B.3.9. Seja P um R-módulo. Então P é um R-módulo projetivo se, e somentese, P é isomorfo à um somando direto de um R-módulo livre.

Demonstração. [Nor73], Capítulo 2, Teorema 7, pág. 28 ou [Rot03], Capítulo 7, Teorema7.56, pág. 476.

Teorema B.3.10. Seja (Pi)i∈I uma família de R-módulos arbitrários e seja P = ⊕i∈IPi.Então P é R-projetivo se, e somente se, Pi é R-projetivo, para cada i ∈ I.


Corolário B.3.1. Todo somando direto de um R-módulo projetivo é R-projetivo.

Teorema B.3.11. Seja M um R-módulo. Então existe uma sequência exata P //M // 0em R-mod, tal que P é R-projetivo.


Teorema B.3.12 (Teorema da Base Dual). Um R-módulo P é projetivo se, e somente se,existem famílias {ai}i∈I de elementos de P e {fi}i∈I de elementos de HomR(P,R) tal que:

1. Para cada a ∈ P , fi(a) = 0, para quase todos i;

2. a =∑fi(a)ai, para cada a ∈ P .

Quando P é projetivo, a família {ai}i∈I pode ser tomada como um sistema de geradores deP .


Proposição B.3.4 (Lema de Schanuel). Considere as duas sequências exatas:

0 // Ki // P

π //M // 0

e0 // K ′

i′ // P ′π′ //M // 0

tais que P e P ′ são R-projetivos. Então existe um isomor�smo K ⊕ P ′ ∼= K ′ ⊕ P .


132 APÊNDICE B

B.3.6 Módulos Injetivos

Seja E um objeto de R-mod.

De�nição B.3.9. E é dito ser um R-módulo injetivo se o funtor HomR(·, E), de R-modem Z-mod, é exato.

Claramente, todo R-módulo que é isomorfo à um módulo injetivo é também injetivo.

Lema B.3.8. Seja E um R-módulo. Então as seguintes a�rmações são equivalentes:

1. E é injetivo.

2. Para todo M,N ∈ R-mod, tais que existe um monomor�smo i : M → N e para todof : M → E, R-homomor�smo, existe f ′ : N → E, R-homomor�smo, tal que f ′◦i = f ,ou seja,

0 //M i //

f

��

N

f ′

~~E


Teorema B.3.13. Um R-módulo E é injetivo se, e somente se, toda sequência exata da

forma 0 // Ef //M

g // N // 0 cinde.

Demonstração. [Rot03], Capítulo 7, Proposição 7.64, pág. 481. A prova usa pushout comoferramenta.

Corolário B.3.2. Se um R-módulo E é injetivo e é R-submódulo de um R-móduloM , entãoE é somando direto de M .

Teorema B.3.14. Seja (Ei)i∈I uma família de R-módulos arbitrários e E =∏

i∈I Ei(produtodireto). Então E é injetivo se, e somente se, Ei é injetivo, para cada i ∈ I.Demonstração. [Nor73], Capítulo 2, Teorema 9, pág. 45 ou [Rot03], Capítulo 7, Proposição7.66, pág. 482.

Corolário B.3.3. Todo somando direto de um R-módulo injetivo é injetivo.

Teorema B.3.15 (Critério de Baer). Um R-módulo E é injetivo se, e somente se, todaaplicação f : I → E, tal que I é um ideal à esquerda de R, pode ser estendida à R.


Teorema B.3.16. Seja M um R-módulo. Podemos construir um sequência exata0 //M // E em R-mod, tal que E é R-injetivo.

Esse resultado acima mostra que todo R-módulo M pode ser imerso em um móduloinjetivo E. Isto é, existe um monomor�smo de M em E.


Lema B.3.9 (Lema de Schanuel II). Considere as duas sequências exatas:

0 // N i // E π //M // 0

e0 // N

i′ // E ′π′ //M ′ // 0

tais que E e E ′ são R-injetivos. Então existe um isomor�smo E ′ ⊕M ∼= E ⊕M ′.


B.3.7 O funtor Tensor

De�nição B.3.10. Sejam R um anel, M um R-módulo à direita e N um R-módulo àesquerda. Um produto balanceado de M e N é um par ordenado (P, f), tal que P é umgrupo abeliano aditivo e f : M ×N → P é uma função satisfazendo:

1. f(x+ x′, y) = f(x, y) + f(x′, y);

2. f(x, y + y′) = f(x, y) + f(x, y′);

3. f(xa, y) = f(x, ay).

para todos x, x′ ∈ M , y, y′ ∈ N , a ∈ R.Observação B.3.1. Se (P, f) é um produto balanceado de MR e RN , então:

1. f(0, y) = 0 = f(x, 0);

2. f(−x, y) = −f(x, y) = f(x,−y).

para todo x ∈ M e para todo y ∈ N .

De�nição B.3.11. Um produto tensorial deMR e RN é um produto balanceado (M⊗RN,⊗)tal que se (P, f) é um produto balanceado de MR e RN , então existe um único homomor�smode gruposϕ : M ⊗R N → P , tal que ϕ(x ⊗ y) = f(x, y), para todo (x, y) ∈ M × N , em que x ⊗ y =⊗(x, y). O diagrama abaixo ilustra a de�nição:

M ×N ⊗ //

f

��

M ⊗R N

∃!ϕyy

P

Em geral, o produto tensorial de dois módulos é somente um grupo abeliano aditivo. SeR for um anel comutativo e M,N forem R-módulos, então M ⊗R N será um R-módulo.Por exemplo, seja R = k e V,W dois k -espaços vetoriais (k -módulos), então V ⊗k W éum k -espaço vetorial. A noção de bimódulos esclarece quando o produto tensorial será umR-módulo. Para mais detalhes indicamos [Rot09], Capítulo 2.

Proposição B.3.5. Se ((M ⊗RN)1,⊗1) e ((M ⊗RN)2,⊗2) são produtos tensoriais de MR

e RN , então existe um único isomor�smo de grupos

ϕ : (M ⊗R N)1 → (M ⊗R N)2

tal que ϕ(x⊗1 y) = x⊗2 y, para todo x ∈ MR e para todo y ∈ RN .


Observação B.3.2. Se (M ⊗R N,⊗) é um produto tensorial de MR e RN , então o grupoabeliano M ⊗R N é gerado por

B = {x⊗ y | x ∈M, y ∈ N}

Temos que:

M ⊗R N =

{n∑i=1

xi ⊗ yi | n ≥ 1, xi ∈M, yi ∈ N

}

134 APÊNDICE B

Teorema B.3.17. Seja R um anel e sejam M um R-módulo à direita e N um R-módulo àesquerda. Então existe um produto tensorial de M e N .


Observação B.3.3. Sejam f : M1 → M2 em mod-R e se g : N1 → N2 em R-mod, entãoa aplicação

ϕ : M1 ×N1 −→ M2 ⊗R N2

(x, y) 7−→ f(x)⊗ g(y)

de�ne um produto balanceado de M1 e N1 e portanto, podemos de�nir

f ⊗ g : M1 ⊗R N1 −→ M2 ⊗R N2

x⊗ y 7−→ f(x)⊗ g(y)

Proposição B.3.6. Sejam f : M → M ′ e g : N → N ′ mor�smos de mod-R e R-mod,respectivamente. Então existe uma única Z-aplicação denotada por f ⊗ g : M ⊗R N →M ′ ⊗R N ′, com f ⊗ g : x⊗ y 7→ f(x)⊗ g(y).


Corolário B.3.4. Dadas aplicações de R-módulos à direita, Mf //M ′ f ′ //M ′′ , e aplicações

de R-módulos a esquerda, Ng // N ′

g′ // N ′′ , então:

(f ′ ⊗ g′) ◦ (f ⊗ g) = f ′ ◦ f ⊗ g′ ◦ g

Teorema B.3.18. 1. Sejam R um anel e M um R-módulo à direita. Existe um funtorcovariante aditivo M⊗R− : R-mod→ Z-mod, de�nido por (M⊗R−)(N) = M⊗RN ,para todo N ∈ R-mod, e (M ⊗R −)(g) = M ⊗R g = idM ⊗ g, em que g : N → N ′ éum mor�smo em R-mod.

2. Similarmente, sejam R um anel e N um R-módulo à esquerda. Existe um funtor co-variante aditivo −⊗RN : mod-R → Z-mod, de�nido por (−⊗RN)(M) = M ⊗RN ,para todo M ∈ mod-R, e (−⊗R N)(f) = f ⊗R N = f ⊗ idN , em que f : M → M ′ éum mor�smo em mod-R.


Observação B.3.4. Tal produto M ⊗R g existe, pois se:

f : M ×N −→ M ⊗R N ′(x, y) 7−→ x⊗ g(y)

então (M ⊗R N ′, f) é um produto balanceado de MR e RN e, portanto, induz um únicohomomor�smo de grupos M ⊗R g : M ⊗R N → M ⊗R N ′ tal que (M ⊗R g)(x ⊗ y) =idM(x)⊗ g(y). De maneira análoga, existe f ⊗R N .

Corolário B.3.5. Se f : M → M ′ e g : N → N ′ são, respectivamente, isomor�smos emmod-R e R-mod, então f⊗g : M⊗RN →M ′⊗RN ′ é um isomor�smo de grupos abelianos.

Demonstração. [Rot09], Capítulo 2, Corolário 2.49, pág. 75.

Teorema B.3.19. Seja R um anel. Os funtores covariantes aditivos M ⊗R− e −⊗RN sãoexatos à direita.



De�nição B.3.12. Sejam R, S anéis eM um grupo abeliano aditivo. EntãoM é um (R, S)-bimódulo, denotado por RMS, se M é um R-módulo à esquerda e um S-módulo à direita, eas duas multiplicações por escalares são relacionadas pela lei associativa:

r(ms) = (rm)s

para todos r ∈ R, m ∈ M e s ∈ S.

Se M é um (R, S)-bimódulo, podemos escrever rms sem os parênteses.

Corolário B.3.6. Seja S uma k-álgebra e R uma subálgebra de S. Suponha que I ⊆ S éum (S,R)-bimódulo e que M é um S-módulo à direita. Então

M ⊗S S/I ∼= M/MI

como R-módulos à direita.

Demonstração. [Cou95], Capítulo 12, Corolário 4.7.

Proposição B.3.7 (Extensão de Escalares). Seja S um subanel de R.

1. Dado um bimódulo RMS e um módulo à esquerda SN , então o produto tensorialM⊗SNé um R-módulo à esquerda, em que r(x ⊗ y) = (rx) ⊗ y, para todos r ∈ R, x ∈ M ey ∈ N . Similarmente, dados MS e SNR, o produto tensorial M ⊗S N é um R-móduloà direita, em que (x⊗ y)r = x⊗ (yr), para todos r ∈ R, x ∈ M e y ∈ N .

2. O anel R é um (R, S)-bimódulo e, se M é um S-módulo à esquerda, então R⊗S M éum R-módulo à esquerda, em que r1(r2 ⊗m) = (r1r2)⊗m, para todos r1, r2 ∈ R e m∈ M .


Teorema B.3.20. Sejam R um anel, M um R-módulo à direita e (Ni)i∈I uma família deR-módulos à esquerda. Existe um Z(R)-isomor�smo

τ : M ⊗R (⊕i∈I

Ni) −→⊕i∈I

(M ⊗R Ni)

com τ : a ⊗ (bi) 7→ (a ⊗ bi), em que Z(R) é o centro do anel R. Em particular, se R écomutativo, então τ é um R-isomor�smo.


Existe uma relação entre o funtor Hom e o funtor Tensor. Antes vamos enunciar doisteoremas. A ideia central é que uma função de duas variáveis f : M × N → M ′, pode servista como uma família de funções com um parâmetro: Se �xo x ∈ M , então de�nimosfx : N →M ′ por y 7→ f(x, y), para todos y ∈ N . Pela Proposição B.3.7, se R, S são anéis eMR e RNS são módulos, entãoM⊗RN é um S-módulo à direita, em que (x⊗y)s = x⊗(ys),para todos s ∈ S, x ∈ M e y ∈ N . Além disso, se M ′

S é um módulo, então HomS(N,M ′) éum R-módulo à direita, em que (fr)(y) = f(ry), para todos f ∈ HomS(N,M ′) e r ∈ R.

Então HomR(M,HomS(N,M ′)) consiste de R-aplicações entre R-módulos à direita. Fi-nalmente se F ∈ HomR(M,HomS(N,M ′)), nós denotamos seu valor em x ∈M por Fx, entãoFx : N →M ′, de�nido por Fx : y 7→ F (x)(y), é uma família de funções de um parâmetro.

136 APÊNDICE B

Teorema B.3.21 (Isomor�smo de adjunção, primeira versão). Dados módulos MR, RNS eM ′

S, tais que R, S são anéis, existe um isomor�smo natural

τM,N,M ′ : HomS(M ⊗R N,M ′)→ HomR(M,HomS(N,M ′))

Se f : M⊗RN →M ′, x ∈M , y ∈ N então τM,N,M ′ : f 7→ τ(f), em que τ(f)x : y 7→ f(x⊗y).


Teorema B.3.22 (Isomor�smo de adjunção, segunda versão). Dados módulos RM , SNR eSM

′, tais que R, S são anéis, existe um isomor�smo natural

τ ′M,N,M ′ : HomS(N ⊗RM,M ′)→ HomR(M,HomS(N,M ′))

Se f : N⊗RM →M ′, x ∈M , y ∈ N então τ ′M,N,M ′ : f 7→ τ ′(f), em que τ ′(f)x : y 7→ f(y⊗x).


Existem duas versões de isomor�smos de adjunção, resultantes das duas maneiras nasquais N pode ser um bimódulo ( RNS ou SNR).

SejamMR, RNS eM ′S módulos, tais que R, S são anéis. Como dito anteriormenteM⊗RN

∈ mod-S e HomS(N,M ′) ∈ mod-R. Então podemos considerar dois funtores:

HomS(N,−) : mod-S →mod-R

e−⊗R N : mod-R→mod-S

Pelo Teorema B.3.21, temos que HomS(M⊗RN,M ′) ∼= HomR(M,HomS(N,M ′)). PortantoHomS(N,−) e −⊗RN são um par de funtores adjuntos, ou seja, −⊗RN é adjunto à esquerdade HomS(N,−) e HomS(N,−) é adjunto à direita de −⊗R N .

Analogamente, se considerarmos RM , SNR e SM′ módulos, tais que R, S são anéis, pelo

Teorema B.3.22, concluiremos que HomS(N,−) e N ⊗R − são um par de funtores adjuntos,ou seja, N ⊗R − é adjunto à esquerda de HomS(N,−) e HomS(N,−) é adjunto à direita deN ⊗R −. Mostramos assim a relação entre o funtor Hom e o funtor Tensor.

B.4 Referências

Grande parte da Seção B.1 foi baseada em [Eti11] [Capítulo 7] e [Lan98] [Capítulo I].Já a Seção B.2 foi baseada em [Rot03] [Capítulo 7] e [Lan98] [Capítulo V III]. A Seção B.3(Subseções: B.3.1, B.3.2, B.3.3, B.3.4, B.3.5 e B.3.6) foi baseada em [Nor73] [Capítulos 1 e 2]e em [Rot03] [Capítulos 7]. A Seção B.3 (Subseção: B.3.7) foi baseada em [Rot09] [Capítulo2].

Apêndice C

Localização

C.1 Localizações em anéis comutativos

Como uma generalização da forma em que construímos o corpo de frações de um domíniode integridade, podemos construir a localização de um subconjunto multiplicativo de um anelcomo sendo o anel obtido invertendo formalmente os elementos deste subconjunto.

Vamos basear o Apêndice em [GJ89], Capítulos 5 e 9.Suponhamos que R seja um anel comutativo e X um subconjunto de R. Queremos

encontrar o "maior" anel no qual os elementos de X tornam-se unidades.Primeiramente, como todos os produtos dos elementos de X devem necessariamente

tornar-se unidades no nosso novo anel, podemos assumir que X seja fechado sob multiplica-ção, e que 1 = 1R ∈ X. Então construiremos um novo anel RX−1 (geralmente escrito RX naliteratura comutativa, mas esta notação pode causar confusão no caso não comutativo) comoo conjunto de frações r/x em que r ∈ R e x ∈ X. Deve existir uma relação de equivalêncianestas frações, e deve ser tomada com cuidado pois X pode conter divisores de zero, casoem que a aplicação R → RX−1, r 7→ r/1, não é injetiva. A relação de equivalência entreas frações é a seguinte: dizemos que r/x e r′/x′ de�nem o mesmo elemento de RX−1 se, esomente se, (rx′ − r′x)y = 0 para algum y ∈ X.

Em outras palavras, de�na uma relação ≡ em R×X como segue:

(r, x) ≡ (r′, x′)⇐⇒ (rx′ − r′x)y = 0 para algum y ∈ X

Claramente, esta relação é re�exiva e simétrica. Para ver que é transitiva, suponha que(r, x) ≡ (r′, x′) e (r′, x′) ≡ (s, y). Então existem v, w ∈ X tais que (rx′ − r′x)v = 0 e(r′y − sx′)w = 0. Eliminando r′ destas duas equações temos (ry − sx)x′vw = 0. Como Xé fechado sob multiplicação temos que x′vw ∈ X, logo (r, x) ≡ (s, y). Portanto, ≡ é umarelação de equivalência.

Denotamos por r/x a classe de equivalência de (r, x) e seja RX−1 = (R × X)/ ≡ oconjunto das classes de equivalências. A estrutura de anel em RX−1 é de�nida da seguintemaneira usual:

r1

x1

+r2

x2

=r1x2 + r2x1

x1x2

er1

x1

· r2

x2

=r1r2

x1x2

Estas operações estão bem de�nidas, isto é, não dependem dos representantes de classeutilizados. Com estas operações, RX−1 é um anel comutativo (com elementos neutro 0/1 eidentidade 1/1) que chamamos de localização de R com respeito a X. Na verdade é um abusode linguagem, pois associado à RX−1 temos um homomor�smo de anéis φ : R→ RX−1 dado

137

138 APÊNDICE C

por r 7→ r/1 chamado de mapa de localização e o par (RX−1, φ) é a localização de R comrespeito a X. Quando R é um domínio de integridade e X = Rr {0} então RX−1 é o corpode frações de R e neste caso o mapa de localização é a inclusão R ⊆ RX−1. Entretanto, paraanéis gerais, o mapa de localização nem sempre é injetivo.

O anel RX−1 juntamente com seu mapa de localização tem as seguintes propriedades:

(i) Para cada x ∈ X, o elemento φ(x) é uma unidade de RX−1;

(ii) O kernel de φ é {r ∈ R | rx = 0 para algum x ∈ X};

(iii) Se ψ : R → T é um homomor�smo de anéis qualquer tal que ψ(x) é uma unidade deT para todo x ∈ X e T seja comutativo, então ψ se fatora unicamente através de φ,isto é, existe um único homomor�smo de anéis η : RX−1 → T tal que ψ = ηφ.

O item (iii) descrito acima é conhecido como a Propriedade Universal da Localização(para o caso comutativo). Vamos mostrar a unicidade. Se η satisfaz a condição então η(r/1) =ηφ(r) = ψ(r), para todo r ∈ R, logo se x ∈ X, η(1/x) = η((x/1)−1) = ψ(x)−1. Assimη(r/x) = η(r/1)η(1/x) = ψ(r)ψ(x)−1, logo η é univocamente determinado por ψ. Agoravejamos a existência. Seja η(r/x) = ψ(r)ψ(x)−1. Então η será claramente um homomor�smode anéis desde que esteja bem de�nido. Suponha que r/x = r′/x′, então existe t ∈ X talque (rx′ − r′x)t = 0. Aplicando ψ temos (ψ(r)ψ(x′)− ψ(r′)ψ(x))ψ(t) = 0. Agora ψ(t), ψ(x)e ψ(x′) são unidades em T , então ψ(r)ψ(x)−1 = ψ(r′)ψ(x′)−1, logo η(r/x) = η(r′/x′).

Estender essa simples ideia para o caso não comutativo não é tão simples. A questão geralfoi considerada pela primeira vez por Ore, que investigou se um domínio não comutativo Rpode ser "mergulhado" em um anel de divisão D, tal que todo elemento de D seja da formarx−1 para alguns r, x ∈ R com x 6= 0.

C.2 Localizações em anéis não comutativos

Nesta seção R denota um anel (ou domínio) não comutativo.

De�nição C.2.1. Um domínio de Ore à direita é qualquer domínio R no qual quaisquerdois elementos não nulos possuem um múltiplo à direita comum, isto é, para cada x, y ∈ Rnão nulos existem r, s ∈ R tais que xr = ys 6= 0. De�nimos domínio de Ore à esquerda demaneira simétrica.

Por exemplo, todo domínio comutativo (ou seja, domínio de integridade) é de Ore àdireita.

Devemos tomar cuidado para distinguir as frações com denominadores à direita, taiscomo ab−1, das frações com denominadores à esquerda, tais como c−1d.

Lema C.2.1. Para um domínio R, as seguintes condições são equivalentes:

1. R é um domínio de Ore à direita.

2. RR é uniforme.

3. RR tem posto �nito.

Demonstração. [GJ89], Capítulo 5, Lema 5.15, pág. 94.

De�nição C.2.2. Um módulo M tem posto �nito se seu envelope injetivo é uma somadireta �nita de submódulos indecomponíveis.

LOCALIZAÇÕES EM ANÉIS NÃO COMUTATIVOS 139

De�nição C.2.3. Um módulo uniforme é um módulo M não nulo tal que a intersecção dequaisquer dois submódulos não nulos de M é não nula, ou equivalentemente, tal que todosubmódulo não nulo de M é essencial em M .

Corolário C.2.1. Todo domínio Noetheriano à direita é domínio de Ore à direita.

Demonstração. [GJ89], Capítulo 5, Corolário 5.16, pág. 94.

De�nição C.2.4. Seja R um anel. Uma ordem à direita em R é qualquer subanel S ⊆ Rtal que:

1. Todo elemento regular de S é invertível em R;

2. Todo elemento de R tem a forma ab−1 para algum a ∈ S e algum regular b ∈ S.

Uma ordem à esquerda é de�nida analogamente, usando frações da forma b−1a. No casoem que ambos anéis são comutativos, os adjetivos "direita" e "esquerda" não são necessários.

Teorema C.2.1 (Ore). Um anel R é uma ordem à direita em um anel de divisão se, esomente se, R é um domínio de Ore à direita.

Demonstração. [GJ89], Capítulo 5, Teorema 5.17, pág. 94.

O Teorema C.2.1 nos mostra que a investigação de Ore citada anteriormente é falsaem geral, mas Ore conseguiu encontrar uma condição necessária e su�ciente para que sejaverdade: um anel de divisão D como descrito anteriormente existe se, e somente se, quaisquerdois elementos não nulos de R tem um múltiplo à direita comum não nulo. A necessidadedesta condição do múltiplo comum é imediata da forma especial dos elementos de D, pois ser, s são elementos não nulos de R, então D contém o elemento s−1r, que deve ser da formaxy−1 para alguns x, y ∈ R não nulos, e a equação s−1r = xy−1 em D resulta na equaçãory = sx em R.

Esta condição do múltiplo à direita comum não nulo é conhecida como condição de Oreà direita (embora devemos usar o termo em um contexto mais geral).

Observamos pelo Corolário C.2.1 que um domínio Noetheriano à direita sempre satis-faz a condição de Ore. Este fato não foi notado por muitos anos, provavelmente porque aimportância da condição noetheriana não era clara.

Lembremos que a álgebra de Weyl é um domínio não comutativo e como podemos notar, oprocedimento para tomar localizações destes, não é direto como no caso comutativo. Existemalgumas condições necessárias e su�cientes para que a localização exista.

De�nição C.2.5. Seja R um anel e X um conjunto multiplicativo em R, ou seja, 1 ∈ X eX é fechado sob multiplicação. Uma localização de Ore à direita para R com respeito a Xé um homomor�smo de anéis φ : R→ S tal que:

1. φ(x) é uma unidade de S para todo x ∈ X.

2. Todo elemento de S tem a forma φ(r)φ(x)−1 para alguns r ∈ R, x ∈ X.

3. ker(φ) = {r ∈ R | rx = 0 para algum x ∈ X}.

A localização de Ore à esquerda pode ser introduzida de maneira simétrica.

140 APÊNDICE C

A localização de Ore à direita (à esquerda) também pode ser chamada de anel de fraçõesà direita (à esquerda) ou anel quociente de Ore à direita (à esquerda). Essa localização podeser vista como um par (S, φ) que satisfaz as propriedades citadas na de�nição, mas por abusode notação, usualmente nos referimos à S como a localização de Ore à direita (à esquerda)e escrevemos os elementos de S na forma rx−1 para alguns r ∈ R, x ∈ X.

Caso uma localização à direita (ou à esquerda) exista, veremos adiante que ela satisfaza Propriedade Universal desejada (semelhante ao caso comutativo).

Por satisfazer essa Propriedade Universal, claramente se a localização à direita (à es-querda) existir, ela é única a menos de um isomor�smo que é a identidade em R.

Lema C.2.2. Seja X um conjunto multiplicativo em um anel R, e assuma que existe alocalização de Ore à direita para R com respeito a X. Então:

1. rX ∩ xR 6= ∅ para todos r ∈ R, x ∈ X.

2. Se r ∈ R e x ∈ X tal que xr = 0, então existe x′ ∈ X tal que rx′ = 0.


De�nição C.2.6. Seja X um conjunto multiplicativo em um anel R. Então X satisfaz acondição de Ore à direita se, e somente se, X satisfaz a condição 1 do Lema C.2.2 , enquantoque X é reversível à direita se, e somente se, X satisfaz a condição 2.

De�nição C.2.7. Um conjunto de Ore à direita é qualquer conjunto multiplicativo satis-fazendo a condição de Ore à direita. Um conjunto de denominadores à direita é qualquerconjunto de Ore à direita reversível à direita, ou seja, que satisfaz as condições do LemaC.2.2.

Posteriormente veremos que, a localização de Ore à direita existe precisamente paraconjuntos de denominadores à direita.

Lema C.2.3. Seja X um conjunto de Ore à direita em um anel R.

1. Dados quaisquer x1, . . . , xn ∈ X, o conjunto x1R ∩ . . . ∩ xnR ∩X é não vazio.

2. Agora suponhamos que φ : R → T é um homomor�smo de anéis tal que φ(x) é umaunidade de T para todo x ∈ X. Dados quaisquer r1, . . . , rn ∈ R e x1, . . . , xn ∈ X,existem s1, . . . , sn ∈ R e y ∈ X tais que rix

−1i = siy

−1 (isto é, as "frações" rix−1i tem

um "denominador comum" y).

3. O conjunto S = {rx−1 | r ∈ R e x ∈ X} é um subanel de T .


Lema C.2.4. Seja X um conjunto de Ore à direita em um anel R. Se M é qualquer R-módulo à direita, o conjunto {a ∈ M | ax = 0 para algum x ∈ X} é um submódulo deM .


De�nição C.2.8. Seja X um conjunto de Ore à direita em um anel R. Para qualquer R-módulo à direita M , o submódulo tX(M) = {a ∈M | ax = 0 para algum x ∈ X} é chamadode X-submódulo de torção de M . O módulo M é X-torção se, e somente se, tX(M) = Me o módulo M é X-livre de torção se, e somente se, tX(M) = {0}.

LOCALIZAÇÕES EM ANÉIS NÃO COMUTATIVOS 141

Notemos que tX(R) é um ideal de R, e se existe a localização de Ore à direita (S, φ) paraR com respeito a X, então ker(φ) = tX(R).

Agora podemos enunciar a Propriedade Universal :

Proposição C.2.1. Seja X um conjunto de denominadores à direita em um anel R, esuponha que a localização de Ore à direita φ : R → S para R com respeito a X existe. Seψ : R → T é um homomor�smo de anéis qualquer, tal que ψ(x) é uma unidade em T paratodo x ∈ X, então existe um único homomor�smo de anéis η : S → T tal que ψ = ηφ.

Demonstração. [GJ89], Capítulo 9, Proposição 9.4, pág. 146.

Corolário C.2.2. Seja X um conjunto de denominadores à direita em um anel R, e suponhaque φ1 : R→ S1 e φ2 : R→ S2 são duas localizações de Ore à direita para R com respeito aX. Então existe um (único) isomor�smo de anéis η : S1 → S2 tal que ηφ1 = φ2.


Observamos que o que foi feito acima, pode ser feito para a localização de Ore à esquerda,simetricamente. Ainda não estabelecemos que a localização de Ore à direita (à esquerda)existe. Vejamos então as condições para a existência.

Teorema C.2.2. Seja X um conjunto multiplicativo em um anel R. Então existe a loca-lização de Ore à direita para R com respeito a X se, e somente se, X é um conjunto dedenominadores à direita.

Demonstração. [GJ89], Capítulo 9, Teorema 9.7, pág. 148. Observamos que a condição ne-cessária é dada pelo Lema C.2.2.

O Teorema acima nos dá a condição su�ciente para a existência da localização.Dado um conjunto de denominadores à direita X em um anel R, podemos ver expli-

citamente a localização de Ore à direita para R com respeito a X. De�na uma relaçãode equivalência ≡ em R × X, em que (a, x) ≡ (b, y) se, e somente se, existem c ∈ R, d∈ X com ac = bd e xc = yd ∈ X. Seja ((a, x)) a classe de equivalência de (a, x). AssimS = (R×X)/ ≡ é o conjunto de todas as classes de equivalência. Vamos de�nir as operaçõesde soma e produto em S. Dados ((a, x)), ((b, y)) ∈ S, e tomando c ∈ R, d ∈ X com xc = yd,de�ne-se ((a, x)) + ((b, y)) = ((ac+ bd, xc)). Escolhendo c ∈ R, z ∈ X com bz = xc, de�ne-se((a, x)) · ((b, y)) = ((ac, yz)). Tais soma e produto estão bem de�nidos. Portanto, S é umanel, e a aplicação r 7→ ((r, 1)) de�ne um isomor�smo de R em S, identi�cando R comosubanel de S. Portanto S é uma localização de Ore à direita para R com respeito a X.

De�nição C.2.9. Dado um conjunto de denominadores à direita X em um anel R, sabemosque existe a localização de Ore à direita φ : R → S. Pela unicidade, dada pelo CorolárioC.2.2, podemos denotar S por RX−1, e nos referir à φ como a inclusão natural de R paraRX−1. No caso da localização de Ore à esquerda com respeito ao conjunto de denominadoresY , denotaremos a localização por Y −1R.

Proposição C.2.2. Se X é um conjunto de denominadores à direita e à esquerda em umanel R, então qualquer localização de Ore à direita (à esquerda) para R com respeito a X étambém uma localização de Ore à esquerda (à direita) para R com respeito a X. Em outraspalavras X−1R = RX−1.


142 APÊNDICE C

C.3 Localizações em módulos

Nesta seção R denota um anel (ou domínio) não comutativo.Tendo construído a localização de Ore à direita RX−1 de um dado conjunto de deno-

minadores à direita X em um anel R, vamos construir uma localização MX−1 para cadaR-módulo à direita M . Claramente os elementos de MX−1 serão "frações" com numeradorpertencente à M e denominador à X. O kernel da aplicação de M para MX−1 será tX(M),e a aplicação M → MX−1 terá uma Propriedade Universal com respeito a homomor�smosde RX−1-módulos.

De�nição C.3.1. Sejam X um conjunto de denominadores à direita em um anel R e Mum R-módulo à direita. Uma localização do módulo M com respeito a X (ou módulo defrações para M com respeito a X) consiste de um RX−1-módulo à direita N munido comum R-homomor�smo f : M → N tal que:

1. Todo elemento de N tem a forma f(a)x−1 para alguns a ∈ M , x ∈ X.

2. ker(f) = tX(M).

Com abuso de notação, geralmente nos referimos à N como a localização do módulo M .

Proposição C.3.1. Sejam X um conjunto de denominadores à direita em um anel R e Mum R-módulo à direita, e suponha que exista a localização f : M → N para M com respeitoa X. Se P é um RX−1-módulo à direita e g : M → P é um R-homomor�smo, existe umúnico homomor�smo de RX−1-módulos h : N → P tal que g = hf .


Corolário C.3.1. Sejam X um conjunto de denominadores à direita em um anel R e Mum R-módulo à direita, e suponha que f1 : M → N1 e f2 : M → N2 são localizações para Mcom respeito a X. Então existe um (único) isomor�smo de RX−1-módulos h : N1 → N2 talque hf1 = f2.


De�nição C.3.2. Seja X um conjunto multiplicativo em um anel R. Dizemos que um R-módulo à direita M é X-divisível se, e somente se, Mx = M para todo x ∈ X.

Proposição C.3.2. Seja X um conjunto de denominadores à direita em um anel R.

1. Todo RX−1-módulo à direita ou esquerda é X-livre de torção e X-divisível como Rmódulo.

2. Se M é um R-módulo à direita X-livre de torção e X-divisível, existe uma únicaestrutura de RX−1-módulo à direita em M compatível com sua estrutura de R-móduloà direita.


Vamos enunciar a existência da localização de um módulo:

Teorema C.3.1. Se X é um conjunto de denominadores à direita em um anel R, entãoexiste uma localização para qualquer R-módulo à direita M com respeito a X.

Demonstração. [GJ89], Capítulo 9, Teorema 9.13, pág. 152.

REFERÊNCIAS 143

De�nição C.3.3. Dados um conjunto de denominadores à direita X em um anel R e umR-módulo à direita M , sabemos que existe a localização f : M → N para M com respeitoa X. Por conta da unicidade dada pelo Corolário C.3.1 , podemos denotar N por MX−1 ef será a inclusão natural de M para MX−1. Escrevemos os elementos de MX−1 na formaax−1, e elementos de f(M) na forma a1−1.

Suponhamos que P é outro R-módulo à direita, e seja g : M → P . Como visto naProposição C.3.1 , existe um único homomor�smo de RX−1-módulos à direita h : MX−1 →PX−1 tal que h(ax−1) = g(a)x−1 para todos a ∈ M , x ∈ X. Nos referimos a h como aaplicação induzida por g, e se a notação para h é necessária, usamos gX−1.

A seguinte proposição mostra que qualquer localização MX−1sobre a localização de Oreà direita RX−1 é naturalmente isomorfa aM⊗RRX−1. Então o produto tensorial nos forneceuma abordagem alternativa para a localização de R-módulos.

Proposição C.3.3. Sejam X um conjunto de denominadores à direita em um anel R e Mum R-módulo à direita. Então a "aplicação multiplicação" M × RX−1 → MX−1 dada por(a, s) 7→ (a1−1)s induz um isomor�smo de RX−1-módulos entre M ⊗R RX−1 e MX−1.


C.4 Referências

Todas as seções foram baseadas em [GJ89][Capítulos 5 e 9].

144 APÊNDICE C

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