matemÁtica e suas tecnologias_digital

Aos estudantes,

Se analisarmos friamente uma tribo africana, provavelmente iremos identificar o ritual em que seus jovens passam a ser considerados adultos. J nesse mundo globalizado em que vivemos, no qual as informaes chegam numa velocidade jamais vista, essa caracterstica parece ter desaparecido. Ser?

evidente que no vemos nenhum ritual de passagem por a, mas ser que no conseguimos encontrar um momento em que nossos jovens ficam diante de sua primeira grande e difcil deciso, no qual so os nicos responsveis? Vocs j devem ter percebido que estamos falando do vestibular, o primeiro desafio de muitos jovens. E, nesse momento, embora muitas vezes contem com a ajuda de parentes, esses estudantes sabem que as conseqncias de uma escolha errada, de um sucesso, ou de um fracasso, so nica e exclusivamente suas.

E para engrossar um pouco mais esse caldo, nosso ritual de passagem vem sofrendo drsticas mudanas.

H alguns anos, os vestibulandos eram obrigados a passar por uma verdadeira maratona de provas ao final do ensino mdio. Como vocs j devem saber, uma nova tendncia ao acesso ao ensino superior brasileiro est alterando todo esse cenrio.

O Exame Nacional do Ensino Mdio (Enem), por meio de diversas medidas do governo federal, tornou-se o principal vestibular do pas, facilitando (e muito) a vida dos candidatos. Nesse novo modelo, a participao no Enem permite concorrer s vagas e bolsas de estudo em inmeras instituies de ensino superior, alm de possibilitar a certificao do Ensino Mdio para aqueles que no concluram seus estudos.

Mas no vamos nos deixar confundir. O Enem facilitou a questo do deslocamento e dos gastos que os candidatos tinham, mas no a questo da concorrncia. Alis, essa s aumenta ano aps ano.

Resumindo: para ingressar no ensino superior, os candidatos precisam estudar e se preparar especificamente para o Enem, j que este se tornou a nica porta de acesso para as principais universidades do pas.

Ns, do infoEnem, notamos ausncia de um material que, de fato, prepare esses estudantes para o exame. Da necessidade veio a ideia. Da ideia, passamos para o trabalho.

E o resultado esse material que vocs tm em mos. Apostilas diretas, simples e eficientes, que visam treinar e preparar os candidatos para o exame mais importante do Brasil, resolvendo e comentando questes de edies anteriores do prprio Enem.

E para isso no poupamos esforos. Procuramos profissionais que realmente pudessem fazer a diferena. Afinal, no almejamos entrar na memria dos momentos felizes desses estudantes. Almejamos ser lembrados como um elemento importante para o sucesso de cada um deles, nesse momento to decisivo, contribuindo para que estes possam ir em busca de seus sonhos.

Fernando Buglia e Matheus Andrietta

Cofundadores do site infoEnem

Orientao aos estudantes

Neste momento, antes que voc inicie seus estudos atravs deste material, sugerimos uma metodologia com estratgias para aproveita-lo da melhor maneira possvel.

Reforamos que o estudante deve se preparar basicamente de duas maneiras para uma prova com as caractersticas do Enem.

A primeira delas adquirindo e/ou revisando os contedos abordados no ensino mdio. A segunda se d atravs da preparao especfica para o modelo da prova.

E justamente nesta ltima etapa que nosso material entra em ao. Portanto, o foco desta apostila no o contedo exigido, e sim a prova do Enem. Afinal, resolver 180 questes e uma redao, em 10 horas, divididas em dois dias de prova, exige muito mais do que competncias e habilidades.

Desta forma, o candidato que comprou esta apostila e apenas leu as questes, as resolues e os comentrios, passou longe de otimizar o potencial deste material e consequentemente a sua preparao para o exame.

A nossa proposta que voc resolva todas as questes de cada edio da prova, para depois observar a resoluo e comentrios feitos por nossos professores. Se possvel, simule todas as condies que encontrar no dia do exame. Em outras palavras, sente-se numa pequena mesa sozinho, resolva, em mdia, 45 questes a cada 2 horas, sem se comunicar com ningum e sem consultar livro algum.

Fazendo isso, voc sai da sua zona de conforto e entende de fato o que prestar o Enem. Uma prova que, ao mesmo tempo em que se mostra coerente e interdisciplinar, consiste numa verdadeira enxurrada de questes, que exige boa leitura, ateno, interpretao, concentrao, calma, pacincia, resistncia e treino, muito treino.

No pregamos frmulas mgicas. Partimos do pressuposto que para conseguir a recompensa, seja ela o acesso ao ensino superior ou a Certificao do Ensino Mdio, necessrio muito empenho. Temos absoluta certeza que, utilizando este material da maneira que recomendamos, voc potencializar todas as capacidades citadas no pargrafo anterior e aumentar significativamente seu desempenho na prxima edio do Enem.

Bons estudos.

Apresentao dos professores Matemtica e suas Tecnologias

Todas as questes da Apostila de Matemtica e suas Tecnologias foram resolvidas e comentadas por dois professores. Segue abaixo breve currculo de cada um deles.

Luis Gustavo H. M. Grimm: natural de So Paulo, mudou-se para Campinas em 2005, onde se graduou em Matemtica pela UNICAMP (Universidade Estadual de Campinas), no ano de 2011. Iniciou sua carreira com aulas em cursinhos comunitrios e privados. Tambm atuou como Coordenador Pedaggico de Ensino Mdio em Serra Negra. Hoje trabalha como professor de Matemtica e Fsica nas redes pblica e particular de Campinas, preparando estudantes para os vestibulares mais concorridos do pas, alm de fazer mestrado em Matemtica pela Universidade Estadual Paulista (UNESP) de Rio Claro. Casado com Ana Lusa, tambm professora de Matemtica.

Ana Lusa S. Tagliolatto: natural de Campinas, tambm se formou em Matemtica pela UNICAMP (2008) e atualmente faz mestrado em Matemtica pela UNESP (Rio Claro). Foi apresentadora e monitora no Museu Exploratrio de Cincias da UNICAMP. Atualmente trabalha como professora de Matemtica da rede municipal de Campinas e articuladora do Programa Mais Educao, do Governo Federal. Casada com Luis Gustavo H. M. Grimm, tambm professor de Matemtica.

NDICE

Enem 2009 - questes ............................................................................................................... 01

Enem 2009 - resolues e comentrios .................................................................................... 12

Enem 2010 - questes ............................................................................................................... 30

Enem 2010 - resolues e comentrios ................................................................................... 41

Enem 2011 - questes ............................................................................................................... 57


Enem 2012 - questes ............................................................................................................... 83


infoEnem Enem 2009 1

Enem 2009 - MATEMTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Questo 136.

Dados da Associao Nacional de Empresas de Transportes Urbanos (ANTU) mostram que o nmero de passageiros transportados mensalmente nas principais regies metropolitanas do pas vem caindo sistematicamente. Eram 476,7 milhes de passageiros em 1995, e esse nmero caiu para 321,9 milhes em abril de 2001. Nesse perodo, o tamanho da frota de veculos mudou pouco, tendo no final de 2008 praticamente o mesmo tamanho que tinha em 2001.

O grfico a seguir mostra um ndice de produtividade utilizado pelas empresas do setor, que a razo entre o total de passageiros transportados por dia e o tamanho da frota de veculos.

Disponvel em: http://www.ntu.org.br. Acesso em 16 jul. 2009 (adaptado).

Supondo que as frotas totais de veculos naquelas regies metropolitanas em abril de 2001 e em outubro de 2008 eram do mesmo tamanho, os dados do grfico permitem inferir que o total de passageiros transportados no ms de outubro de 2008 foi aproximadamente igual a

A) 355 milhes.

B) 400 milhes.

C) 426 milhes.

D) 441 milhes.

E) 477 milhes.

Questo 137.

O mapa ao lado representa um bairro de determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mos do trfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na figura um terreno quadrado, de lado igual a 200 metros.

Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um nibus, em velocidade constante e igual a 40 km/h, partindo do ponto X, demoraria para chegar at o ponto Y?

A) 25 min. D 1,5 min.

B) 15 min. E 0,15 min.

C) 2,5 min.

Texto para as questes 138 e 139

A populao mundial est ficando mais velha, os ndices de natalidade diminuram e a expectativa de vida aumentou. No grfico seguinte, so apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organizao das Naes Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os nmeros da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhes de pessoas com 60 anos ou mais nos pases desenvolvidos, nmero entre 10% e 15% da populao total nos pases desenvolvidos.

Disponvel em: www.economist.com. Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado).

Questo 138.

Suponha que o modelo exponencial , em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y a populao em milhes de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa populao com 60 anos ou mais de idade nos pases em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando , estima-se que a populao com 60 anos ou mais estar, em 2030, entre

A) 490 e 510 milhes.

B) 550 e 620 milhes.

C) 780 e 800 milhes.

D) 810 e 860 milhes.

E) 870 e 910 milhes.

Questo 139.

Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na populao dos pases desenvolvidos, ser um nmero mais prximo de


A) 2/1. D) 5/1.

B) 20/7. E) 25/3.

C) 25/8.

Questo 140.

O governo cedeu terrenos para que famlias construssem suas residncias com a condio de que no mnimo 94% da rea do terreno fosse mantida como rea de preservao ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que AB = BC/2, Antnio demarcou uma rea quadrada no vrtice A, para a construo de sua residncia, de acordo com o desenho, no qual AE = AB/5 lado do quadrado.

Nesse caso, a rea definida por Antnio atingiria exatamente o limite determinado pela condio se ele

A) duplicasse a medida do lado do quadrado.

B) triplicasse a medida do lado do quadrado.

C) triplicasse a rea do quadrado.

D) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.

E) ampliasse a rea do quadrado em 4%.

Questo 141.

Uma resoluo do Conselho Nacional de Poltica Energtica (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de adio de biodsel ao leo dsel comercializado nos postos. A exigncia que, a partir de 1. de julho de 2009, 4% do volume da mistura final seja formada por biodsel. At junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodsel, bem como possibilita a reduo da importao de dsel de petrleo.

Disponvel em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado).

Estimativas indicam que, com a adio de 4% de biodsel ao dsel, sero consumidos 925 milhes de litros de biodsel no segundo semestre de 2009. Considerando-se essa estimativa, para o mesmo volume da mistura final dsel/biodsel consumida no segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de biodsel com a adio de 3%?

A) 27,75 milhes de litros.

B) 37,00 milhes de litros.

C) 231,25 milhes de litros.

D) 693,75 milhes de litros.

E) 888,00 milhes de litros.

Questo 142.

A suspeita de que haveria uma relao causal entre tabagismo e cncer de pulmo foi levantada pela primeira vez a partir de observaes clnicas. Para testar essa possvel associao, foram conduzidos inmeros estudos epidemiolgicos. Dentre esses, houve o estudo do nmero de casos de cncer em relao ao nmero de cigarros consumidos por dia, cujos resultados so mostrados no grfico a seguir.

Centers for Disease Control and Prevention CDC-EIS Summer Course 1992 (adaptado).

De acordo com as informaes do grfico,

A) o consumo dirio de cigarros e o nmero de casos de cncer de pulmo so grandezas inversamente proporcionais.

B) o consumo dirio de cigarros e o nmero de casos de cncer de pulmo so grandezas que no se relacionam.

C) o consumo dirio de cigarros e o nmero de casos de cncer de pulmo so grandezas diretamente proporcionais.

D) uma pessoa no fumante certamente nunca ser diagnosticada com cncer de pulmo.

E) o consumo dirio de cigarros e o nmero de casos de cncer de pulmo so grandezas que esto relacionadas, mas sem proporcionalidade.

Questo 143.

O grfico a seguir mostra a evoluo, de abril de 2008 a maio de 2009, da populao economicamente ativa para seis Regies Metropolitanas pesquisadas.

Considerando que a taxa de crescimento da populao economicamente ativa, entre 05/09 e 06/09, seja de 4%, ento o nmero de pessoas economicamente ativas em 06/09 ser igual a

A) 23.940.


B) 32.228.

C) 920.800.

D) 23.940.800.

E) 32.228.000.

Questo 144.

A msica e a matemtica se encontram na representao dos tempos das notas musicais, conforme a figura seguinte.

Um compasso uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a soma das duraes coincide com a frao indicada como frmula do compasso. Por exemplo, se a frmula de compasso for 1/2, poderia ter um compasso ou com duas semnimas ou uma mnima ou quatro colcheias, sendo possvel a combinao de diferentes figuras. Um trecho musical de oito compassos, cuja frmula 3/4, poderia ser preenchido com

A) 24 fusas.

B) 3 semnimas.

C) 8 semnimas.

D) 24 colcheias e 12 semnimas.

E) 16 semnimas e 8 semicolcheias.

Questo 145.

O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricao de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?

A) 2 (0,2%)4.

B) 4 (0,2%)2.

C) 6 (0,2%)2 (99,8%)2.

D) 4 (0,2%).

E) 6 (0,2%) (99,8%).

Questo 146.

Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por at oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos trs primeiros dias, a diria custaria R$ 150,00, preo da diria fora da promoo. Nos trs dias seguintes, seria aplicada uma reduo no valor da diria, cuja taxa mdia de variao, a cada dia, seria de R$ 20,00. Nos dois dias restantes, seria mantido o preo do sexto dia. Nessas condies, um modelo para a promoo idealizada apresentado no grfico a seguir, no qual o valor da diria funo do tempo medido em nmero de dias.

De acordo com os dados e com o modelo, comparando o preo que um casal pagaria pela hospedagem por sete dias fora da promoo, um casal que adquirir o pacote promocional por oito dias far uma economia de

A) R$ 90,00. D) R$ 150,00.

B) R$ 110,00. E) R$ 170,00.

C) R$ 130,00.

Questo 147.

As figuras a seguir exibem um trecho de um quebra-cabeas que est sendo montado. Observe que as peas so quadradas e h 8 peas no tabuleiro da figura A e 8 peas no tabuleiro da figura B. As peas so retiradas do tabuleiro da figura B e colocadas no tabuleiro da figura A na posio correta, isto , de modo a completar os desenhos.


Disponvel em: http://pt.eternityii.com. Acesso em: 14 jul. 2009.

possvel preencher corretamente o espao indicado pela seta no tabuleiro da figura A colocando a pea

A) 1 aps gir-la 90 no sentido horrio.

B) 1 aps gir-la 180 no sentido anti-horrio.

C) 2 aps gir-la 90 no sentido anti-horrio.

D) 2 aps gir-la 180 no sentido horrio.

E) 2 aps gir-la 270 no sentido anti-horrio.

Questo 148.

A tabela mostra alguns dados da emisso de dixido de carbono de uma fbrica, em funo do nmero de toneladas produzidas.

Cadernos do Gestar II, Matemtica TP3. Disponvel em: www.mec.gov.br. Acesso em: 14 jul. 2009.

Os dados na tabela indicam que a taxa mdia de variao entre a emisso de dixido de carbono (em ppm) e a produo (em toneladas)

A) inferior a 0,18.

B) superior a 0,18 e inferior a 0,50.

C) superior a 0,50 e inferior a 1,50.

D) superior a 1,50 e inferior a 2,80.

E) superior a 2,80.

Questo 149.

Em Florena, Itlia, na Igreja de Santa Croce, possvel encontrar um porto em que aparecem os anis de Borromeo. Alguns historiadores acreditavam que os crculos

representavam as trs artes: escultura, pintura e arquitetura, pois elas eram to prximas quanto inseparveis.

Scientific American, ago. 2008.

Qual dos esboos a seguir melhor representa os anis de Borromeo?

A) D)

B) E)

C)

Questo 150.

Brasil e Frana tm relaes comerciais h mais de 200 anos. Enquanto a Frana a 5. nao mais rica do planeta, o Brasil a 10., e ambas se destacam na economia mundial. No entanto, devido a uma srie de restries, o comrcio entre esses dois pases ainda no adequadamente explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao perodo 2003-2007.

Disponvel em: www.cartacapital.com.br. Acesso em: 7 jul. 2009.

Os dados da tabela mostram que, no perodo considerado, os valores mdios dos investimentos da Frana no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na Frana em um valor


A) inferior a 300 milhes de dlares.

B) superior a 300 milhes de dlares, mas inferior a 400 milhes de dlares.

C) superior a 400 milhes de dlares, mas inferior a 500 milhes de dlares.

D) superior a 500 milhes de dlares, mas inferior a 600 milhes de dlares.

E) superior a 600 milhes de dlares.

Questo 151.

Um grupo de 50 pessoas fez um oramento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem no havia ainda contribudo pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.

De acordo com essas informaes, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?

A) R$ 14,00. D) R$ 32,00.

B) R$ 17,00. E) R$ 57,00.

C) R$ 22,00.

Questo 152.

Tcnicos concluem mapeamento do aqufero Guarani

O aqufero Guarani localiza-se no subterrneo dos territrios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com extenso total de 1.200.000 quilmetros quadrados, dos quais 840.000 quilmetros quadrados esto no Brasil. O aqufero armazena cerca de 30 mil quilmetros cbicos de gua e considerado um dos maiores do mundo. Na maioria das vezes em que so feitas referncias gua, so usadas as unidades metro cbico e litro, e no as unidades j descritas. A Companhia de Saneamento Bsico do Estado de So Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo, um novo reservatrio cuja capacidade de armazenagem de 20 milhes de litros.

Disponvel em: http://noticias.terra.com.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).

Comparando as capacidades do aqufero Guarani e desse novo reservatrio da SABESP, a capacidade do aqufero Guarani

A) 1,5 x 102 vezes a capacidade do reservatrio novo.

B) 1,5 x 103 vezes a capacidade do reservatrio novo.

C) 1,5 x 106 vezes a capacidade do reservatrio novo.

D) 1,5 x 108 vezes a capacidade do reservatrio novo.

E) 1,5 x 109 vezes a capacidade do reservatrio novo.

Questo 153.

Suponha que, na escultura do artista Emanoel Arajo, mostrada na figura a seguir, todos os prismas numerados em algarismos romanos so retos, com bases triangulares, e que as faces laterais do poliedro II so perpendiculares sua prpria face superior, que, por sua vez, um tringulo congruente ao tringulo base dos prismas. Alm disso, considere que os prismas I e III so perpendiculares ao prisma IV e ao poliedro II.

Disponvel em: www.escritosriodearte.com.br. Acesso em: 28 jul. 2009.

Imagine um plano paralelo face do prisma I, mas que passe pelo ponto P pertencente aresta do poliedro II, indicado na figura. A interseo desse plano imaginrio com a escultura contm

A) dois tringulos congruentes com lados correspondentes paralelos.

B) dois retngulos congruentes e com lados correspondentes paralelos.

C) dois trapzios congruentes com lados correspondentes perpendiculares.

D) dois paralelogramos congruentes com lados correspondentes paralelos.

E) dois quadrilteros congruentes com lados correspondentes perpendiculares.

Questo 154.

A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcanou uma altura de 0,8 metro.

A distncia em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa

A) 1,16 metros. D) 5,6 metros.

B) 3,0 metros. E) 7,04 metros.

C) 5,4 metros.

Questo 155.

Um posto de combustvel vende 10.000 litros de lcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietrio percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em


que o preo do lcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.

Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preo de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do lcool, ento a expresso que relaciona V e x

A) V = 10.000 + 50x x2.

B) V = 10.000 + 50x + x2.

C) V = 15.000 50x x2.

D) V = 15.000 + 50x x2.

E) V = 15.000 50x + x2.

Questo 156.

Para cada indivduo, a sua inscrio no Cadastro de Pessoas Fsicas (CPF) composto por um nmero de 9 algarismos e outro nmero de 2 algarismos, na forma d1d2, em que os dgitos d1 e d2 so denominados dgitos verificadores. Os dgitos verificadores so calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos so multiplicados pela sequncia 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da diviso da soma dos resultados das multiplicaes por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 zero, caso contrrio d1 = (11 r). O dgito d2 calculado pela mesma regra, na qual os nmeros a serem multiplicados pela sequncia dada so contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o ltimo algarismo, isto , d2 zero se o resto s da diviso por 11 das somas das multiplicaes for 0 ou 1, caso contrrio, d2 = (11 s).

Suponha que Joo tenha perdido seus documentos, inclusive o carto de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, no conseguisse lembrar quais eram os dgitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dgitos verificadores d1 e d2 esquecidos so, respectivamente,

A) 0 e 9. D) 9 e 1.

B )1 e 4. E) 0 e 1.

C) 1 e 7.

Questo 157.

Uma empresa que fabrica esferas de ao, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transport-las. Sabendo que a capacidade da caixa de 13.824 cm3, ento o nmero mximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa igual a

A) 4. D) 24.

B) 8. E) 32.

C) 16.

Questo 158.

A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que ser fabricada para utilizao por companhias de

transporte areo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avio em escala de 1:150.

Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em relao s bordas da folha, quais as dimenses mnimas, em centmetros, que essa folha dever ter?

A) 2,9 cm 3,4 cm.

B) 3,9 cm 4,4 cm.

C) 20 cm 25 cm.

D) 21 cm 26 cm.

E) 192 cm 242 cm.

Questo 159.

Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idnticas em um copo com gua at certo nvel e medir o nvel da gua, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nvel da gua funo do nmero de bolas de vidro que so colocadas dentro do copo.

O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.

Disponvel em: www.penta.ufrgs.br. Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado).

Qual a expresso algbrica que permite calcular o nvel da gua (y) em funo do nmero de bolas (x)?

A) y = 30x.

B) y = 25x + 20,2.


C) y = 1,27x.

D) y = 0,7x.

E) y = 0,07x + 6.

Questo 160.

Uma cooperativa de colheita props a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 mquinas, em um regime de trabalho de 6 horas dirias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1.000,00 pelo aluguel dirio de cada mquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25.000,00.

Para atender s exigncias do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das mquinas seja constante, a cooperativa deveria

A) manter sua proposta.

B) oferecer 4 mquinas a mais.

C) oferecer 6 trabalhadores a mais.

D) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas dirias.

E) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel dirio de uma mquina.

Questo 161.

Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuao da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no mximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe mega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e ltima colocao, no pde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.

Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe

A) teria a pontuao igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0.

B) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.

C) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.

D) permaneceria na terceira posio, independentemente da nota obtida pelo aluno.

E) empataria com a equipe mega na primeira colocao se o aluno obtivesse nota 9.

Questo 162.

Uma escola lanou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos no perecveis para doar a uma comunidade carente da regio. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3

horas dirias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes at o trmino da campanha.

Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de

A) 920 kg. D) 600 kg.

B) 800 kg. E) 570 kg.

C) 720 kg.

Questo 163.

Segundo as regras da Frmula 1, o peso mnimo do carro, de tanque vazio, com o piloto, de 605 kg, e a gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. Entre os circuitos nos quais ocorrem competies dessa categoria, o mais longo Spa-Francorchamps, na Blgica, cujo traado tem 7 km de extenso. O consumo mdio de um carro da Frmula 1 de 75 litros para cada 100 km.

Suponha que um piloto de uma equipe especfica, que utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750 g/L, esteja no circuito de Spa-Francorchamps, parado no box para reabastecimento. Caso ele pretenda dar mais 16 voltas, ao ser liberado para retornar pista, seu carro dever pesar, no mnimo,

A) 617 kg. D) 689 kg.

B) 668 kg. E) 717 kg.

C) 680 kg.

Questo 164.

Ao morrer, o pai de Joo, Pedro e Jos deixou como herana um terreno retangular de 3 km x 2 km que contm uma rea de extrao de ouro delimitada por um quarto de crculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da rea de extrao de ouro, os irmos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a tera parte da rea de extrao, conforme mostra a figura.


Em relao partilha proposta, constata-se que a porcentagem da rea do terreno que coube a Joo

corresponde, aproximadamente, a (considere = 0,58)

A) 50%. D) 33%.

B) 43%. E) 19%.

C) 37%.

Questo 165.

Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu prprio campo, e o segundo seria o time visitante.

A quantidade total de escolhas possveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas atravs de

A) uma combinao e um arranjo, respectivamente.

B) um arranjo e uma combinao, respectivamente.

C) um arranjo e uma permutao, respectivamente.

D) duas combinaes.

E) dois arranjos.

Questo 166.

Rotas areas so como pontes que ligam cidades, estados ou pases. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localizao de algumas capitais identificadas pelos nmeros. Considere que a direo seguida por um avio AI que partiu de Braslia DF, sem escalas, para Belm, no Par, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4.

SIQUEIRA, S. Brasil Regies. Disponvel em: www.santiagosiqueira.pro.br.

Acesso em: 28 jul. 2009 (adaptado).

Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avio AII, que seguiu a direo que forma um ngulo de 135

graus no sentido horrio com a rota Braslia Belm e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexo e embarcou em um avio AIII, que seguiu a direo que forma um ngulo reto, no sentido anti-horrio, com a direo seguida pelo avio AII ao partir de Braslia-DF. Considerando que a direo seguida por um avio sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avio, pela descrio dada, o passageiro Carlos fez uma conexo em

A) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.

B) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador.

C) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho.

D) Goinia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro.

E) Goinia, e em seguida embarcou para Manaus.

Questo 167.

O quadro apresenta informaes da rea aproximada de cada bioma brasileiro.

Disponvel em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).

comum em conversas informais, ou mesmo em noticirios, o uso de mltiplos da rea de um campo de futebol (com as medidas de 120 m x 90 m) para auxiliar a visualizao de reas consideradas extensas. Nesse caso, qual o nmero de campos de futebol correspondente rea aproximada do bioma Pantanal?

A) 1.400 D) 1.400.000

B) 14.000 E) 14.000.000

C) 140.000

Questo 168.

Na tabela, so apresentados dados da cotao mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Braslia, em reais, por caixa de 30 dzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.


De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotaes mensais do ovo extra branco nesse perodo era igual a

A) R$ 73,10. D) R$ 83,00.

B) R$ 81,50. E) R$ 85,30.

C) R$ 82,00.

Questo 169.

A vazo do rio Tiet, em So Paulo, constitui preocupao constante nos perodos chuvosos. Em alguns trechos, so construdas canaletas para controlar o fluxo de gua. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapzio issceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazo da gua de 1.050 m3/s. O clculo da vazo, Q em m3/s, envolve o produto da rea A do setor transversal (por onde passa a gua), em m2, pela velocidade da gua no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av. Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimenses especificadas na figura II, para evitar a ocorrncia de enchentes.

Disponvel em: www2.uel.br.

Na suposio de que a velocidade da gua no se alterar, qual a vazo esperada para depois da reforma na canaleta?

A) 90 m3/s. D) 1.512 m3/s.

B) 750 m3/s. E) 2.009 m3/s

C) 1.050 m3/s.

Questo 170.

A resoluo das cmeras digitais modernas dada em megapixels, unidade de medida que representa um milho de pontos. As informaes sobre cada um desses pontos so armazenadas, em geral, em 3 bytes. Porm, para evitar que as imagens ocupem muito espao, elas so submetidas a algoritmos de compresso, que reduzem em at 95% a

quantidade de bytes necessrios para armazen-las. Considere 1 KB = 1.000 bytes, 1 MB = 1.000 KB, 1 GB = 1.000 MB.

Utilizando uma cmera de 2.0 megapixels cujo algoritmo de compresso de 95%, Joo fotografou 150 imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja armazen-las de modo que o espao restante no dispositivo seja o menor espao possvel, ele deve utilizar

A) um CD de 700 MB.

B) um pendrive de 1 GB.

C) um HD externo de 16 GB.

D) um memory stick de 16 MB.

E) um carto de memria de 64 MB.

Questo 171.

A populao brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena no zero, mas quase. Mesmo assim, milhes de pessoas so atradas por essa loteria, especialmente quando o prmio se acumula em valores altos. At junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50.

Disponvel em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009.

Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta ltima. Nesse caso, melhor que essa pessoa faa 84 apostas de seis dezenas diferentes, que no tenham cinco nmeros em comum, do que uma nica aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relao ao primeiro , aproximadamente,

A) vez menor.

B) vezes menor.

C) 4 vezes menor.

D) 9 vezes menor.

E) 14 vezes menor.

Questo 172.

Nos ltimos anos, o volume de petrleo exportado pelo Brasil tem mostrado expressiva tendncia de crescimento, ultrapassando as importaes em 2008. Entretanto, apesar de as importaes terem se mantido praticamente no mesmo patamar desde 2001, os recursos gerados com as exportaes ainda so inferiores queles despendidos com as importaes, uma vez que o preo mdio por metro cbico do petrleo importado superior ao do petrleo nacional. Nos primeiros cinco meses de 2009, foram gastos 2,84 bilhes de dlares com importaes e gerada uma receita de 2,24 bilhes de dlares com as exportaes. O preo mdio por metro cbico em maio de 2009 foi de 340 dlares para o


petrleo importado e de 230 dlares para o petrleo exportado. O quadro a seguir mostra os dados consolidados de 2001 a 2008 e dos primeiros cinco meses de 2009.

Disponvel em: http://www.anp.gov.br. Acesso em: 15 jul. 2009 (adaptado).

Considere que as importaes e exportaes de petrleo de junho a dezembro de 2009 sejam iguais a 7/5 das importaes e exportaes, respectivamente, ocorridas de janeiro a maio de 2009. Nesse caso, supondo que os preos para importao e exportao no sofram alteraes, qual seria o valor mais aproximado da diferena entre os recursos despendidos com as importaes e os recursos gerados com as exportaes em 2009?

A) 600 milhes de dlares.

B) 840 milhes de dlares.

C) 1,34 bilho de dlares.

D) 1,44 bilho de dlares.

E) 2,00 bilhes de dlares.

Questo 173.

Uma fbrica produz velas de parafina em forma de pirmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas so formadas por 4 blocos de mesma altura 3 troncos de pirmide de bases paralelas e 1 pirmide na parte superior , espaados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco igual base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.

Se o dono da fbrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passar a gastar com parafina para fabricar uma vela?

A) 156 cm3 D) 216 cm3 E) 540 cm3

B) 189 cm3 C) 192 cm3

Questo 174.

Considere um ponto P em uma circunferncia de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeo ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horrio, uma distncia d r sobre a circunferncia.

Ento, o ponto Q percorrer, no eixo x, uma distncia dada por

A) D)

B) E)

C)

Questo 175.

O Indicador do Cadnico (ICadnico), que compe o clculo do ndice de Gesto Descentralizada do Programa Bolsa Famlia (IGD), obtido por meio da mdia aritmtica entre a taxa de cobertura qualificada de cadastros (TC) e a taxa de atualizao de cadastros (TA), em que

, NV o nmero de cadastros domiciliares vlidos no perfil do Cadnico, NF o nmero de famlias estimadas como pblico alvo do Cadnico e NA o nmero de cadastros domiciliares atualizados no perfil do Cadnico.

Portaria n 148 de 27 de abril de 2006 (adaptado).

Suponha que o Icadnico de um municpio especfico 0,6. Porm, dobrando NF o Icadnico cair para 0,5. Se NA + NV = 3.600, ento NF igual a

A) 10.000. D) 4.500.

B) 7.500. E) 3.000.

C) 5.000.

Questo 176.

Joana frequenta uma academia de ginstica onde faz exerccios de musculao. O programa de Joana requer que ela faa 3 sries de exerccios em 6 aparelhos diferentes, gastando 30 segundos em cada srie. No aquecimento, ela caminha durante 10 minutos na esteira e descansa durante 60 segundos para comear o primeiro exerccio no primeiro


aparelho. Entre uma srie e outra, assim como ao mudar de aparelho, Joana descansa por 60 segundos.

Suponha que, em determinado dia, Joana tenha iniciado seus exerccios s 10h30min e finalizado s 11h7min. Nesse dia e nesse tempo, Joana

A) no poderia fazer sequer a metade dos exerccios e dispor dos perodos de descanso especificados em seu programa.

B) poderia ter feito todos os exerccios e cumprido rigorosamente os perodos de descanso especificados em seu programa.

C) poderia ter feito todos os exerccios, mas teria de ter deixado de cumprir um dos perodos de descanso especificados em seu programa.

D) conseguiria fazer todos os exerccios e cumpriria todos os perodos de descanso especificados em seu programa, e ainda se permitiria uma pausa de 7 min.

E) no poderia fazer todas as 3 sries dos exerccios especificados em seu programa; em alguma dessas sries deveria ter feito uma srie menos e no deveria ter cumprido um dos perodos de descanso.

Questo 177.

Um arteso construiu peas de artesanato interceptando uma pirmide de base quadrada com um plano. Aps fazer um estudo das diferentes peas que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal.

Qual dos argumentos a seguir justifica a concluso do arteso?

A) Uma pirmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseo de um plano com a pirmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polgono de 4 lados.

B) Uma pirmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirmide, divide cada face em um tringulo e um trapzio. Logo, um dos polgonos tem 4 lados.

C) Uma pirmide de base quadrada tem 5 faces e a interseo de uma face com um plano um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polgono obtido nessa interseo tem 5 lados.

D) O nmero de lados de qualquer polgono obtido como interseo de uma pirmide com um plano igual ao nmero de faces da pirmide. Como a pirmide tem 5 faces, o polgono tem 5 lados.

E) O nmero de lados de qualquer polgono obtido interceptando-se uma pirmide por um plano igual ao nmero de arestas laterais da pirmide. Como a pirmide tem 4 arestas laterais, o polgono tem 4 lados.

Questo 178.

Joo deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao carto de crdito. O gerente do banco lhe

ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso Joo quitasse esta dvida imediatamente ou, na mesma condio, isto , quitao imediata, com 25% de desconto na dvida do carto. Joo tambm poderia renegociar suas dvidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, Jos, amigo de Joo, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessrio pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado.

A opo que d a Joo o menor gasto seria

A) renegociar suas dvidas com o banco.

B) pegar emprestado de Jos o dinheiro referente quitao das duas dvidas.

C) recusar o emprstimo de Jos e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos.

D) pegar emprestado de Jos o dinheiro referente quitao do cheque especial e pagar as parcelas do carto de crdito.

E) pegar emprestado de Jos o dinheiro referente quitao do carto de crdito e pagar as parcelas do cheque especial.

Questo 179.

A cisterna um recipiente utilizado para armazenar gua da chuva. Os principais critrios a serem observados para captao e armazenagem de gua da chuva so: a demanda diria de gua na propriedade; o ndice mdio de precipitao (chuva), por regio, em cada perodo do ano; o tempo necessrio para armazenagem; e a rea de telhado necessria ou disponvel para captao. Para fazer o clculo do volume de uma cisterna, deve-se acrescentar um adicional relativo ao coeficiente de evaporao. Na dificuldade em se estabelecer um coeficiente confivel, a Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuria (EMBRAPA) sugere que sejam adicionados 10% ao volume calculado de gua.

Desse modo, o volume, em m3, de uma cisterna calculado por Vc = Vd Ndia, em que Vd = volume de demanda da gua diria (m), Ndia = nmero de dias de armazenagem, e este resultado deve ser acrescido de 10%.

Para melhorar a qualidade da gua, recomenda-se que a captao seja feita somente nos telhados das edificaes.

Considerando que a precipitao de chuva de 1 mm sobre uma rea de 1 m2 produz 1 litro de gua, pode-se calcular a rea de um telhado a fim de atender a necessidade de armazenagem da seguinte maneira: rea do telhado (em m2) = volume da cisterna (em litros)/precipitao.

Disponvel em: www.cnpsa.embrapa.br. Acesso em: 8 jun. 2009 (adaptado).

Para atender a uma demanda diria de 2.000 litros de gua, com perodo de armazenagem de 15 dias e precipitao mdia de 110 mm, o telhado, retangular, dever ter as dimenses mnimas de

A) 6 metros por 5 metros, pois assim teria uma rea de 30 m2.


B) 15 metros por 20 metros, pois assim teria uma rea de 300 m2.

C) 50 metros por 60 metros, pois assim teria uma rea de 3.000 m2.

D) 91 metros por 30 metros, pois assim teria uma rea de 2.730 m2.

E) 110 metros por 30 metros, pois assim teria uma rea de 3.300 m2.

Questo 180.

Um mdico est estudando um novo medicamento que combate um tipo de cncer em estgios avanados. Porm, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada h uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabea, vmitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doena. O mdico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir.

Se um paciente considera aceitvel um risco de at 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual o maior nmero admissvel de doses para esse paciente?

A) 3 doses. D) 8 doses.

B) 4 doses. E) 10 doses.

C) 6 doses.

RESOLUES E COMENTRIOS - Enem 2009

QUESTO 136

De acordo com as informaes fornecidas no enunciado percebemos que uma forma de resolver o problema primeiro determinarmos o tamanho da frota (F) para os dois perodos em questo, para ento determinarmos o total de passageiros (P) transportados. O clculo ser feito atravs do ndice de produtividade (IP) fornecido pelo grfico. O enunciado nos diz que o IP a razo entre P e F, logo: IP = P

F. Vamos aos clculos:

Tamanho (F) da frota de veculos, em abril de 2001:

IP = PF 400 = 321,9 milhesF F = 321,9 milhes400 F = 0,805 milhes de veculos

Total (P) de passageiros transportados, em outubro de 2008: IP = PF 441 = P0,805 milhes P= 441 0,805 milhes = 354,9 milhes

355 Alternativa A

Comentrio: Como alternativa para a resoluo desta questo o aluno poderia efetuar direto o clculo do nmero de passageiros em 2008, sem calcular a frota de veculos, utilizando uma regra de trs simples. Sendo F = P

IP ento

temos que:

042001

= 102008

04

2001

042001

= 102008 10

2008

321,9 400

= 102008441 10

2008= (441 321,9 )400

102008

355

Contedos envolvidos: Regra de trs simples.

QUESTO 137

Uma vez que o enunciado nos traz a informao da velocidade do nibus e pergunta quanto tempo vai demorar a percorrer certa distncia, devemos nos lembrar de que o conceito de velocidade est atrelado taxa de variao do espao em uma determinada unidade de tempo. A expresso matemtica que representa a velocidade de um mvel : V = distncia

tempo. Portanto precisamos primeiro descobrir qual a

distncia que o nibus percorrer para ento descobrir quanto tempo levar para a velocidade de 40 km/h.

Analisando o mapa do bairro percebemos que s existe um nico trajeto para que o nibus saia do ponto X e chegue ao ponto Y. A figura a seguir indica qual este trajeto. Desta forma, como cada quarteiro possui 0,2 km (200 m) de comprimento, basta contarmos quantos quarteires ele ir percorrer do ponto X at o ponto Y e multiplicarmos por 0,2 km.

V = distnciatempo 40 = 5 0,2tempo tempo = 140 tempo = 0,025 horas

As alternativas no trazem esta resposta, porm se convertermos 0,05 horas em minutos, atravs de uma regra de trs, chegaremos alternativa correta.


Horas Minutos1 600,025 x 1 x = 60 0,025 x = 1,5 minutos

Alternativa D

Comentrio: Caso o aluno quisesse ele poderia trabalhar com a distncia em 200 m ao invs de transform-la em 0,2 km. Porm neste caso, ele precisaria transformar a velocidade de km/h em m/min, efetuando 40 0,06. Desta forma o resultado sairia direto em minutos.

Contedos envolvidos: Conceito de velocidade.

QUESTO 138

Utilizando a informao de que x = 0 representa o ano 2000, x = 1 representa 2001, ento x = 30 representar 2030. Desta forma para calcularmos a estimativa da populao com 60 anos ou mais, devemos efetuar o seguinte clculo, considerando que e0,3 = 1,35, dado no enunciado: y = 363 e0,03x y = 363 e0,0330 = 363 e0,33= 363 (e0,3)3 = 363 1,353 360 2,46 y 885 milhes 870 milhes 885 milhes 910 milhes Alternativa E

Comentrio: Efetuando os clculos exatos, sem usar valores aproximados, o resultado seria 893,11 milhes. Porm como as alternativas apresentam intervalos, temos a liberdade de usar aproximaes a fim de facilitar e economizar tempo com os clculos. Entretanto preciso bastante cautela e critrio para utilizar tais aproximaes. Uma passagem importante no clculo sobre propriedade de potncia, que o aluno necessita estar familiarizado , e0,33 = (e0,3)3. Contedo envolvido: Funes e propriedade de potncia.

QUESTO 139

Para o clculo da probabilidade de escolhermos, aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, nos pases desenvolvidos precisaremos do nmero de pessoas com 60 anos ou mais e do nmero total da populao. Esta probabilidade representa exatamente a porcentagem de pessoas com 60 anos ou mais na populao. De acordo com o grfico esta porcentagem est entre 30% e 35%. Logo a probabilidade p procurada uma frao que est entre estes dois valores:

30% < p < 35% 30100 < p < 35100 0,3 < p < 0,35

Comparando as alternativas, aquela que mais se aproxima dentro deste intervalo : 825 = 0,32. Alternativa C

Comentrio: Para esta questo necessrio que o aluno esteja convencido de que a porcentagem trazida pelo grfico tambm representa uma probabilidade. Alm disso, o aluno poderia intuir que o grfico est bem prximo de 32% =324

1004 = 825. Contedos envolvidos: Probabilidade, porcentagem e comparao entre fraes.

QUESTO 140

A rea de um retngulo dada pelo produto de sua largura pelo comprimento. Diante disto vamos realizar os seguintes clculos utilizando os dados fornecidos no enunciado:

rea do terreno cedido: A1 = AB BC = AB (2 AB) A1 = 2 AB2 rea limite permitida para construo (6% da rea do terreno):

A2 = 6% A1 = 6100 2AB2 = 12100 AB2 A2 = 325 AB2 rea demarcada por Antnio:

A3 = AE AE = AE2 = AB5 2 = AB225 A3 = 125 AB2 Portanto Antnio pode construir at o limite do triplo da rea que ele demarcou.

Alternativa C

Comentrio: O ponto chave da questo entender qual porcentagem do terreno permitida para ser construda. Como 94% da rea do terreno deve ser preservada, logo permitido construir em 4% dele.

Contedos envolvidos: Porcentagem e rea de retngulos.

QUESTO 141

Para resolver esta questo iremos utilizar duas regras de trs, uma para descobrir o volume da mistura final diesel/biodiesel e outra para descobrir, utilizando o valor obtido, o consumo de biodiesel com a adio de 3% mistura:

Volume da mistura final, em milhes de litros: 925 4%x 100% 4% x = 925 100% x = 925 1004 = 925 25 x = 23 125


Volume de biodiesel para uma mistura de 3%, em milhes de litros: 23 125 100%y 3% 100% y = 23 125 3% y = 69 375100 y = 693,75 Alternativa D

Comentrio: Caso o aluno tenha familiaridade com propores, o volume de biodiesel para uma mistura de 3% poderia ser mais facilmente obtido dividindo-se os 925 milhes de litros por 4 e em seguida multiplicar o resultado por 3. Ou seja, em milhes de litros:

925 14 3 = 693,75 Contedos envolvidos: Regra de trs simples.

QUESTO 142

Como o estilo desta questo consiste em cada alternativa afirmar algo em relao ao grfico dado, vamos analisar cada uma delas e assim por excluso chegar correta:

Alternativa A:

Para que o consumo dirio de cigarros fosse inversamente proporcional ao nmero de casos de cncer pulmonar, deveramos observar que ao aumentar-se o nmero de cigarros dirios, o nmero de casos de cncer pulmonar diminuiria na mesma proporo, o que no ocorre observando o grfico. Portanto esta alternativa falsa.

Alternativa B:

Pelo grfico observamos que nos intervalos de 1 a 14 cigarros dirios o nmero de casos de cncer pulmonar se mantm constante em 20. O mesmo ocorre no intervalo de 15 a 24 cigarros dirios, onde o nmero de casos se mantm constante em torno de 52. Logo percebemos que no existe uma proporo entre as grandezas, porm existe uma relao. Um maior consumo de cigarros acarreta um nmero maior de casos de cncer pulmonar do que em relao a um menor consumo.

Alternativa C:

Para que o consumo dirio de cigarros fosse diretamente proporcional ao nmero de casos de cncer pulmonar, deveramos observar que ao aumentar-se o nmero de cigarros dirios, o nmero de casos de cncer pulmonar aumentaria na mesma proporo, o que no ocorre observando o grfico. Portanto esta alternativa falsa.

Alternativa D:

Para que uma pessoa no fumante, ou seja, consumo zero de cigarros por dia, nunca fosse diagnosticada com cncer pulmonar o grfico deveria coincidir com zero casos de cncer pulmonar. Pelo grfico observamos, ainda que pequeno, existe sim um nmero maior que zero de casos de cncer pulmonar para um consumo dirio de zero cigarros. Portanto esta alternativa falsa.

Alternativa E:

Pelo grfico existe sim uma relao entre o consumo de cigarros dirios e o nmero de casos de cncer pulmonar. Isto se d devido ao fato de que em um intervalo maior de consumo de cigarros o nmero de casos de cncer pulmonar maior do que para um intervalo menor de consumo. Logo existe a relao, porm elas no so proporcionais.

Alternativa E

Comentrio: Apesar de no envolver clculo nenhum a questo exigiu a habilidade do aluno em ler, interpretar e concluir se h ou no, e caso haja, qual a relao entre o nmero de cigarros consumidos diariamente e o nmero de casos de cncer pulmonar. Analisando cada alternativa chegamos correta.

Contedos envolvidos: Leitura e interpretao de grficos.

QUESTO 143

Segundo o grfico, em 05/09, o nmero de pessoas economicamente ativas 23 020 000. Se houve crescimento deste nmero, entre 05/09 e 06/09, de 4% ento em 06/09 o nmero de pessoas economicamente ativas dado por, em mil pessoas:

23 020 + (23 020 4%) = 23 020 + 23 020 4100= 23 020 + 92 080100 = = 23 020 + 920,8 = 23 940,8 mil pessoas. 23 940,8 1 000 = 23 940 800 pessoas Alternativa D

Comentrio: Uma questo bastante simples onde envolvia uma porcentagem de aumento, em relao a um dado obtido por um grfico.

Contedos envolvidos: Leitura, interpretao de grficos e porcentagem.

QUESTO 144

Neste caso vamos analisar cada alternativa e por excluso chegaremos alternativa correta.

Sendo 8 compassos de frmula 34 ento o trecho musical

deve ser formado por: 8 34

= 6. Vejamos as alternativas:


Alternativa A:

24 fusas = 24 132 = 36 Falsa. Alternativa B:

3 semnimas = 3 14 = 34 Falsa. Alternativa C:

8 semnimas = 8 14 = 2 Falsa. Alternativa D: 24 colcheias e 12 semnimas = 24 18 + 12 14 = 3 + 3 = 6 Verdadeira. Alternativa E: 16 semnimas e 8 semincolcheias = 16 14 + 8 116= 4 + 12 = 92 Falsa. Alternativa D

Comentrio: Uma questo bastante interessante que aborda como a matemtica est presente na msica. Nas alternativas D e E, por serem combinaes de 2 tipos diferentes de tempos alm da multiplicao, efetuamos as somas dos dois tempos.

Contedo envolvido: Resoluo de problemas envolvendo operaes bsicas.

QUESTO 145

Para resolver esta questo algumas consideraes devem ser feitas:

De incio no devemos diferenciar os aparelhos da loja com os que saem da fbrica, isto , no importa onde sejam vendidos os aparelhos, a probabilidade a mesma.

Outro ponto importante como queremos exatamente 2, dos 4, aparelhos com defeito, logo os outros 2 no estaro com defeito. Neste sentido, como a probabilidade de um aparelho apresentar defeito 0,2%, logo a probabilidade de um aparelho no apresentar defeito 100% 0,2% =99,8%. Sendo assim teremos uma probabilidade de 0,2% para cada aparelho defeituoso e 99,8% para cada aparelho no defeituoso.

E por fim devemos distribuir essas probabilidades entre todas as combinaes de, entre os 4 aparelhos, exatamente 2 estarem com defeito. Para isto utilizaremos o Princpio Fundamental da Contagem. 43

2= 12

2= 6

Ento vamos ao clculo de fato: 6 0,2% 0,2% 99,8% 99,8% = 6 (0,2%)2 (99,8%)2 Alternativa C

Comentrio: Os pontos chave desta questo so dois. Primeiro o aluno lembrar-se de eventos complementares e mutuamente exclusivos. Desta forma foi possvel encontrar o valor 99,8%, afinal ou o aparelho defeituoso ou no. Logo se a probabilidade de apresentar defeito 0,2% ento a de no apresentar defeito 99,8% somando assim 100% dos aparelhos. Segundo que simultaneidade dos eventos, ou seja, os eventos entre aparelhos com e sem defeitos ocorrem ao mesmo tempo, nos sugere que utilizemos o princpio multiplicativo. Da que vem a multiplicao de todas as probabilidades.

Contedos envolvidos: Probabilidade

QUESTO 146

Como iremos comparar o preo para sete dias fora da promoo com o preo para oito dias dentro da promoo, vamos calcular os dois valores separadamente:

Pacote de 7 dias fora da promoo: 7 150 = R$ 1 050,00 Pacote de 8 dias dentro da promoo:

Para o clculo do valor deste pacote vamos organizar o preo de cada dia em uma tabela:

Dia 1 2 3 4 5 6 7 8

Preo (R$) 150 150 150 130 110 90 90 90

Logo o valor ser: 3 150 + 130 + 110 + 3 90 = 450 + 240 + 270= R$ 960,00 Valor que ser economizado: 1 050 960 = R$ 90,00 Alternativa A

Comentrio: O enunciado desta questo foi bem completo, e trouxe as informaes tanto no texto quanto no grfico. Na verdade o grfico serviu para representar a situao dada, porm todas as informaes necessrias foram obtidas do texto.

Contedo envolvido: Resoluo de problemas envolvendo operaes bsicas.


QUESTO 147

Pelo desenho, percebemos que a figura deve completar o lado esquerdo do quadrado ao lado direito da seta.

Logo a figura que buscamos deve possuir o mesmo tringulo cinza claro, que acabar completando o quadrado. E por este motivo podemos concluir que a pea 1 no servir por no possuir tal tringulo. Logo resta-nos apenas a pea 2. Sendo assim, de incio, podemos excluir as alternativas A e B. Para que a pea 2 se encaixe no lugar correto ela dever girar uma vez 90 no sentido antihorrio.

A figura a seguir est representando uma parte da figura A, focando a parte que nos interesse e a pea 2 rotacionando 90 no sentido antihorrio.

Alternativa C

Comentrio: A questo basicamente envolveu o movimento de rotao de figuras planas, uma vez que o aluno observa qual das duas peas satisfaria a pergunta.

Contedo envolvido: Geometria (rotao de figuras).

QUESTO 148

Antes de comearmos a resolver a questo, vamos entender o significado de taxa mdia de variao entre duas grandezas:

Taxa mdia de variao entre duas grandezas A e B o nmero que relaciona o quanto a grandeza A varia em relao variao da grandeza B. Um exemplo aplicvel o conceito de velocidade mdia, que relaciona o quanto um mvel varia sua posio em relao a uma variao de tempo.

Na prtica, calculamos esta taxa mdia dividindo-se a diferena entre os valores final e inicial de uma grandeza pela diferena correspondente final e inicial da outra grandeza.

Logo o valor pedido no exerccio calculado da seguinte maneira:

variao da emissovariao da produo = 4,00 2,142,0 1,1 = 1,860,9 2 O valor encontrado superior a 1,50 e inferior a 2,80.

Alternativa D

Comentrio: Apesar dos clculos simples, o aluno, para resolver esta questo, precisa ter bastante claro o conceito de taxa de variao mdia. Para o clculo, utilizamos como valores final e inicial, os dados extremos que aparecem na tabela apresentada no enunciado. A ttulo de curiosidade, em uma funo afim do tipo f(x) = a x + b, o coeficiente a representa a taxa de variao mdia de f(x) em relao x. Contedos envolvidos: Taxa de variao mdia.

QUESTO 149

Pelo estilo da questo, vamos analisar cada questo separadamente e encontrar a alternativa correta por excluso:

Alternativa A: Observando a figura observamos que o anel da esquerda no est preso a nenhum anel, portanto esta alternativa falsa.

Alternativa B: Nesta figura o anel superior est preso ao anel da esquerda, mas no ao anel da direita, portanto esta alternativa tambm falsa.

Alternativa C: J nesta figura os anis, esquerdo e direito, esto presos, porm o anel superior no est preso a nenhum dos outros, portanto a alternativa falsa.

Alternativa D: Esta figura precisa ser analisada com mais calma. Os trs anis esto todos presos entre si, porm no exatamente como nos anis de Borromeo. Na figura dada o anel superior

passa pelo anel direito pela frente e por trs, porm na alternativa ele passa somente por trs. Logo ela falsa.

Alternativa E: Nesta alternativa a figura coincide plenamente com a dos anis de Borromeo.

Alternativa E

Comentrio: O importante nesta questo o aluno entender a simbologia dos anis que passam pela frente e por trs.

Contedos envolvidos: Geometria espacial.


QUESTO 150

Como a questo quer avaliar a diferena entre a mdia de investimentos basta que calculemos cada uma e efetuemos a subtrao:

Mdia dos investimentos do Brasil na Frana (em milhes de dlares): 367 + 357 + 354 + 539 + 2805 = 1 8975 = 379,4 Mdia dos investimentos da Frana no Brasil (em milhes de dlares): 825 + 485 + 1 458 + 744 + 1 2145 = 4 7265 = 945,2 Diferena entre os investimentos (em milhes de dlares): 945,2 379,4 = 565,8 Este valor superior a 500 milhes de dlares e inferior a 600 milhes de dlares.

Alternativa D

Comentrio: Uma questo simples onde avalia a habilidade do aluno em extrair mdias aritmticas de dados obtidos a partir da leitura de uma tabela.

Contedos envolvidos: Mdia aritmtica.

QUESTO 151

Para resolver a questo iremos elaborar uma equao que represente a situao do acerto. O enunciado diz que ainda faltam ser pagos R$ 510,00, onde 5 pessoas pagaro o valor que ser igual para todas as 55 e as demais pessoas pagariam R$ 7,00. Logo a equao ser, onde x representa o valor final que cada uma das 55 pessoas pagar, em reais: 5 x + 50 7 = 510 5x = 510 350 5x = 160 x = 1605 x = R$ 32,00

Alternativa D

Comentrio: O ponto chave da questo est em utilizarmos uma varivel para representar o valor procurado e assim estabelecer uma relao entre as informaes dadas, ou seja, a equao propriamente dita.

Contedo envolvido: Deduo de equao e resoluo de problemas envolvendo operaes bsicas.

QUESTO 152

O exerccio sugere a comparao entre dois dados que representam a mesma grandeza, capacidade de gua de um reservatrio, porm em unidades distintas. Desta forma devemos ento realizar a converso de unidades para que os valores fiquem compatveis. importante ressaltar que no importa qual ser a unidade padro, desde que ambos os

nmeros estejam representados na mesma, cabendo ao aluno escolher aquela que parece mais vivel. Transformaremos quilmetros cbicos em litros, lembrando que 1 km =103 m e 1 m3 = 103 L: Aqufero Guarani: 1 km 103 m 1 km3 x x = (103 m)3 = 1033 m3 x = 109 m3 1 km3 = 109 m3 30 mil km3 = 30 103 km3 = 3 104 km3 1 km3 109 m33 104 km3 y y = 3 104 109 = 3 104+9

y = 3 1013 m3

Mas como 1 m3 = 103 L: y = 3 1013 m3 y = 3 1013 103L y = 3 10(13+3) L y = 3 1016 L Reservatrio da SABESP: 20 milhes de litros = 20 000 000 de litros= 2 107 litros Para sabermos quantas vezes o aqufero Guarani maior que o novo reservatrio da SABESP, basta dividirmos um pelo outro: 3 10162 107 = 32 10167 = 1,5 109 vezes Alternativa E

Comentrio: A questo envolve bastante converso de unidades, e o aluno deve dar uma ateno especial converso de 1 km3 para 1 m3. Contedo envolvido: Converso de unidades, regra de trs simples e propriedade de potenciao.

QUESTO 153

A explicao para a resposta da questo est claramente no enunciado, e o aluno, com calma, deve observar a parte que a contm: (...) todos os prismas numerados em algarismos romanos so retos, com bases triangulares (...).

Quando o enunciado diz: (...) imagine um plano paralelo face do prisma I, mas que passe pelo ponto P (...) devemos entender que o plano em questo ir cortar os poliedros II e IV de maneira ortogonal, isto , formando um ngulo reto. Logo a figura resultante da interseco deste plano imaginrio com os dois poliedros II e IV ser a mesma que a figura de suas bases, ou seja, um tringulo. A figura ao lado representa o corte ortogonal de um prisma de base triangular, como o da escultura, por um plano:


Alternativa A

Comentrio: Para resolver esta questo o aluno deve ter familiaridade com cortes de poliedros

Contedos envolvidos: Geometria espacial (interseco de planos com poliedros).

QUESTO 154

Para resolver a questo, vamos esboar a rampa e as distncias descritas no enunciado:

Pelo desenho podemos identificar uma semelhana de tringulos e, portanto a seguinte relao pode ser estabelecida:

3,2 + x2,2 = 3,20,8 (3,2 + x) 0,8 2,2 3,2 2,56 + 0,8 x = 7,04

0,8 x = 7,04 2,56 0,8 x = 4,48 x = 4,480,8 x = 5,6 m Uma soluo alternativa identificar a razo entre a hipotenusa e o cateto do tringulo menor que : 3,2

0,8 = 4. Logo pela semelhana a proporo para o tringulo maior ser mantida e a sua hipotenusa ser: 2,2 4 = 8,8 m. Logo o valor procurado ser: 8,8 3,2 = 5,6 m . Alternativa D

Comentrio: Para a resoluo fundamental que o aluno perceba que a questo referese a dois tringulos retngulos e semelhana entre eles. Uma forma de fazlo seria atravs da construo de um desenho. Feito isso a prxima etapa seria montar a proporo e resolvla.

Contedo envolvido: Semelhana de tringulos.

QUESTO 155

Antes de comearmos a resolver esta questo devemos nos atentar a trs fatos:

O valor V arrecadado por dia obtido multiplicando-se o valor cobrado por litro pela quantidade de litros vendida.

O preo do litro por dia ser dado por: 1,50 100

;

De acordo com o enunciado, a cada centavo de desconto concedido, vende-se 100 litros a mais por dia, que evidentemente sero somados aos 10.000 L que o posto j vende normalmente. Logo a quantidade de litros vendida por dia ser dada por: (10 000+100x).

Portanto, unindo todas as informaes, temos que o valor V arrecadado por dia em funo do valor x, em centavos, de desconto ser dado por:

= 1,50 100 (10 000 + 100 )

= 1,50 10 000 + 1,5 (100) 100 10 000 100 100 = 15 000 + 150 100 2 = 15 000 + 50 2 Alternativa D

Comentrio: Um detalhe importante nessa questo que o aluno deve tomar cuidado com a forma como est expresso o desconto. O enunciado diz que x dado em centavos, logo para contabiliz-lo em reais (R$) devemos dividi-lo por 100.

Contedo envolvido: Deduo de funes

QUESTO 156

Para resolver a questo vamos seguir exatamente a sequncia de passos que o enunciado nos traz:

1 Passo:

Multiplicar os 9 algarismos do CPF um a um pela sequncia 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 comeando da esquerda para a direita e somar os resultados. Como o nmero do CPF de Joo 123.456.789 ento teremos: 1 10 + 2 9 + 3 8 + 4 7 + 5 6 + 6 5 + 7 4 + 8 3+ 9 2 = = 10 + 18 + 24 + 28 + 30 + 30 + 28 + 24 + 18= 10 + 2 (18 + 24 + 28 + 30) = = 10 + 2 100 = 10 + 200 = 210

2,2 m 0,8 m

3,2 m

. .

x


6

6

6

6

6 6 6 6

2 Passo:

Calcular o resto da diviso de 210 por 11:

3 Passo:

Como o resto r da diviso foi 1 ento d1 igual a 0.

4 Passo:

Aplicar a mesma regra que no 1 passo, porm agora comeando pelo segundo algarismo e portanto o ltimo ser o d1. Ento o nmero a ser multiplicado ser 234.567.890 e ento teremos:

2 10 + 3 9 + 4 8 + 5 7 + 6 6 + 7 5 + 8 4 + 9 3+ 0 2 = = 20 + 27 + 32 + 35 + 36 + 35 + 32 + 27 + 0= 20 + 2 (27 + 32 + 35) + 36 = = 56 + 2 94 = 56 + 188 = 244

5 Passo:

Como o resto s da diviso no foi nem 1 nem 0 logo d2 ser dado por: d2 = 11 2 d2 = 9 Portanto d1 e d2 so, respectivamente 0 e 9.

Alternativa A

Comentrio: A questo apesar de um pouco trabalhosa, no apresenta clculos complexos, bastando apenas ao aluno bastante ateno para no errar em nenhuma conta.

Contedos envolvidos: Resoluo de problemas envolvendo operaes bsicas.

QUESTO 157

Para esclarecer melhor como ficaro dispostas as esferas dentro da caixa utilizaremos o esboo ao lado. Sabemos que

o volume V de um cubo de aresta a dado por V = a3. Logo como o enunciado diz que o volume da caixa cbica 13.824 cm3, logo conseguimos calcular a medida a da aresta do cubo:

V = a3 13 824 = a3 (fatorando 13824) a3 = 29 33 a = 29 333 = 23 31 a = 8 3 a = 24 cm

Sendo 6 cm o raio da esfera, ento o seu dimetro ser 12 cm. Assim caber uma disposio de 2 camadas de esfera com 4 esferas em cada uma, totalizando 8 esferas.

Alternativa B

Comentrio: O ponto chave da questo enxergar as esferas em termos de seus dimetros e no de seus raios. Assim ser possvel verificar que poder caber apenas 4 esferas em uma face da caixa.

Contedos envolvidos: Volume de um cubo.

QUESTO 158

Primeiramente vamos determinar as dimenses que o avio ter no papel utilizando a escala desejvel, para ento considerarmos as margens exigidas. Neste sentido vamos ajustar as medidas tanto na largura quanto no comprimento do avio. Mas antes vamos converter as medidas do avio de metros para cm:

Largura: 28,5 m = 2 850 cm Comprimento: 36 m = 3 600 cm Largura do avio:

Desenho Real1 150x 2 850 150 x = 1 2 850 x = 2 850150 x = 19 cm + 2 cm de margem x = 21 cm

210 11 11 100 99 1 resto da diviso

19

244 11 22 24 22 2 resto da diviso

22


Comprimento do avio:

Desenho Real1 150x 3 600 150 x = 1 3600 x = 3 600150 x = 24 cm + 2 cm de margem x = 26 cm

Alternativa D

Comentrio: Uma questo bastante simples onde cobrou do aluno a familiaridade com escalas e a converso de unidades.

Contedos envolvidos: Escalas de desenho e converso de unidade

QUESTO 159

Se observarmos atentamente as alternativas veremos que facilmente podemos test-las a fim de descobrir, por excluso, qual a alternativa correta. Pela facilidade dos clculos vamos tomar o valor para x = 10 da tabela, e assim testar para todas as alternativas aquela em que resulta um valor para y = 6,70.

Alternativa A: y = 30x = 30 10 y = 300 falsa Alternativa B: y = 25x + 20,2 = 25 10 + 20,2 = = 250 + 20,2 y = 270,2 falsa

Alternativa C: y = 1,27x = 1,27 10 y = 12,7 falsa

Alternativa D: y = 0,7x = 0,7 10 y = 7 falsa

Alternativa E: y = 0,07x + 6 = 0,07 10 + 6 = 0,7 + 6 y = 6,7 verdadeira

Apesar de termos encontrado a alternativa correta, vamos elaborar uma proposta de resoluo que permita encontrarmos a expresso do nvel da gua em funo do nmero de bolas (x). Recordando o conceito da Geometria

Analtica acerca da equao fundamental de uma reta temos a seguinte expresso: y y0 = m (x x0), onde m = y y0x x0. Para calcular o valor de m vamos utilizar os dois valores extremos da tabela:

m = y y0x x0 = 7,05 6,3515 5 = 0,710 m = 0,07

Agora, aleatoriamente, vamos escolher os valor x = 10 e y = 6,70. y 6,7 = 0,07 (x 10) y 6,7 = 0,07x 0,7 y = 0,07x 0,7 + 6,7 y = 0,07x + 6 Alternativa E

Comentrio: Esta questo apresentou um nvel um pouco mais avanado cobrando do aluno um conhecimento bastante fundamental da Geometria Analtica que a determinao da equao de uma reta atravs de dois pontos dados.

Contudo existe ainda uma terceira opo de resoluo que envolveria sistema de duas equaes com duas incgnitas utilizando como expresso geral y = a x + b:

6,35 = a 5 + b6,7 = a 10 + b

subtraindo a equao de cima pela debaixo ficaramos com: 6,35 6,7 = 5a 10a 0,35 = 5a 5a = 0,35

a = 0,07 Substituindo o valor de a em qualquer uma das duas equaes obteremos o valor de b: 6,7 = 10 0,07 + b b = 6,7 0,7 b = 6 y = 0,07x + 6 Contedos envolvidos: Equao Fundamental da Reta e Sistemas de duas equaes com duas incgnitas.

QUESTO 160

Vamos resolver esta questo por etapas, primeiro verificar qual o gasto e depois quantos hectares sero colhidos, para assim confrontar com as exigncias do fazendeiro:

Gastos com trabalhador e com as mquinas, em 6 dias: Por dia: 12 R$ 10,00 + 4 R$ 1 000,00= R$ 120,00 + R$ 4 000,00= R$ 4 120,00 Por 6 dias: 6 R$ 4 120,00= R$ 24 720,00 inferior aos R$ 25 000,00.


Hectares colhidos, na jornada de 6 horas dirias, durante 6 dias: 6 20 = 120 hectares no ser suficiente. Como a necessidade do fazendeiro so 180 hectares em 6 dias, seria necessrio que fossem colhidos 30 hectares por dia ao invs de 20: 180 6 = 30 hectares por dia. Sendo assim ser necessrio aumentarmos a jornada de 6 horas. Para calcular quantas horas a mais sero necessrias, podemos utilizar uma regra de trs simples:

Horas Hectares6 20x 30 20 x = 6 30 x = 18020 x = 9 horas Portanto para atender s exigncias do fazendeiro, a cooperativa deveria aumentar a jornada de trabalho de 6 para 9 horas por dia.

Alternativa D

Comentrio: A questo traz diversos dados e muito importante que o aluno interprete e organize-os de maneira a no gerar confuso. No mais, os clculos so bastante simples e no devem trazer dificuldades ao aluno.

Contedos envolvidos: Resolues de problemas envolvendo operaes bsicas.

QUESTO 161

Como a questo envolve o conceito de mediana vamos lembrar que, em uma amostra ordenada de dados, mediana o valor que separa a metade inferior da metade superior. Portanto, antes de analisarmos quem a mediana, devemos ordenar os nmeros em ordem crescente. A tabela abaixo traz esta ordenao:

Como a amostra tem nmero par de dados, neste caso devemos encontrar a mediana calculando a mdia aritmtica dos dois termos centrais que no nosso caso so o 5 e o 6 elementos. E assim:

Med = 7 + 72 = 142 Med = 7,0 Diante destes dados vamos analisar as alternativas:

Alternativa A:

Como a nota do aluno foi 0 a equipe Gama teve sua pontuao igual a 7,0, logo a alternativa falsa.

Alternativa B:

Se a nota fosse 10 teramos

Med = 7 + 82 = 152 Med = 7,5 Pelo enunciado a equipe vencedora teve nota 7,8, logo a equipe Gama no ganharia, e, portanto a alternativa falsa.

Alternativa C:

Se a nota do aluno fosse 8 teramos

Logo a mediana no se alteraria e continuaria sendo 7,5. O enunciado diz que a equipe Delta com nota 7,6 ficou em segundo lugar. Portanto a equipe Gama no assumiria a segunda colocao e alternativa falsa.

Alternativa D:

A situao mais favorvel equipe seria se o aluno obtivesse a maior nota, no caso 10. No clculo da alternativa B analisamos esta situao e percebemos que a equipe Gama continuaria na terceira colocao. Portanto independente da nota obtida pelo aluno a equipe permaneceria na terceira colocao e a alternativa est correta.

Alternativa E:

Se a nota do aluno fosse 9 teramos:

Med = 7 + 82 = 152 Med = 7,5 Pelo enunciado a equipe mega obteve nota 7,8 e, portanto a equipe Gama no empataria com ela na primeira colocao. Como j sabamos, esta alternativa falsa.

Alternativa D

Comentrio: Em questes como essa importante que seja feita uma tabela com a ordenao dos nmeros. Isso facilita bastante visualmente a resoluo da questo. Apesar de termos feito alternativa por alternativa, o aluno deve observar o comportamento da mediana nas trocas das notas e perceber visualmente que a mediana no se alteraria mais

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6 6,5 6,5 7 7 8 8 10 10 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 6 6,5 6,5 7 7 8 8 10 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6 6,5 6,5 7 7 8 8 8 10 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6 6,5 6,5 7 7 8 8 9 10 10


.

2 km

x km

30

Joo

do que 7,5. Desta forma o tempo seria bastante economizado durante a prova.

Contedos envolvidos: Mediana.

QUESTO 162

Logo de incio podemos calcular a quantidade arrecadada pelos 20 alunos dos 10 primeiros dias: 10 12 = 120 kg. Agora restam 20 dias, o grupo est composto por 50 alunos que trabalharo 4 horas por dia. Como o ritmo da coleta ser mantida evidente pensarmos que a arrecadao diria ser maior do que 12 kg, porm no sabemos quanto e ser preciso calcular. Uma forma de realizar este clculo atravs de uma regra de trs composta, da seguinte maneira:

alunos horas peso20 3 1250 4 x 2050 34 = 12x 60 x = 200 12 x = 240060 x = 40 kg

Portanto, durante os 20 dias restantes sero arrecadados: 20 40 = 800 kg No total, a arrecadao ser de: 120 + 800 = 920 kg Alternativa A

Comentrio: de fundamental importncia que o aluno compreenda a relao entre as grandezas envolvidas, elas so diretamente proporcionais. Caso contrrio ele pode se confundir no momento da execuo da regra de trs composta.

Contedos envolvidos: Regra de trs composta.

QUESTO 163

O enunciado diz que o peso mnimo do carro sem gasolina de 605 kg e pergunta qual ser, no mnimo, o peso do tanque com combustvel suficiente para dar mais 16 voltas. Logo nosso trabalho consiste em calcular o peso de gasolina que isto representa e somar aos 605 kg. Para tanto vamos por etapas:

1 etapa: distncia a percorrer nas 16 voltas, sendo cada uma de 7 km: 16 7 = 112 km. 2 etapa: gasolina necessria, sendo o consumo de 75 litros a cada 100 km: litros distncia75 100x 112 100 x = 75 112 x = 8 400100

x = 84 litros. 3 etapa: peso do combustvel, sendo sua densidade 750 g/L:

peso (massa) litros750 1x 84 1 x = 750 84 x = 63 000 g = 63 kg

Logo o peso do carro ser: 605 + 63 = 668 kg Alternativa B

Comentrio: Muitas vezes, como o caso desta questo, importante que o aluno organize a resoluo pensando de onde ele est partindo e aonde ele quer chegar. Em outras palavras, quais so os dados iniciais e qual o dado pretendido. O intuito deste processo facilitar a percepo de qual ser a sequncia de passos necessria para obter-se a resposta.

Contedos envolvidos: Converso de unidades, regra de trs e conceito de densidade.

QUESTO 164

Como a questo sugere uma comparao, em porcentagem, do terreno que caber a Joo em relao ao terreno total, ser necessrio sabermos a rea de ambos. O terreno de Joo tem o formato de um tringulo retngulo cuja altura coincide com o lado menor do terreno, ou seja, 2 km. J o terreno tem formato retangular de dimenses 3 km X 2 km. Diante disso vamos aos clculos das reas:

rea do terreno total: Atotal = b h = 3 2 Atotal = 6 km2

rea do terreno de Joo:

A figura ao lado representa o terreno j com as medidas necessrias ao clculo. Como a rea de extrao d a forma de um quarto de crculo, o ngulo central coincide com o ngulo interno do retngulo que de 90. Logo o ngulo em cinza do tringulo : 90

3= 30.

Para calcularmos a base x do tringulo usaremos a relao trigonomtrica tg 30

tg 30 = x2 33 x2 0,58 = x2 x = 2 0,58 x = 1,16 km Logo a rea do terreno ser:

AJoo = b h2 = 1,16 22 AJoo = 1,16 km2


Porcentagem do terreno de Joo em relao ao terreno total: 1,166 100% 0,19 100% 19% Alternativa E

Comentrio: Um erro bastante corriqueiro tentar utilizar todos os dados fornecidos pelo enunciado. importante ressaltar que muitas vezes as questes trazem informaes que para os clculos so irrelevantes, contudo so de fundamental importncia para dar maior realidade e contextualizao ao enunciado. Foi o caso desta questo em que utilizamos apenas uma parte dos dados fornecidos.

Contedos envolvidos: Trigonometria (funo tangente), clculo de rea de retngulo e tringulo.

QUESTO 165

A questo aborda os conceitos de anlise combinatria: permutao, arranjo e combinao. Por este motivo vamos relembrar o conceito de cada um deles:

Permutao: Dado um conjunto de n elementos, chama-se permutao qualquer sequncia ordenada desses n elementos;

Arranjo: Dado um conjunto de n elementos, chama-se arranjo dos n elementos tomados p a p, qualquer sequncia ordenada de p elementos dentre os n elementos possveis. Neste caso a ordem dos elementos importa;

Combinao: Dado um conjunto de n elementos, chama-se combinao dos n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de p elementos dentre os n elementos possveis. Neste caso a ordem dos elementos no importa;

Para a escolha do grupo A utilizamos uma combinao, pois se trata de 12 times tomados 4 a 4, onde a ordem dos times no grupo no importa.

J para a escolha do jogo de abertura utilizamos um arranjo, pois se trata de 4 times tomados 2 a 2, onde a ordem dos times no jogo importa, devido ao fato de um jogar no seu prprio campo e o outro ser o visitante.

Logo a quantidade total de escolhas para o Grupo A e para a escolha do jogo de abertura podem ser calculadas por uma combinao e um arranjo, respectivamente.

Alternativa A

Comentrio: O ponto chave da questo a ordem dos elementos no grupo se importa ou no, para que possamos diferenciar se ser uma combinao ou um arranjo.

Contedos envolvidos: Anlise combinatria.

QUESTO 166

O enunciado diz que a direo seguida por um avio sempre orientada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino. De acordo com as rotas estabelecidas no enunciado podemos estabelecer as seguintes direes para cada trajeto que Carlos fez, seguindo o mapa abaixo:

A bordo do avio AII:

A rota do avio AII foi de 135 no sentido horrio com relao rota Braslia Belm. Logo o avio saiu de Braslia e seguiu para a cidade nmero 13, Belo Horizonte.

A bordo do avio AIII:

A rota do avio AIII foi de um ngulo reto no sentido anti-horrio em relao rota Braslia Belo Horizonte. Logo o avio saiu de Belo Horizonte e seguiu para a cidade nmero 9, Salvador.

Alternativa B

Comentrio: O importante nesta questo o aluno compreender como realizar as orientaes das rotas utilizando os ngulos dados.

Contedos envolvidos: ngulos.

QUESTO 167

Antes de iniciarmos a resoluo da questo, precisamos observar que as unidades envolvidas no esto compatveis e ser preciso realizar a converso. Neste caso escolheremos transformar as dimenses do campo de futebol de metros para quilmetros, para ento calcular sua rea em quilmetros quadrados. Sendo assim temos:

120 m 100 0,12 km90 m 100 0,09 km

rea de um campo de futebol: Acampo = 0,12 0,09 = 0,108 km2 Comparao da rea do bioma Pantanal com a de um campo de futebol:


150 355 km20,108 km2 = 13 921 759,2 14 000 000 Entretanto, para no despender tempo durante a prova, o aluno pode transformar os nmeros para uma forma mais conveniente levando-se em conta apenas as suas ordens de grandeza, da seguinte forma:

150 355 km2 = 1,5 105 km2 0,108 km2 = 1 101 km2 1,5 105 km21 101 km2 = 1,5 10[5(1)] = 1,5 106 = 15 000 00 14 000 000

Alternativa E

Comentrio: Como a questo nos deu a liberdade para encontrarmos um valor aproximado, no necessrio realizarmos a conta exata, e neste caso, foi preciso apenas saber a ordem de grandeza da comparao.

Contedos envolvidos: Ordem de grandeza e propriedade de potenciao.

QUESTO 168

Assim como na questo 161, para calcular a mediana da amostra de dados, primeiro devemos ordenlos para depois verificar o termo central. Para isto vamos utilizar a tabela abaixo:

Como o nmero de termos mpar ento a mediana o prprio termo central, ou seja, R$ 83,00.

Alternativa D

Comentrio: Uma questo bastante simples onde o aluno deveria ordenar os nmeros, na forma decimal, em ordem crescente para ento encontrar o valor central, ou seja a mediana.

Contedos envolvidos: Mediana.

QUESTO 169

Como para calcularmos a nova vazo da gua precisaremos da velocidade, antes de tudo devemos calculla utilizando as informaes dadas a respeito da figura I.

Canaleta antes da reforma:

rea do Trapzio issceles:

Afigura I = (B + b) h2 = (30 + 20) 2,52 = 50 2,52= 25 2,5 = Afigura I = 62,5 m2

A vazo dada no enunciado, 1 050 m3 s , logo podemos calcular a velocidade da gua:

Q = A v 1050 = 62,5 v v = 105062,5 v = 16,8 m s Canaleta depois da reforma:

rea do Trapzio issceles:

Afigura II = (B + b) h2 = (49 + 41) 2,02 = (90 2)2 Afigura II = 90 m2

Como a velocidade no se altera, podemos usar o mesmo valor 16,8 m/s: Q = A v = 90 16,8 Q = 1 512 m3 s Outra forma de resolver a questo seria igualarmos as velocidades, j que ela no se altera, porm sem encontrar o seu valor de fato:

Q1 = A1 v v = Q1A1Q2 = A2 v v = Q2A2 Q1A1 = Q2A2

Q2 = Q1 A2A1 = 1050 9062,5 = 94 50062,5 Q2 = 1 512 m3 s

Alternativa D

Comentrio: Uma vez que a vazo uma funo linear e a velocidade no se altera, garantido estes dois fatos o aluno poderia concluir que a partir dos valores das reas do trapzio, uma regra de trs simples resolveria a questo.

Contedos envolvidos: rea de um trapzio e igualdade de equaes.

QUESTO 170

O enunciado diz que cada ponto (pixel) armazenado em 3 bytes. Como a cmera de 2 megapixels, o tamanho que uma foto, utilizando a resoluo mxima, ir ocupar : 3 2 000 000 = 6 000 000 bytes (por foto) Se a compresso de 95% logo restar 5% que ser armazenado:

6 000 000 5100 = 60 000 5 = 300 000 bytes (por foto)

1 2 3 4 5 6 7

73,10 81,60 82,00 83,00 84,00 84,60 85,30


Se Joo ir tirar 150 fotos ento: 150 300 000 = 45 000 000 = 45 MB Como o pretendido restar o mnimo possvel de espao, portanto o dispositivo mais adequado ser um carto de memria de 64 MB.

Alternativa E

Comentrio: Um erro bastante comum em questes envolvendo porcentagem na interpretao equivocada do aluno ao se deparar com a informao: (...) compresso, que reduzem em at 95% a quantidade (...). Se no momento do clculo o aluno realizar a multiplicao da quantidade em questo por 95%, ele estar cometendo um erro conceitual de porcentagem. O aluno deve se convencer de que ao ser comprimido 95% do tamanho, a quantidade a ser considerada ser de 100% 95% = 5%. Logo ele dever multiplicar a quantidade desejada por este valor e deste modo estar correto.

Contedos envolvidos: Porcentagem e potncias de base 10.

QUESTO 171

Analisando cada um dos dois casos propostos teremos as seguintes possibilidades, utilizando o Princpio Fundamental da Contagem:

84 apostas de 6 dezenas diferentes: 1 dezena6 2 dezena5 3 dezena4 4 dezena3 5 dezena2 Como a ordem das dezenas no importa, por tratar-se do mesmo jogo, devemos realizar o desconto da quantidade de jogos repetidos. Sendo assim o nosso clculo ser:

84 6 5 4 3 25! = 84 6 5 4 3 25 4 3 2 1 = 84 6= 504 possibilidades

Aposta nica de 9 dezenas: 1 dezena9 2 dezena8 3 dezena7 4 dezena6 5 dezena5 De forma anloga do clculo anterior, teremos: 9 8 7 6 55! = 9 8 7 6 55 4 3 2 1 = 9 2 7= 126 possibilidades Sendo o espao amostral o mesmo para os dois casos no h necessidade de calcul-lo e podemos analisar a relao entre os dois casos apenas utilizando as possibilidades encontradas.

O enunciado nos pede a relao do segundo caso para o primeiro, porm esta alternativa no consta:

126504 = 14 Entretanto se calcularmos o contrrio, o primeiro caso em relao ao

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