prova de matemática e suas tecnologias

Prova de matemtica e suas tecnologias

Operaes com conjuntos numricos (naturais inteiros racionais e reais)

Os conjuntos numricos so classificados em: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.

Conjunto dos nmeros naturais (N)

Nmeros naturais so aqueles que utilizamos para contar objetos.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,, 1000,}

Conjunto dos nmeros inteiros (Z)

So todos os nmeros naturais e opostos (nmeros negativos).

Z = {, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,}

Conjunto dos nmeros racionais (Q)

Nmeros racionais so aqueles que podem ser expressos como uma frao (razo) entre dois nmeros inteiros.

Q = {a/b, a e b so nmeros inteiros}

Todos os nmeros inteiros, nmeros decimais e as dzimas peridicas so nmeros racionais.

Conjunto dos nmeros irracionais (I)

Nmeros irracionais so aqueles que no podem ser escritos como uma razo entre dois inteiros.

Exemplos: 2,, etc.

Conjunto dos nmeros reais (R)

Nmeros reais so todos os nmeros racionais e irracionais.

Desigualdade

A desigualdade importante para a matemtica, principalmente nas experincias

e nos problemas que abordam a necessidade de se comparar um conjunto de

medidas. a partir desse procedimento que podemos compreender como

uma inequao construda e quais so as principais regras para a sua resoluo.

Um bom exemplo para ilustrar esse procedimento de comparar medidas desiguais

a leitura da temperatura durante o dia. A flutuao nas medidas da temperatura

ocorrer em funo do horrio e do local. Na prtica, registramos essa flutuao

indicando uma temperatura mnima e uma mxima, construindo, dessa forma, a

ideia de intervalo, que ajuda a organizar a nossa anlise nesse tipo de experincia.

Assim, numericamente, se imaginarmos uma cidade com a temperatura mnima de

20o C e a mxima de 32o C, representaremos a temperatura por T e utilizaremos os

smbolos convencionais de maior ou igual ( ) e demenor ou igual ) para

escrever a frase que expresse a temperatura dessa cidade:

Um outro exemplo interessante sobre a variao do nmero de habitantes de

uma cidade. Vamos imaginar a populao de uma cidade no perodo de uma

dcada: a quantidade mnima foi de dois milhes de pessoas e a mxima de quatro

milhes. Considerando N o nmero de habitantes que moram na cidade,

escrevemos:

Nesse exemplo, podemos introduzir mais dados para ampliar o conceito de

inequao. Se, para essa cidade, nessa mesma dcada, houver um fluxo de sada

de 500.000 habitantes por dia, para trabalhar em outras cidades mais prximas,

mas retornando no final do dia, ento podemos concluir que a populao que

permanece na cidade durante todo o dia fica no intervalo entre um milho e meio e

trs milhes e meio de pessoas.

O nmero de habitantes que no saem da cidade durante todo o dia pode ser

definido por F, lembrando que F = N - 500 000. Assim, temos:

Agora, se incluirmos no problema a informao de que um quinto de F formado

por idosos, ento poderemos definir D como a quantidade de idosos e escrever a

relao entre essas duas quantidades com D = F/5.

Reescrevendo, em funo de N substitumos D por (N - 500 000)/5 e temos:

Esse exemplo mostra a forma como organizamos a anlise de um problema

construindo uma inequao. Os procedimentos so semelhantes construo das

equaes, com o rico detalhe de que estamos interpretando o que varivel.

H outras situaes em que essas experincias matemticas podem ser expressas

fora de um intervalo. Ainda no nosso exemplo, vamos imaginar um socilogo

realizando uma pesquisa em relao aos hbitos da populao, utilizando a renda

mensal como referncia. Nesse estudo, o socilogo define que a sua pesquisa est

voltada para as pessoas com a renda mensal menor ou igual a 300 dlares ou

maior ou igual a 1.000 dlares, representando essa varivel pela letra R:

Para concluir este nosso passeio intelectual pelos princpios que constroem uma

inequao, esse socilogo chega concluso de que grande parte da populao de

baixa renda com R 300 idosa. Na elaborao final do seu relatrio, ele escrever

as duas inequaes da sua pesquisa: uma em relao variao do nmero de

idosos na cidade - e a outra em relao renda mensal deles:

A inequao mais um recurso da linguagem matemtica para organizarmos

problemas, situaes ou experincias matemticas. A desigualdade uma

consequncia muito mais comum do que a igualdade. E isso acontece porque, por

mais precisos que sejam os instrumentos, as medidas sempre sero variveis.

Assim, no esquea que, ao comparar duas quantidades, tentando concluir qual

delas maior ou menor, voc estar utilizando o princpio da inequao.

Divisibilidade

Um nmero considerado divisvel por outro quando o resto da diviso

entre eles igual a zero. Para que a diviso entre os nmeros resulte em

partes inteiramente iguais, necessitamos ter conhecimento sobre algumas

regras de divisibilidade.

Regras de Divisibilidade

Divisibilidade por 1

Todo nmero divisvel por 1.


Todo nmero par divisvel por 2, isto , todos os nmeros terminados em

0, 2, 4, 6 e 8.

12:2 = 6

18:2 = 9

102:2 = 51

1024:2 = 512

10256:2 = 5128


Um nmero divisvel por 3 quando a soma de seus algarismos constitui um

nmero divisvel por 3. Exemplo:

66 : 3 = 22, pois 6 + 6 = 12

60 : 3 = 20, pois 6 + 0 = 6

81 : 3 = 27, pois 8 + 1 = 9

558 : 3 = 186, pois 5 + 5 + 8 = 18


Se os dois ltimos algarismos de um nmero forem divisveis por 4, ento o

nmero divisvel por 4. Para ver se os dois ltimos algarismos formam um

nmero divisvel por 4, basta verificar se o nmero par e sua metade

continua par. Os nmeros que possuem zero nas suas ltimas duas casas

tambm so divisveis por 4.

288 : 4 = 72, 88 par e a sua metade ser par.

144 : 4 = 36, 44 par e sua metade ser par.

100 : 4 = 25, pois possui na ltima e penltima casa o algarismo 0.


Todo nmero terminado em 0 ou 5 divisvel por 5.

10:5 = 2

25:5 = 5

75:5 = 15

200:5 = 40


Constitui todos os nmeros divisveis por 2 e 3 no mesmo instante.

42 : 6 = 7, pois 42 : 2 = 21 e 42 : 3 = 14

54 : 6 = 9, pois 54 : 2 = 27 e 54 : 3 = 18

132 : 6 = 22, pois 132 : 2 = 66 e 132 : 3 = 44

570: 6 = 95, pois 570 : 2 = 285 e 570 : 3 = 190


Duplicar o algarismo das unidades e subtrair do resto do nmero. Se o

resultado for divisvel por 7, o nmero divisvel por 7. Exemplo:

203 : 7 = 29, pois 2*3 = 6 e 20 6 = 14

294 : 7 = 42, pois 2*4 = 8 e 29 8 = 21

840 : 7 = 120, pois 2*0 = 0 e 84 0 = 84


Todo nmero ser divisvel por 8 quando terminar em 000, ou os ltimos

trs nmeros forem divisveis por 8. Exemplo:

1000 : 8 = 125, pois termina em 000

1208 : 8 = 151, pois os trs ltimos so divisveis por 8


todo nmero em que a soma de seus algarismos constitui um nmero

mltiplo de 9. Exemplo:

90 : 9 = 10, pois 9 + 0 = 9

1125 : 9 = 125, pois 1 + 1 + 2 + 5 = 9

4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27


Todo nmero terminado em 0 ser divisvel por 10

100:10 = 10

50:10 = 5

10:10 = 1

2000:10 = 200


Um nmero divisvel por 11 nas situaes em que a diferena entre o

ltimo algarismo e o nmero formado pelos demais algarismos, de forma

sucessiva at que reste um nmero com 2 algarismos, resultar em um

mltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22,

33, 5555, etc.) so mltiplas de 11.

1342 : 11 = 122, pois 134 2 = 132 13 2 = 11

2783 : 11 = 253, pois 278 3 = 275 27 5 = 22

7150: 11 = 650, pois 715 0 = 715 71 5 = 66


So os nmeros divisveis por 3 e 4.

276:12 = 23, pois 276:3 = 92 e 276:4 = 69

672 : 12 = 56, pois 672 : 3 = 224 e 672 : 4 = 168

Fatorao

O QUE SIGNIFICA FATORAR?

Fatorar significa transformar em produto

FATORAO DE POLINMIOS

Fatorar um polinmio significa transformar esse polinmio num produto

indicado de polinmios ou monmios e polinmios .

A propriedade distributiva ser muito usada sob a denominao de colocar

em evidencia. Vejamos a seguir alguns casos de fatorao.

1) FATOR COMUM

Vamos fatorar a expresso ax + bx + cx

Ax + bx + cx = x . (a + b + c)

O x fator comum e foi colocado em evidncia.

Exemplos

Vamos fatorar as expresses

1) 3x + 3y = 3 (x + y)

2) 5x - 10x = 5x ( x 2)

3) 8ax - 4ax = 4ax(2x a)

EXERCCIOS

1) Fatore as expresses:

a) 4x + 4y = R: 4 ( x + y)b) 7a 7b = R: 7 (a - b)c) 5x 5 = R: 5 (x - 1)d)

ax ay = R: a (x - y)e) y + 6y = R: y (y + 6)f) 6x - 4a = R: 2 (3x -

2a)g) 4x - 7x = R: x ( 4x - 7)

h) m - m = R : m( m- 1)

i) a + a = R: a ( 1 + a)

j) x + 13x = R: x(x + 13)k) 5m - m =

l) x + x =

m) 8x - 12x =

n) 15x - 21x =

o) 14x + 42x =

p) xy + xy =


a) 2a 2m + 2n = R: 2 (a -m+n)b) 5a + 20x + 10 = R: 5(a + 4x + 2)c) 4

8x 16y = R: 4(1 - 2x - 4y)d) 55m + 33n = R: 11(5m + 3n)e) 35ax

42ay =

f) 7am 7ax -7an =

g) 5ax 5am 10a =

h) 2ax + 2ay 2axy =

3) Fotore as expresses:

a) 15x - 3ax =

b) x + x + x =

c) a + a - a =

d) 6x -10x + 4x =

e) 6xy + 12xy 9xyz =

f) a(x -3) + b(x -3) =

g) 9 ( m + n )- a( m n)

2) AGRUPAMENTO

Vamos fatorar a expresso ax + bx + ay + by

ax + bx + ay + by

x( a + b) + y ( a+ b)

(a + b) .( x +y)

Observe o que foi feito:

Nos dois primeiros temos x em evidencia

Nos dois ltimos fomos y em evidncia

Finalmente (a + b) em evidncia

Note que aplicamos duas vezes a fatorao utilizando o processo do fator

comum

Exemplos:

Vamos fatorar as expresses:

1 exemplo

5ax + bx + 5ay + by

x.( 5a + b) + y (5a + b)

(x + y) (5a + b)

2 exemplo

x + 3x + ax + 3a

x(x + 3) + a ( x + 3)

(x + 3) . ( x + a)

EXERCCIOS


a) 6x + 6y + ax + ay =

b) ax + ay + 7x + 7y=

c) 2a + 2n + ax +nx=

d) ax + 5bx + ay + 5by =

e) 3a 3b + ax bx =

f) 7ax 7a + bx b =

g) 2x 2 + yx y =

h) ax + a + bx + b =


a) m + mx + mb + bx=

b) 3a + 3 + ba + b =

c) x + 3x + 2x + 6 =

d) x + x + x + 1 =

e) x - x + x 1 =

f) x + 2x + xy + 2y =

g) x + 2x + 5x + 10 =

h) x - 5x + 4x 20 =

3) DIFERENA DE DOIS QUADRADOS Vimos que : ( a+ b ) (a b) = a + b

Sendo assim: a + b= ( a+ b ) (a b)

Para fatorar a diferena de dois quadrados, basta determinar as razes

quadradas dos dois termos.

1 exemplo

x - 49 = (x + 7) ( x 7)

2 exemplo

9a - 4b = ( 3a + 2b) (3a 2b)

Exerccios


a) a - 25 =

b) x - 1 =

c) a - 4 =

d) 9 - x =

e) x - a =

f) 1 - y =

g) m - n =

h) a - 64 =

2) Fatore as expresses

a) 4x - 25 =

b) 1 49a =

c) 25 9a =

d) 9x - 1 =

e) 4a - 36 =

f) m - 16n =

g) 36a - 4 =

h) 81 - x =

i) 4x - y=

j) 16x - 9 =

k) 36x - 4y =

l) 16a - 9xy =

m) 25x - y =

n) x - y =

4) TRINMIO QUADRADO PERFEITO

Vimos que:

(a +b) = a + 2ab + b Logo a + 2ab + b = (a +b)

(a -b) = a - 2ab + b Logo a - 2ab + b = (a -b)

Observe nos exemplos a seguir que:

Os termos extremos fornecem razes quadras exatas.

Os termos do meio deve ser o dobro do produto das razes.

o resultado ter o sinal do termo do meio.

EXERCCIOS

1) Coloque na forma fatorada as expresses:

a) x + 4x + 4 = R:(x + 2)b) x - 4x + 4 = R:(x -2)c) a+ 2a + 1 = R: (a

+ 1)d) a - 2a + 1 = R: (a 1)e) x- 8x + 16= R: ( x 4)f) a + 6a + 9

= R: (a + 3)g) a - 6a + 9 = R: (a + 3)h) 1 6a + 9a = R: (1 3a)

2) Fatore as expresses

a) m -12m + 36=

b) a + 14a + 49 =

c) 4 + 12x + 9x =

d) 9a - 12a + 4 =

e) 9x - 6xy + y =

f) x + 20x + 100 =

g) a - 12ab + 36b =

h) 9 + 24a + 16a =

i) 64a - 80a + 25 =

j) a - 22a + 121

l) 36 + 12xy +xy

m) y - 2y + 1

Razes e Propores

Razes

A palavra razo vem do latim ratio e significa a diviso ou o quociente entre dois nmeros A e B, denotada por:

A

B

Exemplo: A razo entre 12 e 3 4 porque:

12

3

= 4

e a razo entre 3 e 6 0,5 pois:

3

6

= 0,5

A razo tambm pode ser expressa na forma de diviso entre duas grandezas de

algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de

suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de gua.

A relao entre a quantidade de litros de suco concentrado e de gua um nmero real expresso como uma frao ou razo (que no tem unidade), a razo:

A

B

= A/B

Exemplo: Tomemos a situao apresentada na tabela abaixo.

Lquido Situao1 Situao2 Situao3 Situao4

Suco puro 3 6 8 30

gua 8 16 32 80

Suco pronto 11 22 40 110

Na Situao1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de gua,

perfazendo o total de 11 litros de suco pronto.

Na Situao2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de gua, perfazendo o total de 24 litros de suco pronto.

Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.

Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o nmero de

arremessos que ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador

acertou 1 para cada dois arremessos, o que tambm pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.

10 : 20 = 1 : 2 = 0,5

Propores

Proporo a igualdade entre duas razes. A proporo entre A/B e C/D a

igualdade:

A = C

B

D

Notas histricas: A palavra proporo vem do latim proportione e significa uma

relao entre as partes de uma grandeza, ou seja, uma igualdade entre duas

razes. No sculo XV, o matemtico rabe Al-Kassadi empregou o smbolo "..."

para indicar as propores e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporo na forma

6:3::8:4.

Regiomontanus foi um dos matemticos italianos que mais divulgou o emprego das

propores durante o perodo do Renascimento.

Propriedade fundamental das propores

Numa proporo:

A

B

=

C

D

os nmeros A e D so denominados extremos enquanto os nmeros B e C so

os meios e vale a propriedade: o produto dos meios igual ao produto dos

extremos, isto :

A D = B C

Exemplo: A frao 3/4 est em proporo com 6/8, pois:

3

4

=

6

8

Exerccio: Determinar o valor de X para que a razo X/3 esteja em proporo com

4/6.

Soluo: Deve-se montar a proporo da seguinte forma:

x

3

=

4

6

Para obter X=2.

Razes e Propores de Segmentos

Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas so dadas, respectivamente,

por 2cm e 4cm.

A________B, C ______________ D

Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razo entre as suas

medidas.

m(AB)

m(CD)

=

2

4

Podemos tambm afirmar que AB est para CD na razo de 1 para 2 ou que CD

est para AB na razo de 2 para 1.

Polgonos Semelhantes

Dois polgonos so semelhantes se tm ngulos correspondentes congruentes e os

lados correspondentes proporcionais.

Exemplo: Sejam os tringulos ABC e RST.

Observamos que os ngulos correspondentes possuem as mesmas medidas,

denotadas aqui por, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes so proporcionais.

AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2

Afirmamos que os polgonos (tringulos) ABC e RST so semelhantes e indicamos isto por :

ABC ~ DEF

Figuras Semelhantes

Duas figuras so semelhantes quando elas tm a mesma forma com medidas

correspondentes congruentes, ou seja, quando uma uma ampliao ou reduo

da outra. Isto significa que existe uma proporo constante entre elas sem

ocorrncia de deformao. A figura final e a figura original so chamadas figuras semelhantes.

As figuras geomtricas so semelhantes quando existe uma igualdade entre as

razes dos segmentos que ocupam as correspondentes posies relativas nas figuras.

Exemplo: Nos tringulos

observamos que os ngulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja,

A=R, B=S e C=T e os lados correspondentes so proporcionais.

AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2

Assim, os tringulos ABC e DEF so semelhantes e indicamos por:

ABC ~ DEF

Exemplo: O mapa do Brasil est em duas escalas diferentes.

Os dois mapas possuem a mesma forma mas tm tamanhos diferentes. O mapa

verde uma ampliao do mapa amarelo ou o mapa amarelo uma reduo do

mapa verde.

Aplicaes prticas das razes

Existem algumas razes especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as

quais: velocidade mdia, escala, densidade demogrfica e densidade de um corpo.

1. Velocidade Mdia: A "velocidade mdia", em geral, uma grandeza obtida

pela razo entre uma distncia percorrida (expressa em quilmetros ou

metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).

vmdia = distncia percorrida / tempo gasto

Exemplo: Suponhamos que um carro de Frmula MAT percorreu 328Km em

2h. Qual foi a velocidade mdia do veculo nesse percurso?

A partir dos dados do problema, teremos:

vmdia = 328 Km / 2h = 164 Km/h

o que significa que a velocidade mdia do veculo durante a corrida foi de

164 Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.

2. Escala: Uma das aplicaes da razo entre duas grandezas se encontra na

escala de reduo ou escala de ampliao, conhecidas simplesmente como

escala. Chamamos de escala de um desenho razo entre o comprimento

considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade.

escala = comprimento no desenho / comprimento real

Usamos escala quando queremos representar um esboo grfico de objetos

como mveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prdios, mapas, maquetes, etc.

Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:

Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4

Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8

Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6

O barco vermelho uma ampliao do barco azul, pois as dimenses do

barco vermelho so 2 vezes maiores do que as dimenses do barco azul, ou

seja, os lados correspondentes foram reduzidos metade na mesma proporo.

3. Densidade Demogrfica: O clculo da densidade demogrfica, tambm

chamada de populao relativa de uma regio considerada uma aplicao

de razo entre duas grandezas. Ela expressa a razo entre o numero de

habitantes e a rea ocupada em uma certa regio.

Exemplo: Em um jogo de vlei h 6 jogadores para cada time, o que

significa 6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre

a expulso de 1 jogador de um time, sendo que no pode haver

substituio, observa-se que sobra mais espao vazio para ser ocupado pelo

time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade

demogrfica menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.

Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a rea de 200.000 Km. De acordo

com o censo realizado, o estado tem uma populao aproximada de

12.000.000 habitantes. Assim:

dens.demogrfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km

densidade demogrfica = 60 habitantes/ Km2

Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente 60 habitantes.

4. Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo mais uma aplicao de

razo entre duas grandezas. Assim, a densidade (volumtrica) de um corpo

a razo entre a massa desse corpo, medida em Kg ou gramas e o seu

volume, medido em m, dm ou qualquer outra unidade de volume.

Exemplo: Se uma esttua de bronze possui uma densidade volumtrica de 8,75 kg/dm ento para cada dm h uma massa de 8,75 kg.

Curiosidade:Devido existncia de densidades diferentes, observamos que

ao colocarmos corpos diferentes em um recipiente com gua, alguns afundam e outros flutuam.

Uma bolinha de isopor flutuar na gua enquanto que uma de chumbo, de

mesmo volume afundar. Isso ocorre porque a densidade do chumbo

maior que a densidade do isopor. Algumas substncias e suas densidades esto na tabela abaixo:

Substncia Densidade [g/cm]

madeira 0,5

gasolina 0,7

lcool 0,8

alumnio 2,7

ferro 7,8

mercrio 13,6

5. Pi: Uma razo muito famosa: Os egpcios trabalhavam muito com certas

razes e descobriram a razo entre o comprimento de uma circunferncia e

seu dimetro. Este um fato fundamental pois esta razo a mesma para

toda circunferncia. O nome desta razo Pi e seu valor aproximadamente:

Pi = 3,1415926535

Exemplo: Se C o comprimento da circunferncia e D a medida do dimetro

da circunferncia, temos uma razo notvel:

C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...

significando que

C = Pi . D

Exemplo: Se a medida do raio de uma circunferncia tem 1,5cm ento o

permetro da circunferncia igual a 9,43cm.

Porcentagem e Juros

Porcentagem

As fraes (ou razes) que possuem denominadores (o nmero de baixo da frao)

iguais a 100, so conhecidas por razes centesimais e podem ser representadas

pelo smbolo "%".

O smbolo "%" lido como "por cento". "5%" l-se "5 por cento". "25%" l-se "25

por cento".

O smbolo "%" significa centsimos, assim "5%" outra forma de se

escrever 0,05, ou por exemplo.

Veja as seguintes razes:

Podemos represent-las na sua forma decimal por:

E tambm na sua forma de porcentagens por:

Como calcular um valor percentual de um nmero?

Agora que temos uma viso geral do que porcentagem, como calcular quanto

25% de 200?

Multiplique 25 por 200 e divida por 100:

Se voc achar mais fcil, voc pode simplesmente multiplicar 25% na sua forma

decimal, que 0,25 por 200:

1. 4% de 32 = 0,04 . 32 = 1,28

2. 15% de 180 = 0,15 . 180 = 27

3. 18% de 150 = 0,18 . 150 = 27

4. 35% de 126 = 0,35 . 126 = 44,1

5. 100% de 715 = 1,00 . 715 = 715

6. 115% de 60 = 1,15 . 60 = 69

7. 200% de 48 = 2,00 . 48 = 96

Repare que no quinto item, 100% de 715 corresponde ao prprio 715, isto ocorre

porque 100% representa o todo, ocorre porque 100% a razo de 100 para 100

(100 : 100) que igual a 1. Por isto 100% de um nmero x o prprio nmero x,

j que o estaremos multiplicando por 1, para sabermos o valor da porcentagem.

Analisando os itens de 1 a 4, podemos tambm perceber que quando o percentual

menor 100%, o nmero resultante ser menor que o nmero original. Nos itens 6

e 7 percebemos que o resultado maior que o nmero original. Isto ocorre porque

o percentual maior que 100%.

Nos itens 2 e 3 observamos que 15% de 180 igual a 18% de 150. a% de b

igual a b% de a. Isto devido propriedade comutativa da multiplicao que diz

que a . b = b. a.

Como transformamos uma razo ou frao em porcentagem?

Vimos que razes centesimais so um tipo especial de razo, cujo consequente

igual a cem e podem facilmente ser expressas na forma de porcentagem,

simplesmente se eliminando o consequente ou denominador cem e inserindo o

smbolo de porcentagem aps o antecedente ou numerador. Por exemplo:

Mas como transformamos a razo 3 : 15 em porcentagem?

Simplesmente realizando a diviso, encontrando assim o valor da razo,

multiplicando-o por 100 e inserindo o smbolo de porcentagem sua direita, ou

seja, multiplicamos por 100%:

Talvez voc no tenha percebido, mas podemos utilizar a transformao de uma

razo em porcentagem para calcular quantos por cento um nmero de outro.

Neste nosso exemplo 3 20% de 15.

Dezoito quantos por cento de quarenta e cinco?

Para que serve o clculo da porcentagem?

Razes so utilizadas para podermos comparar grandezas e em sendo a

porcentagem uma razo, exatamente esta a utilidade da porcentagem.

Digamos que a populao de uma cidade A cresceu de 100 mil para 125 mil em dez

anos. Sabemos tambm que no mesmo perodo, a populao da cidade B passou

de 40 mil para 50 mil habitantes. Qual das cidades teve um aumento populacional

maior?

Aumento populacional da cidade A em porcentagem:

Aumento populacional da cidade B em porcentagem:

Segundos os clculos realizados acima, percebemos que embora a populao da

cidade A seja muito maior que a outra, o aumento percentual das duas populaes

foi o mesmo.

Veja tambm que a razo da populao atual para a populao de 10 anos atrs,

de ambas as cidades a mesma, outra prova de que o crescimento foi

proporcionalmente o mesmo:

125000: 100000 = 50000: 40000 = 1,25

Juros Simples e Composto

Primeiramente, passamos o que juros: Juros um atributo de uma aplicao

financeira, ou seja, referimos a uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um

devedor (o que pede emprestado), pela utilizao de dinheiro de um credor (aquele

que empresta).

Existem dois tipos de juros:

Os Juros Simples - So acrscimos que so somados ao capital inicial no final da

aplicao

Juros Compostos - So acrscimos que so somados ao capital, ao fim de cada

perodo de aplicao, formando com esta soma um novo capital.

Capital o valor que financiado, seja na compra de produtos ou emprstimos em

dinheiro.

A grande diferena dos juros que no final das contas quem financia por juros

simples obtem um montante (valor total a pagar) inferior ao que financia por juros

compostos.

A frmula do Juro Simples : j = C. i. t

Onde:

j = juros, C = capital, i = taxa, t = tempo.

Considerando que uma pessoa empresta a outra a quantia de R$ 2.000,00, a juros

simples, pelo prazo de 3 meses, taxa de 3% ao ms. Quanto dever ser pago de

juros?

Antes de iniciarmos a resoluo deste problema, devemos descobrir, o que o que,

ou seja, quais dados fazem parte das contas.

Capital Aplicado (C) : R$ 2.000,00

Tempo de Aplicao (t) : R$ 3 meses

Taxa (i): 3% ou 0,03 ao ms (a.m.)

Fazendo o clculo, teremos:

J = c. i. t J = 2.000 x 3 x 0,03 R$ 180,00

Ao final do emprstimo, a pessoa pagar R$ 180,00 de juros.

Observe, que se fizermos a conta ms a ms, o valor dos juros ser de R$ 60,00

por ms e esse valor ser somado ms a ms, nunca mudar.

t

A frmula dos Juros Compostos : M = C. (1 + i)

Onde:

M = Montante, C = Capital, i = taxa de juros, t = tempo.

Considerando o mesmo problema anterior, da pessoa que emprestou R$ 2.000,00 a

uma taxa de 3% (0,03) durante 3 meses, em juros simples, teremos:

Capital Aplicado (C) = R$ 2.000,00

Tempo de Aplicao (t) = 3 meses

Taxa de Aplicao (i) = 0,03 (3% ao ms)

Fazendo os clculos, teremos:

M = 2.000. (1 + 0,03) M = 2.000 . (1,03) M = R$ 2.185,45

Ao final do emprstimo, a pessoa pagar R$ 185,45 de juros.

Observe, que se fizermos a conta ms a ms, no primeiro ms ela pagar R$

60,00, no segundo ms ela pagar R$ 61,80 e no terceiro ms ela pagar R$

63,65.

Normalmente quando fazemos uma compra nas "Casas Bahia", por exemplo, os

Juros cobrados so os Juros Compostos, praticamente todas as lojas comerciais

adotam os Juros sobre Juros (Juros Compostos).

Relaes de dependncia entre grandezas

Na natureza encontramos inmeros exemplos de grandezas variveis

inter-relacionadas.

Chuva/umidade;

Sol/calor;

Arborizao/temperatura

A relao de dependncia entre grandezas, isto , a variao de uma conforme as

mudanas sofridas pela outra, um fenmeno que pode ser observado e, muitas

vezes, traduzido atravs do estabelecimento de uma lei matemtica que rege a

referida relao.

Muitas grandezas variam na dependncia de outras, e muito difcil, s vezes

impossvel, garantir que determinada grandeza varie independentemente de

qualquer outra.

Alguma grandeza varia independentemente?

NO, TODAS AS GRANDEZES ESTO RELACIONADAS DE ALGUMA FORMA!

Para estabelecer uma relao, dificuldade, muitas vezes, reside em

selecionar a varivel que se deseja

estudar na dependncia de qual outra.

Quando esta questo est clara e decidida, dizemos que a primeira grandeza varia

em funo da segunda grandeza.

Chuva umidade;

Estudar Tirar boas notas;

Prestar ateno aprender;

Estudar a variao de uma grandeza em funo da variao de outra tem-se

mostrado uma ideia to importante que, em diferentes campos do conhecimento,

percebemos a constante busca de novas correspondncias, com o estabelecimento

das mais variadas dependncias.

Pode acontecer que uma grandeza varie na dependncia de apenas uma, ou de

vrias outras, sendo difcil isolar uma nica varivel independente.

Chuva enchentes - temperatura umidade vegetao...

Resumindo, a relao de dependncia entre grandezas nada mais do que

uma:

Na matemtica, o conceito de funo inteiramente ligado s questes de

dependncia entre duas grandezas variveis.

Toda relao possui uma lei de formao algbrica que relaciona dois ou mais

conjuntos atravs de clculos matemticos.

Uma funo f de A em B , onde os elementos de B so iguais ao quadrado dos elementos em A , pode ser definida por:

f:A B,f(x) = x

Ou

f:A B,y = x

Veja tambm que representamos (x) ouy em funo de x. A varivel (x) ou y

chamada de varivel dependente, pois depende de x, j a varivel x chamada de

varivel independente, pois independentemente de y, pode representar qualquer elemento do domnio.

Pode-se estabelecer uma relao de dependncia entre o preo do litro de um combustvel e a quantidade de litros usados no abastecimento de um carro.

Suponhamos que o preo do litro de gasolina seja R$2,50, dessa forma,podemos determinar a seguinte funo y = , x.

O que essa funo determina? Em relao a que tem-se essa determinao?

= , .

Determina o preo a pagar y em decorrncia da quantidade de litros abastecidos x.

Aplicando valores, tem-se:

x(l) y = 2, x ($) y ($)

1 y = 2,5 . 1 2,5

2 y = 2,5 . 2 5,00

3 y = 2,5. 3 7,50

4 y = 2,5 . 4 10,00

5 y = 2,5 . 5 12,50

6 y = 2,5 . 6 15,00

7 y = 2,5 . 7 17,50

As funes possuem grande aplicabilidade nas situaes em geral relacionadas ao ensino da Matemtica.

Utilizamos funes na Administrao, na Economia, na Fsica, na Qumica, na Engenharia, nas Finanas, entre outras reas do conhecimento.

Exemplo 1

Uma indstria de brinquedos possui um custo mensal de produo equivalente a

R$5.000,00 mais R$3,00 reais por brinquedo produzido. Determine a lei de formao dessa funo e o valor do custo na produo de 2.000 peas.

A lei de formao ser formada por uma parte fixa e outra varivel. Observe:

C = 5000 + 3p, onde C custo da produo e p o nmero de brinquedos produzidos.

Como sero produzidos 2.000 brinquedos temos:

C = 5000 + 3 x 2000

C = 5000 + 6000

C = 11.000

O custo na produo de 2.000 brinquedos ser de R$11.000,00.

No sculo XIV, Oresme - telogo e matemtico francs - tem a brilhante ideia de

traar uma figura ou grfico das grandezas que variam. Esta foi, talvez, a primeira sugesto do que hoje chamado de representao grfica de uma funo.

Exemplo 2

Em uma corrida de txi cobrada uma taxa fixa de R$3,00 mais R$2,50 por quilmetro rodado.

A) Qual a frmula matemtica dessa relao?

B) Se um passageiro percorrer 10 km, qual o valor que ele deve pagar?

C) Se um passageiro pagou R$23,00 numa corrida, quantos quilmetros o txi

percorreu?

Resposta:

A) Com base nos dados fornecidos no

problema, monta-se a equao:

y = 3,00 + 2,5x

Onde y o valor a ser pago e x a quantidade de quilmetros rodados.

B) A partir da equao: y = 3,00 + 2,5x

Para x = 10 km, tem-se:

y = 3,00 + 2,5. 10

y= 3,00 + 25,00

y = 28,00$

C) Neste caso, temos o valor de y, logo, basta substituirmos na equao

encontrada na letra A.

23,00 = 3,00 + 2,5x

2,5x = 23,00 3,00

2,5x = 20,00

x =20,00

2,50 = 8 km

Sequncias e Progresses

Definio 1: Uma sequncia uma ordenao (finita ou no) de nmeros contidos

em certo conjunto. Cada termo de uma sequncia indicado por sua posio na

ordenao. Ou seja, podemos definir uma sequncia tambm como uma funo,

geralmente definida como (tambm pode ser o conjunto dos inteiros no

domnio).

Por exemplo, a sequncia definida por , , uma

sequncia de nmeros inteiros. (Problema: Voc saberia achar uma frmula

fechada para esta sequncia?)

Existem vrios tipos de sequncias: definidas recursivamente, definidas atravs de

uma frmula fechada,definidas como um termo de uma matriz, e vrias outras.

No geral, teremos que entender uma sequncia apenas como uma ordenao, pelo

menos por essa aula.

Tendo entendido, podemos prosseguir para o que realmente nos interessa.

P.A

Definio 2: Uma Progresso Aritmtica uma sequncia de nmeros tais que o

n-simo termo a soma do (n-1)-simo termo com um nmero constante, r, que

chamamos da razo da P.A.

Ento, podemos formular uma P.A. como segue:

Dado , temos que a P.A. uma sequncia tal que .

Ento, podemos avanar para o seguinte

Teorema 1: O n-simo termo de uma P.A. pode ser escrito

como

Demonstrao: Faamos . Assim, podemos telescopar essa soma:

Donde segue a frmula.

Exemplo 1: Dado e , ache .

Resoluo: .

Exemplo 2: Determine o grfico, no necessariamente contnuo, de uma P.A.

Resoluo: Seja . Chamando , , ,

temos

, que uma funo afim. Logo, ao unirmos os pontos (pois uma

P.A. associa somente abscissas inteiras), teremos uma reta.

Porm, o mais importante sobre progresses aritmticas a soma dos n termos.

Com esse dado, poderemos resolver inmeros problemas sobre progresses

aritmticas, pois, quando falamos de P.A.s, a teoria toda est baseada nesses dois

teoremas. Mas antes, precisaremos do seguinte

Lema 1: A soma dos extremos em uma P.A. constante, ou

seja,

Demonstrao do Lema: , ,

..., , que o que queramos demonstrar.

Agora, podemos partir para o teorema importante:

Teorema 2: A soma dos termos de uma P.A., dados , ,

Demonstrao 1: Faamos induo em n:

P(1), trivial

P(k+1), suponhamos que, para algum k, seja verificado que

Ento,

Que prova o passo indutivo.

Demonstrao 2: Faamos um tringulo, como na figura

Ao colocarmos uma cpia do tringulo, como na figura abaixo, obtemos

Mas, a soma de cada linha igual a , pois temos cpias do e

duas do . Assim, a soma total . Como temos duas cpias do

tringulo,

Agora, resolvamos alguns exerccios interessantes:

1 Prove que, dada uma P.A. com , ento o produto de quaisquer 4

termos consecutivos somado razo elevada quarta potncia um quadrado de

um racional.

Resoluo: Seja para algum . Ento, podemos fazer ,

para k mpar. Ento, existem termos , , e que so

termos consecutivos da P.A. Seu produto, ento,

Somando razo elevada quarta potncia,

Que o resultado desejado.

2 (IME-97) Determine as possveis P.A.s para as quais o resultado da diviso da

soma dos seus n primeiros termos pela soma dos seus 2n primeiros termos seja

independente do valor de n .

Resoluo: Seja seu primeiro termo e sua razo. Ento,

Logo, tomando e ,

Temos, ento, dois tipos de P.A. que nos satisfazem: as constantes ( ), e as

nas quais .

3 (ITA-2005) Seja uma PA infinita tal que

Determine o primeiro termo e a razo da progresso.

Resoluo: Para ,

E, para

4 (Proposto pela Checoslovquia para a IMO-1969) Sejam d e p reais arbitrrios.

Ache o primeiro termo da progresso aritmtica de razo tal que .

Ache o nmero de solues em termos de e .

Resoluo: Faamos e . Logo,

Efetuando ,

Substituindo em ,

Agora, analisaremos caso a caso:

i) Nenhuma soluo Real:

ii) Uma soluo Real:

a)

b)

iii) Duas solues Reais:

iv) Trs solues Reais:

Vemos bem facilmente que esse caso impossvel de ocorrer.

v) Quatro solues Reais:

a)

b)

Satisfeito para todo satisfazendo a condio pr-determinada.

P.G

Definio 1: Uma progresso geomtrica uma sequncia na qual an = qan-1, onde

an e an-1 so termos da sequncia e q denominada a razo da P.G.

Portanto, uma P.G. uma sequncia na qual o crescimento dos termos

exponencial:

Proposio 1: O termo geral de uma P.G. pode ser escrito como

Demonstrao: Podemos, indutivamente, provar que

Para n=2, trivial

Agora, suponhamos . Pela definio,

Que completa a demonstrao.

Assim, temos alguns problemas que j podemos fazer sobre P.G.s:

Problema 1: Calcule x, em radianos, sabendo que formam uma

P.G.

Resoluo:

A P.G. em questo , portanto, , e .

Problema 2: Mostre que uma P.G.

Resoluo:

, E, de modo geral, e

Logo, eles formam uma P.G. de razo .

podemos, agora, partir para nossa prxima

Proposio 2: a soma dos n primeiros termos de uma P.G.

Demonstrao: faamos

Multiplicando por :

Resolvendo em funo de

Como queramos demonstrar

Corolrio 1: Quando ,

Demonstrao: S temos que aplicar

Mas, como , quando este nmero elevado a uma potncia muito grande,

este tende a zero. Portanto,

Como desejado

Portanto, terminados os teoremas, vamos parte prtica das coisas:

Problema 3: Calcule

Resoluo:

Multipliquemos por :

Problema 4: (IMO-1962) Resolva

Resoluo: Ao ver que se trata de uma expresso trigonomtrica, podemos

pensar: como podemos associar a essa expresso uma P.G.? Resposta: Nmeros

complexos!

Primeiro, efetuemos

Portanto, a equao se transforma em

Utilizando

Agora que entra a P.G.!

Mas, pela propriedade de complexos,

E

Ento

Como queremos a parte real da expresso acima, temos que ter

Logo, temos de resolver

Mas, por Prostafrese (para voc que no entendeu muito dessa soluo, no se

desespere! Vamos postar algo sobre Prostafrese e essas transformaes

complexas),

Logo,

Utilizando Prostafrese novamente,

Ento, temos de resolver

E

Problema 5: Achar

Onde o ltimo nmero tem n dgitos.

Resoluo: Transformemos

Ento

Problema 6: Ache uma frmula fechada para

Princpios de Contagem

Analise combinatria

1 - Introduo

Foi a necessidade de calcular o nmero de possibilidades existentes nos

chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Anlise

Combinatria, parte da Matemtica que estuda os mtodos de contagem.

Esses estudos foram iniciados j no sculo XVI, pelo matemtico italiano

Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os

franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).

A Anlise Combinatria visa desenvolver mtodos que permitam contar - de

uma forma indireta - o nmero de elementos de um conjunto, estando esses

elementos agrupados sob certas condies.

2 Fatorial

Seja n um nmero inteiro no negativo. Definimos o fatorial de n (indicado

pelo smbolo n! ) como sendo:

n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n 2.

Para n = 0 , teremos : 0! = 1.

Para n = 1 , teremos : 1! = 1

Exemplos:

a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

b) 4! = 4.3.2.1 = 24

c) observe que 6! = 6.5.4!

d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

e) 10! = 10.9.8.7.6.5!

f ) 10! = 10.9.8!

3 - Princpio fundamental da contagem - PFC

Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a

primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de

k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, ento o nmero total T de

maneiras de ocorrer o acontecimento dado por:

T = k1. k2 . k3 . ... . kn

Exemplo:

O DETRAN decidiu que as placas dos veculos do Brasil sero codificadas

usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o nmero mximo de

veculos que poder ser licenciado?

Soluo:

Usando o raciocnio anterior, imaginemos uma placa genrica do tipo PWR-

USTZ.

Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numrico possui 10

algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1 posio, temos 26

alternativas, e como pode haver repetio, para a 2, e 3 tambm teremos

26 alternativas. Com relao aos algarismos, conclumos facilmente que

temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos ento afirmar

que o nmero total de veculos que podem ser licenciados ser igual a:

26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no pas

existissem 175.760.001 veculos, o sistema de cdigos de emplacamento

teria que ser modificado, j que no existiriam nmeros suficientes para

codificar todos os veculos. Perceberam?

4 - Permutaes simples

4.1 - Permutaes simples de n elementos distintos so os agrupamentos

formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela

ordem de seus elementos.

Exemplo: com os elementos A,B,C so possveis as seguintes permutaes:

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.

4.2 - O nmero total de permutaes simples de n elementos distintos

dado por n!, isto

Pn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 .

Exemplos:

a) P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

b) Calcule o nmero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares

de um banco retangular de cinco lugares.

P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

4.3 - Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra, que podem ter ou no significado na linguagem comum.

Exemplo:

Os possveis anagramas da palavra REI so:

REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.

5 - Permutaes com elementos repetidos

Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos

repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos e assim

sucessivamente , o nmero total de permutaes que podemos formar

dado por:

Exemplo:

Determine o nmero de anagramas da palavra MATEMTICA.(no considere

o acento)

Soluo:

Temos 10 elementos, com repetio. Observe que a letra M est repetida

duas vezes, a letra A trs , a letra T, duas vezes. Na frmula anterior,

teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o nmero procurado, podemos

escrever:

k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200

Resposta: 151200 anagramas.

6 - Arranjos simples

6.1 - Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de

taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa

ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocao dos

elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:

a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.

b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

6.2 - Representando o nmero total de arranjos de n elementos

tomados k a k (taxa k) por An,k , teremos a seguinte frmula:

Obs : fcil perceber que An,n = n! = Pn . (Verifique)

Exemplo:

Um cofre possui um disco marcado com os dgitos 0,1,2,...,9. O segredo do

cofre marcado por uma sequncia de 3 dgitos distintos. Se uma pessoa

tentar abrir o cofre, quantas tentativas dever fazer(no mximo) para

conseguir abri-lo?

Soluo:

As sequncias sero do tipo xyz. Para a primeira posio teremos 10

alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a

frmula de arranjos, mas pelo princpio fundamental de contagem,

chegaremos ao mesmo resultado:

10.9.8 = 720.

Observe que 720 = A10,3

7 - Combinaes simples

7.1 - Denominamos combinaes simples de n elementos distintos

tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos

escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinaes so

diferentes quando possuem elementos distintos, no importando a ordem

em que os elementos so colocados.

Exemplo:

No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:

a) combinaes de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.

b) combinaes de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.

c) combinaes de taxa 4: abcd.

7.2 - Representando por Cn,k o nmero total de combinaes de n elementos

tomados k a k (taxa k) , temos a seguinte frmula:

Nota: o nmero acima tambm conhecido como Nmero binomial e

indicado por:

Exemplo:

Uma prova consta de 15 questes das quais o aluno deve resolver 10. De

quantas formas ele poder escolher as 10 questes?

Soluo:

Observe que a ordem das questes no muda o teste. Logo, podemos

concluir que trata-se de um problema de combinao de 15 elementos com

taxa 10.

Aplicando simplesmente a frmula chegaremos a:

C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! /

5.4.3.2.1.10! = 3003

Agora que voc viu o resumo da teoria, tente resolver os 3 problemas

seguintes:

01 - Um coquetel preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se

existem 7 bebidas distintas, quantos coquetis diferentes podem ser

preparados?

Resp: 120

02 - Sobre uma circunferncia so marcados 9 pontos distintos. Quantos

tringulos podem ser construdos com vrtices nos 9 pontos marcados?

Resp: 84

03 - Uma famlia com 5 pessoas possui um automvel de 5 lugares.

Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos podero

se acomodar para uma viagem?

Resp: 48

Exerccio resolvido:

Um salo tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salo pode

estar aberto?

Soluo:

Para a primeira porta temos duas opes: aberta ou fechada

Para a segunda porta temos tambm, duas opes, e assim sucessivamente.

Para as seis portas, teremos ento, pelo Princpio Fundamental da Contagem

- PFC:

N = 2.2.2.2.2.2 = 64

Lembrando que uma dessas opes corresponde a todas as duas portas

fechadas, teremos ento que o nmero procurado igual a 64 - 1 = 63.

Resposta: o salo pode estar aberto de 63 modos possveis.

Caractersticas das figuras planas e espaciais

A Geometria est apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definies e teoremas,

sendo que essas definies e postulados so usados para demonstrar a validade de

cada teorema. Alguns desses objetos so aceitos sem demonstrao, isto , voc

deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prtica!

A Geometria permite que faamos uso dos conceitos elementares para construir

outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos

mais variados tipos, ngulos, mdias, centros de gravidade de objetos, etc.

POLGONO

Polgono: uma figura plana formada por trs ou mais segmentos de reta que se

intersectam dois a dois. Os segmentos de reta so denominados lados do

polgono.Os pontos de interseco so denominados vrtices do polgono. A regio

interior ao polgono muitas vezes tratada como se fosse o prprio polgono.

TRINGULOS

Os tringulos so polgonos de trs lados. Iremos classificar os tringulos de duas

maneiras: quanto aos lados e quanto aos ngulos.

Quanto aos lados:

Equiltero - todos os lados iguais

Issceles - dois lados iguais

Escaleno - todos os lados diferentes

Quanto aos ngulos:

Acutngulo - Um ngulo agudo

Obtusngulo - Um ngulo obtuso

Retngulo - Um ngulo reto

Algumas propriedades:

- Se o tringulo tem dois lados iguais, os ngulos que lhes so opostos tambm so

iguais.

- Num tringulo, ou em tringulos iguais, a lados iguais opem-se ngulos iguais.

- Num tringulo, ou em tringulos iguais, a ngulos iguais opem-se lados iguais. -

Num tringulo, ao maior lado opem-se o maior ngulo

Os tringulos podem ser classificados em diversos tipos de acordo com seus

lados(Eqilteros - Possuem trs lados de mesmo comprimento, Issceles -

possuem dois lados de mesmo comprimento e Escalenos - possuem trs lados de

comprimentos diferentes) ou quanto a seus ngulos(Retngulos - possuem um

ngulo de 90 graus, tambm chamado ngulo reto, Obtusngulos - possuem um

ngulo obtuso, ou seja, um ngulo com mais de 90, Acutngulos - possuem trs

ngulos agudos, ou seja, menores do que 90). Polgonos so definidos como a

figura formada po um nmero n maior ou igual a 3 de pontos ordenados de forma

que trs pontos consecutivos sejam no colineares.

Um exemplo de polgono de 3 lados um tringulo. Os polgonos possuem

denominaes particulares para enes diferentes:n=3 - tringulo, n=4 -

quadriltero, n=10 - decgono, n=20 - icosgono). Estas denominaes so

derivadas dos nomes dos nmeros em grego. Outra forma importante da geometria

plana a circunferncia definida como sendo o conjunto de todos os pontos de um

plano cuja distncia a um ponto fixo desse plano uma constante positiva.

Chamamos de crculo ao conjunto de uma circunferncia e seus pontos internos.

Existem tambm certos casos especiais para quadrilteros como definiremos a

seguir: dado o nome de trapzio a um quadriltero que possui dois lados

paralelos.

Para o caso dos lados no paralelos serem congruentes d-se a este trapzio o

nome de trapzio issceles, para o caso de lados no paralelos no congruentes

dado o nome de trapzio escaleno, e um trapzio que possui um lado perpendicular

as bases chamado trapzio retngulo. Paralelogramo um quadriltero que

possui os lados opostos paralelos. Retngulo possui quatro ngulos congruentes

entre si. O losango possui quatro lados congruentes entre si, e finalmente o

quadrado que possui 4 lados e quatro ngulos congruentes entre si.

Polgono convexo: um polgono construdo de modo que os prolongamentos dos

lados nunca ficaro no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um

polgono convexo, ento todo o segmento tendo estes dois pontos como

extremidades, estar inteiramente contido no polgono.

Polgono No. de lados Polgono No. de lados

Tringulo 3 Quadriltero 4

Pentgono 5 Hexgono 6

Heptgono 7 Octgono 8

Enegono 9 Decgono 10

Undecgono 11 Dodecgono 12

Polgono no convexo: Um polgono dito no convexo se dados dois pontos do

polgono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos

que esto fora do polgono.

Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ngulos so congruentes quando tm

as mesmas medidas.

Paralelogramo: um quadriltero cujos lados opostos so paralelos. Pode-se

mostrar que num paralelogramo:

Os lados opostos so congruentes;

Os ngulos opostos so congruentes;

A soma de dois ngulos consecutivos vale 180o;

As diagonais cortam-se ao meio

Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais

de um losango formam um ngulo de 90o.

Retngulo: um paralelogramo com quatro ngulos retos e dois pares de lados

paralelos.

Quadrado: um paralelogramo que ao mesmo tempo um losango e um

retngulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e tambm quatro

ngulos retos.

Trapzio: Quadriltero que s possui dois lados opostos paralelos com

comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar

que o segmento que liga os pontos mdios dos lados no paralelos de um trapzio

paralelo s bases e o seu comprimento a mdia aritmtica das somas das

medidas das bases maior e menor do trapzio.

Trapzio issceles: Trapzio cujos lados no paralelos so congruentes. Neste caso,

existem dois ngulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadriltero

obtido pela retirada de um tringulo issceles menor superior (amarelo) do

tringulo issceles maior.

"Pipa" ou "papagaio": um quadriltero que tem dois pares de lados consecutivos

congruentes, mas os seus lados opostos no so congruentes.

Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais so perpendiculares e que os

ngulos opostos ligados pela diagonal menor so congruentes.

Elementos de Geometria espacial

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliao da Geometria

plana (euclidiana) e trata dos mtodos apropriados para o estudo de objetos

espaciais assim como a relao entre esses elementos. Os objetos primitivos do

ponto de vista espacial, so: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas,

ngulos e superfcies. Os principais tipos de clculos que podemos realizar so:

comprimentos de curvas, reas de superfcies e volumes de regies slidas.

Tomaremos ponto e reta como conceitos primitivos, os quais sero aceitos sem

definio.

Conceitos gerais

Um plano um subconjunto do espao R3 de tal modo que quaisquer dois pontos

desse conjunto pode ser ligado por um segmento de reta inteiramente contido no

conjunto.

Um plano no espao R3 pode ser determinado por qualquer uma das situaes:

Trs pontos no colineares (no pertencentes mesma reta);

Um ponto e uma reta que no contem o ponto;

Um ponto e um segmento de reta que no contem o ponto;

Duas retas paralelas que no se sobrepe;

Dois segmentos de reta paralelos que no se sobrepe;

Duas retas concorrentes;

Dois segmentos de reta concorrentes.

Duas retas (segmentos de reta) no espao R3 podem ser: paralelas, concorrentes

ou reversas.

Duas retas so ditas reversas quando uma no tem interseo com a outra e elas

no so paralelas. Pode-se pensar de uma rera r desenhada no cho de uma casa e

uma reta s desenhada no teto dessa mesma casa.

Uma reta perpendicular a um plano no espao R3, se ela intersecta o plano em

um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma de suas

extremidades perpendicular reta.

Uma reta r paralela a um plano no espao R3, se existe uma reta s inteiramente

contida no plano que paralela reta dada.

Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distncia do ponto ao plano a

medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade o

ponto P e a outra extremidade o ponto que a interseo entre o plano e o

segmento.

Se o ponto P estiver no plano, a distncia nula.

Planos concorrentes no espao R3 so planos cuja interseo uma reta.Planos

paralelos no espao R3 so planos que no tem interseo.

Quando dois planos so concorrentes, dizemos que tais planos formam umdiedro e

o ngulo formado entre estes dois planos denominado ngulo diedral. Para

obter este ngulo diedral, basta tomar o ngulo formado por quaisquer duas retas

perpendiculares aos planos concorrentes.

Planos normais so aqueles cujo ngulo diedral um ngulo reto (90 graus).

Grandezas, Unidades de medidas e Escalas

Introduo

Aprendemos desde cedo a medir e comparar grandezas como comprimento;

tempo; massa; temperatura; presso e corrente eltrica. Atualmente,

contamos com ferramentas que nos auxiliam no processo de mensurao.

Figura 1

No termmetro mostrado ao lado,

o C (graus Celsius) a unidade de

medida da temperatura.

Figura 2

A unidade um nome particular que relacionamos s medidas de uma

grandeza.

Tipos de Grandezas Fsicas

Vetorial:

Para sua perfeita caracterizao, esse tipo de grandeza necessita, alm do

valor numrico, que mostra a intensidade, de uma representao espacial

que determine a direo e o sentido.

Acelerao, velocidade e fora so exemplos de grandezas vetoriais.

Escalar:

Grandeza escalar aquela que precisa somente de um valor numrico e

uma unidade para determinar uma grandeza fsica, um exemplo a nossa

massa corporal.

Grandezas como massa, comprimento e tempo so exemplos de grandezas

escalares.

Grandezas e Unidades

As medidas podem ser expressas em vrias unidades, porm, a fim de

padronizar essas medidas, foram criados alguns sistemas de unidades. Estes

podem ser observados na tabela 1.

Tabela 1

O Sistema Internacional de Unidades (SI), destacado em vermelho, o mais

utilizado.

Grandezas Fundamentais no sistema nacional de Unidades (SI)

Tabela 2

Grandezas fsicas podem ser comparadas apenas quando expressas com a

mesma unidade. Caso contrrio, uma converso de unidades necessria.

No podemos realizar operaes do tipo:

Prefixo para Valores de Grandezas

Os prefixos podem ser utilizados com quaisquer unidades, eles so fatores

que multiplicam estas unidades e em muitos casos, torna a escrita mais

simples.

Exemplos:

1mm= 1000m = 10-3m

1mg = 1000g= 10-3g

Na tabela 3 podem-se observar os prefixos mais utilizados.

Tabela 3

Converso de Unidades

As unidades podem ser convertidas, de acordo com a sua respectiva grandeza. Nas

prximas subsees sero expostos os quadros de converso para as grandezas

mais utilizadas.

Convertendo o Comprimento

Figura 3

No SI, a medida padro para o comprimento o metro. Porm, como se pode

observar na Figura 3, existem outras unidades. Para realizar a converso dessas

unidades, segue-se uma regra bem simples, que envolve multiplicao ou diviso

por dezenas.

De acordo com a Figura 3, tem que, para transformar um metro em um

quilmetro, divide-se o valor por mil, basicamente, pode-se afirmar que o

nmero de casas andadas igual ao nmero de zeros do denominador.

De forma semelhante, para transformar um metro em um milmetro, multiplica-se

o valor em metros por mil.

Convertendo unidades de rea

Figura 4

No SI, a medida padro para a rea o metro quadrado. Porm, como se pode

observar na Figura 4, existem outras unidades para expressarmos essa grandeza.

Para realizar a converso dessas unidades, segue-se uma regra bem simples, que

envolve multiplicao ou diviso por dezenas.

De abordo com a Figura 4, tem-que que, para transformar um metro quadrado em

um quilmetro quadrado, divide-se o valor por mil, basicamente, pode-se afirmar

que o nmero de casas andadas igual ao nmero de zeros do denominador.

De forma semelhante, para transformar um metro quadrado em um milmetro

quadrado, multiplica-se o valor em metros quadrados por mil.

Convertendo unidade de volume

No SI, a medida padro para o volume o metro cbico. Porm, observa-se na

Figura 5 que existem outras unidades para expressarmos essa grandeza. Para

realizar a converso dessas unidades, segue-se uma regra bem simples, que

envolve multiplicao ou diviso por dezenas.

Figura 5

De abordo com a Figura 5, tem-que que, para transformar um metro cbico em um

quilmetro cbico, divide-se o valor por mil, basicamente, pode-se afirmar que o

nmero de casas andadas igual ao nmero de zeros do denominador.

De forma semelhante, para transformar um metro cbico em um milmetro cbico,

multiplica-se o valor em metros cbicos por mil.

Convertendo unidades de tempo

No SI, a medida padro para o tempo o segundo. Porm, observa-se na Figura 6

que existem outras unidades para expressarmos essa grandeza. Para realizar a

converso dessas unidades, segue-se uma regra bem simples, que envolve

operaes de multiplicao ou diviso.

Figura 6

De abordo com a Figura 6, tem-que que, para transformar um segundo em um

minuto, divide-se o valor por sessenta, basicamente, pode-se afirmar que um

minuto equivale sessenta segundos.

De forma semelhante, para transformar uma hora em um minuto, multiplica-se o

valor em horas por sessenta. Desse modo, tem-se que uma hora equivale

sessenta minutos.

Convertendo unidades de massa

No SI, a medida padro para a massa o grama. Porm, observa-se na Figura 7

que existem outras unidades para expressarmos essa grandeza. Para realizar a

converso dessas unidades, segue-se uma regra bem simples, que envolve

operaes de multiplicao ou diviso por dezenas.

Figura 7

De abordo com a Figura 7, tem-que que, para transformar um grama em um

quilograma, divide-se o valor por mil, basicamente, pode-se afirmar que o nmero

de casas andadas equivale ao nmero de zeros aps o algarismo um. Desse modo

tem-se que um quilograma equivale a mil gramas.

De forma semelhante, para transformar um grama em um miligrama, multiplica-se

o valor em gramas por mil.

Convertendo unidades de velocidade

No SI, a medida padro para a velocidade o metro por segundo. Porm, observa-se

na Figura 8 que existem outras unidades para expressarmos essa grandeza. Para

realizar a converso dessas unidades, segue-se uma regra bem simples, que

envolve operaes de multiplicao ou diviso por 3,6.

Figura 8

De abordo com a Figura 8, tem-que que, para transformar um metro por segundo

em um quilmetro por hora, multiplica-se o valor por 3,6. Desse modo, tem-se que

1m/s equivale a 3,6km/h.

De forma semelhante, para transformar um quilmetro por hora em metro por

segundo, multiplica-se o valor quilmetro por hora por sessenta.

ESCALAS

a proporo, relao (E) entre uma distncia medida no mapa (d) e uma

distncia medida no terreno (D).

Um mapa, uma fotografia area ou uma imagem de satlite so representaes em

escala da superfcie da terra, envolvendo reduo da realidade.

Figura 9

As escalas so utilizadas para representar medidas reais em tamanhos de desenhos

maiores ou menores que os tamanhos reais.

Figura 10

O clculo de escalas feito atravs de uma relao entre a dimenso linear de um

elemento e/ou um objeto apresentado no desenho. Dessa forma, utiliza-se a

seguinte relao.

Escala(E)=Medidas do Desenho(d)

Medida Real(D)

As escalas so classificadas da seguinte maneira:

Escala de reduo: A representao do desenho menor que a dimenso real do

objeto;

Escala de ampliao: A representao do desenho maior que a dimenso real

do objeto.

Escala Numrica: Fator que representa a proporo entre as medidas reais e as

medidas do desenho.

Exemplo:

1:50 Uma medida do desenho representa cinquenta vezes a medida da dimenso real (ampliao).

10:1 - Uma medida do desenho representa um dcimo da medida da dimenso real

(reduo).

Escala Grfica: consiste na representao de um segmento de reta dividido de

modo a mostrar graficamente a relao entre as dimenses de um objeto no

desenho e no terreno.

Exemplo:

Cada 1cm da imagem representa 50km da realidade.

Comprimentos, reas e volumes

Comprimento

Sistema Mtrico Decimal

Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada

um deles possua suas prprias unidades-padro. Com o desenvolvimento

do comrcio ficavam cada vez mais difceis a troca de informaes e as

negociaes com tantas medidas diferentes. Era necessrio que se adotasse

um padro de medida nico para cada grandeza.

Foi assim que, em 1791, poca da Revoluo francesa, um grupo de

representantes de vrios pases reuniu-se para discutir a adoo de um

sistema nico de medidas. Surgia o sistema mtrico decimal.

Metro

A palavra metro vem do gegro mtron e significa "o que mede". Foi

estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a dcima milionsima

parte da distncia do Plo Norte ao Equador, no meridiano que passa por

Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928.

Mltiplos e Submltiplos do Metro

Alm da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda

os seus mltiplos e submltiplos, cujos nomes so formados com o uso dos

prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:

Mltiplos Unidade

Fundamental Submltiplos

quilmetro hectmetro decmetro metro decmetro centmetro milmetro

km hm dam m dm cm mm

1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Os mltiplos do metro so utilizados para medir grandes distncias,

enquanto os submltiplos, para pequenas distncias. Para medidas

milimtricas, em que se exige preciso, utilizamos:

mcron () = 10-6 m angstrn () = 10-10 m

Para distncias astronmicas utilizamos o Ano-luz (distncia percorrida

pela luz em um ano):

Ano-luz = 9,5 1012 km

O p, a polegada, a milha e a jarda so unidades no pertencentes ao

sistemas mtrico decimal, so utilizadas em pases de lngua inglesa.

Observe as igualdades abaixo:

P = 30,48 cm

Polegada = 2,54 cm

Jarda = 91,44 cm

Milha terrestre = 1.609 m

Milha martima = 1.852 m

Observe que:

1 p = 12 polegadas

1 jarda = 3 ps

Leitura das Medidas de Comprimento

A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxlio do

quadro de unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m.

Seqncia prtica

1) Escrever o quadro de unidades:


2) Colocar o nmero no quadro de unidades, localizando o ltimo algarismo

da parte inteira sob a sua respectiva.


1 5, 0 4 8

3) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu ltimo

algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do ltimo

algarismo da mesma.

15 metros e 48 milmetros

Outros exemplos:

6,07 km l-se "seis quilmetros e sete decmetros"

82,107 dam l-se "oitenta e dois decmetros e cento e sete

centmetros".

0,003 m l-se "trs milmetros".

Transformao de Unidades

Observe as seguintes transformaes:

Transforme 16,584hm em m.


Para transformar hm em m (duas posies direita) devemos multiplicar

por 100 (10 x 10).

16,584 x 100 = 1.658,4

Ou seja:

16,584hm = 1.658,4m

Transforme 1,463 dam em cm.


Para transformar dam em cm (trs posies direita)

devemos multiplicar por 1.000 (10 x 10 x 10).

1,463 x 1.000 = 1,463

Ou seja:

1,463dam = 1.463cm.

Transforme 176,9m em dam.


Para transformar m em dam (uma posio esquerda) devemos dividir

por 10.

176,9 : 10 = 17,69

Ou seja:

176,9m = 17,69dam

Transforme 978m em km.


Para transformar m em km (trs posies esquerda) devemos dividir

por 1.000.

978 : 1.000 = 0,978

Ou seja:

978m = 0,978km.

Observao:

Para resolver uma expresso formada por termos com diferentes unidades,

devemos inicialmente transformar todos eles numa mesma unidade, para a seguir

efetuar as operaes.

Permetro de um Polgono

Permetro de um polgono a soma das medidas dos seus lados.

Permetro do retngulo

b - base ou comprimento

h - altura ou largura

Permetro = 2b + 2h = 2(b + h)

Permetro dos polgonos regulares

Tringulo equiltero Quadrado

P = l+ l + l

P = 3 l

P = l + l + l+ l

P = 4 l

Pentgono Hexgono

P = l + l + l + l + l

P = 5

P = l + l + l + l + l + l

P = 6 l

l - medida do lado do polgono regular

P - permetro do polgono regular

Para um polgono de n lados, temos:

P = n l

Comprimento da Circunferncia

Um pneu tem 40cm de dimetro, conforme a figura. Pergunta-se:

Cada volta completa deste pneu corresponde na horizontal a quantos

centmetros?

Envolva a roda com um barbante. Marque o incio e o fim desta volta no barbante.

Estique o bastante e mea o comprimento da circunferncia correspondente

roda.

Medindo essa dimenso voc encontrar aproximadamente 125,6cm, que um

valor um pouco superior a 3 vezes o seu dimetro. Vamos ver como determinar

este comprimento por um processo no experimental.

Voc provavelmente j ouviu falar de uma antiga descoberta matemtica:

Dividindo o comprimento de uma circunferncia (C) pela medida

do seu dimetro (D), encontramos sempre um valor

aproximadamente igual a 3,14.

Assim:

O nmero 3,141592... corresponde em matemtica letra grega (l-se "pi"),

que a primeira lera da palavra grega permetro. Costuma-se considera = 3,14.

Logo:

Utilizando essa frmula, podemos determinar o comprimento de

qualquer circunferncia.

Podemos agora conferir com auxlio da frmula o comprimento da

toda obtido experimentalmente.

C = 2 r C = 2 3,14 20 C = 125,6 cm

3,141592...

rea

Imagine a seguinte situao:

Aproveitando uma promoo de uma loja de materiais para construo,

uma famlia resolve trocar o piso da sala de sua residncia. Sabem que a

sala mede 4 metros de largura e possui um comprimento de 5,5 metros.

Sabem tambm que o ladrilho desejado quadrado, com 25 cm de lado.

Quantos ladrilhos sero necessrios para ladrilhar o piso da sala inteira?

rea a denominao dada medida de uma superfcie. Na situao acima

estamos nos referindo s reas da sala e do ladrilho.

Partindo-se deste princpio, o nosso problema se resume ao clculo da razo entre

as reas da sala e do ladrilho.

Para que voc saiba solucionar, dentre outros, o problema acima, vamos ento nos

atentar ao mtodo de clculo da rea das figuras geomtricas planas mais comuns.

De qualquer forma, no final da pgina voc encontra a resoluo detalhada do

problema acima.

Clculo da rea do Tringulo

Denominamos de tringulo a um polgono de trs lados.

Observe a figura ao lado. A letra h representa a medida da altura do tringulo,

assim como letra b representa a medida da sua base.

A rea do tringulo ser metade do produto do valor da medida da base, pelo valor

da medida da altura, tal como na frmula abaixo:

A letra S representa a rea ou superfcie do tringulo.

No caso do tringulo equiltero, que possui os trs ngulos internos iguais, assim

como os seus trs lados, podemos utilizar a seguinte frmula:

Onde l representa a medida dos lados do tringulo.

Exemplos

A medida da base de um tringulo de 7 cm, visto que a medida da sua altura

de 3,5 cm, qual a rea deste tringulo?

Do enunciado temos:

Utilizando a frmula:

A rea deste tringulo 12,25 cm2.

Os lados de um tringulo equiltero medem 5 mm. Qual a rea deste tringulo

equiltero?

Segundo o enunciado temos:

Substituindo na frmula:

A rea deste tringulo equiltero de aproximadamente 10,8 mm2.

Clculo da rea do Paralelogramo

Um quadriltero cujos lados opostos so iguais e paralelos

denominadoparalelogramo.

Com h representando a medida da sua altura e com b representando a medida da

sua base, a rea do paralelogramo pode ser obtida multiplicando-se b por h, tal

como na frmula abaixo:

Exemplos

A medida da base de um paralelogramo de 5,2 dm, sendo que a medida da

altura de 1,5 dm. Qual a rea deste polgono?

Segundo o enunciado temos:


A rea deste polgono 7,8 dm2.

Qual a medida da rea de um paralelogramo cujas medidas da altura e da base

so respectivamente 10 cm e 2 dm?

Sabemos que 2 dm equivalem a 20 cm, temos:


A medida da rea deste paralelogramo 200 cm2 ou 2 dm2.

Clculo da rea do Losango

O losango um tipo particular de paralelogramo. Neste caso alm dos lados

opostos serem paralelos, todos os quatro lados so iguais.

Se voc dispuser do valor das medidas h e b, voc poder utilizar a frmula do

paralelogramo para obter a rea do losango.

Outra caracterstica do losango que as suas diagonais so perpendiculares.

Observe na figura direita, que a partir das diagonais podemos dividir o losango

em quatro tringulos iguais.

Consideremos a base b como a metade da diagonal d1 e a altura h como a metade

da diagonal d2, para calcularmos a rea de um destes quatro tringulos. Bastar

ento que a multipliquemos por 4, para obtermos a rea do losango. Vejamos:

Realizando as devidas simplificaes chegaremos frmula:

Exemplos

As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual a medida da sua

superfcie?

Para o clculo da superfcie utilizaremos a frmula que envolve as diagonais, cujos

valores temos abaixo:

Utilizando na frmula temos:

A medida da superfcie deste losango de 75 cm2

Qual a medida da rea de um losango cuja base mede 12 cm e cuja altura seja

de 9 cm?

Neste caso, para o clculo da rea utilizaremos a frmula do paralelogramo, onde

utilizamos a base e a altura da figura geomtrica, cujos valores temos abaixo:

Segundo a frmula temos:

A medida da rea do losango de 108 cm2.

Clculo da rea do Quadrado

Todo quadrado tambm um losango, mas nem todo losango vem a ser um

quadrado, do mesmo modo que todo quadrado um retngulo, mas nem todo

retngulo um quadrado.

O quadrado um losango, que alm de possuir quatro lados iguais, com diagonais

perpendiculares, ainda possui todos os seus ngulos internos iguais a 90. Observe

ainda que alm de perpendiculares, as diagonais tambm so iguais.

Por ser o quadrado um losango e por ser o losango um paralelogramo, podemos

utilizar para o clculo da rea do quadrado, as mesmas frmulas utilizadas para o

clculo da rea tanto do losango, quanto do paralelogramo.

Quando dispomos da medida do lado do quadrado, podemos utilizar a frmula do

paralelogramo:

Como h e b possuem a mesma medida, podemos substitu-las por l, ficando a

frmula ento como sendo:

Quando dispomos da medida das diagonais do quadrado, podemos utilizar a

frmula do losango:

Como ambas as diagonais so idnticas, podemos substitu-las por d, simplificando

a frmula para:

Exemplos

A lateral da tampa quadrada de uma caixa mede 17 cm. Qual a superfcie desta

tampa?

Do enunciado temos que a varivel l igual a 17:

Substituindo na frmula temos:

Portanto a superfcie da tampa desta caixa de 289 cm2.

A medida do lado de um quadrado de 20 cm. Qual a sua rea?

Como o lado mede 20 cm, temos:

Substituindo na frmula temos:

A rea do quadrado de 400 cm2.

A rea de um quadrado igual a 196 cm2. Qual a medida do lado deste

quadrado?

Temos que S igual a 196.

Utilizando a frmula temos:

Como a medida do lado no pode ser negativa, temos que o lado do quadrado

mede 14 cm.

Clculo da rea do Retngulo

Por definio o retngulo um quadriltero equingulo (todo os seus ngulos

internos so iguais), cujos lados opostos so iguais.

Se todos os seus quatro lados forem iguais, teremos um tipo especial de retngulo,

chamado de quadrado.

Por ser o retngulo um paralelogramo, o clculo da sua rea realizado da mesma

forma.

Se denominarmos as medidas dos lados de um retngulo como na figura ao lado,

teremos a seguinte frmula:

Exemplos

Um terreno mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual a

rea deste terreno?

Atribuindo 5 varivel h e 25 varivel b temos:

Utilizando a frmula:

A rea deste terreno de 125 m2.

A tampa de uma caixa de sapatos tem as dimenses 30 cm por 15 cm. Qual a

rea desta tampa?

Podemos atribuir 15 varivel h e 30 varivel b:

Ao substituirmos as variveis na frmula teremos:

Portanto a rea da tampa da caixa de sapatos de 450 cm2.

Clculo da rea do Crculo

A diviso do permetro de uma circunferncia, pelo seu dimetro resultar sempre

no mesmo valor, qualquer que seja circunferncia. Este valor irracional constante

representado pela letra grega minscula pi, grafada como:

Por ser um nmero irracional, o nmero pi possui infinitas casas decimais. Para

clculos corriqueiros, podemos utilizar o valor 3,14159265. Para clculos com

menos preciso, podemos utilizar 3,1416, ou at mesmo 3,14.

O permetro de uma circunferncia obtido atravs da frmula:

O clculo da rea do crculo realizado segundo a frmula abaixo:

Onde r representa o raio do crculo.

Exemplos

A lente de uma lupa tem 10 cm de dimetro. Qual a rea da lente desta lupa?

Como informado no enunciado, o dimetro da circunferncia da lupa igual a 10

cm, o que nos leva a concluir que o seu raio igual a 5 cm, que corresponde

metade deste valor:

Substituindo-o na frmula:

A rea da lente da lupa de 78,54 cm2.

Um crculo tem raio de 8,52 mm. Quantos milmetros quadrados ele possui de

superfcie?

Do enunciado, temos que o valor do raio r :

Ao substituirmos valor de r na frmula teremos:

A superfcie do crculo de 228,05 mm2.

Clculo da rea de Setores Circulares

O clculo da rea de um setor circular pode ser realizado calculando-se a rea total

do crculo e depois se montando uma regra de trs, onde a rea total do crculo

estar para 360, assim como a rea do setor estar para o nmero de graus do

setor.

Sendo S a rea total do crculo, S a rea do setor circular e o seu nmero de graus, temos:

Em radianos temos:

A partir destas sentenas podemos chegar a esta frmula em graus:

E a esta outra em radianos:

Onde r representa o raio do crculo referente ao setor e o ngulo tambm referente ao setor.

Exemplos

Qual a rea de um setor circular com ngulo de 30 e raio de 12 cm?

Aplicando a frmula em graus temos:

A rea do setor circular de 37,6992 cm2.

Qual a superfcie de um setor circular com ngulo de 0,5 rad e raio de 8 mm?

Aplicando a frmula em radianos temos:

A superfcie do setor circular de 16 mm2.

Clculo da rea de Coroas Circulares

O clculo da rea de uma coroa circular pode ser realizado calculando-se a rea

total do crculo e subtraindo-se desta, a rea do crculo inscrito. Podemos tambm

utilizar a seguinte frmula:

Onde R representa o raio do crculo e r representa o raio do crculo inscrito.

Exemplos

Qual a rea de uma coroa circular com raio de 20 cm e largura de 5 cm?

Se a largura de 5 cm, significa que r = 20 - 5 = 15, substituindo na frmula

temos:

A rea da coroa circular de 549,78 cm2.

Qual a superfcie de uma coroa circular com r = 17 e R = 34?

Aplicando a frmula em temos:

A superfcie desta coroa circular 2723,7672.

Resoluo Detalhada do Problema no Comeo da Pgina

Para resolvermos tal problema, primeiramente vamos calcular a rea da sala.

Para podermos utilizar a frmula do clculo da rea de um retngulo, vamos

atribuir os 4 m da largura letra h e os 5,5 m do comprimento letra b:

Resolvendo atravs da frmula:

Agora que sabemos que a sala tem uma rea de 22 m2, precisamos conhecer a

rea do ladrilho.

Como o ladrilho quadrado, precisamos calcular a rea de um quadrado, s que

devemos trabalhar em metros e no em centmetros, pois a rea da sala foi

calculada utilizando-se medidas em metros e no medidas emcentmetros.

Poderamos ter convertido as medidas da sala em centmetros, para trabalharmos

apenas comcentmetros. O importante que utilizemos sempre a mesma unidade

(mltiplo/submltiplo).

A transformao de 25 cm em metros realizada dividindo-se tal medida

por 100:

Ento a medida dos lados dos ladrilhos de 0,25 m.

Se tiver dvidas sobre como realizar tal converso, por favor acesse a pgina que

trata sobre as unidades de medidas, l voc encontrar vrias informaes sobre

este assunto, incluindo vrios exemplos e um link para umacalculadora sobre o

tema.

Voltando ao problema, como o ladrilho quadrado, a rea do ladrilho com

lado l = 0,25 igual a:

Como dito no comeo da pgina, a resoluo do problema se resume ao clculo

da razo entre a rea da sala e a rea do ladrilho.

Como a sala tem uma rea de 22 m2 e o ladrilho de 0,0625 m2, temos a seguinte

razo:

Ou seja, para ladrilhar o piso da sala inteira sero necessrios ladrilhos 352.

Volumes

Introduo

Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de trs

dimenses: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas

tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cbicos e volume.

Metro cbico

A unidade fundamental de volume chama-se metro cbico. O metro cbico

(m3) medida correspondente ao espao ocupado por um cubo com 1 m de aresta.

Mltiplos e submltiplos do metro cbico

Mltiplos

Unidade

Fundame

ntal

Submltiplos

quilmetro

cbico

hectmetro

cbico

decmetro

cbico

metro

cbico

decmetro

cbico

centmetro

cbico

milmetro

cbico

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

1.000.000.000

m3

1.000.000

m3 1.000m3 1m3 0,001m3

0,000001

m3

0,0000000

01 m3

Leitura das medidas de volume

A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado s

medidas lineares. Devemos utilizar porem, trs algarismo em cada unidade no

quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s).

Exemplos.

Leia a seguinte medida: 75,84m3


75, 840

L-se "75 metros cbicos e 840 decmetros cbicos".

Leia a medida: 0,0064dm3


0, 006 400

L-se "6400 centmetros cbicos".

ngulos

O NGULO E SEUS ELEMENTOS

Duas semi-retas que no estejam contidas na mesma reta, e que

tenham a mesma origem, dividem o plano em duas regies: uma convexa e

outra no-convexa.

Cada uma dessas regies, junto com as semi-retas, forma um ngulo.

Assim, as duas semi-retas determinam dois ngulos:

Todo ngulo possui dois lados e um vrtice. Os lados so as semi-

retas que determinam. O vrtice a origem comum dessas semi-retas.

O ngulo convexo, de vrtice O e lados , indicado por:

AB, BA ou .

Observe agora dois casos em que as semi-retas de mesma origem esto contidas

na mesma reta. Nesses casos, formam-se tambm ngulos.

As semi-retas coincidem. Temos a o ngulo nulo e o ngulo

de uma volta.

As semi-retas no coincidem. Temos a dois ngulos rasos ou

de meia-volta.

Podemos, ento, estabelecer que:

ngulo a regio do plano limitada por duas semi-retas que tm a mesma

origem.

MEDIDA DE UM NGULO

A medida de um ngulo dada pela medida de sua abertura. A unidade

padro de medida de um ngulo o grau, cujo smbolo .

Tomando um ngulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes

iguais, determinamos 180 ngulos de mesma medida. Cada um desses ngulos

representa um ngulo de 1 grau (1).

Para medir ngulos utilizamos um instrumento denominado transferidor. O

transferidor j vem graduado com divises de 1 em 1. Existem dois tipos de

transferidor: Transferidor de 180 e de 360.

O grau compreende os submltiplos:

O minuto corresponde a do grau. Indica-se um minuto por 1'.

1=60'

O segundo corresponde a do minuto. Indica-se um segundo por 1''.

1'=60''

Logo, podemos concluir que:

1 = 60'.60 = 3.600''

Quando um ngulo medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando

o sistema sexagesimal.

Como medir um ngulo, utilizando o transferidor

Observe a seqncia

O centro O do transferidor deve ser colocado sobre o vrtice do ngulo.

A linha horizontal que passa pelo centro deve coincidir com uma das semi-

retas do ngulo .

Verificamos a medida da escala em que passa a outra semi-reta

prova de matemática e suas tecnologias

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