nº10MATEMÁTICA

Matemática e suas Tecnologias

Professor Fabrício Maia

JUROS E O NÚMERO “e”

Nas economias capitalistas, a condição de uso do dinheiro (capital) tem possibilitado a produção de bens e, consequentemente, a formação de mais dinheiro através do lucro. Portanto, o uso do dinheiro, e não necessariamente a sua propriedade, gera dinheiro. Por essa razão, o empréstimo tem valor, e o preço do mesmo (aluguel do dinheiro) é denominado juro.

Denomina-se capitalização o ato de adicionar os juros ao capital. Quanto à capitalização, os juros se classifi cam em dois tipos: simples ou compostos.• Juros simples: os juros são classifi cados como simples quando são

somados, uma única vez, ao fi nal do prazo contratado. Seu cáIculo é sempre feito sobre o capital inicial, ou seja, os rendimentos são devidos, única e exclusivamente, sobre o principal, ao longo dos períodos a que se referir o empréstimo ou a aplicação.

• Juros compostos: os juros são classifi cados como compostos quando esses, ao longo do contrato de empréstimo forem somados, a cada período, ao capital, passando a render juros nos períodos seguintes. O empréstimo a juros compostos é caracterizado, portanto, pelo fato de que os juros vencidos, em cada período, produzem novos juros durante o tempo em que fi cam à disposição do devedor.

Na maioria das transações fi nanceiras, os juros são capitalizados com maior frequência do que uma vez por ano. O sistema funciona da seguinte forma: se os juros são capitalizados n vezes por ano, o banco

calcula os juros após n períodos multiplicando o saldo da conta por in

(um enésimo da taxa anual de juros) e somando o resultado ao saldo.

Em outras palavras, se a conta está com um saldo de C reais no início

de um período, o banco soma juros de in

C

. ao fi nal deste período,

o que aumenta o saldo para C in

C+

. . Colocando C em evidência,

podemos escrever este total na forma C in

1+

. Temos, portanto, uma

regra simples para calcular o montante ao fi nal de qualquer período.

Regra dos juros compostos

Multiplica-se o montante no início de um período por 1+

in

para obter o montante ao fi nal deste período.

Vamos usar esta regra para calcular o montante após um ano. Suponha que a aplicação inicial tenha sido de C reais.

– Ao fi nal do primeiro período, o montante é C in

. .1+

Esta quantia se

torna a aplicação inicial para o segundo período.

– Ao fi nal do segundo período, o montante é 1+

in

vezes C · 1+

in

,

ou seja, C in

. .12

+

Esta quantia se torna a aplicação inicial para o

terceiro período.

– No fi nal do terceiro periodo, o montante é 1+

in

vezes C in

. ,12

+

ou seja, C in

. .13

+

Esta quantia se torna a aplicação inicial para o

quarto período.– Continuando desta forma até o fi nal de n períodos (um ano inteiro),

obtemos um montante de C in

n. .1+

Chegamos, assim, a uma expressão para o montante M1 ao fi nal de 1 ano relativo a um investimento de C reais, a uma taxa anual i de juros, capitalizados n vezes ao ano:

M C in

n

1 1= +

.

Vamos agora supor que começamos com um capital principal C de apenas R$ 1,00, mas a taxa anual de juros i é 1 (ou seja, 100%), capitalizados n vezes ao ano. De acordo com a equação do quadro

acima, o montante após 1 ano é dado por M in

n

1 1= +

.

A tabela a seguir mostra o valor de M1 em reais (até cinco casas decimais) para diferentes valores de n.

n : número de periódicos 1 + in

n

: montante após 1 ano

1 22 2,254 2,4414112 2,6130424 2,6637352 2,69260

365 2,714571000 2,71692

10000 2,71815100000 2,71827

1000000 2,71828

FB NO ENEM2 FB NO ENEM2

Matemática e suas Tecnologias

Como se pode ver na tabela, o montante após 1 ano aumenta à medida que o número de períodos em que os juros são capitalizados aumenta. Entretanto, a taxa de aumento diminui visivelmente: a diferença entre capitalizar os juros 4 vezes e 12 vezes é 0,17163, enquanto a diferença entre capitalizar os juros 10000 vezes e 100000 vezes é apenas 0,00012! Além disso, a tabela mostra que existe um limite superior para os números da coluna da direita. Na verdade, é possível demonstrar

que 1+ in

n

< 3 para qualquer valor de n. Combinando estes fatos,

concluímos que a expressão 1+ in

n

possui um limite quando n tende a

infi nito. Este limite é um importante número irracional, que é representado pela letra e em homenagem ao grande matemático Leonhard Euler (1707-1783).

e = 2,718281828459045235360287471352662497757...

Portanto, o número e é o montante após 1 ano de um investimento de R$ 1,00 a uma taxa anual de juros de 100%, capitalizados continuamente.

Exercícios Comentados

1. Calcule o montante acumulado por uma aplicação de R$ 1.500,00, em regime, de juro simples, a uma taxa de 17% ao ano, durante 8 meses.Comentários:Como os juros calculados de cada período são iguais, tendo em vista que tanto o capital C quanta a taxa de juros i permanecem constantes, tem-se que os juros totais J serão resultado do produto do número de períodos de tempo n e dos juros gerados em cada período i · C, ou seja, J = C · i . n.Assim, temos:J = C · i · n = 1500 ·

17100

912

. = 191,25

Concluimos, então, que o juro foi de R$ 191,25 e o montante foi de:

M = C + J = 1500 + 191,25 = R$ 1.691,25

2. Um automóvel novo que foi comprado por R$ 40.000,00 sofreu, em cada ano, desvalorização de 10%. Calcule seu valor, em real, depois de três anos de uso.Comentários:Observe que, em cada ano, a taxa de juro incide sobre o montante doano anterior. Esse fato é que diferencia o juro composto do simples, pois, no juro simples, a taxa incide sempre sobre o capital inicial.A tabela a seguir mostra a evolução do montante M durante o período de aplicação.

Ano Capital Juro Montante1 C i · C M1 = C · (1 + i)2 C · (1 + i) i · C · (1 + i) M2 = C · (1 + i)2

3 C · (1 + i)2 i · C · (1 + i)2 M3 = C · (1 + i)3

... ... ... ...

n C · (1 + i)n – 1 i · C · (1 + i)n – 1 Mn = C · (1 + i)n

Assim, temos:M3 = 40000 · (1 – 0,1)3 = 40000 · (0, 9)3 = 29160

Portanto, após três anos de uso, o valor do automóvel é R$ 29.160,00.

3. Uma moto zero km foi comprada por R$ 10.000,00. No primeiro ano de uso, a moto desvalorizou 20%; no segundo ano, desvalorizou 10% em relação ao valor do ano anterior; e, no terceiro ano, desvalorizou 5% em relação ao valor do ano anterior. Qual era o valor da moto ao fi nal de três anos de uso? Comentários:Estamos diante de um problema de prejuízos sucessivos com taxa variável. Portanto, devemos aplicar o resultado:

M = C · (1 + i1) · (1 + i2) · (1 + i3) · ... · (1 + in), em que i1, i2, ..., in são taxas negativas.

Assim sendo,M = 10000 · (1 – 0,2) · (1 – 0,1) · (1 – 0,05) = 6840Portanto, o valor da moto após três anos de uso era R$ 6.840,00.

4. Um investidor aplicou R$ 10.000,00 a uma taxa anual de 6%.Calcule o montante após 1 ano se os juros são capitalizados semanalmente.Comentários:

Usando a equação M1 = C in

n. ,1+

com C = 10000, i = 0,06 e n = 52 semanas, temos:

M1 = 10000 · 10 0652

52

+

, ≈ R$ 10.618,00.

Exercícios

1. O montante acumulado durante 2 anos de aplicação de um capital de R$ 12.000,00, em regime de juro composto, a uma taxa de 3% ao mês será:A) 12000 · (1,3)2

B) 12000 · (1,03)2

C) 12000 · (1,3)24

D) 12000 · (1,03)24 E) 12000 · (1,003)2

2. Certo capital foi aplicado a juro composto durante 2 anos, à taxa de 20% ao ano. Se esse capital tivesse sido aplicado a juro simples, para obter o mesmo rendimento, a taxa mensal deveria ser de aproximadamente:A) 2%B) 1,98% C) 1,94% D) 1,87%E) 1,83%

3. O preço p de um produto sofreu dois aumentos sucessivos: o primeiro de 5% e o segundo de 3%. Depois, o preço do produto sofreu um desconto de 4%. Após esse desconto, o preço do produto é:A) p · 1,5 · 1,3 · 0,06B) p · 1,5 · 1,3 · 0,96C) p · 1,05 · 1,03 · 0,96D) p · 0,5 · 0,3 · 0,4E) p · 0,05 · 0,03 · 0,04

Linguagens, Códigos e Suas Tecnologias

FB NO ENEM 3

Matemática e suas Tecnologias

4. Em um regime de juros compostos, um capital inicial aplicado a uma taxa mensal de juros i irá triplicar em um prazo, indicado em meses, igual a: A) log1 + i 3B) logi 3C) log3 (1 + i)D) log3iE) log3i (1 + i)

5. Um investidor aplicou, durante o mesmo período, 32 mil reais em um fundo A e 16 mil reais em um fundo B. As taxas mensais de juro composto dos fundos A e B foram 1% e 2%, respectivamente. Sabendo que log1,011,02 = 2, conclui-se que os montantes MA e MB acumulados pelas aplicações A e B, respectivamente, são:A) MA = 6 · MBB) MA = 4 · MB

C) MA = 6 · MB4

D) MA = 8 · MB

E) MA = 4 · MB3

FB no Enem – Nº 09 – Professor: Dawison Sampaio1 2 3 4 5B D A D D

Anotações

OSG.: 69925/13 – 09/04/13

DIG.: AN / REV.: AM