matemática e suas tecnologias - matemática ensino médio, 1º ano função exponencial e sua...

Matemática e suas Tecnologias - Matemática

Ensino Médio, 1º AnoFunção exponencial e sua relação

com a Progressão Geométrica

Objetivos• Entender a definição de função exponencial;• Compreender a definição de progressão geométrica

(PG);• Identificar a relação existente entre a função

exponencial e a progressão geométrica, e• Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como

recursos para construção de argumentação.

MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino MédioFunção exponencial e sua relação com a Progressão Geométrica

Definição de uma função exponencialAs bactérias são seres vivos que possuem a

capacidade de se duplicar. Nas colônias de bactérias, quando o número de componentes dobra, a nova colônia mantém as mesmas características da anterior, duplicando em número no mesmo período de tempo que o anterior.

Sabendo que determinada colônia, iniciada por uma única bactéria, dobra seu número a cada 10 minutos, quantas bactérias existirão após 1 hora e 20 minutos?


Após um período de 10 minutos, teremos 2 (2¹) bactérias. Após dois períodos de 10 minutos, ou seja, 20 minutos, teremos 4 (2²) bactérias. Após 1 hora e 20 minutos, ou seja, 8 períodos de 10 minutos, teremos 256 (28) bactérias.

Da mesma forma, após x períodos de 10 minutos, o número n de bactérias será dado por n = 2x. Esse é um exemplo de função com variável no expoente.


Uma função f: →ℝ ℝ*+ chama-se função exponencial

quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1, tal que f(x) = ax, para todo x ∈ ℝ.

Quando a > 1, f é crescente. Quando 0 < a < 1, f é decrescente.

Exemplos:

g é decrescente h é decrescente i é crescente


Definição de uma progressão geométricaSegundo dados do Instituto Brasileiro de

Geografia e Estatística (IBGE), a população brasileira no ano de 2004 era de, aproximadamente, 180 milhões de pessoas.

Considerando um crescimento populacional de 2% ao ano, qual foi a estimativa da população, feita naquele ano, para 2008?

Para calcular esse valor, partimos do número de brasileiros em 2004.


Observe que, com exceção de 2004, a estimativa do número de brasileiros de um ano, foi obtida multiplicando-se o número de brasileiros no ano anterior pela constante 1,02. Em 2004, estimava-se que o país teria 194.837.788 brasileiros em 2008

A sequência (180.000.000; 183.600.000; 187.272.000; 191.017.440; 194.837.788) é um exemplo de progressão geométrica.

Ano Número de habitantes

2004 180.000.000

2005 180.000.000 1,02 = 183.600.000∙

2006 183.600.000 1,02 = 187.272.000∙

2007 187.272.000 1,02 = 191.017.440∙

2008 191.017.440 1,02 = 194.837.788∙


•Uma PG é constante quando q = 1 ou quando a1 = 0 e q é um valor constante•Uma PG é estacionária quando a1 ≠ 0 e q = 0

•Uma PG é oscilante quando a1 ≠ 0 e q < 0

•Uma PG é crescente quando a1 > 0 e q > 1 ou quando a1 < 0 e 0 < q < 1

•Uma PG é decrescente quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando a1 < 0 e q > 1

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o anterior por uma constante q chamada razão da PG.


Dada uma PG (a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) de razão q, podemos escrever qualquer termo em função do primeiro. Para isso, basta considerar a definição de PG:

a2 = a1 ∙ q a3 = a1 ∙ q² a4 = a1 ∙ q³

Dessa maneira, encontramos o termo geral, que ocupa a enésima posição na PG:

Observe que essa fórmula é a lei de formação de uma função, e que n é o número de termos da PG até o termo an.

Observação: quando em uma PG, o primeiro termo é representado por a0 , o termo geral é dado por an = a0 ∙ qn, com n .∈ℕ

an = a1 ∙ qn - 1, com n *∈ℕ


Comparando as definiçõesUma função f: →ℝ ℝ*

+ chama-se função exponencial quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1, tal que f(x) = ax, para todo x ∈ ℝ.

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o anterior por uma constante q chamada razão da PG. Conforme termo geral: an = a0 ∙ qn, com n . (com o primeiro ∈ ℕtermo sendo a0)


As funções exponenciais do tipo f(x) = b ∙ ax assemelham-se a uma progressão geométrica. Note que:

f(x) = b ∙ ax e an = a0 ∙ qn , onde

f(x) = an

b = a0

a = qx = n


Entretanto, deve-se atentar para o domínio das relações com que trabalhamos.

• Na função exponencial, o termo geral vale para todo x ∈ℝ

• Na progressão geométrica, o termo geral vale para todo n , uma vez que estamos considerando uma ∈ ℕPG cujo primeiro termo é a0.

Ou seja, quando o problema apresentado envolver o domínio , pode-se utilizar qualquer uma ℕdas relações. Quando a situação envolver o domínio ℝ , não se pode utilizar a progressão geométrica.


Comparando os gráficosO valor de um automóvel daqui a t anos é

dados pela lei V = 20.000 (0,9)∙ t (em dólares). Calcule o valor desse automóvel daqui a 4 anos.Resolução: Aplicando-se o valor dado t = 4 na fórmula, obtemos:

V = 20.000 (0,9)∙ 4

V = 20.000 0,6561∙ V = 13.122


Montando-se o gráfico dessa função:


y

x

20.000

18.000

16.20014.580

13.122

1 2 3 4

Agora, digamos que o valor inicial do automóvel fosse 30.000 dólares. Entretanto, vamos analisar a situação usando um método diferente, a progressão geométrica.

O valor do automóvel, em função do tempo em anos após sua compra, forma uma PG decrescente (30.000, 27.000, 24.300, 21870, ...), em que a0 = 30.0000 e q = 0,9.

Tempo (anos) 0 1 2 3

Valor (US$) 30.000 27.000 24300 21870


Como o termo geral de uma PG é an = a0 ∙ qn, com n ∈ ℕ, na PG temos: a4 = 30.000 (0,9)∙ 4 → a4 = 19.683.

Considerando a fórmula an = a0 ∙ qn de uma PG cujo primeiro termo é a0 e cuja razão é q, percebemos que uma PG se assemelha a uma função exponencial f(x) = a0 ∙ qx, com q ≠ 1, só que com uma restrição do domínio ao conjunto dos números naturais.

Dessa maneira, podemos construir o gráfico de uma PG.



30.000

27.000

24.300

21.870

19.683

y

x1 2 3 4

Comparando os gráficos feitos, fica evidente que ambos podem ser obtidos tanto pela função exponencial quanto pela progressão aritmética.


y

x

20.000

18.000

16.200

14.580

13.122

1 2 3 4

30.000

27.00024.300

21.870

19.683

y

x1 2 3 4

Sugestão de atividadeATIVIDADE: apresentação de uma situação-problema para ser resolvida tanto

por PG como por função exponencial.

OBJETIVO: validar o que foi apresentado ao longo da aula.

MATERIAL NECESSÁRIO: malha quadriculada, régua, lápis grafite e borracha.

PROCEDIMENTOS: através de uma situação-problema (propomos uma no slide seguinte), os alunos da turma serão divididos em dois grupos. Um grupo apresentará a solução do problema por PG e o outro grupo utilizará a função exponencial. No final, serão comparados e analisados os resultados encontrados.

Atenção: explorar os resultados dos alunos e ficar atento para as divergências no tocante à escala utilizada na construção do gráficos.


Analise a situaçãoUma obra de arte foi comprada por um investidor, por R$ 8.000,00. O investidor espera uma valorização de 10% ao ano.

a) Determine a lei de formação da função (ou o termo geral da PG).

b) Seis anos após a compra, qual será o valor da obra?

c) Em quanto tempo a obra dobrará de valor? (arredonde para o inteiro mais próximo).

d) Construa os gráficos com os valores obtidos.


Resolução:Como há duas maneiras de se resolver a situação-problema, respondemos todos os itens de pergunta comparando os dois métodos de resolução, como o quadro abaixo demonstra:

a) Função Exponencial PGV(t) = 8000 (1,1)∙ t an = a0 ∙ (1,1)n


b) Função Exponencial PGVamos tirar os dados da questão:•O tempo t, em anos, é de 6 anos. Portanto, t = 6.

Vamos tirar os dados da questão:•O valor inicial da obra é R$ 8000,00. Então a0 = 8000•O tempo n, em anos, é 6 anos. Portanto n = 6.


Função Exponencial PGCalculando:

V(t) = 8000 (1,1)∙ t V(6) = 8000 (1,1)∙ 6

V(6) ≈ 8000 1,771∙V(6) ≈ 14.168

Pode-se utilizar o logaritmo para responder a questão. Mas, também, é possível encontrar a resposta por meio de aproximações.

Calculando:an = a0 ∙ (1,1)n

a6 = 8000 ∙ (1,1)6

a6 ≈ 8000 ∙ 1,771a6 ≈ 14.168

Pode-se utilizar o logaritmo para responder a questão. Mas, também, é possível encontrar a resposta por meio de aproximações.


c) Função Exponencial PGVamos tirar os dados da questão:•Se o valor deve dobrar então V(t) = 16000.Calculando:

V(t) = 8000 (1,1)∙ t 16000 = 8000 (1,1)∙ t (1,1)t = 16000 : 8000

(1,1)t = 2t ≈ 7

Vamos tirar os dados da questão:•Se o valor deve dobrar então an = 16000.Calculando:

an = a0 ∙ (1,1)n

16000 = 8000 (1,1)∙ t (1,1)t = 16000 : 8000

(1,1)t = 2t ≈ 7


d)


Função Exponencial

16000

14000

12000

10000

8000

6000

4000

2000

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8


PG

16000

14000

12000

10000

8000

6000

4000

2000

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Referências Bibliográficas• BARROSO, Juliane Matsubara. Matemática :

construção e significados . Vol. 1. 1. ed. São Paulo Moderna: 2008

• RIBEIRO, Jackson. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, 1 ensino médio. 1. ed. São Paulo Scipione: 2010

• GIOVANNI, José Ruy & BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. 2. ed. renov. FTD: 2005


matemática e suas tecnologias - matemática ensino médio, 1º ano função exponencial e sua...

Documents