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CARLOS WILLIANS PASCHOAL
A Modelagem Matemática no ensino da Distribuição
Exponencial para Engenharias
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
PUC/SP
SÃO PAULO
2016
1
CARLOS WILLIANS PASCHOAL
A Modelagem Matemática no ensino da Distribuição
Exponencial para Engenharias
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Texto apresentado a Banca Examinadora da
Pontifícia Universidade Católica, como
exigência parcial para obtenção do título
MESTRE em Educação Matemática, sob
orientação da Profª. Dra. Barbara Lutaif
Bianchini.
PUC/SP
SÃO PAULO
2016
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Banca Examinadora
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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial
desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura:_______________________________________ Local e Data:________
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Agradecimentos
À minha esposa, Caroline Casteleti, que me deu seu apoio e compreensão em todos os
finais de semana dedicados a este estudo.
À orientadora deste trabalho, Barbara Lutaif Bianchini, que permitiu que eu seguisse
minhas intenções desde o começo, oferecendo-me conhecimento, organização e apoio, além
das inúmeras correções de gramática.
À Prof.ª Dra. Maria Inez Miguel, honestamente a atividade que foi aplicada neste
estudo, não existiria sem sua intervenção e apoio.
Às Prof.ª Dra. (s) Maria Lucia Manrique, Maria José Ferreira da Sila, Silvia Dias
Alcântara Machado e novamente a Prof.ª Dra. Barbara Lutaif Bianchini, pelas aulas
ministradas, broncas bem colocadas, e todo o farto material de leitura disponibilizado em suas
disciplinas.
Por último um sincero agradecimento a CAPES, pelo financiamento deste trabalho
por intermédio da bolsa tipo Taxa.
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PASCHOAL, Carlos Willians. A Modelagem Matemática no Ensino da Distribuição
Exponencial para Engenharias. 2016. 112 p. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – São Paulo, 2016.
RESUMO
Essa pesquisa teve como objetivo investigar se a Modelagem Matemática pode ser um
facilitador do ensino da Distribuição de Probabilidade Exponencial para Engenharias. Tivemos
como objetivo responder à seguinte questão de pesquisa: Será a Modelagem Matemática, uma
metodologia de ensino favorável à aprendizagem da Distribuição de Probabilidade
Exponencial, em um curso de Engenharia? Utilizamos a metodologia Modelagem Matemática,
conforme descrita por Bassanezi (2004), Biembengut e Hein (2008), Almeida, Silva e Vertuan
(2012) entre outros, que nos inspiraram nos passos para criação de uma sequência de atividades.
O referencial teórico está fundamentado na Teoria das Situações Didáticas de Brousseau
(2008), Silva (2008), Freitas (2008) e Teixeira e Passos (2013). Foi organizado uma
comparação entre a Modelagem Matemática e a Teoria das Situações didáticas com base no
trabalho de Dias e Santo (2014), com o intuito de criar uma grade de análise da sequência de
atividades. Esta foi aplicada para alunos do 2º ano de Engenharia de Produção Química de uma
instituição de ensino particular do Estado de São Paulo, em dois encontros, um para a
organização da experimentação, e outro para obtenção do modelo matemático da Distribuição
Exponencial. A partir dos dados coletados efetuamos sua validação no problema de origem e
em questões retiradas de um livro didático proposto na ementa do referido curso. Esta
sequência, foi dividida em quatro atividades, sendo que as etapas da Modelagem Matemática,
a Tipologia das Situações Didáticas e as estruturas do meio foram identificadas e analisadas em
cada uma. Nesta análise constatou-se que as etapas previstas foram cumpridas, mas que os
alunos não chegaram a um modelo geral, sendo necessária uma etapa de institucionalização no
meio da etapa de validação. O uso do modelo foi assimilado pelos alunos participantes que
entenderam a metodologia como útil e motivadora, sendo capazes de aplicar a Distribuição
Exponencial em outros problemas, retirados de livros didáticos. Esta pesquisa se limitou à
análise de como a Distribuição Exponencial pode ser ensinada por meio da metodologia da
Modelagem Matemática, apresentando como perspectiva futura a possibilidade de reprodução
da atividade em diversos tópicos que englobam o ensino de variáveis aleatórias, além de
levantamentos de estados da arte ou metanálises sobre o que já foi pesquisado no tema.
Palavras-Chave: Distribuição Exponencial; Modelagem Matemática; Engenharia, Teoria das
Situações Didáticas.
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PASCHOAL, Carlos Willians. The Mathematical Modeling in the Exponential Distribution
for Engineering Education. 2016. 112 p. Dissertation (Masters in Mathematics Education).
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – São Paulo, 2016.
ABSTRACT
This research had as aim investigates how and if the Mathematical Model can be a facilitator
of teaching Probability of Exponential Distribution to engineering. We had as an aim answer
the follow question: Will Mathematical Model be a favorable teaching methodology to learn
Probability of Exponential Distribution in an engineering course? We Used the methodology,
Mathematical Model, as described by Bassanezi (2004), Biembengut and Hein (2008),
Almeida, Silva and Vertuan (2012), and others who showed the steps to create activities
sequence. The theoretical framework was based on the Theory of Didactic Situations from
Brousseau (2008), Silva (2008), Freitas (2008), and Teixeira and Passos (2013), which was
organized in parallel with the Mathematical Model and the Theory of Didactic Situations based
on the work of Dias and Santo (2014), the intention was built an analysis grid to analyze the
activities sequence. This sequence was applied to 2º year students from Chemistry Production
Engineering from a private institution at São Paulo state. It was realized two meetings, one to
organize the experiment and other to obtain the mathematical model from Exponential
Distribution. From the data collected we realized its validation in the source problem and in
questions from the didactic book proposed in the amendment. This sequence was divided in
four activities, which steps of mathematical model, typology of didactics situations and the
means structures were identified and analyzed in each of them. This analysis found that the
steps foreseen were met, but the students did not achieve a general model, therefore it was
needed a step of institutionalization on the validation step. The use of the model was assimilated
by the participants’ students who understood the methodology as helpful and motivating. They
were able to apply the Exponential Distribution in other problems from didactic books. This
research was limited to analyze how the Exponential Distribution can be taught by the
Mathematical Model methodology, presenting as future perspective the possibility of
reproduction the activity in several topics that include teaching random variable beyond the
surveys from types of state of art or metaanalysis about what was researched on the topic.
Key Words: Mathematical Model; Exponential Distribution; Engineering; Theory of Didactic
Situations
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Lista de Figuras
Figura 1:Apresentação dos conteúdos em um curso básico de Estatística para Engenharias de
uma Faculdade Particular do Estado de São Paulo .................................................. 39
Figura 2: Relação saber – professor – aluno – meio ............................................................... 47
Figura 3: Grupo 1 (Xi, fi ) ....................................................................................................... 58
Figura 4: Grupo 2 (Xi, fi ) ....................................................................................................... 59
Figura 5: Regressão Exponencial (Grupo 1) ........................................................................... 59
Figura 6: Regressão Exponencial (Grupo 2) ........................................................................... 60
Figura 7: Parte dos dados coletados pelo GA ......................................................................... 64
Figura 8: Parte dos dados coletados pelo GB .......................................................................... 65
Figura 9: Tabela de frequência elaborada por GA .................................................................. 66
Figura 10: Resposta da Atividade 2 – questão 1 - GA ............................................................ 68
Figura 11: Resposta da Atividade 2 – questão 1 - GB ............................................................ 68
Figura 12: Resposta da Atividade 2 – questão 1 - GA ............................................................ 69
Figura 13: Resposta da Atividade 2 – questão 1 - GB ............................................................ 70
Figura 14: Resposta da Atividade 3 – questões 1 e 2 - GA ..................................................... 72
Figura 15: Resposta da Atividade 3 – questões 1 e 2 - GB ..................................................... 73
Figura 16: Resposta da Atividade 3 – questão 3 - GA ............................................................ 74
Figura 17: Resposta da Atividade 3 – questão 3 - GB ............................................................ 75
Figura 18: Resposta da Atividade 3 – questão 4 - GA ............................................................ 76
Figura 19: Resposta da Atividade 3 – questão 4 - GB ............................................................ 76
Figura 20: Resposta da Atividade 4 – questão 1 e 2 – GA...................................................... 79
Figura 21: Resposta da Atividade 4 – questão 1 e 2 - GB ...................................................... 80
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Sumário
INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 10
CAPÍTULO 1 .......................................................................................................................... 14
A DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE EXPONENCIAL ......................................... 14
1.1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ........................................................................................... 14
1.2 A DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL .............................................................................. 15
1.3 APLICAÇÕES DA DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL ................................................. 19
1.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE O CAPÍTULO ................................................................... 20
CAPÍTULO 2 .......................................................................................................................... 21
O CAMINHO PARA A PROBLEMÁTICA ........................................................................ 21
2.1 ALGUMAS PESQUISAS SOBRE O ENSINO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS .......... 21
2.2 A CARACTERIZAÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA ...................................... 31
2.2.1 A ideia de Modelo Matemático ..................................................................................... 33
2.2.2 Algumas abordagens sobre a Modelagem Matemática ............................................. 34
2.2.3 Cursos de serviço ........................................................................................................... 36
2.2.4 A Modelagem Matemática no estudo da Probabilidade ............................................ 38
2.3 OBJETIVO, JUSTIFICATIVA E RELEVÂNCIA DO ESTUDO .................................... 41
2.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE O CAPÍTULO .................................................................... 42
CAPÍTULO 3 .......................................................................................................................... 44
FUNDAMENTOS TEÓRICOS ............................................................................................. 44
3.1 A NOÇÃO DE CONTRATO DIDÁTICO ......................................................................... 44
3.2 TIPOLOGIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICAS ................................................................ 45
3.3 AS ESTRUTURAS DO MEIO DIDÁTICO (MILIEU) ..................................................... 47
3.4 A MODELAGEM MATEMÁTICA E A TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICAS ..... 48
3.5 CONSIDERAÇÕES DO CAPÍTULO ............................................................................... 51
CAPÍTULO 4 .......................................................................................................................... 52
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ........................................................................ 52
4.1 DESCRIÇÕES DA SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES ...................................................... 56
4.2 ANÁLISES ......................................................................................................................... 62
4.2.1 Atividade 1 ..................................................................................................................... 63
4.2.2 Atividade 2 ..................................................................................................................... 66
4.2.3 Atividade 3 ..................................................................................................................... 71
4.2.4 Atividade 4 ..................................................................................................................... 78
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4.3 CONSIDERAÇÕES SOBRE O CAPÍTULO .................................................................... 80
CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................. 84
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 90
Apêndice 1 ............................................................................................................................... 93
Apêndice 2 ............................................................................................................................... 97
Apêndice 3 ............................................................................................................................... 98
Apêndice 4 ............................................................................................................................... 99
Apêndice 5 ............................................................................................................................. 100
Apêndice 6 ............................................................................................................................. 109
Apêndice 7 ............................................................................................................................. 111
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INTRODUÇÃO
Esta pesquisa faz parte do projeto “A Matemática em cursos de serviço”, vinculado ao
Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica (GPEA), desenvolvido no Programa de Estudos
Pós-graduados em Educação Matemática da PUC/SP. O objetivo principal deste projeto é
investigar como a matemática é estudada e aprendida em cursos de Engenharia, Ciência da
Computação, Administração de Empresas, Economia e outros.
A motivação para esta pesquisa teve início em minha graduação, na qual alguns aspectos
teóricos do ensino de conteúdos matemáticos me inquietaram pela ausência de aplicações.
Mesmo as situações-problema elaboradas no sentido de motivar a aprendizagem, que por vezes
se apresentaram com contextos poucos relevantes, que faziam pouco, ou nenhum sentido para
a realidade do aluno, ou para a realidade profissional.
Tal fato me motivou a iniciar em 2008, uma pesquisa que gerou a monografia de minha
graduação, tratando da Modelagem Matemática no ensino de trigonometria, época em que a
Proposta Curricular de São Paulo (2008) fora implantada na rede pública estadual. Esta pesquisa
permitiu conhecer os autores Rodnei Carlos Bassanezi e Maria Salett Biembengut que abriram
novas perspectivas para o ensino de Matemática a partir dos conceitos de Modelagem e
Modelação Matemática.
Essas inquietações voltaram a fazer parte de minha vida profissional e acadêmica a partir
do ano de 2013 quando comecei a lecionar a disciplina de Estatística para cursos de Engenharia,
em que pude notar uma deturpação entre os conceitos estudados em sala de aula, e os conceitos
quando aplicados na prática pelos alunos que faziam estágio. Foi por meio de dúvidas, que
alguns alunos apresentaram em horários extra sala de aula, que pude identificar tais desvios,
como por exemplo, distribuições de probabilidade sem as variáveis definidas. Estas questões
eram retiradas de suas práticas profissionais, e sempre que possível, eu tentava auxiliá-los além
de trabalhar o exemplo em sala, quando adequado.
Foi observando e auxiliando os alunos em tais situações que me vi forçado a voltar o
meu olhar novamente para a Modelagem Matemática, com o intuito de aproveitar esta
experiência para o desenvolvimento de processos de ensino de modo a favorecer a
aprendizagem, em temas envolvendo a probabilidade, tratados durante o ano letivo.
Com a intenção de buscar, nesta metodologia de ensino, recursos práticos que vinculem
conceitos estatísticos, principalmente os relacionados com a Teoria das Probabilidades, o
próximo passo foi elaborar uma maneira de sistematizar as dúvidas que os alunos traziam para
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a sala de aula, de modo a identificar as variáveis de cada problema, realizando os tratamentos
estatísticos adequados, por meio de distribuições de probabilidade.
Nesse momento tive acesso a tese de Doutorado de Maria Inez Rodrigues Miguel
(2005), que utilizava a Modelagem Matemática para elaboração de uma proposta de Ensino e
Aprendizagem do modelo de Poisson, que me indicou um caminho de experimentação para o
modelo que pretendia estudar nesta pesquisa. Este modelo é o da Distribuição de Probabilidade
Exponencial, que foi escolhido para essa investigação com base nas questões levantadas em
sala, estas sistematizadas por meio de uma proposta de estudo de caso.
Outro motivo para a escolha do modelo, foi a ausência de propostas de trabalho em
cursos superiores, sejam de Engenharia ou não. A sistematização das questões se deu por meio
da elaboração de um estudo de caso por parte dos alunos, que compunha a avaliação formal do
curso. Neste estudo os alunos deveriam buscar casos de insucesso em empresas fictícias ou não,
com o objetivo de aplicar alguns dos conceitos de probabilidade estudados no curso. Dentre as
propostas apresentadas, algumas nos interessaram, entre elas os estudos que envolvem o
comportamento de filas, baseado no processo de chegada de clientes ou produtos e nos
parâmetros tempo médio de atendimento, tempo médio de espera e tempo médio entre
chegadas, a partir da Distribuição Exponencial, esse estudo exploratório está detalhado no
capítulo 5.
Podemos afirmar que foi este estudo que deu o embasamento inicial desta pesquisa, que
foi se alterando à medida que nossos estudos avançavam e escolhas eram feitas, de maneira a
tornar a proposta possível de ser aplicada e analisada, como viés da aprendizagem.
A investigação se deu com alunos do 2º ano de Engenharia de Produção Química, no
caso dois grupos, que participaram da etapa piloto da atividade e dois grupos que participaram
da etapa final.
O objeto matemático analisado é a Distribuição de Probabilidade Exponencial e seu
detalhamento está no capítulo 1, a escolha do objeto se deu de forma secundária, pois primeiro
a aplicação foi definida. Para isso observamos os resultados da atividade exploratória e a ementa
de curso de uma Instituição de Ensino Superior do Estado de São Paulo, isso nos deu o
embasamento necessário para a escolha, em estudar o comportamento de filas, tema abordado
na disciplina Processos Operacionais, em outra etapa do curso.
O detalhamento matemático da Distribuição Exponencial teve base em Magalhães
(2015), Meyer (1983) e Devore (2014), com enfoque na descrição de variáveis aleatórias, e na
descrição do objeto matemático em questão. Sua principal aplicação, que se remete a lei das
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falhas, e que indica que probabilidade de falha de um componente não se altera com seu uso,
logo é a mesma, do início de seu funcionamento até a falha.
No capítulo 2, descrevemos a problemática desta pesquisa, sendo esta composta de uma
revisão bibliográfica, na qual analisamos pesquisas e artigos, que tratam do ensino e
aprendizagem de variáveis aleatórias, no Ensino Superior, e uma pesquisa direcionada para
alunos de 14 a 15 anos, que utilizava a Modelagem Matemática, como metodologia.
Esta revisão permitiu definir a especificidade deste estudo, ao trabalhar a Distribuição
de Probabilidade Exponencial, já que não foram encontradas até então, pesquisas com este
tema.
Na sequência estabelecemos a caracterização da Modelagem Matemática por meio de
Bassanezi (2004), Biembengut e Hein (2008), Almeida, Silva e Vertuan (2012), definindo
segundo os autores, a ideia de Modelo Matemático e a estrutura de um trabalho com a
Modelagem Matemática.
Achamos por bem, apresentar estudos direcionados ao ensino da Matemática em cursos
de serviço, já que esta pesquisa se estabelece em um curso deste tipo, no caso, a Engenharia de
Produção Química, além de uma averiguação sobre Modelagem Matemática no ensino da
Probabilidade.
Por último apresentamos o objetivo e nossa questão de pesquisa, que servirá como guia,
na análise da atividade e em nossas considerações, juntamente com o referencial teórico,
apresentado no capítulo 3.
Este referencial terá como base a Teoria das Situações Didáticas, conforme proposta por
Brousseau (2008), e discutida com o apoio de Silva (2008), Freitas (2008) e Teixeira e Passos
(2013). Neste capítulo iniciamos a abordagem pela noção de contrato didático, com ênfase na
relação professor – aluno, empregando também a Tipologia das Situações Didáticas.
Na tipologia, discorremos sobre as situações de ação, formulação e validação, e na
sequência estabelecemos as estruturas do meio didático (milieu), já que em nossa concepção,
não é possível pensar em uma situação didática, nem entender a relação professor – aluno, sem
compreender o meio, de forma a analisar o que ocorre em torno dos participantes do processo.
Por último estabelecemos um paralelo, entre a Modelagem Matemática e a Teoria das
Situações Didáticas, compondo desta forma uma grade de análise, com base no trabalho de Dias
e Santo (2014), comparando as etapas da Modelagem Matemática, com a Tipologia das
Situações Didáticas e as estruturas do meio.
Este paralelo permitiu a formação de nossa grade de análise utilizada no capítulo 5, que
estabelece os procedimentos metodológicos, da aplicação da atividade desta pesquisa. Esta
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realizada com dois grupos de alunos que na época cursavam o 2º ano de Engenharia da
Produção Química, em uma faculdade particular do Estado de São Paulo, e foi realizada em
dois encontros, sendo o primeiro com 30 minutos de duração e o segundo com 2 horas de
duração.
A análise da atividade se deu a partir das respostas dos alunos e da identificação da etapa
da modelagem a ser cumprida, bem como, a situação e o meio, segundo a Tipologia das
Situações Didáticas. E por fim, apresentamos as considerações finais sobre o estudo, suas
limitações e as perspectivas futuras.
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CAPÍTULO 1
A DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE EXPONENCIAL
Neste capítulo apresentamos uma descrição do modelo de Distribuição Exponencial,
com base nos estudos de Magalhães (2004), Meyer (1983) e Devore (2014), nos quais
indicaremos o seu desenvolvimento, aplicações e limitações do modelo. Para melhor
entendimento, iniciaremos definindo as variáveis aleatórias discretas e contínuas, o modelo da
distribuição exponencial e suas aplicações no campo da Engenharia.
1.1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Segundo Magalhães (2015), é comum termos interesse em uma ou mais quantidades na
observação de um fenômeno aleatório, sendo que antes da realização do fenômeno, não
sabemos seu resultado, mas é possível estabelecer seu espaço de probabilidade, avaliando a
probabilidade de um evento pela álgebra, e, portanto, atribuindo probabilidades às funções dos
eventos aleatórios.
Dessa forma, Magalhães (2015) escreve que “dado um fenômeno aleatório qualquer,
com um certo espaço de probabilidade, desejamos estudar a estrutura probabilística de
quantidades associadas a esse fenômeno” (MAGALHÃES, 2015, p. 63).
Meyer (p. 81), define uma variável aleatória, a partir de três condições:
Diz-se que X é uma variável aleatória contínua, se existir uma função f,
denominada função densidade de probabilidade (fdp) de X que satisfaça as
seguintes condições:
a) 𝑓(𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥,
b) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1,+∞
−∞
c) para quaisquer 𝑎, 𝑏, com −∞ < 𝑎 < 𝑏 < +∞, teremos
𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.𝑏
𝑎 (MEYER, 1983, p. 81)
Meyer (1983) traz um exemplo de aplicação para funções de variáveis aleatórias, como
por exemplo: suponhamos que o raio do orifício de um tubo calibrado com precisão X seja
considerado uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade f. Seja
𝐴 = 𝜋𝑋² a área da secção transversal do círculo (MEYER, 1983, p. 97). Neste exemplo o
valor de X é o resultado de um experimento aleatório, enquanto o valor de A também é. No
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caso uma variável aleatória contínua, a qual podemos obter uma função g, chamada de função
densidade de probabilidades, deduzida da função f.
Não é do interesse deste trabalho esgotar o assunto sobre variáveis aleatórias, bem como
todo o tratamento dado a função densidade de probabilidade, pois o foco está no modelo da
Distribuição Exponencial, que é definido por uma função de variável aleatória contínua.
No tópico a seguir, iremos tratar de um modelo matemático específico, que tem sua
variável aleatória classificada como contínua, sendo este o modelo da Distribuição de
Probabilidade Exponencial.
1.2 A DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
Iniciaremos com a definição do modelo de Distribuição Exponencial, dada por Meyer
(1983), que afirma, uma variável aleatória contínua X, que tome todos os valores não
negativos, terá uma distribuição exponencial com parâmetro 𝛼 > 0, se sua função densidade
de probabilidade for dada por (MEYER, 1983, p. 223):
𝑓(𝑥) = {𝛼𝑒−𝛼𝑥 , 𝑥 > 0
0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠
De fato, a função definida é densidade de probabilidade pois
𝑓(𝑥) = 𝛼𝑒−𝛼𝑥 ≥ 0, ∀ 𝑥 > 0 e 𝛼 > 0 , e ainda, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 ,+∞
−∞ como
demonstrado na sequência.
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫0𝑑𝑥
0
−∞
+∫ 𝛼𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝛼𝑒−𝛼𝑥+∞
0
+∞
0
+∞
−∞
𝑑𝑥.
Considerando 𝑢 = −𝛼𝑥, temos: 𝑑𝑢 = −𝛼𝑑𝑥. Assim,
∫𝛼𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥 = −∫𝑒−𝛼𝑥(−𝛼)𝑑𝑥 = −∫𝑒𝑢𝑑𝑢 = −𝑒𝑢 = −𝑒−𝛼𝑥.
Voltando à integral, vem:
∫ 𝛼𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥 = (−𝑒−𝛼𝑥)∞0
+∞
0
= lim𝑏→∞
(−𝑒−𝑏𝑥) − (−𝑒−𝛼0) = 0 + 1 = 1.
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Representação gráfica:
Segundo Meyer (1983), esta distribuição tem as seguintes propriedades:
1. Função de distribuição acumulada é dada por
𝐹:ℝ → [0,1]
𝑥 ↦ 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫𝑓(𝑠)𝑑𝑠
𝑥
−∞
, na qual
f é a função densidade de probabilidade.
Assim,
𝐹(𝑥) = ∫𝑓(𝑠)𝑑𝑠 =
{
∫0𝑑𝑠 = 0, 𝑥 < 0
𝑥
−∞
∫0𝑑𝑠 + ∫𝛼𝑒−𝛼𝑠𝑑𝑠 = (−𝑒−𝛼𝑠)𝑥0
𝑥
0
0
−∞
= (−𝑒−𝛼𝑥) − (−𝑒−𝛼0) =
= −𝑒−𝛼𝑥 + 1 = 1 − 𝑒−𝛼𝑥, 𝑥 ≥ 0
𝑥
−∞
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2. O valor esperado da variável aleatória que tem Distribuição Exponencial é obtido por
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
,
na qual, f é a função densidade de probabilidade de 𝑋~𝐸𝑥𝑝(𝛼).
Assim,
𝐸(𝑋) = ∫𝑥. 0𝑑𝑥 + ∫ 𝑥. 𝛼𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑥. 𝛼𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥
+∞
0
+∞
0
0
−∞
.
Utilizando o método de integração por partes, temos:
{𝑢 = 𝑥𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
{𝑑𝑣 = 𝛼𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥
𝑣 = ∫𝛼𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥 = −𝑒−𝛼𝑥
∫𝑥𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥 = (−𝑥𝑒−𝛼𝑥) − ∫(−𝑒−𝛼𝑥)𝑑𝑥 =
= (−𝑥𝑒−𝛼𝑥) +1
𝛼∫𝛼𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥 = (−𝑥𝑒−𝛼𝑥) +
1
𝛼(−𝑒−𝛼𝑥)
Voltando à integral imprópria, temos:
𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝛼𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥 =
+∞
0
(−𝑥𝑒−𝛼𝑥)∞0+ (
1
𝛼(−𝑒−𝛼𝑥))
∞0=
= [ lim𝑏→∞
(−𝑏
𝑒𝛼𝑏) − (
−0
𝑒−𝛼0)] + [ lim
𝑏→∞(−1
𝛼𝑒𝛼𝑏) − (
−1
𝛼𝑒−𝛼0)] =
= [0 + 0] + [0 +1
𝛼] =
1
𝛼∙
3. A variância da variável aleatória que tem Distribuição Exponencial é obtida, lembrando
que:
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸{[𝑋 − 𝐸(𝑋)]2} = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2, temos:
𝐸(𝑋2) = ∫ 𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥
+∞
−∞
, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑓 é 𝑓. 𝑑. 𝑝.
Assim,
𝐸(𝑋2) = ∫ 𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑥20𝑑𝑥
0
−∞
+∫ 𝑥2(𝛼𝑒−𝛼𝑥)𝑑𝑥
+∞
0
= ∫ 𝑥2𝛼𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥
+∞
0
.
∞
−∞
18
Utilizando o método de integração por partes, temos:
{ 𝑢 = 𝑥2
𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 {
𝑑𝑣 = 𝛼𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥
𝑣 = ∫𝛼𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥 = −𝑒−𝛼𝑥
∫𝑥2𝛼𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥 = (−𝑥2𝑒−𝛼𝑥) − ∫(−𝑒−𝛼𝑥)2𝑥𝑑𝑥 =
= (−𝑥2
𝑒𝛼𝑥) +
2
𝛼∫𝑥 𝛼𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥 = −
𝑥2
𝑒𝛼𝑥+2
𝛼[−
𝑥
𝑒𝛼𝑥−
1
𝛼𝑒𝛼𝑥].
Voltando à integral imprópria:
𝐸(𝑋2) = ∫ 𝑥2𝛼𝑒−𝛼𝑥𝑑𝑥
+∞
0
= (−𝑥2
𝑒𝛼𝑥)+∞0+2
𝛼[−
𝑥
𝑒𝛼𝑥−
1
𝛼𝑒𝛼𝑥]+∞0=
= [0 − 0] +2
𝛼[0 −
1
𝛼] =
2
𝛼²∙
Dessa forma,
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2 =2
𝛼2− (
1
𝛼)2
=1
𝛼²∙
Uma última propriedade, a ser apresentada, é a “falta de memória” da Distribuição
Exponencial, ou seja, 𝑃(𝑋 > 𝑡0 + 𝑡 | 𝑋 > 𝑡0) = 𝑃(𝑋 > 𝑡). De fato:
𝑃(𝑋 > 𝑡0 + 𝑡 |𝑋 > 𝑡0) =𝑃(𝑋 > 𝑡0 + 𝑡 ⋂𝑋 > 𝑡0)
𝑃(𝑋 > 𝑡0)=𝑃(𝑋 > 𝑡0 + 𝑡)
𝑃(𝑋 > 𝑡0)=
=1 − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑡0 + 𝑡)
1 − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑡0)=1 − 𝐹(𝑡0 + 𝑡)
1 − 𝐹(𝑡0)=1 − [1 − 𝑒−𝛼(𝑡0+𝑡)]
1 − [1 − 𝑒−𝛼𝑡0]=𝑒−𝛼(𝑡0+𝑡)
𝑒−𝛼𝑡0=
𝑒−𝛼𝑡0−𝛼𝑡+𝛼𝑡0 = 𝑒−𝛼𝑡 = 1 − 1 + 𝑒−𝛼𝑡 = 1 − [1 − 𝑒−𝛼𝑡] = 1 − 𝐹(𝑡) =
= 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑡) = 𝑃(𝑋 > 𝑡).
Buscando o entendimento aplicável dessa propriedade, trazemos as ideias de Devore
(2014), que exemplifica a propriedade da falta de memória de uma Distribuição Exponencial,
a partir de um componente, que é colocado em serviço, e após 𝑡0 horas, continua funcionando.
Para este caso, qual seria a probabilidade deste componente continuar funcionando após t horas
adicionais?
Segundo a última propriedade demonstrada, a probabilidade condicional é idêntica à
probabilidade original. Assim o autor conclui que a distribuição do tempo de vida adicional é
exatamente igual à distribuição original do tempo de vida. (DEVORE, 2014, p. 151). Assim, o
19
modelo exponencial não considera o “envelhecimento”, ou seja, a probabilidade de um
componente novo durar mais de 𝑡0 horas é igual à probabilidade de um componente velho
durar mais 𝑡0 horas.
No próximo tópico, iremos indicar aplicações da Distribuição Exponencial, com foco
na Engenharia, além de estabelecer a aplicação que será adaptada para o ensino da mesma, nesta
pesquisa.
1.3 APLICAÇÕES DA DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
As principais aplicações da Distribuição Exponencial, remetem-se a lei das falhas, o que
segundo Meyer (1983) é aquela cuja duração até falhar é descrita pela distribuição
exponencial. (MEYER, 1983, p. 268). Um exemplo, indicado pelo autor, que ilustra esta lei, é
admitir com determinada razoabilidade, que um fusível, um rolamento ou um parafuso, são tão
bons quanto novos, enquanto estiverem funcionando.
O que se aplica na prática, já que um fusível manterá sua funcionalidade, sem alteração
visível, até que se funda o que é considerado uma falha. Da mesma forma que um rolamento,
ou um parafuso, sofrem poucas modificações pelo desgaste, mantendo suas funções.
Em casos como esses, a lei das falhas exponencial se aplica, representando um modelo
adequado para o estudo de características de falhas da peça. Uma advertência indicada em
Meyer (1983) é que
Há muitas situações encontradas nos estudos de falhas, para as quais as
hipóteses básicas que levam à distribuição exponencial não serão satisfeitas.
Por exemplo, se um pedaço de aço for submetido a esforço continuado, haverá
obviamente alguma deterioração, e por isso, um outro modelo, que não o
exponencial deve ser examinado. (MEYER, 1983, p. 269).
Não é de o escopo desta descrição avançar além das aplicações da distribuição
exponencial, mas cabe ressaltar suas limitações e a necessidade de uma análise sobre o
problema abordado, antes de sua aplicação.
A aplicação a ser desenvolvida nesta pesquisa, se relaciona a um sistema de filas. Em
essência, queremos saber se, a partir de observações sobre um sistema de filas, podemos a partir
de dados coletados em campo, chegar ao modelo da Distribuição Exponencial, em um curso
regular de Engenharia. No caso desta investigação a observação está ligada ao tempo de
atendimento, que por analogia, ao tempo de falhas, não deve sofrer desgaste do sistema. Este
sistema, em geral é feito por turnos, e espera-se que tenha um atendimento uniforme.
20
1.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE O CAPÍTULO
Neste capítulo discutimos o objeto matemático que norteia a pesquisa, no qual,
apresentamos uma breve introdução sobre variáveis aleatórias, essencial na discussão de uma
função densidade de probabilidade, em seguida definimos o modelo de Distribuição
Exponencial, com base em Meyer (1983) e discutimos sua principal aplicação, com base no
estudo de falhas.
Este trabalho se desenvolverá com base em um estudo de filas, e tem como intenção
oferecer uma opção didática para o modelo, que possa ser desenvolvida em um curso regular
de Engenharia.
No próximo capítulo, será apresentada a problemática da pesquisa, composta por uma
revisão bibliográfica, sobre o ensino de variáveis aleatórias, com enfoque em cursos superiores
de tecnologia e no uso de modelos matemáticos, e sua justificativa e relevância, na qual
estabeleceremos o objetivo da pesquisa e sua questão norteadora.
21
CAPÍTULO 2
O CAMINHO PARA A PROBLEMÁTICA
Neste capítulo, discorremos sobre algumas pesquisas relacionadas com o ensino de
variáveis aleatórias em cursos superiores, preferencialmente cursos de tecnologia, sendo que as
bases de busca, foram o ICOTS 8 (2010) e ICOTS 9 (2014), o site do grupo de investigação
sobre Educação Estatística da Universidade de Granada, que é coordenado pela Prof. Dra.
Carmem Batanero Bernabeu, além do banco de dissertações e teses da PUCSP e do VII CIBEM
(2013). Convém ressaltar a dificuldade em encontrar trabalhos que tenham como tema o ensino
de variáveis aleatórias em cursos superiores, o que limitou os bancos de dados acessados.
Sobre o ICOTS – International Conference on Teaching Statistics, destacamos que esta
é uma conferência internacional, que ocorre de 4 em 4 anos, com participação de diversos
países, sendo que em 2014, foram 37. O próximo ICOTS será em Kyoto, Japão em 2018.
Apresentaremos também uma revisão bibliográfica sobre a Modelagem Matemática,
realizada com base em autores brasileiros, com enfoque na matemática aplicada a cursos de
serviço. Apresentamos ainda neste capítulo, a questão de pesquisa, os objetivos de nossa
investigação, e finalmente, a relevância e especificidade do nosso estudo.
2.1 ALGUMAS PESQUISAS SOBRE O ENSINO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Estaremos analisando oito trabalhos, pelo seguinte roteiro:
4. Identificação do autor e evento.
5. Indicação do tema.
6. Delimitação do objeto Matemático (se houver).
7. Identificação das questões de pesquisa (se houver).
8. Exposição da metodologia empregada.
9. Principais considerações e conclusões.
Não é do interesse deste capítulo, realizar qualquer comparação das pesquisas
analisadas, sendo ressaltado que não encontramos trabalhos que tratassem do objeto
Distribuição Exponencial, e sim de outros modelos de probabilidade.
Viali (2013) apresentou no VII CIBEM, seu trabalhado intitulado Utilizando a
simulação e a planilha na aprendizagem de Estatística, que tem como tema o pensamento
relacionado à Probabilidade e à Estatística. Este trabalho explora diversos temas de uma
22
disciplina de Estatística, em um curso para não matemáticos, ou seja, entendemos que neste
trabalho a Estatística encontra-se a serviço de outros cursos.
Para o autor, a Estatística Descritiva é um conteúdo fácil de ser aprendido, pois não
depende de uma matemática complexa para ser trabalhada adequadamente, mesmo assim a
experiência mostra que alunos desta disciplina atingem resultados abaixo do esperado no
tópico, situação que pode ser mudada com o auxílio de planilhas e simulações de grandes
conjuntos de dados.
Dessa forma trabalhando com situações que se aproximem da realidade em contraponto
as aulas desenvolvidas sem recursos tecnológicos, nos quais os problemas são sempre
irrealisticamente simplificados ou no caso da Estatística o número de dados é bastante
reduzido ou mesmo adaptado para que sejam adequados a uma exposição oral em que recursos
são apenas o giz, o quadro e a imaginação. (VIALI, 2013, p. 2157)
Os dados organizados em planilhas eletrônicas adequadas podem ser gerados com o
recurso do computador, a partir da geração de número aleatório disponível em planilhas do
Excel®, utilizando o suplemento, ferramentas de análise, o autor expõe que um único exemplo
pode gerar significado em diversas distribuições, no caso a simulação de uma viagem entre dois
locais A e B numa distância de 90 km, onde existe o pagamento de pedágio no trecho (VIALI,
2013, p. 2160). Este exemplo permite a ilustração de diversos conceitos da Estatística
Descritiva, e permite uma conexão com modelos de probabilidade.
O número de carros que passam pelo posto de pedágio pode ser simulado pelo modelo
de Poisson. Enquanto que, carros de determinado modelo em um grupo de carros pode ser
simulado pelo modelo binomial. A velocidade dos carros é adequadamente simulada pelo
modelo normal, permitindo ao autor concluir que estratégias de planilhas e simulação são
adequadas para o trabalho com Estatística Descritiva e ressaltam sua conexão com a
probabilidade, além de que a insistência em submeter os alunos a grandes quantidades de
cálculos manuais ou exercícios que pouco se aproximam da realidade faz que o já pouco
interesse que eles possam ter pela disciplina seja rapidamente perdido (VIALI, 2013, p. 2162),
situação que contribui para um baixo desempenho na disciplina.
O segundo trabalho a ser analisado é o artigo de Alvarado e Batanero (2008), que tem
como título Significado del teorema central del limite em textos universitários de probabilidad
y estadística, que como indicado no título faz uma comparação da apresentação do teorema nos
textos voltados para a engenharia utilizados no Chile, como indicado pelos autores:
23
Neste artigo analisamos o significado do teorema do limite central em livros
de Probabilidade e Estatística direcionados a Engenheiros, seguindo a mesma
metodologia de análise de significado de outros conceitos estatísticos em
livros texto (Tauber, 2001; Cobo e Batanero, 2003). No modelo da teoria dos
significados institucionais e pessoais dos objetos matemáticos (Godino e
Batanero, 2003) as matemáticas se assumem como uma atividade humana
implicada na solução de certa classe de situações problemas, de onde emergem
e evoluem progressivamente os objetos matemáticos. (ALVARADO,
BATANERO, 2008, p. 8).1
Considerando como hipótese do trabalho, que o completo significado do teorema central
do limite que é apresentado em textos didáticos de Estatística e Probabilidade voltados à
Engenharia, encontra-se com uma variedade de enfoques e aproximações. O ensino e
aprendizagem do objeto foi analisado em três aspectos: o epistemológico, o cognitivo e o
institucional, com base em três ferramentas teóricas: teoria dos significados institucionais e
pessoais dos objetos matemáticos, teoria das funções semióticas e a teoria das configurações
didáticas.
Sendo considerado na análise a tipologia dos objetos matemáticos, denominados
elementos de significado:
1. Situações-Problema: Situações contextualizadas que iniciam atividades matemáticas.
2. Linguagem: Representações utilizadas na atividade matemática, por exemplo, notações,
gráficos, língua materna, etc.
3. Procedimentos: Modo de atuar sobre situações e tarefas.
4. Conceitos e definições: Introdução mediante definições, ou exemplos.
5. Preposições: Trata-se do trabalho com as propriedades associadas ao teorema central do
limite
6. Argumentos: Argumentos que ligam as ações e os objetos matemáticos entre si.
Sobre a metodologia apresentada pelos autores, foram selecionados dezesseis livros
didáticos, que aparecem em distintas bibliografias no Chile, para estudantes de Engenharia.
Esta eleição levou em conta: livros aplicados à Engenharia, livros de Probabilidade e Estatística
1 No original: En este trabajo se analiza el significado del teorema central del límite en los libros de
texto de probabilidad y estadística dirigidos a ingenieros, siguiendo la misma metodología en análisis
del significado de otros conceptos estadísticos en los libros de texto (Tauber 2001; Cobo y Batanero
2004). En el modelo de la teoría de los significados institucionales y personales de los objetos
matemáticos (Godino y Batanero 2003), las matemáticas se asumen como una actividad humana
implicada en la solución de cierta clase de situaciones problemáticas de la cual emergen y evolucionan
progresivamente los objetos matemáticos. (ALVARADO, BATANERO, 2008, p. 8).
24
para matemáticos, livros clássicos de autores consagrados, livros recentes que apresentem
novidades em seu enfoque e livros com ênfase em exercícios e problemas.
A análise levou em consideração, em primeiro lugar, os campos diferenciados de
problemas cuja resolução faz surgir a ideia do teorema do limite central e foram indicadas treze
possibilidades de problemas, das quais destacamos, a aproximação pela distribuição binomial,
presente em todos os livros analisados.
Outros campos em destaque foram: a distribuição da soma de variáveis aleatórias
contínuas, presente em quinze dos dezesseis livros analisados, e a estimação por intervalo de
confiança, presente em treze dos dezesseis livros observados.
Em segundo lugar se levou em consideração a linguagem, nesta análise nota-se que a
maioria dos livros utiliza a notação simbólica na definição do objeto, no caso quinze de
dezesseis livros. Gráficos foram utilizados por sete livros, expressões verbais por sete livros e
a simulação foi utilizada por seis livros.
O artigo ainda detalha a utilização de procedimentos, propriedades, e diferentes
enunciados do mesmo teorema, seja pela convergência de Ley, como uma sucessão de funções,
como soma de variáveis independentes identicamente ou não distribuídas, ou de forma geral,
pela língua materna, sendo que a convergência foi utilizada em apenas dois dos livros
analisados.
Sobre os argumentos os autores destacam que:
Todos os enunciados, propriedades, problemas e algoritmos anteriores ligam-
se entre si através de argumentos ou raciocínios que se usam para comprovar
as soluções dos problemas ou demonstrar as propriedades e relações que
podem ser classificados da seguinte forma: (ALVARADO, BATANERO,
2008, p. 24).2
1. Demonstrações formais algébricas ou dedutivas.
2. Apresentação do teorema como um caso especial de um resultado geral.
3. Simulações de distribuições amostrais.
4. Simulação gráfica do teorema.
5. Comprovação por exemplos e contraexemplos, sem pretensão de generalizar.
2 Do original: Todos los enunciados, propriedades, problemas y algoritmos anteriores se ligam entre si
mediante argumentos o razonamientos que se usan para comprovar las soluciones de los problemas o
demonstrar las propriedades y relaciones que se pueden classificar em la forma seguinte:
(ALVARADO, BATANERO, 2008, p. 24).
25
Em geral os autores notam que as demonstrações formais estão ausentes de livros para
Engenheiros, quando aparecem, estão cumprindo um propósito do próprio autor do livro, sendo
conduzidas para cursos mais avançados.
Ao final do artigo os autores concluem que, a informação proporcionada pelos livros,
ainda que importante, é limitada, e só permite uma primeira aproximação do ensino deste
teorema, mas se estabeleceu uma referência para uma proposta específica de ensino. O conteúdo
da aula será em ordem crescente de complexidade, com a implementação de diferentes
formulações e representações da soma de variáveis aleatórias discretas e contínuas.
Uma primeira abordagem do teorema deve considerar simulação manipulável, e
trabalho com caneta e papel para pequenas amostras, em seguida continuar com a introdução
de grandes amostras por meio da simulação gráfica e na sequência, analisar algebricamente
diferentes campos de problemas, que requerem proposições como ferramenta de análise de
dados na Engenharia.
A busca no banco de dados do ICOTS (2010, 2014), nos trouxe quatro artigos, sobre o
ensino e a aprendizagem de variáveis aleatórias, sendo estes os trabalhos de Krauss, Bruckmein
e Martignon (2010), Andrade e Maglhães (2010), Prodomou (2014) e Ji (2014)
O artigo teaching young grownups how to use bayesian networks, de Krauss, Bruckmein
e Martignon (2010), apresentado no evento ICOTS 8 (2010), os autores investigaram como as
Redes Bayesianas podem ser utilizadas com jovens e adultos para o ensino-aprendizagem do
Teorema de Bayes, tendo como base estudos exploratórios implementados na Universidade de
Ludwigsbrug.
O trabalho foi desenvolvido com o auxílio do software Netica, tendo como objetivo, a
aprendizagem do Teorema de Bayes, a partir da análise dos nós das redes formados desde os
estados de incerteza, possíveis para determinada situação. O autor destaca que o trabalho, com
este teorema, por meio das redes Bayesianas, leva a um aperfeiçoamento de técnicas de
raciocínio probabilístico.
Andrade e Magalhães (2010) em seu artigo Analysis of a basic statistic course using
item response theory, investigam a aprendizagem de temas da disciplina de Estatística com
estudantes de cinco carreiras de Matemática, do Instituto de Matemática e Estatística da
Universidade de São Paulo, todos os alunos tiveram dois semestres da disciplina, sendo os
dados coletados três meses após o término do segundo curso, em 2005, 2006 e 2007.
A coleta de dados foi realizada por meio de um teste composto de cinquenta itens, do
tipo verdadeiro ou falso, analisando itens da Estatística Descritiva, Probabilidade e Variáveis
26
Aleatórias e Inferência Estatística, utilizando a Teoria da Resposta ao Item, para criar uma
escala de conhecimento de Estatística Básica.
Sobre as conclusões os autores destacam a importância da Estatística Descritiva, na
compreensão de conceitos de variáveis aleatórias e Inferência Estatística, além do baixo
desempenho dos alunos de Licenciatura em Matemática, quando comparado a outras carreiras,
levantando como hipótese parcial o fato da carreira de professor atualmente ser menos atrativa,
tendo alunos com um preparo anterior mais deficiente, devido ao exame de ingresso da
universidade.
No artigo Multidirectional modelling for fostering students connections between real
contexts and data, and probability distributions de Prodomou (2014) apresentado no evento
ICOTS 9, o autor investiga como jovens de 14 – 15 anos, constroem concepções informais,
sobre dados de distribuições de probabilidades teóricas, a partir de processos de modelagem
multidirecional e simulações.
Para o autor o processo de modelagem de fenômenos do mundo real, nem sempre pode
ser determinista, tendo que por vezes incorporar a incerteza ou o erro aleatório de maneira
generalizada. Estes modelos são probabilísticos e têm a capacidade de simular fenômenos
aleatórios. Segundo Prodomou (2014), pesquisas têm mostrado que práticas de modelagem
trazem sentido a fenômenos do mundo real, definindo atributos que possam ser medidos, dando
ênfase para o desenvolvimento de um modelo em um ambiente digital.
O artigo apresenta um estudo realizado na Austrália, com jovens de idade entre 14 e 15
anos, que foram introduzidos a dados experimentais de temperaturas médias mensais
australianas de setembro de 2012 a outubro de 2013, a obtenção destes dados se deu por meio
da simulação.
A metodologia envolveu a familiarização dos alunos com o software Tinkerplots 2,
utilizado na simulação dos dados, no qual usaram modelos de probabilidade pré-definidos, para
o desenho de curvas de densidade, gerando dados de temperatura.
Nesta atividade os estudantes compararam as temperaturas geradas no software, a partir
do modelo, com as temperaturas médias na Austrália, redesenhando o modelo quando
necessário, a fim de ajustar as temperaturas médias. Na primeira fase do processo, os alunos se
basearam em experiências pessoais, separando inclusive as temperaturas em grupos de acordo
com as estações do ano.
Em fase posterior, os alunos buscaram anomalias nas temperaturas médias, que foram
comparadas com anomalias climáticas no período de doze meses de anos anteriores. Ao final,
segundo Prodomou (2014), os alunos perceberam a possibilidade de utilizar o modelo obtido
27
para previsão de temperaturas futuras, bem como a limitação em prever temperaturas atípicas,
não esperadas para o período.
Ji (2014) traz em seu trabalho contribuições para o ensino da função normal inversa, em
que, segundo o autor, difere do ensino tradicional, que envolve determinar o parâmetro, média
ou proporção, segundo um intervalo de confiança. Para o autor este é um caminho
desnecessário, já que os limites de um intervalo podem ser obtidos diretamente por quantis, a
partir da normal inversa.
A ideia empregada é de usar quantis da distribuição de variável aleatória normal, para
obter respostas rápidas, implicando a própria distribuição normal não padronizada, com auxílio
de softwares, esse estudo pode ser estendido para o trabalho com testes de hipótese com enfoque
no erro tipo II, ou seja, em um teste de hipótese no qual não se rejeita a hipótese nula, dado que
ela é falsa.
Até então, podemos notar, nesta revisão que é recorrente o auxílio de softwares em
processo de ensino que envolva variáveis aleatórias de qualquer natureza, isto ocorre
principalmente devido à necessidade de simulação de grandes dados, ou a necessidade de rodar
diversos modelos para verificação de adequação a situação exposta.
Outro fator relevante é que o tempo em sala de aula, pode ser melhor utilizado, caso os
alunos não tenham a necessidade de realizar cálculos extensos. O tempo aproveitado é
direcionado para a interpretação de dados, muito mais relevante, para a formação profissional,
em cursos de Engenharia e Ciências.
Em contrapartida encontramos a dissertação de Figueiredo (2000), que trata o ensino e
a aprendizagem da Probabilidade Condicional. Por meio dos princípios da Engenharia Didática,
foram organizadas quatro atividades, com base nos estudos de Batanero, com a intenção de
induzir o aluno a refletir sobre problemas que não tratem apenas da probabilidade condicional,
mas também do teorema da probabilidade total e do teorema de Bayes.
O objetivo da pesquisa desenvolvida foi introduzir o conceito de Probabilidade
Condicional em cursos de Estatística da Universidade (FIGUEIREDO, 2000, p. 142), sendo
que a sequência foi aplicada para alunos de Licenciatura em Matemática e Ciências da
Computação.
A questão geral da pesquisa: Como introduzir o conceito de Probabilidade Condicional
em cursos da Universidade, de maneira a minimizar essas dificuldades? (FIGUEIREDO, 2000,
p. 142), teve como hipótese
28
que, a partir de sugestões dadas por Batanero, é possível desenvolvermos uma
sequência de ensino para que os alunos consigam construir o conceito de
Probabilidade Condicional e trabalhar melhor com todos os conceitos que o
cercam, utilizando vários registros de representação como a linguagem
natural, o diagrama de árvore, a tabela de contingência e a linguagem
simbólica. (FIGUEIREDO, 2000, p. 50).
E foi permeada por outras questões, como segue:
Os alunos, diante de um problema que envolva eventos, conseguem identificar
os dependentes e os independentes?
Diante de situações que envolvam condicional, será que eles diferenciarão da
interseção de eventos?
Os alunos conseguem fazer algumas representações ligadas à Probabilidade
Condicional? " Será que eles vão saber diferenciar o cálculo de P(A/B) de
P(B/A)?
Os alunos aplicarão o conceito da condicional para problemas que envolvam
o Teorema das Probabilidades Totais e Teorema de Bayes? (FIGUEIREDO,
2000, p. 51).
Essas questões estabelecem etapas do ensino da probabilidade condicional, inerentes à
questão geral. A metodologia, bem como a análise de resultados, baseou-se nos princípios da
Engenharia Didática de Michèle Artigue, composto por quatro fases.
Análises preliminares, nas quais é feito um levantamento das concepções envolvidas,
Concepção e análise a priori, em que o investigador decide quais variáveis serão observadas,
Experimentação, fase da aplicação da sequência, bem como da formalização e
institucionalização e análise a Posteriori, que tem como base o conjunto de dados escolhidos
ao longo da experimentação, assim como observações realizadas sobre a aplicação, ao final os
dados da análise a priori e da análise a posteriori, são confrontados.
A fundamentação teórica do trabalho se deu a partir de elementos da obra
“Azar e Probabilidade” de Batanero, Godino e Cañizares, sobre Probabilidade
e Estatística, assim como na Teoria de Registro de Representação de Raymond
Duval e no capítulo “Utilização das Árvores no Ensino de Probabilidades” de
Bernard Parzysz do livro “Ensinar as Probabilidades no Ensino Médio”
(FIGUEIREDO, 2000, p. 52).
Nas conclusões foi possível notar que, ao final da aplicação das atividades, os alunos
diferenciavam os eventos dependentes de eventos independentes, além de aplicar a
probabilidade condicional em problemas que envolviam a probabilidade total, ou o teorema de
Bayes.
29
Os alunos conseguiam diferenciar situações que envolviam a intersecção de eventos,
desde que as questões se apresentassem em linguagem natural, pois ainda havia pequenas
discrepâncias, no que se refere à notação.
O último trabalho analisado nesta revisão bibliográfica é a tese de Maria Inez Miguel,
que utiliza um software para o ensino da Distribuição de Poisson, por meio da Modelagem
Matemática, intitulada de Ensino e Aprendizagem do modelo de Poisson: Uma experiência com
modelagem (2005).
A questão de pesquisa que norteia a tese é: o uso da modelagem matemática é favorável
ao ensino e aprendizagem do Modelo de Poisson? (MIGUEL, 2005, p. 29). A autora elenca
também uma questão secundária, sobre quais etapas da Modelagem Matemática seriam
essenciais para a aprendizagem do modelo. Com base na questão principal e na questão
secundária são propostos os seguintes objetivos:
1. fazer um levantamento das noções envolvidas no estudo do Modelo de
Poisson;
2. elaborar uma sequência didática fundamentada no processo de modelagem
proposto por Henry (1997);
3. aplicá-la a um grupo de alunos e fazer uma avaliação inicial (piloto);
4. fazer os acertos necessários na sequência e reaplicá-la a um novo grupo de
alunos;
5. analisar e avaliar os resultados. (MIGUEL, 2005, p.29-30).
A fundamentação teórica se deu a partir de duas teorias: A Teoria Antropológica do
Didático de Chevallard e a Teoria das Funções Semiótica de Godino, a primeira utilizada na
análise de livros didáticos e a segunda na identificação dos elementos e avaliação dos
resultados. Para a autora, o uso da Teoria Antropológica do Didático possibilita a organização
do estudo em dois aspectos: o didático e o matemático, permitindo em cada caso, que as
atividades propostas pelos autores de livros didáticos, possam ser descritas do ponto de vista
prático e do saber matemático. A Teoria das Funções Semióticas justifica-se pela intenção de
Miguel (2005), em elaborar uma sequência que favorecesse a aprendizagem do modelo de
Poisson, com significado, segundo a autora, no sentido usual da palavra.
Os fundamentos metodológicos estão baseados em preceitos da Engenharia Didática e
da Modelagem Matemática, a primeira deve-se à elaboração da sequência de ensino sobre o
modelo de Poisson, sendo que foi realizado um processo experimental, com base em uma
realização didática.
O uso da Modelagem Matemática foi definido segundo a autora, logo nas primeiras
leituras, pois,
30
[...] grande parte da atividade matemática (e particularmente a estatística)
pode ser descrita como um processo de modelagem [...] um exemplo notável
de modelagem estatística a partir de um problema prático são as distribuições
de probabilidades, que permitem descrever de forma sintética o
comportamento das distribuições empíricas de dados estatísticos e fazer
predições sobre o seu comportamento. (BATANERO, 2001, p. 1 apud
MIGUEL, 2005, p. 47).
O trabalho com a Modelagem Matemática foi descrito por Henry, (1997) o norteador
para o desenvolvimento da sequência. Sobre os procedimentos metodológicos, destacamos que
um piloto foi realizado, com o intuito de realizar os acertos necessários. Na fase experimental
dezesseis alunos voluntários participaram, sendo oito alunos de Engenharia e oito alunos de
Ciências da Computação.
A fase experimental teve momentos alternados no laboratório de Física Nuclear e no
laboratório de Informática e foi dividida em seis etapas principais:
1. Leitura do texto sobre radiação e elaboração de um protocolo experimental com dois
tipos de material radioativo e três intervalos de tempo.
2. Estudo descritivo dos dados coletados, com auxílio de aplicativos, no laboratório de
Informática.
3. Construção do modelo de Poisson, com base nos estudos das etapas anteriores.
4. Exploração do modelo obtido, com o uso do mesmo aplicativo da segunda etapa,
validando e generalizando conjecturas.
5. Comparação dos valores obtidos pelo modelo, com os valores experimentais, uso do
mesmo aplicativo em laboratório de informática, as ferramentas estatísticas utilizadas
foram: tabelas, gráficos e teste qui-quadrado de aderência.
6. Resolução de série de situações, de acordo com o material encontrado em livros
didáticos e um estudo da aproximação de Poisson, com o modelo binomial.
Sobre as conclusões obtidas por Miguel (2005), destacamos que para a autora, a
Modelagem Matemática pode favorecer o ensino e a aprendizagem do modelo de Poisson,
possibilitando que seus elementos de significado sejam discutidos, favorecendo o
desenvolvimento de competências na aplicação técnica do modelo.
Os conhecimentos foram adquiridos pelos alunos, em etapas, sendo que cada etapa
permitiu uma determinada obtenção, como determinar o parâmetro de Poisson, a partir de dados
experimentais, identificação da variável do problema, cálculo do qui-quadrado crítico e
31
comparação de resultados, identificação de situações no qual o modelo de Poisson possa ser
utilizado, além de características e propriedades do modelo de Poisson.
Os trabalhos, apresentados nesta seção, tiveram como foco o ensino e aprendizagem de
variáveis aleatórias com algumas exceções, preferencialmente, voltados ao Ensino Superior,
em que destacamos a dificuldade em encontrar trabalhos com estas características.
Dentre os pontos em comuns, destacamos a presença de sequências de ensino e
softwares, sejam planilhas eletrônicas ou de simulação, com o intuito de levar aspectos da
realidade para a sala de aula.
Entendemos que esta característica dos trabalhos, deve-se ao enfoque da busca, que
levou em conta as variáveis aleatórias a serviço de cursos de Ensino Superior, sejam estes de
tecnologia ou não.
2.2 A CARACTERIZAÇÃO DA MODELAGEM MATEMÁTICA
Neste tópico são apresentadas algumas perspectivas sobre a Modelagem Matemática
voltada para o ensino básico e superior com ênfase em cursos de Engenharia, focado no curso
de Engenharia de Produção Química de uma instituição de ensino particular do Estado de São
Paulo, um estudo sobre a definição de Modelo Matemático e como este se relaciona com o
processo da Modelagem Matemática.
Esta seção tem como objetivo examinar a adequação do uso de Modelagem Matemática
no ensino da distribuição exponencial na disciplina de Estatística em um curso de Engenharia
de Produção Química, pois imaginamos que neste modelo de curso a expectativa por conceitos
aplicáveis seja latente e imediata.
Mesmo assim, nossa experiência nos indica que, em geral, as disciplinas consideradas
básicas, como Estatística, Cálculo, Álgebra, Geometria Analítica e Física, que são base para
qualquer curso de Engenharia, são tratadas de maneira principalmente teóricas, como se a
responsabilidade por aplicações se devesse exclusivamente a disciplinas específicas do curso.
Silva et al. (2012, p. 93) afirmam que nos cursos de engenharias, a matemática é apresentada
como requisito fundamental. No entanto, as disciplinas básicas que envolvem a matemática
encontram-se, de certa forma, distantes das disciplinas específicas, que serão oferecidas em
meados do curso.
Segundo Beltrão (2009, p. 41) a Modelagem Matemática como técnica educativa surge
pela primeira vez em cursos de Engenharia, no fim do século XIX, sendo que esta metodologia
se espalhou para outras áreas nas décadas seguintes. Partimos da premissa de que no estudo da
32
Teoria das Probabilidades, bem como das distribuições de probabilidades, aspectos educativos
da Modelagem Matemática podem ser primordiais para o aprendizado dos alunos, tanto quanto
para sua motivação.
Citamos aqui a palavra motivação, porque em disciplinas que prestam serviço a cursos
de Engenharia, por muitas vezes, a justificativa para aprender determinado conteúdo é frágil,
por se remeter a aplicações futuras que, por um motivo ou outro, os alunos não têm condições
de dominar, em um primeiro momento. Quando levamos em conta que vivemos na era de
modelos computacionais, esta justificativa se torna dúbia, pois os alunos que já estão no
mercado de trabalho, podem utilizar modelos próximos aos estudados em sala de aula, ainda
que sem conhecer suas estruturas.
Desta forma a Modelagem Matemática pode atender às Diretrizes Curriculares
Nacionais dos Cursos de Engenharia (2002), que propõem:
Art. 4° A formação do engenheiro tem por objetivo dotar o profissional
dos conhecimentos requeridos para o exercício das seguintes
competências e habilidades gerais:
I – aplicar conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos e
instrumentais à engenharia; [...] Art. 5° [...] Ênfase deve ser dada à
necessidade de se reduzir o tempo em sala de aula, favorecendo o
trabalho individual e em grupo dos estudantes. (CNE/CES 1362/2002).
Assim sendo, a Modelagem Matemática pode ser um caminho possível para a
consideração de problemas multidisciplinares. Alterando a ideia de currículo, considerando a
grade curricular em uma concepção mais ampla, formada por um conjunto de experiências de
aprendizagem, incorporadas pelo estudante, ao longo de sua formação, com base em três
elementos fundamentais:
1. Conjunto de experiências de aprendizagem
2. Estudante participativo
3. Programa de estudos coerentemente integrado.
Deste modo reiteramos aqui nosso objetivo de investigar se a Modelagem Matemática,
como um processo de ensino, pode ser um facilitador do ensino de probabilidade para
engenharias.
Para definir a Modelagem Matemática nos apoiaremos nos trabalhos de Bassanezi
(2004), Biembengut e Hein (2008), Almeida, Silva e Vertuan (2012), Jacobini (2001),
33
Wodewotzki (2001), dentre outros, sendo os três primeiros responsáveis pela organização do
modelo utilizado neste trabalho por terem estudos voltados ao Ensino Superior, que passamos
a apresentar no que se segue.
2.2.1 A ideia de Modelo Matemático
Nosso interesse em buscar definições de Modelos Matemáticos se baseia em considerar
a Modelagem Matemática como o ato de ensinar a partir de modelos.
Bassanezi (2004) considera modelo um termo ambíguo que pode ser interpretado como
Modelo Objeto, que representa um objeto ou fato concreto com caraterísticas de ser estável e
ter variáveis homogêneas. Enquanto que o Modelo Teórico é aquele vinculado a uma teoria
geral existente.
O autor considera Modelo Matemático um conjunto de símbolos e relações matemáticas
que representam de alguma forma o objeto estudado (2004, p. 20) e define sua importância em
ter uma linguagem concisa que expressa ideias de uma maneira clara e sem ambiguidades, além
de ter um arsenal de teoremas que podem propiciar o uso de métodos computacionais para obter
soluções matemáticas. Segundo o autor eles podem ser classificados em:
1. Linear ou não linear;
2. Estático (Exemplo: representação de um objeto geométrico) ou dinâmico (Exemplo:
simulação de crescimento populacional);
3. Educacional ou Aplicativo;
Neste trabalho o modelo abordado será educacional, ou seja, não representaremos a
realidade com o grau de fidelidade que é adequado para se fazer previsões. As vantagens deste
tipo de trabalho é que ele favorece a obtenção de ideias para a criação de modelos mais
adequados ao contexto analisado. Não iremos abordar modelos aplicativos, pois os mesmos
envolvem um número grande de inter-relações e variáveis, sendo necessários métodos
computacionais para o trabalho.
Para Almeida, Silva e Vertuan (2012, p. 13) um modelo matemático é, portanto, uma
representação simplificada da realidade sob a ótica daqueles que a investigam. Para os autores
a formulação de um modelo não tem um fim em si só, mas visa fomentar a solução de um
34
problema. Este modelo pode ser descrito em diferentes sistemas de representação, como
fórmulas, tabelas, gráficos e etc.
Para Biembengut e Hein (2000) um Modelo Matemático é um conjunto de símbolos e
relações matemáticas que procura traduzir, de alguma forma, um fenômeno em questão ou
problema de situação real, com uma visão simplificada de um determinado fenômeno
pesquisado.
Podemos perceber que os seis autores têm visões próximas do significado de um Modelo
Matemático educativo: adequado para o uso em sala de aula. Entre os aspectos comuns, convém
ressaltar a simplificação do modelo, que apesar da pretensão de retratar a realidade, não é o que
ocorre, principalmente por conta da escolha das variáveis, em acordo com a maturidade dos
alunos. Por se tratar de uma pesquisa desenvolvida para uma disciplina que presta serviço para
o curso de Engenharia, procuramos trabalhar com o mais próximo da realidade possível, mas
não com modelos aplicados.
2.2.2 Algumas abordagens sobre a Modelagem Matemática
Segundo Niss, Blum e Galbraith, (2007 apud Beltrão 2009) o papel desempenhado pela
Modelagem Matemática no ensino se divide em duas categorias:
1. Aplicações e modelos para a aprendizagem da Matemática;
2. Aprender Matemática a fim de desenvolver competência na aplicação Matemática.
Na primeira categoria, o argumento que valida sua utilização se concentra em fazer com
que os alunos percebam que a Matemática está realmente sendo utilizada em situações fora da
sala de aula, tendo como aspecto motivador a construção de uma imagem em torno do tema
estudado.
A segunda categoria concentra-se em capacitar os alunos para usarem a Matemática em
situações fora da própria Matemática. Segundo a autora, de tempos em tempos, se aflora uma
percepção que se os alunos souberem Matemática suficiente, serão capazes de aplicá-la, mas
hoje, há amplas provas, da prática e da investigação, de que não há uma transferência
automática, ou seja, estudar Matemática, sem noções de aplicações, não garante sua
aplicabilidade. Logo, se quisermos garantir que os alunos saibam aplicar seus conhecimentos,
devemos incluir no currículo aspectos que validem as aplicações e a modelagem.
35
Esta pesquisa está voltada à primeira categoria exposta: Aplicações e modelos para a
aprendizagem da Distribuição de Probabilidade Exponencial, já que nos apoiaremos em
problemas da prática profissional para validação do ensino. Agora apresentamos aspectos de
Modelagem Matemática adotadas neste trabalho.
Para Bassanezi (2004)
a modelagem matemática é um processo dinâmico utilizado para a obtenção e
validação de modelos matemáticos. É uma forma de abstração e generalização
com a finalidade de previsão de tendências. A modelagem consiste
essencialmente na arte de transformar situações da realidade em problemas
matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual
(BASSANEZI, 2004, p. 24).
O autor ainda reflete sobre a modelagem no ensino, em que para ele o mais importante
não é chegar a um modelo completo e bem-sucedido, e sim caminhar seguindo etapas nas quais
o conteúdo matemático é sistematizado e aplicado, de acordo com a necessidade do fenômeno
estudado.
Podemos perceber que para Bassanezi (2004), o trabalho com a modelagem ocorre de
maneira dinâmica, de acordo com as necessidades do fenômeno estudado. Neste aspecto,
algumas dificuldades de trabalho podem ser consideradas, como a repetição de alguns conceitos
em negligência de outros (BORGES, NEHRING, 2008), por serem “menos aplicáveis”, além
de depender de uma base matemática consistente do professor, que deve conhecer, de forma
profunda, os conteúdos que podem ser necessários para a formulação do modelo.
Uma segunda definição de Modelagem Matemática que se ajusta aos objetivos desta
pesquisa é a de Almeida, Silva e Vertuan (2012) que afirmam que:
uma atividade de Modelagem Matemática tem em uma situação problemática
a sua origem e tem como característica essencial a possibilidade de abarcar a
cotidianidade ou a relação com aspectos externos à Matemática,
caracterizando-se como um conjunto de procedimentos mediante o qual se
definem estratégias de ação do sujeito em relação a um problema.
(ALMEIDA, SILVA, VERTUAN, 2012, p. 15).
Percebemos que os autores definem, na verdade, uma atividade que envolve a
Modelagem Matemática, já que para os mesmos, o modelo matemático é um roteiro para a
solução de um problema, enquanto que a Modelagem Matemática é a atividade que busca por
essa solução.
O conjunto de procedimentos para a obtenção de um modelo é a própria configuração
de uma atividade de modelagem que envolve a interação que, em modelagem, significa o
36
primeiro contato com a situação-problema. Na matematização, a situação-problema é
transformada da língua natural para a linguagem matemática e na resolução, o modelo
matemático é construído e é realizada a interpretação de resultados e sua validação.
As ideias de Almeida, Silva e Vertuan nos parecem adequadas para utilização em sala
de aula, já que permitem uma maior flexibilidade no que é considerada uma situação real.
Entendemos que em um processo de ensino, algumas variáveis, não raro, são omitidas e que
um modelo simplificado, pode ser um facilitador para a construção de um modelo mais próximo
da realidade, com variáveis bem definidas.
Ainda considerando as definições de Modelagem Matemática, entendemos como
próxima as discutidas anteriormente, a definição de Biembengut e Hein (2000, p. 12) que
afirmam que a modelagem matemática é o processo que envolve a obtenção de um modelo.
Para os autores, o modelo utilizado para a Modelagem Matemática pode ficar limitado ao
conhecimento matemático dos alunos que farão uso deste. Eles ainda ressaltam que o valor de
um modelo não está restrito à sofisticação da matemática utilizada.
Em cursos regulares Biembengut e Hein (2000) denominam como modelação, o método
que utiliza a Modelagem Matemática em um programa de curso regular, ela norteia-se por
desenvolver o conteúdo programático e orientar o aluno na realização do seu próprio modelo-
modelagem (BIEMBENGUT, HEIN, 2000, p. 18). No caso o tema será transformado em
modelo matemático, e espera-se que este seja abrangente o suficiente para abarcar o conteúdo
do período sem desestimular os alunos.
Bassanezi (2004) trata da modelação matemática como modelagem em educação, na
qual a validação de um modelo pode não ser uma etapa prioritária (BASSANEZI, 2004, p.38).
Neste método o fenômeno modelado é pano de fundo para os conteúdos matemáticos a serem
estudados.
2.2.3 Cursos de serviço
A presente pesquisa é desenvolvida em um curso de Engenharia de Produção Química,
estando a matemática a serviço do curso. Para Barbosa (2004), a matemática desenvolvida em
cursos de serviço toma diversas direções, uma delas discute os conteúdos que integram os
programas de outras disciplinas desenvolvidas no curso, enquanto outra se refere às condições
oferecidas para que os alunos desenvolvam atividades específicas no contexto geral de cada
disciplina.
37
Neste molde, a disciplina de Estatística se enquadra nos cursos de Engenharia, como
Matemática aplicada a serviço de outros cursos que, segundo Beltrão (2009) deve ser trabalhada
de forma conjunta a outras disciplinas, podendo desempenhar um papel significativo para a
aprendizagem, com os estudantes em papel de sujeitos ativos em sua formação acadêmica.
Nomura (2008) destaca dois estudos, ao discutir as disciplinas de serviço, neste caso a
Álgebra Linear em cursos de Engenharia Elétrica, Baldino e Cabral (2004) e Howson et al.
(1987) ressaltam, entre outros tópicos que os professores de matemática ao lecionarem
disciplinas em cursos de Engenharia não têm uma visão de como a disciplina pode ser aplicada,
tornando os conceitos expostos menos úteis. Ao mesmo tempo, consideram que o ensino da
Matemática, em cursos para não matemáticos, hoje é um fato, e, portanto, uma necessidade
social.
Entre as razões para o estudo da Matemática como disciplina em serviço, destacamos o
grande número de matemáticos lecionando em cursos para não matemáticos, como por
exemplo, Engenharias, Biologia, Ciência da Computação, Economia, Administração, Sistemas
de Informação, etc., além da diversidade de aplicações, capacidade de modelação e por
consequência o impacto destes temas no cotidiano destes cursos.
Em disciplinas de Estatística podemos perceber que a falta de percepção de aplicações
inerentes ao curso, propicia que professores ministrem a disciplina de forma excessivamente
técnica. Segundo Jacobini e Wodewotzki (2009, p. 2) “tradicionalmente, os cursos de
Estatística têm sido ministrados com grande ênfase em técnicas e com poucas aplicações
relacionadas com o dia a dia dos estudantes. O conteúdo programático é desenvolvido através
de uma sequência-padrão[...]. O que em nossa concepção vai na contramão do que se espera
da disciplina quando inserida em cursos de Engenharia.
Com base no exposto concordamos com Nomura (2008) em sua afirmação de que:
Dessa forma, a Matemática como curso de serviço representa uma variedade
interessante e ainda mal compreendida entre as instituições de ensino. Cabe
aos educadores matemáticos, a compreensão dessas relações e a integração de
um trabalho conjunto entre profissionais de diferentes perfis. (NOMURA,
2008, p. 20).
Para Trejo, Camarena e Trejo (2013) o atual desafio das universidades, é formar
engenheiros competitivos em nível nacional e internacional, criativos, inovadores e
competentes para solucionar problemas sobre sua área de conhecimento. O que demanda novas
formas de ensinar a matemática que leve em consideração o estudante como um sujeito ativo
em sua formação.
38
Em consequência desta necessidade as autoras propõem a metodologia (MCC) “A
Matemática no Contexto das Ciências” (CAMARENA, 2000), a qual traz uma proposta
metodológica para o ensino da matemática em carreiras de engenharia, que segundo Camarena
e Flores (2015) é concebida com um sistema de aprendizagem que se apresenta em cinco fases:
fase cognitiva, fase didática, fase curricular, fase epistemológica e fase docente.
Neste trabalho o estudante assume um protagonismo em seu processo de ensino e
aprendizagem, enquanto o professor se converte em um orientador, que busca facilitar a
apropriação de conhecimento.
Segundo Trejo, Camarena e Trejo (2013) trabalhar com a matemática contextualizada
não é uma tarefa fácil nem para o estudante nem para o professor, pois se faz necessário integrar
conhecimentos matemáticos, com outras áreas do conhecimento.
Nesta ótica, coincidem com a formação do engenheiro, capacidades para o manejo de
informações técnicas e estatísticas, além de desenvolver modelos que simulem o
comportamento do mundo físico, trabalhando com projetos multidisciplinares.
Esta teoria está fundamentada em três paradigmas: 1) a Matemática é uma ferramenta
de apoio à matéria formativa; 2) ela tem uma função específica no nível superior; 3) os
conhecimentos nascem integrados. Na MCC utiliza-se como ferramenta a Modelagem
Matemática por meio da transposição contextualizada, na qual um conhecimento teórico é
modificado de saber ensinado a saber aplicado (CAMARENA, FLORES, 2015, p. 4).
Neste trabalho entendemos que a disciplina Estatística, que tem em sua ementa o
conteúdo de probabilidade presta serviço a cursos como o de Engenharia, com um objetivo
específico indicado pelo programa de curso que nem sempre é compreendido pelo professor
com formação em Matemática.
2.2.4 A Modelagem Matemática no estudo da Probabilidade
Em aspectos da formação profissional, a disciplina de Estatística está presente na
maioria dos cursos, em parte, por conta das diversas aplicações em outras áreas. Esta disciplina
habitualmente é dividida em Estatística Descritiva, Teoria das Probabilidades e Inferência
Estatística. Sendo apresentada de forma encadeada no curso, seguindo o esquema apresentado
(Figura 1), conforme a ementa da disciplina de Estatística para Engenharia de uma instituição
do Ensino Superior do Estado de São Paulo, na qual foi aplicada a atividade deste trabalho.
39
Figura 1:Apresentação dos conteúdos em um curso básico de Estatística para Engenharias de uma
Faculdade Particular do Estado de São Paulo
. Fonte: Pesquisador
Nossa intenção neste trabalho é nos dedicarmos à análise de aspectos do ensino da
Teoria das Probabilidades, por julgarmos que, apesar da grande aplicabilidade dos temas, não
raro os livros didáticos trazem o assunto de forma sistêmica, sem possibilidade de abertura à
interação com contextos de aplicação.
Preocupa-nos, por exemplo, o fato de que a disciplina Estatística seja trabalhada em
cursos superiores somente a partir de definições e exercícios, como afirmam Jacobini e
Wodewotzki (2001).
Tradicionalmente, os cursos de Estatística têm sido ministrados com grande
ênfase em técnicas e com poucas aplicações relacionadas com o dia-a-dia dos
estudantes. O conteúdo programático é desenvolvido através de uma
sequência-padrão, contemplando os tópicos: estatística descritiva, correlação,
regressão linear, noções de probabilidade, distribuições de probabilidade e,
em alguns casos, distribuições amostrais e inferência. A abrangência e a
quantidade de informações variam em função da carga horária de cada um
desses cursos e, como na maioria das vezes ela não é grande, em muitos
programas apenas a estatística descritiva é ensinada. (JACOBINI,
WODEWOTZKI, 2001, p. 3).
40
Por considerarmos a Teoria das Probabilidades e o estudo das variáveis aleatórias,
imprescindível para um curso de Engenharia, entendemos que metodologias que estejam
focadas na aplicação podem ter papel motivador na relação ensino – aprendizagem. Nesta
perspectiva acreditamos ser desmotivador o ensino destes tópicos como se fosse uma disciplina
da Matemática Pura, utilizando dados inventados enquanto que as aplicações da mesma
crescem em diversas áreas de engenharias, biológicas, entre outras.
É neste aspecto, que entendemos que a Modelagem Matemática pode ter um papel
potenciador no estudo de Probabilidade e Variáveis Aleatórias. Por esse princípio, reforçamos
a proposta desta pesquisa, que é a construção e a aplicação de uma sequência para o ensino da
Distribuição Exponencial, com base na Modelagem Matemática, a partir de um estudo de caso,
focado na análise e comportamento de filas (mercado, fast-food, bancos, etc.), a ser trabalhado
com alunos que cursam Engenharia de Produção Química, com o uso de ferramentas
estatísticas, estudadas até então, por exemplo, tabelas de frequência e Esperança Matemática.
Neste estudo, o processo de modelagem constará com as seguintes etapas, adaptadas por
nós, com base no apresentado até aqui:
1. Apresentação de um problema inicial indicado pelo professor.
2. Interação do problema por parte dos alunos, com identificação dos parâmetros estatísticos
e por consequência das variáveis.
3. Obtenção do modelo matemático e sua formulação, nesta etapa podem ocorrer
modificações no modelo.
4. Resolução do problema inicial com interpretação dos resultados.
5. Validação do modelo matemático em outros problemas retirados de livros didáticos
previstos no plano de ensino.
6. Institucionalização do conceito, com eleição de modelos corretos, e sua formalização.
Para nós, um ponto a ser observado, é como os alunos identificam a variável na situação-
problema, o que os levará ou não a reconhecer o modelo de variável aleatória em questão, e
suas características. Logo, identificamos o segundo e o terceiro passos, como essenciais em um
processo de Modelagem Matemática, já que são os que permitem a identificação da variável no
contexto escolhido e o desenvolvimento matemático do modelo com discussões teóricas.
Neste trabalho, temos interesse que o processo de Modelagem Matemática, estabeleça-
se no currículo do curso, evitando o que segundo Borges e Nehring (2008) leva a uma repetição
41
demasiada de determinados conteúdos em detrimento de outros. Fato discutido por Biembengut
e Hein (2000) quando afirmam que:
em cursos regulares, nos quais há um programa a ser cumprido [...] o processo
de modelagem precisa sofrer algumas alterações, levando em consideração
principalmente o grau de escolaridade dos alunos, o tempo disponível que
terão para trabalho extraclasse, o programa a ser cumprido e o estágio em que
o professor se encontra, seja em relação ao conhecimento da modelagem, seja
no apoio por parte da comunidade escolar para implantar mudanças.
(BIEMBENGUT, HEIN, 2000, p. 18).
Desta maneira, acreditamos que a proposta de Modelagem Matemática apresentada
pode, de fato, ser parte de uma disciplina regular de Estatística voltada para as Engenharias, de
maneira a tornar o ensino aplicável e prático, sem que se ignore o conteúdo apresentado na
ementa de curso.
Sendo assim, tratamos nesta pesquisa de uma aplicação do processo de Modelagem
Matemática em sua forma proposta por Bassanezi (2004), destacando aspectos da modelação
matemática, na qual a validação de um modelo não é a etapa prioritária, sendo mais importante
o processo utilizado, a análise crítica e sua inserção em contexto. Para o autor, o fenômeno
modelado deve servir de pano de fundo ou motivação para o aprendizado das técnicas e
conteúdos da própria matemática (p. 38).
Nesta pesquisa, entendemos a Distribuição de Probabilidade Exponencial como tema da
Matemática em uma disciplina regular de Estatística voltada para Engenharias.
Cabe ressaltar que nossa preocupação está direcionada para a aplicação do método em
um curso regular, que respeite uma ementa estabelecida e pouco flexível, por isso a necessidade
de entender a Modelagem Matemática como metodologia oriunda da Matemática Aplicada,
mas que com as devidas ressalvas pode ser proposta em sala de aula.
2.3 OBJETIVO, JUSTIFICATIVA E RELEVÂNCIA DO ESTUDO
Ao longo do levantamento bibliográfico realizado, para esta pesquisa, encontramos um
número reduzido de trabalhos relacionados ao ensino e à aprendizagem de variáveis aleatórias
no Ensino Superior, estes trabalhos se tornam mais escassos, quando tratamos das variáveis
aleatórias e suas aplicações.
Desse modo, entendemos, que este estudo se diferencia das pesquisas encontradas, ao
tratar de uma aplicação de variável aleatória, em um modelo de distribuição de probabilidade,
no caso a Distribuição Exponencial, sendo este modelo desenvolvido por meio de uma
42
experimentação, possível de ser realizada por alunos, com materiais simples, no caso, lápis,
papel e cronômetro.
O trabalho com os dados seguirá os passos da Modelagem Matemática, que serão
discutidos no próximo capítulo em paralelo a fundamentação teórica, sendo esta a orientadora
da metodologia envolvida no estudo. Podemos afirmar que a metodologia foi desenvolvida em
três etapas, sendo uma fase exploratória, com o levantamento das aplicações, uma fase piloto e
sua fase final, estabelecendo um processo de Modelagem Matemática.
Desta forma, definimos o objetivo desta pesquisa que é investigar se a Modelagem
Matemática pode ser um facilitador do ensino da Distribuição de Probabilidade
Exponencial para Engenharias. Tendo como ferramentas para isto:
1. uma atividade em quatro etapas, que foi desenvolvida, com alunos do 2° ano de
Engenharia de Produção Química de uma instituição particular de Ensino Superior do
Estado de São Paulo;
2. a Teoria das Situações Didáticas (TSD), como ferramenta de análise dos resultados da
atividade.
Sendo que este objetivo, em nossa concepção, adequa-se a seguinte questão de pesquisa:
Será a Modelagem Matemática, uma metodologia de ensino favorável à aprendizagem da
Distribuição de Probabilidade Exponencial, em um curso de Engenharia?
Estamos interessados em investigar se esta metodologia se adapta à ementa do curso em
questão, ou seja, considerando a ordem em que os elementos da disciplina são apresentados.
2.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE O CAPÍTULO
Neste capítulo apresentamos a problemática deste trabalho, sendo esta composta pela
sua revisão bibliográfica, a caracterização da Modelagem Matemática, que será posteriormente
utilizada na construção da metodologia de pesquisa, e a especificidade, justificativa e relevância
do estudo.
Sobre a revisão destacamos a dificuldade em encontrar pesquisas ou artigos, que
abordem o ensino e a aprendizagem de variáveis aleatórias, em nível superior, aplicado a uma
determinada profissão, além do esforço destas pesquisas encontradas, em utilizar softwares que
permitam ao aluno de alguma forma a aplicação, via simulação de dados, ou visualização dos
conceitos expostos.
43
Dentre estes trabalhos, destacamos o de Prodomou (2014) e o de Miguel (2005), o
primeiro trabalhando com a simulação de dados de temperatura com alunos de 14 a 15 anos, a
partir do software Tinkerplots 2, na construção de modelos probabilísticos, por meio da
Modelagem Matemática de fenômenos reais, e o segundo a Distribuição de Poisson a partir de
um processo de experimentação, desenvolvido no laboratório de Física Nuclear e do estudo
descrito dos dados coletados, por meio de aplicativos.
Este destaque ocorre, por ambos os trabalhos utilizarem a Modelagem Matemática, no
desenvolvimento de tópicos da Teoria das Probabilidades, metodologia esta que foi
caracterizada neste capítulo, com base nos estudos de Bassanezi (2004), Biembengut e Hein
(2008), Almeida, Silva e Vertuan (2012).
Por último, estabelecemos a especificidade do trabalho que se relaciona, principalmente,
com o objeto matemático em estudo, além do objetivo e da questão de pesquisa, itens, que
orientarão, nosso olhar para as análise e considerações.
No próximo capítulo, serão apresentados os fundamentos teóricos, com base na Teoria
das Situações Didáticas (TSD), proposta por Brousseau (2008).
44
CAPÍTULO 3
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
O presente trabalho será fundamentado na Teoria das Situações Didáticas, desenvolvida
por Guy Brousseau (2008) e empregada no campo da Educação Matemática. Entendemos que
a teoria citada, em conjunto com o processo de Modelagem Matemática, nos oferece as
ferramentas de análise necessárias, para termos a questão de pesquisa respondida, delimitando
por consequência a abrangência e limitações da metodologia proposta no ensino de Estatística
como disciplina em serviço.
Para Brousseu (2008) uma situação é o modelo de interação com um meio específico
que determina um certo conhecimento (p. 19). Entendemos aqui por meio, o conjunto de
relações entre professor-aluno, bem como o objeto de interação destas relações, no caso a
própria situação. Neste trabalho, propomos na seguinte ordem, primeiro uma quebra de contrato
didático e na sequência uma situação didática que, por consequência, congrega as situações
adidáticas, observando os processos de ação, formulação, validação e por fim as situações de
institucionalização.
3.1 A NOÇÃO DE CONTRATO DIDÁTICO
Segundo Silva (2008), a relação professor-aluno está subordinada a muitas regras e
convenções, estas em geral não explícitas e sim implícitas, e se revelam quando há transgressão
de alguma delas, para o autor o conjunto das cláusulas que estabelecem as bases das relações
que os professores e os alunos mantêm com o saber constitui o chamado contrato didático. (p.
49).
Brousseau (2008) afirma que o contrato didático foi pensado como uma extensão ao
ensino na educação com base no contrato pedagógico definido anteriormente por Filloux
(1974). Para Brousseau,
O professor não pode se comprometer a “fazer o aluno entender” um
conhecimento e, muito menos, fazer com que este se produza: ninguém sabe
como “se faz” uma matemática nova e, menos ainda, como se pode “fazer com
que seja feita” de maneira acertada. De forma que a relação didática não pode
formalmente gerar um contrato. As cláusulas não podem ser escritas, as
sanções em caso de quebra não podem ser previstas etc. Contudo a ilusão de
que existe um contrato é indispensável para que a relação aconteça e seja,
eventualmente, bem-sucedida. (BROUSSEAU, 2008, p. 74).
45
De forma que entendemos que toda sala de aula, escola, ou mesmo relações de
orientação, estão pautadas por algum tipo de contrato, em que os alunos imaginam o que se
espera deles de acordo com o que o professor imagina que seja parte/obrigação dos alunos.
Estas cláusulas em geral não escritas só se tornam aparentes quando há uma quebra deste
contrato, seja por parte do professor, com mudança de postura ou modelo de atividade, seja por
parte do aluno, com mudança de postura ou transgressão, conforme citado anteriormente.
A elaboração de um contrato que vise que um receptor adquira determinado saber passa
por condições que garantem sua legitimidade. Para Brousseau (2008) é uma ação em que o
saber comunicado não é uma elaboração do professor, e sim uma criação de outros, identificado
e determinado por um terceiro responsável.
Este contrato permite modificação de resposta por parte dos alunos, e não um mero
registro de informações. Também permite que o aluno descarte as circunstâncias do processo
de aprendizagem, guardando o saber em sua forma de utilização. Esta ação termina quando se
identifica que aquele que recebeu o saber é capaz de tomar decisões por si mesmo.
Como já citado, o contrato didático se manifesta principalmente quando ocorre sua
ruptura ou transgressão. Esse procedimento, segundo Silva (2008), é indispensável para o
progresso do saber. Ele ocorre, por exemplo, quando um professor acostumado a lecionar de
maneira expositiva, introduz um novo conhecimento por meio de fichas de atividades, seguida
de institucionalização. A reação comum dos alunos, neste momento, é solicitar que o professor
explique a teoria antes de iniciar a ficha. A quebra de contrato ocorre justamente na recusa do
professor a este procedimento.
3.2 TIPOLOGIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICAS
Antes de definirmos uma situação didática entenderemos de acordo com Brousseau
(2008), o significado de uma situação. Para o autor, uma situação é um modelo de interação de
um sujeito com um meio determinado (p. 21), sendo o meio um sistema autônomo ao sujeito. O
termo situações didáticas se reserva para os modelos que descrevem as atividades do professor
e do aluno. (p.21).
As situações adidáticas são classificadas em situações de ação, situações de formulação
e situações de validação. Para Freitas (2008), uma situação de ação ocorre quando o aluno se
encontra ativamente empenhado na busca de solução de um problema, realiza determinadas
ações mais imediatas, que resultam na produção de um conhecimento de natureza mais
operacional (p. 95). Neste caso, para Brousseau (2008), o sujeito atua diretamente nos estados
46
do meio antagonista e relaciona informações do meio com suas decisões, modificando seus
conhecimentos e, portanto, realizando um processo de aprendizagem.
A situação de formulação ocorre quando o aluno já utiliza modelos ou esquemas teóricos
explícitos, de maneira mais elaborada e com vocabulário adequado (FREITAS, 2008). Segundo
Brousseau (2008) o meio que exige do sujeito a formulação, deve envolver, de maneira efetiva
ou fictícia outro sujeito, de modo a estabelecer a comunicação da informação. Para o autor a
formulação dos conhecimentos envolve repertórios linguísticos (sintaxe e vocabulário)
variados. A aquisição desses repertórios acompanha a dos conhecimentos enunciados por eles,
mas ambos são processos diferentes. (p. 29-30).
A situação de validação é mais bem entendida segundo a concepção que os esquemas
de ação e de formulação implicam processos de correção, seja empírica ou apoiada em
aspectos culturais, para assegurar a pertinência, a adequação, a adaptação ou a conveniência
dos conhecimentos mobilizados (BROUSSEAU, 2008, p. 30). Desta maneira entendemos que
as situações de validação estão associadas às situações de ação e formulação, sendo que nesta,
explicações, demonstrações e provas podem ser utilizadas. Na validação, os alunos tentam
convencer os interlocutores da veracidade das afirmações, utilizando uma linguagem
matemática apropriada. (TEIXEIRA, PASSOS, 2013, p. 166).
Os três modelos de situações citadas acima podem ser entendidas como situações
adidáticas (FREITAS, 2008), caracterizadas, essencialmente, segundo o autor, pelo fato de
representar determinados momentos do processo de aprendizagem nos quais o aluno trabalha
de maneira independente, não sofrendo nenhum tipo de controle direto do professor relativo
ao conteúdo matemático em jogo (p. 84), sendo que as mesmas ocorrem em um processo de
resolução que envolve uma ou mais situações com intenção didática.
Segundo Brousseau (2008) essa situação – ou problema – escolhida pelo professor o
envolve em um jogo com o sistema de interações do aluno e seu meio. Esse jogo mais amplo é
a situação didática (p. 36). Sendo que as três situações (ação, formulação e validação) têm
como pressuposto, estarem envolvidas em uma situação de devolução, descrita como o ato pelo
qual o professor cede ao aluno uma parte da responsabilidade pela aprendizagem, incluindo-
o no jogo e assumindo os riscos por tal ato. (TEIXEIRA, PASSOS, 2013, p. 165).
Por último, temos a situação de institucionalização do saber matemático em jogo, na
qual o professor retoma parte da responsabilidade cedida na devolução para si, e revela sua
intenção. É o momento em que algumas produções são descartadas e se define o objeto de
estudo por meio de generalizações e formalização. É neste momento que o professor explicita
o seu papel e reconhece o acontecimento da aprendizagem. (TEIXEIRA, PASSOS, 2013).
47
Brousseau (2008) considera que a organização, ação, formulação, validação e
institucionalização, é uma ordem razoável para apropriação de um saber matemático, indicando
que as situações possibilitam a progressão do aluno, de maneira que um novo conhecimento
seja fruto de uma sucessão de questionamentos e respostas em um processo que chamou de
dialética.
3.3 AS ESTRUTURAS DO MEIO DIDÁTICO (MILIEU)
Ao considerarmos uma situação didática, não podemos entender que as relações sejam
diretas entre professor e aluno, sem considerar o todo, ou seja, o que acontece em torno de todos
os participantes do processo, como os sujeitos se colocam e quais seus papéis no jogo. É neste
meio de diversas interações que o aluno atua de forma autônoma pelo processo das situações
de ação, formulação e validação, todas considerando a situação de devolução, esta ocorrendo
diretamente com o meio.
Figura 2: Relação saber – professor – aluno – meio
Fonte: BROUSSEAU, 2008, p. 54
Nesta relação Brousseau (2008) afirma que o professor pode ser identificado em duas
posições, como o professor que prepara aula, e como o professor que leciona, já o aluno pode
estar integrado em cinco meios diversos de integração, sendo eles:
1. Meio Material - ainda que sem um objeto concreto, indica o momento do preparo da aula,
considerando as interações de um sujeito simbólico. Este meio inclui as regras que determinam
o sucesso ou o fracasso na aprendizagem.
2. Meio Objetivo - no qual se posiciona o aluno atuante, ou o sujeito que atua, este meio é
mobilizado pelo meio efetivo ou pelo meio fictício.
3. Meio efetivo - mobiliza o meio objetivo em situações de ação, sobre as quais o aluno atua.
Professor Aluno Meio
Saber
Ação Didática
Informação
48
4. Meio fictício - envolve o funcionamento ou transformações que o aluno imagina sobre o
meio para atuar, no meio efetivo e no meio fictício, nesse caso as situações de formulação ou
comprovação são consideradas situações de ação.
5. Meio de referência - no qual o sujeito está em aprendizagem corrigindo suas ações e
antecipando seus efeitos.
Os meios didáticos ocorrem quando o professor reflete sobre as situações didáticas e se
coloca como o professor que prepara aulas, revisando suas decisões, analisando suas aulas e
estudando o comportamento do meio.
3.4 A MODELAGEM MATEMÁTICA E A TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICAS
Neste item, temos como intenção, compor a elaboração da atividade e a grade de análise
que é utilizada nesta pesquisa, relacionando a tipologia das situações didáticas da Teoria das
Situações Didáticas com as etapas do processo de Modelagem Matemática, conforme descritas
em Bassanezi (2004) e adaptadas ao nosso estudo (p.19), com auxílio do trabalho de Dias e
Santo (2014) que tratam do tema em seu artigo: uma análise da modelagem matemática como
uma situação didática, com interesse focado na Etnomatemática. Para eles,
as aulas com o suporte da Modelagem Matemática merece especial atenção
por atribuir ao aluno a responsabilidade (parcial ou total) do processo de
aprendizagem partindo de uma situação-problema presente em seu cotidiano
e que nesse caminhar em busca da solução mais plausível à dúvida
apresentada, o conhecimento tácito pode servir como ferramenta nessa
construção. Para tanto, ressaltamos a importância do meio em que este
discente convive, as relações interpessoais desse ambiente e suas experiências
acumuladas com relação às atividades culturais praticadas pelo grupo ao qual
esse aluno pertence. (DIAS e SANTO, 2014, p. 356).
Tal consideração dos autores condiz com a situação de devolução necessária para o
desenvolvimento de uma situação adidática, na Teoria das Situações Didáticas (TSD). De fato,
ao tratarmos a Modelagem Matemática nesta perspectiva, espera-se dos alunos uma posição
próxima a de um pesquisador em constante interação com o meio antagonista, que lhe propõe
o desafio de assumir uma solução para um problema sem intervenção direta por parte do
professor.
A característica de uma situação adidática, se torna aparente nas etapas de modelagem,
na qual se espera independência por parte dos alunos, que realizam ações em seu meio, de
49
maneira a resolver um problema proposto. No quadro abaixo faremos um paralelo das fases da
Modelagem Matemática com a tipologia das situações didáticas:
Quadro 1: Fases da Modelagem Matemática x Tipologia das Situações Didáticas
Item Modelagem
Matemática
Tipologia das Situações
Didáticas
Meio
1. Experimentação Devolução Meio Material: momento do
preparo do material e interação
dos sujeitos com a atividade.
2. Abstração Ação/Formulação Meio objetivo/efetivo/fictício:
nesta etapa o aluno atua sobre o
material, mobilizando situações
de ação e imaginando
transformações e resultados sobre
o modelo a ser obtido.
3. Resolução Ação/Formulação Meio objetivo/fictício: Na
resolução da atividade o sujeito é
atuante e prevê as transformações
necessárias, bem como adapta seu
modelo a situação, imaginado
uma estratégia sobre o meio.
4. Validação Validação Meio de referência: Nesta etapa o
aluno está utilizando o modelo
obtido na resolução de atividades
e comparando suas conclusões
com as de outro sujeito,
estabelecendo desta maneira um
meio de referência.
5. Modificação Validação/Institucionalização Meio de referência: Nesta etapa o
meio de referência é proposto pelo
professor, que retoma a
responsabilidade, elegendo
modelos corretos e identificando
problemas em outros modelos. Fonte: Elaborado pelo pesquisador com base em Bassanezi (2004), Brousseau (2007) e Dias e Santo (2014)
No item 1 é relacionada a atividade de experimentação da Modelagem Matemática que
segundo Bassanezi (2004) é uma atividade essencialmente laboratorial de processo de obtenção
dos dados. Esta fase ocorre após a identificação de um problema não matemático, o qual se
pretende estudar ou pesquisar. Comparamos esta fase a situação de devolução da TSD, em que
o aluno assume responsabilidade sobre o problema e suas respostas, se preparando assim, para
um papel mais próximo de pesquisador. Entendemos que esta atividade ocorre no meio
50
material, pois é imprescindível a ela, o levantamento de dados, as pesquisas prévias e o
planejamento.
No item 2 a abstração é a fase que deve construir o modelo matemático. Nela ocorre a
seleção de variáveis, a adequação de linguagem para formulação de problemas teóricos, a
formulação de hipóteses e a simplificação do problema de estudo, já que problemas da realidade
em geral são muito complexos. Nestas atividades que compõem a abstração é possível verificar
a presença das situações de ação e formulação. A primeira, pelo fato de o aluno estar operando
em um meio em busca de uma resolução ou passos para ela, é o caso da seleção de variáveis e
a segunda, por meio da problematização e formulação de hipóteses. Nesta etapa, entendemos
que ambos os processos ocorrem de maneira quase simultânea por meio das devolutivas do
meio.
O meio, neste item, é caracterizado ora como objetivo, ora como efetivo; objetivo, pois
nele o aluno se posiciona como um sujeito atuante e efetivo, pois este meio só é mobilizado a
partir de situações de ação por parte de um sujeito. É notório que o meio se aproxima de ser
fictício, ou seja, um meio no qual se imagina transformações devido a ações. Essa aproximação
é mais aparente no próximo item.
No item 3, tratamos da fase da resolução encadeada às situações de ação e formulação.
É a fase de obtenção de um modelo em que as hipóteses levantadas são traduzidas em uma
linguagem matemática coerente. Nesta fase, identificamos situações de ação e de formulação,
dando privilégio à segunda, a qual o sujeito atua em um meio objetivo, que se transforma em
um meio fictício, em que o sujeito imagina seu funcionamento e transformações em busca da
solução.
O item 4 indica a fase de validação, que para Bassanezi (2004) é processo de aceitação
ou não do modelo proposto (p. 30). É a fase em que o modelo obtido, junto com as hipóteses
atribuídas a ele, são testados em confronto com os dados obtidos na experimentação. Para o
autor o modelo deve aderir, no mínimo, os dados que lhe deram origem, sendo que sua aceitação
depende de diversos fatores, ente eles o grau de aproximação desejado para as previsões. Em
relação à TSD, a situação de validação ocorre quando o aluno tenta convencer um interlocutor
da veracidade de suas afirmações. Na modelagem este interlocutor é o próprio meio, este de
referência, que traz os dados empíricos, além da comunidade, seja ela matemática ou escolar.
Em nossa análise, esta validação pode ocorrer em dois momentos, sendo o primeiro a
tentativa de aplicação do modelo e comparação do mesmo, com o de outros interlocutores,
sendo que neste momento o modelo é passível de modificação, e na situação de
institucionalização, a ser discutida no próximo parágrafo.
51
O item 5 foi, para nós, o de maior reflexão nesta pesquisa, pois consideramos primordial
sua adequação para um trabalho de Modelagem Matemática em sala de aula. Para Bassanezi
(2004), alguns fatores ligados ao problema original podem provocar a rejeição ou aceitação
dos modelos (p. 30). Temos como fato que toda teoria é passível de modificações, e que um
aprofundamento de uma teoria leva a uma reformulação de modelos. Entendemos que na TSD,
as situações de institucionalização, podem cumprir esse papel em sala de aula, já que neste
momento há uma socialização dos modelos, além do descarte de alguns que não atendem à
necessidade da teoria.
Este processo ocorre em um meio de referência, com parte da responsabilidade sobre a
aprendizagem retomada pelo professor. Em nossa interpretação a situação de
institucionalização pode facilitar na utilização da Modelagem Matemática em sala de aula, por
dar mecanismos de complemento à validação do modelo matemático obtido por meio dos
processos de abstração, resolução e generalização.
3.5 CONSIDERAÇÕES DO CAPÍTULO
Este capítulo teve como objetivo principal apresentar uma síntese da Teoria das
Situações Didáticas, relacionando-a com as etapas de um processo de Modelagem Matemática.
Estes estudos orientaram a elaboração e análise da atividade que é apresentada no próximo
capítulo.
Analisamos que a TSD, em um trabalho conjunto com a Modelagem Matemática, tem
potencial para direcionar o processo de maneira que o aluno desempenhe papel de pesquisador
se responsabilizando parcialmente por sua aprendizagem. Esta responsabilidade é devolvida ao
professor na etapa da institucionalização, que tem como papel instituir o conceito, elegendo e
modificando modelos.
A Modelagem Matemática foi norteadora da construção da sequência de atividade
aplicada nesta pesquisa, enquanto que a TSD dará suporte à análise dos resultados, sendo que
foi nossa intenção identificar quais saberes os alunos utilizaram e desenvolveram nesta
atividade.
No capítulo a seguir, apresentaremos a atividade composta de quatro etapas, cada uma
delas comentada e em seguida exporemos uma análise da atividade aplicada para dois grupos
de alunos, que cursam Engenharia de Produção Química em uma Faculdade Particular do
Estado de São Paulo.
52
CAPÍTULO 4
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Esta pesquisa qualitativa teve início junto às dúvidas dos alunos de uma instituição de
ensino particular do Estado de São Paulo, que procuravam seu professor de Estatística devido
a algumas necessidades de trabalho, em que por vezes deveriam ser aplicadas distribuições de
probabilidades e distribuições amostrais para um melhor entendimento do problema.
Estas questões foram trazidas em um primeiro momento, sem uma formatação
específica, de maneira oral e sem uma identificação correta das variáveis, o que deixava o
problema em questão com um aspecto provisório e sem solução. Conforme o problema era
discutido, as variáveis aleatórias eram determinadas e um comportamento de interesse
identificado, o que permitia a determinação de um modelo matemático para aquele problema.
Nestes casos, o enfoque era direcionado para modelos de distribuição de probabilidades, sendo
que alguns destes problemas eram compartilhados com a classe, de forma a expor o problema
aplicado que o colega trouxera, enquanto que em outros casos, a questão se restringia ao aluno
que a trazia devido a particularidades do caso.
Levando em consideração que para Miguel (2005) no campo da Educação Matemática,
os estudos sugerem novos caminhos e a sala de aula passa a ser um precioso laboratório de
experimentação, onde a ação, observação, análise e reflexão norteiam novas experiências,
embora sem controle científico. (p. 15). Passamos a considerar a possibilidade de abordar estas
questões em nosso trabalho, considerando que partíamos sempre de uma situação real, para
busca de um modelo matemático de acordo com a disciplina ministrada. Desta forma
entendemos que um processo de ensino que aproveite estas questões, deva ter o envolvimento
direto da Modelagem Matemática.
A construção dos procedimentos metodológicos deste trabalhado se deu em três etapas,
uma em fase inicial, outra antes do exame de qualificação e a terceira que gerou a
experimentação realizada, após o exame de qualificação com as devidas sugestões da banca.
O primeiro passo foi uma exploração, sistematizando os casos apresentados pelos alunos
nas aulas do pesquisador na disciplina de Estatística, o que foi feito por meio de uma proposta
de elaboração de um estudo de caso, por parte dos alunos, que deveria envolver uma empresa
real ou fictícia. Neste, um problema teria que ser identificado, com sua solução proposta com
53
base nos estudos que envolviam as distribuições de probabilidade e as distribuições amostrais,
realizados até o momento na disciplina.
Adotamos em nosso estudo, que
o estudo de caso é um estudo de natureza empírica que investiga um
determinado fenômeno, geralmente contemporâneo, dentro de um contexto
real de vida, quando as fronteiras entre o fenômeno e o contexto em que ele
se insere não são claramente definidas. Trata-se de uma análise aprofundada
de um ou mais objetos (casos), para que permita o seu amplo e detalhado
conhecimento (GIL, 1996; BERTO; NAKANO, 2000). Seu objetivo é
aprofundar o conhecimento acerca de um problema não suficientemente
definido (MATTAR, 1996), visando estimular a compreensão, sugerir
hipóteses e questões ou desenvolver a teoria. (MIGUEL, 2007, p. 219).
Esta atividade em que os alunos apresentaram os casos foi considerada por nós, como
um levantamento que nos deu indicações de aplicações dos conceitos estudados na disciplina
de Estatística que teriam papel motivador de aprendizagem e significado para o aluno, na forma
usual da palavra. Logo, o estudo de caso foi elaborado com a finalidade de ensino, o que o
limita segundo Yin (2010), pois:
Com a finalidade de ensino, o estudo de caso não necessita conter uma
interpretação completa ou exata dos eventos atuais. Ao contrário, a finalidade
do “caso de ensino” é estabelecer uma estrutura para discussão e debate entre
os estudantes [...]. Os estudos de caso de ensino não precisam se preocupar
com a apresentação rigorosa e justa dos dados empíricos; já os estudos de caso
de pesquisa precisam fazer exatamente isso. (YIN, 2010, p. 25).
O curso em questão é ministrado pelo pesquisador em uma faculdade particular do
Estado de São Paulo com 2 horas/aula por semana, no período de um ano, sendo, um curso de
80 horas anuais, para o 2º ano das Engenharias Civil, Química, Produção Química e Ambiental,
e apresenta-se com a grade curricular exposta no Quadro 2. No momento de aplicação da
proposta, os alunos haviam estudado modelos de distribuição de probabilidade discretos e
contínuos e estavam estudando as distribuições amostrais.
54
Quadro 2: Grade curricular do curso de Estatística em questão
Tópico Horas destinadas
Estatística Descritiva 12 horas
Probabilidade 8 horas
Distribuições de Probabilidade 14 horas
Distribuições amostrais 8 horas
Intervalos do Confiança 10 horas
Teste de Hipóteses 10 horas
Correlação e regressão Linear 10 horas
Controle Estatístico de Processos 8 horas
Fonte: Ementa de Curso de uma Instituição de Ensino particular do estado de São Paulo
Os trabalhos foram desenvolvidos em equipe, de três a cinco participantes, e tiveram
duração de 30 dias com 2 horas/aula destinadas a discutir o andamento do projeto em cada sala.
Os temas foram determinados pelos alunos, por meio da pesquisa sobre o problema escolhido.
A discussão ocorreu nos grupos, sem socialização em sala. Os alunos entregaram uma descrição
detalhada do problema, dados coletados (estes fictícios ou não) e uma análise estatística
simplificada. Os assuntos abordados estão elencados no quadro a seguir:
Quadro 3: Assuntos apresentados pelos alunos na aula de Estatística
Assunto Tópico da Estatística
1 Chapas de ferro defeituosas Estatística Descritiva
2 Análise da qualidade de água mineral Distribuição normal e
intervalos de confiança
3 Ultrapassagem do limite de Carboidratos em
suplemento alimentar
Distribuição Normal
4 Defeito em fivela de cinto de segurança Solução não estatística
5 Defeitos em lotes de parafuso, fora de um padrão
estabelecido
Distribuição Normal
6 Produção de escovas de cabelo Distribuição Binomial
Otimização na produção de um sal de sódio Distribuição Normal
8 Tratamento de efluentes Distribuição Normal
9 Rompimento de anéis de vedação Distribuição Binomial
10 Produção do diferencial do eixo traseiro de
caminhões
Distribuição Normal e Teste
de Hipóteses
11 Devolução de lote de óleo por ineficiência do
produto
Distribuição amostral da
média e distribuição Normal
55
12 Dosagem de antibiótico em ração animal Distribuição Normal
13 Margem de erros em fabricação de Bombonas Controle Estatístico de
Processos
14 Otimização de processo de galvanização
eletrolítica de arames na fabricação de arames de
aço.
Distribuição normal e
Intervalos de Confiança
15 Problemas gerencias Descrição de dados por meio
de gráficos
16 Força Física e o Desempenho no Trabalho Diagrama Ramos e folhas e
Histograma. Análise gráfica
17 Defeito de fabricação em aparelhos eletrônicos Distribuição Binomial
18 Estouro de pacote de salgadinhos Distribuição Normal
Obs. Estudo de caso real e
autorizado pela empresa
19 Recuperação de Vigas de Concreto Armado Distribuição Binomial,
Distribuição Normal e Teste
de Hipóteses
20 Fabricação de Frascos de Perfume Distribuição Normal
21 Filas em Lava rápido Teorias das Filas e
Distribuição de Poisson
22 Melhoria Operacional e Redução do Esforço
Físico
Estatística Descritiva
23 Central de Atendimento a Clientes Distribuição Normal
24 Graxas e Lubrificantes Controle Estatístico de
Processos Fonte: Dados coletados pelo pesquisador com os alunos em fase inicial da pesquisa.
Podemos notar que a maioria dos trabalhos utilizou a Distribuição Normal para análise,
alguns de maneira correta e outros de maneira incompleta. Acreditamos que o motivo para isso
foi a insistência em aula na importância desta distribuição. Também podemos notar que sete
trabalhos ( 2, 9, 12, 13, 18, 19) utilizaram conceitos ainda não abordados no curso, que foram
pesquisados em livros disponíveis na biblioteca da instituição ou sites da internet com destaque
para o portal action, que já havia sido citado em aula. Houve momentos de discussão do grupo
com o professor, em que alguns delineamentos foram feitos.
Sete trabalhos fugiram da proposta inicial utilizando a Estatística Descritiva (1, 14, 15,
20, 22) ou o Controle Estatístico de Processos (12, 24) para análise e um trabalho apresentou
uma solução não Estatística (4), estes trabalhos em sua maioria tiveram como base dados que
foram levados de empresas em que um dos integrantes do grupo trabalha. Dos trabalhos que
utilizaram dados reais, um teve autorização da empresa para ser citado e solução proposta
efetivada (18).
56
O segundo passo foi a elaboração de uma sequência de atividades, em que a partir dos
preceitos da Modelagem Matemática expostos até o momento, fosse desenvolvido um conceito
relacionado às variáveis aleatórias, e que fez parte desta pesquisa.
Dentre as aplicações possíveis escolhemos o estudo do comportamento de filas, por
meio da Distribuição Exponencial, no curso de Engenharia de Produção Química. Esta escolha
se deve ao fato de que o tema fila será abordado novamente pela disciplina de Processos
Operacionais, o que favorece a interdisciplinaridade do curso. O objeto matemático em questão
nos apresenta como de difícil aprendizagem, com base nos resultados de avaliações de outros
anos.
Foi realizado um piloto da atividade, reformulado após o exame de qualificação, dando
assim mais ênfase à ideia experimental que está por trás de um início de um trabalho que recorra
à Modelagem Matemática. Esta atividade foi trabalhada em dois encontros, o primeiro para
organizar a coleta de dados e o segundo com foco no tratamento, sua descrição é o que será
exposta no próximo tópico.
4.1 DESCRIÇÕES DA SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES
A sequência foi dividida em quatro partes, de acordo com os pressupostos
metodológicos da Modelagem Matemática, a primeira parte foi uma experimentação que os
alunos foram convidados a realizar antes da aula sobre Distribuição Exponencial. A segunda
parte foi a análise dos dados obtidos, com intenção de encontrar um modelo matemático que
melhor se adequasse para previsões. A terceira parte se deu com a aplicação do modelo nos
dados obtidos e a última parte se deu pela aplicação do modelo em exercícios de livros didáticos.
Para descrição desta sequência chamaremos as atividades em sequência de A1, A2, A3
e A4, as mesmas encontram-se no apêndice deste trabalho, além das atividades foram
apresentados slides, que auxiliaram os alunos no desenvolvimento das tarefas propostas.
A atividade foi aplicada a uma turma de alunos que cursam Engenharia da Produção
Química em uma faculdade particular do estado de São Paulo, os alunos foram divididos em
dois grupos, dois grupos foram convidados a participar desta pesquisa e serão chamados de
grupo GA e grupo GB. A atividade encontra-se nos apêndices deste trabalho na íntegra.
A atividade A1, trata-se de uma coleta de dados, que foi solicitada aos grupos, com o
objetivo de analisar como as distribuições de probabilidade podem ser utilizadas para entender
o tempo de espera em filas de atendimento, tal como, filas de supermercado, bancos, lotéricas,
etc.
57
Esta coleta deveria ser feita, contando o tempo do momento de chegada de um indivíduo
a fila, até o momento da saída da fila e início do atendimento. Foi informado também que esta
análise visava a previsão de situações para o caso específico do sistema de filas em que os dados
estavam sendo coletados.
Foi apresentado um quadro para que os grupos preenchessem, conforme trecho
apresentado abaixo:
Trecho da atividade 1 – Coleta de Dados
Cliente Horário de
chegada ao
sistema
Horário de saída
do sistema.
X: Tempo em minutos no
sistema.
1
2
Neste quadro identificamos que a variável aleatória em questão seria o tempo de espera
em minutos no sistema de filas analisado. Para esta tomada de dados uma organização
específica foi sugerida:
1. Na chegada de um indivíduo ou grupo à fila, será entregue um cartão, em que será
marcado o horário de chegada.
2. Na saída do indivíduo da fila, para o atendimento, outro integrante do grupo recolherá
este cartão anotando o horário.
3. É importante que os dois relógios estejam perfeitamente sincronizados e que, de
preferência, sejam digitais.
Ainda na A1, solicitamos que os alunos organizassem seus dados em uma tabela de
frequências, sendo que as indicações para determinação do número de classes, e do intervalo
de classes foram dadas na A1. Os alunos também já haviam estudado este conteúdo na
disciplina de Estatística e determinaram o ponto médio de cada classe (𝑋𝑖).
Os dados coletados foram entregues ao pesquisador, que era professor desta turma, já
organizados antes da aula sobre Distribuição de Probabilidade Exponencial, a A1 teve duração
58
de uma semana para os alunos, que foram instruídos em uma aula e trouxeram os dados na aula
seguinte já organizados.
No encontro seguinte foi apresentada aos alunos em forma de slide, a organização dos
dados dos dois grupos primeiro em forma de rol, e em seguida na forma de tabela de frequência.
Os pontos (𝑋𝑖, 𝑓𝑖) foram plotados em um eixo cartesiano, com auxílio do software Geogebra,
conforme as figuras a seguir:
Figura 3: Grupo 1 (Xi, fi )
Fonte: Coleta de dados do grupo 1
Freq
uên
cia
Tempo de espera (min.)
59
Figura 4: Grupo 2 (Xi, fi )
Fonte: Coleta de dados do grupo 2
Quando foi discutido com os alunos, que não havia sentido no contexto estudado
considerar pontos pertencentes a abscissa negativa, pois estávamos medindo tempo de
atendimento, além de que, quanto maior o tempo, mais próximo de zero será a frequência,
portanto, podemos dizer que a frequência tende a zero, conforme o tempo aumenta. Com base
nestas considerações escolhemos como modelo de regressão a curva exponencial, ao que
obtemos usando o software Geogebra.
Figura 5: Regressão Exponencial (Grupo 1)
Fonte: Coleta de dados do grupo 1.
Freq
uên
cia
Tempo de espera (min.)
60
Figura 6: Regressão Exponencial (Grupo 2)
Fonte: Coleta de dados do grupo 2.
O que nos permitiu obter a função 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟: 𝑓(𝑥) = 29,73𝑒−0,16𝑥, para o
G1, com Área ≅ 188,1 𝑢. 𝑎, e 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟: 𝑓(𝑥) = 15,55𝑒−0,37𝑥, para o G2, com
Área ≅ 42,21 𝑢. 𝑎.
Ambas as funções não poderiam ser consideradas modelos de distribuição de
probabilidade, pois não atendem à definição:
∫ 𝑓(𝑤)𝑑𝑤 = 1+∞
−∞
Mas podemos perceber que as funções obtidas foram do tipo:
𝑓: ℝ → ℝ, 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑒−𝑏𝑥.
E devemos relacionar as constantes a e b, de maneira a que a função seja densidade de
probabilidades. Neste momento foi entregue a A2, aos grupos, que indicavam dois
questionamentos:
1) Qual deve ser a medida da área sob a curva de uma função densidade de probabilidades?
2) Percebendo que a curva obtida pode ser modelada por uma função do tipo
𝑓: ℝ → ℝ, 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑒−𝑏𝑥, determine a relação entre os coeficientes 𝑎 e 𝑏 para que
a mesma seja função densidade de probabilidades, considerando 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 𝑒 𝑎 ≠ 0.
Para a primeira questão era esperado que respondessem que a área deveria medir uma
unidade de área, pois a axiomática da probabilidade, ou seja, a noção primitiva, utilizada para
61
demonstrar outros termos, já havia sido trabalhada em aula, além de modelos de distribuição de
probabilidade discretos e o modelo normal.
Para a segunda pergunta esperávamos um desenvolvimento algébrico, no qual os alunos
percebessem que a função só seria uma função densidade de probabilidade válida se a = b,
conforme descrito abaixo:
∫ 𝑎𝑒−𝑏𝑥𝑑𝑥 = 1 ⟹ 𝑎∫ 𝑒−𝑏𝑥𝑑𝑥
∞
0
= 1
∞
0
Sendo
{
𝑢 = −𝑏𝑥
𝑑𝑢 = −𝑏𝑑𝑥 ⟹𝑑𝑢
(−𝑏)= 𝑑𝑥
Assim,
𝑎∫𝑒−𝑏𝑥𝑑𝑥 = 𝑎∫𝑒𝑢𝑑𝑢
(−𝑏)= −
𝑎
𝑏∫𝑒𝑢𝑑𝑢 = −
𝑎
𝑏𝑒𝑢 = −
𝑎
𝑏𝑒−𝑏𝑥 ∙
Voltando à integral imprópria, temos:
(−𝑎
𝑏𝑒−𝑏𝑥)
∞0= 1 ⟹ −
𝑎
𝑏∙1
𝑒𝑏𝑥|∞0= 1 ⟹ −
𝑎
𝑏(0 − 1) = 1 ⟹
𝑎
𝑏= 1 ⟹ 𝑎 = 𝑏.
Após recolher a Atividade 2, foi feito de forma coletiva um estudo sobre a relação entre
os coeficientes a e b, pelo professor/pesquisador por meio da Esperança Matemática, entendida
pelos alunos como mais simples de trabalhar do que a variância e suficiente para a resolução.
A Esperança Matemática foi demonstrada na página 16 deste trabalho e concluímos que a
constante a é o inverso da média da distribuição:
𝐸(𝑥) = 1
𝑎, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑎 =
1
𝐸(𝑥)∙
Com esta conclusão em mãos, sugerimos que 𝐸(𝑥) = 𝛽, para uma melhor adequação
ao livro adotado no curso, e em seguida foi entregue aos alunos a A3, em que eram propostas
as seguintes questões:
1) Considerando que estabelecemos que a função densidade de probabilidades deve ser do tipo:
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑒−𝑎𝑥, temos que 𝑎 é o parâmetro desse modelo, denominado Modelo Exponencial.
Escreva a função densidade de probabilidade com base na relação obtida 1
𝑎= 𝛽.
2) Determine a média dos dados coletados e a represente por 𝛽.
62
3) Mostre que a função obtida é densidade de probabilidades.
4) Retornando a questão da Atividade 1, determine a probabilidade de uma pessoa esperar mais
do que 10 minutos na fila para ser atendido, no sistema observado.
Os grupos deveriam responder de acordo com os dados coletados, ou seja, como cada
conjunto de dados, retrata um único caso, a função densidade de probabilidade, deve ser
diferente para os dois grupos, as respostas encontradas, serão descritas com maior detalhamento
no próximo tópico.
Após recolher a A3, o modelo de Distribuição Exponencial foi institucionalizado como
se segue:
𝑓(𝑥) = {
1
𝛽𝑒−𝑥𝛽 , 𝑥 > 0
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
Esta função modela de maneira adequada o tempo entre chegadas de diversas situações.
No nosso caso o tempo de chegada até o atendimento, em um sistema de filas.
A A4 tinha como intenção que os alunos aplicassem o modelo desenvolvido em outras
situações retiradas de livros didáticos, com enfoque no estudo da Estatística e Probabilidade
para Engenharias e Ciências e foram propostas duas questões:
1) Supondo que o tempo de resposta, em segundos, de um sistema computacional, seja de em
média três segundos, calcule a probabilidade que o tempo de resposta exceda 5 segundos.
2) Certo tipo de condensador tem tempo de vida distribuído exponencialmente com média de
250 horas. Determine a probabilidade destes condensadores durarem menos que 320 horas.
E terão suas respostas detalhadas no tópico a seguir.
4.2 ANÁLISES
Neste tópico realizamos a análise das respostas indicadas por grupo, para isso coletamos
as atividades respondidas e áudios referentes às discussões realizadas. É nossa intenção indicar
as intervenções realizadas pelo professor/pesquisador. Iremos dividir a análise em quatro
tópicos, de acordo com a proposta da atividade.
Para cada tópico, será analisada a etapa de modelagem a ser cumprida, a situação
adidática, por meio da tipologia das situações didáticas e a estrutura do meio no qual ela ocorre.
Entendemos como situação adidática, o conjunto de variáveis sobre os quais o professor não
63
exerce controle e outras, razoavelmente controláveis (TEIXEIRA, PASSOS, 2013, p. 164),
isso significa que quando ocorre a progressão da aprendizagem, o aluno reconhece problemas
que o auxiliarão na obtenção de um novo saber, sendo que o aluno só terá adquirido esse saber,
quando for capaz de aplicá-lo em outros contextos, sem indicações intencionais. Cabe notar que
não é qualquer situação adidática que o aluno poderá resolver, sendo a escolha dos problemas
de responsabilidade do professor.
A ordem de análise será em primeiro o grupo GA seguido do grupo GB, e ao final,
iremos indicar como a etapa auxiliou na resposta da questão de pesquisa e no cumprimento do
objetivo do estudo.
A aplicação das quatro etapas da atividade, deu-se em dois encontros, no primeiro foi
organizado a coleta de dados, enquanto que no segundo, com os dados em mãos, cada grupo
estabeleceu um modelo de distribuição para os dados.
O grupo GA foi composto por dois alunos, enquanto que o grupo GB foi composto por
quatro alunos, esta composição se deu com base na coleta de dados, pois alunos que moravam
próximos de outros acabaram se juntando nesta etapa por maior comodidade.
Todos os alunos cursavam a disciplina de Estatística, no 2º ano do curso de Engenharia
de Produção Química, de uma mesma instituição de Ensino Superior do Estado de São Paulo.
Não foi do interesse da pesquisa, se estender em caracterizações pessoais dos sujeitos, mas
estabelecemos que todos estavam cursando a primeira faculdade, e tiveram o mesmo conteúdo
na disciplina de Estatística, lecionado pelo pesquisador.
A atividade foi aplicada pelo pesquisador, que também era professor da turma em
horário de aula regular. Cada grupo tinha um gravador, assim como o pesquisador, que gravou
suas falas, verificando quais intervenções foram feitas durante a atividade.
4.2.1 Atividade 1
Esta atividade foi composta de uma coleta de dados a ser realizada, em um sistema de
filas, conforme indicado no apêndice 1. A atividade em questão foi lida com os alunos, com
intenção de discutir os procedimentos de organização dos dados. Observamos aqui que todos
já haviam estudados tópicos de Estatística Descritiva.
A maior dúvida, até então, foi na organização da coleta, quando alguns alunos
levantaram se poderiam fazê-la em carros de lanches que comercializavam na frente da
instituição.
64
Não foi imposto pelo professor/pesquisador restrições à coleta, apenas foi estabelecido
que seriam cinquenta os dados coletados e que o tratamento destes dados seria de acordo os
conceitos estabelecidos na atividade.
Houve diferença na entrega dos resultados entre os dois grupos, sendo que o grupo GA,
levou em consideração os segundos entre o tempo de chegada e ao sistema e saída do sistema,
conforme a Figura 7, que mostra parte dos dados coletados.
Figura 7: Parte dos dados coletados pelo GA
Fonte: Coleta de dados de GA
Enquanto que o grupo GB, levou em consideração apenas os minutos, no horário de
chegada ao sistema e no horário de saída do sistema, conforme indicado na Figura 8.
65
Figura 8: Parte dos dados coletados pelo GB
Fonte: Coleta de dados de GB
Em nossa análise, a diferença de aproximações no tempo, levando em considerações
minutos, ou apenas segundos, não alterou os resultados, mas entendemos que a atividade
permitiu esta discrepância em suas instruções, fato que em aplicação futura deve e pode ser
melhorado, de forma que os grupos apresentem dados mais homogêneos.
Sobre a coleta, os alunos não relataram dificuldade, mas afirmaram que a mesma foi
trabalhosa e que foi necessário recomeçá-la algumas vezes, até entender que a estrutura em que
ela foi planejada, poderia acontecer sem maiores interrupções. Ambos os grupos deveriam
entregar a atividade para o professor/pesquisador, três dias antes do próximo encontro, a fim de
verificar e organizar os slides presentes no Apêndice 5, que estruturariam a resolução das
demais atividades.
Do ponto de vista da Modelagem Matemática, entendemos que esta coleta cumpre a fase
de experimentação, ou seja, a parte referente à coleta de dados, visando a resolução de um
problema não matemático, no caso o tempo de espera em uma fila. Cabe ressaltar que este
problema não foi proposto pelos alunos nesta primeira etapa, mas sim pelo
pesquisador/professor: qual a probabilidade de precisarmos esperar mais do que 10 minutos
para sermos atendidos em uma casa lotérica para pagar uma conta? (Apêndice 1).
Esta opção de propor uma questão de um problema não matemático, evita a repetição
de conteúdos conforme apontada por Borges e Nehring (2008) e permite que a Modelagem
Matemática seja proposta de acordo com a necessidade do curso.
Sobre a Tipologia das Situações Didáticas, entendemos que a fase em questão é a da
devolução, em que é cedida ao aluno parte da responsabilidade em sua aprendizagem. Nota-se
66
que sem uma coleta de dados adequada, esta atividade não pode prosseguir, sendo que nesta
coleta os alunos já assumem para si a necessidade de um tratamento, seja por um conceito
conhecido, no caso o da Estatística Descritiva, ou de um processo matemático a ser
desenvolvido.
Sobre a estrutura do meio, em nossa concepção, esta atividade ocorre principalmente no
meio material, pois implica no preparo de atividades pelo professor/pesquisador, coleta de
dados e alguns tratamentos descritivos pelos alunos. Mas há momentos em que o aluno está em
um meio objetivo, atuante, como na organização e na própria coleta na qual toma decisões de
maneira a obtê-la.
Dessa forma entendemos que situações de ação, também estão presentes, pois
entendemos que o trabalho no meio objetivo é motivado pelo meio efetivo, em que ocorre a
situação de ação e o aluno encontra-se como atuante. Na sequência descreveremos a atividade
2, o caminho até a atuação dos alunos e os principais resultados.
4.2.2 Atividade 2
No segundo encontro, já com os dados da Atividade 1 em mãos foi proposto aos dois
grupos três atividades sequenciais, que teriam participação por meio de explicações do
professor/pesquisador, conforme o roteiro apresentado em slides disponível no Apêndice 5.
Ao iniciarmos este encontro, os dados dos dois grupos, organizados em rol, foram
apresentados, bem como as distribuições de frequência, referentes aos dados entre os grupos.
Apenas o grupo GA apresentou uma distribuição de frequências dos seus dados, conforme
indicado na Figura 9.
Figura 9: Tabela de frequência elaborada por GA
Fonte: Dados coletados por GA
67
O fato de o grupo GB não ter elaborado sua tabela não foi um fator que impediu o
andamento da atividade, pois o professor/pesquisador já havia organizado os dados. Caso isso
não tivesse sido feito com antecedência, o andamento da atividade teria sido comprometido,
frente ao tempo programado, além de haver grupos em estágios diferentes, o que atrapalharia
na exposição dos slides.
Após a apresentação das tabelas de frequência, iniciamos a etapa de identificação de um
modelo para os dados, para isso o conjunto de pontos (𝑋𝑖, 𝑓𝑖) de cada grupo foi plotado em um
eixo cartesiano, com auxílio do software Geogebra, e de forma coletiva discutimos qual o
melhor modelo de regressão (os alunos estudaram este tema na disciplina de Cálculo Numérico)
se encaixaria aos pontos, levando em consideração, que não deveríamos considerar pontos
pertencentes a abscissa negativa, por estarmos medindo tempo e que quanto maior o tempo,
mais próximo de zero será a frequência, conforme slide 8, Apêndice 5.
Nas discussões, um aluno do grupo GA comentou se a regressão não poderia ser feita a
partir da curva normal padrão, o que nos permitiu discutir sobre a assimetria dos pontos, que
levou um aluno do grupo GB a questionar se a linha de tendência não seria uma exponencial.
Na sequência, os slides 9 e 10 (Apêndice 5) foram mostrados, já com a linha de tendência, e a
função referente a cada reta, que foram comparadas no slide 11, (Apêndice 5).
Com as funções em mãos foi indicado aos alunos, que estávamos em busca de um
modelo que permita fazer previsões, e que na Atividade 1, havia uma pergunta a ser respondida
sobre o caso em que os dados foram coletados, já que o modelo a ser obtido só seria válido para
este caso.
Logo, para responder à pergunta, havia a necessidade de transformar as funções obtidas
pela regressão exponencial em uma função densidade de probabilidade válida, a partir de uma
relação entre as constantes, a e b, no modelo geral:
𝑓: ℝ → ℝ, 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑒−𝑏𝑥 . Com estas informações foi entregue aos grupos a
Atividade 2.
Na análise das respostas da Atividade 2 (apêndice 2), retomaremos as questões
propostas, conforme o apêndice dois.
1. Qual deve ser a medida da área sob a curva de uma função densidade de probabilidades?
68
O grupo GA apresentou como resposta:
Figura 10: Resposta da Atividade 2 – questão 1 - GA
Fonte: Dados coletados de GA
E o grupo GB apresentou:
Figura 11: Resposta da Atividade 2 – questão 1 - GB
Fonte: Dados coletados de GB
O que eram respostas esperadas, dado que os alunos já haviam estudados outros modelos
de Distribuição de Probabilidade, além da axiomática da Probabilidade. De toda forma notamos
que a estrutura de verificação para determinar se uma função é uma função densidade de
probabilidade válida está mais aparente na resposta do grupo GA.
2) Percebendo que a curva obtida pode ser modelada por uma função do tipo
𝑓: ℝ → ℝ, 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑒−𝑏𝑥, determine a relação entre os coeficientes 𝑎 e 𝑏 para que
a mesma seja função densidade de probabilidades, considerando 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 𝑒 𝑎 ≠ 0.
No que se refere à questão dois, as respostas foram:
69
Figura 12: Resposta da Atividade 2 – questão 1 - GA
Fonte: Dados coletados de GA
70
Figura 13: Resposta da Atividade 2 – questão 1 - GB
Fonte: Dados coletados de GB
Podemos notar que ambos os grupos chegaram à resposta esperada, ou seja na percepção
que a = b, a partir da propriedade ∫ 𝑓(𝑤)𝑑𝑤 = 1∞
−∞.
Sobre a resolução dos grupos, notamos que enquanto o grupo GA resolveu a questão de
forma direta, o grupo GB tentou em diversas etapas utilizar a função 𝑓, 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑓(𝑥) =
ln (𝑥), para anular a constante 𝑒 , em determinado momento o grupo resolveu consultar o
caderno de Cálculo II, pois já haviam realizado os processos de substituição e inserido alguns
valores para x, produzindo 𝑦 = ln (𝑥), e estavam sem saber como identificar relação a partir
desse ponto.
71
Do ponto de vista da Modelagem Matemática, entendemos que os alunos estavam na
etapa de abstração, em que se inicia a construção do modelo matemático a partir do
entendimento da variável e dos parâmetros a e b envolvidos no modelo, nessa fase entendemos
que os alunos passam a assumir a questão proposta, sobre a probabilidade do tempo de espera
em seus dados. Também é possível notar que a etapa da resolução ocorre praticamente de
maneira simultânea com a etapa da abstração, pois desde o início os grupos buscam estabelecer
suas deduções em uma formulação matemática coerente.
Quanto a Tipologia das Situações Didáticas, entendemos que o aluno está em situações
de ação e formulação, sendo as situações de ação mais presentes. Esta observação vem do fato
que ambos os grupos se empenharam ativamente na resolução do problema, buscando recursos
em outras disciplinas para tal, além do manejo de uma propriedade de Probabilidade.
Quanto à formulação, percebemos que ambos os grupos já utilizavam modelos teóricos
de forma explícita, com linguagem matemática adequada ao nível de formação, em uma
situação em que todos os sujeitos dos grupos estavam envolvidos em uma troca de informação
constante, isso nos leva a crer que o meio, em que a Atividade 2 se desenrolou foi ora objetivo,
mobilizado pelo meio efetivo, e ora objetivo, mobilizado pelo meio fictício.
O meio objetivo, mobilizado pelo meio efetivo, ocorre em situações em que o aluno está
atuante sobre o problema, situação constante em ambos os grupos, já a mobilização do meio
objetivo, pelo meio fictício, envolve o funcionamento ou transformações que o aluno imagina
sobre o meio para atuar, no caso, as transformações matemáticas, que a função deveria sofrer
para obtermos uma relação que a transformasse um uma função densidade de probabilidade.
Neste caso as situações de formulação e comprovação, foram consideradas como situação de
ação.
4.2.3 Atividade 3
Ao término da Atividade 2, iniciamos de forma expositiva, o processo de comparação
dos coeficientes a e b, primeiro apresentado a resolução de
∫ 𝑎𝑒−𝑏𝑥𝑑𝑥 = 1∞
0
.
Conforme é indicado no slide 13, Apêndice 5, sendo que ambos os grupos haviam
chegado à conclusão correta na Atividade 2.
Em seguida, com o intuito de conhecer mais sobre o modelo de Distribuição de
Probabilidade a ser determinado, encontramos a esperança matemática, a partir de
72
𝑓: ℝ → ℝ, 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑒−𝑎𝑥, chegando na relação:
𝐸(𝑥) = 1
𝑎, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑎 =
1
𝐸(𝑥)∙
Como está detalhado no tópico anterior e no Apêndice 5, para melhor adequação aos
livros didáticos adotados na ementa do curso, estabelecemos que 𝐸(𝑥) = 𝛽, dando início desta
forma à Atividade 3.
Esta atividade foi composta por quatro questões, sendo que a primeira questão não foi
plenamente respondida, por nenhum dos grupos, pois solicitava que se apresentasse o modelo
geral:
𝑓(𝑥) = {
1
𝛽𝑒−𝑥𝛽 , 𝑥 > 0
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
.
Na verdade, os grupos discorreram sobre os seus próprios dados. Nesta análise vamos
interpretar os resultados do grupo GA e do grupo GB em separado.
Figura 14: Resposta da Atividade 3 – questões 1 e 2 - GA
Fonte: Dados coletados de GA
Pelo que podemos interpretar, o grupo GA respondeu à questão 1 e 2, como se fosse
uma única, por entender que o modelo a ser obtido seria o do caso estudado, e não um modelo
73
geral, quanto à média, o mesmo utilizou a tabela de frequência, para calculá-la, o que causa
distorções, devido a aproximação dos valores das variáveis, ao ponto médio do intervalo de
classe.
A média verdadeira seria 4,213, enquanto que o grupo chegou a 4,2134. Por ser uma
diferença pequena, iremos desconsiderar o fato da média não ter sido calculada a partir dos
dados brutos.
Figura 15: Resposta da Atividade 3 – questões 1 e 2 - GB
Fonte: Dados coletados de GB
O grupo GB se confundiu da mesma forma com a questão 1, buscando uma resposta
para o caso específico e não um modelo geral, o que nos leva a crer numa necessidade de
reformulação da questão, a conferência de média mostrou uma discrepância que não pode ser
desconsiderada, já que chegamos ao valor de 2,36 para a média, quanto que o grupo chegou no
valor de 2,29.
Além disso, houve a interpretação errônea do parâmetro média no modelo, já que apesar
de indicar que 𝑎 = 1
𝛽, a função foi definida com 𝛽 = 𝑎, o que irá comprometer todas as demais
resoluções do grupo. A função que o grupo deveria ter obtido seria:
74
𝑓(𝑥) = {
1
2,36𝑒−
𝑥2,36, 𝑥 > 0
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
.
Na análise da questão 3, desta atividade, podemos perceber que o grupo GA,
desenvolveu a comprovação de forma esperada, conforme podemos observar na Figura 16.
Figura 16: Resposta da Atividade 3 – questão 3 - GA
Fonte: Dados coletados de GA
75
Em que, conforme vemos na Figura 16, o grupo GA conclui de maneira correta que a
função densidade de probabilidade é válida, ressaltamos que é possível chegar facilmente a esta
conclusão com um modelo que não se ajuste aos dados, já que para qualquer valor a
determinado a função será função densidade de probabilidade válida, como anteriormente
definido, erro que aconteceu com o grupo GB, conforme indicado na Figura 17, que utilizou a
�̅� e não seu inverso.
Figura 17: Resposta da Atividade 3 – questão 3 - GB
Fonte: Dados coletados de GB
Isso nos leva a reflexão, que antes de realizar as questões referentes à Atividade 3,
deveríamos ter recolhido as questões referentes à Atividade 2, para conferência de valores, é
claro, que isto seria uma interrupção do processo de modelagem, mas no modelo de Distribuição
Exponencial, um erro na escolha do coeficiente a, não pode ser conferido na verificação da
propriedade ∫ 𝑓(𝑤)𝑑𝑤 = 1∞
−∞, pois dados que os valores a e b sejam iguais o modelo será uma
função densidade de probabilidade válida.
A questão 4 da Atividade 3 retoma o problema inicial proposto na Atividade 1, ou seja,
determinar a probabilidade de uma pessoa esperar mais do que 10 minutos na fila para ser
atendido, no sistema observado, questão ao qual nenhum dos grupos respondeu de forma
correta, devido ao erro no trabalho com intervalos.
Ambos os grupos entenderam a probabilidade como 𝑃(𝑋 = 𝑥), e não como 𝑃(𝑋 > 10),
conforme indicado nas figuras a seguir.
76
Figura 18: Resposta da Atividade 3 – questão 4 - GA
Fonte: Dados coletados de GA
Figura 19: Resposta da Atividade 3 – questão 4 - GB
Fonte: Dados coletados de GB
A partir das respostas podemos perceber que não houve reflexão por parte dos grupos
sobre determinar a probabilidade para mais do que 10 minutos. Eles entenderam a questão como
uma resposta direta, sendo que para o grupo GA, a resposta correta seria:
𝑃(𝑥 > 10) = ∫ 0,23734𝑒−0,23734𝑥∞
10
= 𝑒−2,3734 = 0,09316.
Enquanto que para o grupo GB seria:
𝑃𝑥 > 10) = ∫ 0,42373𝑒−0,42373𝑥∞
10
= 𝑒−4,2373 = 0,01445.
Do ponto de vista da Modelagem Matemática, identificamos na Atividade 3, um
interesse em três etapas, que ocorreram de forma simultânea, sendo que nem todas foram
adequadamente cumpridas.
A questão 1 visava a abstração, de modo a permitir que o aluno construa o modelo
matemático e a resolução, junto com a questão 2 em que se esperava o reconhecimento do
parâmetro média, no inverso do coeficiente. Isto aconteceu apenas de forma parcial para ambos
os grupos, pois não houve a obtenção de um modelo generalizado, e sim de um específico para
o caso. Na resolução do grupo GB, por haver um erro na média e na interpretação do parâmetro,
77
o modelo alcançado não resolveria o problema proposto. Sendo necessário uma etapa de
modificação, que não foi prevista para esta atividade.
Nestas duas atividades há forte presença de situações de ação e de formulação, no caso
os alunos estavam atuando sobre o problema sem intervenção do professor/pesquisador, e
formulando a partir de hipóteses que para eles não se apresentavam de forma clara, no caso,
eles entendiam que a média teria participação no modelo, mas a maneira como isso se deu, ficou
dependente de suas escolhas e decisões.
Estas duas atividades ocorreram em um meio objetivo, ora mobilizado pelo meio
efetivo, quando os alunos atuam sobre esquemas matemáticos conhecidos, como por exemplo,
o cálculo da média, e ora mobilizado pelo meio fictício, quando elabora um modelo para seu
caso, com base nos conhecimentos e interpretações adquiridas até então.
Já a questão 3, solicitava ao aluno, uma verificação do seu processo por meio de uma
propriedade anteriormente estudada. Do ponto de vista da modelagem entendemos que seja o
início de um processo de validação, pela verificação se uma propriedade, pode ou não ser
acurada no modelo obtido. O grupo GA trabalhou este processo corretamente, enquanto que no
grupo GB, aconteceu algo não previsto, esta verificação não é suficiente para determinar se a
função densidade de probabilidade é válida para o caso, pois não checa se o parâmetro 1
𝛽, foi
determinado de maneira correta, ponto em que o grupo GB cometeu um equívoco no uso do
parâmetro.
Desta forma dado que os valores que 𝑒 e x sejam os mesmos, a função obtida a partir do
modelo, sempre será função densidade de probabilidade válida. No que tange à Tipologia das
Situações Didáticas, a validação ocorre quando o aluno tenta convencer um interlocutor da
veracidade de suas afirmações, no caso, nesta atividade pelo registro escrito, e por exposições
orais dentro de cada grupo. Neste processo havia três interlocutores, o professor/pesquisador,
que já havia informado que iria analisar as respostas, os companheiros de grupo, que participam
das discussões e tomadas de decisão, além da questão a ser respondida, usando os dados
empíricos.
Esse processo ocorre em um meio de referência, no qual cada grupo realizou
comparações, com outros modelos que já conheciam, e com o que esperar de um processo de
validação. Cabe ressaltar que os alunos já haviam verificado a validade de funções de densidade
de probabilidade em outros momentos e com outros modelos.
78
A questão 4, respondida de maneira incorreta, por ambos os grupos, deveria reforçar o
processo de validação, tanto pela ótica da Modelagem Matemática, quanto pela ótica da
Tipologia das Situações Didáticas, o que em nossa concepção, não ocorreu.
Fica claro, como comentado anteriormente a necessidade de uma fase de modificação,
que viria antes da questão 4, além disso, percebemos que ambos os grupos tiveram problemas
na interpretação da questão, problemas que não aconteceram na atividade 4, que tinha como
objetivo, promover a validação do modelo, a partir de uma institucionalização, como veremos
no próximo item.
4.2.4 Atividade 4
Com o término da Atividade 3, o modelo da Distribuição Exponencial foi indicado aos
grupos, como:
𝑓(𝑥) = {
1
𝛽𝑒−𝑥𝛽 , 𝑥 > 0
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
Além de sua aplicação de interesse nesta atividade que é a modelagem do tempo entre
chegadas de diversas situações. No nosso caso, o tempo de chegada até o atendimento. Com
isso em mãos, foi proposto para os grupos a Atividade 4, que se encontra no Apêndice 4,
retirado de um livro didático que é parte da ementa do curso, como podemos ver na Figura 20,
as respostas do grupo GA estavam de acordo com o esperado.
79
Figura 20: Resposta da Atividade 4 – questão 1 e 2 – GA
Fonte: Dados coletados de GA
A análise do protocolo do grupo GA nos indica que o entendimento do modelo até então,
foi suficiente para resolução de questões do tipo cobradas no cotidiano do curso. Como ocorreu
no caso do grupo GB, Figura 21, com uma pequena discrepância, no que se refere ao número
de casas decimais, que não havia sido estabelecido de maneira prévia.
80
Figura 21: Resposta da Atividade 4 – questão 1 e 2 - GB
Fonte: Dados coletados de GB
Mostrando que ambos os grupos chegaram de forma correta à resolução, sendo que do
ponto de vista da Modelagem Matemática, não podemos dizer que o modelo está totalmente
compreendido pelos alunos, já que fora dos problemas de livros didáticos, já similares a outros
problemas resolvido em sala, ambos os grupos tiveram a mesma dificuldade.
Já analisando pela Topologia das Situações Didáticas, a Atividade 4 envolveu as etapas
de validação e institucionalização, com o professor/pesquisador, retomando a responsabilidade
pela aprendizagem dos alunos, indicando o modelo matemático em questão, o tipo de variável
aleatória, além da identificação do parâmetro média, portanto entendemos que esta Atividade 4
ocorreu em um meio de referência, tendo como tal, o próprio modelo apresentado em aula.
4.3 CONSIDERAÇÕES SOBRE O CAPÍTULO
Neste capítulo explicitamos a metodologia utilizada na realização da atividade
experimental que compõe este estudo, está detalhada por atividades que estão presentes nos
Apêndices de 1 a 5, bem como o tratamento matemático, dado a Modelagem Matemática em
81
questão, ressaltamos que este processo foi previsto, tendo o professor/pesquisador o realizado,
antes de sua proposta para os estudantes.
Consideramos que para um processo de Modelagem Matemática ser possível de aplicar
em sala e aula, é necessário que o professor tenha controle de suas etapas, evitando que o
processo pare, prevendo possíveis passos do processo, bem como número de encontros,
destinados à modelagem, adequando a metodologia, em uma grade preestabelecida. No que se
refere às análises de cada atividade, apresentamos aqui um resumo do que encontramos.
Atividade 1
Nesta atividade ocorreu a etapa de experimentação da Modelagem Matemática, com
êxito, pois os alunos apresentaram dados coletados, que modelavam de maneira adequada o
problema, ambos os grupos relataram uma dificuldade inicial no cumprimento da tarefa, no
sentido de organização.
Nesta etapa podemos perceber que os alunos tomaram a responsabilidade do problema
para si, não levantando questões sobre o trabalho relacionado à obtenção dos dados, ambos os
grupos entregaram sua coleta em três dias para o professor/pesquisador, sendo que o grupo GA,
no dia da aplicação das demais atividade, apresentou seus dados já com um tratamento
descritivo, este os auxiliou no cálculo da média.
Dessa forma consideramos que utilizar dados experimentais, no ensino da Distribuição
Exponencial, foi estimulante para os alunos, que deixaram um papel passivo, de crença, para
um papel atuante de verificação.
Atividade 2
Nesta atividade, o interesse era que os alunos entendessem o papel da coleta na obtenção
do modelo, sendo que parte deste papel foi feito pelo professor/pesquisador por meio dos slides
apresentados em sala, com a intenção de estabelecer uma regressa exponencial, a partir da
plotagem dos pontos (𝑋𝑖, 𝑓𝑖).
Com base nessa explanação os alunos tiveram que retomar a propriedade, que diz que a
área de uma função densidade de probabilidade é igual a um, a utilizando para relacionar os
parâmetros a e b.
Isto se deu de forma correta pelos dois grupos, que aplicaram a propriedade e retomaram
conceitos estudados em Cálculo. Entendemos que neste momento os alunos estavam em um
82
processo de investigação que os permitiria descrever o modelo da Distribuição Exponencial, na
próxima atividade, e aplicá-lo para o caso em questão, estando em uma etapa de abstração da
Modelagem Matemática.
Nesse caso, eles buscavam um modelo para seus dados, estando em situação de ação,
sendo atuantes e mobilizados por hipóteses levantadas, a partir de duas disciplinas do curso e
da apresentação anterior do professor/pesquisador.
Consideramos que a Modelagem Matemática ocorreu de forma conveniente, permitindo
que os alunos estudassem, a partir de conceitos conhecidos, as relações entre os parâmetros de
uma função, que até então não era de densidade de probabilidade.
Atividade 3
Esta atividade ocorreu após uma discussão com os grupos sobre o parâmetro a, na
função obtida, utilizando para isso a Esperança Matemática, conceito anteriormente estudado,
pelos alunos.
Esta atividade visava as etapas da modelagem referentes à abstração e resolução, sendo
que nenhuma destas ocorreu de forma prevista. Em primeiro ponto, os alunos não chegaram a
um modelo geral, sendo que, na verdade, nem tentaram fazer isso, dedicando-se a um modelo,
que resolvesse a questão sobre o caso em que foi feita a coleta de dados. Dos dois grupos,
apenas o grupo GA achou um modelo para o caso, já que o grupo GB interpretou de maneira
incorreta o parâmetro β.
Ambos os grupos validaram sua função densidade de probabilidade, na qual percebemos
um problema, já que na atividade
𝑓: ℝ → ℝ, 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑒−𝑏𝑥
sempre que a = b, a função será de densidade de probabilidade.
Este fato, levou o grupo GB a prosseguir com um modelo incorreto, sem chance de
modificação, etapa não prevista nesta atividade. Ambos os grupos interpretaram de maneira
errônea a questão sobre os dados, que questionava a probabilidade de uma pessoa esperar mais
do que dez minutos na fila, por considerarem 𝑃(𝑋 = 𝑥) em vez de 𝑃(𝑋 > 𝑥).
Sendo que, mesmo ao levarmos em consideração os resultados inesperados, entendemos
que o processo de Modelagem Matemática aconteceu parcialmente a contento, pois os alunos
não fizeram a tentativa de obtenção de um modelo geral, mas ambos obtiveram um modelo para
o caso estudado, sendo que tentaram aplicar o modelo obtido na solução do problema inicial.
83
A falta de uma etapa de modificação, não nos permitiu avaliar, se quando confrontados,
com uma inconsistência no modelo, os alunos a retomariam, e chegariam em um modelo mais
próximo ou correto; esta etapa foi substituída por uma etapa de institucionalização, que ocorreu
em cinco minutos, quando foi apresentado o modelo da Distribuição Exponencial e proposta a
Atividade 4.
Atividade 4
Esta atividade ocorreu após a institucionalização do modelo da Distribuição
Exponencial, sendo que ela foi composta de duas questões, retiradas de um livro didático, que
é parte da ementa do curso em questão.
Ambos os grupos a resolveram de maneira correta, o que em nossa concepção, garante
um entendimento do modelo em estudo, mas não garante a etapa de validação do modelo pela
Modelagem Matemática, já que não foi verificada a aderência dos dados ao modelo obtido, e o
uso em outras situações em um mesmo sistema.
Desta forma, entendemos que o processo de Modelagem Matemática aconteceu, de
forma efetiva, bem como houve uma aprendizagem nova a respeito do modelo da Distribuição
Exponencial. Estas considerações serão expostas em detalhes no próximo capítulo, bem como
as limitações encontradas neste estudo e as perspectivas futuras sobre o tema.
84
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A discussão sobre os processos de ensino e aprendizagem de variáveis aleatórias, ainda
é consideravelmente pequena, quando comparada a outros campos de estudo da Educação
Matemática. Nesse sentido, entendemos que este trabalho, ao se propor, discutir o ensino e por
consequência a aprendizagem da Distribuição Exponencial em um curso de Engenharia
preenche algumas lacunas, que no futuro, possam permitir um estudo mais geral sobre o objeto
variáveis aleatórias.
Tema integrante de diversas graduações, em geral, fazendo parte da disciplina de
Estatística e Probabilidade, justamente por pertencer a carreiras que visam à aplicação de
conceitos, entendemos que metodologias, como a Modelagem Matemática, serão cada vez mais
implementadas.
O objeto matemático, discutido nesta pesquisa é o modelo exponencial que tem
aplicações referentes à Engenharia de Produção e à disciplina de processos operacionais que,
em nossa concepção, podem ser motivadoras para a aprendizagem da distribuição.
Dentre as pesquisas detalhadas neste estudo, Viali (2013) utiliza simulação para o ensino
de tabelas de frequência e introdução a distribuições de probabilidade. O artigo de Krauss,
Buckmaier e Martignion (2010) utiliza redes Bayesianas, no desenvolvimento do teorema de
Bayes, tema relacionado ao desenvolvimento de Inteligência Artificial, enquanto Promodou
(2014) utiliza do software Tinkerplots 2, no ensino de distribuições de probabilidade para jovens
de 14 a 15 anos, Miguel (2005) utiliza aplicativos para simulação no desenvolvimento da
Distribuição de Poisson, a partir de um experimento no laboratório de Física Nuclear.
Estes quatro trabalhos mostram perspectivas de Modelagem Matemática, usadas de
formas diferentes, a partir da própria experimentação ou da simulação de dados, mas com um
objetivo comum: desenvolver um tópico de probabilidade, a partir de suas aplicações.
Os outros quatro trabalhos analisados, tinham aspecto mais teórico, o de Alvarado e
Batanero (2008), analisando textos didáticos do Chile, o estudo do teorema central do limite,
em nossa concepção, foi o mais amplo, pois este teorema é usado em diversos tópicos de
Probabilidade e Estatística. Enquanto que Ji (2014) e Figueiredo (2000) trabalharam tópicos
específicos, no caso o uso da Normal Inversa e a Probabilidade Condicional, o artigo de
Andrade e Magalhães (2010) se destaca ao analisar pela Teoria da Resposta ao Item, o
conhecimento na disciplina de Estatística de cinco áreas da Matemática da universidade de São
Paulo, com alunos que a haviam cursado três meses antes do estudo.
85
Nosso estudo aborda um tópico específico, como já citado, por meio da Modelagem
Matemática, sendo que nesta escrita sentimos falta de trabalhos que abordassem o estudo de
variáveis aleatórias como um todo, ou estado da arte sobre o tema.
Nossa escolha pela Modelagem Matemática levou em consideração a escolha de uma
metodologia, voltada a aplicação de tópicos da matemática, na solução de problemas reais,
sejam estes do cotidiano, ou de carreiras específicas.
Os autores que nos deram o embasamento desta metodologia foram Bassanezi (2004),
Biembengut e Hein (2008), Almeida, Silva e Vertuan (2012). Nossa escolha foi adotar o
processo de Modelagem, conforme a proposta de Bassanezi. Em nossa atividade, foi necessário
estabelecer uma etapa de experimentação, em que os alunos realizaram uma coleta de dados,
uma etapa de abstração, na qual a partir do conhecimento matemático, analisaram os dados,
com a intenção da construção de um modelo matemático, uma etapa de resolução, em que o
modelo obtido é confrontado com as hipóteses e por último uma etapa de validação.
As grandes diferenças adotadas neste processo, com o proposto por Bassanezi (2004),
são:
1. O problema inicial é proposto pelo professor, bem como a indicação de experimento para
coleta.
2. A validação ocorre com intervenção do professor, sendo que ela é mesclada com uma etapa
de institucionalização, conforme definição de Brousseau (2008).
3. Não há etapa de modificação por parte do aluno, de forma escrita, e sim uma modificação
coletiva após a institucionalização e a validação, feita em conjunto com o professor.
Entendemos estas mudanças como necessárias, para que o processo de modelagem
ocorra em uma sala de aula de um curso regular e em um tempo determinado pela necessidade
de uma ementa, no caso do curso em questão, o tempo destinado ao estudo da Distribuição
Exponencial é o de duas aulas de 50 minutos para teoria e exemplos, e uma aula de 50 minutos
para exercícios.
Achamos por bem, apresentar uma definição que englobe a Matemática, ensinada em
cursos de serviços, a partir de Trejo, Camarena e Trejo (2013) e Camarena e Flores (2015), já
que entendemos que em um Curso de Engenharia, a matemática desenvolvida no Estudo da
Probabilidade, presta serviço ao curso na formação do Engenheiro. O que reforça a ideia de
uma disciplina focada na aplicação de tópicos da Matemática.
Nesse ponto apresentamos o objetivo desta pesquisa, que é investigar se e como a
Modelagem Matemática pode ser um facilitador do ensino da Distribuição de Probabilidade
Exponencial para Engenharias. Sendo que, nesta investigação sentimos a necessidade de
86
recorrer à Teoria das Situações Didáticas (TSD), para embasar a análise da atividade que foi
aplicada. A escolha da Distribuição de Probabilidade Exponencial, deu-se por considerarmos
um tema de difícil aprendizagem, e com poucas abordagens no campo da Educação
Matemática.
A fundamentação teórica foi construída com base em Brousseau (2008), Silva (2008),
Freitas (2008) e Teixeira e Passos (2013), com intenção de estabelecer a Tipologia das situações
didáticas, meio das situações adidáticas de devolução, ação, formulação, validação e
institucionalização, que posteriormente, foram relacionadas com as etapas da Modelagem
Matemática, além das estruturas do meio neste caso, o meio material, meio objetivo, meio
efetivo, meio fictício e o meio de referência.
Nossa intenção foi a de estabelecer um paralelo entre as etapas da Modelagem
Matemática, a Tipologia das Situações Didáticas e as estruturas do meio, por consideramos que
em cada fase da modelagem, o aluno assume um papel atuante, com trocas entre outros colegas,
professor, material de pesquisa, a própria atividade, entre outros, logo, o aluno encontra-se em
uma situação adidática, em troca constante com um meio que assume diversos papeis e é
motivado de acordo com a necessidade da atividade.
Entendemos, que não há possibilidade de um processo de Modelagem Matemática ser
bem-sucedido, se não houver por parte do aluno, uma postura de responsabilidade pela
resolução do problema.
Essa tomada de responsabilidade é o que nos permite ver com clareza a ação da
Tipologia das Situações Didáticas, em cada etapa da modelagem. Esta teoria, ainda nos traz o
subsídio da institucionalização, esta por parte do professor, em um processo de retomada de
responsabilidade, o que para nós é imprescindível, em um processo de modelagem para que o
mesmo possa ser aplicado em sala de aula, com um tempo determinado para a atividade.
Esta opção traz limitações, no que se refere à metodologia, principalmente na
possibilidade de modificação. A modificação seria uma das maiores chances de aprendizagem
por um processo de modelagem, já que dado que um modelo está incorreto ou incompleto, a
partir de comparações, o aluno teria condições de refazer seu modelo, retomando as etapas de
abstração, resolução e validação, quantas vezes fossem necessárias.
Este processo pode ser na verdade desestimulante para os alunos, correndo o risco
inclusive de não ser terminado, devido à desistência, ou seja, há um risco de que com o acúmulo
de falhas, o aluno abandone sua responsabilidade pela aprendizagem e pela resolução do
problema. Estas questões são diminuídas, quando incluída uma etapa de institucionalização,
antes ou durante o processo de validação.
87
A atividade foi proposta para dois grupos, um deles com dois alunos e o outro com
quatro alunos, não houve interferência na formatação dos grupos, pois parte da atividade foi
realizada, fora da instituição, e a organização de cada grupo levou em conta alunos que
moravam próximos uns dos outros. Todos os alunos estavam no 2º ano do curso de Engenharia
da Produção Química, cursando a disciplina de Estatística em uma mesma turma de uma
instituição de Ensino Superior do Estado de São Paulo.
O professor da turma é o pesquisador deste estudo. Os alunos já haviam estudado, na
disciplina de Estatística, tópicos de Estatística Descritiva, Análise Combinatória, Probabilidade,
e modelos discretos e contínuos de Distribuição de Probabilidade. Todos já haviam feito o curso
de Cálculo I, pré-requisito para a disciplina nesta instituição.
A aplicação da atividade foi dividida em dois encontros, o primeiro de 30 minutos, no
qual foi trabalhado a Atividade 1, e o segundo de 1 hora e 40 minutos, em que as Atividades 2,
3 e 4 foram trabalhadas.
Sobre a análise dos resultados, retomaremos a questão de pesquisa:
Será a Modelagem Matemática uma metodologia de ensino favorável à
aprendizagem da Distribuição de Probabilidade Exponencial, em um curso de
Engenharia?
Nas atividades, percebemos o empenho e a motivação dos alunos, tanto na coleta de
dados como na etapa de atividades que envolviam o tratamento dos dados, para a obtenção do
modelo matemático. Além de oferecer uma experiência de aplicação, na qual eles seriam
corresponsáveis pelo seu processo de ensino, propiciando para os mesmos, uma primeira
experiência com a Modelagem Matemática, garantindo um trabalho com situações adidáticas
de ação, formulação, validação e institucionalização, além da motivação em oferecer um
possível campo de aplicações de um modelo estudado na disciplina.
Entendemos que esta atividade pode ser reproduzida, com base em outras
experimentações, chegando a outros modelos de Distribuição de Probabilidades, sendo
necessária uma previsão da Matemática a ser utilizada na obtenção de um modelo, a fim de que
o tempo previsto seja cumprido de acordo com a necessidade do curso. Essa possibilidade, para
nós, retrata parte do impacto desta pesquisa, que junto a outras exploradas no capítulo 2, deste
trabalho, oferecem alternativas para o ensino de variáveis aleatórias.
Em conversas posteriores com os sujeitos que participaram da pesquisa e o professor /
pesquisador, estes relataram que a experiência foi válida e que, se possível, seria interessante
que fosse repetida em outros tópicos, questionando, por exemplo, se seria possível utilizar os
88
dados coletados em laboratórios, para o desenvolvimento de tópicos da disciplina de Estatística,
pois os mesmos são alunos do curso de Engenharia de Produção Química.
A sequência de atividade em nossa visão, aumentou consideravelmente, o entendimento
dos alunos a respeito de variáveis aleatórias como um todo, além da Distribuição Exponencial,
que em avaliações posteriores, questões que abordavam o tema foram respondidas de maneira
satisfatória. Este aumento no entendimento, deu-se pelo próprio processo da modelagem, que
permitiu aos alunos uma vivência, que eles só conheciam a partir de exemplos e textos dos
livros didáticos adotados.
Por outro lado, o fato de não haver uma etapa de modificação, foi prejudicial ao processo
como um todo, além do curto tempo de trabalho, que implica num desenvolvimento de parte
do processo por conta do professor/pesquisador. Na aplicação da sequência de atividades o
professor/pesquisador, teve que “fazer” pelo aluno algumas etapas para que o objetivo fosse
alcançado, por exemplo, no desenvolvimento da esperança matemática.
Esta pesquisa se restringe a analisar como a Distribuição Exponencial poderia ser
ensinada, por meio da Modelagem Matemática, e entre as dificuldades encontradas, estão o
desenvolvimento teórico e matemático de determinados conceitos, que são pouco acessíveis a
alguns alunos e o tempo destinado ao tópico pela ementa da instituição analisada. Toda a
sequência foi aplicada em três aulas de 50 minutos, mas se parte do processo já não fosse
previsto pelo professor/pesquisador, acreditamos que o tempo ultrapassaria em muito estas três
aulas.
Mesmo com todas estas dificuldades, percebemos um grande avanço no entendimento
dessa Distribuição, quando comparados a alunos de outras turmas que não participaram desta
sequência de atividades. Isso ficou claro para nós, nas avaliações finais da Instituição de Ensino,
na qual o pesquisador é professor.
Na atividade, os alunos participantes mostraram domínio na definição de função
densidade de probabilidade, que foi utilizada em uma das etapas de validação, além de
capacidade de interpretação dos dados, a obtenção do modelo foi feita de maneira adequada por
ambos os grupos, e as questões finais, retiradas de livros didáticos propostos na ementa do
curso, foram respondidas com facilidade pelos dois grupos, após o processo da modelagem.
Dessa forma, entendemos, que sim, o processo da Modelagem Matemática, pode ser um
facilitador no ensino da Distribuição Exponencial para Engenharias, estando de acordo com os
resultados apresentados por Miguel (2005), Krauss, Buckmaier e Martignion (2010), Viali
(2013) e Prodomou (2014), que trabalham em tópicos de variáveis aleatórias diferentes, mas
que com processos de aplicação chegaram a resultados positivos de ensino e de aprendizagem.
89
Nesta pesquisa, entendemos que a aprendizagem desenvolvida pelos alunos foi
significativa, no sentido usual da palavra, e que esta foi aplicada em exercícios na Atividade 4,
de maneira satisfatória, e que também pode auxiliar os alunos na obtenção de novos
conhecimentos, principalmente no que tange a processos em que é necessário a obtenção ou
validação de um modelo matemático.
Foi discutido com os alunos a necessidade de realizar um teste de aderência, para
verificar se a função densidade de probabilidade encontrada teria condições de previsão nos
dados, este tema não foi abordado na atividade, mas pode ser incluído, levando em conta a
disponibilidade de mais encontros.
Sendo assim, entendemos que este trabalho contribui para a pesquisa em Educação
Matemática, principalmente pela ausência de trabalhos, que discutam o ensino da Distribuição
Exponencial, além de estabelecer um processo que pode ser replicado para outras distribuições.
Ressaltamos ainda que a TSD, junto a Modelagem Matemática, permite uma análise de cada
etapa da modelagem, pelo viés de como ocorre a aprendizagem. Assunto que permite maiores
explorações.
Este trabalho apresenta como perspectivas futuras a possibilidade de reprodução da
atividade, separando-a em três ou quatro encontros, com outros tópicos da Teoria das
Probabilidades, além de uma necessidade detectada de trabalhos que aumentem o aporte teórico
do ensino de variáveis aleatórias, de maneira não específica, por meio de estados da arte e
metanálises.
Para nós, esta pesquisa nos levou a uma melhor compreensão dos processos da
Modelagem Matemática e da TSD, também nos surpreendeu a dificuldade em encontrar
pesquisas que analisem o ensino de variáveis aleatórias em nível superior, bem como a
necessidade de se analisar qual é a matemática que deve ser ensinada quando esta presta serviço
a uma graduação.
Isso nos deixa a possibilidade de propor algumas questões que entendemos, que se
respondidas em um futuro, poderão trazer novas perspectivas no ensino de variáveis aleatórias:
Que metodologias são adequadas ao ensino de variáveis aleatórias? Como a disciplina de
Estatística é utiliza pelo egresso de um curso de tecnologia? O que já foi pesquisado sobre o
ensino de variáveis aleatórias? E quais tópicos não têm trabalhos que proponham metodologias
de ensino?
Dessa forma, esperamos que este trabalho traga contribuições para a área da Educação
Matemática, em particular para o ensino de variáveis aleatórias, em cursos superiores.
90
REFERÊNCIAS
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92
YIN, Robert K. Estudo de Caso: Planejamento e Métodos. 4. Ed. Porto Alegre: Editora
Bookman, 2010.
93
Apêndice 1
Atividade 1 – Coleta de Dados
Nesta atividade iremos analisar como as Distribuições de Probabilidade podem ser aplicadas
para entender o tempo de espera em filas de atendimento, como as filas de Supermercado,
bancos, lotéricas, etc., como por exemplo, qual a probabilidade de precisarmos esperar mais do
que 10 minutos para sermos atendidos em uma casa lotérica para pagar uma conta?
Esse estudo visa a uma coleta de dados do tempo de espera em uma fila, a ser contado do
momento de chegada, até o momento de saída da fila para início do atendimento. Vale ressaltar
que nossa análise só terá condições de fazer previsões para o caso específico em que foi
realizada a coleta.
Por exemplo, se a coleta for feita em uma loja de uma rede de fast-food em um shopping, o
estudo responderá questões sobre o tempo de espera na fila desta loja específica, não podendo
ser generalizado para toda a rede, a menos que se faça uma nova pesquisa usando amostragem.
Para tal, propomos que os grupos colham dados de acordo com o quadro abaixo, considerando
que grupos de amigos ou família são considerados como um único indivíduo.
O objetivo da coleta é obter o tempo de espera, em minutos, no sistema, que será nossa variável
aleatória X.
Cliente Horário de
chegada ao
sistema
Horário de saída
do sistema.
X: Tempo em minutos no
sistema.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
94
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
95
44
45
46
47
48
49
50
Para esta tomada de dados sugerimos a seguinte organização:
Na chegada de um indivíduo ou grupo à fila, será entregue um cartão, no qual será marcado o
horário de chegada.
Na saída do indivíduo da fila, para o atendimento, outro integrante do grupo recolherá este
cartão anotando o horário.
É importante que os dois relógios estejam perfeitamente sincronizados e que, de preferência,
sejam digitais.
Estes dados devem ser anotados no quadro, para depois serem organizados em uma tabela de
frequências. Para essa organização, propomos os seguintes passos:
Determinar a amplitude total, representada por R. Assim, 𝑅 = 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 −𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜, dentre os
dados coletados.
Determinar o número de classes, representado por K, para o qual utilizaremos a fórmula de
Sturges, ou seja:
𝐾 ≈ (1 + 3,322𝑙𝑜𝑔(𝑁)), em que N é o número de dados coletados. Como K é o número de
classes, deve-se fazer arredondamento matemático para número inteiro.
Determinar a amplitude de classe ou passo, representada por h. Como R representa a amplitude
total e K (depois do arredondamento) o número de classes, o passo será obtido fazendo-se ℎ =
𝑅
𝐾, com arredondamento matemático para número inteiro.
Montar as classes na tabela a seguir, considerando que a primeira classe se inicia com o valor
mínimo, até completar o número de classes determinado (K).
96
Tabela A1: Dados Coletados
Classe Xi Frequência
Determinar um valor Xi, que irá representar todos os valores da variável X: tempo de espera na
fila em minutos, para cada classe, de modo a ser um bom representante da classe, ou seja, que
não privilegie nenhum dos valores individuais, de maneira a levar ao menor erro possível.
Discuta no seu grupo qual deve ser esse representante e complete a tabela anterior.
Determine a frequência de cada classe, ou seja, o número de elementos no conjunto de dados
pertencentes a cada uma das classes. Nesse momento, é preciso definir os limites de cada classe.
Adotaremos que os intervalos das classes devem ser abertos à esquerda e fechados à direita, a
fim de que cada elemento do conjunto de dados pertença a uma e uma só classe. É claro que o
mínimo será considerado na primeira classe. Complete a tabela anterior, com as frequências.
Esta coleta com a respectiva tabela de frequências deve ser entregue em sala no dia 30/10/2015.
97
Apêndice 2
Atividade 2
Por meio dos dados obtidos na coleta, podemos perceber que, ao organizarmos e plotarmos os
pares de valores (𝑋𝑖 , 𝐹𝑖)e de cada classe, o tipo de curva que se aproxima dos dados é
exponencial decrescente.
Quando analisamos a curva com foco no tempo de espera em uma fila, percebemos que não há
sentido em considerar os pontos cujas abscissas sejam negativas e que tempos relativamente
grandes, em relação aos observados, têm frequências iguais a zero. Entretanto, não podemos
afirmar que tal curva pode ser modelada por uma função densidade de probabilidades, até que
algumas condições estejam satisfeitas.
Esta atividade tem como objetivo estabelecer uma função densidade de probabilidades para a
variável aleatória definida, ou seja, X: tempo de espera até o atendimento, com base nos dados
colhidos pelo grupo. A fim de atingir tal meta, inicialmente, responda às seguintes questões:
1) Qual deve ser a medida da área sob a curva de uma função densidade de probabilidades?
2) Percebendo que a curva obtida pode ser modelada por uma função do tipo
𝑓: ℝ → ℝ, 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑒−𝑏𝑥, determine a relação entre os coeficientes 𝑎 e 𝑏 para que
a mesma seja função densidade de probabilidades, considerando 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 𝑒 𝑎 ≠ 0.
98
Apêndice 3
Atividade 3
De acordo com a discussão anterior a respeito dos coeficientes 𝑎 e 𝑏 (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+) e com base
nos dados coletados pelo grupo, as próximas etapas de nosso estudo são as seguintes:
1) Considerando que estabelecemos que a função densidade de probabilidades deve ser do tipo:
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑒−𝑎𝑥, temos que 𝑎 é o parâmetro desse modelo, denominado Modelo Exponencial.
Escreva a função densidade de probabilidade com base na relação obtida 1
𝑎= 𝛽.
2) Determine a média dos dados coletados e a represente por 𝛽.
3) Mostre que a função obtida é densidade de probabilidades.
4) Retornando a questão da Atividade 1, determine a probabilidade de uma pessoa esperar mais
do que 10 minutos na fila para ser atendido, no sistema observado.
99
Apêndice 4
Atividade 4
O objetivo desta atividade é utilizar o modelo exponencial na resolução de exercícios retirados
de livros didáticos.
1) Supondo que o tempo de resposta, em segundos, de um sistema computacional, seja de em
média três segundos, calcule a probabilidade que o tempo de resposta exceda 5 segundos.
2) Certo tipo de condensador tem tempo de vida distribuído exponencialmente com média de
250 horas. Determine a probabilidade destes condensadores durarem menos que 320 horas.
Fonte: Walpole et al. Probabilidade e Estatística: para engenharia e ciências. 8 ed. São Paulo:
Pearson, 2009.
100
Apêndice 5
Slides da atividade
101
102
103
104
105
106
107
108
109
Apêndice 6
MODELO DE TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Você está sendo convidado(a) como voluntário(a) a participar da pesquisa: O Ensino
de Probabilidade para Engenharias a partir da Modelagem Matemática: Um olhar para a
Distribuição Exponencial
A JUSTIFICATIVA, OS OBJETIVOS E OS PROCEDIMENTOS: O motivo que
nos leva a estudar o ensino de Probabilidade para Engenharias é a necessidade de levar o aluno
deste curso a conhecer e reconhecer, em sua realidade de trabalho, aplicações para tópicos da
disciplina Estatística, com um enfoque na Probabilidade. A pesquisa se justifica na necessidade
que o Engenheiro venha reconhecer problemas em sua totalidade indo ao encontro das
exigências do curso em questão, ao trazer uma aplicação do tópico. O objetivo desse projeto é
investigar como a Modelagem Matemática pode ser um facilitador do ensino de probabilidade
para Engenharias. O procedimento de coleta de material será por meio de uma atividade a ser
aplicada com alunos do 2º ano e terceiro ano de Engenharias. De maneira que as respostas dadas
nesta atividade compõem a coleta de material.
DESCONFORTOS E RISCOS E BENEFÍCIOS: Não se aplica
GARANTIA DE ESCLARECIMENTO, LIBERDADE DE RECUSA E
GARANTIA DE SIGILO: Você será esclarecido(a) sobre a pesquisa em qualquer aspecto que
desejar. Você é livre para recusar-se a participar, retirar seu consentimento ou interromper a
participação a qualquer momento. A sua participação é voluntária e a recusa em participar não
irá acarretar qualquer penalidade ou perda de benefícios.
O pesquisador irá tratar a sua identidade com padrões profissionais de sigilo. Os
resultados descritos na atividade serão enviados para você e permanecerão confidenciais. Seu
nome ou o material que indique a sua participação não será liberado sem a sua permissão. Você
não será identificado(a) em nenhuma publicação que possa resultar deste estudo.
110
CUSTOS DA PARTICIPAÇÃO, RESSARCIMENTO E INDENIZAÇÃO POR
EVENTUAIS DANOS: A participação no estudo não acarretará custos para você e não será
disponível nenhuma compensação financeira adicional.
DECLARAÇÃO DA PARTICIPANTE OU DO RESPONSÁVEL PELA
PARTICIPAÇÃO: Eu, _______________________________________ fui informada (o)
dos objetivos da pesquisa acima de maneira clara e detalhada e esclareci minhas dúvidas. Sei
que em qualquer momento poderei solicitar novas informações e motivar minha decisão, se
assim o desejar. O pesquisador Carlos Willians Paschoal certificou-me de que todos os dados
desta pesquisa serão confidenciais.
Declaro que concordo em participar desse estudo. Recebi uma cópia deste termo de
consentimento livre e esclarecido e me foi dada a oportunidade de ler e esclarecer as minhas
dúvidas.
Nome Assinatura do Participante Data
Nome Assinatura do Pesquisador Data
Nome Assinatura da Testemunha Data
111
Apêndice 7
Autorização da Instituição Coparticipante