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Matemática - Área do triângulo

Para podermos resolver problemas em geral é comum termos que calcular as áreas de

triângulos, mas nem sempre podemos usar .2

b hA = pois a base ou a altura não são dadas.

Então listaremos aqui as outras maneiras de calcular estas áreas. Para isto resolveremos alguns exercícios. Problema 01: Calcule a área de um triangulo, onde dois lados medem 8 e 6 e o ângulo entre esse lados mede 30º. Solução:

Então pelo triangulo AHC, temos que:

sen(30º) = 6h

. Contudo sabemos que sen(30º) = 12

. Então temos que 1

6 2h= ⇒ h=3. Mas

agora sabemos que Área =.2

b h. Então Área =

8 32x

= 12. Com isso podemos apresentar o caso

geral: Caso 1: Sejam a e b lados de um

triangulo, e θ o ângulo compreendido entre eles. Então a

área desse triangulo é ( )absenA θ

Problema 02: Calcule a área de um triangulo onde o raio da circunferência inscrita a ele mede dois, e a soma dos lados mede 10. Solução: Seja I o incentro do triangulo ABC, então a soma das áreas dos triângulos [ABI] + [BCI] + [ACI] = [ABC].

Como a área de um triangulo mede 2

BasexAltura. Sendo r um raio da circunferência, então

[ABI] =.2

c r; [BCI] =

.2

a r; [ACI] =

.2

b r.

Deste modo temos que: .2

a r+

.2

b r+

.2

c r = [ABC]. Então agrupando os termos temos que:

( )2

a b c r+ + . = [ABC]. Mas a+b+c =10 e r=2 com isso [ABC] =

10.22

= 10

Percebemos que a partir da solução desse problema podemos formular um outro caso geral:

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Caso 2: Seja um triangulo com perímetro P, e raio da

circunferência inscrita igual a r,

então sua área mede .2

P r .

Pela lei dos senos em um triangulo qualquer temos que:

2( ) ( ) ( )a b c R

sen sen senα β θ= = =

Onde R é o raio da circunferência circunscrita. Então, desta lei podemos tirar que:

2 ( )( ) 2

c cR sensen R

θθ

= ⇒ = .

Mas no caso 1 temos que a área desse triangulo será:

( ) 22 2

cababsen abcRA A4R

θ= ⇒ = =

Caso 3: Dado um triangulo cujos

os lados medem a, b e c e raio da circunferência circunscrita mede

R, então 4abcA

R=

Mas existe um método mais pratico que o caso 3, basta que nos seja dado os três lados do triangulo, assim é possível calcular sua área. Então que venha o caso 4:

Caso 4: Dado um triângulo cujo os lados medem a, b e c, temos que

sua área é igual a ( )( )(A p p a p b p c= − − −

)

onde p =2

a b c+ +

Rodrigo Aguiar Pinheiro Professor de Matemática do CASD Vestibulares