3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 2 | MATEMÁTICA 1 1

B Cm

B Cm

x x 2 4x 1

2 2y y 12 6

y 92 2

+ − += = =

+ += = =

Matemática 1 Aula 7

COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PARA SALA

1. Lembrando:

= + =x y

r 1p q

, é uma equação de uma reta que corta o

eixo x no ponto (P; 0) e corta o eixo y no ponto (0; q). I. Temos a reta r: 6x + 4y – 48 = 0. Assim podemos:

6x + 4y = 48 ⇒ 6x 4y 48 x y

148 48 48 8 12

+ = ⇒ + = . Isso quer

dizer que a reta corta o eixo x no ponto (8; 0) e o y no ponto (0; 12).

II. Observe a figura:

• Área = 8 . 12

482

=

• Querendo também podemos resolver pela Geome-tria Analítica, já que pela forma acima, sabemos que é pela Geometria Plana. Vejamos:

⇒ det(m) = 96−

Área = | 96 |

482−

=

Resposta correta: A

2. I. Temos o ponto A(7; a) ⇒ x = 7 e y = a

3 . (7) – 4 . (a) + 11 = 0 ⇒ 21 – 4a + 11 = 0 ⇒ ⇒ 4a = 32 ⇒ a = 8

II. B(b; 5) ⇒ x = b e y = 5 3 . (b) – 4 . (5) = 0 ⇒ 3b – 20 + 11 = 0 ⇒ ⇒ 3b = 9 ⇒ b = 3

III. os pontos ficam: A(7; B) e B(3; 5)

IV. ( ) ( )= − + − = + =2 2

A,Bd 7 3 8 5 16 9 5

Resposta correta: B

3. I. Temos a equação da reta: r: (2P – 6)x – 2y + (q – 3) = 0

cujo coeficiente angular m = A 2P 6

mB 12

−− ⇒ = e o

coeficiente linear ( )q 3

n2

−= .

II. Assim temos.

• 2P 6

3 2P 6 6 P 62−

= ⇒ − = ⇒ =

• q 3

2 q 3 4 q 72−

= ⇒ − = ⇒ =

III. P2 + q2 = (6)2 + (7)2 = 36 + 49 = 85

Resposta correta: E

4. I. Com os pontos A(–5; –3), B(–2; 12) e C(4; 6), formamos

o triângulo ABC. Veja: II.

m = (1; 9) Lembrando: Como encontrar o coeficiente angular? Vejamos algu-

mas maneiras: I. Dada a equação reduzida r: y = m x + n coeficiente angular

II. Dada a equação geral r: Ax + By + C = 0.

r

AM

B= −

Veja: By = –Ax – C ⇒ y = A C

xB A

− − , fazendo

Am

B− = e

Cn

A− = temos a equação y = mx + n.

III. Dados os pontos A(xA; yA) e B(xB; yB) temos que o coe-ficiente angular m é dado por:

B A A B

B A A B

y y y y ym

x x x x x∆ − −

= = =∆ − −

IV. Assim podemos destacar os pontos A(–5; –3) e M(1; 9)

então m = ( )( )

9 3y 122

x 1 5 6

− −∆= = =

∆ − −

Resposta correta: B

5. De acordo com o gráfico abaixo:

3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 2 | MATEMÁTICA 1 2

Pela queação segmentária xp

yq

+ = 1, temos:

x y

x y x y−

+ = ⇒ − + = ⇒ − + =4 4

1 4 4 0

Resposta correta: B

COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS

1. Observe que:

O coeficiente linear é o ponto onde o gráfico corta o eixo y 2, enquanto o coeficiente angular é a tangente do ân-gulo que a reta faz com a horizontal, ou seja,

tg 60 =º 3. Desta maneira, m = 3 e n = 2. y = mx + n

y = 3 x + 2

3 x – y + 2 = 0

Resposta correta: D 2. O ponto onde o gráfico corta o eixo y é 3 (coeficiente

linear), enquanto a tangente do ângulo que a reta faz com a horizontal é tg 45o = 1, sendo assim m = 1 e n = 3, logo:

m = −AB

n = −CB

m = −−

−( )3 5

4k

3 = − +−

( )p 24

1 =( )3 5

4k −

3 = p+2

4

3k – 5 = 4 p + 2 = 12 3k = 9 p = 10 k = 3

Resposta correta: E

3. I. Da equação( )( )

3 y 12

4 x 2

−= −

+, temos:

3 . (x + 2) – 4(y – 1) = –2 ⇒ 3x + 6 – 4y + 4 + 2 = 0 ⇒ ⇒ 3x – 4y + 12 = 0 II. Transformando a equação (que está na geral) para a

forma segmentária, temos:

3x – 4y = –12 ⇒ 3x 4y 12 x y

112 12 12 4 3

−− = ⇒ + =

− − − −

Assim os pontos que cortam os eixos são: (–4; 0) e (0; 3) III. Temos a figura:

• Pela Geometria Plana temos:

Área = 4.3

62

=

• Pela Geometria Analítica temos:

⇒ det(m) = –12

II. Área = 12

66

−=

Resposta correta: A

4. Quando a equação se encontra na forma reduzida, o coeficiente angular é o número que multiplica x e o line-ar, o termo independente de x: y = (2p – 7)x + (4q + 5) → m = 2p – 7 e n = 4q + 5

m n Como m = 5 e n = 9, então: 2p – 7 = 5 4q + 5 = 9

2p = 12 4q = 4 p = 6 q = 1

Resposta correta: D

5. I. Se os lados do triângulo ABC medem 6cm, então encontramos os vértices A e B. Veja:

• Observe que OC é altura, assim também é bissetriz,

mediatriz e mediana, assim O é ponto médio.

II. Como queremos a reta suporte do lado BC e temos dois pontos, então dá para encontrar a equação. Veja:

1° modo: Pegamos um ponto genérico P(x; y). Assim os pontos P, C e B são colineares, então det(m) = 0.

⇒ 3 3x 3y 9 3 0+ − = ⇒

⇒ 3 y 3 3 0+ − =

3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 2 | MATEMÁTICA 1 3

2º modo I. Calculemos o coeficiente angular:

y 3 3 0 3 3

m 3x 0 3 3

∆ −= = = = −∆ − −

II. Pegando um dos pontos (A ou B) e substituindo na expressão y – y0 = m(x – x0), onde (xo; y0) é um dos pontos, temos:

( )y o 3 x 3 y 3x 3 3

3x y 3 3 0

− = − − ⇒ = − + ⇒

⇒ + − =

Resposta correta: D 6. I. A equação y = 2x – 1 está na forma reduzida. Trans-

formaremos para a forma segmentária. Observe:

y = 2x – 1 ⇒ 2x – 4 = 1 ⇒ x y

11 12

+ =−

. Assim os

pontos que cortam os eixos coordenados são:

( )1; 0 e 0; 1

2 −

II. Observe a figura:

A Bm

A Bm

10x x 12x

2 2 4

y y 0 1 1y

2 2 2

1 1m ;

4 2

++= = =

+ −= = = −

−

Resposta correta: B

7. I. Da equação geral r: 7x 2y 11 0− − = , temos que o

coeficiente angular é dado por:A 7 7

mB 2 2− −

= ⇒ =−

Poderíamos passar a reta para a forma reduzida e encontrar o coeficiente angular. Veja:

7x 2y 11 0 2y 7x 11

7 11y x

2 2

− − = ⇒ = − ⇒

⇒ = −

II. Se 7

m2

= , então m4 - 4 = 4

7 494

2 16

− = −

49 16 15

416 16− −

− = =

Resposta correta: A

8. I. Da reta (2m)x – 5y + 1 = 0, temos que o coeficiente

angular é 2m 2m5 5

−=

−

II. Como, numericamente, o coeficiente angular é 4, en-

tão 2m

4 m 105

= ⇒ =

Resposta correta: C

9. Do enunciado, temos:

I. Pela Geometria Plana, temos:

Área = 2

2a . a a18 a 36 a 6

2 2⇒ = ⇒ = ⇒ =

II. Pela Geometria Analítica, temos:

⇒ det(m) = –a2

–a2 = 36 (F)

Área = 2

2a

a 362

−⇒ − =

–a2 = –36 ⇒ ⇒ a2 = 36 ⇒ a = ± 6

Perceba que a ≠ –6, pois a > 0. III. Considerando os pontos (x; y), (0; 6) e (6; 0) colinea-

res, temos:

6 x + 6y = 36 ⇒ x + 4 = 6

Poderíamos encontrar pela relação (y – y0) = m(x – x0), veja:

• y 6 0

m 1x 0 6

∆ −= = =∆ −

coef. linear

coef. angular

3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 2 | MATEMÁTICA 1 4

• (x0; y0) = (0; 6) • y – 6 = –1(x – 0) ⇒ y – 6 = – x ⇒ x + y = 6

Resposta correta: E 10. I. Considere os pontos A(2; 2), B(4; –1) e C(m; 0). A

distância AC CB+ só será mínima, quando A, B e C forem colineares, assim det(m) = 0.

II.

⇒ 3m – 10 = 0 ⇒ 10

m3

=

Resposta correta: D