mn aula07 equacoes
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Resoluo de equaes no lineares
Raiz de uma equao
Raiz exata Um
nmero xr raiz exata de uma equao f(x)=0 se f(xr)=0 nmero x raiz aproximada de uma equao f(x)=0 se |x-xr| e |f(x)| forem ambos prximos de 0
Raiz aproximada Um
Comparar o mdulo da subtrao da raiz basicamente uma operao terica, pois no se pode obter a raiz exata
Calculando as razesPara calcular as razes reais de uma equao f(x)=0 necessrio: 1) delimitar, enumerar e separar as razes 2) utilizar um mtodo numrico para calculo de cada raiz
Equaes algbricas polinomiaisA) toda equao do tipo anxn+an-1xn-1 +...a1x1+a0 algbrica e polinomial n um nmero natural denominado grau da equao Os coeficientes ai, i=0...n so nmeros reais
Equaes algbricas polinomiais
Toda equao polinomial de grau n tem exatamente n razes, reais ou complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo com seu grau de multiplicidade
Multiplicidade de raizesUma raiz tem grau de multiplicidade m se: anula a funo que origina a equao
Anula as derivadas at a ordem m-1
No anula a derivada de ordem m
ExemploA equao f(x)=x3-5x2+8x-4 tem razes x1=1 x2=2 e x3=2 f(2)=0 f(2) = 3x2-10x+8 -> f(2)=0 f(2)=6x-10 ->f(2)=2
Equaes algbricas polinomiaisAs razes complexas aparecem sempre em pares conjugados (a+bi e a-bi) Toda equao polinomial de grau impar tem pelo menos uma raiz real
Delimitao de razes reais
Limite superior positivo-teorema de Lagrange Seja f(x)=0 uma equao polinomial de grau n, na qual an>0 e a0 0 Para limite superior de suas razes positivas, caso existam pode ser tomado o nmero L 1 nk M an K= grau do 1 termo negativo M= mdulo do menor coeficiente negativo
Exemplo
Calcule o limite superior para as razes positivas da equao f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0
Exemplo
Calcule o limite superior para as razes positivas da equao f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0 n=5,k=3,a5=1 e M=16L 1 53 16 1 1 2 16 1 4 5
Delimitao das razes reaisLimite inferior negativo Obter a equao auxiliar f1(x)=f(-x)=0
usar o teorema de Lagrange em f1(x), obtendo o limite superior de suas razes positivas L1 O limite inferior das razes negativas dado por L1
Exemplo
Calcule o limite inferior para as razes negativas da equao f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0
Exemplof(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0 f1(x) = -x5+x4+8x3-16x2-7x+14 =0 an 2 razes ou nenhuma raiz
Exemplox5-x4+8x3-16x2+7x-14=0 Quantas razes?
Exemplox5-x4+8x3-16x2+7x-14=0 Quantas razes? 5 variaes -> 5 razes ou 3 ou 1 raiz
Exemplo5x5-16x2+7x-14=0 Quantas razes?
Exemplo5x5-16x2+7x-14=0 Quantas razes? 3 variaes -> 3 razes ou 1 raiz positiva
Enumerao de razes
Para determinar o nmero de raizes negativas basta trocar x por (-x) na equao e aplicar a regra dos sinais
Exemplox5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 f(-x)=-x5+x4+8x3-16x2-7x+14=0 f(-x)=-x5+x4+8x3-16x2-7x+14=0 3 razes ou 1 raiz negativa
Exemplox5-x4+8x3-16x2+7x-14=0 f(-x)=-x5-x4-8x3-16x2-7x-14=0
Sem variao -> nenhuma raiz negativa
Sucesso de SturmDada a equao polinomial f(x)=0 a sucesso de Sturm a ela associada o seguinte conjunto de polinmios: f(x)f1(x)f2(x)... fm(x) f(x) o polinmio que origina a equao f1(x) a primeira derivada de f(x)
Sucesso de SturmA partir de f2(x) cada termo o resto, com o sinal trocado, da diviso dos 2 termos anteriores f(x)/f1(x) = Q1x+R1x -> f2(x)=-R1x f1(x)/f2(x) = Q2x+R2x -> f3(x)=-R2x
A sucesso procede at que seja obtido um resto constante
PropriedadesSe a equao tiver razes mltiplas ento o ltimo termo da sucesso nulo Para nenhum valor de x, 2 termos consecutivos da sucesso no se anulam Se, para algum x, um termo mdio da sucesso se anula, ento os termos vizinhos tero valores numricos de sinais opostos
Teorema de SturmSeja N(alpha) o nmero de variaes de sinal apresentado pela sucesso de sturm. Para x = alpha O nmero de razes reais de uma equao polinomial, sem razes mltiplas, situadas em um intervalo [a,b] igual a N(a)-N(b)
Exemplo
Determine o nmero de razes reais da equao no intervalo (-15,5) f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x+14 f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x+7 f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72 f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22 f4(x)=-68,42x-49,69 f5(x)=-2,88
-15 f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x+14 f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x +7 f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72 f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22 f4(x)=-68,42x-49,69 f5(x)=-2,88 N(x) + + 4 + + + -
0 + + + 3
5
1
Razes negativas N(15)-N(0) = 4-3 =1 Razes negativas N(0)-N(5) = 3-1 =2 As outras duas razes so complexas
Separao de Razes reaisTeorema de Bolzano: seja f(x) uma funo continua em um intervalo [a,b] Se f(a).f(b)0 ento f(x)=0 tem um nmero par de razes ou nenhuma raiz no intervalo [a,b]
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
ExemploSepare as razes positivas da equao f(x)= x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 Sabendo-se que esto situadas no intervalo (0,5) e que o nmero de razes positivas 2
f(0)=14, f(5)=2399, f(2,5)= -56,78 Uma raiz entre 0 e 2,5 e outra entre 2,5 e 5
Equaes no polinomiaisDuas possibilidades 1) Construir um esboo do grfico da funo com o objetivo de detectar os pontos 2) Transformar a equao f(x)=0 em uma equao equivalente da forma g(x)-h(x)=0 g(x)=h(x)
Equaes no polinomiaisEsboar os grficos de g(x) e h(x) em um mesmo sistema de eixos cartesianos As abscissas de cada ponto onde g(x) e h(x) se interceptam uma raiz de f(x)
ExemploSeja a equao f(x)=x+ x -5=0 x = 5-x (g(x)=h(x)) Pode ser escrita
Metodo da BisseoSeja f(x) uma funo continua em um intervalo [a,b] O intervalo contm uma nica raiz da equao f(x)=0 sendo assim, f(a).f(b)