matematica

F I C H A D E T R A B A L H O MATEMÁTICA – 12.º ano

“Combinatória – Problemas”

Ano lectivo 08’09

1

1. Numa corrida participam 5 cavalos: A, B, C, D e E.

a. Quantas apostas se devem fazer, supondo que o objectivo é acertar nos dois cavalos que chegam em primeiro e segundo lugares? -------------------------------

b. E se as apostas consistirem em acertar nos três primeiros lugares, quantas

apostas se deverão fazer? ---------------------------------------------------------------- 2. Uma empresa pretende instalar uma rede de telefones internos.

a. Se cada número tiver três algarismos, quantos números de telefone diferentes pode ter a rede? ---------------------------------------------------------------------------

b. Quantos números de telefone ficam disponíveis, sabendo que para a

Administração estão reservados os que começam ou terminam em 1? -----------

3. O Francisco esqueceu o código do seu cofre. Sabe que tem exactamente as cinco letras

da palavra “PRETO”, que a última é P e a penúltima vogal. Quantas experiências terá de fazer, se tiver o azar de só acertar na última? ----------------------------------------------

4. Numa classe de vinte e cinco alunos, vai ser sorteada uma calculadora, um livro e um

disco. Cada aluno só pode receber, no máximo um dos prémios. a. Quantos resultados diferentes admite o sorteio? ------------------------------------- b. Admitindo que um aluno pode receber mais do que um prémio, quantos

resultados diferentes admite o sorteio? ------------------------------------------------

5. Um comboio pára em oito estações. Quantos tipos de bilhetes devem ser emitidos, se

for indicado em cada bilhete a estação de entrada e saída? ---------------------------------- 6. Numa mercearia, um empregado estava a arrumar sumos de diferentes sabores numa

prateleira. Tinha sete garrafas de uma determinada marca e nove de outra marca. De quantas maneiras diferentes pode colocar as garrafas, de modo a que as da mesma marca fiquem juntas? -----------------------------------------------------------------------------

7. Nos aparelhos utilizados para contabilizar o valor a pagar pelos clientes que joguem

snooker, são colocadas três bolas das dezasseis bolas que se utilizam no jogo, para efectuar a paragem do contador. Qual é o número de hipóteses que existem para colocar as três? -------------------------------------------------------------------------------------

Resposta: 20 60 1 000 190 250 13 800 15 625 56 3 657 830 400 560



Ano lectivo 08’09

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8. Os números de telemóvel têm os dois primeiros algarismos iguais consoante a

empresa que fornece o serviço. Sabendo que o número de um telemóvel é constituído é constituído por nove algarismos, determine a quantidade de telemóveis que cada empresa pode fornecer. ---------------------------------------------------------------------------

9. Dez professores: cinco de Matemática, três de Português e dois de Inglês; foram

almoçar a um restaurante chinês e ficaram numa mesa redonda. De quantas maneiras diferentes se podem sentar, de modo a que fiquem juntos os da mesma disciplina? -----

10. Um grupo de seis amigos combinou um jantar e pediu ao dono do restaurante que lhes

reservasse uma mesa redonda, de preferência que um dos lugares tivesse uma janela por detrás.

a. Considerando que o pedido foi aceite, os amigos chegaram ao restaurante e foram se sentando. De quantas maneiras diferentes se podem sentar os seis amigos? ------------------------------------------------------------------------------------

b. O dono do restaurante não conseguiu reservar a mesa pretendida, pelo que lhes destinou uma outra mesa, também redonda, mas no meio da sala. Será que o número de maneiras diferentes de se sentarem é o mesmo? Justifique. -----------

11. Na figura estão representadas duas circunferências concêntricas e, em cada uma delas, quatro pontos. Dos pontos representados

não existem três colineares.

a. Quantos triângulos se podem construir, utilizando como vértices três dos oito pontos? ---------------------------------------------------

b. E quantos desses é que têm, pelo menos, um vértice na circunferência de menor raio? ------------------------------------------------------------------------------------

12. As matrículas em Portugal eram inicialmente constituídas por um par de letras seguida

de dois pares de algarismos. Na década de 1990, foram introduzidas novas matrículas, em que as letras ocupavam a última posição. Em 2005, foi necessário acrescentar mais matrículas, tendo a opção recaído na colocação das letras no meio dos dois pares de algarismos. (considere-se a utilização de 24 letras).

a. Quantas viaturas foram matriculadas até ao fim de 2004? -------------------------- b. Com a opção tomada em 2005, qual será o total de viaturas matriculadas até

esgotar todas as possibilidades? --------------------------------------------------------

Resposta:

10 000 000 8 640 720 120 56

52

11 520 000

17 280 000



Ano lectivo 08’09

3

L

E

P

13. Na figura está uma representação esquemática de parte da planta

de uma cidade, em que as linhas representam ruas. Os pontos E, L e P representam, respectivamente, a escola, a casa da Luísa e a casa do Pedro.

a. De quantas maneiras diferentes pode ir a Luísa de casa

(L) para a escola (E)? ------------------------------------------ b. De quantas maneiras diferentes pode ir o Pedro de casa (P) para a escola (E)

passando por casa da Luísa? ------------------------------------------------------------

c. No regresso da escola para casa, quantos são os caminhos diferentes que o Pedro pode seguir se não quiser passar pela casa da Luísa? ------------------------

Nota: Os movimentos são feitos sempre em progressão, isto é, não andam em sentido contrário ao pretendido.

14. Num parque de campismo há várias tendas. Cada tenda está ligada a cada uma das

outras por um caminho. Sabendo que há 120 caminhos diferentes, quantas tendas há no parque? ------------------------------------------------------------------------------------------

15. Numa agência de uma companhia de seguros os diversos processos estão organizados

em 12 dossiês: 6 do ramo automóvel: A1, A2, A3, A4, A5 e A6; 4 do ramo da habitação: H1, H2, H3 e H4; 2 do ramo vida: V1 e V2. Os dossiês estão dispostos num armário com duas prateleiras, ficando seis em cada prateleira.

a. Determine de quantas maneiras é possível colocar os 12 dossiês no armário de modo que: a.1. os do ramo automóvel fiquem na mesma prateleira; --------------------------- a.2. os do ramo vida fiquem na mesma prateleira lado a lado; -------------------- a.3. os do ramo habitação não fiquem todos na mesma prateleira. ---------------

b. Há necessidade de registar uma nota em todos os processos. Para o efeito, são retirados do armário quatro dossiês, ao acaso, para que um funcionário proceda ao registo.

Determine de quantas maneiras diferentes pode ocorrer a escolha dos quatro dossiês se:

b.1.. não há qualquer indicação; -------------------------------------------------------- b.2. exactamente dois são do ramo automóvel; -------------------------------------- b.3. nenhum é do ramo habitação; ----------------------------------------------------- b.4. pelo menos um é do ramo vida. --------------------------------------------------

Resposta:

20

120 132 16 1 036 800

72 576 000

449 971 200

495

225

70

285



Ano lectivo 08’09

4

16. Na figura está representado um hexágono regular.

a. Quantos triângulos é possível formar com os vértices do hexágono? ------------------------------------------------------------------- b. Destes, quantos é que não são equiláteros? -------------------------------------------

c. E quantos são isósceles? -----------------------------------------------------------------

17. Com seis círculos, três cinzentos, dois azuis e um branco, foi construído o “triângulo” representado na figura. Por troca das peças, quantos “triângulos” diferentes podes construir? ---------------------------------------------------------------------- 18. Um grupo de oito amigos que incluem a Carla e o Daniel possuem 4 bilhetes para irem

ao cinema. Quantos agrupamentos diferentes se podem formar para a ida ao cinema sabendo que o Daniel não vai se a Carla não for, mas a Carla vai mesmo que o Daniel não vá. -----------------------------------------------------------------------------------------------

19. Os números de telefone de uma certa região têm sete algarismos, sendo os três

primeiros 9, 8 e 3 (não necessariamente por esta ordem). Quantos números de telefone sem algarismos repetidos existem nesta região? ---------- 20. Dez pessoas vão fazer uma viagem de comboio, distribuindo-se por dois

compartimentos. Sabendo que cada compartimento leva no máximo seis (6) pessoas, determine o número de maneiras diferentes das dez (10) pessoas se distribuírem pelos compartimentos. -----------------------------------------------------------------------------------

21. Numa festa onde estavam presentes várias pessoas cada uma delas cumprimentou cada

uma das outras com um aperto de mão. Sabe-se que houve exactamente 190 apertos de mão. Calcule o número de pessoas presentes na festa. ---------------------------------------

22. No fim de cada período, a professora de Biologia vai sortear uma planta carnívora

entre os 25 alunos da turma. No final do ano lectivo, de quantas maneiras diferentes podem ser atribuídas as três

plantas? --------------------------------------------------------------------------------------------- 23. O João foi visitar o avô e este quis premiá-lo pelos seus bons resultados escolares.

Disse-lhe por isso que podia escolher três coisas: um dos 42 livros que estavam na estante, um dos 23 discos e um dos 8 baralhos de cartas.

De quantas maneiras diferentes pode o João fazer as suas escolhas? ----------------------

Resposta:

20 18 6 60 50 5 040

672 20 15 625 7 728



Ano lectivo 08’09

5

Resolução: 1.

a. 52A .

b. 53A .

2.

a. 10 '3A .

b. 10 '22 10A× − .

3. 5 '32 A× .

4.

a. 253A .

b. 25 25 253 2 13A A A+ × + .

5. Entram em 8 estações e saem em 7 estações. Logo obtemos 8 7× .

6. 7! 9! 2× × .

7. 163C .

8. 10 '7A .

9. 5! 3! 2! 3!× × × .

10.

a. 6!.

b. . 5!Não .

11.

a. 83C .

b. 8 43 3C C− .

12.

a. 24 ' 10 '2 42 A A× × .

b. 24 ' 10 '2 43 A A× × .

13.

a. 63C .

b. 4 62 3C C× .

c. 10 4 65 2 3C C C− × .



Ano lectivo 08’09

6

14. ( )

2

1120 120 16. 16 .

2n n n

C n Há tendas no parque de campismo−

= ⇔ = ⇒ =

15. ..

a1) 6! 6! 2× × .

a2) 10 2 10!× × .

a3) 6412! 8! 2A− × × .

b1) 124C .

b2) 6 62 2C C× .

b3) 84C .

b4) 10 2 10 2 12 103 1 2 2 4 4C C C C ou C C× + × − .

16.

a. 63C .

b. Triângulos equiláteros tem dois, logo obtemos 63 2C − .

c. De cada vértice do hexágono com os dois vértices adjacentes obtemos um triângulo isósceles. Desta

forma obtemos 6 triângulos isósceles.

17. 6 5 31 2 3

6!3! 2! 1

ou C C C× ×× ×

.

18. 6 74 3C C+ .

19. 743! A× .

20. 10 10 106 5 4C C C+ + .

21. ( )

2

1190 190 20. 20 .

2n n n

C n Na festa haviam pessoas−

= ⇔ = ⇒ =

22. 25 25 253 2 13A A A+ × + .

23. 42 23 8× × .

Abílio Vitorino

matematica

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