Matemática EPCAr 2016Solução

José Bartasevicius

16 de Agosto de 2016

Caṕıtulo 1

Questões

17 - Uma agência de turismo fez um levantamento para apurar a faixa etáriade um grupo de N pessoas que se interessaram por determinada viagem.No registro das idades dessas pessoas, em anos, foram utilizados exatamenteN números inteiros positivos e entre esses números foi observado que:

• 10 eram múltiplos de 8,

• 12 eram múltiplos de 4 e

• 8 eram números primos.

É correto afirmar que número de divisores positivos de N é igual a

a) 7

b) 6

c) 5

d) 4

18 - Considere a = 1150, b = 4100 e c = 2150 e assinale a alternativa correta.

a) c < a < b

b) c < b < a

c) a < b < c

d) a < c < b

1

19 - Na figura, E e F são, respectivamente, pontos de tangência das retas re s com a circunferência de centro O e raio R. D é ponto de tangência deBC com a mesma circunferência e AE = 20 cm.

O peŕımetro do triângulo ABC (hachurado), em cent́ımetros, é igual a

a) 20

b) 10

c) 40

d) 15

20 - João, ao perceber que seu carro apresentara um defeito, optou por alugarum véıculo para cumprir seus compromissos de trabalho. A locadora, então,lhe apresentou duas propostas:

• plano A, no qual é cobrado um valor fixo de R$ 50,00 e mais R$ 1,60por quilômetro rodado.

• plano B, no qual é cobrado um valor fixo de R$ 64,00 mais R$ 1,20 porquilômetro rodado.

2

João observou que, para um certo deslocamento que totalizava k quilômetros,era indiferente optar pelo plano A ou pelo plano B, pois o valor final a serpago seria o mesmo.É correto afirmar que k é um número racional entre

a) 14,5 e 20

b) 20 e 25,5

c) 25,5 e 31

d) 31 e 36,5

21 - Nos gráficos abaixo estão desenhadas uma parábola e uma reta querepresentam as funções reais f e g definidas por f(x) = ax2 + bx + c eg(x) = dx+ e , respectivamente.

Analisando cada um deles, é correto afirmar, necessariamente, que

a) (a+ e).c ≥ b

b) −ed< −b

c) a.b.c+e

d> 0

d) (−b+ a).e > a.c

22 - No concurso CPCAR foi concedido um tempo T para a realização detodas as provas: Ĺıngua Portuguesa, Matemática e Ĺıngua Inglesa; inclusivemarcação do cartão-resposta.

3

Um candidato gastou1

3deste tempo T com as questões de Ĺıngua Portu-

guesa e 25% do tempo restante com a parte de Ĺıngua Inglesa.A partir dáı resolveu as questões de Matemática empregando 80% do tempoque ainda lhe restava.Imediatamente a seguir, ele gastou 5 minutos preenchendo o cartão-respostae entregou a prova faltando 22 minutos para o término do tempo T estabe-lecido.É correto afirmar que o tempo T , em minutos, é tal que

a) T < 220

b) 220 ≤ T < 240

c) 240 ≤ T < 260

d) T ≥ 260

23 - Considere os ćırculos abaixo, de centro O e raio 4R, cujos diâmetros sãodivididos em oito partes iguais.Sabe-se que todos os arcos traçados nas quatro figuras são arcos de circun-ferência cujos diâmetros estão contidos no segmento AB.

4

Sobre as áreas SI , SII , SIII e SIV hachuradas nas figuras (I), (II), (III) e(IV), respectivamente, pode-se afirmar que

a) SI = SII = SIII = SIV

b) SIII > SI

c) SIV =1

2SII

d) SII > SIII

24 - Simplificando as expressões

A =

[1−

(yx

)2].x2(√

x−√y)2

+ 2√xy

e B =x2 − xy

2x, nas quais y > x > 0 , é correto

afirmar que

a)A

B= 2−1

b)B

A∈ N

c) A.B > 0

d) A+B > 0

5

25 - Sejam Q(x) e R(x) o quociente e o resto, respectivamente, da divisãodo polinômio x3 − 6x2 + 9x− 3 pelo polinômio x2 − 5x+ 6 , em que x ∈ R.O gráfico que melhor representa a função real definida por P (x) = Q(x) +R(x) é

a) b)

c) d)

26 - Sobre a equação2

x+√

2− x2+

2

x−√

2− x2= x , respeitando sua va-

lidade no universo dos números reais, analise as afirmativas.

I. Possui duas ráızes irracionais.

II. Não possui ráızes negativas.

III. Possui conjunto solução com um único elemento.

Pode-se afirmar, então, que

a) todas são verdadeiras.

b) apenas a I é falsa.

c) todas são falsas.

d) apenas a III é verdadeira.

27 - Um grupo de n alunos sai para lanchar e vai a uma pizzaria. A intençãodo grupo é dividir igualmente a conta entre os n alunos, pagando, cada um, preais. Entretanto, 2 destes alunos vão embora antes do pagamento da referidaconta e não participam do rateio. Com isto, cada aluno que permaneceu teve

6

que pagar (p+ 10) reais. Sabendo que o valor total da conta foi de 600 reais,marque a opção INCORRETA.

a) O valor que cada aluno que permaneceu pagou a mais corresponde a 20%de p

b) n é um número maior que 11

c) p é um número menor que 45

d) O total da despesa dos dois alunos que sáıram sem pagar é maior que 80reais.

28 - Analise as proposições abaixo e classifique-as em V (VERDADEIRA)ou F (FALSA)

( ) Se m =0, 0001.(0, 01)2.1000

0, 001, então m =

1

100.

( ) O número (0, 8992 − 0, 1012) é menor que 710

.

( )

√(2√2+1)√2−1

.

√4.

√(2√3+1)√3−1

é irracional.

A sequência correta é

a) V - F - F

b) V - F - V

c) F - F - F

d) F - V - V

7

29 - Considere duas calçadas r e s, paralelas entre si, a uma distância de 6m uma da outra.

Duas pessoas distantes 5 m uma da outra se encontram nos pontos A e Bdefinidos na calçada s.Na calçada r está uma placa de parada de ônibus no ponto X que dista 10m da pessoa posicionada em A. Quando a pessoa em A se deslocar paraP sobre o segmento AX, a distância que irá separá-la da pessoa posicionadano ponto B, em metros, será de

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

30 - Considere, em x, a equação (m+ 2)x2− 2mx+ (m− 1) = 0 na variávelx, em que m é um número real diferente de −2.Analise as afirmativas abaixo e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F(FALSA).( ) Para todo m > 2 a equação possui conjunto solução vazio.( ) Existem dois valores reais de m para que a equação admita ráızes iguais.( ) Na equação, se x > 0, então m só poderá assumir valores positivos.A sequência correta é

a) V - V - V

b) F - V - F

c) F - F - V

d) V - F - F

8

31 - Certa máquina, funcionando normalmente 5 horas por dia, gasta 3 diaspara produzir 1200 embalagens.Atualmente está com esse tempo de funcionamento diário reduzido em 20%,trabalhando, assim, apenas T horas por dia.Para atender uma encomenda de 1840 embalagens, aproveitando ao máximoem todos os dias o seu tempo T de funcionamento, ela gastará no último dia

a) 120 minutos

b) 150 minutos

c) 180 minutos

d) 200 minutos

32 - Na figura abaixo, tem-se que_

DF é um arco de circunferência de centroE e raio DE.

Sabe-se que:

• ADE é um triângulo

• DE é paralelo a BC

• BD = 7 cm

• AC = 10 cm

• BC = 6 cm

• AĈB = 120◦

• cos 120◦ = −12

9

A área do setor circular hachurado na figura, em cm2, é igual a

a) 27π

b)27π

2

c)9π

2

d) 3π

10

Caṕıtulo 2

Soluções

Questão 17:Os alunos que possuem idade múltiplo de 8, também são múltiplos de 4:

m. 4

m. 810 alunos

(12-10)= 8 alunos

Números primos são todos aqueles que são diviśıveis apenas por 1 e porsi mesmo e, portanto, não podem ser múltiplos de 4 e nem de 8, consequen-temente.

m. 4

m. 810 alunos

(12-10)= 8 alunos

primos

8 alunos

Portanto o total de alunos é 10 + 2 + 8 = 20.N = 20 = 22 × 51 =⇒ N possui (2 + 1)× (1 + 1) divisores positivos.∴ N possui 6 divisores positivos.ALTERNATIVA b)

11

Questão 18:A primeira observação é notar que b e c podem ser representados em potênciade base 2. Portanto 11 pode ser comparado a potências de base 2 para per-mitir o relacionamento entre a, b e c:b = (22)

100= 2200 e

c = 2150

8 < 11 < 16 =⇒ 23 < 11 < 24 =⇒(23)50

< 1150 <(24)50

=⇒=⇒ 2150︸︷︷︸

c

< 1150︸︷︷︸a

< 2200︸︷︷︸b

∴ c < a < bALTERNATIVA a)

Questão 19:O peŕımetro é p = AB +BC + CA.BC = BD +DC, logo p = AB +BD +DC︸ ︷︷ ︸

BC

+CA.

Segmentos de reta tangentes a uma circunferência partindo do mesmo pontopossuem a mesma distância. Portanto BE = BD, CD = CF e AE = AF .Fazendo as substituições no peŕımetro:

p = AB + BD︸︷︷︸=BE

+ DC︸︷︷︸=CF

+CA =⇒

p = AB +BE + CF + CA︸ ︷︷ ︸=AE

=⇒

p = AE + AE = 20 + 20 = 40 cm

ALTENATIVA c)

12

Questão 20:Se ele vai rodar k quilômetros, então os valores para os planos são:

• plano A: 50 + k.1, 60

• plano B: 64 + k.1, 20

Se o preço é o mesmo, logo 50 + k.1, 60 = 64 + k.1, 20 =⇒ k = 140, 40

=

R$35, 00

ALTERNATIVA d)

Questão 21:Análise do gráfico de f(x):

• Concavidade para baixo: a < 0;

• Vértice da parábola no semi-eixo positivo de x: − b2a

> 0. Sendo a < 0,

logo b > 0;

• Corte do gráfico no semi-eixo positivo de y (ou seja, quando x = 0):c > 0.

Análise do gráfico de g(x):

• Função crescente: d > 0;

• Corte do gráfico no semi-eixo negativo de y (ou seja, quando x = 0):e < 0.

Análise das alternativas:

a) (a+ e).c ≥ b: a+ e < 0 ∧ c > 0 =⇒ (a+ e).c < 0.b > 0. Logo, b > (a+ e).c. FALSO;

b) −ed< −b: −e

d> 0 ∧ −b < 0. Logo −e

d> −b. FALSO;

c) a.b.c+e

d> 0: a.b.c < 0 ∧ e

d< 0. Logo a.b.c+

e

d< 0. FALSO;

d) (−b+ a).e > a.c: −b+ a < 0 ∧ e < 0 =⇒ (−b+ a).e > 0.a.c < 0. Logo, (−b+ a).e > a.c. VERDADEIRO.

ALTERNATIVA d)

13

Questão 22:Transformando o texto em variáveis:

• Ĺıngua Portuguesa: T3

. Resta T − T3

=2T

3para os demais eventos das

provas (Inglês, Matemática, preenchimento do cartão-resposta e temporestante para o final da prova);

• Inglês: 25100× 2T

3=T

6. Resta

2T

3− T

6=T

2para os demais eventos

das provas (Matemática, preenchimento do cartão-resposta e temporestante para o final da prova);

• Matemática: 80100× T

2=

2T

5. Resta

T

2− 2T

5=

T

10para os demais

eventos das provas (preenchimento do cartão-resposta e tempo restantepara o final da prova);

• Preenchimento do cartão-resposta e espera para o término da prova:5 + 22 = 27 minutos;

• Logo, T10

= 27 =⇒ T = 27× 10 = 270 minutos

ALTERNATIVA d)

14

Questão 23:Calculando as áreas:(Notação: SCXY significa área do semi-ćırculo de raio XY , onde X é ocentro do ćırculo)

• SI = SCOA − SCEA + SCHB =π (4R)2

2− π (3R)

2

2+π (R)2

2=

8πR2

2

• SII = SCEG−SCDO +SCGO−SCHG =π (3R)2

2− π (2R)

2

2+π (2R)2

2−

π (R)2

2=

8πR2

2

• SIII = (SCDO − SCCD + SCEO)×2 =

(π (2R)2

2− π (R)

2

2+π (R)2

2

)×

2 =8πR2

2

• SIV = (SCDO − (SCCD)× 2)×2 =

(π (2R)2

2−

(π (R)2

2

)× 2

)×2 =

4πR2

2

∴ SIV =1

2SII

ALTERNATIVA c)

15

Questão 24:

A =

[1−

(yx

)2].x2(√

x−√y)2

+ 2√xy

=

[1−

(y2

x2

)].x2(

x− 2√xy + y)

+ 2√xy

=

=

[x2 − y2

x2

].x2

x+ y=

(x+ y) (x− y)x+ y

=⇒

=⇒ A = x− y

B =x2 − xy

2x=x (x− y)

2x=⇒ B = x− y

2

Aplicando nas alternativas:

a)A

B= 2

b)B

A=

1

2/∈ N

c) A.B =(x− y)2

2=⇒ A.B > 0, y > x > 0

d) A+B =3 (x− y)

2=⇒ A+B < 0, y > x > 0

ALTERNATIVA c)

Questão 25:x3 −6x2 +9x −3 | x2 −5x +6−x3 +5x2 −6x x −1

−x2 +3x −3x2 −5x +6−2x +3

∴ Q(x) = x− 1 e R(x) = −2x+ 3 =⇒ P (x) = −x+ 2.Para x = 0, P (0) = 2 e para P (x) = 0 =⇒ x = 2.ALTERNATIVA a)

16

Questão 26:Inicialmente, duas condições limitantes devem ser respeitadas: o radicandodeve ser positivo e o denominador deve ser diferente de zero.

• 2− x2 ≥ 0 =⇒ x2 ≤ 2 =⇒ −√

2 ≤ x ≤√

2

• x +√

2− x2 6= 0 =⇒ x 6= −√

2− x2 =⇒ x2 6= 2 − x2 =⇒ x2 6=1 =⇒ x 6= ±1. Mas x+

√2− x2 6= 0 somente quando x 6= −1.

• x−√

2− x2 6= 0 =⇒ x 6=√

2− x2 =⇒ x2 6= 2−x2 =⇒ x2 6= 1 =⇒x 6= ±1. Mas x+

√2− x2 6= 0 somente quando x 6= 1.

Portanto, o domı́nio da solução é: D = {x ∈ R | −√

2 ≤ x ≤√

2 ∧ x 6= ±1}.Resolvendo a expressão:

2(x−√

2− x2)

+ 2(x+√

2− x2)

= x(x+√

2− x2)(

x−√

2− x2)

=⇒

2x− 2√

2− x2 + 2x+ 2√

2− x2 = x(x2 −

(√2− x2

)2)=⇒

4x = x(x2 − 2 + x2

)=⇒ 4x = x

(2x2 − 2

)=⇒ 2x = x

(x2 − 1

)A primeira solução é x = 0. No caso de x 6= 0, tem-se:

2 = x2 − 1 =⇒ x = ±√

3 /∈ D

∴ única solução real x = 0.Analisando as afirmativas:

I. Possui duas ráızes irracionais. (FALSO)

II. Não possui ráızes negativas. (VERDADEIRO)

III. Possui conjunto solução com um único elemento. (VERDADEIRO)

ALTERNATIVA b)

17

Questão 27:Valor da conta: n× p.Após dois alunos deixarem a pizzaria, o valor sobe para p+ 10 para saldar amesma conta. Portanto np = (n− 2) (p+ 10).Por fim, o valor da conta é 600 reais. Então tem-se o seguinte sistema:{np = 600 (I)

np = (n− 2) (p+ 10) =⇒ p = 5n− 10 (II)Substituindo (II) em (I):

n (5n− 10) = 600 =⇒ 5n2 − 10n− 600 = 0 =⇒=⇒ n2 − 2n− 120 = 0 =⇒=⇒ n = 12 ∨ n = −10

Como n > 0, n = 12 e p = 50. Antes de deixar a pizzaria havia 12 alunos,cada um pagando R$50,00 (20 % de R$50,00 = R$10,00).Após 2 deixarem a pizzaria, havia 10 alunos, cada um pagando R$60,00 (20%a mais de R$50,00).

ALTERNATIVA c)

Questão 28:

m =0, 0001.(0, 01)2.1000

0, 001=⇒ m = 10

−4. (10−2)2.103

10−3

=⇒ m = 10−4−4+3−(−3) = 10−2 = 1100

∴ VERDADEIRO

(0, 8992 − 0, 1012) = (0, 899− 0, 101)× (0, 899 + 0, 101)) = 0, 798× 1 = 0, 798 > 710

∴ FALSO√(2√2+1)√2−1

.

√4.

√(2√3+1)√3−1

=

√2(√2+1)×(

√2−1).

√4.

√2(√3+1)×(

√3−1) =

=√

2(2−1).

√4.√

2(3−1) =√

2.

√4.√

2(2) =√

2.√

4.2 =√

2.4.2 = 4 ∈ N

∴ FALSOALTERNATIVA a)

18

Questão 29:Traçando uma linha imaginária do ponto X, perpendicular à reta s, observa-se a distância entre as retas r e s e forma-se o triângulo retângulo XIA:

É posśıvel verificar que os triângulos XIA e ABC são semelhantes, pois doisde seus ângulos são iguais: ângulo Â, comum aos dois triângulos; e os ângulosretos P̂ e Î, conforme abaixo:

Fazendo a proporção entre os lados:

x

5=

6

10=⇒ x = 3 m

ALTERNATIVA a)

19

Questão 30:m 6= −2∆ = (−2m)2 − 4 (m+ 2) (m− 1) = −4m+ 8A equação não admite ráızes reais se ∆ < 0: −4m+ 8 < 0 =⇒ m > 2.A equação admite ráızes reais distintas se ∆ > 0: −4m+8 > 0 =⇒ m <2.A equação admite ráızes reais iguais se ∆ = 0: −4m+ 8 = 0 =⇒ m = 2.

( ) Para todo m > 2 a equação possui conjunto solução vazio. (VERDA-DEIRO)

( ) Existem dois valores reais de m para que a equação admita ráızes iguais.(FALSO)

( ) Na equação, se ∆ > 0 , então m só poderá assumir valores positi-vos.(FALSO)

ALTERNATIVA d)

Questão 31:É necessário resolver uma parte do problema por vez.Primeiramente, calcula-se quantas embalagens são produzidas por dia: se são1200 embalagens em 3 dias, logo a produção é de 400 embalagens por dia,mantidas as 5 horas de trabalho.Mas o tempo de funcionamento das máquinas foi reduzido em 20%, ou seja,

são 4 horas de funcionamento(5 − 20100× 5 = 4). Logo a produção também

cai 20%, implicando que, a cada dia são produzidas 400− 20100× 400 = 320

embalagens com a redução de 20% no funcionamento.Ao todo serão produzidas 1840 embalagens. Portanto, no último dia serãoproduzidas as embalagens que forem o resto da divisão de 1840 por 320, quesão 240 embalagens.Como a produção diária é de 320 embalagens para um turno de 4 horas, acada hora são produzidas 320/4 = 80 embalagens.Portanto, 240 embalagens são produzidas em 3 horas, ou 180 minutos.

ALTERNATIVA c)

20

Questão 32:Se AĈB = 120◦ e DE é paralelo a BC, então AÊD = 120◦. Portanto,DÊF = 60◦.

Logo, a área do setor hachurado corresponde a1

6da área do ćırculo. Resta

calcular o valor do raio, ou seja, do segmento DE.Nota-se que os triângulos ABC e ADE são semelhantes, pois possuem doisângulos iguais (Â para ambos e Ĉ = Ê). Logo é posśıvel estabelecer a relação

de proporçãoAB

AD=BC

DE. São dados do problema as distâncias BC e BD.

Para calcular a distância DE, é necessário saber o valor de AB.Do ∆ABC tem-se os lados AC e BC, e o ângulo Ĉ. Neste caso, é posśıvelcalcular o lado AB utilizando a expressão c2 = a2 + b2 − 2ab cos Ĉ:

AB2

= BC2

+ AC2 − 2.BC.AC cos 120◦ =⇒

=⇒ AB2 = 62 + 102 − 2.6.10.(−1

2

)=⇒

=⇒ AB2 = 196 =⇒ AB = 14

Assim, AD = AB +BD = 14 + 7 = 21 cm.

Recalculando a relação de proporção:AB

AD=

BC

DE=⇒ 14

21=

6

DE=⇒

DE = 9 cm.Calculando a área do setor hachurado:

A =1

6× (π × 92) = 27π

2cm2.

ALTERNATIVA b)

21