gab epcar-2012 final

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Sistema ELITE de Ensino

EPCAR 2011/2012MATEMTICA / PORTUGUS VERSO A 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C D A B A A B D C A B A C C D B B D C C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D B D B C A C C A C A B D C B A C D C D

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EPCAR 2011/2012MATEMTICA / PORTUGUS VERSO B 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B C D A D D A C B D A D B B C A A C B B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B D B D B C A B C A C D B A C C A B A B

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EPCAR 2011/2012MATEMTICA / PORTUGUS PROVA VERSO C 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B C D C C D B A C D C A A B D D B A A 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C A C A B D B A D B D A C B A D B C B C

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EPCAR 2011/2012 GABARITO COMENTADO PROVA VERSO AMATEMTICA

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01. Mateus ganhou 100 g de "bala de goma". Ele come a mesma quantidade de balas a cada segundo. Ao final de 40 minutos ele terminou de comer todas as balas que ganhou. Lucas ganhou 60 g de "bala delicia", e come a mesma quantidade de balas a cada segundo. Ao final de 1 hora, ele terminou de comer todas as balas. Considere que eles comearam a comer ao mesmo tempo. Com base nessa situao, FALSO afirmar que 100 a) ao final de 26 minutos e 40 segundos Lucas e Mateus estavam com g de balas cada 3 um. b) em 30 minutos Mateus comeu 75 g de balas. c) quando Mateus terminou de comer as balas Lucas ainda tinha 25 g de balas. d) ao final de 30 minutos Lucas ainda tinha 30 g de balas. Soluo:A velocidade que matheus come Vm = A velocidade que lucas come Vl = Portanto Opo A: Verdadeira, em 26 min e 40seg, sobram para Matheus 80 100 80 100 100 .2,5 = g para Lucas, sobram 60 .1 = g. 3 3 3 3 Opo B: Verdadeira, em 3 minutos Matheus come 2,5.30 = 75g Opo C: Falsa, Lucas come 60 g de Bala delcia em uma hora. Como ele come a mesma quantidade de balas por segundo, em 40 minutos ele come 40 g e resta 20g, o que contraria a afirmao C.Opo D: Verdadeira, ao final de 30 minutos, sobram 60 30.1 = 30g

100 = 2,5g / min 40

60 = 1g / min 60

Opo: C

02. Considere a rea S da parte sombreada no tringulo retngulo issceles 00102

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AD, AB e BC so arcos de circunferncia com centros em O2, O e O1, respectivamente, cujos raios medem 2r. Das figuras abaixo, a nica em que a rea sombreada NO igual a S, : a) c)

Circunferncia de dimetro AB e semicircunferncias de dimetros OA e OB

Circunferncia de centro O

b)

d)

Circunferncia de centro O

Circunferncia de centro O inscrita num quadrado. Dois setores circulares de raio r

Soluo: O tringulo OO1O2 issceles com um ngulo de 90o e dois de 45o, portanto a rea S asoma das reas de um setor circular de uma circunferncia de raio 2r. Logo: (2r)2 (2r)2 S= + 2. = 2r 2 4 8Note que: 1) Na letra (a), a rea sombreada a metade da rea de um crculo de raio 2r. Logo:Sa = 2r 2 = S 2) Na letra (b), a rea sombreada a soma das reas de quatro setores circulares de rad de raio 2r, ou seja, 4. = rad . Ento, a rea corresponde rea de um 4 4 semicrculo de raio 2r, tambm igual a S pela mesma justificativa da letra (a). rad e dois setores circulares de rad , todos de 2 4

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EPCAR 2011/2012 rad , 2

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3) Na letra (c), a rea sombreada a soma das reas de dois setores circulares de ou seja, a rea de um semicrculo de raio 2r, tambm igual a S. 4) A letra (d) corresponde rea de um semicrculo de raio r. Logo: Sd = r 2 S 2

Opo: D

03. Sobre a equao kx

x 1 = 1, , na varivel x, correto afirmar que k a) admite soluo nica se k 2 1 e k * b) NO admite soluo se k = 1 c) admite mais de uma soluo se k =-1 d) admite infinitas solues se k = O

Soluo:

( x -1) =k k k 2x - x+1-k = 0 k2 -1 x =k -1 (I)kx -

( x -1) =1 k2x -

(

)

Para K = 1, Temos: 0.x = 0, ou seja, a equao admite infinitas solues; Para k = -1, Temos: 0.x = -2, ou seja, no existe soluo. Portanto, para k 2 1 e k 0 , a equao admite soluo nica. Resposta A

Opo: A

04. Considere os algarismos zero e 4 e os nmeros formados apenas com os mesmos. O nmero x representa o menor mltiplo positivo de 15, dentre os descritos acima. x possui um nmero de divisores positivos, ento igual a Se 30 a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 Soluo: Seja N o conjunto dos nmeros formados apenas com algarismos 0 e 4:N = {x:n = anan1...a1.a0 , ai = 0 ou 4,i } Seja x N o menor mltiplo de 15. Logo, 5|x e 3|x. Ento, x 0 (mod 10 ) e 3 | S(x) , onde S(x) :Soma dos algarismos de x.

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Com isso, x deve ter 3 algarismos 4. Ento, x = 4440. x O nmero de divisores positivos de : 30 x 4440 #D = #D = #D(22.37) = ( 2 + 1) . (1 + 1) = 6 30 30

Opo: B

05. A quantidade de suco existente na cantina de uma escola suficiente para atender o consumo de 30 crianas durante 30 dias. Sabe-se que cada criana consome, por dia, a mesma quantidade de suco que qualquer outra criana desta escola. Passados 18 dias, 6 crianas tiveram que se ausentar desta escola por motivo de sade. correto afirmar que, se no houver mais ausncias nem retornos, a quantidade de suco restante atendera o grupo remanescente por um perodo de tempo que somado aos 18 dias j passados, ultrapassa os 30 dias inicialmente previstos em a) 10% b) 20% c) 5% d) 15% Soluo: Aps 18 dias, a quantidade de suco restante suficiente para as 30 crianas para os prximos 12 dias. Porm, 6 crianas no iro mais escola e nos prximos d dias teremos apenas 24 crianas. A quantidade de crianas e quantidade de suco so grandezas inversamente proporcionais. 24.d=30.12 d=15 dias , 3 dias a mais do previsto. Assim, o tempo previsto excedeu em 10% o tempo inicial. Opo: A

06. Considere os nmeros reaisx= 2,71 3 y = 0,25 + 16 4

(z=

22

)

23

2 1 3 5 23 5

2

1 7 2 FALSO afirmar que z 3 a) < y 2 1 b) x y < 5 c) x + z < 0 d) x + y + z ( )www.sistemaeliterio.com.br

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Sistema ELITE de EnsinoSoluo:

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x = 2,7 = 2 + 0,7 = 2 + y=

7 1 5 = 25 = . 9 3 31

(

0,25 + 1623

3 4

)

1

1 1 = + 2 82

=

8 . 5

1 7 2 5 x + z = 3 2 < 0; Note que {x, y, z} Q x + y + z R Q 5 8 1 1 x y = = < 3 5 15 5 falsa a afirmativa A, onde

z=

( 2)

35

2

32

.12

( 5)

=

48 15 29.25 215 216 = = 2 22 = 2 214 214

z 2 5 3 = = > y 8 4 2 5

Opo: A

07. O conjunto soluo da equao x + 7 +a) x 10 < x < 18

x = 14 est contido em 2

{ b) {x c) {x d) {x

} 17 < x < 25} 24 < x < 32} 31 < x < 39}2

Soluo: x x 2 x + 7 + = 14 7 + = ( x 14) , Restrio: x 14 2 2 x = x2 28x + 196, 2 Resolvendo a equao, temos que: 57 15 2 2 57 2 x x + 189 = 0 x = x = 18 2 2 7+

Opo: B

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08. Brincando de dobraduras, Renan usou uma folha retangular de dimenses 30 cm por 21 cm e dobrou conforme o procedimento abaixo descrito.1) Tracejou na metade da folha e marcou o ponto M

2 Dobrou a folha movendo os pontos A e B para o ponto E

3 Em seguida, dobrou a folha movendo os pontos C e D para F e G, respectivamente.

4 Marcou os pontos N, O, P, Q, R na figura resultante.

Segundo esses procedimentos, pode-se afirmar que a medida do segmento MR, em centmetros, igual a a) 6 b) 6 2 c) 9 d) 9 2

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Soluo: Veja o 2 passo da montagem da figura, e sejam O e N os pontos sobre AD e BC aps a dobragem. Note que o tringulo MON issceles de base 30 cm e altura 15 cm.Ento, NC = OD = 21 15 = 6 cm, e MN = 152 + 152 = 15 2 cm.

Como QE = NC = OD = 6 cm, ento MQ =15 6 = 9 cm. Logo: MEN MQR :MQ MR 9 x = = x = 9 2 cm ME MN 15 15 2

Opo: D

09. Um lquido L1 de densidade 800 g/900 g/

ser misturado a um lquido L2 de densidade

Tal mistura ser homognea e ter a proporo de 3 partes de L1 para cada 5 partes de L2 A densidade da mistura final, em g/ , ser a) 861,5 b) 862 c) 862,5 d) 863

Soluo: Seja V o volume da mistura, V1 o volume do lquido L1 e V2 o volume do lquido L2. Ento, V1 + V2 = V 5 3 5 V1 3 V1 + V1 = V V1 = V V2 = V = 3 8 8 V2 5 Logo, a densidade da mistura : 3 5 800 V + 900 V 8 8 = 2400 + 4500 = 6900 = 862,5g / L V 8 8 8 Opo: C

10. Em um prdio de 90 andares, numerados de 1 a 90, sem contar o trreo, existem 4 elevadores que so programados para atender apenas determinados andares. Assim, o elevador O para nos andares mltiplos de 11 S para nos andares mltiplos de 7 C para nos andares mltiplos de 5 T para em todos os andares. Todos estes elevadores partem do andar trreo e funcionam perfeitamente de acordo com sua programao.

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Analise as afirmativas abaixo, classificando cada uma em V (verdadeira) ou F (falsa). ( ( ( ) No ltimo andar para apenas 1 elevador. ) No h neste prdio um andar em que parem todos os elevadores, com exceo do prprio trreo. ) Existem, neste prdio, 4 andares em que param 3 e