mat ensino 06 - eq diferenciais intro 2016-1

8/17/2019 Mat Ensino 06 - Eq Diferenciais INTRO 2016-1

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IFSC / Cálculo II Prof. Júlio César TOMIO

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UMA INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

1.1) CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Nas ciências em geral, na engenharia, na economia e até mesmo em psicologia, existem situações em que sedeseja descrever ou modelar matematicamente o comportamento de algum fenômeno ou sistema, visando a suacompreensão mais ampla, ou até mesmo, mais precisa. As equações diferenciais surgiram a partir dessa

necessidade, principalmente naquelas relacionadas a certos sistemas físicos mecânicos. Um problema real degrande complexibilidade nem sempre pode ser representado matematicamente de forma exata, no entanto, seutilizarmos as ferramentas e estruturas matemáticas adequadas, a simulação poderá nos trazer soluções muitopróximas da realidade. Assim são as equações diferenciais que ajudam a descrever, por exemplo, a queda de umcorpo sob a influência da gravidade, o deslocamento vertical de uma massa atada a uma mola, circuitos emsérie, o resfriamento/aquecimento de um corpo, a drenagem de um fluido através de um orifício, a deflexão devigas, o crescimento populacional, a desintegração radioativa, a capitalização financeira, entre outros.

1.2) RELEMBRANDO...

Em estudos anteriores, no Cálculo I, já nos deparamos com o problema:

Dada uma função )( x f y , encontre a derivada )( x f

dx

dy , ou seja, tendo uma função )( x f

procuramos determinar a sua derivada )( x f , que é uma outra função e para isso, utilizamos “regras” apropriadas.

Agora, em nosso estudo, o problema será:

Dada uma equação do tipo )( x f dx

dy , encontre de algum modo, uma função )( x f y que satisfaça a

equação inicial dada.

Esse problema, de certo modo, é equivalente ao problema clássico do cálculo diferencial e integral: dada umaderivada, calcule sua anti-derivada. Isso é possível através da Integração. Entretanto, para o estudo que se

pretende das Equações Diferenciais, será necessário um conhecimento mais amplo e com técnicas específicas.

1.3) DEFINIÇÃO

Uma equação que contém as derivadas [ou diferenciais] de uma ou mais variáveis dependentes, em relação auma ou mais variáveis independentes é chamada de Equação Diferencial [ED].

1.4) CLASSIFICAÇÃO

Visando facilitar o estudo, as equações diferenciais são classificadas por: tipo, ordem, e linearidade.

1.4.1) TIPO

Equação Diferencial Ordinária (EDO)Apresenta derivadas ordinárias com relação a uma única variável independente.

Exemplos: a) xe ydx

dy 5

)( x y y onde

b) 042

2

udt

ud

)(t uu onde

c) kRdt

dR

)(t R R onde

d) xdx

dv

dx

dy

)()( xvv x y y eonde

e) y xdt

dy

dt

dx 2

)()( t y yt x x eonde

REFERÊNCIA:

Este material foi produzido combase no livro: ZILL, Dennis G.;CULLEN, Michael R. EquaçõesDiferenciais. v.1. 3. ed. São Paulo:Pearson Makron Books, 2001.


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Nota: Os exemplos, que acima apresentamos, utilizam a Notação de Leibniz [ nn dx yd dx yd dxdy /...,,/,/ 22 ].

As equações diferenciais ordinárias também podem ser representadas pela Notação Prima. Veja como podemos

escrever as EDO’s dos exemplos (a) e (b) dados anteriormente:

a) xe y y 5 b) 04 uu

Equação Diferencial Parcial (EDP)Apresenta derivadas parciais com relação a mais de uma variável independente.

Exemplos: a) 02

2

2

2

y

u

x

u

)( y , xu u onde

b) y

v

x

u

),(),( y xvv y xu u eonde

c) t

u

t

u

x

u

2

2

2

2

2

)( t , xu u onde

Nota: As equações diferenciais parciais também podem ser representadas pela notação de subscrito. Veja comorepresentamos as EDP’s dos exemplos (a) e (c) acima:

a) 0 yy xx uu c) t tt xx uuu 2

1.4.2) ORDEM

A ordem de uma equação diferencial [EDO ou EDP] corresponde à ordem da mais elevada derivada na equação.

Exemplos:

0352

2

dx

du

dx

ud EDO de 2ª ordem [ou de ordem 2]

210 y y EDO de 1ª ordem

xer r 4 EDO de 3ª ordem

)cos(325 t T T T EDO de 2ª ordem

xe ydx

dy

dx

yd

45

3

2

2

EDO de 2ª ordem

02

2

4

42

t

u

x

ua EDP de 4ª ordem

Observações:

Note a similaridade das notações: )1()( y y x f dx

dy y

e

)2(

2

2

)( y y x f dx

yd y

EDO’s de 1ª ordem são ocasionalmente escritas na forma diferencial 0,, dy y x N dx y x M . Desta forma,

por exemplo, se considerarmos que y representa a variável dependente na equação diferencial

04)( dy xdx x y então dxdy y / e assim a equação dada pode ser escrita na forma alternativa

x ydx

dy x 4 dividindo-se a equação pelo elemento diferencial dx .


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Embora as equações diferenciais parciais sejam muito importantes, seu estudo demanda um bomconhecimento da teoria das equações diferenciais ordinárias. Portanto, na discussão que se segue, limitaremosnossa atenção às EDO’s.

Simbolicamente, podemos expressar uma EDO de ordem “n”, com uma variável dependente pela forma geral:

0( ),...,,, )( n y y y x F

Onde F é uma função contínua de valores reais com )2( n variáveis: )(,...,,, n y y y x .

1.4.3) LINEARIDADE

Uma EDO de ordem n é linear se pode ser escrita na forma de um polinômio do tipo:

)()( )( ... )( )( 011

1

1 x g y xadx

dy xa

dx

yd xa

dx

yd xa

n

n

nn

n

n

Uma equação diferencial ordinária que não pode ser escrita na forma acima é chamada não-linear.

Observe que as equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades:i) A variável dependente y e todas as suas derivadas são do 1º grau; isto é, a potência de cada termoenvolvendo y é 1.

ii) Cada coeficiente [de y e suas derivadas] depende (no máximo) da variável independente x .

Exemplos:

ky y EDO Linear

0)3(3 y x y y EDO Linear

xe ydx

dy x

dx

yd 53

3

3

EDO Linear

15 2 g g EDO não-linear

043

3

ydx

yd EDO não-linear

xe y y y 2)1( EDO não-linear

02

2

y sendx

yd

EDO não-linear

1.4.4) GRAU

É a potência que se encontra elevada a derivada de mais alta ordem. É uma classificação pouco utilizada.

Exemplos:

02

2

2

2

y

u

x

u EDP de 1º grau

x y y y cos2 2

EDO de 1º grau

232 3 x y y y EDO de 2º grau


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Ao lado temosalgumas das

funçõespertencentes

à família xec x y .)(

com seusrespectivos

valores de “c”

indicados.

A função xec x y .)(

tendo 0c fazparte da famíliade soluções da

ED em questão?

1.5) SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL

De maneira bastante simplista, podemos dizer que a solução de uma ED é a função [ou a família de funções] quetorna(m) verdadeira ou satisfaz(em) essa ED.

A solução de um ED pode aparecer na forma explicita ou implícita. Você já deve estar familiarizado com ostermos funções explícitas e implícitas do curso de Cálculo I. Uma solução na qual a variável dependente é expressasomente em termos da variável independente e constantes é dita ser uma solução explícita.

Solução Explícita: )( x f y Solução Implícita: 0),( y x F

Exemplos:

A equação diferencial xydx

dy2 tem solução explícita:

2

. xec y .

A equação diferencial x y y tem solução implícita: c y x 22 .

Observação: Note que as duas soluções destacadas nos exemplos acima representam, cada qual, uma família de

funções, pois para cada valor real possível da constante c , temos uma função distinta [porém com ascaracterísticas da família a qual pertence]. Tais soluções chamamos de “solução geral”.

1.5.1) SOLUÇÃO GERAL

A solução geral de uma equação diferencial é uma função que possui uma constante arbitrária, econsequentemente, representa uma “família de funções”.

Exemplo: A função xec y . é uma solução geral para a equação diferencial 0 y y .

4/1c

2/1c

1c

2c

4c

4/1c

2/1c

1c

2c

4c

y

x


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1.5.2) SOLUÇÃO PARTICULAR

Se atribuirmos um valor numérico à(s) constante(s) arbitrária(s) [de uma solução geral], a solução obtida passaráa ser chamada de solução particular, pois representará uma função específica.

Exemplo:

Anteriormente vimos que a função xec x y .)( é uma solução geral para a equação diferencial 0 y y .

Se definirmos que 4)0( y como condição inicial, teremos:

xec x y .)(

0.)0( ec y

1.4 c

4c

Logo, a função xe y .4 é uma solução particular que satisfaz a condição dada 4)0( y .

1.5.3) PROBLEMA DE VALOR INICIAL [PVI]

Um PVI para uma equação diferencial de 1ª ordem, por exemplo, consiste em encontrarmos uma solução

específica para uma ED dada, sabendo inicialmente que 00 )( y x y . Geometricamente, o gráfico da solução y

passará pelo ponto ),( 00 y x do plano cartesiano de duas dimensões.

Simbolicamente, em um PVI [de 1ª ordem], devemos resolver: ),( y x f dx

dy , sujeita a: 00 )( y x y .

Simplificando, um PVI é resolvido com uma SOLUÇÃO PARTICULAR que satisfaz a condição inicial dada.

O exemplo do item 1.5.2 é um caso de PVI.

Graficamente, temos:

Solução Geral xec x y .)(

Nota: Quando a variável independente x representa tempo, em muitos casos, a condição inicial 00 )( y x y de

um PVI é definida para o instante zero, ou seja, 00 x [instante inicial]. Assim: 00 )( yt y 0)0( y y .

xe y .4 solução particular


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Exemplos – Solução de uma Equação Diferencial:

[1] Verifique que16

4 x y é uma solução para a equação diferencial não-linear 02/1 xy

dx

dy, definida no

intervalo [,] .

Resolução:

[2] Verifique se a função explícita xe x y é uma solução para a equação diferencial linear 02 y y y no

intervalo ),( .

Resolução:

“... é impossível explicar honestamente as belezas contidas nas leis da natureza de uma forma que as pessoas possam senti-las, sem que elas tenham uma boa compreensão da Matemática”. [Richard Feynman]


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[3] Verifique se as funções x senc y 1 e xc y cos2 são soluções para a equação linear 02

2

ydx

yd ; onde

1c e 2c são constantes.

Resolução:

EXERCÍCIOS – Solução de uma Equação Diferencial:

[1] Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial correspondente:

a) xe ydx

dy 32 x x ee y 23 10

b) 02 y y 2/ x

e y

c) 2

25 y y xtg y 55 Lembrete: xtg x 22

1sec

d) 022 dx xydy x 2

1

x y

e) 324 y y 8 y

f) 2)(2 y y y x y )4

1(2 c xc y “c” é uma constante.

g) 12 xy y 222

1

0

x x

t x ecdt ee y “c1” é uma constante.

RESPOSTAS:

Todas as funções dadas são soluções de suas respectivas equações diferenciais.

NOTA:

Nem toda ED queescrevemos possuinecessariamente

uma solução.

Veja, por exemplo:01][ 2 y .


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1.6) EQUAÇÕES DIFERENCIAS DE 1ª ORDEM

Podemos classificar as equações diferencias de 1ª ordem em alguns “tipos”. São eles:

Variáveis Separáveis, Homogêneas, Exatas e Lineares.

Cada um dos tipos citados requer um método ou procedimento específico para determinar a respectiva solução.Em princípio, veremos o caso mais simples e comum: as equações com variáveis separáveis.

1.6.1) EQUAÇÕES SEPARÁVEIS

Uma Equação Diferencial da forma )()( yh x g dx

dy é chamada de “separável” ou tem “variáveis separáveis”.

1.6.2) MÉTODO DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES SEPARÁVEIS

Uma Equação Separável )()( yh x g dx

dy pode ser redutível à forma dx x g dy yh )()( através de operações

algébricas básicas. Feito isso, aplicamos a integração indefinida em ambos os membros: dx x g dy yh )()( .

Exemplos:

[1] Resolva a ED x

y y e defina geometricamente sua solução geral.

Resolução:

[2] Resolva o problema de valor inicial [PVI] com: y

x

dx

dy , sujeito a: 3)4( y .

Resolução:


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[3] Determine a solução geral para a equação diferencial 03 xy y .

Resolução:

[4] Encontre a função )( x y que satisfaz a ED: 0)1( dx ydy x .

Resolução:

[5] Qual é a solução particular da equação 04.9 x y y , que tem seu gráfico passando por )2,0( P ?

Resolução:


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[6] Resolva a ED: 0 dy ydx x sene x y .

Resolução:

EXERCÍCIOS – Separação de Variáveis

[1] Encontre a solução geral para as Equações Diferenciais:

a) 0 xe y Resposta: ce y x

b) 01 y Resposta: c x y

[2] Determine a solução particular para cada caso a seguir.

a) 02

x y sendo que 5)2( y . Resposta: 323

3

3

x

y

b) 02

x xedx

dy e a função )( x y passa pelo ponto )1,0( P . Resposta:

2

3

2

1 2 xe y


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[3] Resolva as Equações Diferenciais por separação de variável:

a) 05 x sendx

dy Resp.: c x y 5cos

5

1

b) 6)1( xdx

dy x Resp.: c x x y |1|ln5

c) y y x 4 Resp.:4

cx y

d) 2

3

x

y

dx

dy Resp.: c x y 12 2

e) x

y x

dy

dx

1

22

Resp.: cx xy x x 3

||ln.33

f) y xedx

dy 23 Resp.: cee x y 32 23

g) dx xy xdy yx y )2()4( 22 Resp.: 2)4.(

22 xc y

h) 0)1(2 dx xdy x y Resp.: c x x y |1|ln2

i) 2

1)(ln

x

y

dy

dx x y Resp.: c y y

y x x

x ||ln2

29ln

3

233

j) 0 kS dr

dS Resp.:

kr ecS

k) 842

33

y x xy

y x xy

dx

dy [utilize fatoração por agrupamento] Resp.: c x

x

y y

4

3ln.5

l) )cos2(cos 2 y y x sendx

dy [utilize transformações trigonométricas] Resp.: c x y coscotg

[4] Resolva as Equações Diferenciais dadas, sujeita à condição inicial indicada para cada caso.

a) dx y xdy y 2/12

)1(4 com 1)0( y Resposta: 221 22 x y

b) xy y y x 2

com 1)1( y Resposta:

1

1

1 xe

x y

c) )1(4 2 xdy

dx

com 1

4

x Resposta:

4

34

ytg x

d) dy xdx x sene y )cos1()1(

com 0)0( y Resposta: 4)1.()cos1( ye x

[5] Determine a solução geral da equação diferencial 02cos3 x y . [Note que a ED é de 2ª ordem].

Resposta: 322cos12

1c xc x y

[6] Resolva o PVI com: 0cos2 x y , sujeito a: 2/)2/( y .

Resposta:4

24

1

2

x sen

x y


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1.6.3) ALGUMAS APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM VARIÁVEIS SEPARÁVEIS

[1] Crescimento e Decrescimento

Admitindo que uma quantidade Q de uma substância (ou população) cresce ou decresce a uma taxaproporcional à quantidade de substância presente, então:

Qdt

dQ

Qk dt

dQ

onde “k” é a constante de proporcionalidade. Se k > 0, então Q aumenta (cresce) com o passar do tempo “t”. Se k < 0, entao Q diminui (decai) com o passar do tempo “t”.

Obs.: Como a função Q(t) é diferenciável (contínua no tempo), os problemas de população, por trabalharem comrealidade discreta, não se adaptam totalmente a este modelo, entretanto podem gerar uma boa aproximação.

[2] Variação de Temperatura

A lei da variação de temperatura de Newton [ou lei do Resfriamento de Newton] afirma que a taxa de variação

de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. SendoT a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio (ambiente), podemos formular como:

)( mT T dt

dT )( mT T k

dt

dT

onde “k” é uma constante de proporcionalidade que depende do calor específico do corpo, das características domeio onde o corpo está “inserido” e também da superfície de contato desse corpo com o meio.

Obs.: Quando T > Tm, caracteriza-se um resfriamento do corpo e assim encontraremos k < 0. Quando T < Tm, caracteriza-se um aquecimento do corpo e assim encontraremos k > 0.

[3] Diluição ou Mistura

Considere um tanque contendo um volume inicial V0 de uma solução com concentração “a” de um produto.Despeja-se no tanque uma outra solução do mesmo produto, agora com concentração “b” a uma vazão “e”, nomesmo instante há um escoamento da solução “bem misturada” com uma vazão “f”.Através de um modelamento adequado, podemos determinar a quantidade Q de um produto [sal, por exemplo]presente no tanque [de água, por exemplo] para qualquer instante “t”.

A taxa de variação dt dQ / pode ser definida pela quantidade

do produto que entra menos a quantidade do produto que sai,

por unidade de tempo, isto é:

saindo

QdeTaxa

entrando

QdeTaxa

Qquantidadeda

variaçãodeTaxa

Lembrando que: Quantidade de produto por unidade de tempo (taxa) = concentração x vazão

Concentração de um produto = Quantidade do produto / Volume da solução

Entao: )()( sai saientraentra vazãoãoconcentraçvazãoãoconcentraçdt

dQ

)()( f ãoconcentraçebdt dQ sai

Nota: Observe que a concentração que sai é a concentração da solução “bem misturada” presente no tanque.

Txe = b.e

a

Txs = c.f


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Assim, podemos escrever:

f

t V

Qeb

dt

dQ

)()(

Agora, para a determinação do volume )(t V da solução presente no tanque [para qualquer instante “t”],

podemos considerar o volume inicial, mais o volume que entra, menos o volume que sai. Assim temos:

saientrainicial V V V t V )(

Lembrando que: volume = vazão x tempo, temos:

)()()( 0 t f t eV t V

Agora, fazendo a substituição na equação diferencial,encontramos:

f t f t eV

Qeb

dt

dQ

)()()(

0

ou f t f eV

Qeb

dt

dQ

)()(

0

[4] Queda de Corpos

Suponha um corpo de massa “m” em queda livre, portanto sujeito à gravidade e à resistência do ar. Sabe-se quea força de atrito [com o ar] de um corpo é proporcional à velocidade, quando esta é pequena. Usando a 2ª Lei deNewton para esse movimento e considerando o sentido para baixo como positivo, podemos escrever:

am F R

][/8,9 2

gravidadedaaceleração sm g

Sabe-se que, para este caso, a força resultante [FR] para baixo, é o peso do corpo [P] menos a força de atrito [F at],ou seja:

at R F P F Assim, substituindo g m P e vk at F temos:

vk g m F R Agora, substituindo am F R encontramos:

vk g mam Sabemos ainda quedt

dva . Substituindo...

vk g mdt

dvm

ou ainda, de outra forma:m

vk g m

dt

dv

m

vk g

dt

dv

g m

vk

dt

dv

.

Observação:

Para altas velocidades, costuma-se usar a força de atrito [com o ar] proporcional à velocidade ao quadrado, ouseja:

2vk F at , sendo que “k” é uma constante de proporcionalidade (positiva).

Ve = e.t

V0

Vs = f.t

v

vk F at

devido à resistência do ar

g m P

devido à gravidade


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[5] Fluxo Térmico por Condução (regime estacionário)

Considerando um corpo homogêneo, em virtude da diferença de temperatura entre as faces opostas, um fluxotérmico se estabelece através da seção transversal. Dizemos que o fluxo térmico está em regime estacionárioquando ele é igual em qualquer seção tranversal do corpo. Assim podemos dizer que o fluxo térmico éproporcional à área “A” e ao gradiente térmico estabelecido numa distância longitudinal

Observação: O sentido do fluxo será adotado como perpendicular às faces (seção transversal) com sentido damenor temperatura T.

Assim, podemos fazer a seguinte formulação:

dx

dT Ak

Sendo que “k” é a condutividade térmica, com unidade usual dada por

C cm s

cal

.º.

, e que no SI é:

K m s

J

..

.

Exemplos:

[1] Sabe-se que uma cultura de bactéria cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após 1 hora,observam-se 1000 núcleos de bactéria na cultura e, após 3 horas, 4000 núcleos.Determine:

a) uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura, no tempo arbitrário “t”;b) o número de núcleos inicialmente existentes na cultura;c) o número de núcleos existentes na cultura, no tempo t = 6 horas.

[2] Um termômetro é retirado de dentro de uma sala e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de 5ºC.

Após 1 minuto, o termômetro marcava 20ºC; após 5 minutos, 10ºC. Qual a temperatura da sala? Ao final,represente graficamente a variação da temperatura em função do tempo.

[3] Um tanque contém 500 litros de água pura. Uma solução salina contendo 2 g de sal por litro é bombeada paradentro do tanque a uma taxa de 5 litros por minuto. A mistura é drenada à mesma taxa. Encontre a quantidadede gramas de sal Q(t) no tanque em qualquer instante.

[4] Um pára-quedista salta de um avião que está à grande altitude. Sabendo que a massa do conjunto (homem eequipamento) é de 85 kg e considerando a força de atrito aerodinâmico proporcional à velocidade, com fator deproporcionalidade estimado em 95, determine a velocidade em função do tempo e a velocidade terminal (limitemáximo) nessas condições.

EXERCÍCIOS

1) Uma substância radioativa decresce (sua massa) a uma taxa proporcional a massa presente. Sabendo-se quea massa da substância no instante t = 0 é 100 gramas e que 1 hora após, a massa é 99,8 gramas; determine:a) a massa da substância 5 horas após;b) a massa da substância 7 horas após;c) o instante em que a massa da substância fica reduzida pela metade.

2) A experiência mostra que o elemento rádio se desintegra a uma taxa proporcional à massa existente em cadainstante. Sua meia-vida, isto é, o tempo necessário para 50% da massa inicialmente presente se desintegrar, é

1590 anos. Qual a expressão que representa esta experiência?

3) Imagine que 2 gramas, de uma determinada substância radioativa, se encontra presente no instantet = 1 e 1 grama no instante t = 2. Determine a função Q(t) e a quantidade inicial dessa substância.


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4) Uma esfera de cobre é aquecida a uma temperatura de 100ºC. No instante t = 0 ela é imersa em água que émantida a uma temperatura de 30ºC. Ao final de 3 minutos, a temperatura da esfera está reduzida a 70ºC.Determinar o instante em que a temperatura se encontra reduzida a 31ºC.

5) Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 anos, foi detectado que 0,043% daquantidade inicial Q0 de plutônio se desintegrou. Encontre a meia-vida desse isótopo, se a taxa dedesintegração é proporcional à quantidade remanescente.

6) Um osso fossilizado contém 1/1000 da quantidade original do C-14 (carbono radioativo). Sabe-se que meia-vida do C-14 é 5600 anos. Determine (aprox.) a idade do fóssil.

7) Um componente mecânico é retirado de um forno a uma temperatura de T = 300ºF. Três minutos depois, suatemperatura passa para T = 200ºF. Escreva a função T(t) e represente graficamente a temperatura “T” emfunção do tempo “t”. Assim, quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 70ºF, se a temperatura domeio ambiente em que ele (o componente) foi colocado for de 70ºF?

8) Inicialmente, 50 gramas de sal são dissolvidos em um tanque contendo 300 litros de água. Uma soluçãosalina é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto, e a solução bem misturada éentão drenada na mesma taxa. Se a concentração da solução que entra é 2 gramas por litro, determine a

quantidade de sal no tanque em qualquer instante. Quantos gramas de sal estão presentes após 50 minutos?

9) Uma experiência mostra que a taxa de inversão do açúcar de cana em solução diluída é proporcional àconcentração Q(t) do açúcar não alterado. Se a concentração é de 1/100 em t = 0 h e 1/250 em t = 5 horas,calcule Q(t).

10) Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura constantede 0ºC. Se após 15 minutos a temperatura do corpo é 40ºC e após 23 minutos é 25ºC, determine:

a) a temperatura inicial do corpo;b) o tempo necessário para o corpo atingir 5ºC.

11)

Sabe-se que a população de certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoaspresentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 5 anos, quando ela triplicará? Quandoquadruplicará?

12) A população de uma região cresce a uma taxa proporcional à população em qualquer tempo. Sua populaçãoinicial de 500 habitantes aumenta 15% em 10 anos. Qual será a população em 30 anos?

13) Quando um feixe vertical de luz passa por um meio transparente, a taxa com a qual a sua intensidade I decresce é proporcional a I(x), onde “x” representa a espessura do meio, em metros. Na água do mar, aintensidade a 3 m abaixo da superfície é de 25% da intensidade inicial I0 do feixe incidente. Qual é aintensidade do feixe a 15 m abaixo da superfície?

14)

Um tanque contém 200 litros de fluido no qual são dissolvidos 30 g. de sal. Uma solução salina contendo 1 gde sal por litro é então bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 4 litros por minuto; a mistura édrenada a mesma taxa. Encontre a quantidade de gramas de sal Q(t) no tanque em qualquer instante.

15) Um termômetro é removido de uma sala, em que a temperatura é de 70ºF, e colocado do lado de fora, emque a temperatura é de 10ºF. Após meio minuto, o termômetro marcava 50ºF. Qual será a temperaturamarcada no termômetro no instante t = 1 minuto? Quanto tempo levará para que a temperatura da barrachegue a 15ºF?

16) Um modelo matemático para a taxa com a qual uma droga se dissemina na corrente sanguínea é dada por

xk r dt dx / , onde r e k são constantes positivas. A função )(t x descreve a concentração da droga na

corrente sanguínea no tempo t . Assim:a) Determine a função )(t x sabendo que 0)0( x .

b) Calcule o limite de )(t x quando t .


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17) Um avião militar deverá lançar uma caixa contendo mantimentos e remédios num campo de refugiados epor questão de segurança, o avião deverá fazer a operação (lançar a caixa) a grande altitude. A caixa mais opára-quedas têm massa total de 400 kg. Considerando que o pára-quedas fornece uma força de atritoaerodinâmico proporcional à velocidade e que este fator de proporcionalidade é estimado em 800, determinea expressão da velocidade em função do tempo e a velocidade terminal da caixa (limite máximo). Considereque v(0) = 0 e que g = 9,8 m/s2.

18)

A equação diferencial para a velocidade v de uma massa em queda m sujeita à resistência do ar proporcionalà velocidade instantânea é vk P

dt

dvm em que “k” é uma constante de proporcionalidade.

a) Resolva a equação sujeita à condição inicial v(0) = v0

b) Determine a velocidade limite (ou terminal) da massa

c)

Se a distância “s” está relacionada com a velocidade “v” através da igualdade vdt ds / , encontre uma

expressão explícita para “s(t)”, supondo que s(0) = s0

RESPOSTAS:

1a) 99,004 gramas b) 98,608 gramas c) Aprox. 346 horas

2) t eQt Q 000436,00)(

3) )2/1ln(4)( t et Q ou t t Q )5,0(4)( e 4)0( Q gramas

4) t 22,8 minutos 5) Aprox. 24.175 anos

6) 55.806 anos

7) T(t) = 70 + 230.e –0,190t. Pouco mais que 40 minutos.

8) Q(50) 266,4 gramas

9) 5/)4,0(01,0)( t t Q , mas talvez você tenha encontrado: t et Q 1833,001,0)( .

Note que: t et 1833,05/)4,0( . Pense a respeito e tire suas conclusões!

10a) T(0) 96,6 ºC b) t 50,4 minutos

11) A população triplicará em aproximadamente 7,9 anos. A população quadruplicará em 10 anos.

12) Q(30) 760 habitantes

13) I(15) 0,00098.I0 ou aprox. 0,1% de I0.

14) Q(t) = 200 – 170 . 50/t e

15) T(1) 36,7 ºF e t 3,1 min para a temperatura da barra chegar a 15 ºF.

16a) kt ek

r

k

r t x

)( b) Se t

então

k

r t x )(

17)

t et v 2.9,49,4)(

com smvterminal /9,4

18a) mk t

ek

P v

k

P t v

0)(

b)

k

P vlimite

c) 000)( sk

P v

k

m

k

P v

k

mt

k

P t s m

k t

e

mat ensino 06 - eq diferenciais intro 2016-1

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