CIÊNCIAS WEB EQUAÇÕESDIFERENCIAIS

A Antiderivação é a determinação de uma função cuja derivada é conhecida.

O PROBLEMA DA ANTIDERIVAÇÃO

Definição: Dada uma função 𝑓(𝑥), definida em um intervalo 𝐼 = (𝑎, 𝑏). Umafunção, a qual denota-se, 𝐹 𝑥 é denominada uma antiderivada da 𝑓 se𝐹´ 𝑥 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐼.

Exemplo 1 : Se conhecemos a função velocidade 𝒗 𝒕 de uma partícula, podemosdeterminar sua função posição 𝒔(𝒕). Pois sabemos que a velocidade mede a taxa devariação (derivada) da posição. Logo, a função 𝑠 𝑡 é uma antiderivada da 𝑣(𝑡).

𝑠 𝑡 = 𝑣 𝑡 . 𝑑𝑡

Exemplo 2 : Se um engenheiro sabe que um determinado fluido escoa para dentrode um tanque a uma taxa dada por 𝒇(𝒕) (litros/s) , então ele pode determinar afunção 𝑸(𝒕), que fornece o volume (litros) escoado até o instante 𝒕. Pois se 𝑓(𝑡)representa a taxa de variação de 𝑄 𝑡 , então 𝑄(𝑡) é uma antiderivada da 𝑓(𝑡).

𝑄 𝑡 = 𝑓 𝑡 . 𝑑𝑡

O PROBLEMA DA ANTIDERIVAÇÃO

Devemos ainda lembrar que, se 𝐹 for uma atiderivada da 𝑓, então qualquer função dotipo 𝑭 𝒙 + 𝑪 , onde 𝐶 é uma constante arbitrária, é também uma antiderivada da 𝑓 .

Exemplo : Tomemos a função 𝑓 𝑥 = 𝑥2

Atribuindo diferentes valores a constante 𝐶 obtemos uma família de funçõesantiderivadas da 𝑓, cujos gráficos diferem apenas pelo valor da constante.

𝑥

𝑦

𝑦 =𝑥3

3− 2

𝑦 =𝑥3

3

𝑦 =𝑥3

3+ 1

𝑦 =𝑥3

3+ 2

Pela tabela de antiderivação sabemos que 𝐹 𝑥 =𝑥3

3é uma antiderivada da 𝑓 . Logo

podemos afirmar que qualquer função do tipo 𝐹 𝑥 =𝑥3

3+ 𝐶 também o será.

CAMPOS DE DIREÇÕES E A ANTIDERIVADA

Suponhamos que quiséssemos determinar a antiderivada da função

𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 1 − 𝑥 , que satisfaz a condição 𝐹 0 = 1 .

Encontrar uma expressão algébrica para a antiderivada da função acima não é uma tarefa fácil.Na verdade, sabemos que para algumas funções essa tarefa é impossível.

𝑥

𝑦 Porém, podemos utilizar um método gráfico paraesboçar a antiderivada de qualquer função,utilizando-se do chamado campo de direções.

Como sabemos, em cada ponto do seu domínio a𝑓(𝑥) representa a direção da tangente ao gráfico daantiderivada 𝐹 𝑥 .

Assim, podemos obter o campo de direçõesassociado a 𝑓(𝑥) traçando pequenos segmentos cominclinação 𝑓(𝑥) , para valores selecionados de 𝑥.

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Por exemplo :

𝑓 −1 = 1

𝑓 −0,5 =1,9

𝑓 0 = 1

𝑓 0,5 = 0,6

𝑓 1 = 0,4

𝑓 1,5 = 0,6

𝑓 2 = 1

𝑓 2,5 = 1,6

𝑓(3) = 2,3

CAMPOS DE DIREÇÕES E A ANTIDERIVADA

𝑥

𝑦

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

𝑭(𝒙)

•𝐹(0) = 1

Vamos partir do campo de direçõesdefinido pela 𝑓(𝑥).

E do ponto P(0, 𝐹 0 ) , que nos foidado como condição de contorno paraa antiderivada 𝐹(𝑥)

Podemos então esboçar a curva querepresenta o gráfico da 𝐹(𝑥), que serátangente ao campo de direções emcada ponto.

Este mesmo conceito será usado mais tarde na resolução de Equações Diferenciais

MODELANDO SISTEMAS DINÂMICOS

Na pesquisa por modelos matemáticos para representar os fenômenos naturais,frequentemente os cientistas buscam funções que permitam prever ocomportamento de um sistema físico que evolui com o tempo.

Esses sistemas são denominados Sistemas Dinâmicos e, na maioria dos casos, tudoque dispomos são informações sobre como as grandezas do sistema variam.

Esses são casos típicos em que o modelo assume a forma de Equações Diferenciais,que precisarão ser resolvidas para que se possa fazer previsões sobre ocomportamento do sistema.

Nesta seção vamos estudar alguns exemplos em que Equações Diferenciais sãousadas para modelar Sistemas Dinâmicos.

Uma Equação Diferencial é uma equação que envolve uma função, a qual se querdeterminar, e uma ou mais de suas derivadas.

O SISTEMA MASSA MOLA

A 2ª Lei de Newton é um dos primeiros exemplos que conhecemos de modelamentode um sistema dinâmico.

Essa Lei nos diz que a aceleração experimentada por um corpo é proporcional àforça aplicada no corpo, tendo sua massa como constante de proporcionalidade.

Adotando-se a notação clássica onde posição, velocidade e aceleração sãodenotados respectivamente por 𝑥 𝑡 , 𝑥´ 𝑡 𝑒 𝑥´´(𝑡) , essa lei toma a forma

𝑭 𝒕 = 𝒎. 𝒙´´(𝒕)

Suponhamos agora um bloco de massa 𝑚 ligado a umamola, e apoiado em uma superfície sem atrito, como nafigura ao lado. Neste caso 𝑥(𝑡) representa a deformaçãoda mola no instante 𝑡. Na situação de repouso temos𝑥 = 0 .

Segundo a Lei de Hooke, a força exercida pela mola ésempre resistente e proporcional a 𝑥, ou seja : 𝐹 = −𝑘𝑥

Assim, usando a Lei de Newton, podemos escrever aEquação Diferencial que descreve o movimento:

𝒎𝒙´´ 𝒕 = −𝒌. 𝒙(𝒕)

O PÊNDULO PLANO

θ

•𝑚𝑔

𝑚𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑙

Uma situação similar ocorre ao estudarmos um pêndulo de massa𝑚 e comprimento 𝑙 , que oscila dentro de um plano vertical.

Denominaremos por o ângulo que o pêndulo faz com a vertical,medido no sentido anti-horário. E 𝒔 o comprimento de arco aolongo da trajetória circular, de forma que 𝒔 = 𝒍. 𝜽 .

Como 𝑙 é constante, derivando a expressão acima, podemosescrever 𝑠´ = 𝑙𝜃´ e 𝑠´´ = 𝑙𝜃´´, que representam respectivamentea velocidade e a aceleração tangenciais do pêndulo.

Vamos admitir que o peso é a única força atuando no sistema, ou seja, vamosdesprezar a resistência do ar.

Assim, podemos usar a Lei de Newton para relacionar a componente tangencial dopeso𝒎𝒈. 𝒔𝒆𝒏𝜽 com sua aceleração tangencial (s´´) e escrever

𝑚𝑙𝜃´´ = −𝑚𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃

O sinal negativo se deve ao fato da força apontar no sentido negativo do ângulo 𝜃.

Simplificando a expressão acima chegamos a Equação Diferencial do Pêndulo

𝜽´´(𝒕) = −𝒈

𝒍. 𝒔𝒆𝒏𝜽(𝒕)

O PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO

Os dois modelos anteriores se basearam na Lei de Newton. Um outro princípiomuito utilizado para o modelamento de fenômenos naturais é o

Princípio da Conservação da Massa, o qual afirma que a taxa à qual uma substânciase acumula no interior de um sistema físico fechado, é igual a diferença entre a taxade entrada e a taxa de saída da substância no sistema.

Interior do Sistema

Taxa deentrada

Taxa desaída

𝒅𝑸

𝒅𝒕= 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 − 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒔𝒂𝒊𝒅𝒂

Assim, se denominarmos por 𝑄(𝑡) aquantidade de substância presente nosistema no instante 𝑡 , podemos escrever

Exemplo: Suponhamos que uma substância flui para o interior de um tanque a uma

taxa constante 𝐶 (litros/s), e a mesma evapora a uma taxa proporcional a 𝑄 2 3 , onde𝑄 é volume de substância contido no tanque, então podemos escrever a EquaçãoDiferencial que fornece 𝑄 em função de 𝑡 .

𝒅𝑸

𝒅𝒕= 𝑪 − 𝒌𝑸 𝟐 𝟑

CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA

Tomemos um circuito elétrico simples, como mostrado nafigura ao lado, contendo um Resistor com resistência 𝑅 , umIndutor com Indutância 𝐿 e um gerador que fornece umaForça Eletromotriz 𝜀(𝑡) variável com o tempo.

A Lei de Ohm fornecea seguinte relaçãoentre a queda devoltagem no Resistor ea corrente

𝑉𝑟 = 𝑅𝐼

A Lei de Faradayfornece a seguinterelação entre a quedade voltagem noIndutor e a corrente

𝑉𝑙 = 𝐿𝑑𝐼

𝑑𝑡

A Lei de Kirchhoff nosdiz que a soma dasquedas de voltagem éigual a fem totalfornecida pelo gerador

𝜀 = 𝑉𝑟 + 𝑉𝑙

Assim, podemos escrever a Equação Diferencial que fornece a Corrente no circuito emfunção do tempo

𝜺 𝒕 = 𝑹𝑰 + 𝑳𝒅𝑰

𝒅𝒕

SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

De uma forma geral, uma Equação Diferencial é uma equação que envolve umafunção 𝑦 , a qual queremos determinar, e uma ou mais de suas derivadas(𝑦´ , 𝑦´´ , 𝑦´´´, … ).

A ordem de uma equação diferencial é a mesma da derivada de maior ordem queaparece na equação. Assim, nos exemplos anteriores, as equações do sistema massamola e do pêndulo são equações de segunda ordem, ao passo que as da conservaçãoda massa e do circuito elétrico são de primeira ordem.

Em todos estes exemplos a variável independente era o tempo, e por isso foidenominada (𝑡). Porém, de uma forma geral teremos 𝑦 representando a função quese deseja determinar e 𝑥 representando a variável independente.

Então, resolver uma equação diferencial significa encontrar uma função 𝑓(𝑥) , quesatisfaça a equação quando substituímos 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Por exemplo. Consideremos a equação diferencial 𝑦´ + 3𝑦 = 0 . Uma função 𝑓 𝑥 ésolução desta equação se

𝑓´ 𝑥 + 3𝑓 𝑥 = 0 ; ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)

PROBLEMAS DE VALORES DE CONTORNO

Em geral, quando nos pedem para resolver uma equação diferencial, espera-se queapresentemos todas as funções que satisfaçam a equação.

Por exemplo, a equação 𝑦´ − 𝑥3 − 2𝑥 = 0 , pode ser resolvida por integração simples

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥3 + 2𝑥 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥 . 𝑑𝑥 ⇒ 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥 𝑑𝑥

Diremos então que a solução geral da equação acima é a família de funções do tipo

𝑓 𝑥 =𝑥4

4+ 𝑥2 + 𝐶 , onde C é uma constante arbitrária.

Entretanto, nas aplicações da Física e da engenharia, quase sempre estamosinteressados em encontrar uma solução que satisfaça algumas condições adicionais,denominadas condições de contorno, que são do tipo 𝑓 𝑥0 = 𝑦0 .

Nesses casos dizemos que estamos diante de um Problema de Valor de Contorno

PROBLEMAS DE VALORES DE CONTORNO

Exemplo :

A função velocidade de um corpo em (m/s) é dada por 𝑣 𝑡 = 3𝑡 − 2. Determinar afunção posição 𝑠(𝑡), sabendo-se que no instante 𝑡 = 2𝑠 o corpo se encontra naposição 4m.

É fácil verificar que a solução geral para a equação 𝑠´ = 3𝑡 − 2 é 𝑠 𝑡 =3

2𝑡2 − 2𝑡 + 𝐶

Para resolver este PVC , basta substituir a condição de contorno na solução geral

𝑠 1 =3

2∙ 4 − 2.2 + 𝐶 = 4 ⇒ 𝐶 = 2

Logo, a solução particular que estamos procurando é

𝑠 𝑡 =3

2𝑡2 − 2𝑡 + 2

PROBLEMAS DE VALORES DE CONTORNO

Graficamente, resolver um Problema de Valor de Contorno equivale a observar afamília de curvas que representam as soluções da equação diferencial, e tomarespecificamente aquela que satisfaça a condição de contorno 𝑓 𝑥0 = 𝑦0.

No exemplo anterior, teríamos a família desoluções mostrada no gráfico ao lado. Mas dentreelas, a que satisfaz a condição 𝑠 2 = 4, é a curva

𝑠 𝑡 =3

2𝑡2 − 2𝑡 + 𝟐

-1

0

1

2

3

𝑡

s(𝑡)

Fisicamente isso corresponde a escolher a soluçãosegundo a qual o corpo estará na posição 4𝑚, noinstante 𝑡 = 2𝑠.

Notemos que, uma vez escolhida a solução doPVC, podemos usá-la para fazer previsões daposição do corpo em qualquer instante.

Infelizmente nem sempre é possível encontrar uma fórmula explícita para a soluçãode uma Equação Diferencial. Na verdade, podemos dizer que essa tarefa é possívelapenas para certos tipos particulares de equações diferenciais.

MÉTODOS DE SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Mesmo assim, existem métodos gráficos e numéricos que nos permitem obterinformações muito úteis sobre a função solução, e consequentemente sobre ocomportamento do sistema. Como veremos a seguir, tanto os métodos gráficoscomo os numéricos baseiam-se no conceito de Campo de Direções, já introduzidoanteriormente.

Suponhamos, por exemplo, que desejamos esboçar o gráfico da solução do Problemade Valor de Contorno

𝑦´ = 𝑥 − 𝑦 , y 0 = 1

Mesmo sem ter uma expressão algébrica para a solução, sabemos que a equaçãodiferencial acima significa que a inclinação dos gráficos das funções solução(chamadas curvas solução), em cada ponto 𝑥, 𝑦 é dada por g 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦.

𝑥

𝑦

(0,1) •

MÉTODO GRÁFICO

Podemos então plotar o campo de direções associado a equação diferencial acima,simplesmente desenhando em cada ponto 𝑥, 𝑦 do plano, um pequeno segmentocom inclinação 𝑥 − 𝑦 , como mostrado na figura abaixo.

Em particular se tomarmos o ponto 𝑃(0,1) ,fornecido pela nossa condição de contorno, vemosque a curva solução que satisfaz essa condição teminclinação 𝑦´ = 0 − 1 = −1

Partindo desse ponto, podemos completar oesboço da curva solução procurada, fazendo comque a mesma seja sempre paralela as inclinaçõesdo campo de direções.

MÉTODO GRÁFICO – GENERALIZAÇÃO

Em geral, dada a equação diferencial do tipo

𝑦´ = 𝐺(𝑥, 𝑦)

onde 𝐺 𝑥, 𝑦 é uma expressão em 𝑥 𝑒 𝑦 , podemos plotar o Campo de Direções,desenhando em cada ponto (𝑥, 𝑦), um pequeno segmento com inclinação 𝐺 𝑥, 𝑦

Esses pequenos segmentos indicam a direção em que as curvas solução da ED estãoseguindo em cada ponto. Isso nos permite esboçar o gráfico da função solução quesatisfaz a qualquer condição de contorno 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 .

Exemplo: Esboce o gráfico das soluções da ED abaixo

𝑦´ = 𝑥2 + 𝑦 − 1

que satisfazem as condições de contorno : 𝑦 0 = 0 , 𝑦 0 = 1 , 𝑦 0 = 2 e y 0 = −1

𝒙 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 ...

𝒚 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 ...

𝒙𝟐 + 𝒚 − 𝟏 3 0 -1 0 3 4 1 0 1 4 ...

Começamos calculando os valores de 𝐺(𝑥, 𝑦) , para vários pontos do plano xy

𝑥

𝑦

Porém podemos continuar calculando asinclinações 𝑦´ = 𝑥2 + 𝑦 − 1 em outros pontos doplano xy, e assim desenhar o Campo de Direçõesassociado a nossa ED, como mostrado na figuraao lado.

Em seguida plotamos as curvas solução quesatisfazem a cada uma das condições de contorno

𝑦 0 = 0

𝑦 0 = 1

𝑦 0 = 2

𝑦 0 = −1

MÉTODO GRÁFICO – EXEMPLO

A tabela anterior contém o cálculo das inclinações do Campo de Direções apenas emalguns pontos.

•

•

•

•

MÉTODOS NUMÉRICOS - EULER

A utilização dos computadores deu um grande impulso ao estudo das EquaçõesDiferenciais, ao facilitar a tediosa tarefa de calcular as inclinações dos campos dedireções.

Um método numérico muito conhecido para se determinar soluções aproximadaspara PVCs é o Método de Euler, que utiliza-se da técnica de aproximação linearfornecida pela definição de derivada.

𝒇 𝒙𝟎 + ∆𝒙 = 𝒇 𝒙𝟎 + 𝒇´(𝒙𝟎) ∙ ∆𝒙

A fórmula acima nos permite aproximar o valor da função na vizinhança de um ponto𝑥0 , uma vez que conheçamos o valor de 𝑓´(𝑥0).

Por exemplo, tomemos o PVC

𝒚´ = 𝒙 + 𝒚 , 𝒚 𝟎 = 𝟏

Pela EDO a inclinação da curva solução no ponto(0,1) é 𝑦´(0) = 0 + 1 = 1.

Logo, poderíamos aproximar a solução navizinhança deste ponto por 𝐿 𝑥 = 𝑦 0 +𝑦´ 0 . 𝑥 ⇒ 𝐿 𝑥 = 1 + 𝑥 .

𝑦 = 𝐿(𝑥)

Curva solução

𝑦

𝑥

1

MÉTODOS NUMÉRICOS - EULER

Observando a figura, vemos que essa aproximação será mais precisa quanto maispróximo estivermos do ponto (𝑥0, 𝑦0) = (0,1).

A ideia de Euler foi então realizar pequenosdeslocamentos, a partir do ponto (𝑥0, 𝑦0) , ereavaliar a inclinação da curva solução a cadapequeno passo. Atualizando assim a aproximaçãolinear.

Se tomarmos, por exemplo, um passo ∆𝑥 = 0,5,teremos :

𝐿(𝑥0 + 0,5) = 𝐿 0,5 = 1,5∆𝑥 = 0.5

nova 𝑦 = 𝐿(𝑥)

Curva solução𝑦

𝑥

1

𝑦 = 𝐿(𝑥)

Reavaliando a inclinação teremos 𝑦´ = 𝑥 + 𝑦 =0,5 + 1,5 = 2. Logo, a nova aproximação linearserá:

𝐿 𝑥 = 1,5 + 2. (𝑥 − 0,5)

1,5

•

Repetindo o procedimento anterior várias vezesteríamos uma poligonal que aproxima a curvasolução.

Curva solução𝑦

𝑥

1•

•

•

MÉTODOS NUMÉRICOS - EULER

Curva solução𝑦

𝑥

1

Se reduzíssemos o passo para ∆𝑥 = 0,25, teríamos umaaproximação mais precisa.

•

•

Generalizando, o método de Euler pode ser descrito daseguinte forma:

Pare após um pequeno passo (∆𝑥) reavalie a inclinaçãodo campo 𝐺(𝑥0 + ∆𝑥, 𝐿(𝑥0 + ∆𝑥));

Inicie no ponto dado como condição de contorno𝑦 𝑥0 = 𝑦0, e siga na direção indicada pelo campo dedireções;

Continue seguindo na direção do campo e reavaliandosua inclinação a cada passo.

Desta forma teremos uma sequência de pontos que aproximam a curva solução :

𝑦0 = 𝑦 𝑥0

𝑦1 = 𝑦0 + 𝐺(𝑥0, 𝑦0) ∙ ∆𝑥

𝑦2 = 𝑦1 + 𝐺(𝑥1, 𝑦1) ∙ ∆𝑥

⋮

𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 + 𝐺(𝑥𝑛−1, 𝑦𝑛−1) ∙ ∆𝑥

𝑥0

𝑥1 = 𝑥0 + ∆𝑥

𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑥

⋮

𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 + ∆𝑥

∆𝑥 = 0,5

••

•

•

•

∆𝑥 = 0,25

MÉTODO DE EULER - EXEMPLO

Iteração x G(x,y) y

0 - 1,000 1,000

1 0,500 2,000 1,500

2 1,000 3,500 2,500

3 1,500 5,750 4,250

4 2,000 9,125 7,125

Iteração x G(x,y) y

0 - 1,000 1,000

1 0,125 1,250 1,125

2 0,250 1,531 1,281

3 0,375 1,848 1,473

4 0,500 2,204 1,704

5 0,625 2,604 1,979

6 0,750 3,055 2,305

7 0,875 3,561 2,686

8 1,000 4,132 3,132

9 1,125 4,773 3,648

10 1,250 5,495 4,245

11 1,375 6,306 4,931

12 1,500 7,220 5,720

13 1,625 8,247 6,622

14 1,750 9,403 7,653

15 1,875 10,704 8,829

16 2,000 12,167 10,167

Iteração x G(x,y) y

0 - 1,000 1,000

1 0,250 1,500 1,250

2 0,500 2,125 1,625

3 0,750 2,906 2,156

4 1,000 3,883 2,883

5 1,250 5,104 3,854

6 1,500 6,629 5,129

7 1,750 8,537 6,787

8 2,000 10,921 8,921

Passo = 0,5 Passo = 0,25 Passo = 0,125

MÉTODO DE EULER - EXEMPLO

∆𝑥 = 0,5

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

10,00

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

∆𝑥 = 0,25

∆𝑥 = 0,125