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1Métodos de Análise de Sistemas Produtivos

MASP

Sistemas produtivos


MASP

Sistema Produtivo

Sistema ProdutivoMatéria PrimaEnergia

ProdutosServiços

Controlos

SubprodutosResíduos

ComponentesServiços Externos

Informação


MASP

“Controlo” do Sistema Produtivo

Sistema Produtivo

Sistema de Controlo

ObjectivosInformaçãoExterna

Ordens Feedback

Fornecedores:Material

(→ Compras)

Clientes:Produtos

(→ Vendas)


MASP

Diferentes vistas

Sistema Físico

Sistemade

Informação

Fornecedores:Material

(→ Compras)

Clientes:Produtos

(→ Vendas)

Sistemade

Decisão

Sistema de Controlo


MASP

Abordagem holística

Sistema Produtivo

Empresa

Envolvente

...


MASP

A Organização

MissãoCompras

Produção Expedição

Vendas

FinançasPagamentosFornecedoresColaboradores

StockMaterial

expedição

StockMaterialvenda

Clientes

Caixa eDepósitosbancários

StockMaterial

comprado

Informação

Workflow

Valor

Análise e algoritmos

João Borges de Sousa

“…I have found that students do not really master the material in it until they have used it to formulate and solve life problems of interest to them”

Carlos Daganzo


MASP

Organização

Introdução• O quê?

• Porquê?

• Como?

Parte 1 - Análise com base modelos sucintos e sumários de dados• Formulação

• Método de resolução

Parte 2 - Problemas de fluxos em redes• Modelos e algoritmos

• Aplicações

• Design e análise de algoritmos


MASP

Método

Descrever problemas

Colocar desafios

Discutir os desafios

Desenvolver modelos

Apresentar soluções

Analisar soluções

Métodos não se limitam a sistemas de produção• problemas de tráfego aéreo• problemas militares• etc.


MASP

Bibliografia

Carlos Daganzo, Logistic Systems Analysis, Springer Verlag, 1998

Carlos Daganzo, A Theory of Supply-chains, Springer Verlag, 2003

R. Ahuja, T. Magnanti and J. Orlin, Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications, Prentice Hall, 1993

Introdução


MASP

O quêDado um sistema produtivo, a projectar ou existente, integrado numaeconomia como optimizar o seu funcionamento?

Problema geral• Ferramentas de análise• Ferramentas computacionais• Heurísticas• Como endereçar a complexidade• Como integrar técnicas e análises

Requer• Familiariedade com:

- Técnicas e modelos (abstracções)- Viabilidade computacional (complexidade)

• Engenharia de sistemas (IEEE standard, System’s Engineering Handbooks)• Bom senso educado (Engenharia)• Experiência

Recomendação• Sejam WIP!!!

Porquê

Caso de estudo

Discussão

Case study

Logística: “Conjunto de actividades cujo objectivoé transportar items entre origens e destinos em

tempo útil”


MASP

Elementos do case study

1. Características gerais de sistemas produtivos

2. Coordenação de actividades de múltiplos sistemas

3. Dimensão/complexidade

4. Modelos utilizados

5. Técnicas de análise


MASP

O sistema

Fabricante de computadores, radios e televisões

3 fábricas• Green bay• Indianopolis• Denver

100 centros de distribuição

1 armazém localizado próximo da fábrica de Indianapolis

Componentes são montados antes de serem vendidos• nos centros de distribuição ou• no armazém


MASP

Problema

Determinar a estratégia de distribuição que minimizaa soma dos custos de transporte e de manutenção de inventários


MASP

Dados produto e produção

Fábrica Produtos Custo ($) Peso (lbs)Green Bay Computer modules 300 5Indianapolis Televisions Monitors/keyboards 400 10Denver Consoles 100 30

Denver Green Bay IndianapolisProdutos comercializados\Componentes Console Computer module Monitor\keyboard TelevisionTelevision 1Console 1Computer 1 1


MASP

Dados da procura por centro de distribuição

Denver Green Bay IndianapolisProcura dia ano (250 dias) Console Computer module Monitor\keyboard TelevisionTelevision 10 2500 2500Console 10 2500 2500Computer 10 2500 2500 2500

Totais\fábrica 2500 2500 5000


MASP

Dados de custos distribuição e inventário

Custos distribuição• Distâncias tabeladas

- Sumário- Distância média = 1000 Km

• Camiões: - Capacidade: 30.000 lbs- Preço por Km: $1

Custo inventário• Taxa 0.06% do custo

produto/dia de trabalho

• = 15% em 250 dias de trabalho

A


MASP

Estratégias

1. O armazém não é utilizadoe tudo é enviadodirectamente das fábricaspara os centros de distribuição em camiõessem paragens intermédias

2. Todos os componentes sãomontados no armazém e oscamiões viajam semparagens das fábricas para o armazém e deste para oscentros de distribuição Qual parece melhor?

Depende de quê?


MASP

Discussão estratégia 1

Custo transporte = cvt*nv

• Custo viagem típica cvt- cvt = 1000 km * $1 = $ 1000

• Número de viagens nv- nv = (nvDenver+ nvIndianapolis+ nvGreen Bay )*ncentros- nvIndianapolis = 5000*10/30.000 = 1.667- nvGreen Bay = 2500*5/30.000 = 0.417- nvDenver = 2500*30/30.000 = 2.5- ncentros = 100

cvt*nv = 1000*((1.667+.417+2.500)*100) = 4.6e5


MASP


Custo inventário = cigreenbay + ciindianapolis+ cidenver

• Tempo de espera em inventário na fábrica e no centro

- Fv = Período de viagens = 1/(Numero de viagens/ano)

- Tempo de espera médio no centro e na fábrica = Fv/2

• cixx = ncentros* nprocura * precoxx* Fv/2 *2 * taxa

- cigreenbay = 100 * 2500 * 300 *(.417-1) * .15

- cidenver = 100 * 2500 * 100 *(2.5)-1 * .15

- ciindianopolis = 100 * 2500 * 2*400 *(1.667)-1 * .15

Custo inventário = 46.5e6

Custo total = 4.6e5 + 46.5e6

A

É possível melhorar estes resultados?


MASP


Custos de transporte• Aumentam em função da ida ao armazém

• Distâncias médias são da ordem de 1000 km

• Entre armazém e centros- deverá ser da ordem do anterior- 1000*((1.667+.417+2.500)*100) = 4.6e5

• Entre fábricas e armazém- Deverá ser da ordem do anterior com excepção de Indianapolis- 1000*((.417+2.500)*100) = 3e5

• Custo total = 7.6e5

A


MASP


Custos de inventário• Green bay e Denver

• Armazém (Indianapolis) e centros- Cada centro recebe/ano cr = 2500*(15+30+10)lbs/ ano- N. viagens/ano nv = cr/30000 = 4.6- Custo inventário/item ci = (300+400+400+100)*.15/nv- Custo inventário c = ci*250000

Custo inventário = 10.1e6

Custo total = 10.5e6

N. items/centro N. centros Peso item N. viagens C. Inventário por item C. InventárioGreen bay 2500 100 5 41,7 1,08 270000Denver 2500 100 30 250 0,06 15000

Total 285000

Cinventário/item = precoxx* Fv/2 *2 * taxa


MASP

É possível melhorar os resultados?Custo de inventário

• Custo inventário/item = (custo item)*taxa/(numero viagens)

Como é que o podemos baixar?• Aumentar numero de viagens• Utilizar camiões com cargas parcelares• Incorrendo em maiores custos de transporte para aumentar a frequência das

viagens

Existe uma frequência óptima de despacho

Custo óptimo• Custo/ano = 2*[(.15)*rate*flow*value]^0.5

• Rate – custo de transporte $• Flow – lbs por ano• Value – valor do produto $/lb

Implementação requer uma grande coordenação entre responsáveis de transporte e de inventário


MASP

Evoluções das estratégias iniciais

3. Directa + frequência óptima

4. Armazém + frequência óptima

5. Parte directa + parte armazém


MASP

Comparação de resultados

Q: o que aconteceria se a procura de televisões aumentasse?


MASP

Problemas relaccionados

Determinação da localização de centros de distribuição

Planeamento de rotas

Sub-contratações• Transporte

• componentes

Optimização multi-critério

Outros…


MASP

Problema geral

Como abordar?

Como decompôr?

Como agregar?

Propriedades (Robustez, Flexibilidade)?

Como integrar técnicas/metodologias?


MASP

Tipos de abordagens

Problem-based• Case study como exemplo

• Modelos analíticos simples

• Agregação de dados e aproximações

• Privilegia a análise

Method-based• Baseados em formulações conhecidas

• Análises e algoritmos semelhantes

• Requer muitos dados

• Análise difícil


MASP

Problem-based

Foi a abordagem utilizada no solução case study1. Mesmo que haja dados detalhados as principais

aproximações são efectuadas à partida2. Os métodos numéricos são substituídos por modelos

analíticos3. Os modelos analíticos são resolvidos com detalhe4. É possível identificar propriedades de soluções próximas do

óptimo5. Estas são utilizadas para formular guias para a

implementação6. O passo final de optimização pode ser efectuado com

recurso a um algoritmo de optimização computacional7. Mesmo que os dados mudem os princípios de projecto são os

mesmos


MASP

Utilidade e flexibilidade• Modelos simples são fáceis de explicar• Facilidade em entender e explicar o funcionamento sistema

- São mais convincentes- Podem ajudar a encontrar problemas na formulação inicial e ajudar a

expandi-la

Accuracy dos resultados• A falta de dados precisos não deve ser desculpa para a falta de

análise• Não se deve procurar a precisão de dados só por si• Múltiplos factores que influenciam decisões. As soluções numéricas

podem ser demasiado rígidas• Fontes de erros

- Abordagem: simplificações- Tradicional: falha de algoritmos em encontrar boas soluções


MASP

Method-based

Abordagem tradicional da logística1. Formulação de um problema de programação matemática

2. Grande volume de dados

3. Decisões: 1. não são baseadas em análises sistemáticas2. Baseadas em heurísticas que não são particularmente insightfull

4. Problemas NP-hard

Exemplo: Network flow methods


MASP

Network flow methods

Problemas típicos• Caminho mais curto

• Máximo fluxo

• Mínimo custo de fluxo

Formulação bastante geral

Questões• Complexidade

• Não utilização de programação linear


MASP

Mínimo custo de fluxo• É o mais fundamental de todos os network flow problems

Problema• Dada uma rede determinar o custo mínimo de transporte de

uma mercadoria através da rede a partir de nós de distribuição e com o objectivo de satisfazer a procura emdeterminados nós

Formulação num grafo G=(N,A)• N conjunto de n nós• A conjunto de arcos (i,j) com custo associado ci,j (linear)


MASP

Mínimo custo de fluxo ∀i ∈ N • b(i) inteiro que representa a procura em i

- b(i)> 0 – nó fornecedor- b(i)< 0 – nó consumidor- b(i)= 0 – nó de transferência

• Variáveis de decisão- Fluxo xi,j nos arcos


MASP

Mínimo custo de fluxo

Mass balance constraints

Flow bound constraints


MASP

Caminho mais curto• O custo ci,j tem a interpretação de distância• Procurar caminho mais curto de um nó fonte s para um nó

poço t• Fazer

- b(s) > 1 – nó fonte- b(t) < -1 – nó poço- b(i) = 0 – todos os outros nós

• Outros problemas/interpretações1. Mandar um fluxo de v unidades de um nó fonte para um nó poço

em que a restrição de fluxo em todos os arcos é v2. Caminho mais curto de um nó fonte para todos os nós do grafo

1. b(s)=n-12. b(i)=-1 para todos os outros nós


MASP

Máximo fluxo• Não há restrições de capacidades

• Existem restrições de fluxo

• ui,j é o fluxo máximo no arco (i,j)

• Formulação como problema de mínimo custo de fluxo- b(i)= 0 – todos os nós- ci,j = 0 – para todos os arcos- cs,t = -1- us,t = infinito

• Porquê- Maximizamos o fluxo no arco (s,t) - Qualquer fluxo em (s,t) tem que circular nos arcos do grafo

(b(i)=0)


MASP

Alocação recursos• Dados

- Conjuntos N1 e N2

- #N1 = #N2

• A ⊂ N1 x N2 alocações

• ci,j custo associado a cada arco (i,j)

• Encontrar os pares de N1 e N2 com custo mínimo

• G = (N1 ∪ N2,A)

• b(i) = 1 para i em N1

• b(i) = -1 para i em N2

• ui,j = 1


MASP

Outros problemas

Transportes

Circulação

Convexos

Generalizados

Multiple commodity flow problems

Parte 1Modelos sucintos e sumários de dados

Custos

Métodos de optimização

Caso de uma origem e de um destino

Projecto de redes


MASP

Custos

Caminho de um item da produção para o destino• Transportado da produção para o armazenamento

• Espera em armazém por transporte

• Transportado do armazém para o veículo

• Transportado para o destino

• Transportado do veículo para o armazém (+operações destino)

• Espera em armazém por consumo

Tipos• Motion – para ultrapassar distância

• Holding – para ultrapassar tempo


MASP

Tipos de custoHolding (não é uma terminologia universal)

• Rent• Waiting ou inventory

Motion• Handling fora do veículos de transporte (inclui packaging) • Transportation (inclui loading)

Análise• Identificar os quais os parâmetros que influenciam que custos• Identificar forma matemática das relações

Representação• Definir como representar os custos• Nem todas as representações de custo são válidas para análise• Utilizar factores de conversão constantes


MASP

Holding costs: interpretação geométrica

Gráfico acumuladosi) produção

ii) shipments

iii) chegadas

iv) consumo

Contém informaçãorelevante

Procura = produção D’i) ii) iii) iv)


MASP

cont

∀t, separações verticais• entre i e ii)

- numero de items à espera de transporte

• entre iii e iv) - numero de items à espera de serem consumidos

• entre ii e iii) - numero de items em transporte

Consider que os items passam numa order fifo

Separação horizontal• Tempo passado entre duas estações consecutivas

• tm – tempo de transporte


MASP

cont

Integrais• Horas item passadas na origem

• Horas item passadas no destino

Separação média horizontal entre duas estações• Tempo médio passado por um item entre essas estações

Para este exemplo• Separação constante entre produção e consumo

- Tempo médio de espera entre produção e consumo- Wait = H1 + tm

- H1 = max{Hi}

Máxima acumulação• Maximum accumulation = D’ H1


MASP

Holding costs: componentes

Rent• Para sistemas bem dimensionados ~ maximum accumulation• Factor de proporcionalidade cr = f(tamanho, requisitos armazém)

- Rent cost/year = cr * maximum accumulation em $/item-ano• Se a procura for constante

- Rent cost/item = cr(D’ H1)/D’= crH1- Independente do fluxo- Proporcional ao valor máximo de H

Waiting• Também chamado custo de inventário associado a espera

- Tempo de espera = H1+tm- Waiting cost/year = ci[D’ (H1+tm)]- Waiting cost/year/item = ci[D’ (H1+tm)]/D’ = ciH1+citm = civ/D’+citm

- ciH1 – stationary inventory cost- citm – pipeline inventory cost- v – maximum shipment size


MASP

cont

A determinação dos valoresdos custos ci não é simples

Depende das condições de mercado

Exemplo• Π0 preço produção

• Π1 preço venda

• Π1 > Π0

Situações diferentes• Procura fixa

• Procura absorve tudo


MASP

Transportation costs: expressões

Custo total transporte = soma custos de cada viagem• Shipment cost ≅ cf+ cvv

- v shipment size

Custo de sequência {vi} de n shipments no total de V items (V=∑ivi)

• Cost for n shipments = ∑icf + cv vi = ncf + cvV- Depende de n- Independente de quando são efectuados e do que consta- Depende do numero total de items tranportados

• Transportation cost/item = cf (n/V)+cv

- As economias de escala derivam de todos os items num mesmoshipment partilharem os custos fixos

- Diminui com o tamanho médio do shipment (V/n)


MASP

Transportation costs: headways

Análise• Transportation cost/item = cf (n/V)+cv = cf (1/D’H) + cv

- V = ∑iD’Hi = D’Hn- H – valor médio dos headways Hi

• Custo de transporte diminuem com H

• Custo inventário aumentam com o valor máximo Hi

- Rent cost/item = cr(D’ H1)/D’= crH1

Logo• Os carregamentos devem ser espaçados com a máxima

regularidade praticável de forma a diminuir o máximoheadway e o associado holding cost


MASP

Transportation costs: capacidade

Máximo shipment size vmax

cvvmax << cf os custos de operar o veículo devem ser insensíveis relativamente aoque contém

Transportation cost per shipment

• ft(v)• Subaditiva

- ft(x1+x2) ≤ ft(x1)+ ft(x2)• Porque não se reduz o custo

de transporte se se enviar porpartes

Shipment cost ≅ cf+ cvv


MASP

Cont

Em muitos problemas basta consider a parte linear de ft entre 0 e vmax

• não é económico enviar shipments maiores

Vejamos porquê:• Ignore os custos de handling• Assuma que o espaçamento é fixo

Waiting cost/year/item =

ci[D’(H1+tm)]/D’= ciH+citm = civ/D’+citm

Transportation cost/item =

cf (n/nv)+cv = cf (1/v)+ cv

Optimal shiping size• Min {Av+b/v}s.t: v ≤ vmax

• A = ch/D’• B = cf

• ch= ci+cr


MASP

Transportation costs: modos alternativos

Shipment cost ≅ cf+ cvv• Aumenta linearmente com v• Válido quando v varia num

intervalo grande

Considerar outros modos de transporte se a qualificaçãonão for verdadeira

• Vários modos terão cf e cvdiferentes

• Modo óptimo = f(tamanho)• Crescente e concava

- Subaditiva

Para uma frota poderepresentar diferentes tiposveículos


MASP

Handling costs: expressões

Inclui• carregar items individuais num

contentor• Movimentar o contentor para o

veículo• Refazer o processo no destino

Custo shipment size• items tratados individualmente

- Handling cost ≅ c’vv• Items transportados em pallets

- Handling cost ≅ c’f + c’vv- v’max – numero de items numa

pallete

Formulação igual• Origem• Destino


MASP

Handling costs: motion cost

A figura descreve a soma de handling e transportation costs quando v’max << vmax


MASP

Handling costs: lot-sizing tradeoff

Da mesma forma queanteriormente


MASP

Sumário distribuição 1-1

1. Podem-se obter estimativas precisas dos custos sem informaçãodetalhada

2. Perturbações moderadas de uma solução óptima não aumentamo custo de uma forma significativa

3. Dados detalhados podem introduzir complexidade adicional e eventualmente dificultar a procura do óptimo

4. Daganzo sugere uma abordagem de 2 níveis para o problema dalogística

1. Analítica1. Detalhe mínimo2. Conceitos de solução gerais

2. Afinação1. Soluções específicas2. Consistente com a primeira3. Utiliza toda a informação


MASP

Transportation+holding costs


MASP

Lot-sizing com procura constante

z = Min {Av+B/v : v ≤ vmax}

Caso vmax = ∞• v* = sqrt(B/A) • A = ch/D’ holding cost/item• ch= ci+cr

• B = cf fixed motion costs• v* torna os dois termos da função custo iguais

Custo óptimo• z* = (cost/item)* = 2 sqrt(AB)• aumenta a uma taxa decrescente com cf,ch

• diminui com D’ ⇒ economias de escala


MASP

Robustez a erros

Variável de decisão• v0=v* β

• β’ = z0/z* = 0.5[β+1/β]- Independente de A e de B- .5 < β < 2 então β’< 1.025- Se a variável de decisão for 25% do valor óptimo o custo fica a

.25% do custo óptimo

Erros de dados• A’ = βA ou B’ = βB

• v0’= v*/sqrt(β)

• A robustez relativamente a erros de dados é grande- .5 < β < 2 então β’< 1.1


MASP

cont

Erros de modelo


MASP

cont

Combinações de erros• Pode não ser aditiva


MASP

Lot-sizing com procura variávelExpressões

D’• Varia com o tempo• Variação conhecida D(t) = integral D’

Pretende-se determinar tempos e tamanhos de lote• t0, t1, t2, …, tn-1 tempos em que os carregamentos devem ser

recebidos• v0, v1, v2, …, vn-1tamanhos dos lotes

Que minimizem a soma dos custos

Dados• cf

• ch = cr + ci

• vmax

Inicialmente vamos assumir que a ultima restrição é relaxada

A matéria deste slide não será objecto de avaliação


MASP


Caso holding cost = rent cost



MASP


Caso rent cost é desprezável



MASP


Aproximação contínua

A matéria deste slide nãoserá objecto de avaliação

Elementos para projecto de redes


MASP

Considerações gerais

Problemas reais de logística• Como e quando despachar

• Projecto rede de distribuição

As economias de escala são traduzidas pelo facto de o custo óptimo por item diminuir com a D’

Vamos discutir elementos de projecto de redes com• Múltiplos destinos

• Trajecto de um item não está pré-determinado

• Custo decresce com o fluxo


MASP

Exemplo ilustrativo

Procura = produção

Suponha que fracção x dos items para P2 são enviadosvia P1

• x1 = 4(1+x)• x2 = 4(1-x)• x3 = 4x

Custo de transporte• Soma dos custos dos arcos

- Válido desde que não se pretendacoordenar os horários nos 3 arcos

• ∑ixiz(xi)• z(xi) aumenta a uma taxa

decrescente (concava)• xi linear em x• Custo concavo em x

Formulação conhecida?O que se passa para multiplos produtos?

O que é uma função concava?E um conjunto concavo?Como se relacionam as duas definições?


MASP

cont

Exemplo• z1 = 1/sqrt(x1)

• z2 = 3/sqrt(x2)

• z3 = 1

• x1 z1 = sqrt(x1)

• x2 z2 = 3sqrt(x2)

• x3 z3 = x3

• Custo total = 2sqrt(1+x)+6sqrt(1-x)+4x

Valor óptimo x*=1- Custo concavo- Extremo do intervalo


MASP

Discussão

O mesmo princípio tudo ou nada aplica-se a problemas com múltiplas origens/destinos se função custo for concava

No caso de uma origem e múltiplos destinos isto implica apenasuma rota

Intuição• Existe uma partição do fluxo por várias rotas• Os flows nas várias rotas são lineares nessa partição• O custo total é concavo nessa partição

E se a função custo for convexa? • Existe um incentivo para deseconomias e para dividir o fluxo por

várias rotas• No caso de uma origem e um destino com várias rotas e funções

custo iguais para cada rota então prova-se que a solução óptima é dividir o fluxo igualmente por todas as rotas


MASP

cont

Sensibilidade a mudanças de condições• Com deseconomias um melhoramento de uma das rotas leva a

uma pequena mudança da distribuição do fluxo óptimo

• Com economias a distribuição do fluxo óptimo ou se mantémou muda de uma quantidade discreta

- típico de problemas de minimização com funções concavas –pequenas mudanças nos dados podem levar a grandes mudançasna solução óptima

- Felizmente o custo não se comporta dessa maneira

ExemploIf z3 ≤ [2-sqrt(2)] then (x* =1 ∧ Custo total = 8)

else (x* =0 ∧ Custo total = sqrt(8)+4 z3)


MASP

Métodos de solução

Redes com economias versus redes com deseconomias• Natureza da solução é diferente

• Método de solução tem que ser diferente- deseconomias – problema de optimização bem comportado- Economias – problema de optimização com mínimos locais que

podem não ser globais

Métodos de pesquisa local- Utilizados para encontrar soluções quase-óptimas para grandes

redes com custos convexos- No caso das redes de custo concavo estes mesmos métodos

podem falhar e como tal só funcionam para redes de dimensõesmais baixas


MASP

cont

Métodos de pesquisa local

(bons para casos convexos)1. Determina uma solução inicial

admissível

2. Determina uma pequenaperturbação da solução anterior que melhore o custo

3. Se não melhora pára e o mínimofoi encontrado senão Volta a 2

Exemplo para função concava• Mínimos locais x = 0; x =1

• Se solução inicial < .61 converge para 0

• Exponencial

Parte 2Network flow problems


MASP

Capítulos 3 e 4 Network flows


Análise de complexidade

Desenvolvimento de algoritmos polinomiais

Algoritmos de pesquisa local

Algoritmos de decomposição de fluxo

Árvore de caminhos mais curtos

Caminho mais curto em redes acíclicas

Algoritmo de Dijkstra

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