SECRETARIA ESTADUAL DA EDUCAÇÃO - SEED

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ - UEM

A UTILIZAÇÃO DO LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA

NO ENSINO DE SIMETRIA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL

PROFESSORA PDE: DIVANETE SQUISATTI ALMEIDA

PROFESSOR ORIENTADOR: JOÃO CESAR GUIRADO

MARINGÁ – 2008

UNIDADE DIDÁTICA

O Laboratório de Ensino de Matemática e a Simetria

Profª.Divanete Squisatti Almeida¹

Prof. Ms. João César Guirado²

A Matemática está sendo associada, pelos alunos, como um assunto a ser

decorado e eles não conseguem aplicar conceitos e habilidades em problemas

práticos do dia-a-dia. O Laboratório de Ensino de Matemática - LEM é uma

metodologia que, pouco a pouco, devolve-lhes a responsabilidade de desenvolver o

seu próprio raciocínio, pois se o professor não demonstrar a dinâmica da aquisição

de um conceito, os alunos tendem a ver a matemática como um rol de definições,

teoremas e axiomas que surgiram da imaginação dos matemáticos ou como um

emaranhado de técnicas ou fórmulas sem conexão com a realidade.

Para dominar os conceitos fundamentais ou adquirir o significado dos conteúdos

matemáticos, é necessária uma ação concreta do aluno sobre o objeto de seu

aprendizado, isto é, a matemática se aprende fazendo. É num LEM que surgem

oportunidades de participação ativa do aluno no processo ensino-aprendizado. O

LEM oferece oportunidades de aperfeiçoamento do processo de ensino-

aprendizagem, no sentido de promover uma real adequação entre teoria e prática,

tornando a matemática compreensível aos alunos. As noções de simetria, dentro de

um LEM, levam a uma compreensão mais rica das figuras geométricas.

A simetria é detectada pelo homem em suas realizações desde os tempos

primitivos, como atestam os vestígios arqueológicos de suas ferramentas e as suas

antigas manifestações de arte, mas é Leonardo da Vinci quem realmente começou a

estudá-la.

1- Professora do Programa de Desenvolvimento Educacional - PDE

2- Professor Orientador da Universidade Estadual de Maringá

O Homem Vitruviano, um desenho famoso que acompanhava

as notas que Leonardo da Vinci fez ao redor do ano 1490 num dos

seus diários, descreve uma figura masculina desnuda

separadamente e simultaneamente em duas posições sobrepostas

com os braços inscritos num círculo e num quadrado. É um

desenho freqüentemente considerado como um símbolo da

simetria básica do corpo humano e, para a extensão, para o

universo como um todo. É interessante observar que a área total

do círculo é idêntica à área total do quadrado e este desenho pode

ser considerado um algoritmo matemático para calcular o valor do

número irracional phi=1,618...

A simetria não é um número ou uma fórmula, mas é uma propriedade das

figuras, uma transformação. A simetria está presente no cotidiano e na natureza e

faz com que o homem observe, analise e se entusiasme com essa regularidade.

Como a simetria tem a ver com o ritmo, com algo que se repete e se repete de

modos diferentes por uma regra, é necessário entender como acontece esse

movimento, resultado dessa regra. As simetrias podem ser apresentadas como: de

reflexão, de translação e de rotação.

Duas figuras são simétricas se podem ser obtidas por meio de uma reflexão,

uma translação ou uma rotação.

Na simetria de reflexão observa-se pelo menos um eixo, que poderá estar na

figura ou fora dela e que serve de espelho refletindo a imagem da figura desenhada.

Nesse sentido, uma figura pode ter mais de um eixo de simetria.

Na simetria de translação a figura desliza sobre uma reta, mantendo-se

inalterada.

Na simetria de rotação a figura toda gira em torno de um ponto que pode estar

na própria figura ou fora dela, sendo que cada ponto da figura percorre um ângulo

com vértice neste ponto.

As isometrias são as transformações do plano que não distorcem as formas e

os tamanhos e, por isso, são também conhecidas como movimentos rígidos. São

pertencentes a esta categoria todos os movimentos que conservam a distância e a

posição relativa entre pontos.

Fonte :

www.diaadia.pr.gov.br

Fig.1: Isometria Fig.2: Não é isometria

Na figura 1, o retângulo foi deslizado de modo que foi mantida a sua forma e seu

tamanho e, por isso, esse movimento é considerado uma isometria, enquanto que o

movimento, representado na figura 2, não se enquadra na definição de isometria,

pois o tamanho do retângulo original foi alterado.

A isometria representada na figura 1 é, provavelmente, a mais familiar e se dá

por translação. Neste movimento, todos os pontos sofrem uma deslocação com a

mesma quantidade, na mesma direção, portanto, é evidente que qualquer figura

conserva a sua forma e tamanho após a translação.

Outro tipo de isometria muito comum é a rotação , que contrariamente à

translação possui um ponto fixo. Na rotação todos os pontos do plano movimentam-

se rodando a mesma quantidade em torno deste ponto, que se designa ponto

central.

Fig.3: Todos os pontos rodam em torno de

um ponto no plano.

O fato de o movimento possuir ou não ponto fixo faz distinguir estes dois tipos de isometrias. A isometria por reflexão em relação ao eixo, fixa uma infinidade de pontos

coincidentes com essa linha. Ao darmos na figura original um determinado sentido,

ele aparece invertido na figura final, ou seja, a reflexão altera a orientação dos

pontos do plano.

A inversão de orientação é entendida como conseqüência do processo de

construção, pois para se produzir uma reflexão tem que levantar a figura e rodá-la,

ao passo que uma rotação ou uma translação é resultado de um arrastamento da

figura original, sem sair do plano.

Fig.4: Todos os pontos são transportados para o outro lado do eixo com inversão de orientação.

Durante a aprendizagem é importante para o aluno visualizar como diferentes

tipos de simetria são usados para expressar beleza e equilíbrio. Para isso, o

professor poderá sugerir que os alunos acessem o site

www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=9562s , pois

nele há um vídeo que explora tais conceitos.

Seguem-se algumas atividades práticas que permitem, aos alunos, conceituarem

simetria.

ATIVIDADES

1111−−−− Para construir figuras simétricas:

a- Dobre uma folha de papel e faça um desenho qualquer em uma de

suas faces, de tal modo que ele toque a dobra em dois pontos. Recorte

o papel na linha do desenho. Ao desdobrar a folha, o aluno obterá uma

figura simétrica em relação à linha de dobra, que é chamada eixo de

simetria.

b- Desenhe metade de uma figura em um papel. Trace o eixo de simetria

e coloque um espelho sobre o eixo. Nesse caso, o aluno verá que a

imagem refletida corresponde à outra metade da figura.

c- Em uma malha quadriculada, desenhe metade de uma figura. Trace

um eixo de simetria e complete a figura, desenhando sua outra

metade.

2222−−−− Dobre ao meio uma folha de papel A4, abra-a e, em seguida, pingue em uma

de suas metades algumas gotas de tinta guache de diferentes cores. Dobre a

folha novamente, sobre a mesma dobra e pressione-a deslizando sobre ela

uma régua. Após esta atividade, o aluno ao abrir a folha verá que o desenho

formado é idêntico nos dois lados da dobra do papel, porém um é o simétrico

do outro em relação a um eixo. Nesse caso, tem-se uma simetria de reflexão,

conforme exibe a figura a seguir:

Fonte: autora

3333−−−− Sabemos que um eixo de simetria divide uma figura simétrica em duas partes

de modo que ao dobrarmos a figura ao longo desse eixo, suas duas partes se

sobrepõem, ou seja, uma fica exatamente sobre a outra. Em qual (is) figura(s)

a seguir o segmento de reta representa um eixo de simetria?

Fonte: autora

4444−−−− As figuras a seguir estão incompletas. Desenhe a outra parte de cada uma,

de maneira que fiquem simétricas em relação ao eixo destacado em negrito.

Fonte: autora

5555−−−− Figuras que não são simétricas são consideradas assimétricas. Observe e

identifique, dentre as figuras a seguir, as que são assimétricas.

Fonte: autora

6- Existem muitas figuras e objetos que não têm simetria.

a) Escreva o nome de três objetos assimétricos.

b) Quais das figuras a seguir não possuem eixo de simetria?

B

A B C

7- Utilizando o eixo de simetria, complete o desenho a seguir.

8- Com um espelho fixo em uma base com abertura inferior, é possível encontrar

o eixo de simetria de figuras. Para isso, basta passar a folha de papel na abertura

até que ocorra a simetria de reflexão.

Fonte: autora

D E

F

G

H

9- Com dois espelhos articulados e a cópia em papel de um transferidor de 180º,

realize a seguinte atividade:

a) Posicione os espelhos de modo que eles formem um ângulo de 60º.

b) Coloque uma figura na região compreendida entre os espelhos.

c) Observe a 2ª e a 4ª imagem da figura. Você vê alguma correspondência

entre os pontos da figura original e suas imagens? Que tipo de simetria ocorreu?

O aluno deverá observar que houve um giro da figura original, em relação ao

centro dos espelhos. Na segunda imagem houve um giro de 120º em relação à

figura original e, na quarta imagem, houve um giro de 240º.

d) Que tipo de transformação (reflexão ou translação) representa a 1ª e a 5ª

imagem em relação à figura original?

Fonte: autora

10- Com um conjunto de espelhos articulados, palitos de madeira, fitas coloridas

ou canudinhos é possível conseguir polígonos com o auxílio da simetria. Para isso,

siga os passos a seguir:

a) Posicione os espelhos num ângulo qualquer.

b) Coloque o material escolhido (canudinho, palito ou fita) na região

compreendida entre os espelhos e considere-o como um segmento. Qual foi a figura

obtida? Se for um polígono, conseguiria nomeá-lo?

c) Diminua a abertura dos espelhos. A figura obtida representa ainda um

polígono? O que esta nova figura tem de diferente em relação à obtida no item b?

Considerando a maior ou a menor abertura dos ângulos dos espelhos e o número de

lados dos polígonos obtidos, qual a sua conclusão?

Fonte: autora

11- Nesta atividade, com o uso de três espelhos formando uma superfície

triangular, é possível formar imagens múltiplas, pois as obtidas num dos espelhos

formam novas imagens nos outros dois, e assim sucessivamente, estendendo-se

por todo o plano. São utilizadas “bases substituíveis ”, que são figuras triangulares,

nas quais são construídos, graficamente, segmentos formando regiões (que podem

ser coloridas), para que nas reflexões formem a pavimentação pretendida. A fim de

facilitar a tarefa, a porção da pavimentação poderá ser obtida sem instrumentos de

desenho, mesmo com imprecisão nas medidas, porque o que realmente importa é o

entendimento das simetrias reflexionais sucessivas e não a beleza, a precisão do

desenho.

Fonte: autora

12- Neste jogo, cada um dos jogadores dispõe de um espelho retangular e de um

cartão com a figura desenhada a seguir. O objetivo do jogo é “fazer” a série de

figuras seguintes no mais curto espaço de tempo, colocando o espelho sobre o

cartão em diferentes posições. Nesta atividade, o aluno será incentivado a descobrir

os eixos de simetria das figuras a reproduzir.

Fonte : educamat.ese.ipcb.pt

13- Nesta atividade, com dois espelhos posicionados de maneira paralela e uma

figura entre eles é possível observar a simetria de translação. Basta olhar rente

sobre um dos espelhos e verá o que acontece no outro espelho. Pode-se também

colocar letras ou palavras entre os espelhos.

Fonte: autora

14- O paintball é um jogo no qual são usados marcadores de tinta para atingir o

oponente, como se estivesse numa “guerra”. O paintball das simetrias é jogado no

papel com as seguintes regras:

1 – Numa folha de papel é feita uma dobra criando um eixo de simetria. Assim

também serão obtidos os dois campos onde ocorrerá o jogo.

2 – Cada jogador vai desenhar no seu campo o número de soldados da sua equipe

(esse número é decidido entre os dois alunos no início do jogo).

3 – Cada jogador vai marcar, no seu campo, uma cruz para representar cada

soldado no local onde calcula que, ao dobrar a folha pelo eixo de simetria definido

no início, irá coincidir com o local onde está o soldado do oponente.

4 – Quem desenhar um soldado que seja impossível de atingir fica logo sem ele.

5 – Será vencedor o jogador que marcar mais soldados do oponente.

Sugestões:

- Comece o jogo com poucos soldados.

- O eixo de simetria não tem que estar, necessariamente, na posição do exemplo,

pois assim aumentará a dificuldade do jogo.

Fonte: autora

Referências:

BELLINGERI, Paolo et. al. O ritmo das formas . Traduzido por Maria Pires de

Carvalho. Lisboa: Atractor, 2003.

CAVALCANTE, Luiz G. et al. Para saber matemática , 5ª série. São Paulo: Saraiva,

2006.

LORENZATO, Sérgio (org.). O Laboratório de Ensino de Matemática na

Formação de Professores. Campinas: Autores Associados, 2006.

BARROSO, Juliana Matsubara (editora responsável). Projeto Araribá Matemática -

5ª série/obra coletiva. 1 ed. São Paulo: Moderna, 2006.

OCHI, Fusako Hori et. al. O uso de quadriculados no ensino da Geometria . São

Paulo: CAEM, 1995.

OLIVEIRA, Ana Maria Nauiack de. Laboratório de Ensino e Aprendizagem em

Matemática: As Razões de Sua Necessidade. Dissertação (Mestrado em Educação).

Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 1983.

PARANÁ, Secretaria do Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Rede

Pública na Educação Básica do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: Seed,

2008.

ALCANTARA, Silvia R. O homem vitruviano. Disponível em

<http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/Image/conteudos/imagens/portugu

es/vitruvi.jpg > acesso em: 29 set. 2008.

PROGRAMA de formação contínua em matemática para professores do 2º ciclo-

ESE de Castelo Branco. Disponível em

<http://educamat.ese.ipcb.pt/0607/images/PDF/Mater_2C/sessao_11_jogo_simetrias

.pdf > acesso em: 10 out. 2008.

PROGRAMA de formação contínua em matemática para professores do 2º ciclo-

ESE de Castelo Branco. Disponível em

http://educamat.ese.ipcb.pt/0607/images/PDF/Mater_2C/sessao_11_jogo_paintball_simetrias.pdf > acesso em: 10 out. 2008