marco teorico de matematicas del iemsdf

México Distrito Federal, 23 de marzo 2011.

Documento de trabajoEl presente escrito representa un punto de partida para identificar y establecer las competencias matemáticas que el estudiante desarrolla durante su trayectoria académica en el Sistema de Bachillerato del Gobierno del Distrito Federal (SBGDF), se trata de una propuesta que el grupo de consultores plantea previendo que la Academia de Matemáticas al interior de cada plantel y a partir del análisis, discusión y con propuestas contribuya en la generación del marco teórico que delimite y defina el papel institucional frente a los retos que enfrenta la educación media superior en el Distrito Federal. Este trabajo es prioritario y su determinación repercute de manera directa en la metodología del proceso de enseñanza y aprendizaje, en el programa de estudios y por tanto en la forma y sentido de la evaluación existente en el Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal (IEMS).A partir de cuatro apartados principales, dos anexos y la respectiva bibliografía, se establece el presente trabajo que prevé la generación y consolidación del marco teórico de competencias matemáticas del IEMS. I. ContextoPara este documento, el poseer una competencia o ser competente en algún dominio ya sea personal, profesional o de vida social, implica dominar aspectos esenciales que contribuyen en la generación de una capacidad para realizar algo específico en dicho dominio. En otras palabras, una competencia en el ámbito educativo hace referencia a la capacidad de un individuo para realizar cierta actividad de manera eficiente utilizando conocimientos, habilidades y actitudes en diferentes escenarios o contextos para desarrollar sus potencialidades como ser humano. Una competencia matemática significa tener la habilidad de entender, juzgar, hacer y usar matemáticas en una variedad de contextos y situaciones tanto de clase científica1 como en términos y referencia a objetos que aluden a la realidad (cf. Niss 2002). La competencia matemática enmarca el razonamiento lógico como eje rector al trabajar los procesos matemáticos que los estudiantes aplican en cualquier momento y contexto de su cotidianidad.1 Sin aludir a cuestiones ajenas al universo matemático.

Documento de trabajo

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Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal

Marco Teórico de CompetenciasAcademia de Matemáticas

El acordar y adoptar las competencias matemáticas, que el estudiante del IEMS logre desarrollar y aplicar, es una tarea que debe definirse a corto plazo; sin perder de vista que las diferentes competencias que presenten los estudiantes variarán considerablemente de una persona a otra. Esta es la razón de que las competencias básicas no necesariamente se desarrollen en una asignatura en específico, por ejemplo, la asignatura de filosofía del IEMS puede y debe desarrollar también razonamiento lógico en el estudiante. Esto es en parte así, debido a que todo el aprendizaje significativo tiene lugar a través de experiencias o vivencias y del estudio o formación previa; además la metodología implementada para la enseñanza y aprendizaje de la matemática en la institución, plantea en sus preceptos una clara y necesaria diferenciación al momento de la construcción del conocimiento.La relación entre competencias y el currículo que propone los programas de estudio es un aspecto muy importante. Una competencia matemática se debe desarrollar y ejercer en correspondencia con algún tema o contenido del programa específico y que puede articularse con otra asignatura. La propuesta de definición del conjunto de competencias matemáticas para la Academia debe ser planteada de tal forma que en cada una de las asignaturas se logre trabajar y fomentar el desarrollo del conjunto de conocimientos, habilidades y actitudes necesarias que le permitan al estudiante un desempeño académico favorable en semestre posteriores, o bien que al egresado le garantice la no exclusión en términos de oportunidades frente a otros sistemas de educación media superior.En el Proyecto Educativo del Instituto de Educación Media Superior (2006), se describe el perfil de egreso, de manera que los egresados “posean una cultura general básica, así como una

formación sólida e integral para enfrentar los retos y situaciones que hacen a su vida presente y

futura” (p. 46), para que puedan incidir en su entorno inmediato a través de su participación en proyectos sociales. Por otra parte, el egresado también deberá poseer aquellos conocimientos y habilidades que le permitan continuar sus estudios en el nivel superior. Así, el ideal formativo del Proyecto considera las siguientes características que los egresados deberán desarrollar:Capacidad para aprender por sí mismo. Competencias básicas para el aprendizaje y habilidades intelectuales para la construcción de los conocimientos necesarios para continuar Documento de trabajo

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con su educación.Dominio de estrategias de búsqueda y procesamiento de información para enfrentar retos que su vida personal, social o académica le demanden. Actitud y capacidad crítica para analizar información de manera que le facilite la toma de decisiones. Autonomía y responsabilidad ante las decisiones asumidas, con conciencia de sus derechos y obligaciones.Capacidad intelectual para analizar y comprender su contexto. Capacidad para desenvolverse en situaciones problemáticas y resolverlas.Competencia para participar como miembro de su comunidad. Respeto, tolerancia, honestidad y solidaridad para construir relaciones que propicien la superación permanente.Habilidades, actitudes y conocimientos para el trabajo, entendido éste en su más amplio sentido y que debe conducir a la emancipación del individuo.El proyecto educativo plantea, para el desarrollo de las características deseables del egresado, una estructura curricular organizada a partir de los siguientes los tres ejes de formación: formación crítica, formación humanística y formación científica. Estos ejes de formación establecen el enfoque del Plan y los Programas de Estudio de cada área y orientan los procesos educativos en el SBGDF. El proyecto educativo plantea el agrupamiento de las áreas de estudio en dos ámbitos: el disciplinar y el complementario. El ámbito disciplinar se conforma de dos áreas: la de humanidades y la de ciencias; es en esta última en donde se encuentra la Matemática. Es importante recalcar que el área de ciencias “plantea como propósito central que

los estudiantes se acerquen gradualmente a los métodos y principios de la ciencia para desarrollar

el razonamiento lógico, a través de un trabajo ordenado y sistemático. De esta manera se favorece

la comprensión profunda y crítica de la realidad” (p. 32).Por otra parte, en el Proyecto también se plantea (p. 33) lo siguiente: En los dos primeros semestres se enfatiza en el desarrollo de competencias básicas para el aprendizaje, de manera que los estudiantes aprendan a leer y a comprender, desarrollen habilidades para la búsqueda y organización de información, desarrollen su razonamiento lógico-matemático y la expresión oral y escrita; en los siguientes dos semestres, con base en las competencias básicas para el aprendizaje ya desarrolladas (o en desarrollo), “los programas se orientan a la identificación de


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procesos históricos, al desarrollo del pensamiento crítico y a la elaboración de una noción más

completa de los métodos científicos.” (p. 33); por último, en los dos semestres restantes, “la

orientación de los programas es hacia el desarrollo de saberes prácticos, organizados en función de

un conjunto de campos de formativos para la intervención social” (p. 33).En el caso de la disciplina, en los Programas de estudio de 2006, se plantea el siguiente objetivo general: “A través de la Matemática, el estudiante adquirirá madurez en el razonamiento y

será capaz de estructurar y expresar sus ideas, así como dar orden y coherencia a sus estructuras

mentales” (p. 19) y en el enfoque descrito en esos programas se describen las siguientes cuatro características:1. “La Matemática es concebida como una ciencia construida por el hombre…, la cual posee

una lógica interna propia, una sistematización muy precisa y con una forma de pensamiento

muy particular.” (p. 3). El “enseñar Matemáticas es mucho más que exponer los

conocimientos acumulados o las aplicaciones prácticas, también es mostrar su proceso de

construcción, su estructura, su lógica, su sistematización, la forma de razonamiento que

involucra y su metodología” (p. 3). A partir de lo anterior se propone que “el estudiante

descubra, invente, proponga y discuta. De esta forma el estudiante va conformando un

método de razonamiento y de análisis, desarrolla su creatividad y aprende a explicar sus

razonamientos” (p. 3).2. “La Matemática se concibe como una unidad” (p. 4), por lo que no se estudia por separado las ramas que la conforman, sino que éstas se mezclan para “obtener como producto una

ciencia más completa y multifacética, y para el estudiante, una comprensión global y rica” (p. 4) al contar con diferentes recursos para la asimilación y aplicación de la Matemática.3. Al conjuntar los puntos anteriores, se tiene que “el orden de los temas no esta dictado por

la construcción formalista de la Matemática, sino por la madurez matemática de los

estudiantes” (p. 4).4. Una hipótesis fundamental: “Todo estudiante es capaz de comprender la lógica subyacente

en las Matemáticas; todo estudiante es capaz de descubrir la Matemática, de crearla, de

usarla” (p. 5).Documento de trabajo

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También se describe el perfil del estudiante en los siguientes términos: “se pretende que el

estudiante domine los conocimientos y las habilidades correspondientes a Matemáticas (comunes a

todos los sistemas de nivel medio superior) los cuales están contenidos en los programas de estudio,

y que sepa aplicarlos para resolver problemas, tanto de la misma Matemática como de otras

ciencias.” (p. 13).En estos programas se concibe la evaluación del aprendizaje como función básica para apoyar el proceso educativo; debe verse, esencialmente, como un elemento fundamental para la retroalimentación del proceso de aprendizaje, de forma que el estudiante dé cuenta qué sabe y qué ignora. Este tipo de evaluación es de gran utilidad para que los docentes revisen la eficacia de su trabajo y busquen las mejores estrategias de enseñanza; de estas evaluaciones la Institución también obtiene valiosa información para evaluar el Plan de Estudios y los programas.II. La problemática.A partir de la creación del IEMS y la necesaria contratación del personal docente para cada una de las preparatorias del SBGDF, se ha gestado un fenómeno relativo a la interpretación del programa de estudios por parte de los cerca de 160 Docentes Tutores Investigadores (DTI) de la disciplina. Este fenómeno consiste en que hay una diversidad de interpretaciones del mismo, lo que ha llevado a que en los diferentes planteles se traten los temas y contenidos del programa de una u otra manera (lo que no implica una sana libertad de cátedra), así como diferentes formas de evaluar los conocimientos, habilidades y actitudes desarrollados por el estudiante; incluso, entre los miembros de la academia de un plantel se da el mismo fenómeno. En pocas palabras es probable que se tengan, al menos, 160 diferentes programas de estudio.Por otra parte el carecer de marcos teóricos sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas también se asocia a diversas problemáticas como el rezago, la eficiencia terminal, la evaluación de los conocimientos, habilidades y actitudes desarrolladas por los estudiantes, el perfil de egreso, entre otras. Esto no excluye que se discutan los factores culturales, sociales y económicos que los estudiantes “padecen”, sin embargo, es necesaria una reflexión sobre los programas de estudio, de tal forma que se lleguen a acuerdos sobre lo que los estudiantes


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deberían dominar con respecto a la matemática, ya sea en términos de contenidos o habilidades e incluso actitudes, para posteriormente discutir los fenómenos socio-culturales, económicos así como los factores asociados a la edad.Por otra parte el IEMS ha implementado diversas estrategias para llegar a estos acuerdos sobre los programas. Entre estas estrategias se encuentran: las jornadas académicas como espacios de reflexión sobre la práctica docente y, la elaboración de guías de trabajo académico (ver Anexo 1) con la finalidad de establecer acuerdos sobre las formas pertinentes de evaluación de los aprendizajes de los estudiantes. Cada una de estas estrategias han tenido como resultado productos que desafortunamente no han logrado los frutos deseados.Es importante resaltar que dichas guías no tuvieron la difusión adecuada por lo que no repercutió en las prácticas de evaluación del DTI, como se observa en el Anexo 2. Ejemplos deEvaluación Compendiada en el IEMS. Aunado a lo anterior, la evaluación relativa al desarrollo de competencias (parte fundamental de nuestro modelo educativo) no corresponde en su totalidad con los programas de estudio y el Sistema Integral de Información Educativa (SIIE), debido a que en éstos se encuentra una descripción basada en objetivos de aprendizaje. Cabe señalar que el marco teórico de competencias a definir, tiene como implicación directa el re-diseño del SIIE de tal forma que sea congruente con nuestro modelo (competencias no objetivos), esto a partir de un trabajo al interior de la academia donde se definan las competencias generales, disciplinares y específicas a desarrollar en el estudiante. Esto sin duda, facilita la actualización de nuestros planes y programas de estudio.A partir del 2006, aproximadamente, se ha tratado de introducir la noción de competencia en los programas de matemáticas y en el quehacer docente para lograr la compatibilidad con el proyecto educativo, sin embargo, el tener diferentes interpretaciones de la noción de competencia, el contemplar su origen laboral e ideológico, así como la falta de un marco teórico adecuado han sido razones que han impedido que la macroacademia discuta y defina las competencias matemáticas que un estudiante del Instituto debe desarrollar como parte de la construcción del perfil de egreso expuesto en páginas anteriores.Documento de trabajo

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III. Fundamentos teóricos.Una de las intenciones de este documento de trabajo es la de proporcionar algunos acercamientos teóricos para abordar la noción de competencia matemática de tal forma que resulte compatible con el ideal de formación propuesta por el Proyecto Educativo del IEMS. Es interesante observar que dicho ideal concuerda, en términos generales, con lo propuesto por la UNESCO (Delors, 1996) sobre los cuatro pilares de la educación: aprender a conocer, aprender a ser, aprender a hacer y aprender a convivir.De esta forma, el tipo de educación que se pretende en el IEMS coincide, en términos generales, con la idea de formar personas comprometidas con la sociedad, de manera que puedan intervenir en la misma haciendo uso de todas las herramientas que la institución proporciona.De lo anterior se desprende la necesidad de reflexionar sobre el tipo de matemáticas que actualmente se imparten en el instituto. La idea de que “la Matemática es concebida como una

ciencia construida por el hombre…, la cual posee una lógica interna propia, una sistematización

muy precisa y con una forma de pensamiento muy particular” y que es “concebida como una

unidad”, lleva a las siguientes cuestiones:• La matemática solo es una, de donde se desprende que las matemáticas que se imparten a nivel bachillerato son las mismas que siempre se han impartido en cualquier otro nivel y en cualquier otro tiempo. Se debe tomar en cuenta que se realizan recortes sobre el tipo de conocimientos matemáticos que se imparten en el instituto. Dicho de otra manera, cuál es la naturaleza de los objetos matemáticos, ya sea cuando se tratan por matemáticos para realizar algún tipo de investigación o cuando se tratan como objetos de enseñanza en determinado nivel. Un ejemplo es el caso del concepto de límite: definición ε−δ o proceso de aproximación o sustitución en funciones continuas o una operación, etc.• En caso de superar el punto anterior, al definir cuáles son los conocimientos apropiados para el nivel, sigue la cuestión de determinar cuál es la lógica interna propia y la forma de pensamiento particular de las matemáticas. El cómo se piensa en matemáticas al resolver un problema, al manejar definiciones, al proponer conjeturas, al demostrar, al generalizar, etc., debe dar pistas sobre este tipo de pensamiento y, por tanto, de explicitarlo. De esta


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manera se desarrolla el eje de formación científica de los estudiantes.Una propuesta inicial es la de revisar lo relativo al pensamiento matemático para después trabajar con los conocimientos propuestos por el programa y, posteriormente, definir un núcleo de conocimientos necesarios en el nivel bachillerato. En este sentido, la discusión debe ser solamente académica.Sin embargo, lo anterior no es suficiente, debido a que la intención de formar personas comprometidas con la sociedad lleva a problematizar cuál es el tipo de matemáticas que toda persona debería dominar, de manera que puedan reconocer y cuestionar los usos que de estas se hacen en ámbitos diferentes al académico.En este sentido, las matemáticas juegan un papel importante en la formación crítica de los estudiantes, y es un imperativo de la Academia el hacer explícita esta vertiente de las matemáticas.Por otra parte, una cuestión importante es el aspecto actitudinal del estudiante con respecto a las matemáticas. En este caso se pueden distinguir, dos grandes rubros: las actitudes hacia las matemáticas y las actitudes matemáticas. La importancia de estos rubros reside en el hecho de que en diversas evaluaciones se describen comportamientos de los estudiantes en términos de actitudes. Sin embargo, no es claro cuáles son los criterios que determinen dichas actitudes. Nuevamente, es necesario explicitarlas de manera que se contribuya a entender la relación que guardan con las matemáticas y su aprendizaje.El hecho de abordar diferentes problemáticas relacionadas con las competencias, tiene la desventaja de no contar con una sola aproximación teórica. Sin embargo, se han hecho intentos para tratarlas en (Rico, 2008) quien muestra un intento para integrar las competencias al currículo.Por otra parte, los trabajos de Skovsmose (1985, 1990, 1994 & 1998), proporcionan elementos teóricos sobre los aspectos críticos de las matemáticas, con lo que se podrían fundamentar los aspectos relacionados con el eje de formación crítica.Mientras que los aspectos relacionados con los sistemas de creencias podrán ser


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abordados desde la perspectiva de Gómez-Chacón (2000, 2002, 2003 & 2006), quien proporciona elementos pertinentes para abordar las actitudes y su relación con el aprendizaje de las matemáticas.IV. Una propuesta de competencias.Se ha seleccionado la propuesta de Niss (1994, 2002 & 2004) en la cual se define el término competencia matemática como: “the ability to understand, judge, do, and use mathematics in a variety of intra- and extra-mathematical contexts and situations in which mathematics plays or could play a role.” (Niss, 2002), porque esta propuesta, por su grado de desarrollo, proporciona tanto información como herramientas que permiten su implementación en el proyecto educativo del instituto.En esta propuesta se describen cuatro diferentes componentes de la definición de competencia dividida en dos partes o grupos. Las primeras dos competencias se refieren a la habilidad de formular y responder preguntas con y en las matemáticas, mientras que las últimas dos se refieren al manejo del lenguaje y herramientas matemáticas. A continuación se presentan y describen las cuatro competencias matemáticas.1. Pensando y razonando matemáticamente.

Dominio de modos de pensamiento matemático como:1. Planteamiento de preguntas que son características de las matemáticas, y conocimiento del tipo de respuestas que las matemáticas pueden ofrecer. 2. Comprensión y manejo del alcance y las limitaciones de un concepto dado.3. Extensión del alcance de un concepto al abstraer algunas de sus propiedades; generalización de resultados a clases mas grandes de objetos.4. Distinción entre los diferentes tipos de expresiones matemáticas (incluyendo afirmaciones condicionadas, cuantificadores, hipótesis, definiciones, teoremas, conjeturas, casos).


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Estos puntos son los que se proponen por Niss, sin embargo, es importante considerar los siguientes elementos que a continuación se describen:• El establecimiento de conexiones entre diferentes conceptos y/o relaciones, entre las preguntas a plantearse, etc.• El razonamiento bajo hipótesis.

Dominio de modos del razonamiento matemático como:1.El seguimiento y evaluación de cadenas de argumentos.2.Conocimiento de lo que es una demostración y de las diferencias con otros tipos de razonamiento matemático.3.Descubrimiento de las ideas básicas de un argumento dado, distinguiendo entre las ideas principales y los detalles y los tecnicismos.4.Invención de argumentos matemáticos formales e informales; transformación de argumentos heurísticos en demostraciones.

En relación con la solución de problemas, es importante que el estudiante argumente sus soluciones y procedimientos en forma escrita y verbal. En este sentido, las demostraciones deben incluir tecnicismos propios del nivel de bachillerato acordes al programa de estudio, además de explicitar cuál es el papel que la demostración juega en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.2. Planteamiento - solución de problemas y modelos matemáticos.

Dominio de modos para el planteamiento y solución de problemas:1.Identificación, planteamiento y especificación de diferentes tipos de problemas matemáticos (puros o aplicados, abiertos o no).


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2. Resolución de diferentes tipos de problemas matemáticos (puros o aplicados) planteados por otros o por la misma persona, y, si es apropiado, de distintas maneras.Se debe observar que al describir el planteamiento de problemas, en español, tiene dos acepciones, la primera relacionada con el planteamiento de problemas novedosos por parte de una tercera persona o por uno mismo, y la segunda con respecto a la resolución de un problema: es esta última en donde se describen los siguientes elementos:

• Identifica la variables de un problema y establece relaciones entre aquellas que son relevantes para su solución.• Propone ideas para resolver un problema.

Dominio de modos para la modelación matemática (es decir, análisis y construcción de modelos).1.Análisis de los fundamentos y propiedades de modelos existentes, incluyendo la evaluación del alcance del modelo y su validez.2.Decodificación de los modelos existentes, es decir, traducción e interpretación de los elementos del modelo en términos de la “realidad” modelada.3.Modelar una situación dada. Esto incluye los siguientes elementos: estructurar el campo, matematizarlo, trabajar con el modelo matemático; validándolo, analizándolo y criticándolo; comunicar los resultados y monitorear el proceso de modelación.

A pesar de que la modelación es un concepto bastante explorado por diferentes investigadores, creemos que la modelación en el instituto podrá manejarse en un primer nivel como en los puntos 1 y 2, sin dejar de lado el punto 3 en los casos en donde sea factible abordarlo.


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3. Representación de entes matemáticos (objetos y situaciones) y, manejo de simbolismos

y formalismos matemáticos.

Dominio de modos para la representación de entes matemáticos:1.Comprensión y uso (decodificar, identificar y distinguir) de las diferentes maneras de representar objetos, situaciones y fenómenos matemáticos.2.Comprensión y uso de las relaciones entre las diferentes representaciones de un objeto matemático, incluyendo el conocimiento sobre las limitaciones y fortalezas relativas.3.Selección e intercambio entre diferentes representaciones.

Dominio de modos para el manejo de simbolismos y formalismos matemáticos1.Decodificación e interpretación del lenguaje matemático formal y simbólico y su relación con el lenguaje natural.2. Comprensión de la naturaleza y de las reglas de los sistemas matemáticos formales (tanto semántica como sintaxis)3.Traducción del lenguaje natural a lenguajes simbólicos o formales.4.Manejo de expresiones que contengan símbolos o fórmulas.

No se trata de un estudio de la naturaleza sino del uso de diferentes sistemas matemáticos formales.4. Comunicación en, con y sobre las matemáticas y, uso de herramientas (incluidas las

tecnologías modernas).Dominio de modos para la comunicación en matemáticas:1.Comprensión de producciones de otras personas, ya sea por medios escritos, orales o visuales, que incluyan contenidos matemático.Documento de trabajo

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2.Expresarse, con diferentes grados de precisión teórica y técnica, con medios escritos, orales y visuales, sobre temas que incluyan contenido matemático.Dominio de modos para el uso de ayudas y herramientas (incluidas las tecnologías modernas).

1.El conocimiento de la existencia y de las propiedades de herramientas y ayudas para la actividad matemática, así como sus alcances y limitaciones.2.La capacidad para utilizar de manera reflexiva dichas ayudas y herramientas.Ahora bien, si una competencia matemática implica el desarrollar la habilidad de entender, juzgar, hacer y usar matemáticas en una variedad de contextos y situaciones tanto de clase científica como en términos y referencia a objetos que aluden a la realidad. ¿Cuáles son los contenidos que podrían desarrollar la competencia matemática de una manera intencional?

México Distrito Federal, noviembre 2011.

Contenidos Nucleares Mínimos.

Es bien sabido que los especialistas (por ejemplo en Diaz Barriga) en educación han clasificado los contenidos escolares en las siguientes categorías:• Declarativos: Este tipo de conocimiento se refiere a los datos, hechos, conceptos y principios. También se ha elaborado una clasificación de este tipo de conocimientos en declarativo factual y declarativo conceptual. El primero se refiere a aquellos conocimientos que el estudiante aprende “de memoria” como por ejemplo las capitales de los países, las tablas de multiplicar, los nombres de las operaciones, la formula química del agua, fechas importantes, etc.; mientras que el segundo se “construye a partir del aprendizaje de conceptos, principios y explicaciones…abstrayendo su significado esencial o identificando características definitorias y las reglas que las componen” (Diaz Barriga).


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Una diferencia importante entre el declarativo factual y el declarativo conceptual es, precisamente, la comprensión o no de los conceptos y principios y de las relaciones que se establecen entre ellos.• Procedimentales: Este tipo de conocimiento se “refiere a la ejecución de procedimientos, estrategias, técnicas, habilidades, destrezas, métodos, etc.” (Diaz Barriga). Algunos ejemplos de este tipo de conocimiento son: la elaboración de gráficas, el uso de algoritmos de las operaciones (la división, la división larga de polinomios), las técnicas de derivación e integración, el uso de las sumas de Riemann para el cálculo de áreas bajo curvas, volúmenes, etc.• Actitudinales: La componente afectiva en el aprendizaje es un tema polémico. Se han hecho distinciones entre actitudes, valores y creencias y se ha tratado de incluirlos en los currículos. En el caso de las matemáticas, se han hecho estudios sobre las actitudes hacia las matemáticas y de las actitudes matemáticas. Lo anterior es importante puesto que se habla de una disposición, por parte de los estudiantes, positiva o negativa hacia la disciplina o de una actitud disciplinar como la curiosidad matemática, la crítica de los resultados o de los modelos, la disposición a preguntarse por generalizaciones o por la búsqueda de conjeturas, etc.

Ahora bien, hemos adoptado la definición de Niss sobre competencias matemáticas y éstas las hemos reagrupado para conformar cuatro categorías, a saber: comunicación y uso de herramientas; pensamiento y razonamiento matemático; representación y uso de simbolismos y formalismos; resolución de problemas y modelos.Aún cuando determinemos exactamente lo que entendamos por cada una de estos grupos, es necesario determinar también los contenidos con los cuales se desarrollarán dichas competencias. Sin duda, nuestra disciplina ha tenido avances vertiginosos, y los contenidos han crecido de manera exponencial así como las áreas (geometría, análisis, conjuntos, sistemas dinámicos, álgebra, etc.), lo que dificulta la selección de los contenidos.Documento de trabajo

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Por otra parte, la idea de competencia se ha fundamentado tradicionalmente en los saber hacer y, por tanto, en los conocimientos procedimentales. Dicho de otro modo, al observar a alguien realizar una práctica dada se determina lo competente que se es en esa práctica, por ejemplo: al observar a un estudiante resolver ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general implica que identifique si la ecuación es de la forma de las cuadráticas, que identifique los coeficientes de la ecuación, que sustituya dichos valores en la fórmula y que evalúe y verifique si en el discriminante se obtiene un valor negativo, para obtener las soluciones, además de clasificar dichas soluciones. Sin embargo, la intención no es sólo formar estudiantes competentes en ese sentido, es importante que el estudiante también posea conocimientos declarativos, y en nuestro caso, declarativos conceptuales. De esta manera, el estudiante también comprenderá el porqué de los procedimientos y argumentará sobre los alcances de dichos procedimientos; en el ejemplo anterior, el cómo se obtiene dicha fórmula y que se aplica a todas las ecuaciones que se puedan escribir de la forma a⋅2 b⋅ c = 0 .Lo anterior implica una selección de los contenidos pertinentes para lograr que los estudiantes desarrollen las competencias antes mencionadas, es decir, ¿cuáles son los contenidos que podrían desarrollar la competencia relacionada con la modelación y resolución de problemas de una manera intencional?Por ejemplo: en Matemáticas I, se encuentran los contenidos relacionados con los sistemas antiguos de numeración, con los sistemas posicionales, con la teoría de números básica (divisibilidad, primos, divisores, mcd, mcm, etc.), técnicas de conteo, enteros y operaciones, representación en la recta numérica, orden y valor absoluto, representación decimal, notación científica; todos ellos relacionados con la aritmética básica y que incluso son contenidos propios de la secundaria. Con estos contenidos, sin duda, se desarrollan competencias (pensamiento y razonamiento, representación, resolución de problemas, comunicación), el problema es si se desarrollan de manera intencional.Ahora bien, el tipo de contenidos que se proponen giran en torno a ejes núcleares (ver siguiente definición) que se interrelacionan en todos los semestres, de manera que se abordan en cada asignatura de matemáticas del plan y programas de estudio, además se deben encontrar en Documento de trabajo

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distintas ramas de las matemáticas y por tanto deben proporcionar elementos necesarios para poder continuar el estudio de la disciplina en cualquier área de interés de nuestros estudiantes.Definición de Ejes Nucleares en Matemáticas del IEMSDF.Un Eje Nuclear es una estructura de conocimientos y saberes matemáticos que se interrelacionan y se abordan en todos los semestres, a través de distintos niveles crecientes de complejidad, se encuentran en distintas ramas de las matemáticas y proporcionan elementos para desarrollar la competencia matemática y por tanto para continuar el estudio de la disciplina en cualquier área de interés de nuestros estudiantes.El eje nuclear contribuye al desarrollo de competencias matemáticas de manera intencional, y coinciden en su definición los siguientes elementos a priori:-Trasversales: Se desarrollan en todos los semestres y con relación en distintas disciplinas de estudio.-Integrales: Inmersos en las distintas ramas de las matemáticas.-Esenciales: Son jerárquicos, es decir, permiten el desarrollo de aprendizajes en niveles crecientes en complejidad. -Conexión: Están conectados entre ellos y con los distintos contenidos matemáticos, además incentivan el desarrollo cultural matemático.-Formativos: Desarrollan un perfil en los estudiantes acorde a la competencia matemática que les permiten continuar con sus estudios (perfil de semestre, ciclo y de egreso) o con sus intereses personales.

Un ejemplo de esto es el correspondiente a matemáticas II, en donde los contenidos se organizan alrededor del concepto de proporcionalidad. Los contenidos a abordar son: expresiones de la forma p/q y sus diferentes interpretaciones y representaciones (números racionales, porcentajes, razones, proporciones, probabilidad, representación decimal, representación en la recta, etc.) en diferentes áreas de la matemática (geometría, probabilidad, aritmética, etc.).Para matemáticas III, la intención es abordar el método analítico (no sólo entendido como la geometría analítica) sino como el uso de sistemas de coordenadas y su conjunción con el


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álgebra para estudiar problemas geométricos, de manera que se aborden temas relacionados con la representación geométrica y su relación con la representación algebraica, ya sea de objetos de la geometría euclidiana o de objetos relacionados con curvas en el plano (ecuaciones o desigualdades en dos variables, funciones, conjuntos de puntos, etc.).Para matemáticas IV y V los contenidos deberán girar alrededor del concepto de función, y los métodos del cálculo para la resolución de problemas. Con respecto a las funciones es importante resaltar las diferentes representaciones y lograr que los estudiante desarrollen la habilidad para transitar entre esas representaciones y poder seleccionar la mas adecuada cuando resuelven problemas o cuando modelen. Entre las diferentes representaciones se encuentran la geométrica, la analítica, la tabular y la verbal. Entre los métodos del cálculo se encuentran aquellos relacionados con los procesos de límite, como una herramienta para estudiar propiedades de las funciones.Otro núcleo de contenidos es el correspondiente a la resolución de ecuaciones y

desigualdades, que se podría incluir en una categoría que llamaré métodos algebraicos, que incluye resolución de ecuaciones y desigualdades de primer y segundo grado, sistemas (lineales o no) de ecuaciones y desigualdades por diversos métodos, así como la relación con los sistemas numéricos. En esta categoría también se incluyen las nociones de variable, incógnita y el uso de literales como números en general, así como los procedimientos relacionados con la propiedades de los números reales.Un núcleo más es el relacionado con los fenómenos aleatorios, que es quizás, una de las áreas más descuidadas en nuestro sistema, y que se podría categorizar en métodos aleatorios. La siguiente tabla muestra estos núcleos de contenidos y su relación con las competencias. De las intersecciones, cada celda, se desprenden intencionalmente los criterios de evaluación (¿Qué se evalúa?), es decir, los requisitos que el estudiante del IEMS-DF debe cubrir para decir que es competente en la asignatura en cuestión.


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Pensamiento y razonamiento Comunicación y uso de herramientas Resolución de problemas y modelación Representación de entes y uso de simbolismos y formalismosMétodos aleatoriosMétodo analítico y uso de sistemas coordenadosMétodos del cálculoMétodos algebraicosConcepto de proporcionalidadConcepto de funciónConcepto de númeroConceptos geométricos.Observación: Concepto de número: Sistemas numéricos, Naturales, Enteros, Racionales y Reales. Diferencias entre dichos sistemas, en términos de propiedades, y diferentes usos.Una vez definidos los criterios de evaluación, por medio de esta tabla y para cada una de las asignaturas de la Academia, se procede a definir los indicadores de desempeño como las características esenciales de cada uno de los criterios; indicadores no son más que rasgos, datos e información que permiten identificar los índices observables de cada criterio de evaluación. Luego entonces tendremos los aspectos importantes para la re-estructuración del sistema de evaluación en el IEMS-DF basado en competencias matemáticas.Ejemplo de Criterios de Evaluación para la asignatura de Matemáticas V


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Competencia vs Contenido Nuclear

Pensamiento y razonamiento

Comunicación y uso de herramientas

Resolución de problemas y modelación

Representación de entes y uso de simbolismos y formalismosMétodo analítico y uso de sistemas coordenados Argumenta los procedimiento geométricos que utiliza para la resolución de problemas.

Extrae información a partir de la gráfica de funciones.Utiliza los sistemas de coordenadas para resolver problemas del cálculo.

Utiliza sistemas coordenados para representar el registro gráfico de funciones, sus propiedades empleando las herramientas del cálculo.Métodos del cálculo Maneja conceptos tales como: razón de cambio, aproximación vía sumas de Riemann. Discrimina e identifica las condiciones para funciones derivables e integrables.

Discute y argumenta la relación entre la derivada e integral.Identifica y aplica el ciclo de modelación matemática en problemas de optimización de recursos (derivada) y problemas de área bajo la curva, trabajo, volumen (integral).

Maneja (Reconoce y utiliza) la simbología propia del cálculo.

Métodos algebraicos Fundamenta el uso de métodos algebraicos. Estructura de forma lógica y organizada los procedimientos algebraicos empleados. Integra sus conocimientos algebraicos en la resolución de problemas.

Utiliza las técnicas de derivación e integración de funciones.Concepto de función Identifica variable dependiente e Utiliza software matemático Utiliza el concepto de Identifica las propiedades de las


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Competencia vs Contenido Nuclear

Pensamiento y razonamiento

Comunicación y uso de herramientas

Resolución de problemas y modelación

Representación de entes y uso de simbolismos y formalismosindependiente. Identifica y clasifica tipos de funciones (definidas por partes, polinomiales, exponenciales, etc.). Maneja las propiedades de funciones (puntos críticos, monotonía, concavidad).

(GeoGebra, Descartes, etc.). Sintetiza y organiza diferentes conceptos del cálculo matemático apoyados en diversas fuentes.

función para modelar fenómenos naturales y procesos sociales.funciones gráfica y analíticamente.

Concepto de númeroConceptos geométricos.Métodos aleatoriosConcepto de proporcionalidad


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Anexo 1. Guías de trabajo académico.Ver expediente matemático: http://educart.org/mod/folder/view.php?id=728

Anexo 2. Ejemplos de Evaluación Compendiada en el IEMS.Primer ejemplo:2009-2010 A Periodo: 1 MATEMATICAS V - Evaluación: NC DTI: **********************************NO AVANZAINTERSEMETREUtiliza y describe con dificultad las propiedades de la derivada e integral. Entiende las necesidades o situaciones, dentro del marco histórico, que dieron origen al cálculo matemático. Explica intuitivamente el Teorema Fundamental del Cálculo. Entiende las propiedades de las funciones a través de sus gráficas. Calcula áreas bajo la gráfica de una función con dificultad y presenta deficiencias al tratar de determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado. Describe las necesidades que dieron origen al surgimiento del Cálculo e identifica el momento histórico en el que surgió el Cálculo.Presenta dificultad al trabajar con el lenguaje algebraico propio del Cálculo, no utiliza las herramientas algebraicas, geométricas y trigonométricas para derivar e integrar y por consecuencia no desarrollo la habilidad para aplica técnicas de derivación y de integración. No realiza la gráfica de una función utilizando el Cálculo. No explica la importancia que tuvo el surgimiento del Cálculo para el desarrollo de la ciencia y de la tecnología. No realizó reflexión alguna sobre la forma en que se abordaron los problemas para tratar de explicar cómo se fue dando su proceso de razonamiento, justificando sus deducciones y, para tratar de continuar con la construcción de un lenguaje y un método propio utilizando el cálculo matemático. Las actividades realizadas en el curso presentan deficiencias académicas que no se trabajaron en asesoría académica. Se recomienda inscribirse al período intersemestral; debe cambiar su actitud presentando mayor dedicación y compromiso con la asignatura.Segundo ejemplo:2010-2011 A Periodo: 1 MATEMATICAS V - Evaluación: C DTI: **********************************Documento de trabajo

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AVANZALos temas vistos en el curso son:Nociones preliminares1. Concepto de límite2. Concepto de continuidadDerivada1. Interpretación como límite de secantes y como razón de cambio2. Propiedades3. Reglas y fórmulas4. Análisis de funciones i) Intervalos donde la función es creciente o decrecienteii) Máximos y mínimosiii) Concavidad y puntos de inflexión5. AplicacionesIntegral1. Áreas y sumas de Riemann2. Definición de integral a partir de límite3. Teorema Fundamental del Cálculo4. Antiderivadas5. Fórmulas y técnicas de integración 6. AplicacionesHistoria del Cálculo1. Las matemáticas antes y después del Cálculo2. Contexto en el que surge el CálculoPor lo anterior, el estudiante cubre la asignatura satisfactoriamente.


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http://www7.nationalacademies.org/mseb/Mathematical_Competencies_and_the_Learning_of_Mathematics.pdf



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Mathematics 27: 35-37.Skovsmose, O., (1998). “Linking mathematics education and democracy: citizenship, mathematical archaeology, mathemacy and deliverative interaction”. Zentralblatt für Didaktik

der Mathematik, ZDM 30:195-203.

Atentamente

Consultores de la Academia de Matemáticas IEMS-DF

email: [email protected]

Juan Jiménez KrasselOsman Villanueva García

Gualberto Padilla ValleKarla Elizabeth Velasco Martínez


México Distrito Federal, -última edición enero de 2012-.


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