Mapa Logístico

Tiago A. Almeida

Walter Furloni

DT-FEEC-UNICAMP

Introdução

1845 – Verhulst introduziu um modelo populacional discreto para uma espécie mantida em uma área fechada;

xn assume valores entre 0 e 1; Um dos sistemas mais analisados e discutidos

dentro da área de caos;

)1(.)1( nnn xxx

1º Modelo Malthusiano de População

Para µ < 1: redução contínua da população; Para µ > 1: crescimento exponencial da desenfreado; Necessidade: levar em conta limitações de recursos e

de espaço; Solução: introdução do termo (1-xn) que conduz a uma

diminuição da população para valores altos da mesma, o que contemplaria uma possível luta por recursos escassos, doenças, etc.

nn xx .)1(

Diagrama de Bifurcação

0 < µ < 1 : extinção; 1 < µ < 3 : equilíbrio; µ > 3 : ocilação periódica,

primeiro com período 2, depois com período 4, 8, 16 e assim até um ponto de acumulação onde começa a ocorrer caos. Dentro da faixa do caos, existem zonas onde o sistema volta a ter comportamento periódico;

µ > 4 : o sistema diverge;

Pontos de Equilíbrio e Análise de Estabilidade

11

0)1(.

2

1

e

e

eeex

xxxx

2)1()(

)0()()21()(

12

1

JxJ

JxJxxJ

e

e

Pontos de Equilíbrio:

Análise de Estabilidade:

Em ambos os casos, o ponto fixo só será estável se:

1|)(| exJ , o que ocorre para o primeiro ponto na faixa: 0 < µ < 1

e para o segundo ponto na faixa: 1 < µ < 3

Diagrama de Teia

Poderosa ferramenta para análise de mapas unidimensionais;

Possibilita acompanhar a evolução da variável de estado do sistema através das sucessivas iterações;

A base do diagrama consiste da: Função F(.), que nada mais é que o campo vetorial discreto da equação (seu papel é determinar as características dinâmicas do mapa) e da função identidade (usada como referência para a realização das iterações, introduzindo a realimentação inerente aos mapas discretos);

Diagrama de Teia

Eixo x: valor presente no estado; Eixo y: valor após uma iteração; O diagrama nos dá a idéia de

como realizar uma vez o processo iterativo. Mas, e depois?

Aí entra a função identidade: através dela pode-se “transformar” um valor de x(n+1) do eixo y em um valor xn no eixo x;

Cerne do diagrama para µ = 3

Diagrama de Teia

Fixando µ = 3 e x(0) = 0.1 foram traçadas as duas primeiras iterações do mapa

Diagrama de Teia

Os pontos onde ocorrem cruzamentos entre F(.) e a função identidade são os pontos de equilíbrio do mapa;

Neste caso, o cruzamento ocorre apenas na origem, ou seja, xe = 0 é o único ponto de equilíbrio para este valor de µ;

Fixando µ = 0.5 e x(0) = 0.1

Diagrama de Teia

Fixando µ = 2.5 e x(0) = 0.1 Encontramos dois pontos de equilíbrio;

O primeiro, xe = 0, é instável. Podemos verificar no diagrama, verificando que uma reta tangente à parábola F(.), na origem, tem coeficiente angular de magnitude maior que a unitária. Isto quer dizer que |J(0)| > 1;

O segundo, xe = 0.6, é estável;

Diagrama de Teia

Fixando µ = 3.3 e x(0) = 0.1 Comportamento periódico como esperado;

O estado não mais converge para um ponto fixo, mas tende a oscilar entre dois valores (vértices do quadrado);

Diagrama de Teia

Fixando µ = 4 e x(0) = 0.1 Comportamento caótico (natureza aperiódica);

Figuras como esta explicam o fato de a nomenclatura destes diagramas estar associada à idéia de uma teia de aranha.

Mapa Logístico

Simulação Virtual da evolução de uma população conforme o passar

das gerações