manual de fórmulas técnicas[1]

5/15/2018 Manual de F rmulas T cnicas[1]

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EXPLICACOESpara a ut il izacao deste manual

Conteudo de uma formulaDefini~ao das grandezas: numero e unidadeo nurnero que expr ime a grandeza I a relacao entre esta e aunidade escolhida. 0 nurnero epois 0 algarismo pelo qual e precisemultipliear a unidade para obter a grandeza.

Grandeza =numero X unidade

o nurnero torna-se n 'vezes rnenor se se escolhe uma grandezan vezes maior. 0 produto do nurnero pela unidade e constants:a grandeza nao varia quando se muda a unidade; por exemplo:

1m =10' mm = 10-3 kmo valor das grandezas e 0 produto do nurnero pela unidade;por exemplo:

I= 3mA: 1=12mm.

Recomenda-se dife renc iar bem 0 simbolo da grandeza do simboloda unidade. Somente 0 simbolo da grandeza a caractariza. 0nurnero e a unidade exprimem unicamente a valor da grandeza. Aunidade nao deve canter indicacfies especial mente referentes agrandeza. Exemplos:

errado certop= 2,7 at abs(!= 220 Vef Pabs "'" 2,7 barVef = 220 V

Exoolj:oas ; C, Var, rad . sr.

)I

As diferentes especies de equacaoEquao;;oes de grandezasOs sfmbolos de grandezas representam as grandezas nas Iormutas.Estas sao independentes da escotha das unidades. Elas traduzemfen6menos flsicos. Os simbolos sao subsutufdos pelo produto deum nurnero par uma unidade quando se calcula numericamente agrandeza. Neste caso, 'pode-se introduzir como se quiser as valorese as unidades ; par exemplo, formula I 23:

t 2 sV2. SO m

S . ! ! ! . .s20 s.S0msSm

Equa~aes de grandezas com unidadesNuma equacao de grandezas com unidades, os sfmbolos das gran-dezas sao divididos pel a unidade correspondente: por exemplo,formula s 73:

{ B ) 2 AF ""'40 - _- Nm T cm2 40( 0,9 T ) 2 5 cm2 N ::: 162 NT cm2Nestas squacdes, as relacdes entre as grandezas e as unidadescorrespondentes indicam 0 valor nurnerico (nurnero) da grandezapela unidade escolhida. Estas formulas SaO muitas vezes utillzadasnos calculos freqUentes com usa de tabelas.Equao;:oes de unidades

As equacoes de unidades exprimem retacoes entre as unidades. Elascontern somente unidades e fatores nurnericos, par exemplo:1 m =100cm; 1 N=1 kgmis'

Elas podern ser escritas, com vantagem, panda-se a unidade ilssquerda do slna: de igualdade; par exemplo:1 m 100cm

100cm ~;1 kgm 1 N $1==--"=--1 N 5 1 kg m

Uma grandeza ou urna parte da equat;:ao po d e sempre ser multi-plicada por 1 sem mudar seu valor, 0 nurnsro 1 representando urn


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quociente de unidades tver paqina precedente). Este caleulo perrnite'axpr irnir uma grandeza numa outra unidade. Par exemplo: formula m 1:

1 N s2 em 1 m30kg 1kg m ,4 Sf' 100em30kg 4 e~s 1.2 N.

Equa;;:oes de valores numericosNeste caso, os sfmbolos indieam valores numericos. Este forrnu-lario nao contem rais equacdes, a f im de se evita r confusoes.

Grandezas e unidades de basedo Sistema Internacional de UnidadesGrandezas de base Unidades de baseNome Sfmbolo Nome Sfrnbolo

comprimento metro mmassa m quilograma kgtempo t segundo scorrente efetrica I ampere Atemperatura Kbsoluta T kelvinintensidade

luminosa r, candela cdn(l de moles n mol mol.Exemplos de unidades

Nas tabelas, as palavras "exam pi as de unidades" sao abreviadaspara au. As unidades indicadas neste forrnulario sao dadas comoexemplos. A primeira unidade e a do Sistema lntornacional. 0leitor deve utilizar, de preferencra, estas unidades, a que simplificaas catculos. As outras unidades indicadas , sejam multiplos decimalsdes unidades de base, sejam unidades, sao frequentemente ern-pregadas em tecnic~ e toleradas pela lei. 0 autor deu uma escolha 'de unidades para tacltitar a tarefa do leiter no calculo dos valoresnurnericos das grandezas.

Simbolos empregadosEsea~o e TemEo Mecanlcaa, fl, r , . . Angulo, It! rnassa,Q angulo solido densidade

comprimento v volume especiflcob largura p impulsoh altura J momento de inerc lar , R Raio, Ra!o veror, F forca

G peso (proprio)d, D diametro N momentoS espaco percorrido N R memento de atr itoS espessura p preseao (forca dlvididau, U clrcunferencia per area)A A r ea , s e cc a o 6 tensao normal de rracacAm area lateral de Ur n ou de co m p rees an

corpo T tensjlo tangenclal DUAo area exterior de um de cisalhamentocorpo : est tramento espec fficcV volume r escorregamentotempo E modulo de e last lc ldadew vel oct dade angular G medul 0 transversala aceleracao angular ] memento de inertiav vetoc ldac e de areaa aceleracdc W memento res ts tcnteg aceleracao da gravi dade H memento cstancode superfrcie

I" c eef ic ien te de a n- it oMovirnnntos Perlodicos de escorregamentcT pencdo 1"0 co ef lci en te de a u- it of frcquencla de aderencian numero de revolucoes I"q co ef fcl en te de at ri to de rcl arnen ro[freq lienet a de rota~ao) i"t coeflcteure de atritow pctsacac longitudinalA comprimento de cnda n vise osl dade dinfimica'P ingula de avancc au recuo )f viscosidade estaticaangu! 0 de oetasagem W trabalh 0, energia


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p potencia if ! F luxo magneticor, rendimento B Densidade de fluxo magnetico,lnducaoCalor i: Indutfinciar temperatura abso1uta H Campo rnagnetlcotemperatura em C f) Fluxo eien-icoc coeficiente de dilata'roio V Tensao rnagnetlcal inear Rm Resistencia rnagnetica,J coeflclente de di~atao A Ccndutfncta magneticavolumetrica 6 Comprimento do entreferro f1uxo calor/fico II Coeflclente de temperatura

yJ densidade de fluxo calerffico d a r cs ls te nc la e ! et r! c a-, quant idade de calor r Condutibi lidade ele tr ica"p calor especifico a pressao " Reslstencta efetrfca cspectflcacenstante E Coristante dieletricac; cater especffico a volume 0 Constante de campo eletriceconstante e, Constante diclctrica relativaq quantldade de calor N Numero de espirasespecrflco I-' Permeab ilidade magne tica a 1A condurlvidade tirmica 1-'0 C o ns tn nt e d e- in du ~a o a 2" rel a'rio da capacidade de I-'r Coeflcienre de permeabilidade a 3calor especfflco p Numero de pa res de po les a 4R constante dos gases z Nu -ne ro de condutores a 5ld Q Falor de qualidade a 6(~IOr 1 f(l,aoIf 6 Angulo de perdaslatente ev.apora~ao y Admrtancia1. de o mbUma ;aa Z Impedancia aparenteV n volume normal X l rnpedanc ia rea tivau v o lume e s p ec . :t fi co p. Porencia aparente a 1Pq Potencla reativa a 8Eletricidade e m~~netismo CM Constante de momento a 9I Intensidade de corrente a 10J Densidade de corrente Optic. allU T ensao eletrica c Ve locidade da IU a12U q Forca eletromotnz r, lntensidade luminosaR Reslstencla, v Fluxo lumino5oR e si st en c la o hm ic a Q Quant idade de LuzG Cond utancia, e; Ac!aramentocondutibi lidade c lemca Lv Luminancia1

a 13Quant idade de n {ndice de refracao a 14letrtctdade D Convergenda a 15Capacidade f Distancia focal a 16Densidade de 1Iu,,0 u Aument.o a 17Campo eletrico S D is td nc la m fn im a d e visao a 18

Unidades AlPreflxos e seus S(mbolos

= 10 d = Dec! = 10-1da ~ Deca 10-'Hectc = 10' e = Centl == 10-3Quilo = 10' m = Mill == 10-= 10 1 1 = Micro =M = Mega 10-Giga = 10 n = Nano == 10-12Tera = 10" P = Pi&o == 10-1$f = Fernto =a = Atto = 10-18Unidades de Comprimento

m 11m mm em dm km1 m = 1 10" 103 10 10 10 J= 10-6 1 10-' 10-' 10""; 10-1 um 10-3 10 1 10-1 10-' 10-"1 mm = 10-1 10-51 = 10-' 10' 10 tm 10-'1 dm = 10-1 10 10 10 11 km = 10 10 10 105 10 i 1

Unidades de Compr imen to [Ccn t. ]. 0mm j . U I 1 nm A pm mA1 mm = 1 10J 10 lOT 10~ 1001 um = 10-3 1 103 104 10 " la'1 = 10-6 10-3 1 10 103 10m

10 1031 ~ = 10-' 10-' 10 1.1 pm = 10-" 10- 10-3 10-' 1 fa1 mA = 10-10 10-' 10-' 10-3 10-' 1

Unidades de A r e a2 2 mm' em ' dm' km'~m

1 m' = 1 10" 10" to' 10 10-"1 11m' = 10-12 1 10-" 10-8 10-10 10-181 mm, = 10-6 10 1 10-' 10-' 10-


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Unidades

1 m ' =1 mm' =1 em 3 =1 dm J = 11 km J =

a 19a 20a 21a 22a 23

110-10-1 10-3109

Unidadesd. Volume

109 1061 10-3103 110 1010 1~ 105

dm ' 1)

dt

10 910-1 ~ sena)b lfl 6"3(3h +4S)~2(Q-

1,2 h 3b r 2+8il a s ab 43 ,h r(1-cos2) '2 tan'4b 44 ii verformula b 39b 45 A .!!_ D d = na b4

U D + db 4 6 1


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tVolumes ) C Volumes I C 3

11 . ! ' : ._ d 2 It CilindreZona esferlca~ V 4 c 26 V it 00' + 3b2 + It')

c 12 Am 21


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Volumes

c 38c 39

v . ! ! _ n d'4,, 2 o dAnel circular OLl tcroide

c 40

c 41c 42c 4 3

v

v t r' 1 12rh.

Tronco de cilindro

Segmento de cilindrn

Barril

c 4 4 v Jt 1 1 . ( 2 n' d L)12 +

c 4 5 Pnsmaruidev h= 6A , + A 2 + 4 A ) r~: :s volumes das pagtnas C, . Cpod em ser ca lc ul ado s por est" formula, .bern Como a esrera e s.u~s partes.

2

Aritmetica I D 1P o te n ci as . r a iz esCalculos das potencias e das rains

regras gerais. exemplos numericoso=a" n (p q)an 3a'+ 40 4 = 70


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LogaritmO$

Denorn ina~aoGene ra li dad ..

Logarlrmcna Baselsterns

d 13 109014 10g,0 19

d 15 loge Ind 16 log 2 Id

a L ogarttm o na B ase a.t .o g an tm o D e ci ma lLogar ttmo Natu ra l

10e2 Logarttmc de Base 2

ternus: Q Basex Ndmercb Logarltrno

.~;Regra s par a 0 Cttlc u!0 Logarftmicc

d 17 loga (x Ij) 109a X + 10.9" Yd 18 109"

x 109a X - 109" YIjd 19 log" xn n 1090 x20 10 ga F 109a xn

Equafl30 Exponenciald 21 a X b' e", 1n ad 22 dander x log b a ~Vblog a

Convcrsao de Logar ltmos19 x 19 e In x

19 x~1 ,442 695 1n .r

0,434294:2,3025853,321 928

d 2324

d 25In xId x

Base dos l og a r l tmos naturals e = 2,718 281 83 .Caracterfst ica do l.ogarlrrno Dec'mal de urn Numerc

d 26d 27d 28d 29d 30

19 0,01Ig 0,1Ig 119 1019 100

-2 .-1.O.1.2.

au 8 .... -1 09 .. . -10u

etc.

In x19 x19 x

AritmeticaPotencias, ralzes

De5envolvimento d e E x pr es s o es A tg eb ric as _C _ o_ m_ ;; ,u n: .,_ . _d 31 (a b)' a' 2ab + b'd 32 (a b)' aJ ! 3a2 b + 3al:} b]

33 (0 b )0 a" n n-1 n(n-1 ) af)-2 b 2 . +,. + Tab +---- 1 2+ n(n-1) (n-2) a O - J b' + bfl1 2 3 . '.d 34 (a + b + c) ~ a2 + 2ab + 2ac + b' + 2bc + c2

d 35 (0 - b + c) 2 02 ~ 2ab + 20c + b' 2bc + c'36 a b2 (a + b)(a'- b)a -37 a' + b) (a + b) (a' - ab + b2)d 38 aJ - b] (a - b )(0' + ab + b2)

d 39 a" - b" (a b) (00-1 +- a.o-2 Qo+ all- b2 +... + ab'":" + b"-I)Equacdes Ouadraticas (Equa,des do 20 Grau)

40 F orm a N or ma l x2 + px + q 0 V ~ ' - q'1 Solu,oe, x , x , _ . . E . 242 Teorerna de Yiete p - (x, + x,) ; q ;(1-.;(2Determ inaa;io Arltrr etica de lima Raiz Quadrada

Y 2 1165" 43 : 865 16---n 69 :27 69

923

ExpllcacacU Os valores entre parenteses referem-se ao exemplo.xemplo4 3,6 9- = ,._ 4_ 6,, ~. a) Dividir 0 n umerc do l direita pan a esquerda, emgrupos de dol s a tgar is rnos .

b) Determlnar 0 mrmero intelro culo quadradc malese apr -oxime do numerc do primeirn grllpo (21).Esse numero inteiro (4) sera 0 primeiro afgarismcdo resultado, seu quadrado (16) dey. see sub-t rafdc do prlmeiro grupo (21).

c) Dey.:;. iiai~.r 0 grupo segulnte (43) e faz-se a dlvlsao 'proximad. do nurneroasslm obtido (543) pel" dobra do primeira aJgarismo do resu.rado (2 4 =8).U resultado (6) deve 50, colocado como segundo algarlsmo do r u ltado. 0dlvisor assirn cbtidc (86) deve ser mulrlpficado corn a ultimo ajgarlsrnc obtidopara 0 resu ltado (6) ; este resul t-ado (516) , deve ser subt rafdc, neste caso, dor e sultado aclm a, 543 . ls to no, da a dlfe re nc a, 27 .

d) Depots da virgula, repetir 0 pro cesso ate- 0 nurnero que se deseja de casasdecimals.

D ete rrn in ac ao A rttm ettca d e u ma R aiz O u alq ce rII 43 Quando X ~ V A ' entiotemos:;J. ~ -;;. [ e n - O r o + xo~- ,]

o nde xa e lim valo r estimado, 0 m als pro xim o p os srve l, para x, Um.il ' repet~~odeste prm;eS50 com aprcximacoes ma iores, permite urn resultadc tao preciseq uanto Sf: que tra , par a x,


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AritmeticaBinomioBinomio de Newton--------

(0 + b)n ( ~ ) a n + ( ~ ) a n - ' . b + ( ~ ) a n - 2onde-" c urn numero lr-teirc

2 ( 1 ' 1 ) n -3 3b + 3 a b + ...44d 45 (a .. b)' 1a' + . . _ 04-1b 43 '-2 b. 432 '-3 b" +b'1 "j:20 . +~ a

a' ..4a'b ..6a 2b ' + 4ab" + b'Esquema de cak~

Ciicuio dos coefic~cn.tes celo trtanguto de Pascald 46 (a + b)od 47 (a + b) '

48 (a + b)' 2d 49 (a + b)' 3 3d 50 (o + b)' 4 6 4'--0.-----d 51 (a + b)" 5 10 10 5~d 5 2 (a +b)6 6 15 20 15 6

Lei de forma~o: cada linha corneca e se term ina por 1) 0 segundo e openuttlmo coeflcientes cerrespondem ;10 expoente, os .outros coeffcientessao a soma des ceeficientes cclocados acima, a direita e a esquerda.

Os eXpOentesA soma des expoentes de a e de u em cada tcrmo e igual ao expnentedo binomio n; Se os expoentes do e Q uecrescem, os de b crescern.

05 sinaisPara (a + b): sinais sempre positives.Para (4 - b): primeiro sinal posi~ivoJ depois atrernativamente negative e

posirlvo.

Exemplosd 53 (a + b)6 5 + 5a' b lOa' b2 + lOa' b" .. 5ab' .. b5a +54 (a _ b)" 5 5a' b + lOa' 02_ 1Oa b' + 5 ab ' - bS+a -

d 55

d 56

d 57

d 58

AritmeticaPsrrnutacces: Cornbinacdes: Arranjos 1 0 5

Permutacees -Nlimero de permuracdes de n elementos:

'1!Exemplo: Os n = 3 elementos a, b, c podem ser permutados entre sl das segulntes

6 manelras 'abc bac cabaeb bea cba3! 1 . 2 3 6 Permutacdes

Caso Particular: Na perrnu t a c; ao de n elementos com iIIl etementes de uma especle ,tl-;: elementos de outra, etc" ate nk elementos de urna k..esima especie, temos:

I'I!Exemplo: Os n:= elementos 4. a, b podem se r permutados da s segulnte s 3maneiras: aa b aba ba a

Aqui, n -= 3, n1 2, 1\2 ~ 1, donde:12 3~ = 3 Permuta~oes

Combina.;Oes e Arranjoso numero das dlversas maneiras pelas quais podem ser tomedos 1f elementos, k ak, sem lever em consideracfo sua ordenacao , chama-se "combmacao" des 11 ele-me~ Deve-se tambern d is tingui r se os elementos se r epetem OU nao.Considerando a ordenacao des k elementos, temos OS".arnnjos" .A tab 'e la da pag . D 6 rnos tra a compaeacao ent re r.ombinac;Oese arranjos com ousen; repetlcao cos elementos.


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AritmeticaCornbinacfies: Arranjos

Combjna~oeseArranjos(Expl ica~Q.s". D 5)

t> t> t>".0 Ud 59 Ee

"Cd 60 e"

z ~

u u uo .0 O J +

d 62

d 61 .0.000C\!C\!. . - - - - - - - - " 'I Nr'\ ..;;t O J . . . . _ _ . . . . . . . . . . _ . . . . . . ~ . . . - - - -

II It

.!l'0u.

d 63

d 6 4

d 65

~ 66

d 67

Aritmetica t n. _ . . , 1 u--- Deterrninantes e sistemas de eq, llnearesOetermimmles de segunda ordemr ' l D2 ~ I 0 , . \ . .< . 0 , 2 \,"a~ "aZ!....a,,:r: + 0,.' Y021'X .. a.. ,y 0" . a.. - a", ( 1 , ' 2

introduzir a col una r no Iugarda ccluna x da col una y

;:;::r2' Qi1-r1 .~21

y

Determinantes de terce ira ordema1i'X + Gi2,'Y + a13'Z r10 . , : x + a .. y + a .. z r.Q3~'X + o:"l:).y + Q~'Z r3

..al .. ,a2

a2~'.ai~.

D'. . . . . . : : a ' ; ; , ..s : : a ~ . . (l3!"_ a~.

+ "'+ +-a" .a.. a.,

Substltuir a coluna x pela coluna r:r. a12 Cl13 1 ', .a~2 ~ r, 022 a~ + at2' Q23 . r; s-. ..

'.D , = 1'2 a.. 'ozi ' 1 ' " a.. +U13' r a., - o 1 3, a2 2 rz'\- ,"'. '. - r , .am 0;52 - 0,.' r. -a",r. .a", tl~ 1", a,,!'+ '+ -- .+

Desenvclver assim D21 depoe D31 subst ltuindo a coluna y~ depo is z, pel acoluna r:

Ij z ,D DSegue/ ver n8


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Exempl() + + 0a" 0'2 0. :+'" 22 .... , ... 'aZl " , ~24"a21d 69 " '" 'aJ> " ....934 ".... Q3'-' "'a""

0" 0.. 0, 6+

d 70

d 71

d 72

Aritmetica Oseterminantes e sistemas de eq , linearesCaso geral minantes e pesqutsar valores ruuos por adit.rao e subtracaoForrnar 05 det~r. , . I . I" d OU dlvldi das par um coeflctentede duas OU vanas Ilnhas mu ttp lea asacrcpriado.

h colun a -rendo maieresenvotver 0 determinante segundo a lin a OU anurnero de 2er05-J alternando 05 s inais (sin:aJ + por all)'

Desenvolvimento segundo a quarta colunll- + 1- ~ : , - - - - - - ~ :OoG! 04,5.

" a : , " - - -- a ;; - - - - - - a ; t ; , I021 Q:i2 02;3Q4' QC2 Oe

.Dcscnvolverj a segutr , por exemplo, segundo a prirneira llnha. se nac seenconrrar zeros:

( Ia", a", I _ I a,. a", [ +013a , . a", I ) - a . . (. , , )D = aM a,1 G42 ; ae O-t2 041 Uo4jJ a4i a. ; !

- I d a paglna D 7 para 05 deterrninanres D1' 02' .unoduztr a co una r segun 0e desenvolver como para 0 determlnante D.

n segundoD.~D

as formulas:u ~ ! ! . a .n [)

Cetculc doe n desconhecldos u 1 . .D,u~: : : ;D ' U2

- . d I irnento de umdererrnlnaate de ene5i~aObserval[ao: Prosseguir 0 esenvo \ ( determinantes de tercen-aordem ale Que se obtenha pe I) mcno. ordem.

d 73d 74

d 75

d 76d 77

d 78

d 79

AritmeticaSeries e Progres s1 i es

Progressoes AritmeticasUma progressao arttrnetlca e a soma dos componentes de uma s e r . i e aritrnetica. ~Adiferenca entre dois elementos subsequentes e constante j p . ex.: T,4, 7 , 10 ... ).

" nCn - 1 )dsn ~ 2" (a , + an ) ~ 0 , n + 2an ~ a, + (n - 1 ) d

Media Aritmetica: Cada clemente de urna serfe aritmetica e a medja arltrnetfca amentre sees dois termos adjacenteg, am~i e am+1Para 0 rn-es .mc efemento, ternos:

para 1 < ill < n[por exemnln .. na progress.Io aclrna:

PrDgresS-OesGeometricas

Uma serte geometnea e a soma dos elementos de l ima progres sao geometrica.(0 quociente de dois elementos subseqiientes e constanre, p. ex.: 1,2,4,8. '. J~~ q -a n - a,$0 Q, q - 1 q - 1an '2, . q n-l

Para series geometricas infinitas ( 1 1 - + D O ; f q I < 1) temos:Sn = lim snlJ_ co 1a,---1 - qo ;

Media Geometrica: Cada elernenro de uma progressgc geomerrica e 3 media geo-metric.aam de seus elementos adjacentes, am.1 e am+1.Para. 0 r-esimo elementn, temos:am!:; VQm-l'Qm+-lPar ex., naserte dada acima:

para 1 < m < "a, = jI2:8 = 4)" numern de elementossn soma dos elementosq quocient e en tre dots elemen,tos subseqtientes

a,and

termo inicialtermo finaldiferenca entre dois rermossubseqiientes


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AritmeticaSilries 010

Serie de putencias.

x) " = 1 ! ( ~ ) x + ( ~ k ~ (;k(t e qualquer, posltjvo 0 1 ; : 1 ; negartvo,

f (x) = (.1 80 +onde lnteleo oufrae i 0 nario.Cal cu lo dos coe flc lenee s do blnemlo:ala - l)(a - 2)(a - 3) (a - n + 1)

1 23

Ix l


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d 107 .

d10B

d109

dll0

d 111d112. .d113d114d 115

dl16d117

D 12 AritmeticaAritmeticaseries de FourierSeries de Fourier

Gener.lidades: T00.. fu~o periodic. yf (xl, que pode set" decornposta nurnintervalc de periOOicidode -" ;;. x ;;;0"em urn numero finito de partes intei-r3 .5, neste intervalo~ pede ser decem-posta em series convergentes da se-gulnte forma (x = ,w t):

co .f(xl = ~ +E[a" cos(nx) + b" sin(nx)]

Calcula-se cada um de seus coeficlentes segundo:

0, = ~ j f ( , )'0' (h)" I " . ~"t) sin (,,,,.para cadak = 0,1,2,.

Sirnplificacao do C;ilculo dos Cceflclenres por Simetria:Fun,ao para: I{ X ) ~ f( - X )

1C: : ~ ~ f : ~ : " : : : ' . " ' _ ! t v > : ~Fun


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ArttmeticaSeries de Fourier

Cent.de D13II d134 Y ; 20x /I < para 0: > x : > 1 < / 2d135 If = 2a(I


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AritmeticaNumeros complexes

Numeros complexos[ co n tl nu a . ,a o )

Em u rn s is te ma d e c oo rd en ad as p l.l la rc s:d169d 1 7 0d 171d172d173d174d175d176d 177

d 178d179

Sen


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Aritml!tica 018Construcao geom. de expressdes alqebr.d191 bcx ad 1 92 a : b c : xr " " proporcional

d193 b'r ad 1 9 4 a 1 b b : x

x 3~ proporcional

d195 x ya:bd196 a : x x : b

x media proporcionald 19 7 x' a' + b'd19B e r ~x hipotenusa de um triangulorerangulod199 X f V T r~< altura de um trianguloequllaterod200 X f (}'5- 1 ) e 5d201 a 0,618d202 a : x .< : (a-xlx : a parte maier de um segrnenro

dividido .0 meio e extrema razao(,co,"o durea]. e 6

Ree(esenta~o detalhadaUrn angulo plano e expresso seja em graus 0: ' ,eia em radianos & ". A r elacao segulnteexiste entre estas duas graduacoes:1 a n rad rad 0e 180'"'" a 57,29580 (l

e 2e 3

e 4

Fun~oes circularesNocoes fundamentaisGrau e radiano de urn angulo p-Iano

Unidades de 0:: . gr.u (0); minuto (') e segundo ["].Unidades de ' & ' : rad; -; m/m

1 radiano (rad) e 0centro' de urn cu-culo d~se 0 arco lnter ceptado1 rn.Do nde:

angulo norn de raio

vale tambem

1 rad 1 m1 mAssirn, 0 radiano se exprime por um nurnero puro, como ' no quadroabaixc: a notacao rad pode ser suprimida., a 0 30 45 60 75 90 18 00 2700 36 00

0 1t n 1t 5 1t 31t 2n""6 4 3 121t "2 It -2 -il0 0,52 0,79 , , 0 5 1,31 1,57 3,14 4,71 6,2 8

Repres entacrao simplificada usual(utilizada neste tormularlo]

Se a = 10 entdo IX = 1 :0 radDonde 1" ~ 1;0 radEnt.Io, os dots angulos sao lguaisi" ~ C ; )

" = 1 rad ~ 57,2958" It Itlfrad:90=,80rad= 1Grado = ,0Unidades: '0; -; rad; m/ m


19/96

Func;OescircularesN~oes gerais

e 7

e 8

e 9e 10

compr;m~nto de arc~o r 0o comprlmentc do arco o de urn cfrcu!o de braio r e iingulo;; no centro vale: a \

b r ao t r iangu(o re ta 'ngu l( l

se n C ol fado opostohipotenusa

cateto ad;acentecateto oposteValores das funcces dos angulos importantes

sen a 0cos a 1tan 0: co t a 00

0,5000,7070,8660,9660,8660,7070,500 0,2590,5771,0001,7323,7321732 1, 000 0, 577 0.268

cos a cateto adjacente. hipotenusa bc~ I cot a

o

tan a ,..teta opostocateto adlacenre

elle 12

angulo 0: 0

R ela jo es e ntr e 01 5 fum;.oesseno idais e co sscno idais

Egua~oes funda mentaisF un~ao senoidalFuncao co-sencidal

yyv A se n (x 0:A cos (ko:

F u n o ; ; i i oFuncao

senoidalsenoldal

comcomFufl~ao co-senoidal com

cu funcac sene com

1 0 -1 0o -1 0 01oo 0 00 0o 00

n[. . _ . . o

AAA

11,51

k 1k. 2It 1'P ,,-~ 2

"..Q.a

e 15e 16e 17e 1819

e 20e 21e 22e 23e 24e 25e 26e 27e 28e 29e 30e 31e 32e 33e 34

- a

Funf;Oes circularesOs quadran te s

+ co s (i- sen a :- cot "- tan a

sen (costtan (cot(

900 + a))))

se n (1800 + a) =cos ( " ) =t an] " ) =cot( " ) =se n (2700 + a ) "cost " ) =tan( " ) =cot ( .. ) =sen (3600 + a) =cos( .. ) =tan ( .. ) =cot ( " ) =sen (ai n 3600) "cos( tJ 0) =tan ( I I : ! : n 180 ) =cot ( " ) =

90 - 0; ))))

Se~ {costtan(cot(

+ cos a+ sen a+ cot II+ tan a

- sen ex :- cos C !+ tan C !+ co t C !- cos a+ sen ex- cot a- tan a+ sen u+ co s a+ tan C !+ cot a+ se n (l+ co s a :+ tan a+ cot (l

so n (180u - a ) "cost ., ) =tan( " ) "cot( " ) =

+ sen a- cos (l- tan Cl- cot a

sen (2700 -cos( "tan( "cot( "

a) =). ~) ") "

- cos C !- sen (l+ cot a+ tan a

sen (3600 - a)cost .. )tanf " )cot( " )

.. ., S en (l+ cos II- tan ex- cot a

s en (costta,,(cotC

- sen a .+ - cos a- tan a- cot (i


20/96

Funt;Oes cireularesRel~oes goniometricas

e 35e 36

e 37e 38e 39e 40

e 4'e 42e 4 3e 44e 45e 46e 47e 48" 49e 50e 51e 52

sen2a + COS2(l+ tan2 a

Relasoes fundament.ais: o ~ . I tan a cot a. .. cot2 a 1~'en (a P )cos(a fJ )

FuniIo e s de urna soma ou difcren5'a de angulossen fJse n p

tan(a p)cotta fJ }

se n a ' cos p :!: cos aCos a . cos P + . sen atan a + tan fJ

1 + tan a ' tan /3cot a ' cot p ~ 1cot /3 :! : cot a

se n a + set ' ) f3Soma e diferen~a de func;oes [r igonometricas.

se n a se n /3cos a + cos fJcos a - cos fJtan a :! : tan Iico t a co t fJsell a COS fJcos a cos fJse n a sen jJta n a ta n fJcot a ' cot Iicot a - tan fJ

2 sen ! ! . . . . . i _ _ _ 'c a s ~2 22 ' cos.! !_____f! _ sen S ! _ _ : _ _ _ _ / } _2 22'cos ~ 'cos ~2 2~ 2-2' 'en ~ , sen, 2,en(aiP)cos a ' cos fJ,en (# :!: a)sen a . sen fJ1.2 'en (a + 1 3 )12 ' costa + (3),2 cos (a /3 )ta n a + ta n pcot er+ co tllcot a + cot f 3tan a + tan pcot a + ta n pta n a + cot Il

,+-2,+-212

sen (a p)Il )osta

cos(a + /3)tan a - tan Pcot a - cot Ilcot a - cot ptan a - tan Pcot a -,tan lJtan a - cot Il

,I~Ll

v

I IIrI I

I

:

60

cos a2

Funt,oes CircularesHelal;oes goniometricas

RelacfiesE s

sin aentre angulos simples, duplos e rneios angulos

co t 0os a tan ae 53e 54

c08(900- a)1'1 - cos'a

sin(900- a)

e 56VC052a-cos(2a) 1 - 2sin'fV'-C~(~) V1+C~(~)~==~1~~ 1V , coea V 1 + tan'a2 tan E :.2

e 5 5

e 57e 58e 59

tao a

2a, + ta n " 2_ tan2 a2+ tan' ~, 2

cot(900- 0)

~cos C>-

V 1 '~-1V 1 - cos'a

cos a

2' ta n .!!.2, - tan' r z _2

tan(900- a)1

tan a~s in acos a' V 1 - cos"aV 1 '~-1V 1 - sin"a'sin a

cae . r I _ -22'catE.. 2

c05(2a)=

2cos'a - 11 - 2sin'a

tan (2a)in (2,,) ~ cot (2,,) =ti 61 2,tan a cot2a - 11 - tan


21/96

Func;:5es circularesTriangulo qualquer

T ria ng ul o q ua lq ue r

e 67e 68e 69e 70

e 71e 72e 73

e 74

e 75

e 76e 77e 78e 7 9e 80

Teorema .do senosen a sen .B : sen y a : b : ca

__b_se n .B__ a__se n a__ a__sen a sen r

se n a__C_'_sen r__ c__sen y__ b_se n P

b se n .B se n psen y

T eo rem a d o co sen o2'bc cos a

c' + a' - 2, ac ,c0s pa' + b' - 2 ab -co s y

Teorema(0 co-sene 6 negative se 0 angulo e obtuse)

das tangentest . f3.r_an 2a '" ba-::-b

tan a+/32 t EL_a _+_ ,,_ ~ _a_n_.:::2:_0 - " b + cb - c tanU2tan a-pZ tan~ 2T eo -r em ... d a bissetdztan.'!..z = __V_B - a tan - 2 Y ~ _ _ 9_s - c

A rea , ra ia dQ circulo i ns cr ito e c ir cu ns cr it o~a b sen r29 s

AA

1 j"'2 b c sen a = 2"0 c sen /3Vs(s - ales - b)(s - c)V (8-0)(S~b)(S-C)'1 a t b2" sena "2' senpa + b + c

2

rs

Func;:Oescirculares I E 7u~oes inversasF uncces ciclometricae

Deflnisao Fun~ao y ~arcsen X ar c c o s x arctan x ar ccot r

Func;ao x = sen Ij r = cos Ij r = tan !I ;c = cot Ijin v ersa deDomrn!o da -1~rf+' -, ,. If +1 -00


22/96

f 1f 2

b. - 0,X3 = -" ---m, - m .

Geometria ana l itic aReta , t ri angulo

FunsaoInciinasao

y = mx + bm = Y2 - y,

X2 - Xi

f 3

f 4

Rera

f 5 ~= Y.- y,I - X'I X C ! - .x..

f 6Reta definida par 1 ponto PI (XlI YI) e a , jndina~ao m

Y - y, = m( X - Xi )f 7 Distancia de dois . pontos

Ponto med io de urn segmento

f 8Ponto de intersec~ao de du~s retas [ver figura do triangulo]

y, + Y.Ym= --2--

f 9

flO Angulo de intersec(:ao de 2 retas:

-d V e X . -X, ). +(y. _y, )2 '

YJ = m, x J+ b. = ~xJ+ b." '" - m . +) ( v ' figu,a)1 + ~'m~ t riangulo .an II'

x, + X2 + xJfll Centro de r" 3gravidade S y, + Y2 + !JJf12 Ys 3Area ~5 X

(x. y. -x. y,)+ (r. y, -x, y.)+( rJ y, -x. y,)f13 A 2+J Condisao: x e y expresses nas rnesmas unidades e nas rnesmas escalas( ve r eamhem h 1)

+)

Geometria ana l itic aCfrculo, parabola

E qu ac ;a o do drculoCfrculo

centrona origem

f 14E qu a. -; ao f u n da m en t, (l l

1 :' + y' + ax + by + c

Equa"ao do, ,egmentos~+JLa b

I nclinaij;ao mn da normal A B-1rIl/=-';;-

Reta definida por 2 pontes PI (X l, Y I) e f 15Raio do crrculo

f 16Coordenadas do centre M

f 17 a bX o = - " 2 Yo -"2Tangerue T pelo ponto PI (x" Y I)

f 18 r2 - (x-xo)( x, -xo)Y + Y oY, - Y o

qualquer

o

~E qu atta o d a p ar ab or a (s ob esta forma, podem-sa fer as ceorrtenadas do verelcee 0 parametro p}.

Verrice

f 19f 20 2p y-2py

qualquer

( x -Xo )2 = 2p( Y-Yo) para cima S: Tangente no( X _ X o ) 2 =-2p(y-yo ) para baixo vertic.

aberrura de F ': Focoparabola L ; Diretriz

f 21Equaljao fundamentalu ax" + bx + c

22f 23

Raro de curvatura no vertice r::;;: pPropried.de fundamental PF =PQ

'f 24Tangent . T por P I (X I' Yl )

2(y, -Yo)(X-X,)A, - X o + y,y


23/96

f 25

Geometr ia anal f tic aHiperbole

Ponto 'de intersec~ao das assmrotasna origem qualquer

o ( '1_'10)2b2 - 1

f 2 6'E q ua ov ao f ll nd a ment alax'+ by'+ ex + dy + e

P rop ri edad e fundamenta l2a27

D is ra nd a f oe aJ+)

f 28Indina~aodas ass{ntota-s +)f 29 tan"Raio- de curvatura no vertice

f 30 Tangente Tpor P, (x"y,)

(x. - xo) (x - .r, ) + y.'I, - Y o

Indina5ao das assCntotas

Hiperbc!e equilateolxpHca~ao: Neste caso, a e b sa o iguals, donde

f 31Equa~ao {se as assfntotas sao paralelas ac eixo

x e an elxo v)Ponto de lnterseccao das assmtcras

qualquer~a origem(X-x. ) ('I-Yo 1 = c32

f 33Raia de curyatur~p a (Par5metro)+ ) Omdii;?i6 - vcr nora ern F 1

o

x

Geometria ana lit icaElipse, funcao exponencial

Equaljao da elipsePonto de interse",:~ao dos

Rai a de Gurvatura nos verticesr = J t l r =N a H a'bDist ancia dos f ocos

P r op ri ed a d e f u n d am en ta 11' , P + 1' 2 P 2 a

e 2,718281828459+ ) C d


24/96

g 2

Fun(:Oes hiperb6licas GlFunt;:5es fundamentaisFun~oes. fundamentais

Deflnlcac +)x -x y l C '- esenh x = ~2~- \' Ix -x '" Icosh x = ~ 2 I2x ~X e.2X _ 1 ,e - e 1 ,..;2anh x = ~ = ~ -2 -I 3-Jcoth = eX + e-x = e2X + , y . \ o r : ~ ~ - " / : { ~x ?C7 ~ '__',Relat;ues Fundamentals './ \-2"[I \cosh' x - se n h2 x = , ....f .$ ! " I \I \tanh x coth x ~ ,tanh senh X!,-tanh'x = ' I 2 = - ,x = ~ '-coth x senh2.xosh X cOs x

Relacoes entre as funcfies hlperboltcasSe x e positive:

sen h x = cosh r = tanh x = coth x =Vcosh2 X Y senh? x sen' h x 1'&enh2x + ,- 1 + , f.en h" X s e n h1 X

t


25/96

h 2

y' lim f< x +


26/96

h

h 10

h 11h 12h 13

h 17h 18

7

n = (mearyen) (a) > 0 yin) (a) '" 0v t ~ V I ~ t .

a x a x

.ICalculo diferencialDerivadas fundamentals

Derlvada

Regras de deriva~ao

v 'V '

n- 'C n-x21 n + CV = c xh 2 2 y = u ( x } :t u(x)h 23 y = u ( x } u{r)h 24 Y = u ( x }.u(x)h 25 'J = V Xh 26 V = u { x ) v ( K J

Derlvada de um a fun.;ao de funcao

h 27 V = I [ u ( x ) ]

!1 28

Derivada

V i =u (r) + u' (x)u'. tI +U vi,,', u - u . U'u"1

2 VX'v ( u'u ti.lnu)--+U

Calculo di ferencial

h 29

h '0

I, , 1h 32

V i =

yl =

v ' I' (u). ! LdX

,,' (x )dy . dudu dX

D erivada "de u rna fun-vao dada pelas eq ua~oe5 parametricas

I(x) { ~ = I( t) yl = dV dt s.v = I(t) dt . a x " .i:= ifrJ_ I Y - .. .yf l Y; C= dX2 = X ODerivada de 'uma f l!n;;. io inversaA equa,ao y = f(x), reso tvida e m rclacao a x, d. a funcao lnve rsa x = ;p (y) .

ri 1= g/(.r)It = parh 19 1I(n) (a) >0 lI(n) (a)


27/96

. . . . . . . . ~. . "--- ---~~~- -

37

Calculo diferencialDerivadas fu ndamentais H s

h 333435

h 36

383940

!I!I!I!Iyyyy

FlIn~,Qes trigoncrnetricash 414243

45h 46

4 7484950

h 52

4 4

51

sen Xyy

cos Xta n x

y co t xvvyyvy

a . 'en (kx)a . cos (kx)

osen X

tannxcot"x

y sen Xy 1cos X

Derivadas

y'y'y'!I'!I's '

aX 1n an'Q"X In aox2 2x In a

y' cos "y'y'

- sen x -lco s x-1

s . e l 1 2: X =1 + tan~x

v '!,I'v

a v ): co s (1


28/96

Calculo in tegra lIntegrat;:ao

j 1

j 2

j 3

Defini' ;30 de Integra~aoIntegra~o~ opera~ao i nV e r5 i: t c ia d e ri vi I' i- aoo calculo integral tern por objetlvo achar urna fun({aotal quo a derlvada F'(x) se]a lgual a uma fun,au dad. f(x)

F' (x) liF(x)= ~ = f (x)donde, por lntegracac

. '~A integrai indcfinida"f l ( X ) dx = r e x ) + C

pots . j I : derivada de' uma ccnstanre e nula.A constants de fntegracao C desaparece nu rnomeuto da derlvacdo,

rnterpreta~ao g-eom,enica d.a integral d~finidaComo OJ figur.a in dlea, hi um ainflnicade de curves y = F(.)d. inclinacio y' = f(x). Todasas curvas sa o ldenti cas mas deslocadasparaielamente 300 eixo y. A todovalor de C corresponde uma socurva, Se a cutva passa pa r urnponto I X -c J Y o - ) , enccntra-se-

" A i nt eg ra l defillida"A forma geral d. integral deflnlda e :

bf l e x ) dxa

b= F( x) J

o= F(b) - P(a)

Diz-se cneio que se Integra entre 05 Hmites a e b: introduzjrx ;;: b, depots x = a er n F (x ) e subtra ir o segundo valor d o primelro.

F(x)

. i

1

I

III

I

I J 5I

J 6'II~

j 7J BJ 9

,

) 10

jl I

l'

;Calculo'integral

Regras de int eg ra .; ao

R eg ra s g er ais

c ~ se It '" -1n-:tT += In x . + c

J [u(x) u(x)] dr = Iu(x) dx f U ' I ) dxJ UI (x ) dxU"lIT = In u(x) + CJu (x) , u ' (xl dx

lJ1t9sr~S'ao pm partesf U (x ) Vi (x ) dx = u ( x ) . u (x ) - I u ' (x ) . u ( x ) dxM~t"d,! d. substitui,ao

ff(x) dx = J 1 I 9 ' ( Z ) ] 9 " (z ) dzX = 9' (z)nde dx = rp' (z) dz

L":li"~

, r(x) = f~ dx.3x-5 = z, dnnde dzz' = dx ~ 3,

dzOht6mso dx = 3 Integral em fun~'o de z:r ( x ) . . + J V Z a z = - - z V? + C. Substftulndo t:1'01 jeu valor: 1' ( I) ~ t {3X-5) V3x-5' + C


29/96

14

Ca lculo in tegra lIntegrais fundamentais

15

16

17

18

19

20

21

2 223 J V a~ x" 'iFf v r x # ?242 5

Lntcgraqao[sem a constante d e i nt eg r .i u; :a o C )

x~ e I In x dxf X ~a I~ (I - a)x "Ln X - x= __ 1_1.__: :__a - b x - b (a i' b)

(n '" 1)(n 1) (x _ o)n 1_ . ! . ' ar co t n s.a 0 .i. In2a x-a (x :> a)x+a

_ 2 _ arct anh . ! . . . ..2_ In au (x < a)a a 2a a-X1 t x ) ) f x , a x -2 1 In(r"+a')Garc an a x' + a'

x 1 arctan'!'"- 2 - a = ' ~ ( - x . ; r "-+-0"-2) + iii" ax 2n-3 f a x= 202 (0-1) (x>+ , , ' ) n - ' + 2 a 2 (n-1) (r' +a2 )0-1

dx (n t 1)_1. 1 ; - : ; - ' x 3 _ ~ 2 lfx- 3 VX ' V X ' VAr J ~ = _ ? _ lro:x+T;ax + b a V~ A T Var c sen axarcosh a In (x + Vx>- a2)

a rc s e n h ~o In (r + Vx"+ 02)

26

27

28

3435

2930

. f 'e n r dxJsen2xdxJ sen J x d . . rJ sen" x dxJ sen (ox)dx

313233

Calculo integralIntegrais fundamentais

I ntegra'tao[sem a cunstante de inregracao C)~ cos xr 1= 2' -"4 sen (2x )3 1- "4 cos x + 12 cos (3x)1 n-1 n-1 f 0-2 a x- n COS x. sen X + -n- sen X

- _ 2 _ costar)a

36

fcosxdxJ cos' x a xJ cos' x dxJ c o sf r dxJ cos{ax) a x

3738

.sen XX 1=2+4,n(2r)

=t sen X + ~ sen (3x)n'1 n-1 f n 2 a x cos x +n COS - x= - senn

= _! _ se n (ax)c= _ _ 1_ In cos(ax)a394 0

J tan x exJ tan' x dxJtannxax1

- In cos x / I Itan ( a x ) dxtan x - xtann-1 x I o-:zn _ 1 - tan x dx (n '" 1)

.LIn sen (ax)af cot x dxf cot" x a xfcotnx dx

In Sen X I I feoteQx) 'dr-x-cotxcot'n -1 xn - 1 - I cotn-z x a x (n * 1)

J s : : xf se~n xfco~ Xf co~ n x

x1n tan '2 /I f~Pr = f~ + a; arc sen ~J V 7 7 ax = f ~ - a; ar cos h ~h~ r 1~ a 2 . arcsen h - = -JVr" + a2 dx ~ '2 V" + 0 + '2 a

: - cot X1 co s x n-2 J dx-n-1'~ + n=1 sen n-Z X (n * 1)

1n tan ( f + i ) II f coct; x : tan x1 sen x n-2 J a x""'.,n:1" casn-1 X + n:T' cos" 2 x (n * 1)


30/96

4 9

J cash X dxJ cosh' X dxJ cosh" X dxJ cosn{ax) dx ~

Calculo in tegra lIn te g r a is f undamenta i s \J 5

5 0J

dx1 + sen X

r ~l _ _ _ _ : d x : : : - : - _ - , - , -+ cos x51 r sen (ax 1 sell (bx)

r sen (ax )cos (ox )fcos(aX)COS(bX)

I rn sen (ax) dxJ xn COs (a;,d dx

525 35455

I ntegralfao[sern a consfante de lntegracan C)

tan(1- 1 1xtan 2"

J l elI (r I I )- s e n x -cot "2 - " 4[ 1 dx I l '- COS X -r c o t 2 "

,en (n+bx)+ ,en (ax-br) (iaitlbl)2(a+b) 2(a-b)cas(ax+bX) _ cos(ax-br) (]] *Ibl)2(a+b) 2(a b)se n (ar+bx) + ,en (ax-px) (la.1 ",Ibl)2(a+b) 2(a-b)x" 11 J n-1 () dx~-(1costar) +(i' X cos axX Ii ' n f 0-1- s en (ax) -~ xa a sen (ax) dx

565758

J arcs-en x dxJ arccos x dxf arctan r dxJ ar c e ot x dx59

z v ar c sen x + ~x ,.arccos x - ~

1 In( 1 + .-2)xarctan X - "2 xxarccot x + 11n(1 + x)

6061 Jsen h x dxJ sen h~X dx

J se n hO X dxf sen h ( ax) dx6263

cosh x+ se n h (2x) - 4 -_!_cosh x > senhn-tn2 - cosh(ax)a

,,-1 J 0-2X _~ sen h x dx64656667

sen h x+ sen h (2x ) + fse n h X coshn-1 n-1 r n-"-~_X + -n-.osh r ll...l.n

1a sen h (ax)

1

I i

I,'

J 64

6369

m+~sen xm . + 1

Ccilculo integralIn te g r ai s f undamenta i s

Integrar){sem a constanre de integracao C)

In' cosh xta nh I dxf tanh' x dxta nh" x dx

x - tanh .r

f n-2+ tanh x dxtanh (ax) dz ~

__ 1_ tanhn-, xn-1_1_ I n cosh (ax)a

70 (n '" 1)71

J coth x dxIcoth2x dxr c o th" x dxJ coth(axl dx

7 27374

In sen h xx - coth x_1_ cothn~1 X + [cothn-. x dx (n l 1)n-1

_1_ln sen h lqx )a5 I ,e~ xI dx~Sen h xJ dxcosh xJ dxcos h2 X

76 xIn tanh 277 - ic o t h x78 2 arctan eX79 tanh X808182

f a rc s e n h x dx x a r c s e n h x ~[ ar c o s h x dx :Ii. ar c o s h x ~J artanh x dx .r varc t a nh x + + In(1 - x')J ar c o t h r dx x -ar c o t h x + f In(x' - 1)~-------------------------f sen In X ' cos" X83 m+i "- 1Sen X - COS r +m + n

n - 1 J m "-2 dx_- sen _r cos Xm + nPara n Impar, a in tegra! restante vale:

J


31/96

86

Calc ulo in te gAplica~aoda i nt eg r a

Elemento de arco ds ~comprimento de area Sup

bS = f ~ dxaMomenta estatico d. uma curve

elxo x elxu yb b

M x = [ Y V l +,,t"dx H y = [ X V 1 +y"dxa a

Coordenadas do centro d. gravidadel1y I Ys I 1 xXs ~ = -S s

IArea cor -po de revolu~arotacao de A

em iorno de x

A = J : dx V = n [:.a aMomenta cstaticc d. uma supe rf fc ie

em re lacao aoeixe x eixo y

b bH x = f y' H y f x y dx2dx =

Q aCuordenadas do centro de gravidade!2 I H xx . s = A iJs = A

87

88

89

90

91

erff cie da curva girandoem torno de x

Volumeo

V

corpo cuja s e c ; : a oQ e fun~ao de x

dx

, J

92

CcUculo integAp l ic a r ,: a o da int egr

Momenta ' s t < 1 t i c o de urn corpo( com relacao ao plano y - z)

10My z = R f X .y' dx

aDistanoia do centro de gravidade

Xs =l1yZ-V-

Re~ras deSuperffc!e Am de um curp o de revo

Am = compri mente 5 vezes a di= 2R sys (formVolume de um corpo de revolucao

V = area 1 \ veze s a distancii l d= 2 . RA IJ s (form

I ntegras:ao gr

Olv isao da area em lim nurnepa r n de falxas de mesma t ar g ur a .b = b,-b Portanto , 0 va lo r da: : :. .!- .. . :.Q. 1" 1 A segundo 0

Metoda do, btrapezios e A = 2 (Yo +2y;Metoda de Simpson p ara c u rvas de 2.

A, = b (Y o 4y, Y')3" + +Metoda de SimEsoll para curvas quaisq

A = .E _ Y o +Yn +2(y. +Y, +. .. +

93

94

95

96

97

98

j 99 3

ral I J 8x

Guldin

stancia do centro de gr avldadeulas i86 e i88)

o centro ~e gravidade"las i 89 e i91)ifica

o e 39 graus:

Her:


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10 0

Calculo integral_Aplica~ao da integra~ao

Mo mento5 de inerda

GeneraJidadesChama-se memento de inercia de um ccrpo em relacao a urn elxox ou a urn ponto 01 a soma dos produces dos elementos de cwva,de superffcie, de volume ou de massa pelo quadrado de sua distancia30 e.ixo x OU ac ponte O.Por exemplo:

J

Tco rema de Ste ine r [ve r t a ntbem M 2)Relaciies valldas para os mementos de inertia de rnassa axial DU polar:

J Js + 1111 ;j 10 1Exlstern formulas analogasmomentos de inercla desuperffcles e de volumes.

para osllnhas, de

10 2

Momento s d~ inercia de Iinhas planasem relacao ao

cixo y

J Momenta de inercia em reJa.;:io a urn eixo ou a urn ~ontoJs Momento de lnercia em relayao ao centro de gravidade 5lit Cornprtmenro de curva, superfrcie, volume au massa totalIs Dlstancia do centro de gravidade ao elxo ou ao pnnro de referencia J 10 8(fOrmul. j 101)_

eixo xb

h x~ J 1l fi+ ? dxa

bIL !J~ [ X 2 ~ dx-l--l ---I-_

a

j 10 4

Calculo integralAplica"ao da ~ntegr~io

Momen!o de Inercia e Momenta Centrrfugo de Superffcles Planas

j 10 3

Momento de ImSrcia Axial de uma superffcle plana referldo a urn eixo x ou y.contido no plano. yea soma d05 orodutos das areas elementares dA e dos qlle-drados de suas distancias ortogonals y, au x : ~xi, = J y2 dA; Iy ~ fX 2 dA

Dada uma fun~.o y ~f (x), entao temos ;re fe rldo ao

elxo x elxo ybIx = J J l ! _ dra 3 bIy = ! x 2 Y d xa

10 5

Momento de Ille rc ia Polar de uma superf fcle plana ref erido a urn ponto de refe -reocia 0 (p6lo) per tencente ao piano . E a soma dos produtos das areas elernen-tares dA e dos quadrados de suas dlstanclas r em' ~dArelaclo ao polo,

Ip= J r 2dA " ' _ _ _ . . . r0, x10 6

Se os eiX05 de referenda Ix:e Ivforem perpendiculares ent re si , 0 momento deimSrciapolar em rela.(j i,()ao p-6lo{interseco 0 entre os eixos x e yl:Ip= fr2 d A = j(y 2+X2 )dA ~ I~ + Iy

Momento Centr(fugo de uma superffcle p lana refer ido a dois eixos do plano , e asoma dos produtos dos elementos de area dA e os produtos de suas dist.ancias.ortogonais x e y de ambos o s e iX OS< , '~~xA

s., = f x y dA 0 ~Lj 10 7No caso de coinc idir urn e lxc de re fer encla tom urn eixo de simetria da super -fide plana, entdo 1X1 ;::: O.

Conversao para urn eixo incl inado x ': Se os mementos Ix ' Iy e IX] sao conhecldospara 05 e ixos retangulares x e Y J entao t emos 0 ~mamento de lne rcia lex em relacao a urn etxo x' " f . . 'lncltnado do angulo cc em reJat;:aoao elxo x: I . . ."l a = Ix cos'a + Iy sin2-" - I,y sin 20: _/ "

x


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122ra raio do c ( rcuto inscri toc :ompr imen to do l ado

Jp_ _ n q r (12 2 ') _ n a R (6R' ,). _Ix =Iy = 2 -2'48 r.+o - 2.24 -0, Ixy-OI R : raio do crrcuto circunscrlton : numero de Iados

C8lculo integralApltcacao da integra


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Est6tica K 2No(,:oes fundamentais K '1

Generalidades

Momentu Mde urna forca F em torno de urn ponto o! t FMomento If = r i - O~

Braso de ..Iav(tnca de ~lm) fopp F em lorna de u~ ~onto 0o brace de alavanca Q e a di'ioLanciil de 0 a [inhade O l - y a o de F, F' e FI ' sao 2 fur cas em equO(br io. 0momento pude ser rcpresentado par urn vetor.

f' = F; F' = - F'

A Estatica estuda a' fcrqas externas edos corpos solidos determina as f er c a sforcas de apolo). A, folhas K 1 ... K 14no plano.

A, graudezas importantes d. estaticaCumprlme"to RE uma grandcza bas ica : ve r predrnbulo~ (ver explicacio III 1)'Rapresentada por urn vetor.Compril11cnto : gra-ideza ou valorDire ~ao : anguloPonto de aplica\ao P: posi~ao

~ [Eorca peso]Definicao: atraclo terrestrePonto de aplica~ao: centro de gravidade SLinha de 3\ao: vertical do lugarSentido: para baixo

{em direcao ao centro da Terra)Grandeza: dcterrninacfic com a balanca

For,> de .poio FAForca de reacao axercida em A sobre 0corpo.

Ft1r~a fC5ultante OLl resultante FRF orca ealculada de mesrna a~ao que as for~asdadas,

k 1

k 2

as condicdesdesconhecid3stratam das

de equ ilfbrlo(por exemplufor~as agindo

k 3,Mornento d o par de forl'ias;

M = F QTeoremll. dos momentos: 0 momento da resultante e igua' a soma dos momentcsdas for cas externas.

.,.....--. linha de aCfio

ver,~,17\~l f 1

k 4 -

EstaticaCornposicao de torcasComposi(jao de for5as: sol ll lfao gr


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Estatica Estatica

k 15

Resu ltante F RTrfangu!o }retangulo tan fIR

" Ra raco de alavanca lR

Cornposicao de torcasCornposicao Anahtlca de Forcas

K 3

Sinais das funcdes trlgonometricas em X ~!J i r x , F~ j F R " FRlQuadrante e, aR cos a sin C l tan a x , F X , F R : r y,FII,ER

16 I 0" 900 + + + + +k 17 II 90. , ,1800 + +k 18 III 180, . 2700 +k 19 nr 270 . 3600 + +

D e com p0 5i o; ;. :a o d e um a F O (< < iak 8 F'cosa r y

+ V F / + p / tan ar - sin a"..:JLPx9 P

[Os slnais das funcoes trigonometricas de Qsao dados na Tabeta abalxo]

Momenta M Q de uma FQr~a em Relac;;i,Q a um Ponto 0

k 10[Deterrninacan de Fx e Fy segundok 8)

Resultante FR de Quaisquer For~as Dadask 11 Componentes1213

k 14

r

(Teare rna do momento)

Fx ,FyFR> ,FRyX I' Ya 1 UR! ,IR

Cornponen tes de F nas di recoes de x e yComponent es de FR nas d i rel10es x e yCoordenadas de FAngulo de F ou de FRDistancia de F OU FR do ponto de referpnr"i. .

EquillbrioCondi~oes de eq\ li llbrio

Urn corpo esta em equihbrio se a resuttantc e a soma dos momentcs detodas as torcas e xteriores em rela.;;io a um ponro quarquer sao nulas.

Forcas graflcnmente anat i t icamenre

20 concorrentes pohgonn de forcas fechado ZFx = 0; Sf'y =0

k 21paralelas ao

2Fy = 0; 2M =0e.lxo y polrgono de forcas e pol(gono2 2 funicular fecnados 2Fx =O, :EP y = a23 quaisquer :E M =0

Exernplos de cOf(~osem equihbriuVigas sobre 2 apoi os Procura-se: forcas de apo!o F8' FB

Dados 50Iu,,;0

k 24

H8 max = kM Y",ax (Momenta de flexao maximo)kM = kF" kL . H lese> a do, mementos]K p : escala de torcasXt: escala de cornpjimentcsH d ls tf nc ia p o la rF R resultante

N m , kgf mN mlm ,. kgf mlmm

N/m, kgf Immm/m, m/mmm , em, mm

N , kgfGrua de parede:

Dados3 forcas {se rn au-ito] . Procu ra-se FA e FB


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k 26

Calculo das for,as naS barr ..!. Deter.mina~ao grafica das forl1as nOS nos(Metodo de Ritter) (Metodo de Cremona]

0: membrus superioresU: rnembtcs inferiores

barras diagcnais

Estatica K 5istemas triangulados

Deterrninar as forcas de apo!o confor me K 4 (viga sobre 2 apoios]e efetuar urn corte que passe por 3 barras desconhecidas. Admrre-seque tcdas as 'barras sejam sollclradas a tracao: assim, as barrassub mertdas a tnl l; :ao sao positivas e as submetidas a compressao saonegatlvas,

Calcular soma dos mementos das forcas exterlores e nas barrasem rela.;;ao ao ponto de lnterseccac de 2 forcas descnnhecidas. Asslm, 0memento destas forcas e nufo.Regras para 0 sinal dos momento5Momentos em sentfdo contrario ao mavirnento dos ponteiros do reloglo: positivesMementos de mesmo sentido do movimento dos pontetros do relcgio: negatlvosExemplos em relar;ao a trelir;a acimaProblema: Valor da forca F U2 na barra U2Sol~Corte X ... X pelas barras 02 - D2 - U2. Escolhe-se C, ponte delnterseccdc cas ban-as 02 - D2 como punto de referencia paraciUculo dos mementos. Assim, os momentos das forcas das barras -02 e D2 sao nufos.Calcular: :E/ l ic 0+ a'~2 + b F ' ; t - c( f A P , ) 0

F U 2 - b F 2 + c { f . i I - ,0 ; )a

Estatica K 6istemas triangulados

k 27

Hipoteseun:;;- barra vai de um nO a outro. As "orcas exterlores agem unicamentenO S no s.

Metodo' de trabalhoEscother a escale das Iorcas. Determinar as forcas de apoio. Cornecarpelo n6 A onde 2 fnrca s sao desconhecldas. Utllzar 0 mesmo sentido derntacfin para todos os 116, (por exemplo, FA- F1- fS1- FS2)'N o A poligono de torcas a - b - c - d - a.

lndlcar em lim croqui Oll um a tabela, se h . trat;:ao ou com-pressao naS barras.N 6 C : polrgono -c -e - f d, etc.

ControleAs torcas agem em . urn n o do sistema triangulado fnrmandu urnpclfgono no plano de CremonaAs forcas passam por um ponto do plano de Crernona formando urn triangulono sistema trlangulado.


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Estatica EstaticaCentro de gravidade K 7

Arco de crrculo bk 28 r sen a1800 r s

~Y , , 0 7 =t:

29 y 0,6366 r 2 07 18 0030 y 0,9003 , . 2a 90 k 31 v 0,9549" 2a 60 k 31 . . 1 . . h3

S esra no ponto de inrcrseccaodas medianas.

S ere r c h- cu l ar

~k 32 2r se n a180

0 2"$IJ 3)[a 3b33 Y 0,4244,. 2 ( 2 18 00

k 34 y 0,6002,. 2a 900 ' "k 35 Y 0,6366r 2a 60 Trapezia

k 36 y

Setor de CQroti circular

k 37 y

k 38

Segmento circular

y _t_12A39Superffcic A I ver em 133

~al('LJ~O do centr o de g ravidade S, ver tambdm J.7

k 4 0

I 41

Centro de grav idade ~ 8Determlna.;ao do Centro de Gravidllde de superficies quaisquer

SOIU i; i io gr; ificaDecompor a superfrcie total A em superficies parclals A1, A21 Ancujos centres de gravidade sa O conhecidos. Desenhar paralelas aoseixos pot; estes pontes. As areas destas superffcfes parciats sao proporcionalsaos pesos agindo nos centres de gravidadc. Deter rninar as linhas dear;;50 das r e sultantcs ARx e ARy para 2 p05it;o e s quaisque r docorpo (em geral 2 otrecoes perpendlculares] segundo K 2. A lnterseccaodas linhas de ;I(;ao destas resulta-rtes da a poslcao do centro de gravidade S.

y

So l u 't a o anal (ticaDecc mpor a s u pe rf fc ie total A em superfrcie s parclate A1, A2,como abaixo: obte m-se:dis- em geral para 0 exemplo aclma

A, . x, + A 2 . x, -: . AJ . x)A

A, . I;' + A, . Y2 + AJ . Y3A

ranclan;!;Ai X i

A: ; I t Ai . )/,1=1


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k 43

I I coeficientes dea trl to (v Z 20;.~ , :~ :~.; .ngulosdeatrit o

EstaticaAtrito

For 9

tan ~ < 1"0c o n s t . < ' ((0

u ~ 0 u ~ 0 ~ u > 0

4 44 54647

PW ; ~ -Pz , = G tan 9, PW o = - 'Z o ~ a ta n Q o Pw = -Pz ~ atan I(PN = -0 PN = -G PN =-G

1"0o < ~t [var ia ve l) < 1 (0 ~oSe F Z I a um e nt a le nt am e nte , fWI aurnentatambcm mas 0 corpo ainda nao se des loca .Se fz1 va le :

k 48 F'Zo a 1"0'o corpo comeca a escorrega r. A seguirFz diminui para Gp.Urn aumento na forca d a uma aceferacaocorrespcndente.

FOTf,ta de tra~ao inclinadaForca de tra~ao F necessaria para pOT emmovimento um carpo de peso G.

k 49 F = G I" '" G ,en Q Q )sen a - l"oCOS a sen (a - 1( 0Subsrituir Po pe r J. I para o bre r a fo rt;;:~ paradeslocar 0 .ccrpc a velocldade constante.o movlmento e imposs/vel se F e negauvo.

G

Fw~ J FWo ' f'w : For-;a de atritoFZ1 ,Fzo' F'z ; .Forca de tr:a"iao

EstaticaAtrito Kl0

Plano indinadoGeneralidadeso anguro C t para o qual lim c orpo de st lz a it velocldade ccnstante e igual

au anguJo de atrito p .Donde:

k 50

k 51

tan a tan ~Met odo utll izado para determi uar exper iment al -mente 0 angulo de atrito p ou 0 coeficiertrede atrito

Condi~ao de equil{brio:tan ~. base [hurlzontaf

a < ~Cilclilo das forJ;as de t ras:ao

Perea de tra~ao F pant obtervelocldade cons tant e para leta

k 52

k 53

Sentido domovimen to ao plano inclinado

uma

basep ar a. c ir rr a

~F ~ G ,en (a + 9)cos ~ P = G' tan(a + ~ )para baixo

para baixo~ < a < a*

P = Gtan(~ -a)

'/~F~

P=G,tan(a-q)Obse rv al fi io: pa ra 0 limite do repouso, substituir J 1 par Mo e p por

Po * : angulo de tornbamento do corpo.


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EstaticaAtrito K l l

Cunhas

Encrava- F ' t an I, ..~, )Han{a,+,) F' = F' tan(a+2~)1< 55 F' ~ 1 - tan~, tan(a'''~2) \m en to ,Afr 'ouxa- r tan (a, -q, )+tan (a, -~2 ) '2 = F' -tan (a-2~)56 '2 ~ 1 + tan ~,tan(a2-~')menteEncunba- ; + ~O2 It < 2~ok 57 It, + U2 ~o,menlo

k 5 '359

k 60

Parafusos

Momenta

tan U

P r : tan (a+~')p r : tan (a-~')a < Q'tan atan (a+~')tan a '/1tan(It-~')

N rn , kgf m 72N m , kgf m 73

Frtan{a-~) "',

Rendimcnto

Parafusar H~

Condi,ao detrav a m enl o p arao parafuso a < ~

k 61k 62

parafusar tan(a+Q)deurn ._-+_--2~t~a-':n~Il..:2""'!"_--+---_'::~;;=';-'-":""--parafu,o par . desparafuv ry tan(a-Q)H, :H, :a

k 63 9k 64 Q '65 r

Memento de parafu s.:.me'ntoMemento de desparafusamento h1110Iin.,'0 do passe (tan a ~ ~)Al1gulo de atr ito (tan Q = 1 1 )Angulo de atrito do passu do parafuso

(tan Q' ~ co:fJI2)Re lo c fe tlvo m, mm

k 66

6766

G, ou a, : p~S(1 do placa, de urn clllndro, forca de rr


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75

EstaticaAtrito

76

k 77

Nok 76 F. :-u r79 F U = P I?

Forcas

k 80 P ok 81 ;: ;k 62 Pz

PU:f'R :No ;aI "

k 63 ue ~

Atri to das cordas

F orca de tracao e de atnto, paralevantar abaixar

I S , el1ii'G 1" 2 e-l1ii .0F R (epa -1 )G. F R (1 _ e - l" ii )O

Estas "formulas sa o validas se:o cllindru e fixe e a co-da se desloca it vetcci dade const ante, por exemplo:cabecote de amarraeac.

A corda e fl xa e 0 cilindro em n-ovmento, per exernplo: freio de lonas.Caso de equil {brio:

(F = torca de equlhbrio sem atrlto)

em movlmcnto em repouso.s.:e/-lii _ 1

I " f iF, - ".. -U e/-lQ _ 1

F Z (e/-lii + 1)2 ,,/ -I ii _ 1 )

ella + 1F---U el'a _ 1for~i 'I r.i rcunfere ncialforC;a de arrito da cordamoment a de acl onarnentui ng~i lo de enr ol am ento. Utilizar sempre 0 mencr


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1

Continua - veja L 2

CinematicsN~Oes gerais

Gener.lid.desA clnematlca esn.da o movimento de urn corpo em fUnliao do tempo.

As grandezas importantes da cinematica e 5Uas unidades

Comprimento ~} ver K 1Angulo de rot.~iio 'P, veja Sngulc plano E 1Tempo tE u rn a g ra nd e za f u nd am e n ta l.Unidades 5; m1 n ; hFreqi.iendaA frequencia de uma oscila\ao e 0 quociente do nemero depen'odos [oscilacoes cornpletas] pelo tempo de duracao.

f = numero de oscila~6esduracaoUnidades: Hz (Hertz); c ic ios porsegundo; 1 /, ; < I , ; l/mio.

Pc riodo T- 0 perj'od 0 T duracao de uma oscilacsc completa. E

o inverse da frequencia f.

T = t1 2 Unidades: 5; min; hN(lmero de voltas n {trequencia de rotacao)A freqbencia de rotac;ao n de um eixo e 0 quociente do numero de volt asdo elxc," pela curacao de rnedida.

1 3n :;;;;::numero de voltas do elxo

dura~ao da medidaminn6OS"

o Inv ers e lin e a duralfao de urna vo lta.Unidades: 1/,; l/minn ;::: f s e a duracao de lim a volta de um eixo l/n e igual ao perrodo ljfde oscila'1ao ligada a rotacao do eixo.

14

15

1 6

1 7

1 8

CinematicaNo~oes gerais

Continuacfo de L 1

Velocidade vA velo clc ade v e a prim e ira de rivada do pe rcurso s em re lacfo antempo t:

dsdt

Se a velocidade consrante , a formula torna-se:~tUntdades: m/,; km/h

Velocidade angular w, pulsasao wA velocl dade angul ar w e a primeira derivada do angu lo descrito i{ J em relacao,, 0 tempo t:

w ~eltSe II v e lo ci da de a ng ul ar onmtante, w vale:

w = . J i . .tSe f e 0 numer o de rotacdes por segundo e n e -0 numero de rotacoes parminute. obtern-se:

w 211/ 211"60Unidades: l/s; rad/.; 10/s

A ce ie ra i( ao aA aceleraolc atempo t: a deri vada primeira da velccidade

l{ em relacao ao

1 9 a ~ U d's iidt d?Unldades: rn/s~ j kmlh:l

A ce Ie ra ca c a n~ ld ar 0;A a ce le r ac ao angular Q" e a derfvada primelra da velocidadc angular w emrelacao ao tempo t:

110 a dwdt =~ dtUnidadcs: 1/"; rad/,' ; 10Is '


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11

12

113114

CinematlcaGeneralidades

Espa d t

Diagrama: veloddade-tempQA variacao da velocidade em fun~ao do tempoe dcsenhada em um dlagr ama v - t. A de rlv adaprimeira desta Funcao c a acel eracao l nstanr anca.Assim, a aceteracso e a derivada segunda docspaoo percorrldo, com relacao ao tempo:

a LluLitdud t

A superffoie hachurada repr esenta 0 espacopercorrido stt},

a (c()D la gr a r na a c, ele ra ~5 0- t~ m p oA variacao da _ velocidade em

e de sen hada em u m di agramafun~ao do tempoa - t que mos t-a

cs valores extremes.a > 0 aceleracao posl t lva: velocidadc

cresce.a < 0 ace le racao negat iva {frenagem) ;velocidade decresce.

Observa(!ao COncernente a s f ig ur asOs srmbolos entre parsnteses referem-se ro",;;o (ver L 3 e L 4),

CinematicaOs movimentos importantes

115

116

1 17118

M ov irn en to re t;1 { ne o o u t.ran slas -aoAs trajet6rias sao retas. Todos os pontes dodescrever n as mesrnas tr ajeturi as,

Principais (ipas de movimcntoun.forme

corpoI!J-----~-~--- f, t,unfcrmemente ace ler adou ;;; ;Uo = const. a ='- 00 "" constanceRotasao em torno de urn e"ixo fixo

As . traie torlas sa o crrcuIo s cujo cixo e 0 centro.o angulo de ro tacsio (P, a velcc idade angular w

a ace le racao angular ex . tern 0 mesmo valo rpara cada ponte do corpo.

uniformeRc-acdes especlals

unlformernente aceleradaw "'"W o = cons t . a = ao "" eonvrante

o espaco percorrido ;1 a velocidade u e a a cel er aca orangenclal at sao proporclonais ao ralo:s ~ rip; u = r w a = r a ~ at,a u0n= w r =rc el er aG fa o c en tr rp et a

Oscil1l~oe5 harmonicasAs tr ajerorias sao retas OU ruculos. 0 corpo.se move em torno de uma posicao de repouso,o desvlo maximo se chama "amplitude". 0espacc percorrldo. a velocldade e a ilce1era~ao.das o scila{o e s harmonicas sao fun~oe s seno idals .


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119

Cinemaitica I Lovimento retilineo 5IMovirnento r et ilmeo uni forme e uni fo rrnemente

acelerado---uniforme { acelerado com (a > 0) -r::l uniformemente retar dado com (0 < 0) u'E "" a = 0 a = constanre ~8.5 0"= const. 4:, = 0 uo> 0 ~I- ~11~s~ ~!>---1-

u t o t2 LJ' ~ (uo + ,,) 1 2 ms = " t -2- .=-2-= 2Q = u o t+2"0t emkms ~ 2s tJ t .t.h+at= y V o 2 + 2as~ t ~-t- = m/scm/s

km/hVo ;; constante 0 v - 0 t = r u ' - 2as'

u 2s u' ~ LXmis'a = 0 =7~2S ~ em/h't t 25 km/h2Y 23 2s .St s u ~ mi n= = - =u 0 u 0 vo + u hObservacac

As s upe rf rc ies ha chu rad as represen tan t 0 esaaco percorridu 5 durante 0 tern-po t.

1 20

11

1 2 2

1 23

i

1 24

Cinematica L 6ota~aoemtorno deurneixo fixeRot .~o uniforme e uniformernente acelerada de urn corpo

em torno de urn eixo flxo

~ uniforme ! acelerado corn (a > 0) ~' un'formernente retardado com '(a < 0) ~"0'8 a ~ 0 a ~ cunstante 'E.5 0 > 0 ::0w::canst. ., ~ " 0it ~ ~n,~~,~11~-wt at" w' t(wo+w) 1 ,

-'I' = wi 2" =T=2 " a ~"bt+2at r ad

w = 'I' ~= 2 : = at W o ~ a t = w o't-2arp lism/m s

- at V w ' -2a P rad/sWo = constante 0 iLl ~

= - 4 ' - = ~ , ,lis'0 w ~ w 2-'P"'b m/m s~ T t 2 ' f J t rad/s~ = J . 1 . ~ 5..L w ~ = m i n= -w a w " ~o + ifJ h

ObservacaoAs superficies hachuradas represenrarn 0 angulo 'P durante 0 remde rotacdc t.Angulo descriro: rp == 2 t- . numero de rotacocs Oll

'P = 360 numerc de rotacoes

1 25

1 26

1 27

1 28

po


44/96

Cinematica Cinematics j L 8

1 29

~s a = " " C i ? " = -IUS

OscilacfiesO Sciiasao line ar e harmonicao movlmento de um corpo suspenso por uma mol a e uma o sc il ac ao

linear harmonica, As fUnl;;6e~Hempo. S, u e a d est e mav imen to saotarnbem as projeeoes S, v e au do mcvtmento circular uniforme de umponte materia l.

Movlmento circular P ro - o s c tl ac o e s h a rmon ic a s

'I '=w 1 + 1 " 0 ; b=r(wt+~)

VOIOCeEidade V . : ~ !-~O~4-~~+-~~--~~~~--~

-- C

S = A se n (w t + ' P o )

1 30

-Aw' se n (w t +


45/96

1 4 31 4 41 4 5

14 7 a =1 4 8 v =149 s =1 50 a1 51

1 5 2

1 531 5 4

46

CinematicaMovlmento sobre 0 plano inclinadoMovimento de urn carpo des!1zando em um plano inclinado

Q

Q. t _ _t

'em comIncognita AtritoI' = 0 I' > 0q : sen a g( sen a - I'.cos Q )

ouu

a:

InC6gnital se m comatrtto1 = 0 1>0

gr' se n 07- .Leos agr' rr2 + r. 2 sen a : r2 2J + rj

como 145como 146

O . . . amox amin~ tanaminr2+r,2tan a=J .. to~ am G X ~ tan maxr

r r' + r/ - f r1'0 r2

r2I _ c _2Esfera Cllindro chelo Tube de paredes finas

a *: angulu de tombamento quando 0 centro de gravidade 5 passa pela arestap. : cceftctcnte de an-ito de escorrcgarnento (ver Z 20)Po : coeflciente de atrlto no estado de repouso [ver Z 20)~ : angula de atnrc de escorregarncnto (p ~ tg p )< ' 0 : angulo de atrtro no estadc de repouso { f l o = tg Po}f :brace de alavanca do atritu de rotamento (ver Z 20 e k 70)Ij ~raio de gira~ao

CinematicaTransmiss5es

Manivela

para atuacao unitorrne, a tomada de f'orca e:irregular regular , corn eixo a ux ili ar H

,\155 s r (1 - cos \1 + 2 r sin'\p1 56 u '" r sin \ 1 > ( 1 + ,\ cos 9')1 57 a ",' r( cos \I > + A cos 29')158 A r 1 11 4" .. - 6"159 \I > w t 2 n n. t

(A "a rera~io de biera)Biela cruzada

1 601 611 621 63

rsin(wt)w r cos (w t )-.,2 r sinCw 1)2"n

1 6465

Estando todos os eixos num mesmc plano, entao vale:tan ' / ! > = tan 'P , . cos fJ I tan 'I'> =. tan 9', I tan \ 1 > ,cos f3 .01, = w , 1-sin2 fJ . sin2,!" 013 = 01, W, .

. 2 f J " .U2=W/.S1n 'COS/J 'Sl.n2t,(1 - sin'fJ . sin''!',)

w,tan \ 1 ' ,

sIJa01(Movimento: oscllacao harmonica)

Eixo Carda:

atlJacao' 1 ' ,i~,

"',tomada

Ambos oseixosA du artlculacau do eixo auxi-Ha T devem atuar paralelarnente.

66

Quante mais aumenta 0 . an gu lo d e dettexao jr, tanto maior e a aceleracao: maxima0: e 0mornento da aceleracao Mer Na pratica, p . ; , ; 45.


46/96

m 1

m 2

Dinamica Mloc5es fundamentaisGener;alidades

A dinamica estuda as fcrcas que agem sobre 05 c . m p o ' 5 0 em rnnvimento e as nocoes" trabalho , energia , pctencla''.

As g rande zi3 ::5 m :ais rm po rta nte 'i. da Dinamka e ,ua s un id ade s.

Massa m (Grandeza baslca , veja 0 Prefacio]Unidadesc kg; Mg = ton; g1 kg e a massa do prctotipc intemacional. A balanca de braces mede a massam em kg; Mg DU toneladas, OlJ grama.

For~a F e Peso GA FtJr~3. F e 0 prcduto da massa m pela aceleracao a.

F ;;;;:m ao Pe50 G e 0 prcduto da massa m pela aceleracao dill gravldade g.

G = mgo dtr-amdrnetro e a balanea de travessae medern 0 peso G cornu um.a torcapeso.Unidades: N; kgf

1 N e a fcrea que comuntce a urn corpo de massa 1 kg em 1 s uma veloctdedede 1 m / ' f> uu uma aceleracao de 1 m/s2. 1 kgf = :. 9,81 N e 0 peso de urn corpocuja massa vale 1. kg.

Tr.b.lh~o trah


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DinamicaRQ tacaoDimimicaMomenta de .nercia de rnassa

Ener'gia cinet1c.a total de um corpoEm re lacao uoeixo b - b

passando pe10cent ro de gravldade 5

Ws, kgfm29lxo a ~ a[eixo de rctacac] Corpos

Energta cinetlca de u m corpo ro lanteAr co d e ,c i~ r. CUJOS.....

- -e .b

1W K ""2 (m +' " ' r e d ) u s 'Us W r

Ws, kgfmmis, ~m/h

. m 30.m 31

J III r2 J15m 16 Momen-to de um movj mento giratorio

CinndroH P P 'N m ,w 2 "" kgf m

973,4 p kg f m 71 6 p kgf mn min k W n min CVRe~i!'10es.de transm l ssao

m 17 J ~ _ _ ! _ m : r22m 18 dj';2r'm 19 J ; _ 1 _ m(R' + r'2 . .m 20 d/~ 2(li + r')m 21 J _l_ Ill. r'10m 22 d/= _ : _ r'5

m 32'" (3' /12)= 12 r +d/ = ~ (3 r' + It')J

1";,OR'+3r'+II')dJ'.: + (3Fi'+3r"+1t')J R eL a. ;. ao d e tra ns m is sa o _flj_ ~n o W2

H FH L i 1)

m 33

Rela~a_o dos momentosMo mento da f o r o ; ( 3 'Momente da carga

= ~ m(4,.' + /12)80d2=~ (4r'+II')I 20

J Im 34RendimentoEsfera4 ,TO""

8 r'5m 23 J 1 4 0 III r"

24 dl'= 8 r""5II! 2 5 J m(i?'+lr')4m 2 6 d/= 4R' + 3 7 "

trab a !hQ au p ote n cia forneci dat rabalho au porencla lntrcduzidaJ conduzidam 35C ! tFfndimen:to total de vadas t ransm ! S 5 0 e - SAnel c ircula r ou t orc ldeb m - J ( l ' b-t ..-

.(1R- i r

til 364Fi' + 5,.'J III ~~8~-d / =T (4 ;f+ 5 r2 )

.1/ ~, 1)2 . 1)3 .mredi ver m 8Us : velocldade de tr anslacao do centro de gravldadefa ~ forca de ace1eril~aoNo : momenta de aceleracaoW K : energ!a cineticaWp ~ ene rg la potencialW F : energta de uma 1110la helicoidal esrlcadaL i l : alcngamento de urna mota hel icoidal est icadaL 1 p ; Y.ar ta 'rao do dngulo de um a m ota esplral em radlar-os

N,kg fN m , kgf m

J,kgf mJ. kg f mJ. kgf mm, em , mm

Barr.~. 10b- . I Lm 27m 28 ,


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Dinamica I Morca centrffuga 5FOft? centnfuga

m_ u/ r In V' F z : ~II 37 Fz ~ ~, kgfr38 4 ,,' In ,,' r N , tIII kgf

III 39 " 2Jt,." mis, km/h /m 4 0 w 2 Jt " 1/s, l/min ~

TensoEs nos corp05i girantesDisco

m 41 w' r' ~-3- ,,' 9~3~N/m', kgf 'j em'

Anelm 42 w ' q-3- (,./+ 1'", r. + r1)

N/m', kgf/cm'

1, di, tanda do centro de gravid.de m, em , mme des vlo m axi m e do pendul" m, e m , m mf deevlo mcmeneanec do pSndu~o r o, - e m , m mr z : forca centr ifuga N~ kgf , gfJo memento de lnerc la em re[a~ao .0 kg Ill', N m s'

m_omento de inercia em re1ac;aomemento de torcao de uma mola deou se]a, t J . r j = -l o radtenslo de trat;;ao

as kg m 2, N m 5.1.9' = 57,3N Ill, kgf emkgf Icm', kgf Imm'

rl'~f.;.~;io Ot." -nm movl rnente de Bate B' e retornopar. B (periodo)velocidade em Evelccidade em Fenergia cirtetlca em E

s , minm/s, ernls, km/hm/s, em/s, km/hNI!), kgf m

4 5 Freqijincia f 1 (L 1) s-', min-m ~Tm 45 Pu~s"lI;io 2"1 = y r . -1 m1n -1w s ,

m 4 3m 4 4

m 4 7m 48

m 4 9

DinamicaOscilac5es harmonicas

Osdla~oes mecjnicas(Explka~6e" veja pagina, L 4 e L 7) Medida da consranteda mula ceneral idades

Perfodo T

Constante da rno la C

Numero crruC.o (nk, de roracoes1]U;2n V - m -300 V ck~;~ m in- 1

C:onsrante cq de Urn eixoem 2 apoios com carga. em balance

" [ 1 - - - - - - - - _ - -~:j'3 E"ICq = - - - - r r -LU: flecha D'!) a longamenso da metaI memento de Ine rcla da se'q.io do etxoIn. : Mass a .. Adm ite ~e que a m as sa m {po , exemplc, it de um a co rre ia} e s t.i

concentrada em urn ponto no calculo do numero crjtlco de rotacees,Acrescenta-se urna parte da massa do elxo a rnassa m

eq : constante da mota para as oscuacoes de flexao


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m 50

Dinamica,Osc i l< l I ;:oes harmon icas

Pendulo[Explicacao, Vej. L 4)

Pendulo conica (centrlfuga)T 2"~ = 2" V I cgosa 5, min

m 51 tana r w2 L9 hm 52 w V f h = 7- m, e m

Pendulo f rs ico (campa'to)m 56 T W t" Ism 57 Jo Jg + mism 58 Js G l s ( ! ? - ; )

A formula maternatlca

m 53m 54m 55

Pendulo rnatematicc (simples)To da a rnassa do penduloesta ccncenrrada em um pontoT 2 " v - F 5 I m in'Y f I V f < < , 2 -r , m/sv e T "r km/hW K = e

2 N m , kg f emmgTt

S, minN m 8', kgf em 92N m 62, kgf em $2

permlte calcularmomenta de lnercia JS de urn corpo decentro de gravida de S se medir-nns 0 perlodoem 0 a distancia Is do centro de gravidadc.

'.\

"

".\'. \I , ' : \'. \': \~~:r\,, E F-----destc corpc oscttante

Pendulo de tort;ao

m 59 T 2 ~ v - f" '1Sfmbo lo s Vet MS

" m 60

Din'micaChoque

Se 2 corpos de massa m L e m]. e de velocldade u~ e lJ2 se encuntram, 0 impulsetotal p = m . V rnantern-se consrante durante 0 choque (as ....toctdades tornam-se, apes 0 cheque, d l e lI~}.

m 61 p nt, 'u" + "", ..1 > 2 ; 2As d ir e, o es do choque

As velocidades saoparalelas a normal Normal de chequeI de cheque pes sa 1"'1o, centres__--------+--~-~--~--__I de gravidade do,~hoq::nt~:/(quO e velocldades ccrpos

quaisquer

cheque reto e

Normal de choq uequalquer

central

Cheque obi (quo eexcentnco

Os generos de choque

m 62

Cheque elastico + Choque Iplasti


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n 1

n 2

n 3

5

HidraulicaConceitos gerais - Hldrostatica Nlj

Generalidade,A Hidraulica trata do comportamento dos Huidos, em geral. 05 fluidos sa o trata-do s aproximativamente, como lncompressrveis, ou sela, a v a ria c; :io d e s ua densl-dade, p o r consequsncla de ' Suavaria~ao de preesac, e desprez ivel.

GrandezasPres~; v.01Densidade p: v.D 1Viscosidade Din 'mica n: [Unid. Pa s = ~ )ms

A viscosidade dinam lea i caracrenstlca da substancia, para . I I : Q u al v al e:f(p, t)

Frequentemente pode-se desprezar a dependencia da pressao, passando .a ser:f( z } (Val ores numericos , v. Z 16 )

Viscasidade Cinemotica.v: (U.nid.: m ' I s)A vlscosidade ctnemanca e a rela~ao entre a visccsidade din.imica T / e a densi-dade p :

II = .!LI'Hidrostatica

D is tr ib ujlj ao d e p re ss 6e s n ur n f lu id o

P,p,

Cont . N2

n 6n 7

HidraulicaHidrost,hica

Entende-se per forca F da pres-sao , a fon;a que apenas 0 fluido- sem conslderar a pressao P o -exerce sobre a parede.

F' 9 q lis A cos a 9 q hs15lis + lis A m J m m

For~ da Pressao d e u rn F 1u id o so br e Superffcies Curv.as

n 8PH e igual .. forca da pres .... do ftuldc na proj~o da superfrcie 1,2 sobre (Iplano perpendicular, FH.O calculo se- faz segundo n6 + 01.

A torca da pressfo d. urn fluidosobre a superff'cie curva l.,2-podeser decornposta em FH e FvFv " igual a forca do peso dof luid o snbre a super ffc ie 1,2 {a} ,ou que nela poderia estar (b),com 0 volume V. Alinha de a~aodas forcas pass. pelo centro degravldade do volume.

Centro d. gravidade da superffcle APonto media da pressao = ponto de aplic.~ o da for~a FMomcnto de "inercia da superUcie A em r~I.a~o aoe ixo xM omento de i n e r c i . J . da s!Jperffde til ' ! t : n relit-c;ao it urn ~tXO parilleto ae ~i"0x, passande pelo centro de gl"ilvidade (Y . 110 e P 3) _Momenta centr ffug" dasuper fi tieA refe rldo . .. . e ixosx ey [v, 110)

hi 9 P V N, kN


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n 9

Hidraul:icaHidrostiitica

Se 0 fl ui do com a densidade p. for urn g,i's, ~'( >-qJ = -entao vale: ----~-----n 10 N, kNSendo P k a densidade do eorpo, remcs:

nIln 12n13

o c'orpo sobrenada }flutua no fluido mais pesadoafunda

Determinacao da densidade p para solidos e I(quidosSolido, com densicbde

maior I mellOl' Nos fluidcs, tendo-se Fi em de umsolido qualquer, determ Inadas numfluido com densidade Ph - conhecida,ternns: .que 0 fluido considerado

n 14n 15n 16

1~F--F- "1--mg

III : massa do corpo que flutua no fluidoF' : fcrca de compensa9iorH : for~a experimental de coro,pensa~o, 56 para 0 sol ido auxiliarPF: dens idade do t luido no qual se daa pesagem

n 17

n 1 B

n 19

n 20

n 21

HidraulicaHldrodinamica

Hidrodinimica(para flux", estacionarios)

Equa,ao da Continuidade (Lei da conserva. ,ao da massa]

Equa~ao da coatlnuidade:

Yazao em rnassa:

Vazio em volume;Ii = A w

Equa~ao de Bernoulli (Lei da conservacao da energla]

Fluxo sem at-ito:

p energ .a da presao r~ferida iT massa consideradaenerg la potencial referida amassa conslderadazenergia cinetlca refer-ida amassa C onsiderada

flu xo com atrlto:Jkg

W R \,2 ; Trabalho da forca de atrito no percurso entre 1 e 2


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n 22

n 23n 24n 25

n 26

n 27

I N sidniulicaHidrodinamicaP ote nc ia P d e u ma M a qu in a H id ra ulic a

p = ,;, w r ",1 rabalho tecnlcc referi do a m assa:

kW, W

motores: WI.,) > 0maqutnas operatrl zes: W t I, 2 < 0

Teorerna do ImpulsoPa ra um f1uido que passa por urn volume fixo "de controle", vale a equacaovetorial:

N, kNE " " sao as forcas que seencontr.am operando no volume de controle. Podemser:

. for~s de volume [p. ex. forca peso]forcas de pressaofcrcas de au-ito

W ; Velocidade de safda do flul do , do volume de controleW! Velocldade d e entrad a d o fluid o no vo lum e d e controle

T .e or em a d o M o me ntoSobre urn volume de controle flxo, de rota~ao) simetrico, exerce-se sobre 0fl uido qu e 0 arravessa, 0seguinte memento:

IIe w 1 , u sa o as cnmponentes perlfertcas da velocldade de entradaO t J . de safda no volume de controle.

r, sio 05 raios correspcndentes a w 2 e w .u

N m

n 28

n 30n 31n 32

n 33n 34n 35

n 36

n , e

Hidr6ulicaH idrodinamica

Trabalho do Atrito nO Fluxo dentro de urn TuboTrabalho do atr ito referldo Ia urna mass a donde

n 2'9 Perdas de press."

,

Avalia~ao do Coeficiente de Resistencia t e do Fatorde Forma a:tubo circular tubo nao circular

Re ReRe < 2320 : f luxo laminarRe > 2320 : fluxo turbulento

Fluxoluxola -, turbulento( * Jinar~ 64 ~= ' hR < 1 f(Re'd)

laminar turbulentol *)

a "" ~ em tubas retosd I Q = : h em tubos retcsa = 1 para perfis OU pecas de equfpamcntc

Determinaeo do Coeficiente 'PP ara ~

P a ra s e {o e s retangulares:

d : diometro livre do tubo I I comprhnento do tubodh = 4 A!U I : d iamelro hidraul icoA : se'lao reta do fluido em.movlmentoU : penrnetro umidoItl d aspereaa relatlvaIt : altura media de t o o as as asperezas*) ~ ~tornado do dl.agraITUZ 15

(v.l16)


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n 39n 4 0

n 41n 4 2n 4 3n 44

n 45

n 4 6n 47

n 48n 4 9

HidraulicaHidrodinarnica

Escoamento dos I(quidosOriffclo no fundo do reserva torio

P~uerlO oriftcio later.alu = ' P - v z g - Hs = 2 " V H " " hIf = '1'': A J / 2 9 HF = I' V u

Grande orif{cio lateral

Compressao no nfvei livreI> = ' P V 2 (gH + P v u jIf = ' P . :AV 2{9S + .& )I'

Compressio n o orific:io= ' P r ~ ; ; -= rp t: A V 2 P I'U ' p . ~ - - - ]~ : . _ - = = = - - y- - _ -__=_--:_- A--_-_uvelccidade de escoamentosobeepressao em relacao a pressau externacoeficiente de veloc idade (para a .agua o{ ! = 0,97)ccetlciente de contracao (e = 0 ,62 o rlftcios de arest as vtvas)coeficiente de contra~ao (e = 0,97 oriffcios de arestas arredondadas)fO"" d. reacao N, kgfgaslo de volume ",31 s , m 3/hlargur.J do orifkio m em

" :; ;rp ;e ;F ;If :b :

mis, ~m/h

o 1

TerrnodinamicaVariaveis de estado

As var iave is de estadc termlcas sao: a pressao p, a tempera tura tea densidade PIou 0 volume especfflcc u,Press~o p (Unid.: N/m' = Pa, bar)A pressae e a relacao 'entre a forca Fe a supeefrcle A, sobre a qual atua:

F'Ap

A pressao absolute pode ser definida como a atuacao total dos choques dasmolecu las contra l ima parede. A pressao medida com urn manornetro seramedida como a d lferenca de pressao (j,p em rela;;:ao iii do ambiente, P , n ' tomsobrepressac, temos Ap > 0 e com depressao, Il.p


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Termodinamica

o 8

Aquecimento de s6lidos e IfquidosAquecimento de S6 li dos e L{qui dos

Quantidade de Calor Q (Unid. J)o calor e a energla que passa pela fronteira entre slctemas a diferentes tempera-turas, quando estes sistemas es tao em contaro por meio de paredes dlaterrnicas.

Quanti dade de ca lo r e$peci fi c. q (Unid. jlkg)E a relacac da quantidade de calor Q pela massa m:

q

Calor Especifieo c [ Unid. )I(kg K) Jo calor especifico c d;i a quantidade de calor Q que se deve adlclonar ou retirarde urna massa 111, para varlar sua temperatura de urn i3t dado:

_Q_m . LIt = --'LL I t9 c

o calor especfflco depende da temperatura. Valores nurnericos: v. Z 5 a Z 9.Ca lo r l at en te [specif ieo IUnid. )Ikg) Valores v. Z 12

Os cai~re5 latentes sao aqueles transferidos sern variacao de temperatura, de urnestado de' agregacao da materia para outro. Os calores latentes sao divididos em:

010 !f fu~o urn corpo solido : i t . tempera-" tura de fusao, em lfquidc-c-e~ urn corpo solido a tempera-

o 11 ld ~ Vaporiza(fao E o calor lura de evaporaeao [depen- a tem-W J necessarlc dendo da pressao}, em va-.2 por saeerado pera--~ para turatrans-. , . . J no ponte triplo, urn corpo cons-forrnarQ solido it temperatura de tante. . sublima",o [dependendo d.u

012 ts Sublim.~o pressao) diretamente em ~a-por saturado

TermodinamicaAquecimento de s6lidos e liquidos

Dilata~;io de Solido,Urn corpo solido varia suas dirnensoes dlretamente com a temperatura. Cha-mando a 0 "coeficienre de dilatac;:io linear", dependente da temperatura(valores numerfcos, v. Z 11), temos:

o 13014

Ccmprlmento: I, I, [ 1 + a ( t , - t , ) ] E?~l I, - I, II Cl ( I, t,)Superffcle: [1 + 20 (t, - t,)]

A,A , " A,,---------~ ..,

Ll A A, - A, = A, 2a( I,-t j) I A, 1 _ _ _ :015016o 17e 18

Volume: 1 ', [1 +3a(t, - t , ) ]V , - V , ~ V , 3a (t, - t,)

Dilata~;io de UquidosChamando de!! 0 "coeffciente de SJ'ilatac;ao volumetnca", dependente da tem-peratura [valores nurnericos, v. Z 11), ternos:

019020 V, - V, V IP( t2-t,)

Fle.,dio Termica AUrna flexao terrnica se d a em fltas bimetalicas. A deformacao se d a para 0 ladodo meta! com menor coeflclente de dilatat;ao. Chamando a "flexao termicaespecffica" de q b (val o res nurneri cos pa ra ctbJ na DIN 1715). remos seu valordado par:

Q 21 ab L ' L I t ~-L=-1 Is - ; - - - - - - - - k fI, : comprimento 2, t = ti A, : area ar = t.!,: co mprtm enm a t = t" J A, : ar ea a t = t"}.V, volume a t == tl t, : t empera tu ra ante s do aquec imentoV, volume a t ~ t'l t, : temperatura depols do aqueci mento5 espessura LIt: diferen,a d. temperatura


55/96

022

023

024

02'5026027

FermodinamicaVariacoes de estado para gases e vapores

t s. "asao de Estado Termi,o para Gases Ideaiso estadc de um g a s ou vapor e determinado per duas varhiveis de estadc, demodo que a terceira possa ser calculada pelas equacdes de estade termlco. Paragases ideals, usa-se R como ccnstante universal , e para um _ g a s real. usam-seconstantes espectais [v. Z 12) :

p V = m R T OU ainda = RT OUReferindo-se a consrante dos gases a quantidade de substantia, entio temos aconstante universal dos gases R", = 8314,3 I/(kmol OK) :

p Vm = RmTonde, sendo M a rnassa molar (Y o Z 12):

Rm = MREstado Termico para Gases c Vapores Nao-ideaiso estado termlco de gases e vapores reels e dildo por equ:jJt; ioes especlals audlagramas.

Varia9ao de Est.doAs variacdes de estado sa O determinadas pela interacao do sistema com 0 ernbi-ent e, Estas in teracoes sao cal cuiadas pela 1'.1.e 2~ leis da terrnodinamica:

1? lei, para sistemas:fechad os abertos 2~lei:para todos

OS sistemasq " , . ~ J ~s

Nesras formulas, valem as corwcncoesde sinais 30 lado.

I t . : entalpia especrfica . Is : entropia esp.ec'ficilu . energia interna especfflcaW I 2 : t rab alho espc c i fi co de v aria< rao v olu me tric a (v . 0 7 )WI',,2; trebalhorecnicc especfflco (v. 0 7 1

a 31

Termodimlmica .o,aria.;6es de estado para gases e vapores028

V.ria~o.. d. Estado para G.. es IdeaisAs rel .~es desenvotvidas a par ti r das formulas de 0 25 a 0 27 estao na Tabel .da pogo06. Explic.~6es para esta tabela:Cada var iac; ao se da segundo a forma

pun " const.Na 1~coluna, sao dados os expoentes politropicos 'J.

Cpm e cvm sao os valores especjficos medlos, respecrlvarnente: sob p(CS5aOccnst. e 50b volume const., entre as temperaturas tl e t'l. Valem as rei.a"1oes(V.lores par> 'pm p'g. Z 13):

II,~ cpm a t,029030 r ' I I ,vm = Cvm ~ cpm - RI, I ,

I . ' 1 1 ' ~ l t '. = 1


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Termodinamica 1 06ar iacoes de estado de gases idea i s..~ w J~J .~ ~ ~, ~;~" ~;;" .~~ - 0-- ; ; ;"~ & .. "0-~> L J , > iL J >E , L J ~e c "-:l' , gQ0 ao. 0-~ ~ ? -

'" 0. _ ; - e . : - ,

~~ ~ ~ _ , , N S~ 6 ~-" 0 ~(~ ~ n. ~ E ' ,:J '"0 ~ c, ~ c0 0 " ~uc---, ~Q k J ~ ~ r ~." ~ ~ ,_N ----.N: ~h h Q ' 1 1 i8 '---, , - - - - r - - -- , , , ,: g , 3 " : : : : a '---"'--' ~ '---'=----'3 0.;- 0.;- r;-" ~ ~3 ~ ,, ~ ~ ~ ~ ,~> :iE _ - " c. ~I~ ~l~.>~ 3'0- Il "io ~ z l ~ . r: E " '2i - = " ~~ iG : 0 : 1 . : ~ - - - - - - - - - -D 0 :)~ ~ ~ ~> _Q ,,_ ~ , , ,." '------, NN " co , :::~- 0 ...:.!: rl rl ~~,~" h \;.. ~ r;- ~ ~-~ Q.~ E'C N_ c c ~ ~ ~I~~~ " " ~I~ ~I~" "" " "

~N k ) ( j k -I ~ 0 1 7 - / 7c '" hl~ ,,1~ 5 1 " 5j;4:'::I~ c: e c~~ $~~~ 0 " " "'C ~~~ ~ ~ - - - - - -~~ 0 : 1 < > : o : J < > : " " " " " "'" u , ; ' 1 " O : I Q ; 0 : 1 0 : ,;'15 6 : 1 < > : o : l Q ; ; 1 "~ ~ ~ ~ ~. . . . e- +' e o +' '" +' 0 . . . . -l> a. i 4.> 0 of> '" of> '" U '" ~ on . . . ~ '" -e -~.g~E~ ~ c 0 ~ c ~ E c .s u c ~ u :; c ~; 0 g ~ ~ 0 0 '0. 0 '0. " 0: ~ ~ ~ : ; , ~ o ~ 00 ] 0_ '0 0 '" ~;u" " j ~>~3wl- " " " " " " ~ 5- II" s: Q


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- - -~---

046

Pi = " " . . p

TermodinarnicaMi s tu ra s g a so s a s

Massa m de uma Mi stu ra de Componen te s m , tn1J' .

Fra .; ao de massa ti de uma Mis tu ra

~ i:n047 g i = e .E~i = 1m 1=1Quantidade de Substantia 1;1 de uma Mis tu rade Componenres 1~.I,Ill} ..

j""f'I048 n = n, + 1 ' 1 2 + ... + 1'In = 2::1'1;j = ,

Fr.~;;o da Quantldade de Substancia '"ide uma Mistur.~ j= n049 " " . = e :Evri = 1n 1= 1

Massa Molar Aparente M de uma Mi st uraPara a massa molar, ternos:

050 Mi mi ..!!.._= e II =1 '1 n

051

052

053

ondeM e a massa molar "aparente" da mls tura e que e calculada assim:i=nII = ~ (lIi',#;) ou entao _ _ 1 _ _i.I II

Corwercic da Fra.;ao de Massa em Fra,io deQuantidade de Substancia

Pressao p da Mistura e Pressao Partial P i das ComponentesI~n

p = L.: Pi;. , onde

o

Cont. v, 09

!

I

\\

054

055

056

057

058

059

060

\8;!/

TermodinamicaMi st ur as g a so s as

Continuacao de 0 8

Fra5ao Volumetrica Ti de uma MisturaVi i=1lr V = 'P i e x:-,1=1

A f r a ~ a o voturnetrlca V( e 0 volume ocupado per urn cornponente gasoso i\t ernpc ra tu r a T e p re ssao to ta l p. Para gases ideals:

rtiRmTVi e vp pVariaveis de Estado Cal6ricas de uma Mistura

i= n:E~( ~j u;) I1=1

hi~f1:E (Si' hi);= I -u

Per estas formulas, pode - se avaliar a temperatura da metura, no s gases e vapc-res reais, a partir de abaces, e para gases ideais:

fechado t = Cl'rrll t, I T L 1+C vm z t1m 2+ - +C vm tnmnCvm'lnsistemaadlaba-f-----~+--~-----~---------tlcn t = - -C P m 1 t1 m , - + cpm t21 71 .2+ + C Pm n tn ! l in

CPmm.aberro

onde os calores especrttcos cia rnistura SaD assim dererrninados:

- R


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/1010 / Terrnodinamicaerrnodinamica Onransrnissao de calorTransrnissso de calorTrocadores de CalorOs trocadores de calor ser v em para trans feri r calo r de um flui do para outro .Para 0 fluxo calorffico, ternos:

Com dif erenca de temperatura entre dois pontes, temos urn fluxo de calor 1 '0ponte de tempera tura mais e tevada para 0 ponto de temperatura inferior. Distin-guimos as seguintes rnodafidades de transmissao de calor:

068Condu~.oo 61 em paredes planas: Q A .4 tW I ~ tW 2.s

Q ,\ Am tWl - tW2S'da _ a,dm 1 n ( ~ ~ )

Onde lltm e a diferenca med ia logarftrnica de temperatura. Para dispositivosde f luxos paratelos e em oposkao. ternos:

}!lIma/Of! I tmenorl 1 n ~l..l menD,./.

em paredes tubulares: if !A area media logarftrnlca e

062 (.1 t m otor -69pareifupls03

-- pareda tubular I,L : comprimento

do tubeAm "" If. dm L ; donde063

Transmtssao e Convec'iaoEntende-se par isto 0 t ransporte de cater de urn f luido para uma parede sol ida,OU vice-versa, As moleculas do fluxo fluldo conduzern 0 calor, estabelecendo-sea conveccao livre, ou forcada.

064 A affl.ixos paraielos fluxw opostosRildia~allEste t ranspor te de calor noloesta vinculado a massa (p. ex. , radiacao de calordo Sol a traves do espaco]. 0 calculo se faz segundo 0 64.

No casu dos f luxes opostos , .8tmai 'O r au entao .6.tmenorpodem estar de qualquerlado do rrocador.Nomenclatura das Formulas d a p o go 0 12 :A ,A ,dDC,C.070 PI'dt

Trans.missaoE a corobinacao d. var ios processes lsolados t,de transporte de calor :

065 !< . A (t, _ t,)Para 0 coef iciente de transmlssac de calor ,remos [vajores aproxlmados Z 13):

d I .L -_.L + 8 ( _ s ) +_1pare e p ana: L-if. u1 i=, A i at too :ILl7)n:7)W .Af3f3 *

0661 1 i=" ( s )-=--+2;--kA " ,A , i = ' , . lAm 1+ ---"z A,'067 parede tubular:

A Condutividade terrnica [valores: Z5.Z 10)Ii Coeflclente de transmissao de calor [calculo, V. 0 12)


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071072073

Termodlnamica I 012Transrnissao de calorcalcufo do Coeficiente Termfco 11

N. Conveccao livre (segundo Gri~ulJ)4I Nu = O,55VOr PI' ,quando170010

Gr = 9 Ii!).t H',,2Tube Nu = O,41tGrPr .quando Gr Pr>10horizon- Nul.

(Z =rs: 9 Ii!).t Dltal Gr = ]/,Os vaiores da substsncia devem ser referidos a temperatura: te= tW+t2Nos gases, ternos, para 0ceefjciente. de d;tatat;:ao: PG~.= liT""

Na Conveccac For!i!!da em Tubos (se~undo Hausen)Nu.).

(Z

( =r: 0,066, (R."~) k raminar Nu. = 3 65.. _!2Re ----t

as

-,_. ------


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.p 2

* )I ev an do e m ccnstderacac 0 peso proprio(v alo r e s Z 1 8)(v alo r e s Z 1 8)

Re s is te nc ia do s ma te ria isT ra cao e comp re ss io

Tra 1 fa o e Compres.sao

Tensao de t ra S ;: 3o o u de comp r e: ss a o _ O . . . :z :_ . . .: .. _ _ _ O : ._ d ::6, ;;:; Ozadm

f'A3

p 4Modulo de el.,ticid.de E

6E

p 5C oe fiG ie nte d e a lo ng a m en to ~

1 f;E (5

Yarias:aode comprimento M6 .11 = 1aa6 I, - 10

1013/14 J

p 7Alongamento au encurtamento de ruptura E

C - L I Z - a 6- ~-Alon~mento e5pedfko de r u pt ur a 6

p 8 6 ,11100 %--10--(6, para 10

~ 100 0 .5 d, 6 'Q para to = lad)

a 6100 %

V ig a d e ig ual resi_stencia * JA seccao necessaria A a" uma distant;iaqualquer x se calcula pela rela.~ao:

p 9 A__1_!L x_f'_ e Odadm

6d,dm

6 z adrn ~ tensao admissfvet de tra 'taoOdadm: tensac admissfvei de ccmpressaoe 2,718281 ...

r e t i A~.

Re s is te nc ia do s materialsFlexao

p 10Momen to r es is te n te Wb

W b = .L:eJ ellsao d e H e xa o Gb_

Ob ~ ;;I -11 6b admse (eixo neut ro v elxo de slmetrla)

P 12 . ! ! J , _W bMom en ta f le to r m~ximo M b

p 1 .3 Xo = r 1M o me nto s d e in t' ir cla axlais e mome nt os r es is te nt e5 , t en so es OU contral(oesde flexao maxima --

Memento Momenta Tensao de Sec~a.{1de lnercia reslstente flexao max.

W o Obma< A

p 14 b h3 b h' 6 Xb ~2 -6- "/Jti2I -p 15 Ir d4 " d' d' ~ ~4 32 10 dp 16 ~(D'-d') " D'- d4 _ 10 Xb D ~94 32-D- -~P 17 sIT S4 5 V 3 S3 24~ Hb ~44 -7-2- 5 sP 18 I[ 03 b "02 b -. *4 1C 0 betxo de : . imer r i a A18= I+Aa'~

1 : j moment~ d. inercla de SUpe,f{~i'}-' -(v. , 11) F~18: .em relacac ao elxc . ------lv.J.l1)(] : dist5nda entre 0 eixo neutro e a borda '.

Teorema de Stei ne rp 19 M om ento d e lnercia d e a re a

manual de fórmulas técnicas[1]

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