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MAE0317 - Planejamento e Pesquisa I

DIMENSIONAMENTO DE AMOSTRAS - ANOVA - 1 ou MAISFATORES

18 de maio de 2014

Denise A. Botter MAE0317 18 de maio de 2014 1 / 28

INTRODUCAO

ImportanciaProtecao contra erros dos tipos I e II;Estimativas de interesse devem ser precisas.

Situacoes de uso: estudos observacionais e experimentais.

FinalidadeAmostras devem ser grandes o suficiente para que diferencasimportantes (em termos praticos) sejam detectadas com altaprobabilidade;Amostras nao devem ser exageradamente grandes de modo que o custopara obte-las seja alto e diferencas de pouca importancia pratica sejamestatisticamente significantes com alta probabilidade.

SuposicoesCaso univariado;Vamos considerar o mesmo tamanho de amostra para cada tratamento.


INTRODUCAO

ConsequenciasOs tratamentos tem a mesma importancia;Quando o interesse e comparar todas as medias, duas a duas, aprecisao das comparacoes e maximizada;Certos desvios das suposicoes associadas ao modelo de ANOVA causammenos problemas.

Procedimento: controle das probabilidades dos erros de tipo I e detipo II.

Planos utilizados: completamente casualizados.


PODER DO TESTE F - PLANOS COM 1 FATOR FIXO

Poder: probabilidade de rejeitar a hipotese nula quando ela e falsa.

Poder do teste F :1− β = P [F ∗ > F (1− α; r − 1, n− r)| φ, ]

ondeβ: probabilidade do erro tipo II;α: probabilidade do erro tipo I;r: numero de nıveis do fator;n: tamanho total da amostra;φ: parametro de nao-centralidade (medida do quanto as mediaspopulacionais µi da variavel resposta sob os tratamentos sao diferentes).Temos

φ =1

σ

√∑ni (µi − µ)2

re

µ =

∑ni µin

.



Quando n1 = . . . = nr = m temos n = mr,

φ =1

σ

√m

∑(µi − µ)2

r

e

µ =

∑µir

.

A Tabela B.11 de Neter et al. (1996) fornece valores de 1− β. Para umfator fixo, temos ν1 = r − 1 e ν2 = r(m− 1). As entradas da tabela saoν1, ν2, α e φ.

Comentarios

Para r, ni e α fixos, varias combinacoes dos µi conduzem ao mesmovalor de φ e, consequentemente, ao mesmo valor de 1− β.



Quanto maior φ, maior 1− β e menor β, mantido α fixo. Quantomenor α, menor 1− β e maior β, mantido φ fixo. Observar que esta euma justificativa para o uso de α = 0, 05 ou 0,10 ao inves de 0,01.

Valores de 1− β para ν1 = 1 nao estao reproduzidos na Tabela B.11,pois este caso corresponde a comparacao de duas mediaspopulacionais. Neste caso, o teste F corresponde ao teste t bilateral evalores de 1− β sao obtidos da Tabela B.5 de Neter et al. (1996),utilizando-se o parametro de nao-centralidade

δ =|µ1 − µ2|

σ√

1n1

+ 1n2

e graus de liberdade iguais a n1 + n2 − 2.


Dimensionamento da amostra - Controle de α e β

Tabela B.11: tentativa e erro

Tabela B.12

O tamanho da amostra para cada tratamento e o mesmo;

Todos os fatores sao fixos.

Planos com um fator

∆: menor intervalo entre as medias da variavel resposta sob os nıveis dofator para o qual e importante detectar diferencas entre os µi com grandeprobabilidade.

Entradas da Tabela B.12∆/σ (o valor de ∆ e expresso em multiplos do desvio padrao), r, α e1− β.



Observacao: O valor de σ pode ser estimado a partir de um experimentopiloto (σ =

√QMR, supondo que o modelo e homocedastico). Uma

estimativa de σ pode tambem ser obtida a partir de alguma informacaosobre a amplitude dos valores da variavel resposta. Temos queσ = amplitude/6.

Comentarios

1. A Tabela B.12 baseia-se em φ (parametro de nao-centralidade).Exemplo:

Caso µ1 µ2 µ3 µ4∑

(µi − µ)2

1 24 27 25 26 5,002 25 25 26 23 4,753 25 25 25 28 6,754 25 25 26,5 23,5 4,50

µ = 25



∑(µi − µ)2 varia em cada caso, ou seja, φ varia em cada caso.∑(µi − µ)2 assume o menor valor no Caso 4.

E possıvel mostrar que, fixado ∆,∑

(µi − µ)2 e minimizada quando todosos µi, exceto dois deles, sao iguais a µ e estes dois sao igualmenteespacados de µ. Neste caso,

min∑

(µi − µ)2 = (∆/2)2 + (−∆/2)2 + 0 + . . .+ 0 = ∆2/2. (1)

Embora 1− β varie com φ, o uso de (1) na construcao da Tabela B.12assegura que o poder e pelo menos 1− β para qualquer combinacao dosµi, fixado ∆ (lembrar que quanto maior φ maior e 1− β).



2. Consideremos r = 3, α = 0, 05 e β = 0, 10. Da Tabela B.12 temos

∆/σ m

1,0 271,5 132,0 82,5 6

Quanto menor for o valor de ∆/σ maior e sua influencia sobre m.



3. Consideremos r = 5, α = 0, 05, β = 0, 10 e ∆ = 3. Da Tabela B.12temos

σ ∆/σ m

1 3,0 52 1,5 103 1,0 32

Quanto maior σ maior m.

4. O valor de m pode ser obtido no pacote MINITAB, por exemplo.

5. Convem publicar tabelas com varios pares (σ,m) para cada valor de ∆.


Aplicacao

Consulta realizada no Centro de Estatıstica Aplicada - CEAdo IME-USP em 17/08/2004

Tıtulo: Potencial antioxidante e caracterısticas fısico-quımicas do tomateorganico em comparacao ao convencional.

Instituicao: Faculdade de Saude Publica - USP

Objetivo: Avaliar a caracterıstica antioxidante de tomates organicos econvencionais preparados de 5 maneiras distintas. Para essa avaliacaoserao utilizados tres solventes diferentes: etereo, aquoso e alcoolico.


Aplicacao

Descricao do Estudo: Serao coletados tomates cultivados de formaconvencional e de forma organica. As unidades amostrais nas quais seraomedidas a atividade antioxidante serao obtidas a partir de lotes de 20 kgde tomates. A partir de cada lote sao preparados os 5 produtos emquestao e cada um deles e diluıdo nos solventes aquoso, etereo e alcoolicopara a coleta das informacoes sobre a atividade antioxidante. Ao menosdois lotes de cada tipo de cultivo devem ser analisados, visto que com umnumero menor nao haveria variabilidade suficiente para serem realizadas ascomparacoes desejadas.

Deseja-se avaliar os efeitos dos seguintes fatores na atividade antioxidante:1. Tipo de Cultivo (TC): 2 nıveis;2. Produtos (P): 5 nıveis;3. Tipos de solventes (TS): 3 nıveis.


Aplicacao

Dimensionamento AmostralHa interesse na obtencao do numero de lotes necessarios para que seconsiga detectar, com um nıvel de significancia α e um poder 1− β, umadiferenca ∆ = 10 (% - unidade de medida da atividade antioxidante) entreas atividades antioxidantes medias do mesmo produto obtido de tomatesdo mesmo tipo de cultivo e submetidos a solventes diferentes.

m: numero de lotes para cada tipo de cultivo

r: numero de nıveis do fator TS (r = 3)

σ: estimativa do desvio padrao da atividade antioxidante

∆: diferenca que se espera encontrar entre as medias da atividadeantioxidante sob dois dos solventes (∆ = 10)

α: nıvel de significancia global (α = 0, 05)


Aplicacao

Tabela 2. Valores de m

β α σ ∆ m

0,05 0,05 5% 10% 90,1 0,05 5% 10% 8

0,05 0,05 10% 10% 320,1 0,05 10% 10% 27


Planos com dois fatores

Fatores: C (c nıveis) e D (d nıveis)Caso 1. Escolher o fator mais importante e dimensionar a amostrasupondo que temos um plano com um fator. Vamos supor que o fator Cseja o mais importante. O tamanho da amostra m obtido pela TabelaB.12 e o numero de unidades experimentais para cada nıvel de C. Assim, otamanho da amostra para cada tratamento e dado por m/d (ver tabelaabaixo).

D/C C1 C2 . . . Cc

D1 m/d m/d . . . m/dD2 m/d m/d . . . m/d

......

......

...Dd m/d m/d . . . m/d

m m . . . m


Planos com tres fatores

O uso da Tabela B.12 neste caso e apropriado desde que c(m− 1) > 20.

Caso 2. Se nao sabemos qual o fator mais importante, dimensionamos onumero de unidades experimentais para cada tratamento usando primeiroo fator C e depois o fator D, respeitando que c(m− 1) > 20 ed(m− 1) > 20. Se os tamanhos das amostras diferem muito, a escolha dovalor final deve ser discutido com o pesquisador.

Tres Fatores: C, D e F repetir o procedimento como para dois fatores.No Caso 1, se o fator C e o mais importante, temos a restricao d(m− 1);no Caso 2, temos as restricoes c(m− 1) > 20 (para o fator C),d(m− 1) > 20 (para o fator D) e f(m− 1) para o fator F.


Aplicacao 1 - Consulta CEA em 17/08/2004

Tıtulo: Potencial antioxidante e caracterısticas fısico-quımicas do tomateorganico em comparacao ao convencional.

Instituicao: Faculdade de Saude Publica - USP

Objetivo: Avaliar a caracterıstica antioxidante de tomates organicos econvencionais preparados de 5 maneiras distintas. Para essa avaliacaoserao utilizados tres solventes diferentes: etereo, aquoso e alcoolico.


Aplicacao 1

Descricao do Estudo: Serao coletados tomates cultivados de formaconvencional e de forma organica. As unidades amostrais nas quais seraomedidas a atividade antioxidante serao obtidas a partir de lotes de 20 kgde tomates. A partir de cada lote sao preparados os 5 produtos emquestao e cada um deles e diluıdo nos solventes aquoso, etereo e alcoolicopara a coleta das informacoes sobre a atividade antioxidante. Ao menosdois lotes de cada tipo de cultivo devem ser analisados, visto que com umnumero menor nao haveria variabilidade suficiente para serem realizadas ascomparacoes desejadas.

Deseja-se avaliar os efeitos dos seguintes fatores na atividade antioxidante:1. Tipo de Cultivo (TC): 2 nıveis;2. Produtos (P): 5 nıveis;3. Tipos de solventes (TS): 3 nıveis.


Aplicacao 1

Dimensionamento AmostralHa interesse na obtencao do numero de lotes necessarios para que seconsiga detectar, com um nıvel de significancia α e um poder 1− β, umadiferenca ∆ = 10 (% - unidade de medida da atividade antioxidante) entreas atividades antioxidantes medias do mesmo produto obtido de tomatesdo mesmo tipo de cultivo e submetidos a solventes diferentes.

m: numero de lotes para cada tipo de cultivo

a: numero de nıveis do fator TS (a = 3)

σ: estimativa do desvio padrao da atividade antioxidante

∆: diferenca que se espera encontrar entre as medias da atividadeantioxidante sob dois dos solventes (∆ = 10)

α: nıvel de significancia global (α = 0, 05)


Aplicacao 1


β α σ ∆ m

0,05 0,05 5% 10% 90,1 0,05 5% 10% 8

0,05 0,05 10% 10% 320,1 0,05 10% 10% 27



Tıtulo: Estudo in vitro da integridade da membrana plaquetaria humanaquando submetida a criopreservacao e descongelamento.

Instituicao: Faculdade de Medicina - USP

Introducao.Pacientes submetidos a transfusao de plaquetas desenvolvem anticorposque diminuem a vida media das plaquetas transfundidas.

Alternativa: Criopreservacao de concentrados de plaquetas do proprioindivıduo. No entanto, as plaquetas sofrem dano celular durante acriopreservacao, apresentando uma reducao funcional. Assim, e importantedesenvolver tecnicas de criopreservacao que mantenham a viabilidade,atividade e capacidade funcional das plaquetas pos-descongelamento.


Aplicacao 2

Objetivo: comparar solucoes criopreservantes a partir da avaliacaolaboratorial dos concentrados plaquetarios criopreservados e descongelados.

Descricao do Estudo.

Foram utilizadas 10 alıquotas de concentrado plaquetario de cadapaciente, com 20 ml cada. Uma das alıquotas (Alıquota 10) nao foicriopreservada (controle). As demais 9 alıquotas foram criopreservadascada uma em uma de 9 solucoes obtidas combinando tres nıveis de umagente crioprotetor (DMSO) com tres estabilizadores de citoesqueleto.Temos entao 9 tratamentos.

Todas as alıquotas criopreservadas foram descongeladas e analisadas 3meses apos o congelamento, a fim de se avaliar a acao das solucoesutilizadas sobre a integridade da membrana plaquetaria (variaveis resposta:citometria de fluxo (%), teste de agregacao plaquetaria (%), etc.).

Para a analise dos dados foi indicado um modelo de medidas repetidas.


Aplicacao 2

Dimensionamento Amostral

Para o dimensionamento da amostra considerou-se um fator fixo com 10nıveis (9 solucoes criopreservantes mais o controle).

Como nao havia uma amostra piloto, foi considerado o desvio padrao davariavel teste de agregacao plaquetaria (maior desvio padrao). Segundo aliteratura ele e igual a 24%.

Fixados α = 0, 05 e 1− β = 0, 95, foram obtidos os tamanhos de amostrasapresentados na Tabela 3.


Aplicacao 2


∆ ∆/σ Numero de Pacientes

24 1,00 4830 1,25 3136 1,50 2242 1,75 1748 2,00 1360 2,50 972 3,00 7



Tıtulo: Influencia de algumas substancias associadas a escovacao dentalna integridade superficial de diferentes materiais indicados para restaurarlesoes cervicais nao-cariosas.

Instituicao: Faculdade de Odontologia - USP

Objetivo: Verificar de que maneira as bebidas acidas ou alcoolicasassociadas a escovacao dental afetam diferentes tipos de materiaisrestauradores, com o intuito de identificar o mais resistente.


Estudo Piloto: Foram utilizados dois materiais (Material 1 e 2). Corposde prova foram preparados com os materiais e armazenados em aguadeionizada por 7 dias a 37oC. Em seguida, foram avaliados quanto arugosidade (µm), peso (g) e perfil (mm). Em seguida, as amostras foramimersas nas solucoes coca-cola, whisky, suco de limao e agua deionizadapor 60 dias a 37oC. Apos o perıodo de imersao as tres variaveis respostaforam avaliadas novamente. Temos dois fatores cruzados (8 tratamentos)e um fator com dois nıveis de medidas repetidas.


Aplicacao 3

Dimensionamento Amostral

A maior variabilidade encontrada foi para a diferenca entre os valores davariavel rugosidade quando as amostras foram construıdas com o Material1 e imersas no whisky (desvio padrao igual a 0,581 µm).

Foram fixados ∆ = 1 µm (diferenca esperada entre as medias darugosidade antes e depois do tratamento ser aplicado ), α = 0, 05 eβ = 0, 05.

Como dimensionar a amostra?


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