68

3CAPÍTULO Geometria

analítica: ponto e reta

Você já tem bastante familiaridade com o plano cartesiano. Nele, os pontos são localizados por meio de dois eixos perpendiculares, e cada ponto fica perfeitamente determinado por sua posição. Imagine que você queira indicar onde deve ser colocado um prego em uma parede — basta dizer a altura do chão ao prego e a distância dele a uma parede lateral. Fazendo isso, você estará aplicando exatamente o princípio de representação dos pontos no plano cartesiano — a cada posição no plano fica associado um ponto.

Foi René Descartes (1596-1650), filósofo famoso por sua frase: “Penso, logo existo”, que, percebendo essa correspondência, esta-beleceu relações entre curvas no plano e equações algébricas com duas incógnitas. As propriedades geométricas das curvas foram, assim, “traduzidas” por meio de equações, e os resultados da Ál-gebra foram interpretados geometricamente. E nós ganhamos com isso, pois muitas vezes temos mais facilidade com a Álgebra ou com a Geome tria graças a essa compreensão, e a passagem de uma representação (algébrica ou geométrica) para outra torna claros os conceitos matemáticos. Descartes estava, acima de tudo, em-penhado em descobrir uma fórmula que disciplinasse o raciocínio e unificasse o conhecimento.

Outro estudioso da Matemática que contribuiu para o desen-volvimento da Geometria analítica foi o francês Pierre de Fermat (1601-1665). Assim como Descartes, Fer mat associou equações a curvas e superfícies.

Embora seja comum a ideia de que a Geometria analítica é uma redução da Geo metria à Álgebra, os escritos de Descartes mostram que sua preocupação era a construção geométrica e a possibilidade de encontrar um correspondente geométrico para as operações algébricas. Já com relação a Fermat, o uso de coordenadas surge da aplicação da Álgebra da Renascença a problemas geométricos da An tiguidade. Isso mostra que os caminhos percorridos por eles foram independentes. O século XVII foi, assim, marcado por um grande avanço na Matemá-tica, ao ser esta desligada da simples aplicação às necessidades econô-micas e tecnológicas.

Começaremos o estudo da Geo me tria analítica, neste capítulo, por seus elementos primitivos, o ponto e a reta, observando como o recurso de processos algébricos imprime uma precisão nas medidas e nos cálcu-los não encontrada na Geometria e como, por outro lado, a representação geométrica torna concretas as expressões algébricas, na maioria das vezes tão abstratas.

Re

pro

du

çã

o/M

use

u d

o L

ou

vre

, P

ari

s, Fra

nça

René Descartes

Rep

rod

ução

/Arq

uiv

o d

a e

dit

ora

Pierre de Fermat

69Capítulo 3 • Geometria analítica: ponto e reta

1 Introdução à Geometria analíticaA Geometria analítica está fundamentada na ideia de representar os pontos da reta por números reais

e os pontos do plano por pares ordenados de números reais. Assim, as linhas no plano (reta, circunferência, elipse, etc.) são descritas por meio de equações. Com isso, é possível tratar algebricamente muitas questões geométricas, como também interpretar de forma geométrica algumas situações algébricas.

Essa integração entre Geometria e Álgebra foi responsável por grandes progressos na Matemática e nas outras ciências em geral.

Em Geometria analítica estudaremos várias figuras (incluindo as que não representam funções) e suas propriedades geométricas por meio de processos algébricos (equações, inequações, sistemas, etc.). Para isso, algumas ideias estudadas nos capítulos 2 (Funções) e 3 (Função afim e função modular) do volume 1 serão retomadas e aprofundadas e outras serão introduzidas. Por exemplo:

Uma função f: ® → ®, definida por f(x) � ax � b (ou y � ax � b), com a � ® e b � ®, tem como gráfico uma reta não paralela ao eixo y.

Pela equação é possível estudar propriedades dessa reta, assim como, a partir de uma propriedade da reta, pode-se identificar uma equação. Veja exemplos:

a) A reta de equação y � 3x � 7 é paralela à reta de equação y � 3x � 8.

b) Se a reta passa pela origem O(0, 0), então sua equação é da forma y � ax.

« Constate que essas afirmações são verdadeiras.

2 Sistema cartesiano ortogonalComo vimos no capítulo 3 do volume 1, existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de um

plano e o conjunto dos pares ordenados de números reais, isto é, a cada ponto do plano corresponde um único par ordenado (x, y), e a cada par ordenado (x, y) está associado um único ponto do plano. Essa relação biunívo-ca não é única, depende do sistema de eixos ortogonais adotado.

Para estabelecer uma dessas correspondências biunívocas são usados dois eixos ortogonais (eixo x e eixo y) que formam o sistema cartesiano ortogonal. A intersecção dos eixos x e y é o ponto O, chamado origem do sistema.

« No sistema cartesiano ortogonal abaixo cada par ordenado está associado a um ponto. Reúna-se a um colega e respondam: a qual ponto está associado cada par ordenado:

a) (0, 0)?

b) (3, 2)?

c) (�1, 4)?

d) (�2, �3)?

e) (2, �1)?

Considerando o ponto A(3, 2), dizemos que o número 3 é a coordenada x ou a abscissa do ponto A, e o número 2 é a coordenada y ou a ordenada do ponto A.

Correspondência biunívoca: correspondência um a um, ou seja, que associa os elementos de dois conjuntos, tal que cada elemento de um tenha um único correspondente no outro.

Eixos ortogonais: retas orientadas que permitem a localização de pontos no plano ou no espaço.

2

1

3

A(3, 2)

B

E

D G

O

F

C

H

x

y

3

4

4

�1

�1

�3

�2

�2�3

�4

2

Unidade 2 • Geometria analítica: ponto, reta e circunferência70

Observações:

1a) Os eixos x e y chamam-se eixos coordenados e dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes,

cuja identificação é feita conforme a figura.

O sinal positivo ou negativo da abscissa e da ordenada varia de acordo com o quadrante.

2a) Se o ponto P pertence ao eixo x, suas coordenadas são (a, 0), com a � ®.

3a) Se o ponto P pertence ao eixo y, suas coordenadas são (0, b), com b � ®.

2o quadrante(�, �)

1o quadrante(�, �)

3o quadrante(�, �)

4o quadrante(�, �)

O

x

y

Você sabia?Os nomes “coordenadas cartesianas” e “sistema cartesiano ortogonal” derivam de Renatus Cartesius, nome de Descartes em latim.Fora da Matemática, o adjetivo cartesiano pode também ser usado para designar uma pessoa metódica e sistemática em excesso, uma vez que as ideias filosóficas de Descartes primavam pela sistematização e pelo rigor racional.

Fique atento!O ponto O(0, 0) pertence aos dois eixos.

1. Observe a figura e determine os pontos, ou seja, dê suas coordenadas:a) A d) D

b) B e) E

c) C

2B

2

D

E

0

x

y

3

5

5

3C

�1

�1

�4

�4

�6

A

2. Marque em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os pontos:a) A(1, �2) d) B(�3, 3) g) C(4, 4)

b) D(0, 3) e) P(�1, �5) h) M(�4, 0)

c) Q(3, �2) f ) N(0, �4) i) R(3, 0)

3. No retângulo da figura, AB � 2a e BC � a. Dê as coor-denadas dos vértices do retângulo.

A B

D C

x

y

4. Determine quais são as coordenadas genéricas (em função de a, por exemplo) dos pontos pertencentes à bissetriz dos quadrantes:a) ímpares (1o e 3o); b) pares (2o e 4o).

5. ATIVIDADE EM DUPLA Sabendo que P(2m � 1, �3m � 4) pertence

ao terceiro quadrante, determinem os possíveis valo-res reais de m.

ATENÇÃO!Não escreva no

seu livro!Exercícios

71Capítulo 3 • Geometria anal’tica: ponto e reta

3 Distância entre dois pontosComo estudamos no volume 1, dados dois pontos, A e B, a distância entre eles, que será indicada por

d(A, B), é a medida do segmento de extremidades A e B. Por exemplo:

a)

0

x

y

1A(1, 1) B(3, 1)

1 2 3

c)

0 1

x

y

�1

1

2

�2

�3

�4 B(1, �4)

A(1, 2) e)

1

2 2

3

A(4, 1)

B(1, 3)

10 2 3

3

4

x

y

d(A, B) � 3 � 1 � 2 d(A, B) � 2 � (�4) � 6 [d(A, B)]2 � 32 � 22 ⇒ d(A, B) � 13

b)

0

x

y

�1

�1

1 2 3�2

A(�2, �1) B(3, �1)

d)

0�1�2

B(�2, 4)

A(�2, 1)x

y

1

2

3

4 f)

0

x

y

1

1

2

3

�15�2

�3 B(1, �3)

A(�2, 2)

�2

�1

d(A, B) � 3 � (�2) � 5 d(A, B) � 4 � 1 � 3 [d(A, B)]2 � 32 � 52 ⇒ d(A, B) � 34

Fique atento!Nos exemplos e e f foi usado o teorema de Pitágoras.

F—rmula da dist‰ncia entre dois pontosPodemos determinar uma expressão que indica a distância entre A e B, quaisquer que sejam A(x

1, y

1)

e B(x2, y

2).

O triângulo ABC é retângulo em C, logo podemos usar o teorema de Pitágoras:

C

B

A �x

�yd(A, B)

y2

y1

x1

x2

A(x1, y

1)

y

x

O

�x

�y

C(x2 , y

1)

B(x2, y

2)

[d(A, B)]2 � (�x)2 � (�y)2 ⇒ d(A, B) � ( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 1

2

2 1

2� � � � � � �x y x x y y

Concluímos, então, que a distância entre dois pontos A e B quaisquer do plano, tal que A(x1, y

1) e

B(x2, y

2), é dada por:

d(A, B) � ( ) ( )( )( )2 ( )( )2( )( )( )( )( ) y y( )( )( )( )( )� �( )( )( )2( )( )( )( )( ) ( )( )

Fique atento!�x � x

2 � x

1

�y � y2 � y

1

Fique atento!A expressão geral obtida independe

da localização de A e B.

Unidade 2 • Geometria analítica: ponto, reta e circunfer•ncia72

1. Um ponto P(a, 2) é equidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4). Calcule a abscissa do ponto P.

Resolução:

Como P é equidistante de A e B, devemos ter:

d(P, A) � d(P, B) ⇒ (     ) (     )3 1(  (     ) (  (     )  )2 2(     )3 13 1(  (     )  )3 13 1  )3 13 13 1 �  )  )  )  )  )  ) � (     ) (     )2 4(  (     ) (  (     )  )2 2(     )2 42 4(  (     )  )2 42 4  )2 42 42 4 �  )  )  )  )  )  ) ⇒ (     ) (     )3 1(  (     ) 2 4  )2 22 2(     )3 13 1 2 42 4(  (     )3 13 1  )3 13 13 1 2 42 4a aa a  )  ) (     )  )3 1  )  ) 2 4(  (     )  )2 22 2(  3 1 2 4(  (     )  )3 13 1  )  )3 13 13 1 � �� �(  2 42 4(  (  2 22 22 2(  2 4(  (   ⇒

⇒ (3 � a)2 � 1 � (2 � a)2 � 4 ⇒ 9 � 6a � aa22 � 1 � 4 � 4a � aa22 � 4 ⇒

⇒ �6a � 4a � 4 � 4 � 9 � 1 ⇒ �2a � �2 ⇒ 2a � 2 ⇒ a � 1

2. Demonstre que o triângulo com vértices A(�2, 4), B(�5, 1) e C(�6, 5) é isósceles.

Resolução:

0

x

yC

A

B

�1

1

2

3

4

�2�3�4�5�6

5

Um triângulo é isósceles quando tem dois lados congruentes (medidas iguais). Vamos calcular, então, as medidas dos lados do triângulo ABC:

• d(A, B) � (     ) (     )(  (   � �(  5 2(  (     )  )� �(  (   1 4(  (     )  )� �(  (  2 2(     )� �(  1 4(  (     )  )� �(  (   � 9 99 99 9 � 18 � 3 23 2

• d(A, C) � (     ) (     )(  (   � �(  6 2(  (     )  )� �(  (   5 4(  (     )  )� �(  (  2 2(     )� �(  5 4(  (     )  )� �(  (   � 16 1� � 17

• d(B, C) � (     ) (     )(  (   � �(  6 5(  (     )  )� �(  (   5 1(  (     )  )� �(  (  2 2(     )� �(  5 1(  (     )  )� �(  (   � 1 161 11 1 � 17

Como d(A, C) � d(B, C), o triângulo ABC é isósceles.

Exerc’cios resolvidos

6. Calcule a distância entre os pontos dados:a) A(3, 7) e B(1, 4)

b) E(3, �1) e F(3, 5)

c) H(�2, �5) e O(0, 0)

d) M(0, �2) e N ( ), 5 2�

7. Calcule a distância entre os pontos dados:a) P(3, �3) e Q(�3, 3)

b) C(�4, 0) e D(0, 3)

8. A distância do ponto A(a, 1) ao ponto B(0, 2) é igual a 3. Calcule o valor da abscissa a.

9. Um ponto P pertence ao eixo das abscissas e é equi-distante dos pontos A(�1, 2) e B(1, 4). Quais são as coordenadas do ponto P?

10. A abscissa de um ponto P é �6 e sua distância ao ponto Q (1, 3) é 74 . Determine a ordenada do ponto.

11. ATIVIDADE EM DUPLA Considerem um ponto P(x, y) cuja distância ao

ponto A(5, 3) é sempre duas vezes a distância de P ao pon-to B(�4, �2). Nessas condições, escrevam uma equação que deve ser satisfeita com as coordenadas do ponto P.

12. Mostre que um triângulo com vértices A(0, 5), B(3, �2) e C(�3, �2) é isósceles e calcule o seu perímetro.

13. ATIVIDADE EM DUPLA Encontrem uma equação que seja satisfeita

com as coordenadas de qualquer ponto P(x, y) cuja distância ao ponto A(2, 3) é sempre igual a 3.

14. ATIVIDADE EM DUPLA Considerem um triângulo com lados que medem a, b e c, sendo a a medida do lado maior. Lembre-se de que:• a2 � b2 � c2 ⇔ triângulo retângulo• a2 � b2 � c2 ⇔ triângulo acutângulo• a2 � b2 � c2 ⇔ triângulo obtusânguloDados A(4, �2), B(2, 3) e C(6, 6), verifique o tipo do triân-gulo ABC quanto aos lados (equilátero, isóceles ou escaleno) e quanto aos ângulos (retângulo, acutângu-lo ou obtusângulo).

Exerc’cios

73Capítulo 3 • Geometria analítica: ponto e reta

4 Coordenadas do ponto mŽdio de um segmento de reta

Dado um segmento de reta AB tal que A(x1, y

1) e B(x

2, y

2) são pontos distintos, vamos determinar as

coordenadas de M, ponto médio de tABu.

Considere:

• um segmento com extremidades A(x1, y

1) e B(x

2, y

2);

• o ponto M(x, y), ponto médio do segmento AB.

B

x 1

y1

y

y2

x2

xO

x

y

A1

B1

M1

A

M

B2

M2

A2

Aplicando o teorema de Tales, temos:

AM

MB

A M

M B

x x

x x             � �

�

�

1 1

1 1

1

2

1⇒ ⇒ x � x1 � x

2 � x ⇒ 2x � x

2 � x

1 ⇒ x �

x x2 1

2

   �

AM

MB

A M

M B

y y

y y             � �

�

�

2 2

2 2

1

2

1⇒ ⇒ y � y1 � y

2 � y ⇒ 2y � y

2 � y

1 ⇒ y �

y y2 1

2

   �

Então, podemos concluir que, dado um segmento de extremidades A(x1, y

1) e B(x

2, y

2):

• a abscissa do ponto médio do segmento é a média aritmética das abscissas das extremidades:

x �

x x2 1x xx x

2

�x xx xx xx x

• a ordenada do ponto médio do segmento é a média aritmética das ordenadas das extremidades:

y � y y2 1y yy y

2

�y yy yy yy y

Fique atento!¥ A demonstra•‹o independe da localiza•‹o de A e B nos quadrantes.

¥ Chamando de M o ponto mŽdio de tABu, temos: Mx x y y1 2 1 2

2 2

   , 

   � �

.

Para refletirPor que A e B devem ser pontos

distintos?

Exerc’cios resolvidos

3. Determine M, ponto médio de tABu, nos seguintes casos:

a) A(3, �2) e B(�1, �6);

b) A B( )A BA BA B1

A BA B2

1A BA B

3, A BA B( )( )1

2

3, eA BA B( )( ).

Resolução:

a) Considerando M(xM

, yM

), temos:

xM

� 3 1

2

2

2

( )3 13 13 13 13 13 13 1� � 1

yM

� � �

��

�2 6� �� �

2

8

24

( )2 62 6��

Logo, M(1, �4).

Unidade 2 • Geometria analítica: ponto, reta e circunferência74

b) xM

�

1

2

2

1

2

2

1

4

( )1� �( )( )

�

�

� �

yM

�

1

3

2

3

2

1

2

�

�

Logo, M .( )( )�1

4

1

2, 

4. Calcule os comprimentos das medianas de um tri‰ngulo de vŽrtices A(2, �6), B(�4, 2) e C(0, 4).

Fique atento!• A mediana de um triângulo é o segmento que tem como

extremidades um vértice e o ponto médio do lado oposto.• Todo triângulo possui três medianas que se cruzam em

um ponto chamado baricentro do triângulo.Considere um triângulo de vértice A(x

1, y

1), B(x

2, y

2) e

C(x3, y

3). O baricentro (G) desse triângulo é o ponto

G(xG, y

G), onde: x

G �

x x x1 2x xx x 3

3

� �x xx x1 2x xx x e y

G �

y y y1 2y yy y 3

3

� �y yy y1 2y yy y.

Resolu•‹o:

Observando a figura:

A

O

M1

M3

M2

x

C

y

B

15. Determine o ponto mŽdio do segmento de extremidades:

a) A(1, �7) e B(3, �5)

b) A(�1, 5) e B(5, �2)

c) A(�4, �2) e B(�2, �4)

16. Uma das extremidades de um segmento Ž o ponto A(�2, �2). Sabendo que M(3, �2) Ž o ponto mŽdio des-se segmento, calcule as coordenadas do ponto B(x, y), que Ž a outra extremidade do segmento.

Exerc’cios

17. ATIVIDADE EM DUPLA Em um tri‰ngulo is—sceles, a altura e a me-

diana relativas ˆ base s‹o segmentos coincidentes. Calculem a medida da altura relativa ̂ base BC de um tri‰ngulo is—sceles de vŽrtices A(5, 8), B(2, 2) e C(8, 2).

18. ATIVIDADE EM DUPLA Em um paralelogramo ABCD, M(1, �2) Ž o

ponto de encontro das diagonais AC e BD. Sabe-se que A(2, 3) e B(6, 4) s‹o dois vŽrtices consecutivos. Uma vez que as diagonais se cortam mutuamente ao meio, determinem as coordenadas dos vŽrtices C e D.

M1 Ž o ponto mŽdio de tAB u; calculando suas coor-

denadas:

x � � �

� �4 2� �� �

21

y � 2 6

22

2 62 6� �

Ent‹o, M1(�1, �2).

¥ M2 Ž o ponto mŽdio de AC; calculando suas coor-

denadas:

x � 0 2

21

0 20 2�

y � 4 6

21

4 64 6� �

Ent‹o, M2(1, �1).

¥ M3 Ž o ponto mŽdio de BC; calculando suas coor-

denadas:

x � 0 4

22

0 40 4� �

y � 4 2

23

4 24 2�

Ent‹o, M3(�2, 3).

Vamos calcular, agora, os comprimentos das me-dianas:

¥ mediana AM3, sendo A(2, �6) e M

3(�2, 3):

d(A, M3) � (     ) (     )(  (   � �(  2 2(  (     )  )� �(  (   3 6(  (     )  )� �(  (  

2 2(     )� �(  3 6(  (     )  )� �(  (   �

� 16 81 97� �81

¥ mediana BM2, sendo B(�4, 2) e M

2(1, �1):

d(B, M2) � (     ) (     )1 4(  (     )  ) 1 2(  (     )  )

2 2(     )1 2(  (     )  )� �  )1 41 4  )  )

2 22 2(  (  1 21 2(  (   �

� 25 9 39 34� �9 39 3

¥ mediana tCM u1, sendo C(0, 4) e M

1(�1, �2):

d(C, M1) � ( ) ( )( )( ) � �( )( )� �� �( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) 1 3� �� �1 3� �� � 6

2 2( )� �( )� �� �( )( )( )( )( ) � �� �� �� �1 3� �� � 6

� 37

75Capítulo 3 • Geometria analítica: ponto e reta

Exerc’cio resolvido

5 Condi•‹o de alinhamento de tr•s pontosConsideremos três pontos A, B e C alinhados:

Pelo teorema de Tales:

AB

AC

A B

A C

AB

AC

x x

x x

AB

AC

A

           

   

   

   

� ��

�

�

1 1

1 1

2 1

3 1

⇒

22 2

2 2

2 1

3 1

B

A C

AB

AC

y y

y y       

   

   

⇒ ��

�

I

II

Comparando I e II , temos:

x x

x x

y y

y y

y y

x x2 1

3 1

2 1

3 1

2 1

2

   

   

   

   

   

   

   

   

−

−

=

−

−

⇒

−

− 11

� y y

x x

y y

x x

y y

x x

3 1

3 1

2 1

2 1

3 1

3

   

   

   

   

   

   

   

   

−

−

⇒

−

−

−

−

− 11

� 0 ⇒

⇒ (x3 � x

1)(y

2 � y

1) � (x

2 � x

1)(y

3 � y

1) � 0 ⇒

⇒ x3 y2 � x

3 y1 � x

1 y2 � x y1 1 � x

2 y3 � x

2 y1 � x

1 y3 � x y1 1 � 0 ⇒

⇒ x1 y2 � x

1 y3 � x

2 y3 � x

2 y1 � x

3 y1 � x

3 y2 � 0

O primeiro termo da igualdade corresponde ao determinante

x y

x y

x y

1 1

2 2

3 3

1

1

1

.

Daí, podemos dizer que, se três pontos A(x1, y

1), B(x

2, y

2) e C(x

3, y

3) estão alinhados, então:

D �

x y

x y

x y

1 1

2 2

3 3

1

1

1

� 0

Observa•‹o: Fazendo o caminho inverso, podemos verificar também que, se D �

x y

x y

x y

1 1

2 2

3 3

1

1

1

� 0, então

A(x1, y

1), B(x

2, y

2) e C(x

3, y

3) são pontos colineares (recíproca da propriedade anterior).

C

x1

y1

y2

y3

x3x2O

x

y

A1 C1B1

A

B

C2

B2

A2

Para refletir

Verifique que o primeiro

termo da igualdade

realmente corresponde

ao determinante

apresentado.

coluna das ordenadas dos pontos

coluna das abscissas dos pontos

5. Verifique se os pontos A(�3, 5), B(1, 1) e C(3, �1) estão alinhados.

Resolu•‹o:

Usando as coordenadas, calculamos o determinante:

D �

�3 5 1

1 1 1

3 1� 1

� �3 � 15 � 1 � 3 � 5 � 3 � � 15 � 15 � 0

Como D � 0, os pontos dados estão alinhados.Observa•‹o:

A figura ao lado ilustra, geometricamente, que os pontos dados estão em uma mesma reta, ou seja, estão alinhados, mas é o pro-cesso analítico que garante a propriedade.

B

1

1

0

x

y

3

C

5

�1

�3

A