livro parte i fundamentos da mecânica da fratura clássica · vamos agora estudar as propriedades...

FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA MECÂNICA DA FRATURA

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SUMÁRIO SUMÁRIO............................................................................................................................. 1

Capítulo - I............................................................................................................................. 4

1. 1 – Objetivos do Capítulo.................................................................................................. 4

1. 2 - Introdução.................................................................................................................... 5

1. 3 - Comportamento Mecânico dos Materiais Sólidos até a Ruptura ................................... 7

1.3.2 – Determinação do Módulo Elástico e da Flexibilidade de um Material .................. 9

1.3.3 - A Energia Elástica Armazenada em um Sólido................................................... 10

1.3.4 - Comportamento Elástico .................................................................................... 11

1.3.5 - Comportamento Plástico .................................................................................... 11

1.3.6 - Tensão de fluência ou escoamento ..................................................................... 12

1.3.7 - Tensão de ruptura............................................................................................... 13

1. 4 – Propriedades Mecânicas dos Materiais ...................................................................... 14

1.4.1 - Tensão .............................................................................................................. 14

1.4.2 - Deformação ....................................................................................................... 15

1.4.3 - Módulo de Elasticidade de Young (E)................................................................ 16

1.4.4 - Maleabilidade e Ductilidade............................................................................... 17

1.4.5 - Diagramas Tensão-Deformação ......................................................................... 18

1.4.6 - Limite de Resistência à Tração........................................................................... 19

1.4.7 - Dureza .............................................................................................................. 20

1.4.8 - Tenacidade......................................................................................................... 21

1.4.9 - Fluência ............................................................................................................. 22

1.4.10 - Resistência à Fluência ...................................................................................... 24

1.4.11 - Fadiga .............................................................................................................. 25

Capítulo - II ......................................................................................................................... 34

2. 1 - Introdução.................................................................................................................. 34

2. 2 - Análise do Estado das Tensões................................................................................... 35

2.2.1 – Tração e Vetores de Acoplamento das Tensões.................................................. 37

2.2.2 – Componentes das Tensões ................................................................................. 38

2.2.3 – Tensão em um Ponto ......................................................................................... 40

2.2.4 – Tensões sobre um Plano Normal........................................................................ 43

2.2.5 – Representação Dyádica das Tensões .................................................................. 44

2. 3 - Equações de Equilíbrio .............................................................................................. 46


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2

2.3.1 – Princípios Físicos e Matemáticos....................................................................... 46

2.3.2 – Momento Linear................................................................................................ 48

2.3.2 – Momento Angular ............................................................................................. 49

2. 4 - Tensões Principais ..................................................................................................... 52

2. 5 – Análise do Movimento de uma Deformação Elástica dos Corpos u .................... 54

2.5.1 - Definição do vetor deslocamento u ................................................................... 54

2.5.2 - Análise das Deformações ................................................................................... 56

2.5.3 – A Definição Tensor das Deformações................................................................ 59

2.5.4 - A Definição do Tensor Gradiente de Deformação .............................................. 60

2.5.5 – Equações de Compatibilidade............................................................................ 61

Capítulo - III ........................................................................................................................ 62

3. 1 - Objetivos do Capítulo ................................................................................................ 62

3. 2 - Introdução.................................................................................................................. 63

3. 3 – Introdução a Elasticidade Linear.......................................................................... 64

3. 4 - Fundamentos da Teoria da Elasticidade Linear..................................................... 65

3.4.1 – Densidade de Energia de Deformação ............................................................... 65

3.4.2 – Materiais Elásticos Lineares .............................................................................. 66

3. 5 - Teoria Elastodinâmica Linear..................................................................................... 69

3.4.2 – Equação Constitutiva o Fluxo de Deformações em um Material Sólido Elástico-

Linear .............................................................................................................. 69

3.4.3 – A Lei de Hooke Generalizada para Sólidos Elásticos Lineares........................... 71

3.4.4 – Equação Constitutiva o Fluxo de Deformações em um Material Sólido Elástico-

Linear .............................................................................................................. 74

3.4.5 - A Visão do Contínuo para a Lei de Hooke ......................................................... 75

3.4.6 – - Densidade de Energia de Deformação na Elasticidade..................................... 78

3.4.7 - Equações de compatibilidade ............................................................................. 79

3.4.8 – Equação Constitutiva dos Materiais Elásticos Lineares ...................................... 79

3.4.9 -– Complementaridade da Densidade da Energia de Deformação ......................... 80

3.4.10 – Equação do Potencial Vetorial Generalizado para a Deformação Elástica ........ 82

3.4.11 - Equação Constitutiva para o Fluxo do Potencial Vetorial das Taxas de Deformações

nos Fluidos .............................................................................................................. 83

3.4.12 – Equação do Potencial Vetorial Generalizado para a Massa Fluida.................... 84

3.4.13 – A Equação de Movimento Elastodinâmico Linear ........................................... 85


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3

3.4.14 – Problemas de Valor de Contorno ..................................................................... 88

3. 6 – .............................................................................................................. 89

3.7 – O Campo de Tensão Elástico Linear........................................................................... 90

3.6.1 – Equações Básicas da Elasticidade para o Corpo Homogêneo e Isotrópico .......... 90

3.6.2 – Equilíbrio de um corpo elástico sob uma força de corpo .................................... 97

3.8 – Problemas Planos da Teoria da Elasticidade ............................................................... 99

3.7.1 – Problemas Bidimensionais na Elasticidade ........................................................ 99

3.7.2 - Equações de Equilíbrio e Compatibilidade para os Problemas Planos............... 100

3.7.3 – Estado Plano de Tensão ou Deformação .......................................................... 101

3.7.4 – Função de Tensão de Airy para Problemas Bi-Dimensionais ........................... 103

3.7.5 - Problema de Deformação Plana:....................................................................... 108

3.7.6 - Problema de Tensão Plana................................................................................ 116

3.7.7 - Funções de Airy em Coordenadas Cartesianas.................................................. 117

3.7.8 - Equação Bi-harmônica ..................................................................................... 120

3.7.9 - Condições de Contorno .................................................................................... 121

3.7.10 - Funções de Airy Coordenadas Polares............................................................ 121

3.7.11 - O Laplaciano e a Equação Bi-Harmônica em termos das Variáveis Complexas124

3.7.12 - Equação de Laplace em termos de Variáveis Complexas ................................ 127

3.7.13 - Representação de Funções Bi-Harmônicas de Airy-Westergard por Funções

Analíticas de uma Variável Complexa......................................................................... 129

3.7.14 - As Funções de Airy-Westergard em termos de uma Variável Complexa......... 131

3.7.15 - Funções de Airy-Westergard para a Equação Bi-harmônica da MEL.............. 133

3.7.16 – Forma Complexa da Função Harmônica de Tensão ....................................... 134

3.7.17 – Funções de Tensão em termos de Funções Harmônicas Complexas ............... 137

3.7.18 – Deslocamento Correspondente a uma dada Função de Tensão ....................... 139

3.7.19 - Equações de Kosolov ..................................................................................... 143

3. 9 - Referências Bibliográficas ................................................................................. 146


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Capítulo - I

PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS

RESUMO

1. 1 – Objetivos do Capítulo


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1. 2 – Introdução as propriedades dos materiais

Vamos agora estudar as propriedades dos materiais sob o ponto de vista básico do

princípio de Causa e Efeito ou Estímulo e Resposta dado pelos sistemas físicos em estudo.

Pode-se dizer que a física que estuda as propriedades fenomenológicas dos materiais está

baseada neste princípio junto com as relações da álgebra e geometria dos corpos em estudo.

CAUSA OU ESTÍMULO EFEITO OU RESPOSTA

+

ALGEBRA E GEOMETRIA

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FÍSICA FENOMENOLÓGICA OU ESTUDO DAS PROPRIEDADES DOS

MATERIAIS

As propriedades dos materiais são classificadas basicamente em propriedades

mecânicas, térmicas, elétricas, magnéticas e ópticas, podendo haver propriedades que

envolvam duas ou mais áreas tais como: propriedades termoelétricas, eletro-ópticas, etc. tais

propriedades geralmente estão relacionadas a efeitos conjugados. Vejamos a tabela abaixo:

Tabela - I. 1.

CAUSA X EFEITO = PROPRIEDADES

Força Mecânica Deformação ou trinca Mecânica Mecânica

Força Elétrica Corrente ou transporte de cargas

elétricas

Elétrica

Força Magnética Orientação de cargas magnéticas Magnética

Pulso de Luz Absorção, luminescência,

transparência

Óptica

Calor ou Pulso

Térmico

Transporte de calor ou variação

de temperatura

Térmica

Vamos inicialmente estudar as propriedades mecânicas dos materiais.


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O estudo experimental das propriedades mecânicas dos materiais sólidos é feito

utilizando-se basicamente o chamado princípio de “causa” e “efeito“ ou “estímulo” e

“resposta”. Este princípio se baseia no fato de que as propriedades dos materiais podem ser

inferidas da função de transferência que associa a causa ao seu efeito.

A causa utilizada no estudo das propriedades mecânicas é a aplicação de uma

força externa F sobre o corpo de prova, conforme mostra a figura abaixo:

Figura - 1. 1. Força F aplicada sobre um corpo de prova de massa, M, e volume, V.

A condição de equilíbrio do ensaio é dada pela resistência mecânica do corpo á

força aplicada, isto é diz-se que há equilíbrio de forças quando:

intextF R

(1. 1)

A partir do momento em que o corpo começa a se deformar isso é porque a força

externa extF

começa a ultrapassar o limite de resistência do material e este se dirige para a

ruptura do mesmo. Antes da ruptura, porém nos temos dois tipos principais de comportamento

com respeito a deformação do material : o comportamento elástico, e o comportamento

plástico.


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1. 3 - Comportamento Mecânico dos Materiais Sólidos até a

Ruptura

O comportamento mecânico para os materiais sólidos, no que diz respeito a

deformação, é dividido em frágeis e ducteis (Figura - 1. 2). Os frágeis, são aqueles que se

rompem logo após o fim do seu limite elástico, não apresentando quase nenhuma deformação

plástica (processo reversível).

Figura - 1. 2. Comportamento típico da tensão x deformação dos materiais frágéis e dúcteis.

A lei de Hooke diz que, de acordo com a Figura - 1. 2 e a Figura - 1. 3, um

material, dentro do seu limite elástico linear, atuado por uma força, F, ou tensão, ,

apresentará uma deformação dada por:

E , (1. 2)

onde = F/A é a tensão aplicada e A é a área da secção transversal do corpo sob ação da força

F. E é o módulo elástico do material. O alongamento percentual ou deformação é dada por:

= l/l, conforme mostra a Figura - 1. 3.


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Figura - 1. 3. Distensão máxima das ligações químicas de um material antes de se romper, mostrando o tamanho crítico mínimo, lo, a partir do qual a ruptura acontece, segundo o modelo de Griffith para um monocristal. Figura adaptada a partir da original contida em MARDER [1996].

A partir da relação (1. 2), percebe-se que um material frágil ideal apresenta

módulo elástico constante até a ruptura, enquanto que o dúctil não. Isto significa que, a

separação entre os planos cristalinos do material frágil ideal se dá continuamente, sem que

ocorra quase nenhum acúmulo de defeitos na forma de discordâncias (Figura - 1. 3).

Os dúcteis, por outro lado, são aqueles que após o limite elástico apresentam

deformações plásticas por meio de discordâncias na rede cristalina, acumulando defeitos e se

rompendo após o encruamento (processo irreversível, Figura - 1. 2). De acordo com a teoria

do encruamento (hardening) a relação entre a tensão, , e a deformação, , é dada por:

m

refref

, (1. 3)

onde:

ref é a tensão inical e ref é a deformação inicial e m, é um expoente fracionário.

Observe que a relação (1. 3), mostra o termo em potência, que pode ser

relacionada a uma auto-similaridade com a escala da deformação, ref, que afeta o aspecto

microestrutural da superfície de fratura. Será mostrado, no modelamento fractal da superfície

de fratura no Capítulo – IV, que este fato está relacionado com a rugosidade desta superfície,

devido a auto-similaridade fractal onde o expoente de encruamento, m, estará relacionado

com a dimensão fractal, D, da mesma. Porque o material encrua antes de abrir uma trinca

rugosa.


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A partir da relação (1. 3), percebe-se que no caso do material dúctil, tanto a tensão

de fratura, f, como o módulo elástico, E, passa a depender da presença, ou não, deste

acúmulo de defeitos microscópicos.

1.3.2 – Determinação do Módulo Elástico e da Flexibilidade de um Material

Existem diferentes métodos experimentais para se determinar o módulo elástico

ou a flexibilidade de um material. A Figura - 1. 4 apresenta uma montagem experimental que

pode ser usada para determinar o módulo elástico por meio da equação (1. 4) [DOS SANTOS

1999] abaixo.

uX

ewSE 3

3

4, (1. 4)

onde

S é a separação dos cilindros de apoio, w é a largura do corpo de prova, e é a sua espessura, X

é a carga aplicada e u é a sua deflexão do ponto de aplicação da força na direção vertical.

Figura - 1. 4. Montagem experimental do ensaio de flexão a três pontos com entalhe plano.

Até o limite de ruptura, o valor do módulo elástico do material pode ser calculado

pela equação (1. 4), conforme mostra na Figura - 1. 2. Caso ocorra um crescimento de trinca

acima deste limite máximo de carga tolerável pelo material, o valor da equação (1. 4) passa a

representar a flexibilidade do material ao invés do seu módulo elástico.

Para materiais frágeis, ou até mesmo dúcteis, a relação (1. 2) é muito útil, porque

ela constitui a base da mecânica da fratura elástica linear, conforme será visto a seguir.


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1.3.3 - A Energia Elástica Armazenada em um Sólido

Considere um corpo tracionado continuamente até o limite da sua ruptura,

conforme mostra a Figura - 1. 3. A energia de deformação total armazenada em um material

até este limite é dado pela área debaixo da curva mostrada na Figura - 1. 2, isto é, pela integral

da curva, x E, ou seja:

o

du )()( . (1. 5)

Embora existam diferentes comportamentos mecânicos, conforme mostra a Figura

- 1. 2, é interessante, a princípio, entender o mais simples deles, que corresponde a um

material frágil que segue a “lei elástica de Hooke”. Para este material frágil, pode-se supor

que o corpo responde a solicitação externa de acordo com a equação (1. 2). Portanto,

substituindo a expressão (1. 2) em (1. 5) tem-se que a energia de deformação elástica total

armazenada em um material frágil, até o limite de sua ruptura, calculada pela lei de Hooke, é

dado por:

0

2

2)( EdEu

o

, (1. 6)

reescrevendo (1. 6) em termos de (1. 2) tem-se:

Eu

2)(

2 . (1. 7)

Considerando o corpo totalmente distendido até o limite máximo de sua

resistência mecânica, tem-se que a tensão máxima de alongamento corresponde a tensão de

fratura do material, f. Logo, para o caso da fratura elástica linear (material frágil ideal), de

acordo com a lei de Hooke dado em (1. 2), tem-se:

maxf E , (1. 8)

onde, f, é o módulo de ruptura ou a tensão de fratura do material, E é o seu módulo elástico,

máx é o alongamento máxima do corpo em relação ao seu comprimento inicial. De acordo

com a Figura - 1. 2, para os materiais frágeis, a integral é obtida susbtituindo-se (1. 8) em (1.

7) obtendo-se a energia de deformação elástica total por unidade de volume que pode ser

armazenada no corpo antes que ele se rompa, fornecendo


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Eu f

f 2

2 . (1. 9)

Para um corpo de volume, Vc, tem-se que:

dVdUu , (1. 10)

Logo, substituindo-se (1. 9) em (1. 10) tem-se:

cf

f VE

U2

2 . (1. 11)

Esta é a quantidade máxima de energia por unidade de volume que um corpo pode

armazenar, desde que se considere que este é formado por um material idealmente frágil,

como uma cerâmica, por exemplo.

1.3.4 - Comportamento Elástico

É aquele em que a deformação é reversível, ou seja, as ligações químicas dos

átomos do material não sofreram recombinação, e a força externa aplicada não ultrapassou o

limite energético do poço de potencial destas ligações (cessando a causa cessa o efeito). Ex.

mola.

1.3.5 - Comportamento Plástico

É aquele em que a deformação é irreversível, ou seja, as ligações químicas dos

átomos do material se moveram sofrendo algum tipo de recombinação com outros átomos da

vizinhança, isto é, os planos cristalinos se deslocaram uns em relação aos outros e a força

externa aplicada removeu os átomos para fora do poço de potencial, ou seja, para fóra da

posição de equilíbrio (cessando a causa o efeito permanece). Ex. manteiga, pixe, metais.


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Figura - 1. 5. Diagrama de tensão x deformação para deformação elástica

1.3.6 - Tensão de fluência ou escoamento


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1.3.7 - Tensão de ruptura


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1. 4 – Propriedades Mecânicas dos Materiais

Os materiais estruturais usados na prática da engenharia, em sua maioria, devem

ter resistência. A resistência é uma medida das forças externas aplicadas ao material, as quais

são necessárias para vencer as forças internas de atração entre as partículas elementares do

mesmo. Resumidamente, a resistência se deve à soma das forças de atração entre os elétrons

carregados negativamente e os prótons carregados positivamente, no interior do material.

Os materiais, de acordo com suas aplicações, devem ser capazes de resistir à ação

de forças consideráveis, sofrendo apenas distorções bastante pequenas. Contudo, propriedades

muito diversas podem ser desejadas. Assim é que o material deve ser capaz de sofrer

deformação permanente, a expensas de quantidades de energia tão pequenas quanto possível.

Ou seja, o material deve ser maleável e dúctil. No caso dos processos de conformação, os

metais perdem sua maleabilidade, tornando-se duros e resistentes. Diz-se que, neste caso, o

material fica encruado. Assim sendo, o engenheiro projeta seu processo de conformação para

utilizar a maleabilidade ou ductilidade do material e ao mesmo tempo faz com que o metal,

após o processo, possua resistência suficiente para a aplicação a que se destina. Outras

propriedades mecânicas são a elasticidade, dureza e tenacidade, bem como a fluência e a

fadiga, dentre outras. Em cada caso concreto, estas propriedades estão associadas ao

comportamento do material diante da aplicação de um sistema de forças externas.

Geralmente, o engenheiro está interessado na "densidade de força" necessária para provocar

uma determinada quantidade definida de deformação, temporária ou permanente.

Vamos agora definir os conceitos mais importantes relacionados as propriedades

mecânicas dos materiais.

1.4.1 - Tensão

A tensão é uma medida da "densidade de força" e é definida como forca por

unidade de área. A tensão é expressa em Newtons por metro quadrado (N/m². Porém, em

termos de ciência dos materiais, talvez seja mais conveniente expressá-la em Newtons por

milímetro quadrado (N/mm²). Além disso, esta unidade fornece um valor de tensão que é mais

fácil de visualizar, considerando, por exemplo, que a forca necessária para romper uma barra

de aço de um metro quadrado de seção transversal, é muito elevada para poder ser visualizada


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em termos de valores finitos. Então, a tensão é calculada dividindo a forca pela área na qual

ela está agindo.

1.4.2 - Deformação

A deformação se refere à alteração (de forma) proporcional produzida em um

material sob influência de tensão. Ela é uma relação numérica, medida como o número de

milímetros de alteração para cada milímetro do comprimento original.

A deformação pode ser elástica ou plástica. A deformação elástica é reversível

e desaparece quando a tensão é removida. Quando a deformação é de natureza elástica, os

átomos são deslocados de suas posições iniciais pela aplicação de tensão. Porém, quando esta

tensão é removida, os átomos retornam às posições iniciais que tinham em relação aos seus

vizinhos. A deformação elástica é aproximadamente proporcional à tensão aplicada (Fig. 1) e,

para fins práticos, podemos dizer que o material obedece à lei de Hooke ( = E. ). Esta lei

estabelece que, para um corpo elástico, a deformação é diretamente proporcional à tensão

aplicada.

Figura - 1. 6. Diagrama de tensão x deformação para deformação elástica

A deformação plástica se dá quando o material é tensionado acima do seu

limite de elasticidade. Com a deformação plástica, os átomos se movimentam dentro da

estrutura do material, adquirindo novas posições permanentes com respeito a seus vizinhos.

Quando a tensão é removida, apenas a deformação elástica desaparece e toda a deformação

plástica permanece (Fig. 2)

Figura - 1. 7. Diagrama de tensão x deformação para deformação plástica


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1.4.3 - Módulo de Elasticidade de Young (E)

O módulo de elasticidade de Young é a relação entre a tensão aplicada e a

deformação elástica que ela produz. Em outras palavras, é a tensão necessária para produzir

uma quantidade unitária de deformação elástica. O módulo de Young está vinculado à rigidez

do material e o seu valor é bastante importante para o engenheiro de construções. O módulo

de elasticidade é expresso em termos de tensão de tração ou de tensão de compressão e suas

unidades são as mesmas para esses dois tipos de tensão. Assim sendo:

E = tensão / deformação = N/mm² / mm/mm = N/mm², (1. 12)

Em virtude do elevado valor numérico de E, ele normalmente é expresso em

GN/m ou MN/mm.

A sofisticada tecnologia das últimas décadas do século XX, freqüentemente

envolve considerações sobre a massa de material necessária para fornecer determinada

resistência e rigidez a uma estrutura. Isto é particularmente importante na indústria

aeroespacial e em outras indústrias de transporte, ou, de fato, em qualquer situação em que se

gaste energia devido à força da gravidade. Desta maneira, o módulo de elasticidade é

geralmente expresso como módulo de elasticidade específico, no qual E está relacionado à

densidade relativa do material:

Módulo de elasticidade específico = E / densidade relativa, (1. 13)


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1.4.4 - Maleabilidade e Ductilidade

A maleabilidade refere-se à capacidade do material se deformar sem fraturar,

quando submetido à compressão, enquanto que a ductilidade se refere à capacidade do

material se deformar sem fraturar, quando submetido a esforços de tração. Todos os materiais

dúcteis são maleáveis, mas nem todos os materiais maleáveis são necessariamente dúcteis.

Isto porque um material macio pode ter pouca resistência e romper facilmente quando

submetido à tração.

Figura - 1. 8. Componentes do teste de tração. A figura mostra um corpo de prova rosqueado.

Porém, em muitos equipamentos, o corpo de prova é plano, e é seguro por grampos de fricção.

A ductilidade é geralmente expressa em práticos, pela porcentagem de

alongamento do comprimento padrão de um corpo de prova padronizado, que é submetido à

tração até a ruptura. A figura 4 mostra que, para tornar os resultados comparáveis, é

necessário haver uma relação padronizada entre o comprimento padrão do corpo de prova e a

área da seção transversal do mesmo. Já que a maior parte da deformação plástica se dá no

"pescoço" (entre Z e Y), é claro que a percentagem de alongamento quando se considera ZY

como comprimento padrão, não será a mesma quando se considera XY como comprimento

padrão. Conseqüentemente, os corpos de prova para tração devem ser geometricamente

similares, sendo conhecidos como corpos de prova proporcionais.

Figura - 1. 9.


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1.4.5 - Diagramas Tensão-Deformação

Quando os valores da tensão e da deformação correspondente, obtidos num

teste de tração, são colocados num gráfico, verifica-se que cada tipo de material é

representado por uma curva característica. Os materiais de ductilidade desprezível, como os

aços de alta dureza, ferro fundido e concreto, apresentam uma deformação até a fratura, de

valor nulo ou muito pequeno (Fig. 5 (i)). Ou seja, eles não apresentam limite de escoamento,

só ocorrendo a deformação elástica. Por outro lado, um material dúctil apresenta um limite de

elasticidade (ou limite de proporcionalidade) além do qual já ocorre deformação plástica. O

limite de escoamento é a tensão máxima que um material pode suportar, antes que se inicie o

escoamento plástico. Nos materiais ferrosos macios (ferro maleável e aços de baixo carbono)

e em alguns materiais plásticos, o início do escoamento plástico é caracterizado por um limite

de escoamento bastante definido (Fig. 5 (iii)). Nessas condições, é fácil calcular a tensão de

escoamento. Nos outros materiais, incluindo praticamente todos os metais e ligas dúcteis, bem

como a maioria dos materiais plásticos, o limite de elasticidade não é bem definido (Fig. 5

(iv)). Sob muitos aspectos, nos projetos de engenharia, o limite de escoamento de um material

é de maior importância que o limite de resistência (tensão máxima suportada pelo material,

durante o escoamento plástico). Por isto, derivou-se um valor de tensão para substituir o

limite de escoamento, naqueles materiais que não apresentam este limite bem definido.

Esta tensão é conhecida como tensão de prova e é definida como a tensão

necessária para produzir uma deformação plástica (ou seja, uma deformação permanente) de

0,1% ou 0,5% para alguns materiais, no comprimento padrão de corpo de prova. Esta tensão é

obtida da maneira indicada nas Figs. 5 (ii) e (iv).

Os materiais que passam por alguns tratamentos como o encruamento ou, no

caso de algumas ligas, por um tratamento térmico apropriado, elas são geralmente mais

resistentes e menos dúcteis do que os mesmos materiais que estão nas condições normais de

dureza. Isto é indicado na curva tensão/deformação da Fig. 5 (ii).

Figura - 1. 10. Diagramas tensão/deformação representativos de vários tipos de material. (i)

Material não dúctil (frágil). (ii) Material semidúctil. (iii) e (iv) Materiais dúcteis.


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T = limite de resistência à tração;

B = Tensão de ruptura;

Y = Limite de escoamento;

P = Tensão de prova

1.4.6 - Limite de Resistência à Tração

O limite de resistência à tração do material é calculado através da relação entre

a força máxima aplicada durante o teste e a área inicial da seção transversal do corpo de

prova. As unidades envolvidas são as de tensão. Geralmente as mais convenientes são MN/m²

ou N/mm² que, evidentemente, são iguais numericamente. É importante notar que ao longo de

todo o ensaio de tração, a tensão é calculada com base na área inicial da seção transversal. Isto

é, não se leva em consideração a diminuição de área da seção transversal junto ao "pescoço",

nos estágios finais da deformação plástica. Por esta razão, os chamados diagramas

"tensão/deformação" na realidade são diagramas força/alongamento modificados. O diagrama

tensão/deformação verdadeiro, para ser reconstruído, necessita que se leve em consideração a

diminuição da seção transversal, medindo-se o diâmetro mínimo no pescoço para cada medida

da força aplicada (Fig. 6). Geralmente é impraticável a medida da tensão verdadeira por este

método. Na prática, usa-se mais freqüentemente o valor da tensão de engenharia.

Figura - 1. 11. Tensão de engenharia = Força / Área inicial da tensão transversal.

É conveniente lembrar que a ordenada usualmente denominada, na maioria dos

diagramas publicados, como "tensão", quase sempre se refere a esta "tensão de engenharia"

em lugar da tensão verdadeira. A redução da seção transversal nos materiais dúteis, durante o

escoamento plástico, leva à aparente anomalia de que a tensão de ruptura seja menor do que o

limite de resistência à tração. Porém, a Fig. 6 mostra que, de fato, a tensão verdadeira de

ruptura é maior que o limite de resistência à tração.


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1.4.7 - Dureza

Em linhas gerais, a dureza é definida como a capacidade do material resistir à

abrasão superficial. A dureza relativa dos minerais é constatada através da escala de Moh

(Tabela 1). esta escala consiste de uma lista de materiais agrupados de tal maneira que

qualquer mineral da lista pode riscar os que se localizam abaixo dele. Então o diamante, que é

a substância mais dura que se conhece, encabeça a lista com o índice de dureza igual a 10. A

dureza superficial de qualquer substância pode ser vinculada à Escala de Mohr, determinando-

se quais as substâncias padrão desta escala que riscam a referida substância.

Tabela - I. 2. Escala de Mohr

Mineral Índice de dureza

Diamante 10

Corindo 9

Topázio 8

Quartzo 7

Feldspato 6

Apatita 5

Fluorita 4

Calcita 3

Gesso 2

Talco 1

Obviamente, a Escala de Moh é inadequada, quando se trata de uma

determinação rigorosa de dureza de materiais semelhantes às ligas metálicas. Para essas

substâncias, foram desenvolvidos vários tipos de teste de dureza. Os instrumentos

semelhantes ao Esclerômetro de Turner (que media a riscabilidade) foram logo abandonados e

substituídos por equipamentos que medem a resistência das camadas superficiais do material

à penetração de uma bilha de alguma forma geométrica. Desta forma, a dureza não é mais

definida em termos de resistência à abrasão. No ensaio de Brinell a bilha é uma esfera de aço

enquanto que no ensaio da Pirâmide de Diamante a bilha usada é uma pirâmide de diamante.

O teste de Rockwell emprega um cone de diamante ou uma esfera de aço. Em todos estes

testes, o índice de dureza (H) é obtido do valor:


___________________________________________________________________________

21

Força aplicada / Área superficial da massa produzida, (1. 14)

As unidades são as mesmas da tensão. Porém, essas unidades nunca são

empregadas quando se escreve o valor da dureza, pois em qualquer escala de dureza as

condições de teste são padronizadas.

Figura - 1. 12. Componentes da maioria das máquinas de dureza. A bilha pode ser uma esfera de

aço como indicado na figura, ou então uma pirâmide de diamante ou um cone de diamante

Para a maioria das ligas metálicas, o limite de resistência à tração é

aproximadamente proporcional à dureza, apesar de não existir nenhuma conexão fundamental

entre essas duas propriedades, a não ser no que diz respeito à rigidez geral do material.

1.4.8 - Tenacidade

A tenacidade é medida em termos da energia necessária para fraturar um corpo

de prova padrão. Sendo assim, a tenacidade não deve ser confundida com o limite de

resistência à tração, o qual é medido em termos da tensão necessária para fraturar um corpo de

prova padrão. A área sob a curva tensão/deformação está diretamente relacionada à energia

necessária para fraturar o material, pois a energia é o produto da força média pela distância na

qual ele atua..

Figura - 1. 13. Diagramas tensão/deformação para (i) uma liga tratada para aumentar a resistência,

(ii) a mesma liga na condição dúctil ou de pouca dureza. A energia, indicada pela área sob a curva, necessária para fraturar o corpo de prova, é maior no caso do material menos resistente e mais dúctil.


___________________________________________________________________________

22

De fato, alguns materiais que em seu estado normal de ductilidade e pouca

dureza, são extremamente tenazes, perdem sua tenacidade quando são submetidos a

determinados processos de endurecimento e encruamento. Estas relações estão indicadas pela

área sob cada curva de tensão/deformação, pelo fato de que empregam carga de choque. Uma

parte da energia cinética de um pêndulo oscilante, é gasta na fratura de um corpo de prova

padrão, convenientemente entalhado. Em ambos os métodos de determinação da tenacidade

ao impacto, que são os métodos Izod e Charpy, a unidade utilizada é o Joule. Esses ensaios

dão uma indicação prática do comportamento do material sob condições de carga de choque.

Em muitas circunstâncias, a tenacidade é mais importante como critério de avaliação do

material, do que a resistência à tração.

Figura - 1. 14. Componentes das máquinas de ensaio de impacto. A energia necessária para

fraturar a atmosfera é medida na escala, em joules.

1.4.9 - Fluência

A fluência pode ser definida como sendo uma deformação contínua, com a

passagem do tempo, em materiais sujeitos a uma tensão constante. Esta deformação é plástica

e ocorre mesmo que a tensão atuante esteja abaixo do limite de escoamento do material. A

temperaturas abaixo de 0,4 T (onde T é a temperatura absoluta de fusão do material (escala

Kelvin)) a taxa de fluência á altamente importante. Por esta razão a fluência é muito pequena

mas a temperaturas maiores que esta, a fluência é altamente importante. Por esta razão a

fluência é comumente vista como sendo um fenômeno de elevadas temperaturas, associado a

plantas de vapor e tecnologia de turbinas de gás.


___________________________________________________________________________

23

No entanto, para alguns dos metais e ligas mais macios e com baixo ponto de

fusão, a fluência ocorrerá de forma significativa a temperaturas ambientes. Antigos telhados

de chumbo fluindo ao longo dos séculos, devido ao seu próprio peso, adquiram uma diferença

de espessura mensurável entre a cumeeira, mais fina, e os beirais, mais grossos.

Quando um material metálico é tensionado de forma adequada, origina-se de

imediato uma deformação elástica (Fig. 10), que é seguida por uma deformação plástica que

ocorre em três estágios:

(i) Fluência primária, ou transiente, OP, iniciando-se com uma velocidade rápida que diminui

com o tempo, à medida que o encruamento prossegue.

(ii) Fluência secundária, ou de regime permanente, PS, na qual a velocidade de deformação é

completamente uniforme e passa por seu menor valor.

(iii) Fluência terciária, SX, na qual a velocidade de deformação aumenta rapidamente, até que

a fratura ocorra em X. Este estágio coincide com o empescoçamento da peça.

A fluência em materiais poliméricos abaixo da temperatura de transição vítrea

segue, de forma grosseira, a mesma configuração dos metais. A relação que existe entre

tensão, temperatura e a resultante taxa de fluência está mostrada na figura 11. A baixas

tensões e/ou baixas temperaturas pode ocorrer alguma fluência primária, mas essa cai a um

valor desprezível no estágio secundário e presume-se que é devido ao encruamento do

material. Com o aumento das tensões e/ou temperaturas (curvas B e C) a taxa de fluência

secundária também aumenta levando à fluência secundária também aumenta levando à

fluência terciária e inevitavelmente à fratura.

Figura - 1. 15. Curva típica de fluência mostrando os três estágios de fluência durante um ensaio à

alta temperatura e durante longo tempo.


___________________________________________________________________________

24

Figura - 1. 16. Variação das velocidades de fluência com a tensão e com a temperatura. Na curva

A o estágio final de fluência torna-se desprezível, provavelmente devido ao encruamento. Na curva C a velocidade de fluência secundária é mais elevada que na curva B, devido à utilização de uma tensão mais elevada e/ou elevada temperatura.

1.4.10 - Resistência à Fluência

A ampliação do conhecimento do mecanismo de fluência (que sugere dois

tipos separados de deformação plástica, (i) devido ao movimento normal de discordância e

que ocorre dentro de materiais cristalinos e (ii) aquele que é de característica viscosa e está

associado com as regiões não cristalinas do contorno de grão) possibilitou aos cientistas de

materiais o desenvolvimento de materiais resistentes à fluência com maior confiança do que

era possível há poucas décadas atrás. Como a fluência depende do movimento de

discordância, é obvio que qualquer evento que reduza o movimento destas discordâncias, e

também limite a formação de novas, se oporá efetivamente a fluência. Geralmente, os metais

com estruturas cristalinas compactas (CFC ou HC) são os mais apropriados e suas resistências

à fluência podem ser levadas por um ou mais dos seguintes métodos:

(i) A adição de um elemento de liga que formará uma solução sólida com o metal base. Isto só

será realmente efetivo se os átomos solutos tiverem baixa mobilidade. Se, por outro lado, eles

se difundem livremente com a ativação térmica eles também permitirão que as discordâncias

se movimentem, e, desse modo, a recuperação- e portanto, posteriormente a fluência - pode

ocorrer.


___________________________________________________________________________

25

(ii) A adição de um elemento de liga que crie o endurecimento por dispersão. Precipitados

coerentes e pequenos precipitados não coerentes são geralmente produzidos por tratamento de

precipitação, sendo essencial que à temperatura de serviço tais partículas permaneçam

finamente dispersas e não coalesçam. Os precipitados finamente dispersos formam barreiras

dispersivas ao movimento de discordâncias.

(iii) Tratamento de liga para garantir grãos grandes quando for possível, já que isto reduz a

superfície total de contornos de grão por unidade de volume do material, e, desse modo,

reduzindo a formação de vazios, o que auxilia bastante o movimento de discordâncias.

1.4.11 - Fadiga

Os engenheiros estão cientes já há longo tempo que cargas "vivas" e tensões

alternadas de pequenas amplitudes podem causar a falha num elemento que, entretanto, pode

suportar uma considerável carga "morta". Sob a ação de cargas não constantes o material pode

tornar-se fatigado. Então, enquanto a fluência é um fenômeno associado com a extensão do

componente sob uma força constante agindo durante um longo tempo e geralmente a altas

temperatura, a fadiga refere-se à falha de um material sob ação de tensões flutuantes e

repetidas.

A falha por fadiga ocorrerá, é evidente, se a tensão máxima está acima do

limite de fadiga. Apesar desta, estar ainda bem abaixo da tensão normal de escorregamento

estático para o material, sabe-se que a deformação plástica por deslizamento ocorre durante o

contínuo ciclo de tensão. Tais bandas de deslizamento, como aparecem nas superfícies, são

tanto de intrusão como de extrusão (Fig. 12).

Figura - 1. 17. O deslizamento localizado que dá origem a extrusões e intrusões que podem iniciar

as trincas de fadiga.


___________________________________________________________________________

26

Embora tal intrusão seja geralmente muito pequena, aproximadamente da

ordem de 1 m, pode, é claro, agir como um concentrador de tensões e iniciar uma trinca por

fadiga. Considera-se que uma fratura por fadiga se desenvolve três estágios - nucleação,

crescimento da trinca e fratura inicial (Fig. 13).

Figura - 1. 18. Os estágios de falha de fadiga. Uma fratura por fadiga é geralmente fácil de

identificar, já que a região de crescimento da trinca surge polida devido ao esfregamento das superfícies de fratura, uma contra a outra, a medida que a tensão se alterna. A fratura final é cristalina.

A superfície de fratura, resultante, tem uma aparência característica, sendo uma

falha por fadiga, conseqüentemente fácil de ser identificada. Como a trinca se propaga

lentamente a partir da fonte, as superfícies fraturadas atritam-se entre si devido à natureza

pulsante da tensão e, desse modo, as superfícies tornam-se polidas. Freqüentemente marcas na

forma de concha estão presentes, mostrando a direção de espalhamento da trinca de fadiga.

Finalmente a peça não é mais capaz de suportar seu carregamento e a fratura final ocorre. Esta

superfície recém-fraturada é tipicamente cristalina na aparência.


___________________________________________________________________________

27

1. 5 – Estudo da Consistência de um Corpo Sólido - Análise de Causa e Efeito

O estudo da consistência de um corpo (sólido, líquido, ou gasoso) é um estudo

fenomenológico de causa e efeito, onde se aplica uma força deformante sobre a superfície

deste corpo em estudo e observa-se o efeito da deformação. Este estudo está baseado no fato

de que as forças exercidas sobre o contorno de um meio são transmitidas através do meio.

Figura - 1. 19. Estudo da consistência de um corpo nas direções normal e tangencial

1.5.1 – Comportamento Elástico e Plástico

Um corpo pode apresentar propriedades de consistência em duas direções

fundamentais (normal e tangencial) e os comportamentos básicos deste corpo em relação a

tensão de deformação são:

a) COMPORTAMENTO ELÁSTICO – (Reversível) é aquele em que cessando a

causa (tensão) cessa também o efeito (deformação).

b) COMPORTAMENTO PLÁSTICO – (Irreversível) é aquele em que cessando a

causa (tensão) o efeito permanece (deformação). A condição de não ruptura em todas as

partes do corpo deformado é necessária, para o estudo da consistência.


___________________________________________________________________________

28

Figura - 1. 20. Comportamentos básicos de um corpo sujeito à uma tensão de deformação numa direção genérica. a) elástico (reversível) b) plástico (irreversível).

1.5.2 - Estudo da deformação de um corpo sólido

Os materiais sólidos tendem a se deformarem (ou eventualmente) se romperem

quando submetidos a solicitações mecânicas. O diagrama de tensão-deformação é o

mecanismo gráfico de análise do comportamento dos sólidos frentes as tensões e suas

respectivas deformações. Este diagrama tensão-deformação varia muito de material para

material, e, para um mesmo material podem ocorrer resultados diferentes em vários ensaios

dependendo da temperatura do corpo de prova ou da taxa de crescimento da carga.

Os tipos de esforços mais comuns a que são submetidos os materiais para uma

análise através do diagrama de tensão-deformação são:

a) TRAÇÃO – As forças atuantes tendem a provocar um alongamento do corpo na direção de

aplicação da força.

b) COMPRESSÃO – As forças atuantes tendem a produzir uma redução do corpo na direção

de aplicação da força.

c) FLEXÃO – As forças atuantes provocam uma deformação do corpo no eixo perpendicular

a direção da força

d) TORÇÃO – As forças que atuam no corpo se situam em um plano perpendicular ao eixo da

secção transversal do corpo tendendo a fazer girar uma parte do corpo em relação a outra.

e) FLAMBAGEM – É um esforço de compressão em uma barra de secção transversal

pequena em relação ao comprimento, que tende a produzir uma curvatura da barra.


___________________________________________________________________________

29

f) CISALHAMENTO – As forças atuantes tendem a produzir um efeito de corte, isto é, um

deslocamento linear entre secções transversais.

Todos os tipos de esforços citados acima estão mostrados na

Figura - 1. 21.

Figura - 1. 21. Diferentes tipos de esforços que podem ser realizados sobre um corpo sólido, a) esforço de tração, b) esforço de compressão, c) esforço de flexão, d) esforço de torção, e) esforço de flambagem, f) esforço de cisalhamento.

1.5.3 - Lei de Hooke na sua forma simplificada

A lei de Hooke estabelece o grau no qual uma estrutura se deforma ou se o

esforço depende da magnitude da tensão imposta. Na parte inicial do diagrama da

Figura - 1. 20, a tensão, , é diretamente proporcional à deformação específica, ,

e podemos escrever:

E . (1. 15) sendo que = l/l. Esta relação é conhecida como Lei de Hooke sendo que o coeficiente E, é

chamado de módulo de elasticidade do material. Para uma força aplicada independentemente

nos os três eixos principais de um corpo temos de uma forma geral que:

ii iiE , (1. 16) e para o caso de cisalhamento

ij ijG , (1. 17) onde G é o módulo de cisalhamento.


___________________________________________________________________________

30

No diagrama x do aço puro e de três tipos de aço ( Figura - 1. 22), existem

várias diferenças de tensões de escoamento, tensões últimas e valores finais de deformação

específica (ductibilidade). Todos eles têm o mesmo módulo de elasticidade, ou seja, a sua

capacidade de resistir a deformações é a mesma, dentro da região linear do diagrama.

Figura - 1. 22. Diagrama x para diferentes aços.

O processo de deformação no qual a tensão e a deformação são proporcionais é

chamado de deformação elástica; um gráfico da tensão (ordenada) em função da deformação

(abcissa) resulta em uma relação linear, conforme mostrado na Figura - 1. 23. A inclinação

(coeficiente angular) deste segmento linear corresponde ao módulo de elasticidade E. esse

módulo pode ser considerado como sendo uma rigidez, ou uma resistência do material à

deformação elástica.

Figura - 1. 23. . Diagrama x , mostrando as diferentes regiões de deformação.


___________________________________________________________________________

31

A deformação elástica não é permanente, o que significa que quando a carga

aplicada é liberada, a peça retorna à sua forma original.

À medida que o material é deformado além do ponto P ( Figura - 1. 23), a

tensão não é mais proporcional à deformação ( a Lei de Hooke deixa de ser válida), ocorrendo

então uma deformação permanente e não recuperável, ou chamada de deformação plástica.

1.5.4 - Coeficiente de Poisson

Quando uma tensão de tração é imposta a um corpo de prova metálico, por

exemplo, um alongamento elástico e sua deformação correspondente, Z, resultam na direção

da tensão aplicada ( no caso, direção, z) conforme mostra a Figura - 1. 24. Como

resultado deste alongamento, existirão constrições nas direções laterais (x e y),

perpendiculares à tensão aplicada; a partir dessas contrações, as deformações compressivas X

e Y podem ser determinadas. Se a tensão aplicada for uniaxial (apenas na direção z) e o

material for isotrópico, então X = Y. Um parâmetro conhecido por coeficiente de Poisson, ,

é definido como sendo a razão entre as deformações lateral e axial, ou seja,

yx

z z

v

. (1. 18)

Figura - 1. 24. Alongamento axial (z) (deformação positiva) e contrações laterais (x e y) (deformações negativas) em resposta à composição de uma tensão de tração. As linhas sólidas representam as dimensões após a aplicação da tensão; as linhas tracejadas, antes da aplicação da tensão.


___________________________________________________________________________

32

O sinal negativo está incluído nesta expressão para que seja sempre um número

positivo, uma vez que X e Z terão sempre sinais opostos. Teoricamente, o coeficiente de

Poisson para materiais isotrópicos deve ser de ¼; adicionalmente, o valor máximo para ( ou

aquele valor para o qual não existe qualquer alteração líquida no volume) é de 0,5. Para

muitos metais e outras ligas, os valores para o coeficiente de Poisson variam na faixa entre 0,2

e 0,35.

Para materiais isotrópicos, os módulos de cisalhamento e de elasticidade estão

relacionados entre si e com o coeficiente de Poisson de acordo com a expressão:

2 (1 )E G v . (1. 19)

1.5.5 - Estados múltiplos de carregamento; generalização da lei de Hooke

Consideremos elementos estruturais sujeitos à ação de carregamentos que atuam

nas direções dos três eixos coordenados, produzindo tensões normais X, Y e Z todos

diferentes de zero ( Figura - 1. 25).

Figura - 1. 25. Estado múltiplo de carregamentos.

Considerando um cubo elementar de um certo material adotando arestas de

comprimento unitário sobre a ação do carregamento multiaxial esse cubo elementar se

deforma tornando-se um paralelepípedo-retângulo cujos lados têm comprimentos 1 + X, 1 +

Y, 1 + Z, onde são as deformações específicas dos três eixos coordenados ( Figura - 1.

26).


___________________________________________________________________________

33

Figura - 1. 26. Ação do carregamento multiaxial.

Questionário

1 - Onde se dá a diferença entre a deformação elástica e a plástica.

2 - Por que é necessário definir o módulo de elasticidade específico a = E/d.

3 - Exemplo de maleáveis não dúcteis.

4 - Por que alguns materiais não apresentam definidos os limites de elasticidade.

5 - Porque é necessário definir a tensão de estético

(estruturas) perda da ).

- Exemplo giz x quadro negro.

6 - Por que se define a tenacidade (energia) x área. (lig. primária).

7 - Em automóveis por que se usa alta tenacidade. Qual você escolheria para do

automóvel : tensão de fluência e de escoamento.

8 - Porque ciclos é mais eficiente que deformação, acúmulo de defeitos.

9 - Por que se em nucleação, crescimento e da tensão.


___________________________________________________________________________

34

Capítulo - II

ELEMENTOS DE MECÂNICA DOS SÓLIDOS

RESUMO

2. 1 - Introdução

Uma abordagem a solução de problemas em mecânica dos sólidos é estabelecer

relações primeiro entre cargas aplicadas e tensões internas e, subseqüentemente, considerar as

deformações. Uma outra abordagem é examinar as deformações inicialmente, e então

proceder às tensões e as cargas aplicadas. Desprezando-se da eventual solução o caminho

selecionado, é necessário derivar as relações dos componentes individualmente. Neste

capítulo, a primeira série de equações as quais descrevem o equilíbrio entre forças externas e

tensões internas são derivadas.


___________________________________________________________________________

35

2. 2 – Introdução a Mecânica do Contínuo


___________________________________________________________________________

36

2. 3 – Vetores e Tensores


___________________________________________________________________________

37

2. 4 - Análise do Estado das Tensões

2.2.1 – Tração e Vetores de Acoplamento das Tensões

Um corpo deformável sujeito a um carregamento externo é mostrado na Figura -

2. 1. Podem existir cargas aplicadas sobre o exterior, propriamente chamada de forças

superficiais, e cargas distribuídas dentro do interior do corpo, conhecidas como forças

internas. Um exemplo da última é o efeito da gravidade, a qual produz o peso-específico do

corpo.

Focando a atenção sobre um elemento com uma área nA

sobre ou dentro do

corpo e orientada conforme especificada por um vetor normal n , nós acumulamos a força

resultante nF

e o momento nM

. Ambas são grandezas vetoriais e não são, em geral,

paralelas a n. Logo buscamos a intensidade das resultantes sobre a área nA

na seguinte

forma.

Figura - 2. 1. Corpo deformável sob carregamento externo.

0lim ; ( ) ( )

n

n n

Vn n

F dFf vetor aV dV

0lim ; ( ) ( )

n

n nn A

n n

F dFT tensor bA dA

, (2. 1)


___________________________________________________________________________

38

0lim ; ( ) ( )

n

n nn A

n n

M dMC tensor cA dA

,

Onde nT é conhecido como vetor das tensões ou tração, e Cn é chamado de vetor do

acoplamento das tensões.

A teoria da elasticidade elementar procede da superposição de que Cn = 0,

enquanto a tração nT representa a intensidade das tensões em um ponto para uma orientação

particular de elemento de área especificada por n . Uma descrição completa no ponto requer

que o estado das tensões seja conhecido para todas as direções, tal que nT ele mesmo é

necessário, mas não suficiente, para esta proposta.

2.2.2 – Componentes das Tensões

Nós agora estudamos um paralelepípedo retangular infinitesimal no ponto em

questão e construímos uma série de coordenadas cartesianas ix paralelas ao lado, conforme

mostrado na Figura – 2.2 correspondente a cada eixo coordenado existe um vetor unitário ie .

Mostrado na figura são as trações iT

que atuam sobre cada face i, com o subscrito escolhido

correspondente a face normal êi. Novamente enfatiza-se que, em geral, iT

não é paralelo a ie ,

o qual é perpendicular a face do paralelepípedo.

Figura - 2. 2. Tensor das tensões normais e cisalhantes em um corpo.


___________________________________________________________________________

39

ij , onde i é a direção do vetor normal o elemento de área e j é a direção da componente do

vetor tensão.

Cada tração pode ser escrita em termos das componentes cartesianas na forma:

1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆi if f e f e f e f e

, (2. 2)

Na notação de somatória de Einstein (convenção de soma), ou

1

1 2 3 2

1 13 13

1 3

i i

êf f f f ê f ê

ê

(2. 3)

Mas

jiji êT

(2. 4)

a qual expandindo explicitamente em três equações fornece:

jjêêêêT 13132121111

(2. 5)

jjêêêêT 23232221212

(2. 6)

jjêêêêT 33332321313

(2. 7)

ou ainda

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

1 33 1 3 3

ij j

ê TT ê T ê

ê T

(2. 8)

ou

j ij jT ê ê (2. 9)

Os coeficientes 11, 12, ...., 33, são conhecidos como componentes das tensões

ou simplesmente como tensões, enquanto que toda a matriz forma o tensor das tensões quando

a regra de transformação apropriada é verificada. O subscrito e a convenção dos sinais para as

componentes das tensões ij são como segue:


___________________________________________________________________________

40

1) O primeiro subscrito i refere-se à normal ie , a qual denota a face sobre a qual

iT

atua.

2) O segundo subscrito j corresponde à direção ˆ je na qual a tensão atua.

3) As tão chamadas componentes normais ii são positivas se elas produzem

tensões, e negativas se elas produzem compressões. As componentes de cisalhamento ij (i

j) são positivas se direcionadas na direção positiva xj enquanto atuam sobre a face com a

unidade normal ˆ je , ou se direcionadas na direção negativa xj enquanto atuam sobre a face

com unidade normal ˆ je .

Enquanto é algumas vezes vital distinguir entre tensão e compressão a diferença

entre cisalhamento positivo e negativo é igualmente arbitrário.

2.2.3 – Tensão em um Ponto

Nós agora estamos em posição de proceder o principal objetivo desta secção, e

então estabelecer condições suficientes para descrever completamente o estado tensões em um

ponto. Nós mostraremos que isto pode ser realizado por especificação das trações iT

sobre

cada um dos três planos ie as quais pela equação (2. 5) a (2. 7), é equivalente a especificar as

nove componentes das tensões ij . Então, se a tração nT

atua sobre qualquer elemento

arbitrário da superfície, definida por um n apropriado, pode ser avaliada, a proposição é

provada e o tensor das tensões ij , referido a qualquer sistema cartesiano conveniente,

completamente especifica o estado das tensões no ponto.


___________________________________________________________________________

41

Figura - 2. 3. Forças agindo sobre um tetraedro elementar em um ponto P.

O tetraedro diferencial na Figura - 2. 3 mostra a tração nT

atuando sobre o plano

identificado por n , ao longo com trações sobre as faces indicadas por êi e a força interna f

por unidade de volume. A força sobre a face inclinada é n nT dA

enquanto a força sobre cada

uma das outras faces é i iT dA

, 1, 2,3i , desde que elas têm normais unitárias nas direções

negativas êi.

As áreas dos planos estão relacionadas por (2. 8), onde

ˆ ˆ ˆcos( , ) .i n i n idA dA n e dA n ê (2. 10)

tal que

ˆ ˆ.i i

ni i

dA dAdAn e n

(2. 11)

onde

),ˆcos(ˆ.ˆ iii ênenn (2. 12)

é a componente de n na direção ie e também a direção cosseno.

A força de equilíbrio para o tetraedro da:

0)31(332211 nnn hdAfdATdATdATdAT

(2. 13)

Onde h é a altura do tetraedro. Usando as equações (2. 10) a (2. 12), a equação (2. 13) torna-

se:


___________________________________________________________________________

42

( ) 03n n i i nhT dA T n f dA

(2. 14)

Logo, resolvendo nT

em componentes cartesianas i iT ê e tomando o limite quando h 0 a

condição de equilíbrio é satisfeita se:

iiii nTêT

(2. 15)

O próximo passo é escrever iT em termos das componentes das tensões usando a equação (2.

4). Contudo, é conveniente primeiro mudar o índice mudo sobre o r.h.s da equação (2. 15) de

i para j, então:

ijjijjii ênnTnT

(2. 16)

O qual permite que os coeficientes de êi nas equações (2. 15) e (2. 16) sejam equacionadas

fornecendo:

jjii nT (2. 17)

Reciprocamente, se as componentes iT são conhecidas, a magnitude de nT

pode ser avaliada

como:

2/1)( iinn TTTT

(2. 18)

desde que nT representa uma componente da tração que atua sobre um plano arbitrário como

definido por n , o conhecimento das componentes da tensão referidas as coordenadas

cartesianas é realmente suficiente para especificar completamente o estado das tensões no

ponto. Na equação (2. 17), iT e jn são ambas componentes dos vetores (tensor de ordem 1)

tal que a ji são as componentes de um tensor de ordem 2. Portanto, se as componentes

das tensões são conhecidas em um sistema de coordenadas, dito o sistema xi, elas podem ser

avaliadas por outro sistema de coordenadas, dito o sistema xi’, pela lei de transformação para

os tensores de segunda ordem.

kljlikij ' (2. 19)

Onde cada direção cosseno é:

),'cos( jiij xx (2. 20)

conforme introduzido anteriormente ( ) representa o cosseno do ângulo entre os eixos xi’, e xi.


___________________________________________________________________________

43

Desde que a regra de transformação executa um papel importante na teoria da

elasticidade, vale a pena reafirmar que ij ji, isto é, a direção dos cossenos não são

simétricos.

2.2.4 – Tensões sobre um Plano Normal

É algumas vezes útil resolver nT

em componentes que são normais e tangenciais

ao elemento diferencial de superfície dAn, conforme mostrado na Figura - 2. 4.

Figura - 2. 4. Elemento diferencial de superfície

A componente normal é calculada por:

nTN nnn ˆ.

(2. 21)

nêT ii ˆ..

(2. 22)

ii nT . (2. 23)

ou da equação (2. 17):

ijijnn nn (2. 24)

a componente tangencial é:

sTs nns ˆ

(2. 25)


___________________________________________________________________________

44

sêT ii ˆ..

(2. 26)

ii sT . (2. 27)

ijjins sn (2. 28)

onde

sês ii ˆ. (2. 29)

Isto freqüentemente conveniente calcular ns usando o teorema de Pitágoras como

2/12 )( nniins TT (2. 30)

conduzindo a resolução a um passo a mais, as componentes cartesianas de N

e s podem ser

avaliadas:

knnkknn ênêN .ˆ.)(

(2. 31)

knnn (2. 32)

kijji nnn (2. 33)

onde k = 1, 2, 3.

a partir da equação (2. 24) para ns, a simples adição dá

.3,2,1)()( kT knnnknn (2. 34)

onde Tk são as componentes cartesianas de T conforme dado pela equação (2. 17).

2.2.5 – Representação Dyádica das Tensões

Conceitualmente, pode ser útil ver o tensor das tensões como uma grandeza tipo

vetorial tendo uma magnitude e direções associadas, especificadas por vetores unitários. O


___________________________________________________________________________

45

dyádico, atribuído ao matemático J. Willard Gibbs, é uma tal representação. Nós escrevemos

o tensor das tensões ou dyádico das tensões como:

jiij êê .. (2. 35)

333323321331

322322221221

311321121111

............

......

êêêêêêêêêêêê

êêêêêê

(2. 36)

Onde os duplos vetores justapostos são chamados dyádicos. As trações correspondentes são

avaliadas por uma operação análoga ao produto escalar ou a operação de produto na

aritmética vetorial:

jijii êêT ..

(2. 37)

A operação ponto (.) de êi sobre [] seleciona componentes com o segundo vetor diado igual

a êi desde que êi.êj = ij. A equação (2. 37) é idêntica a equação (2. 4). Similarmente, as

componentes normais e tangenciais da tração Tn sobre um plano definido pela normal n são:

nnnn ˆ.ˆ. (2. 38)

nTn ˆ.

(2. 39)

jiij nn .. (2. 40)

e

snns ˆ.ˆ. (2. 41)

sTn ˆ.

(2. 42)

jiij sn .. (2. 43)

como previamente achado nas equações (2. 24) e (2. 25), respectivamente.


___________________________________________________________________________

46

2. 5 - Equações de Equilíbrio

A partir de agora vamos estudar as equações de equilíbrio ara os sólidos as quais

são decorrentes da Mecânica Newtoniana.

2.3.1 – Princípios Físicos e Matemáticos

O estado das tensões em um ponto em qualquer direção tem sido mostrado ser

completamente determinado pelas componentes do tensor cartesiano das tensões ij.

Naturalmente, as tensões variam dentro do corpo. As equações que governam a distribuição

das tensões são conhecidas como as equações de equilíbrio e são derivadas a partir da

aplicação dos princípios fundamentais da física do momento angular e do momento linear à

região mostrada como na Figura - 2. 5 com a área superficial A e o volume V.

Figura - 2. 5. Corpo em equilíbrio.

O princípio do momento linear é:

2

2V A

d uF F m

dt

(2. 44)

ou

VV A

dVudATdVf

. (2. 45)

no qual é a densidade de massa; u é o vetor deslocamento, e o símbolo (..) significa a

derivada em relação ao tempo duas vezes.


___________________________________________________________________________

47

As equações precedentes podem ser escritas na forma de componentes

reconhecendo-se que:

. ( )i if f ê a

(2. 46)

e

iiêTT

(2. 47)

logo

ijji ên .. (2. 48)

a partir da equação (2. 30). Considerando o vetor posição r . Onde

.j jr x ê (2. 49)

Mas

int intV

F f dV

(2. 50)

E a resultante das forças é dada por:

intextV

F F rdV (2. 51)

e

ijext

jV

F dVx

(2. 52)

Logo substituindo (2. 50) e (2. 52) em (2. 53) temos:

intij

jV V

f dV rdVx

(2. 53)


___________________________________________________________________________

48

2.3.2 – Momento Linear

Para problemas estáticos, o r.h.s. das equações (2. 45) são zero. Substituindo-se as

equações (2. 54),(2. 47) e (2. 46) em (2. 45) nós temos que as equações estáticas do momento

linear são:

AV

dAnTdVf 0ˆ].[.

(2. 54)

ou equivalentemente

A

ijjiiV

i dAêndVêf 0. (2. 55)

0.

i

Ajji

Vi êdAndVf (2. 56)

A

jjiV

i dAndVf 0. (2. 57)

Supondo que as componentes ij das tensões são funções contínuas de classe C1 e

possuem derivadas contínuas, pode-se usar o teorema da divergência para transformar a

integral de superfície em uma integral de volume. Portanto,

AV

dAnTdVT ˆ].[]).[( (2. 58)

Logo substituindo (2. 58) em (2. 54) tem-se:

VV

dVTdVf 0]).[(

(2. 59)

0]).[( dVTfV

(2. 60)

0)(

dV

xf

V j

jii

(2. 61)


___________________________________________________________________________

49

Como todo elemento de V em equilíbrio, a região de integração é arbitrária, valendo para

qualquer volume V, a equação (2. 61) é satisfeita se o integrado desaparece. Portanto,

0

j

jii x

f

(2. 62)

Esta é a condição de equilíbrio para o momento linear, a qual representa as três equações de

equilíbrio em termos das nove componentes desconhecidas da tensão ij.

2.3.2 – Momento Angular

O princípio do momento angular é:

dVurdATrdVfrVAV

)()()( (2. 63)

No qual r é o vetor posição como mostrado na Figura - 2. 5.

O equilíbrio dos momentos demanda que:

0ˆ])[()( dAnTrdVfrAV

(2. 64)

onde

332211 êxêxêxr (2. 65)

a forma escalar de (2. 64) é:

0 dAnxdVfx llkjA

ijkV

kjijk (2. 66)

onde

0 , ,1 , , 1,2,3

1 , , 1,3, 2ijk

se quaisquer dois i j k são iguaisse i j k é uma permutação cíclica de

se i j k é uma permutação de

(2. 67)

Usando o teorema da divergência temos:

0)(

dAnxdVxx llkj

Aijk

Vlkjijk

l (2. 68)


___________________________________________________________________________

50

0)(

dVfxdV

xx

xx

kjV

ijkl

lk

Vjlk

l

jijk

(2. 69)

0])([

dVxx

fx

xV l

jlkk

l

lkjijk

(2. 70)

usando (2. 67) em (2. 70) temos:

ljse

ljsedVdV

xx

jljlV

lkijkV l

jlkijk 0

1;0 (2. 71)

0

[ ( ) ] 0lkijk j k lk jl

lV

x f dVx

(2. 72)

usando a expressão (2. 62) temos:

0 dVdVV

jkijkV

jllkijk (2. 73)

Como a relação é válida para qualquer volume temos:

0jkijk (2. 74)

a equação (2. 74) pode ser avaliada para i = 1,2,3, onde

02312332132 (2. 75)

01321331231 (2. 76)

01231221321 (2. 77)

Logo

2332 (2. 78)


___________________________________________________________________________

51

1331 (2. 79)

1221 (2. 80)

ou ainda de forma geral

jiij (2. 81)

a qual é uma condição da simetria do tensor das tensões e que, além disso, implica que ij tem

seis componentes independentes, em vez de nove componentes. A equação (2. 81) é muito

importante em todo o campo da mecânica dos sólidos.

Nós podemos reescrever a equação (2. 17) como:

jiji nT (2. 82)

e a equação (2. 62) como:

0

j

iji x

f

(2. 83)

A qual é agora uma série de três equações e seis incógnitas. Desde que elas são usadas

repetidamente, esta é útil escrever as últimas equações na forma explícita:

1311 121

1 2 3

0 ( )f ax x x

(2. 84)

2321 222

1 2 3

0 ( )f bx x x

(2. 85)

31 32 333

1 2 3

0 ( )f cx x x

(2. 86)

a qual representa um sistema que é ainda estaticamente indeterminado.


___________________________________________________________________________

52

2. 6 - Tensões Principais

Em todo ponto em um corpo existe um plano, chamado de plano principal, tal que

o vetor tensão se estende ao longo da normal n a este plano. Isto é,

jijii nnT (2. 87)

onde é a tensão normal que atua sobre este plano. A implicação é que não existe

cisalhamento agindo sobre o plano principal. A direção de n é referida à direção principal. A

introdução da equação (2. 87) na equação (2. 17) fornece:

0)( jijji n (2. 88)

A qual é uma série de três equações homogêneas para a direção dos cossenos ni que definem a

direção principal. Desde que nini = 1, então para evitar a solução trivial (0, 0, 0) devemos ter:

0det jijji n (2. 89)

a qual em uma forma matricial é:

0

333231

232221

131211

(2. 90)

Esta é uma equação cúbica em que pode ser escrita como:

0322

13 III (2. 91)

Onde I1, I2, I3 são grandezas escalares que são independentes do sistema de coordenadas na

qual as componentes das tensões são expressos. Elas são chamadas invariantes das tensões

como:

iiI 1 (2. 92)

)(21

2 ijijjjiiI (2. 93)

krjqippqrijkI 61

3 (2. 94)


___________________________________________________________________________

53

Em uma forma extendida temos:

3322111 I (2. 95)

231

223

2121133332222112 )( I (2. 96)

333231

232221

131211

3

I (2. 97)

Devido à simetria do tensor das tensões existem três raízes reais (1, 2, 3),

referente as tensões principais da equação (2. 90). Associado a cada tensão principal existe

uma direção principal satisfazendo a equação (2. 88) e nini =1. As três direções principais e os

planos associados são mutuamente ortogonais. Pode ser mostrado que as tensões principais

correspondem ao valor máximo, intermediário e mínimo das tensões normais em um ponto

(circulo de Mohr). Contudo, a máxima tensão de cisalhamento neste ponto é igual a metade da

diferença entre as tensões principais máxima e mínima que atua sobre o plano, fazendo um

ângulo de 45o graus com a direção das tensões. Um conhecimento das tensões principais é

importante porque elas formam a base da teoria das falhas dos materiais.


___________________________________________________________________________

54

2. 7 – Análise do Movimento de uma Deformação Elástica dos Corpos u

2.5.1 - Definição do vetor deslocamento u

A série fundamental das equações de campo que governam o movimento de um

corpo elástico isotrópico e homogêneo consiste da relação do deslocamento da deformação

para pequenas deformações. Portanto, considere o deslocamento u conforme mostrado na

Figura - 2. 6.

Figura - 2. 6. Vetor deslocamento u provocado por uma deformação elástica.

O deslocamento do corpo é dado por:

x X u (2. 98)

sendo

udrurdru . (2. 99)

logo

rurdruud . (2. 100)

e a diferencial de x

dx dX du (2. 101)


___________________________________________________________________________

55

ou seja

rdrdudud . (2. 102)

e a velocidade é:

dx dX duvdt dt dt

(2. 103)

E a aceleração é então:

2 2 2

2 2 2

d x d X d uadt dt dt

(2. 104)

E o estiramento é dado por:

dx udX

F I (2. 105)


___________________________________________________________________________

56

2.5.2 - Análise das Deformações

Considere um corpo flexível como uma gelatina, sofrendo “pequenas

deformações”, conforme mostra a Figura - 2. 7.

)',','(''),,( 321321 xxxrrexxxrr (2. 106)

333222111 )'()'()'(' êxxêxxêxxrru (2. 107)

Figura - 2. 7. Deformação tridimensional em um corpo flexível.

onde

traçãodeounormaissdeformaçõell

xu

ll

xu

ll

xu

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1 ;; (2. 108)

tocisalhamendeoustangenciaidefor

ll

xu

ll

xu

ll

xu

ll

xu

ll

xu

ll

xu

.;;

;;

2

3

2

3

3

2

3

2

1

3

1

3

3

1

3

1

1

2

1

2

2

1

2

1

(2. 109)

Chamando de:


___________________________________________________________________________

57

j

iij l

l , (2. 110)

podemos escrever:

jiji xu . (2. 111)

Para uma deformação qualquer temos:

j

iij x

u

, (2. 112)

Para o caso de i j temos duas situações:

Figura - 2. 8. Casos de a) deformação e b) rotação do ponto de vista de deslocamento vetorial.

Para o caso de formação pura temos:

2112

1

2

2

1

ll

ll

, (2. 113)

e

12 12 21 12

12 21 122

, (2. 114)

logo


___________________________________________________________________________

58

2)( 1221

12

, (2. 115)

e para o caso de rotação pura temos:

2112

1

2

2

1

ll

ll

, (2. 116)

e

12 12 21 12

21 1202

, (2. 117)

logo

02

)( 122112

, (2. 118)

Para que uma rotação pura não seja incluida no cálculo das deformações,

conforme é mostrado no exemplo da Figura - 2. 8 acima, devemos construir um tensor de

deformações simétrico onde ij = ji, logo de uma forma geral devos ter:

)(21

j

i

i

jij x

uxu

, (2. 119)

Observe que esta construção também inclui as deformações normais, sendo portanto uma

definição absolutamente geral.


___________________________________________________________________________

59

2.5.3 – A Definição Tensor das Deformações

Somando-se as contribuições de cada deformação para encontrar a deformação

resultante em uma dada direção temos:

3132121111 xxxu , (2. 120)

3232221212 xxxu , (2. 121)

3332321313 xxxu , (2. 122)

Escrevendo sob a forma de matriz nós temos que o tensor das deformações é dado por:

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

xxx

uuu

, (2. 123)

Escolhendo a origem onde o vetor u = (u1, u2, u3) é nulo, o tensor ij dá a relaçào

entre dois vetores; o vetor coordenada r = (x1, x2, x3) e o vetor deslocamento u = (u1, u2, u3).


___________________________________________________________________________

60

2.5.4 - A Definição do Tensor Gradiente de Deformação

Definindo a deformação E e a torção W , como sendo:

uu 21E ou jiij uu ,,2

1 E (2. 124)

e

uu 21W ou jiij uu ,,2

1 W (2. 125)

onde

WE u (2. 126)

O u é definido como:

i

u u u uux x y z

(2. 127)

Observe que se o tensor das deformações é simétrico o tensor das torções é nulo,

ou seja, se

uu (2. 128)

logo

0W (2. 129)

Sendo a deformação definida como:

12

Tij u u

(2. 130)


___________________________________________________________________________

61

2.5.5 – Equações de Compatibilidade


___________________________________________________________________________

62

Capítulo - III

TEORIA DO CAMPO ELASTOSTÁTICO CLÁSSICO

RESUMO

Neste capítulo é apresentado o desenvolvimento da solução da equação do campo

elástico linear por meio da definição de problemas planos (deformação plana e tensão plana)

inserindo-se as equações de compatibilidade com a finalidade de se obter a equação

biharmônica. A solução geral da equação biharmônica é desenvolvida utilizando-se variáveis

complexas e as condições de Cauchy-Riemmann. Em seguida um desenvolvimento

matemático é feito para se obter as equações de Kosolov. Esta equações tornam-se facilmente

aplicável ao problema da fratura elástica linear na obtenção do campo de tensão/deformação

ao redor de uma trinca.

3. 1 - Objetivos do Capítulo

i) Apresentado o desenvolvimento da solução da equação do campo elástico linear por meio

da definição de problemas planos (deformação plana e tensão plana)

ii) Inserir as equações de compatibilidade com a finalidade de se obter a equação biharmônica

iii) Apresentar e desenvolver a solução geral da equação biharmônica utilizando-se variáveis

complexas e as condições de Cauchy-Riemmann.

iv) Apresentar desenvolvimento matemático para se obter as equações de Kosolov.


___________________________________________________________________________

63

3. 2 - Introdução

Neste capítulo nós discutiremos a teoria clássica da elasticidade como uma

generalização dos métodos matemáticos dos capítulos anteriores para o contínuo


___________________________________________________________________________

64

3. 3 – Introdução a Teoria da Elasticidade Linear

A teoria da elasticidade linear se desenvolveu no âmbito da Física Clássica, antes

da teoria atômica de Dalton, ou melhor, antes de se conhecer a estrutura íntima da matéria e a

natureza das ligações químicas entre os átomos ou moléculas de um sólido. Com isso, um

corpo sólido foi estudado seguindo o “princípio de causa e efeito” (ou estímulo e resposta)

usando-se a mecânica newtoniana e considerando-o como um meio contínuo. Desta forma, a

Lei de Hooke foi estabelecida pela observação experimental (empírica) onde observou-se que

a deformação sofrida (efeito ou resposta) por um corpo é proporcional a forca aplicada por

unidade de área (causa ou estímulo).

Figura - 3. 1. Estudo de causa (força) e efeito (deformação) aplicado sobre um sólido contínuo.


___________________________________________________________________________

65

3. 4 - Fundamentos da Teoria da Elasticidade Linear

A teoria da elasticidade estuda o comportamento mecânico de um material em

relação a solicitação de carga ou força externa, sob o ponto de vista da deformação elástica

reversível, até o limiar da fluência ou ruptura. Esta teoria possui seu suporte fundamental na

lei de Hooke.

3.4.1 – Densidade de Energia de Deformação


___________________________________________________________________________

66

3.4.2 – Materiais Elásticos Lineares

O assunto da elasticidade trata do comportamento daquelas substâncias que tem a

propriedade de restaurar seu tamanho e forma quando as forças que produzem a deformação

são removidas. Nós encontramos esta propriedade elástica de alguma forma em todos os

corpos sólidos.

Quando nós empurramos uma peça de um material, esta “cede’- o material é

deformado. Se a força é pequena o bastante, os deslocamentos relativos dos vários pontos do

material são proporcionais à força – nós dizemos que o comportamento é elástico.

Suponhamos que nos tomamos um bloco retangular de material de comprimento,

l, largura, w, e de altura, h, conforme mostra a

Figura - 3. 2. A elongação de uma barra sob uma tensão uniforme.

Se nós puxamos nas extremidades com uma força, F, então o comprimento

aumenta de uma quantidade l. Nós suporemos em todos os casos que a variação no

comprimento é uma pequena fração do comprimento original. Como é de fato, para materiais

como a madeira, e aço, o material quebrará se a variação no comprimento é mais do que

alguns por cento do comprimento original. Para um grande número de materiais, os

experimentos mostram que para extensões suficientemente pequenas a força é proporcional a

extensão.

F l, (3. 1)

Esta relação é conhecida como Lei de Hooke. A elongação l da barra dependerá

também de seu comprimento. Nós podemos representar isto com o seguinte argumento.


___________________________________________________________________________

67

Se cementarmos dois blocos um ao outro, extremidade a extremidade, as mesmas

forças atuarão em cada bloco, cada um distenderá l. Então a elongação de um bloco de

comprimento, 2l, será duas vezes maior do que o de um bloco de mesma secção transversal,

mas com comprimento, l. De forma a obter um número mais característico do material, e

menos de qualquer forma particular, nós escolhemos tratar com a razão l/l da extensão do

comprimento original. Esta razão é proporcional à força mas independente de l.

F l/l, (3. 2)

Se expressarmos a dependência de F(l) em série de Taylor teremos:

F (l) = F(l = 0) + (F/)l + (2F/l2)l2 , (3. 3)

Como os l são muito pequenos os termos de ordem superior (l2, l3, etc) são desprezíveis

portanto ficamos apenas com.

F (l) = (F/l)l , (3. 4)

Este primeiro termo é nulo porque na ausência de deformação não há forcas

aplicadas. Portanto chamando de k = F/l temos:

F (l) = kl , (3. 5)

A força F também dependerá da área do bloco. Suponhamos que nós pomos dois

blocos lado a lado. Então para uma dada elongação l nós termos a força F em cada um dos

blocos, ou duas vezes a mais a combinação dos dois blocos. A força, para uma dada

quantidade de elongação, deve ser proporcional a área A da secção transversal do bloco.

F ~ Al/l , (3. 6)

Para obter a lei na qual o coeficiente de proporcionalidade é independente das

dimensões do corpo, nós escrevemos a Lei de Hooke para um bloco retangular na forma:

F = YAl/l , (3. 7)

Como conseqüência direta da lei de Hooke nós temos que a densidade volumétrica de forças,

f, é uma constante, independente da deformação, l, dada por:

f = dF/dV = Y/l , (3. 8)

A constante Y é uma propriedade que depende exclusivamente da natureza do

material , e é conhecida cpmo “Modulus de Young”.


___________________________________________________________________________

68

A força por unidade de área é chamada de tensão (stress), e a elongação por

unidade de comprimento é chamada de deformação (strain). A equação pode portanto ser

reescrita da seguinte forma:

F/A = Yl/l , (3. 9)

Ou

tensão = Modulus de Young x deformação , (3. 10)

Ou ainda

= Y , (3. 11)

Existe uma outra parte da Lei de Hooke ...


___________________________________________________________________________

69

3. 5 - Teoria Elastodinâmica Linear

3.4.2 – Equação Constitutiva para o Fluxo do Potencial Vetorial (Fluxo de

Deformações em um Material Sólido Elástico-Linear – Lei de Hooke)

A série fundamental das equações de campo que governam o movimento de um

corpo elástico isotrópico e homogêneo consiste da relação do deslocamento da deformação

para pequenas deformações. Portanto, considere o deslocamento u conforme mostrado na

Figura - 2. 9. Vetor deslocamento u provocado por uma deformação elástica.

O deslocamento do corpo é dado por:

x X u (3. 12)

sendo

udrurdru . (3. 13)

logo

rurdruud . (3. 14)

e a diferencial de x

dx dX du (3. 15)

ou seja


___________________________________________________________________________

70

rdrdudud . (3. 16)

e a velocidade é:

dx dX duvdt dt dt

(3. 17)

E a aceleração é então:

2 2 2

2 2 2

d x d X d uadt dt dt

(3. 18)

E o estiramento é dado por:

dx udX

F I (3. 19)

Definindo a deformação E e a torção W , como sendo:

uu 21E ou jiij uu ,,2

1 E (3. 20)

e

uu 21W ou jiij uu ,,2

1 W (3. 21)

onde

WE u (3. 22)

O u é definido como:

i

u u u uux x y z

(3. 23)

Observe que se o tensor das deformações é simétrico o tensor das torções é nulo,

ou seja, se

uu (3. 24)

logo

0W (3. 25)

Sendo a deformação definida como:


___________________________________________________________________________

71

12

Tij u u

(3. 26)

3.4.3 – A Lei de Hooke Generalizada para Sólidos Elásticos Lineares

A Lei de Hooke na sua forma generalizada é dada por:

ij ijkl klC , (3. 27)

Esta equação matricial dá origem a uma matriz Cijkl de 9 linhas e 9 colunas em um

total de 81 elementos na matriz. Porém por simetria temos que:

klijijklijlkijkljiklijkl CCCCCC ;; , (3. 28)

Logo reduzimos os elementos para o número de 21, os quais escritos de forma explicita

temos;

xy

zx

yz

zz

yy

xx

xy

zx

yz

zz

yy

xx

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

, (3. 29)

Definindo o módulo de cisalhamento, G, como sendo dado por:

yzyz G , (3. 30)

e

zxzx G , (3. 31)

e

yzyz G , (3. 32)

logo

klij G , (3. 33)

e o módulo de Poisson para i j ,como


___________________________________________________________________________

72

jj

iiijv

, (3. 34)

As equações de tensões podem ser escritas em termos do módulo elástico, E,

como:

zzyyxxxx vEvEE , (3. 35)

e

zzyyxxyy vEEvE , (3. 36)

e

zzyyxxzz EvEvE , (3. 37)

A matriz anterior pode ser escrita como:

xy

zx

yz

zz

yy

xx

xy

zx

yz

zz

yy

xx

GG

GEvEvEvEEvEvEvEE

000000000000000000000000

, (3. 38)

De uma forma geral, isto é, para um material isotrópico as equações de tensão

podem escritas como:

2ij ij ij kk , (3. 39)

para 2 / 1 2v v temos:

)21

(2 kkijijij vv

, (3. 40)

onde G : é o módulo de cisalhamento

As equações de deformação podem ser escritas em termos do módulo elástico, E,

como:

)]([1zzyyxxxx v

E , (3. 41)

e


___________________________________________________________________________

73

)]([1zzxxyyyy v

E , (3. 42)

e

)]([1zzxxzzxzz v

E , (3. 43)

Sabendo que:

GvE )1(2 , (3. 44)

È possível também montar a matriz inversa da matriz de rigidez da equação (3.

38) acima e esta passa a se chamar de matriz de flexibilidade onde:

ij ijkl klS , (3. 45)

Com 1ijkl ijklC S , ou seja:

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

xx xx

yy yy

zz zz

yz yz

zx zx

xy xy

v vE E Ev vE E Ev vE E E

G

G

G

, (3. 46)

De uma forma geral, isto é, para um material isotrópico as equações de tensão

podem escritas como:

1 ( )2 1ij ij ij kk

vv

, (3. 47)

Onde G : é o módulo de cisalhamento


___________________________________________________________________________

74

3.4.4 – Equação Constitutiva o Fluxo de Deformações em um Material Sólido

Elástico-Linear

Mais uma vez usando as mesmas considerações de Gibbs para os fluxos derivados

de potenciais os quais podem ser geralmente expressos em temos de gradiente de grandezas

escalares ou vetoriais, no calo da teoria da elasticidade temos a lei de Hooke generalizada a

qual é dada por:

ijkkUo IJ γε 2

. (3. 48)

como o tensor deformação é dado por (3. 20) e (3. 26):

uu 21E . (3. 49)

Logo (3. 48) torna-se:

uuuJUo

. . (3. 50)

ou finalmente na notação tensorial temos:

EE 2 trJUo

. (3. 51)

Observe que as notações (3. 20) e (3. 26), assim como as notações (3. 40), (3. 48), (3. 50) e (3.

51) são todas equivalentes.

A equação de fluxo (3. 48) ou (3. 50) também pode ser escrita em termos da

equação geral Erro! Fonte de referência não encontrada. proposta por Gibbs usando-se a

seguinte relação:

2(1 )E

v

. (3. 52)

e obtendo-se

1.2(1 )UoJ u u u

v

I (3. 53)

como 1. . .2

Tu u u , pode-se definir o Tensor de Eshelby-Rice como sendo:

1 1. .2 (1 )

TvT u u u u

v

I (3. 54)

temos:


___________________________________________________________________________

75

Uo vJ T

. (3. 55)

3.4.5 - A Visão do Contínuo para a Lei de Hooke

Desenvolveremos a segunda parte da Lei de Hooke considerando inicialmente a

ação de um corpo sólido elástico isotrópico que se deforma de acordo com essa lei, a qual

pode ser escrita, na sua forma generalizada, para um corpo isotrópico da seguinte forma:

Considere um corpo em sua forma primitiva, não deformada, como mostrado pela

linha cheia na Figura - 3. 3. O corpo em sua geometria deformada está mostrado pela linha

interrompida.

Figura - 3. 3. Corpo deformado mostrando o ponto a deslocado após a deformação local s.

Um elemento a desloca-se para a posição a’, da distância S

. Usando

componentes paralelas a uma referência convenientes x, y, z temos S

.

kjiS ˆˆˆ

. (3. 56)

Onde e,, , para dada deformação são funções das coordenadas de posição primitiva x, y,

z dos elementos do corpo. Podemos então definir deformações normais da seguinte maneira:

xxx

, (3. 57)

yyy

, (3. 58)


___________________________________________________________________________

76

zzz

. (3. 59)

Da resistência dos materiais, sabemos que as tensões e deformações normais estão

relacionadas com pequenas deformações pela Lei de Hooke da seguinte maneira:

)]([1zzyyxxxx v

E , (3. 60)

)]([1zzxxyyyy v

E , (3. 61)

)]([1zzxxzzzz v

E . (3. 62)

Onde E é o módulo elástico de Young e v é o coeficiente de Poisson. Recordamos que o

módulo de cisalhamento, G, é relacionado com E e v, pela seguinte relação

)1(2 vEG

. (3. 63)

Para chegar a lei de deformação de Hooke, obtemos as tensões normais em termos

dos deslocamentos. Para fazê-lo, somamos as equações (3. 60) a (3. 62) e coletamos os termos

da seguinte forma:

][21zzyyxxzzyyxx E

v

. (3. 64)

Observando as definições de (3. 56) a (3. 59) pode-se verificar que o primeiro

membro da equação (3. 64) é o divergente de S, ou .S, logo reordenando (3. 64), obtemos:

S.21

v

Ezzyyxx . (3. 65)

Resolvendo a equação (3. 60) para xx, temos:

)]( zzyyxxxx vE , (3. 66)

Somando e subtraindo vxx no segundo membro da equação acima e substituindo xx por

/x, obtemos:


___________________________________________________________________________

77

xxzzyyxxxx vvx

E

)( , (3. 67)

Empregando a equação (3. 65) para substituir a soma das tensões normais, podemos reordenar

a equação acima da seguinte forma:

S.21

)1(

v

vEx

Evxx , (3. 68)

Dividindo por (1 + v) e observando a equação (3. 65) junto com a definição de , dada por:

zzyyxx 31 . (3. 69)

A partir de (3. 65) temos que:

S.)21(3

1

vE , (3. 70)

Logo podemos escrever a equação (3. 68) na forma:

SS .

)21(31.

)21)(1()1( vE

vvvE

xvE

xx , (3. 71)

Onde os últimos termos são adicionais, cuja soma é zero. Logo, pondo em evidência os

termos semelhantes

S.

)21(31

)1()1( vE

vv

xvE

xx , (3. 72)

e combinado os coeficientes do termo .S, obtemos:

S.

)21()1(312

)1( vE

vv

xvE

xx , (3. 73)

Ou

S.

)1(31

)1( vE

xvE

xx , (3. 74)

Substituído agora )1/( vE por 2G, dado de acordo com (3. 63), obtemos:

S.322 G

xGxx , (3. 75)


___________________________________________________________________________

78

Coletando os termos e exprimindo as equações correspondentes para outros componentes de

tensão, obtemos as relações desejadas de tensão-deslocamento, ou seja:

S.322 G

xGxx , (3. 76)

e

S.322 G

yGyy , (3. 77)

e

S.322 G

zGzz , (3. 78)

3.4.6 – - Densidade de Energia de Deformação na Elasticidade

A densidade de energia de deformação, W = W(kl), é uma função potencial das

deformações definida como:

ijijij dWkl

0

)( , (3. 79)

Cuja convexidade e condição de estabilidade é dada por:

)''()()''( klklkl

ijij

ij

WWW

, (3. 80)

Usando (3. 79) temos:

ijijij ddW )( , (3. 81)

onde

klij ijkl kl

ij

WC

, (3. 82)

Logo

)''()()''( klklijijij WW , (3. 83)


___________________________________________________________________________

79

3.4.7 - Equações de compatibilidade

A partir da regra de Schwartz temos que:

ijklklij

WW

22

, (3. 84)

Portanto

kl

ij

ij

kl

, (3. 85)

Desta forma o Jacobiano fica:

2

22

2

2

2

2

klijkl

klijij

klij WW

WWW

, (3. 86)

Logo

022

2

2

2

2

ijklklijklij

WWWW

, (3. 87)

3.4.8 – Equação Constitutiva dos Materiais Elásticos Lineares

Considerando o caso de materiais elásticos lineares a densidade de energia de

deformação pode ser expandida em série de Taylor da seguinte forma:

...)(

21)0()(

klij

klij

ijkl

WWW

, (3. 88)

Considerando que o primeiro termo da expansão acima se anula por ser uma posição de

equilíbrio, nível zero da densidade de energia potencial, temos:

klijijklkl CW 21)( , (3. 89)

Combinando as equações (3. 89) e (3. 27) ou (3. 82) temos:


___________________________________________________________________________

80

ijijW 21

, (3. 90)

Substituindo a equação (3. 47) em (3. 90) temos:

)21

()( jjiijiijij vvW

, (3. 91)

3.4.9 -– Complementaridade da Densidade da Energia de Deformação

A existência de uma única inversa da relação constitutiva (3. 85)

ij

kl

kl

ij

, (3. 92)

Assegura a existência da complementaridade da densidade de energia de deformação, W* =

W*(ij), definida por transformada de Legendre como:

WW ijij * , (3. 93)

A partir da regra da cadeia derivando a equação (3. 93) temos:

ij

ij

ijij

ij

WW

*

, (3. 94)

Substituindo a equação (3. 27) ou (3. 82), para 0

ij

ij

temos:

ij

ijijij

ij

W

*

, (3. 95)

Portanto,

ijij

W

*

, (3. 96)

É direta a tarefa de mostrar que a convexidade de W* segue da convexidade de W.

Para um material frágil elástico linear a combinação de (3. 90) com (3. 93)

fornece:


___________________________________________________________________________

81

ijijWW 21* , (3. 97)

Pode-se escrever para este caso que:

klijijklkl CW **

21)( , (3. 98)

Onde o tensor C*ijkl é o inverso do tensor Cijkl e da mesma forma:

klijijklijlkijkljiklijkl CCCCCC ****** ;; , (3. 99)

Segue de (3. 96) e (3. 98) que:

klijklij

klij CW

** )(

, (3. 100)

Para um material isotrópico a equação (3. 100) se reduz a

kkijijij Ev

Ev

1 , (3. 101)

e W* torna-se:

llkkklklkl Ev

EvW

221)(*

, (3. 102)

Se uma lei de potência entre tensão e deformação existe, dada pela equação (3.

27), de tal forma que a deformação é uma função homogênea de grau n da tensão (equação (3.

100)), então a equação (3. 97) implica que W* deve ser uma função homogênea das

componentes da tensão de grau n+1. Isto segue do teorema de Euler para funções

homogêneas, portanto:

ijijijij n

Wn

W 1

11

1 **

, (3. 103)

Combinado (3. 93) com (3. 103) temos:

1 ij ijnW

n

, (3. 104)

Quando a tensão é proporcional a deformação (n = 1) então as equações (3. 97),

(3. 103) e (3. 104) tornam-se idênticas a equação (3. 90) e (3. 97).


___________________________________________________________________________

82

3.4.10 – Equação do Potencial Vetorial Generalizado para a Deformação Elástica

Dada a equação da continuidade:

XoXo dtdJ . . (3. 105)

Substituindo (3. 53) em (3. 105) temos:

1. .2(1 )

d uu u u

v dt

I

. (3. 106)

Para cte , temos:

2 1. .

2(1 )

d uu u u

v dt

I

. (3. 107)

Onde a derivada material de X é dada por:

d u uv u

dt t

. (3. 108)

Logo

2 1. .2(1 )

uu u u v u

v t

I

. (3. 109)

Caso I)

Para fluxos estacionários temos:

2 1. .2(1 )

u u u v uv

I . (3. 110)

Caso II) Para regimes onde os fluxos são perpendiculares aos gradientes( v u ) temos:

2 1. . 02(1 )

u u uv

I . (3. 111)

Onde . 0v u


___________________________________________________________________________

83

3.4.11 - Equação Constitutiva para o Fluxo do Potencial Vetorial das Taxas de

Deformações nos Fluidos

Nós sabemos que um fluido se dilata continuamente sob a ação de uma força.

Logo, de forma análoga, ao caso de deformação elástica podemos escrever a Lei de Hooke

para a teoria de fluidos, e obter uma expressão analítica para o fluxo de energia sob a forma

de tensão nos fluidos, a partir do que chamamos tensão em um ponto, ou seja, de acordo com

a descrição da tensão em um volume qualquer, da seguinte forma:

kkijijijJ 2 , (3. 112)

onde é o coeficiente de viscosidade, e

)(21

j

i

i

jij xx

, (3. 113)

Seguindo o mesmo raciocínio feito para os sólidos podemos escrever as relações

entre os coeficientes de viscosidade, e a partir da relação (3. 52).

)1(2 v

. (3. 114)

Para um fluido incompressível onde o volume se conserva temos que o módulo de Poisson

vale 5.0v , logo teremos uma relação entre os coeficientes de viscosidade e dado por:

3

. (3. 115)

De uma forma geral a força viscosa pode ser dada substituindo-se (3. 112) em

Erro! Fonte de referência não encontrada. e considerando a situação de estado

estacionário, obtém-se:

)2.(. kkijijijvis Jf

. (3. 116)

sendo

2)(

T , (3. 117)

Finalmente temos:

vvvJUo

. . (3. 118)

Na forma vetorial podemos escrever:


___________________________________________________________________________

84

vJT

.2

)(2

, (3. 119)

chamando de:

vv 21D . (3. 120)

Portanto,

DD 2 trJUo

. (3. 121)

A densidade de momento linear sob a forma de taxa de cisalhamento (ou gradiente

de velocidades) é dada pela transferência de momento durante a taxa de cisalhamento (ou

gradiente de velocidades) cuja densidade generalizada é dada por:

3.4.12 – Equação do Potencial Vetorial Generalizado para a Massa Fluida

Dada a equação da continuidade:

XoXo dtdJ . . (3. 122)

Substituindo Erro! Fonte de referência não encontrada. em (3. 122) temos:

XoXo dtd . . (3. 123)

Para = cte, temos:

XoXo dtd 2 . (3. 124)

Onde a derivada material de X é dada por:

tdtd Xo

XoXo

. . (3. 125)

Logo

tXo

XoXo

.2 . (3. 126)

Caso I)

Para fluxos estacionários temos:


___________________________________________________________________________

85

0.12 XoXo

. (3. 127)

Caso II)

Para regimes onde os fluxos são perpendiculares aos gradientes(

) temos:

012

tXo

Xo

. (3. 128)

Onde 0.

3.4.13 – A Equação de Movimento Elastodinâmico Linear

A partir de condições de equilíbrio nós temos que:

0. SV

SdTdVf

(3. 129)

ou seja, o campo das tensões aplicado sobre a superfície de um sólido em equilíbrio é igual a

densidade volumétrica de força armazenada por este sólido.

Da condição de não-rotação temos:

0. SV

SdTrdVfr

(3. 130)

As equações (3. 26) e (3. 27) constituem a base matemática para a teoria da

elasticidade linear. Contudo, considerando que o deslocamento u se propaga no espaço e no

tempo temos:

tu

dtrd

rdud

dtud

(3. 131)

ou

tu

dtrdu

dtud

(3. 132)

ou

tu

dtrduu

(3. 133)

As equações de equilíbrio podem a partir de agora serem expressos de forma a

incluir a propagação dinâmica da deformação u , de acordo com a 2ª e 3ª Leis de Newton.


___________________________________________________________________________

86

VSV

dVuSddVf .T (3. 134)

Para o caso estático temos:

. 0V S

fdV dS T

(3. 135)

Aplicando o teorema da divergência no segundo termo do lado esquerdo da equação (3. 134)

temos:

VS

dVSd TT ..

(3. 136)


VVV

dVudVdVf T. (3. 137)

Como o volume em (3. 137) é arbitrário ele pode ser escolhido igual ao volume de controle V

ficando portanto, as equações do balanço do momentum (3. 134)

ufTouudVf jiij

,.T (3. 138)

onde é a densidade do corpo.

Observe que de uma forma geral temos:

Tnn

TT .ˆˆ. (3. 139)

A relação tensão-deformação linear é dada a partir da Lei de Hooke, na forma

tensorial, onde:

EEIT 2 tr (3. 140)

ou

ijkkijij EET 2 (3. 141)

onde

vE

12

e vvvE

211 (3. 142)

onde e são as constantes elásticas do sólido e E é o módulo elástico de Young e v é o

módulo de Poisson.



___________________________________________________________________________

87

utrf EEI 2. (3. 143)

ou

utrf EEI .2. (3. 144)


Tntr

ˆ2 EEI (3. 145)

logo

Tnntr

ˆ2ˆ EEI (3. 146)

Mas a partir de (3. 26) temos:

uu 21E (3. 147)

Substituindo (3. 26) ou (3. 147) em (3. 144) e (3. 146) temos:

uuuuutrf

21.2

21. I (3. 148)

e

Tnuunuutr

ˆ

212ˆ

2I (3. 149)

ou logicamente para a equação (3. 148) temos:

uuuuuf

.....2

(3. 150)

Reescrevendo (3. 150) temos:

uuuf .. (3. 151)

ou

uuuf .2 (3. 152)

e para a equação (3. 150) temos:

Tuunuun

.ˆ

2.ˆ (3. 153)

sendo


___________________________________________________________________________

88

ununuun ˆ.ˆ2.ˆ (3. 154)

temos:

Tununun

ˆ.ˆ2..ˆ (3. 155)

ou

Tununun

ˆ.ˆ2..ˆ (3. 156)

Portanto,

uuuf .2 (3. 157)

e

Tununun

ˆ.ˆ2..ˆ (3. 158)

como

kf

(3. 159)

Ficamos com,

uuuk .2 (3. 160)

e

Tununun

ˆ.ˆ2.ˆ (3. 161)

Esta é a equação diferencial parcial dependente do tempo para problemas em elasticidade em

um corpo de volume V, onde k

é a densidade volumétrica de força (força por unidade de

volume) em alguma função da posição e do tempo sujeita a condição (3. 161), sobre a

superfície S ligada ao volume V.

3.4.14 – Problemas de Valor de Contorno


___________________________________________________________________________

89

3. 6 –


___________________________________________________________________________

90

3.7 – O Campo de Tensão Elástico Linear

Existem três modos fundamentais de solicitação de carga ou de carregamento,

baseado nos três eixos fundamentais do espaço tridimensional de tensão.

Figura - 3. 4. Modos fundamentais de solicitação de carga ou carregamento para a fratura.

Nesta secção nós discutiremos a teoria clássica da elasticidade como uma

generalização dos métodos matemáticos dos capítulos anteriores para o contínuo.

3.6.1 – Equações Básicas da Elasticidade para o Corpo Homogêneo e Isotrópico

Um corpo elástico tem um único estado natural, para o qual o corpo retorna

quando todas as cargas externas são removidas. Todas as tensões, deformações e

deslocamentos de partículas são medidas a partir deste estado natural; seus valores são

contados como zero naquele estado.

Existem duas formas de descrever um corpo deformado: A abordagem material e

a espacial. Considere a descrição espacial. O movimento de um contínuo é descrito pelo

campo de velocidades instantâneas 1 2 3, , ,iv x x x t . Para descrever a deformação no corpo, um

campo de deslocamento 1 2 3, , ,iu x x x t é especificado o qual descreve o deslocamento de uma

partícula localizada em 1 2 3, ,x x x no tempo t a partir de sua posição no estado natural. Várias

medidas de deformação podem ser definidas para o campo de deslocamento. O tensor de

deformação de Almansi é expressa em termos de 1 2 3, , ,iu x x x t de acordo com a seguinte

equação:


___________________________________________________________________________

91

12

j i k kij

i j i j

u u u ux x x x

, (3. 162)

O deslocamento iu da partícula são funções do tempo e da posição. A velocidade da partícula

é dada pela derivada material do deslocamento.

i ii j

j

u uv vt x

, (3. 163)

A aceleração da partícula é dada pela derivada material da velocidade.

i ii j

j

v vvt x

, (3. 164)

O movimento do corpo deve obedecer a equação da continuidade:

0i

i

vx t

, (3. 165)

e a seguinte equação de movimento:

ijj i

j

Xx

, (3. 166)

Em acréscimo a equações de campo (3. 165) e (3. 166) a teoria da elasticidade

linear é baseada na lei de Hooke. Para um material isotrópico homogêneo, isto é:

2ij kk ij ijG , (3. 167)

onde e G são constantes independentes das coordenadas espaciais.

Os famosos termos não-lineares em (3. 162), (3. 163) e (3. 164) são fontes de

maior dificuldade na teoria da elasticidade. Para se fazer algum progresso nós estamos

forçados a linearizar pela consideração de pequenos deslocamentos e pequenas velocidades, i.

e. pela restrição a valores de iu , iv tão pequenos que os termos não-lineares em (3. 162), (3.

163) e (3. 164) podem ser desprezados. Em uma tal teoria linearizada, nós temos:

12

j iij

i j

u ux x

, (3. 168)

e

;i ii i

u vvt t

, (3. 169)


___________________________________________________________________________

92

A menos que se estabeleça de outra forma, tudo o que for discutido abaixo será sujeito a esta

restrição de linearização. Felizmente muitos resultados úteis podem ser obtidos a partir desta

teoria linearizada.

As equações (3. 162)-(3. 167) ou (3. 165)-(3. 169) juntos são as 22 equações para

22 variáveis , iu , iv , ije , ij . Na teoria do deslocamento infinitesimal nós podemos

eliminar ij pela substituição da equação (3. 167) em (3. 166)

2kk ij ij j ij

G Xx

, (3. 170)

Substituindo ( ) em ( ) temos:

2

2jk i i

ij jj k i j

uu u uG Xx x x x t

, (3. 171)

para ,G cte temos:

2

2jk i i

ij jj k j i j j

uu u uG Xx x x x x x t

, (3. 172)

sendo /k ke u x . Logo,

2

2j i i

ij jj j i j j

u u ue G Xx x x x x t

, (3. 173)

mas

ijj i

e ex x

(3. 174)

Logo

2

2j i i

ji j i j j

u u ue G Xx x x x x t

, (3. 175)

para /j je u x temos:

j

i i j

uex x x

(3. 176)

Entao


___________________________________________________________________________

93

2

2j j i i

ji j j i j j

u u u uG Xx x x x x x t

, (3. 177)

e usando (3. 168) para obter a bem conhecida equação de Navier.

2

2j i i

ji j j j

u u uG G Xx x x x t

, (3. 178)

Isto pode ser escrito na forma:

2

22

ii

j

ueG G u Xx t

, (3. 179)

onde

j

j

ue

x

, (3. 180)

e

22

2i

ij

uux

, (3. 181)

A quantidade e é a divergência do vetor deslocamento iu . 2 é o operador

laplaciano. Se nós escrevermos , ,x y z ao invés de 1 2 3, ,x x x nós temos:

u v wex y z

, (3. 182)

e

2 2 22

2 2 2x y z

, (3. 183)

Love escreveu a equação (3. 178) ou (3. 179) na forma:

2

22, , , , , ,G u v w G e X Y Z u v w

x y z t

, (3. 184)

a qual é a forma mais curta para as três equações do tipo:

2

22

e uG u G Xx t

, (3. 185)

Isto também pode ser escrito como:


___________________________________________________________________________

94

22

21

1 2e uG u X

v x t

, (3. 186)

Se nós introduzirmos o vetor rotação

1, , , ,2x y zw w w rot u v w , (3. 187)

1 , ,2

w v u w v uy z z x x y

,

(3. 188)

e o uso da identidade:

2 , , 2 , ,x y zu v w e rot w w wx y z

, (3. 189)

então (3. 179) ou (3. 184) pode ser escrito como:

2

22 2 . , , , , , ,x y zG e G rot w w w X Y Z u v wx y z t

, (3. 190)


___________________________________________________________________________

95

3.6.2 – Equações de Movimento para Problemas Estacionários

Para os problemas estáticos, as equações de equilíbrio são substituídas pelas

equações de movimento, as quais, na ausência de forças de corpo, são dadas por:

0ij

jx

(3. 191)

cuja equação constitutiva para um material elástico linear é dada por:

jiij

j i

uux x

(3. 192)

onde jx denota as coordenadas ortogonais e cada ponto indica uma derivada no tempo. Para

problemas quasi-estáticos, o termo do lado direito de (3. 191) desaparece. Para um material

elástico linear, é possível escrever as equações de movimento em termos de deslocamentos e

constantes elásticas invocando as relações de tensão-deslocamento e tensão deformação da

seguinte forma:

0ji

j j i

uux x x

(3. 193)

ou

2

2 0ji

j ij

uux xx

(3. 194)

onde e são as constantes de Lamé; é o modulo de cisalhamento e:

21 2

vv

(3. 195)

2

22 1 0

1 2ji

j ij

uu vv x xx

(3. 196)

e

2

22 1 2 0

1 2 1 2ji

j ij

uu v vv v x xx

(3. 197)

logo


___________________________________________________________________________

96

2

22 0

1 2ji

j ij

uuv x xx

(3. 198)

e

2

22 0

1 2ji

j ij

uuv x xx

(3. 199)

logo

2

22 0

1 2ji

j ij

uuv x xx

(3. 200)


___________________________________________________________________________

97

3.6.2 – Equilíbrio de um corpo elástico sob uma força de corpo

Considere as condições de equilíbrio estático. Se as forças de corpo são nulas,

0iX , então tomando-se a divergência da equação Eq. (3. 178) nós temos:

2 2

2 2 0ji

i j i j

uuG Gx x x x

, (3. 201)

ou

2

2 0j

i j

ux x

, (3. 202)

logo isto é:

2 2 22

2 2 2 0 0e ou ex y z

, (3. 203)

a equação (3. 203) é uma equação de Laplace. Uma função que satisfaz a equação (3. 203) é

chamada de função harmônica. Então, a dilatação é uma função harmônica quando as forças

de corpo desaparecem. Mas

3 2 3xx yy zzG e , (3. 204) onde é a tensão média. Portanto, a tensão média é também uma função harmônica:

2 0 , (3. 205)

Se nós pormos 0X , 2

2 0ut

, e operar sobre a equação (3. 185) com o

Laplaciano 2 , nós temos:

2 2 2 0G e G ux

, (3. 206)

Com a equação (3. 202) ou (3. 203), isto implica que:

4 0u , (3. 207) onde, em coordenadas cartesianas retangulares

4 4 4 4 4 44

4 4 4 2 2 2 2 2 22 2 2x y z x y y z z y

, (3. 208)

Esta equação na sua forma discreta é muito útil para simulação numérica de campos elásticos

pelo Método das Diferenças Finitas.


___________________________________________________________________________

98

A equação (3. 207) é chamada de equação biharmônica, e sua solução é chamada

de função biharmônica. Portanto, a componente u do deslocamento é biharmônica. De forma

semelhante, os campo ,v w são biharmônicos. Segue-se que quando a força de corpo é zero,

cada componente das deformações e cada componente das tensões sendo combinações

lineares das primeiras derivadas de , ,u v w , são todas funções biharmônicas.

2 0ij , (3. 209) e

2 0ij , (3. 210)


___________________________________________________________________________

99

3.8 – Problemas Planos da Teoria da Elasticidade

Os problemas planos da elasticidade (Timoshenko, 1951) são geralmente

designados como problemas de deformação plana e problemas de tensão plana.

As condições de deformação plana são tipicamente encontradas em placas

espessas que são carregadas no plano enquanto que as condições de tensão plana são

tipicamente encontradas em finas placas. Em todos os nossos problemas, a coordenada z será

perpendicular ao plano de simetria, que seja de tensão ou de deformação, seja em coordenadas

cartesianas ,x y , polares ,r , ou em algum outro sistema bi-dimensional ortogonais,

,u v . Os problemas generalizados de tensão plana requerem uma média das tensões e

deslocamentos através da espessura da placa tal que eles tornam-se verdadeiramente

problemas bi-dimensionais (Timoshenko, 1951). Nós, portanto no referiremos a eles como

problemas de tensão plana neste texto.

3.7.1 – Problemas Bidimensionais na Elasticidade

A aplicação das funções de tensão de Airy reduz os problemas elastostáticos em

problemas de tensão plana e deformação plana para problemas de valor de contorno de uma

equação biharmônica. Um método geral de solução usando a teoria das funções de uma

variável complexa é disponível. Nós discutiremos este método brevemente e ilustramos sua

utilidade na solução de alguns problemas importantes.

Em todo este capítulo , ,x y z representa uma série de coordenadas Cartesianas

retangulares, com relação as quais as componentes dos deslocamentos são escritas como

, ,u v w , e as componentes da deformação são , ,...xx xy , etc e as componentes das tensões são

, ,...xx xy , etc. Nós usaremos o fator 12

em nossas definições das componentes das

deformações:

12

j iij

i j

u ux x

, (3. 211)

quando as coordenadas curvilíneas são usadas nós reteremos as notações do Capítulo IV, no

qual iu e ij denotam as componentes do tensor deslocamento e do tensor deformação,

respectivamente; enquanto que i , ij denotam as componentes físicas destes tensores.


___________________________________________________________________________

100

3.7.2 - Equações de Equilíbrio e Compatibilidade para os Problemas Planos

As duas tensões de cisalhamento remanescentes são nulas para ambos os

problemas

0xz yz . (3. 212)

As tensões normais na direção z, z diferem entre as duas classes de problemas

planos; notadamente:

Claramente as equações de equilíbrio dos estados de tensões simplificados (3.

191)( )-( ) reduz-se à:

, , 0x x xy y . (3. 213)

e

, , 0y y xy x . (3. 214)

em (3. 214), as forças de corpo foram desprezadas.

A equação de compatibilidade das deformações em ambos os problemas planos é:

, , , 2 ,e e e ex yy y xx xy xy xy xy . (3. 215)

onde a superscrito “e” denota o estado elástico.


___________________________________________________________________________

101

3.7.3 – Equações do Campo Elástico para o Estado Plano de Tensão e para o Estado

Plano de Deformação

Se as componentes da tensão , ,zz zx zy são nulas em todo lugar.

0zz zx zy , (3. 216) O estado de tensão é dito ser tensão plana (ou estado plano de tensão) paralelo ao plano x y .

Neste caso, as deformações são dadas por:

1 1;xx xx yy yy yy zzv vE E

, (3. 217)

1;2zz xx yy xy xy

vE G

,

(3. 218)

0xz yz , (3. 219)

E as relações tensão deformação ficam:

2 2;1 1xx xx yy yy yy xx

E Ev vv v

, (3. 220)

1xy xyE

v

, (3. 221)

1xx yy xx yy

Ev

,

(3. 222)

xx yyu vx y

,

(3. 223)

Substituindo a equação (3. 220) e (3. 221) na equação de equilíbrio,

ijj i

j

Xx

, (3. 224)

Nós obtemos as equações básicas para a tensão plana.

2 2 2

2 2 211

u u v u v uG G Xx y v x x y t

, (3. 225)

2 2 2

2 2 2

11

v v v u v vG G Yx y v y x y t

,

(3. 226)


___________________________________________________________________________

102

Se a componente z do deslocamento w desaparece em todo lugar, e se os deslocamentos u e v

são funções de x,y somente, e não de z, o campo é dito estar em deformação plana (ou estado

plano de deformações) paralela ao plano x,y. Na deformação plana nós devemos ter:

0 ; zz xx yyu v w vz z

, (3. 227)

Uma vez que 0zz .

A equação básica

2

22

ii i

i

ueG u G Xx t

, (3. 228)

torna-se na deformação plana:

2 2 2

2 2 2

11 2

u u u v uG G Xx y v x x y t

,

(3. 229)

2 2 2

2 2 21

1 2v v u v vG G Y

x y v y x y t

, (3. 230)

Se v é substituído por / 1v v na equação (3. 229) e (3. 230), então ela assume a forma (3.

225) e (3. 226). Portanto, qualquer problema de um estado plano de deformação pode ser

resolvido como um problema de estado plano de tensão após a substituição do valor

verdadeiro de v pelo seu “valor aparente” / 1v v . Inversamente, qualquer problema de

tensão plana pode ser resolvido como um problema de deformação plana substituindo o valor

verdadeiro de v por um valor aparente / 1v v .

Estas substituições referem-se somente à equações de campo (3. 225), (3. 226) e

(3. 229), (3. 230). As condições de contorno, a relação tensão-deformação, e o módulo de

cisalhamento G não deve ser mudado.

O estado de deformação em um longo corpo cilíndrico atuado por cargas que são

normais ao eixo do cilindro e uniforme na direção axial freqüentemente pode ser aproximado

por um estado plano de deformação. Uma deformação axial zz constante pode ser imposta

sobre um estado de deformação plana sem qualquer variação nas tensões no plano-x,y.

Portanto, uma extensão mínima da definição da deformação plana pode ser formulada

requerendo que zz seja uma constante e que u e v sejam funções de x,y somente, e que w seja

uma função linear de z somente.


___________________________________________________________________________

103

3.7.4 – Função de Tensão de Airy para Problemas Bi-Dimensionais

Para problemas de tensão ou deformação plana, nós podemos tentar achar

sistemas de tensão gerais que satisfazem as equações de equilíbrio e as equações de

compatibilidade e então determinar a solução para um problema particular pelas condições de

contorno.

Seja x,y uma série de coordenadas Cartesianas retangulares. Para problemas de

tensão e deformação plana no plano-x,y as equações de equilíbrio são:

0jii

j

Xx

, (3. 231)

são explicitamente escritas como:

xyxx Xx y

, (3. 232)

yy yx Yy x

,

(3. 233)

com as condições de contorno

xx xyl m p , (3. 234)

yy xym l q , (3. 235)

onde ,l m são os cossenos diretores do vetor normal externo à curva do contorno e ,p q , são

as trações superficiais que atuam sobre a superfície do contorno.

As componentes da deformação são:

a) No caso de tensão plana

1 1;xx xx yy yy yy xxv vE E

, (3. 236)

112xy xy xy

vG E

,

(3. 237)

b) No caso de deformação plana


___________________________________________________________________________

104

2

2

1 1 1

1 1 1

xx xx yy

yy yy xx

v v vE

v v vE

, (3. 238)

1xy xy

vE

,

(3. 239)

Na visão do que foi discutido na secção precedente, para muitas placas finas nós

podemos supor , ,xx yy xy serem independente de z. Então o problema da tensão plana

torna-se verdadeiramente bidimensional, bem como o problema da deformação plana.

As equações das condições de compatibilidade são como segue:

2 22

2 2 2yy xyxx

y x x y

,

(3. 240)

2 22

2 2 2yy yzzz

z y y z

,

(3. 241)

2 22

2 2 2xx xzzz

x z x z

,

(3. 242)

e

2yz xyxx xz

y z x x y z

, (3. 243)

2yy yz xyxz

x z y x y z

, (3. 244)

2yz xyxx xz

y z x x y z

, (3. 245)

i) A substituição de (3. 236) e (3. 237) nas equações (3. 240) e (3. 243), nós obtemos, no caso

de tensão plana,

22 2

2 2 2 1 xyxx yy yy xxv v v

y x x y

,

(3. 246)

Derivando (3. 232) em relação a x e (3. 233) em relação a y e somando, nós obtemos:


___________________________________________________________________________

105

2 22

2 2 2yy xyxx X Yx y x y x y

, (3. 247)

Eliminando xy entre (3. 246) e (3. 247), nós obtemos:

2 2

2 2 1xx yyX Yv

x y x y

,

(3. 248)

ii) A substituição de (3. 238) e (3. 239) nas equações (3. 240) e (3. 243), nós obtemos, no

caso de deformação plana,

22 2

2 2 2 1 xyxx yy yy xxv v v

y x x y

,

(3. 249)

Derivando (3. 232) em relação a x e (3. 233) em relação a y e somando, nós obtemos:

2 22

2 2 2yy xyxx X Yx y x y x y

, (3. 250)

Eliminando xy entre (3. 249) e (3. 250), nós obtemos de forma análoga ao caso de tensão

plana:

2 2

2 2

11xx yy

X Yx y v x y

, (3. 251)

As equações (3. 232), (3. 233), (3. 234), (3. 235) e (3. 248) ou (3. 251) definem os

problemas planos em termos das componentes das tensões , ,xx yy xy . Se as condições de

contorno de um problema são tais que as superfícies de tração são bem conhecidas, então o

problema pode ser resolvido em termos das tensões, sem necessidade de mencionar os

deslocamentos a menos que eles sejam desejados. Mesmo em um problema de valor de

contorno misto no qual parte do contorno possui deslocamentos prescritos, ele ainda pode ser

vantajoso resolver para o primeiro estado de tensão. Estas considerações práticas levam-nos

ao método das funções de tensão de Airy. Para problemas de deslocamentos prescritos sobre

todo o contorno do corpo, o potencial do deslocamento ou outros dispositivos devem ser

tentados primeiro.

O método de Airy é baseado na observação de que o lado esquerdo das equações

(3. 232) e (3. 233) aparecem como a divergência de um vetor. Na hidrodinâmica nós estamos

familiarizados com o fato de que a conservação da massa, se expressa na equação da

continuidade.


___________________________________________________________________________

106

0u vx y

,

(3. 252)

onde u, v são as componentes do vetor velocidade, pode ser derivadas a partir de uma função

corrente ,x y ,onde:

;u vy x

,

(3. 253)

Em outras palavras, se u, v são derivadas de uma função arbitrária ,x y de acordo com (3.

253), então a equação (3. 252) é identicamente satisfeita.

Vamos usar a mesma técnica para a equação (3. 232) e (3. 233). Estas equações

podem ser postas na forma de (3. 252) se nós supormos que as forças de corpo podem ser

derivadas de um potencial V, tal que:

;V VX yx y

, (3. 254)

A substituição de (3. 254) em (3. 232) e (3. 233) resultam em

0xyxx V

x y

, (3. 255)

0xyyy V

x y

,

(3. 256)

Agora, como em (3. 252), estas equações são identicamente satisfeitas se nós introduzimos

duas funções de corrente e de tal forma que:

;xx xyVy x

, (3. 257)

;xy yy Vy x

,

(3. 258)

Em outras palavras, a substituição de (3. 257) e (3. 258) em (3. 255) e (3. 256) reduzem (3.

255) e (3. 256) a uma identidade em e . Agora, as equações (3. 257) e (3. 258) podem ser

combinadas se nós fizermos:

;x y

, (3. 259)

isto é:


___________________________________________________________________________

107

2 2

2 ;xx xyVy x y

, (3. 260)

2 2

2;xy yy Vy x x

,

(3. 261)

È prontamente verificado que se , ,xx xy yy são derivadas de uma função

arbitrária ,x y de acordo com (3. 257) e (3. 258) então as equações (3. 255) e (3. 256) são

identicamente satisfeitas. A função ,x y é chamada de função de tensão de Airy, em

referência a este inventor, o famoso astrônomo.

Uma função arbitrária ,x y gera tensões que satisfazem as equações de

equilíbrio, mas ,x y não é inteiramente arbitrária, uma vez que é requerido gerar somente

funções cujos campos de tensão satisfazem as condições de compatibilidade. Logo a condição

de compatibilidade é dada por (3. 248) ou (3. 251), uma substituição dá o requerimento que,

no caso de tensão plana:

4 4 4 2 2

4 2 2 4 2 22 1 V Vvx x y y x y ,

(3. 262)

E no caso de deformação plana:

4 4 4 2 2

4 2 2 4 2 2

1 22

1v V V

x x y y v x y ,

(3. 263)

Se as forças de corpo são nulas, então em ambos os casos tensão plana e deformação plana,

,x y é governada pela equação:

4 4 4

4 2 2 42 0x x y y

, (3. 264)

Uma solução regular da equação (3. 264) é chamada de uma função biharmônica.

A solução de problemas da elasticidade plana pelas funções biharmônicas serão discutidas nas

secções seguintes.

Contudo, a respeito das outras cinco condições de compatibilidade nas equações

(3. 240) a (3. 245) “left alone so far”? No caso da deformação plana é claro que elas são

identicamente satisfeitas. No caso da tensão plana, contudo, elas não podem ser satisfeitas em


___________________________________________________________________________

108

geral se supormos , ,xx xy yy serem independentes da coordenada z . Sob uma tal suposição

estas condições de compatibilidade implica que:

2 2 2

2 2 0zz zz zz

x y x y

,

(3. 265)

Portanto, zz e então xx yy deve ser uma função linear de x e y , ou seja:

zz xx yyvE

,

(3. 266)

A qual é a exceção além do que a regra na solução dos problemas de tensão plana. Portanto,

em geral, a suposição de que o estado de tensão plana é bi-dimensional, tal que , ,xx xy yy

são funções de ,x y somente, não pode ser verdade; e as soluções obtidas sob esta suposição

pode não serem exatas. Contudo, como nós temos discutidos previamente, elas são boas

aproximações para placas finas. De qualquer forma, o método de função-tensão pode ser

estendido para três dimensões.

3.7.5 - Problema de Deformação Plana:

Sabendo que para o problema de deformação plana temos:

1 1 2 2 3, , , , 0u u x y u u x y u . (3. 267)

ele será desenvolvido de acordo com a seguinte equação

12

jiij

j i

uux x

. (3. 268)

Logo

33

3

1 02

ii

i

u ux x

. (3. 269)

Ele será desenvolvido e as componentes das deformações 3i desaparecerão, e a partir de (3.

267) temos:

33

3

1 02

ii

i

u ux x

. (3. 270)

onde


___________________________________________________________________________

109

3 131

1 30 0

1 02

u ux x

. (3. 271)

e

3 232

2 30 0

1 02

u ux x

. (3. 272)

e

3 333

3 30 0

1 02

u ux x

. (3. 273)

Segue-se a partir da equação (3. 167) que:

i) Do ponto de vista da tensão temos que:

2

1 2v

v

. (3. 274)

para , a partir de (3. 274) nós temos que:

2

1 2v

v

. (3. 275)

Portanto, usando o fato de que para 3 , 33 0, 1, 2 , temos que:

2 . (3. 276)

Portanto, para o problema de deformação plana as relações de tensão-deformação

são

11 1 2

e ex x y

E v vv v

. (3. 277)

11 1 2

e ey y x

E v vv v

. (3. 278)

1 1 2e e

z x yvE

v v

exy xyG . (3. 279)


___________________________________________________________________________

110

exy xyG . (3. 280)

0xy yz . (3. 281)

usando-se (3. 271) a (3. 273) em (3. 274) temos que:

31 31 310 0

21 2

vv

. (3. 282)

logo

31 0 . (3. 283)

e ainda

32 32 320 0

21 2

vv

. (3. 284)

logo

32 0 . (3. 285)

e

33 33 33 11 22 330 1 0

21 2

vv

. (3. 286)

logo

33 11 222

1 2vv

. (3. 287)

ii) Do ponto de vista da deformação temos que, os mesmos resultados podem ainda serem

obtidos a partir de ( ) onde:

1 v vE E

. (3. 288)

para , temos:

1 v vE E

. (3. 289)

Portanto, usando o fato de que 3 , 33 0, 1, 2 ,


___________________________________________________________________________

111

1 v vE E

. (3. 290)

Portanto para o problema de deformação plana as relações de tensão-deformação

são

11e

x x y

vv v

E

. (3. 291)

1

1ey y x

vv v

E

. (3. 292)

1exy xyG

. (3. 293)

0e e ez xz yz . (3. 294)

então a partir de (3. 271) a (3. 273) temos:

31 31 310 0

1 v vE E

. (3. 295)

logo

31 0 . (3. 296)

e ainda

32 32 320 0

1 v vE E

. (3. 297)

logo

32 0 . (3. 298)

e também

33 33 330 1

1 v vE E

. (3. 299)

logo a partir de (3. 273) temos:

33 1v

v . (3. 300)

ou


___________________________________________________________________________

112

33 11 22 331v

v

. (3. 301)

logo

33 11 2211 1

v vv v

. (3. 302)

ou

33 11 2211 1 1

v v vv v v

. (3. 303)

ou

33 11 221

1 1v v v

v v

. (3. 304)

ou

33 11 221

1 1v

v v

. (3. 305)

Logo, cancelando os termos semelhantes:

33 11 22v . (3. 306)

Portanto,

z x yv . (3. 307)

onde v é a razão de Poisson.

Portanto,

3 0 . (3. 308)

e

33 v . (3. 309)

onde 1 2,x x .

Uma forma alternativa de se obter o mesmo resultado segue de (3. 286), ou seja:

33 33 33 11 22 330 1 0

21 2

vv

. (3. 310)

logo


___________________________________________________________________________

113

33 33 11 221

21 2

vv

. (3. 311)

mas a partir de (3. 289) temos:

11 11 11 22 331 v v

E E

. (3. 312)

e

22 22 11 22 331 v v

E E

. (3. 313)

Somando as duas equações acima tem-se:

11 22 11 22 331 2 2v v v

E E E

. (3. 314)

Substituindo (3. 311) em (3. 314) tem-se:

33 11 22 33

1 2 1 2 22

v v v vv E E E

. (3. 315)

e

33 11 221 2 2 1 22

v v v vv E E E

. (3. 316)

Mas a constante é dada por:

1 1

2 1 2E v

v E

. (3. 317)

logo

33 11 221 1 2 1 2

2v v v

v E E E

. (3. 318)

e

33 11 22

2 11 1 2 1vv v vE v E E E

. (3. 319)

e

2

33 11 22

1 2 1 2 1v v v v vEv E

. (3. 320)

e


___________________________________________________________________________

114

2 2

33 11 221 2 2 2 1v v v v v

v

. (3. 321)

e

33 11 221 1v v

v

. (3. 322)

Portanto,

33 11 22v . (3. 323)

Na ausência de forças internas as equações de equilíbrio (3. 213) , (3. 214) se

reduzem à:

0x

. (3. 324)

ou

11 21

1 2

12 22

1 2

0 , 1,2 ; 1

0 , 1, 2 ; 2

x x

x x

. (3. 325)

a equação de compatibilidade não-trivial (3. 215) torna-se:

2 2

2 0x x x

. (3. 326)

para 1, 2 1, 2e temos:

2 2 2 211 11 21 222 2 21 1 2 1 1

0

2 2 2 212 11 22 22

2 2 21 2 2 2 2

0

0

x x x x x

x x x x x

. (3. 327)

ou

2 2 2 221 22 12 11

2 22 1 1 1 2 2

0x x x x x x

. (3. 328)

logo


___________________________________________________________________________

115

2 2 212 11 22

2 21 2 2 1

2 0x x x x

. (3. 329)

Substituindo (3. 288) em (3. 326) ficamos com:

2 2

2

1 1

0

v v v vE E E E

x x x

. (3. 330)

ou

2 2 22

2 21 1 0v v v v

E x x E x x E x E x

. (3. 331)

ou

2 2 22

2 2

1 0v vE x x x E x x x

. (3. 332)

Observe que para o termo se anula totalmente e para

2 22

2 2

1 0v vE x x x E x

. (3. 333)

a partir de (3. 309) temos que:

v . (3. 334)

logo

2 22

2

1 1 0v v vE x x E E x

. (3. 335)


___________________________________________________________________________

116

3.7.6 - Problema de Tensão Plana

0z . (3. 336)

i) Do ponto de vista da tensão temos que:

Portanto, para o problema de tensão plana as relações de tensão-deformação são

21e e

x x yE v vv

. (3. 337)

21e e

y y xE v vv

. (3. 338)

exy xyG . (3. 339)

0z xy yz . (3. 340)

ii) Do ponto de vista da deformação temos que:

Portanto, para o problema de tensão plana as relações de tensão-deformação são

1ex x yv v

E . (3. 341)

1ey y xv v

E . (3. 342)

ez x y

vE

. (3. 343)

1exy xyG

. (3. 344)

0e exz yz . (3. 345)


___________________________________________________________________________

117

3.7.7 - Funções de Airy em Coordenadas Cartesianas

As equações de equilíbrio serão identicamente satisfeitas se as componentes das

tensões são expressas em termos das funções de tensão de Airy ,x y . Esta função pode

ser interpretada como uma superfície.

,z x y . (3. 346)

Portanto, para ambos os problemas planos a função de tensão ,x y são comuns

e possuem segundas derivadas parciais que estão relacionadas a um estado equilibrado de

tensões da seguinte forma:

2 2

2x x x

. (3. 347)

e

2 2

2 2x x

. (3. 348)

que pode ser escrita como:

2

/px x

. (3. 349)

e

2 2

2 2 /px x

. (3. 350)

Em um sistema de coordenadas cartesianas , ,x y z . As derivadas segundas de ,x y serão

relacionadas às tensões como segue [Ref].

,x yy . (3. 351)

,y xx . (3. 352)

,xy xy . (3. 353)

Substituindo (3. 351) e (3. 352) em (3. 307) temos:

, ,z yy xxv . (3. 354)

ou


___________________________________________________________________________

118

2z v . (3. 355)

as equações de equilíbrio dos estados de tensões simplificados são satisfeitas automaticamente

pelas tensões (3. 351)-(3. 353), derivadas a partir da função de tensão ,x y .

Substituindo (3. 349) e (3. 350) em (3. 335) temos:

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 0v v vE x x x x E E x x x

. (3. 356)

ou

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 0v v vE x x x x E E x x x

. (3. 357)

ou

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

1 1

1 0

v v vE x x x x E E x x

v vE E x x

. (3. 358)

a partir de (3. 287) podemos escrever:

2

1 2vv

. (3. 359)

Logo

2

2

21 2

vx v

. (3. 360)

Logo substituindo (3. 360) em (3. 357) temos:

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2

1 1

1 2 01 2

v v vE x x x x E E x x

v v vE E x v

. (3. 361)

trocando a ordem das derivadas temos:


___________________________________________________________________________

119

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2

1 1

1 2 01 2

v v vE x x E E x x

v v vE E x v

. (3. 362)

Cancelando os termos semelhantes

2 2 2 2 2

2 2 2

1 2 01 2

v v v vE x x E E x v

. (3. 363)

Considerando o último termo nulo tanto para deformação plana como para tensão plana

temos:

2 2 2

2 2 0vE x x

. (3. 364)

note que;

2 2

2 22 2 0

x x

. (3. 365)


___________________________________________________________________________

120

3.7.8 - Equação Bi-harmônica

Expressando as relações das tensões em termos das funções de Airy, ,x y e

substituindo-as nas relações para deformações, e então substituindo as equações resultantes,

para as deformações nas equações de compatibilidade (3. 215), nós obtemos tanto para

deformações planas como para tensões planas as mesmas equações governantes, dada por:

, 2 , , 0xxxx xxyy yyyy . (3. 366)

Esta é chamada de equação bi-harmônica e é representada simbolicamente por:

4 0 . (3. 367)

onde

4 2 2 . (3. 368)

com 2 sendo o usual operador Laplaciano.

As funções de tensão ,x y que satisfazem a equação biharmônica são

chamadas de funções de tensão de Airy. Esta função ,x y representa a solução plana que

satisfaz ambas as equações de equilíbrio (3. 213), (3. 214) e as equações de compatibilidade

(3. 215).

Uma representação de uma solução da equação biharmônica em coordenadas

cartesianas é [Ref]

1 2 3, , , ,x y x x y y x y x y . (3. 369)

Onde 1 2 3, , , , ,x y x y x y são funções harmônicas, isto é, que satisfazem

2 , 0 1,2,3i x y i . (3. 370)


___________________________________________________________________________

121

3.7.9 - Condições de Contorno

Existem dois tipos fundamentais de problemas de valor de contorno na

elasticidade. O primeiro é especificando a tração sobre o contorno, e o segundo é

especificando o deslocamento sobre o contorno.

Em relação às funções de tenso de Airy ,x y e a correspondente solução da

equação bi-harmônica, acha-se que a tração prescrita sobre um contorno necessita

também da especificação de ambas as derivadas parciais [Ref].

, ,x ys e s em . (3. 371)

onde s é um parâmetro que define as funções sobre , ou especificando a função de tensão

em si e sua derivada parcial normal ao contorno / n , isto é:

ˆ/ .s

s e n n em . (3. 372)

onde n é um vetor unitário dirigido para fora do contorno e é o operador gradiente.

Pode-se mostra que estes dois métodos são equivalentes.

3.7.10 - Funções de Airy Coordenadas Polares

A transformação entre coordenadas cartesianas ,x y e polares ,r é:

cosx r . (3. 373)

e

seny r . (3. 374)

algumas derivadas parciais úteis entre os dois sistemas são:

, cosxr . (3. 375)

e

, senyr . (3. 376)

e

, sen /x r . (3. 377)

e


___________________________________________________________________________

122

, cos /y r . (3. 378)

Estas podem ser usadas para gerar as seguintes relações entre a primeira e a segunda

derivadas parciais entre os dois sistemas de coordenadas para uma função arbitrária (tais

como as funções de Airy).

i) Para a primeira derivada parcial com relação à x, nós temos:

, , , , ,, cos , sen /

x r x x

r

rr

. (3. 379)

Para a primeira derivada parcial com relação à y, nós temos:

, , , , ,

, sen , cos /y r y y

r

rr

. (3. 380)

ii) Para a segunda derivada com relação à x nós temos:

, , , , , , ,

, cos , sen / , , , cos , sen / , ,xx x r x x x

r r x r x

r

r r r

. (3. 381)

2 2 2

2 2

2 2 2 2

, , cos , 2sen cos / , 2sen cos / , sen /

, sen /

, cos , / , / sen , / , / 2sen cos

xx rr r r

rr r r

r r rr

r r r r

. (3. 382)

Para a segunda derivada com relação à y nós temos:

, , , , , , ,

, cos , sen / , , , cos , sen / , ,yy y r y y y

r r y r y

r

r r r

. (3. 383)

2 2 2

2 2

2 2 2 2


, sen /

, cos , / , / sen , / , / 2sen cos

yy rr r r

rr r r

r r r

r

r r r r

. (3. 384)

Para a segunda derivada com relação à x e y nós temos:

, , , , , , ,

, cos , sen / , , , cos , sen / , ,xy x r y x y

r r y r y

r

r r r

. (3. 385)

2 2 2

2 2

2 2 2 2


, sen /

, cos , / , / sen , / , / 2sen cos

xx rr r r

rr r r

r r r

r

r r r r

. (3. 386)


___________________________________________________________________________

123

A convenção dos sinais para as tensões expressas em um sistema de coordenadas

polares são mostradas na Figura - 3. 5. As fórmulas entre uma função de tensão ,r e

as tensões em coordenadas polares são:

2

2

, / ,,

, / , , / , /

r r

rr

r r r

r r

r r r

. (3. 387)

Figura - 3. 5. Coordenadas polares e a convenção dos sinais das tensões

A conversão das tensões entre os dois sistemas de coordenadas é:

2 2

2 2

2 2

cos sen 2sen cos

sen cos 2sen cos

sen cos cos sen

x r r

y r r

xy r r

. (3. 388)

ou

2 2

2 2

2 2

cos sen 2sen cos

sen cos 2sen cos

sen cos cos sen

r x y xy

x y xy

r y x xy

. (3. 389)

As equações de equilíbrio em coordenadas polares [Ref] são:


___________________________________________________________________________

124

, , / 0, / , 2 / 0

r r r r

r r r

rr r

. (3. 390)

O operador Laplaciano 2 em coordenadas polares é expressível como:

2 2, , / , / 0rr r r r . (3. 391)

A equação (3. 391) pode ser usada sucessivamente como em (3. 368) para gerar o operador

bi-harmônico em coordenadas polares.

Relações de deformação-deslocamento em coordenadas polares para pequenas

variações geométricas são [Ref]:

,, /

2 , / ,

r r r

r

r r r r

uu u r

u u r u

. (3. 392)

onde r e são deformações normais nas direções r e , respectivamente, e r e r são a

deformação de cisalhamento de engenharia e a deformação de cisalhamento, respectivamente,

no plano r . Estas equações são aplicáveis a ambas as deformações elásticas e totais.

3.7.11 - O Laplaciano e a Equação Bi-Harmônica em termos das Variáveis

Complexas

Para resolver a equacão bi-harmônica precisamos recorrer as variáveis complexas.

Uma transformação de coordenada é executada a partir das coordenadas cartesianas ,x y

para variáveis complexas ,z z , dadas por:

/ 2 ; / 2x z z y z z i . (3. 393)

onde 1i

Seja

z x iy . (3. 394)

ou

iz re . (3. 395)

onde 1i e o complexo conjugado


___________________________________________________________________________

125

z x iy . (3. 396)

ou

iz re . (3. 397)

Logo segue que:

Re / 2 ; Im / 2x z z z y z z z i . (3. 398)

nós temos que:

x yz x z y z

. (3. 399)

sendo 1 12 2

x yez z i

então

1 12 2z x y i

. (3. 400)

logo

2 iz x y

. (3. 401)

e ainda

x yz x z y z

. (3. 402)

sendo 1 12 2

x yez z i

então

1 12 2z x y i

. (3. 403)

logo

2 iz x y

. (3. 404)

e portanto

2

2 iz z z x y

. (3. 405)

Substituindo (3. 404) em (3. 405)


___________________________________________________________________________

126

2

2 x yiz z x x z y xy z

. (3. 406)

então

2 2 2

2 2

1 122 2

iz z x y i

. (3. 407)

logo

2 2 2

2 2

1 122 2z z x y

. (3. 408)

Portanto,

2 2 22

2 24z z x y

. (3. 409)

Portanto, a equação (3. 355) pode ser escrita como:

2

4z vz z

. (3. 410)

Portanto, as equações (3. 366), (3. 367) e (3. 368) pode ser escrita como:

2 2

4 2 2 4 4 0z z z z

. (3. 411)

Portanto, o operador bi-harmônico dado em (3. 368) e a equação bi-harmônica

dada em (3. 367) torna-se respectivamente:

4 48 , , 0 , 0zzzz zzzz . (3. 412)


___________________________________________________________________________

127

3.7.12 - Equação de Laplace em termos de Variáveis Complexas

Considerando f z uma função holomórfica da variável complexa z , podemos

escrever:

, ,f z u x y iv x y . (3. 413)

onde u e v são funções reais de x e y dadas por:

1, Re21, Im2

u x y f z f z f z

v x y f z f z f zi

. (3. 414)

sendo permitido escrever:

f f zx z x

. (3. 415)

f f zy z y

. (3. 416)

como z x iy

1zx

. (3. 417)

z iy

. (3. 418)

Portanto,

'

'

f f z f f zx z x zf f z fi if zy z y z

. (3. 419)

logo

' f ff z ix y

. (3. 420)


' u v v uf z i ix x y y

. (3. 421)

Logo igualando as partes reais e imaginárias temos:


___________________________________________________________________________

128

u v u vix y y x

. (3. 422)

satisfaz as condições da Cauchy-Riemann

u v u vex y y x

. (3. 423)

Tomando a segunda derivada temos:

2 2

2 2

u v u vex x y y y x

. (3. 424)

Por outro lado temos:

2 2

2 2

u v u vey x y x y x

. (3. 425)

Somando o primeiro grupo de equações e subtraindo o segundo grupo temos:

2 2 2 2

2 2 2 2 0u u v vx y y x

. (3. 426)

Desde que seja satisfeita a desigualdade de Cauchy-Schwartz:

v v u uex y y x y x x y

. (3. 427)

A partir de (3. 426) vemos então as partes reais e imaginárias de qualquer função holomórfica

são soluções da equação de Laplace.

2 2 2, , 0f z u x y i v x y . (3. 428)

Note que qualquer função analítica complexa z satisfaz a equação de Laplace

2 0z . (3. 429)


___________________________________________________________________________

129

3.7.13 - Representação de Funções Bi-Harmônicas de Airy-Westergard por Funções

Analíticas de uma Variável Complexa

Uma função é chamada de harmônica quando satisfaz a equação de Laplace.

2 0z . (3. 430)

Na secção anterior mostramos que a parte real e a parte imaginária de qualquer

função analítica de variável complexa z x iy , onde 1i , é harmônica, ou seja, satisfaz

a equação de Laplace. Então, se f z é uma função complexa de z, e ,u x y e ,v x y são

as partes reais e imaginárias de f z , respectivamente, nós podemos expressar f z da

seguinte forma:

, ,f z u x y iv x y . (3. 431)

a derivada desta função f z é:

df z u v v ui idx x x y y

. (3. 432)

onde

0u v v uix y x y

. (3. 433)

logo

0u vx y

. (3. 434)

e

0v ux y

. (3. 435)

Então ela satisfaz as condições de Cauchy-Riemmann:

u v v uex y x y

. (3. 436)

Derivando (3. 436) em relação a x temos:

2 2

2 2u v v ue

x x y x x y

. (3. 437)


___________________________________________________________________________

130

agora derivando (3. 436) em relação a y temos:

2 2

2 2

u v v uey x y y x y

. (3. 438)

Usando a fórmula de Cauchy-Schwartz, onde:

u u v vex y y x x y y x

. (3. 439)

temos que:

2 2 2 2

2 2 2 2

u u v vex y x y

. (3. 440)

logo

2 2 2 2

2 2 2 20 0u u v vex y x y

. (3. 441)

Então

2 2, 0 , 0u x y e v x y . (3. 442)

onde 2 2

22 2x y

. Retornando a equação (3. 431) temos finalmente que:

2 2 2, , 0f z u x y i v x y . (3. 443)


___________________________________________________________________________

131

3.7.14 - As Funções de Airy-Westergard em termos de uma Variável Complexa

Seja z uma função bi-harmônica de Airy, que obviamente satizfaz a seguinte

equação:

2 2 0z . (3. 444)

Se chamarmos a parte interna do parêntesis da equação (3. 444) de ,P x y , podemos

escrever 2 igualando-a identicamente a ,P x y da seguinte forma:

2,P x y z . (3. 445)

Observamos, naturalmente, que a função ,P x y no interior do parêntesis da equação (3.

444) deve ser uma funçào harmônica e analítica, pois reescrevendo a equação (3. 444) em

termos da equação (3. 445) temos:

2 , 0P x y . (3. 446)

que é a definição de função harmônica (pois satisfaz a equação de Laplace).

Agora temos uma função ,P x y garantidamente harmônica. A estratégia é

escrevê-la em termos de uma funcão f z de uma variável complexa. Portanto, se este é o

caso, temos por meio das condições de Cauchy-Riemann que deve existir uma função

conjugada a ,P x y chamada de ,Q x y que é também harmônica, pois satisfaz a equação

de Laplace.

2 , 0Q x y . (3. 447)

Logo, uma função geral f z dada por:

, ,f z P x y iQ x y . (3. 448)

cuja função conjugada também existe e é dada por:

, ,f z P x y iQ x y . (3. 449)

que também são funções harmônicas que satisfazem ambas a equação de Laplace.

2 2 2, , 0f z P x y i Q x y . (3. 450)

e


___________________________________________________________________________

132

2 2 2, , 0f z P x y i Q x y . (3. 451)

De posse de todas estas informações importantes podemos escrever funções

,P x y e ,Q x y em termos das funções de variáveis complexas f z e f z da seguinte

forma:

1,2

P x y f z f z . (3. 452)

e a sua conjugada fica:

1,2

Q x y f z f z . (3. 453)

Logo, para que a equação (3. 446) e (3. 447) sejam satisfeitas devemos utilizar as funções

complexas f z e f z , da seguinte forma:

2 21, 02

P x y f z f z . (3. 454)

e

2 21, 02

Q x y f z f z . (3. 455)

Substituindo-se a equação (3. 452) na (3. 445) temos que:

2 12

z f z f z . (3. 456)

Observamos que a função real ,x y agora está expressa em termos de duas funções f z

e f z de variáveis complexas dadas por (3. 448) e (3. 449). Esta estratégia matemática

permitirá resolver a equação bi-harmônica analiticamente. Como queremos trabalhar no

espaço complexo o laplaciano também deve ser expresso em termos de variáveis complexas.

Isto significa que podemos usar o resultado (3. 365) escrevendo a equação (3. 456) da

seguinte forma:

2

2 1, 42

x y f z f zz z

. (3. 457)


___________________________________________________________________________

133

3.7.15 - Funções de Airy-Westergard para a Equação Bi-harmônica da MEL

Logo podemos escrever a solução de (3. 365) de forma análoga ao problema

antiplano de forma que:

2

2 4 f z f zz z

. (3. 458)

Onde f z é uma função holomórfica. A equação (3. 458) pode ser integrada para fornecer a

função real:

14

f z f z dzz

. (3. 459)

Integrando mais uma vez:

1 12 2

f z f z dz dz . (3. 460)

ou

1 1 12 2 2

f z dz f z dz dz . (3. 461)

ou reescrevendo temos:

1 1 1 12 2 2 2

f z dz dz f z dz dz . (3. 462)

Como f z e f z são analíticas podemos trocar a ordem das integrações obtendo:

1 1 1 12 2 2 2

F z F z

f z dz dz f z dz dz

. (3. 463)

Chamando de:

1 14 4

F z f z dz e F z f z dz . (3. 464)

temos:

F z dz F z dz . (3. 465)

Integrando por partes temos:

dF z dF zF z z z dz F z z z dz

dz dz

. (3. 466)


___________________________________________________________________________

134

chamando de:

dF z dF zG z z dz e G z z dz

dz dz . (3. 467)

Temos:

F z z G z F z z G z . (3. 468)

onde F z e G z são funções holomórficas.

Portanto, a equação diferencial parcial de quarta ordem em (3. 412) pode agora ser

integrada para fornecer uma função real de da forma:

,z z zF z zF z G z G z . (3. 469)

onde F z e G z são funções holomórficas arbitrárias. Este resultado foi primeiro obtido

por E. Goursat em 1898 [Ref].

Considerando que z x iy e z x iy temos:

,z z x iy F z x iy F z G z G z . (3. 470)

ou

,z z x F z F z iy F z F z G z G z . (3. 471)

Sendo

1Re2

z F z F z . (3. 472)

1Im2

z F z F zi

. (3. 473)

1Re2

z G z G z . (3. 474)

logo

, 2 Re 2 Im 2 Rez z x z y z z . (3. 475)

e

1, 2 , 2 , 2 ,z z xP x y yQ x y P x y . (3. 476)

1, , , ,z z xp x y yq x y p x y . (3. 477)


___________________________________________________________________________

135

3.7.16 – Forma Complexa da Função Harmônica de Tensão

Designando o operador Laplaciano:

2 2 22

2 2 2x y z

. (3. 478)

a equação

4 4 4

4 2 2 42 0x x y y

. (3. 479)

pode ser escrita como:

2 2 0 . (3. 480)

ou

4 0 . (3. 481)

Chamando 2 de P, observe que P é uma função harmônica, de modo que

existirá uma função harmônica conjugada Q. Consequentemente, P iQ é uma função

analítica de z, e podemos escrever:

f z P iQ . (3. 482)

A integral dessa função com relação a z será outra função analítica. Seja esta outra função

analítica igual a 4 z . Então, chamando de p e q a parte real e imaginária de z , temos:

4f z dz z p iq . (3. 483)

Veja que esta integral é novamente analítica seja nas partes real e imaginária denotadas por R

e I , respectivamente:

0

14

z

z

z P iQ dz R iI . (3. 484)

de forma que:

1'4

z f z . (3. 485)

teremos também:

1'4

z d z zz f zx dz x x

. (3. 486)


___________________________________________________________________________

136

14

p qP iQ ix x

. (3. 487)

igualando as partes reais do primeiro e do segundo membros encontramos:

14

p Px

. (3. 488)

Uma vez que p e q são funções conjugadas, elas satisfazem as equações de Cauchy-Riemann

e assim

14

q Px

. (3. 489)

recordando que 2P , as equações (3. 488) e (3. 489) nos permite mostrar que xp yq

é uma função harmônica, pois

2 2 2 2 0p qxp yqx y

. (3. 490)

temos então, para qualquer função de tensão ,

1xp yq p . (3. 491)

onde 1p é uma função harmônica. Consequentemente

1xp yq p . (3. 492)

o que demonstra que qualquer função de tensão pode ser formada por meio de duas funções

conjugadas p e q , e uma função harmônica 1p , convenientemente escolhidas.


___________________________________________________________________________

137

3.7.17 – Funções de Tensão em termos de Funções Harmônicas Complexas

Sendo uma função qualquer de x e y teremos por derivação:

2 2 2 2

2 2 2 2 2x xx y x y x

. (3. 493)

Se for harmônica, o parêntesis do segundo membro desta equação será zero. Também

/ x será uma função harmônica, pois:

2 2 2 2

2 2 2 2 0x y x x x y

. (3. 494)

Então, uma outra aplicação do operador laplaciano em (3. 478) resulta em:

2 2 2 2

2 2 2 2 0xx y x y

. (3. 495)

que é o mesmo que:

4 4 4

4 2 2 42 0xx x y y

. (3. 496)

A comparação com a equação (3. 479) mostra que x pode ser utilizada como

uma função de tensão, contando que seja harmônica. O mesmo resultado é válido para y

e também evidentemente para a função isoladamente. Logo a partir da equação (3. 479) e

(3. 483) podemos ver que as seguintes relações são satisfeitas:

2 2

2 2

2 22

2 22

p d Pxp x p pqx dzq d Pyq y q pqy dz

. (3. 497)

Portanto,

1xp yq p . (3. 498)

onde 1p é uma função harmônica. A última fórmula (3. 498) pode ser escrita como uma parte

real de uma função analítica na forma:

Re z z z . (3. 499)


___________________________________________________________________________

138

onde z x iy é o complexo conjugado de z , e z é uma função analítica cuja parte real

é 1p . A fórmula (3. 499) é devido ao matemático Frances Goursat. Esta fórmula é o ponto de

partida de um método muito poderoso de solução por problemas elásticos bidimensionais.

A utilidade da equação (3. 492) será provada adiante, mas pode-se constatar de

imediato que o uso das funções p e q não necessárias. Em lugar de (3. 490), podemos

escrever:

2 22 4 0pxpx

. (3. 500)

demonstrando assim que 2xp é uma função harmônica, digamos igual a 2p , de maneira

que qualquer função de tensão pode ser expressa da forma:

22xp p . (3. 501)

onde p e 2p são funções harmônicas adequadamente escolhidas. De maneira análoga,

considerando 2yq , podemos mostrar que qualquer função de tensão também pode ser

expressa na forma:

32yq p . (3. 502)

onde q e 3p são funções harmônicas convenientes.

Retornando à equação (3. 499)(3. 492), introduzamos a função 1q , que é a

harmônica conjugada de 1p , e escrevamos:

1 1z p iq . (3. 503)

Então é facilmente verificado que a parte real de 1 1x iy p iq p iq é

idêntica ao segundo membro da equação (3. 492):

1 1 1 1

1 1 1

Re Re 4

Re

z f z dz p iq z z p iq

x iy p iq p iq xp yq p

. (3. 504)

Portanto, qualquer função de tensão pode ser colocada na forma:

Re z z z . (3. 505)

onde Re significa a “parte real de”, z representa x iy , e z e z são funções

analíticas corretamente escolhidas. Reciprocamente, (3. 505) produz uma função de tensào,


___________________________________________________________________________

139

que é uma solução da equação (3. 479) quaisquer que sejam z e z . Isto será aplicado

posteriormente na solução de vários problemas de interesse prático.

Escrevendo a “função complexa de tensão” entre colchetes na expressão (3. 505)

como:

Rez

zz zz

. (3. 506)

e observando que 2zz r e que /z z é ainda uma função de z, achamos que qualquer

função de tensão pode também ser expressa como:

24 5r p p . (3. 507)

onde 4 5p e p são funções harmônicas.

3.7.18 – Deslocamento Correspondente a uma dada Função de Tensão

As relações de tensão-deformação para o estado plano de tensões, equações (3.

341) e (3. 345)

1ex x yv v

E . (3. 508)

1ey y xv v

E . (3. 509)

2 1 11exy xy xy

vG E

. (3. 510)

podem ser escritas da seguinte forma:

x yuE vx

. (3. 511)

e

y xvE vy

. (3. 512)

e

xyv uGx y

. (3. 513)


___________________________________________________________________________

140

Introduzindo a função de tensão na equação (3. 511) e (3. 512) lembrando que 2P

temos:

2 2 2 2

2 2 2 2

2

21

uE v P vx y x x x

v Px

. (3. 514)

e analogamente

2 2 2 2

2 2 2 2

2

21

vE v P vy x y y y

v Py

. (3. 515)

Mas, de acordo com as equações (3. 488) e (3. 489) e (3. 490), podemos substituir P na

equação (3. 514) por 4 /p x e na equação (3. 515) por 4 /q y . Então, após a divisão por

1 v , temos:

2

2

421

u pGx x v x

. (3. 516)

2

2

421

v qGy y v y

. (3. 517)

e estas, por integração nos fornecem

421

Gu p f yx v

. (3. 518)

142

1Gv q f x

y v

. (3. 519)

onde f y e 1f x são arbitrárias. Se essas expressões foram substituídas no primeiro

membro da equação (3. 513) obteremos:

212 1 1

1 2 2 xydfp q df

x y v y x dy dx

. (3. 520)

O primeiro termo do primeiro membro da equação é igual a xy , e a expressào

entre parêntesis se anula, pois p e q são funções harmônicas conjugadas que satisfazem as

equações de Cauchy-Riemann. Portanto,


___________________________________________________________________________

141

1 0dfdfdy dx

. (3. 521)

o que implica que:

1; dfdf A Ady dx

. (3. 522)

Sendo A uma constante. Segue-se disto que os termos 1f y e f x nas equações (3. 518)

e (3. 519) representam um deslocamento de corpo rígido suprimindo estes termos, podemos

escrever as equações (3. 518) e (3. 519) como:

421

Gu px v

. (3. 523)

421

Gv qy v

. (3. 524)

entendendo-se que um deslocamento de corpo rígido pode ser adicionado. Essas equações nos

possibilitam obter u e v quando é conhecido. Temos primeiramente que encontrar 2P ,

em seguida, determinamos sua função conjugada Q por meio das equações de Cauchy-

Riemann.

;P Q P Qx y y x

. (3. 525)

formamos a função f z P iQ e obtemos p e q por integração de f z como na equação

(3. 483). Os termos das equações (3. 523) e (3. 524) podem ser calculados.

A utilidade das equações (3. 523) e (3. 524) será vista em aplicações posteriores,

nos quais o método de determinação dos deslocamentos usados nos Capítulos – III e IV são

adequados.

Substituindo-se ( ) em ( ) podemos escrever:

2

/px x

. (3. 526)

e

2 2

2 2 /px x

. (3. 527)

Logo


___________________________________________________________________________

142

2

zF z zF z G z G zx x

. (3. 528)

e

2

2

2

2

zF z zF z G z G zx

zF z zF z G z G zx

. (3. 529)


___________________________________________________________________________

143

3.7.19 - Equações de Kosolov-Mushkelishvili

As equações de Kosolov resultam da integrabilidade da equação biharmônica (3.

264) ou (3. 366) ou (3. 367) em termos de variveis complexas.

Em termos dos potenciais de Kosolov de ( )-( ), F z e G z de ( ) são:

1 1;2 2

F z z G z z dz . (3. 530)

I) A Primeira e Segunda Equação

A partir do resultado anterior obtido por Goursat em 1898, nós podemos chegar às

equações de Kosolov, da seguinte forma. Seja a função:

,z z zF z zF z G z G z . (3. 531)

e

1,2

z z z z z z z z . (3. 532)

da qual por derivação resulta em:

2 ' ' ' 'z z z z z z z zx

. (3. 533)

2 ' ' ' 'i z z z z z z z zy

. (3. 534)

Estas duas expressões podem ser combinadas em uma única, multiplicando a

segunda por i e somando com a primeira. Logo,

' 'i z z z zx y

. (3. 535)

as componentes de tensão ,x y e xy podem obtidas diretamente a partir das derivadas

segundas de (3. 532). Mas tendo em vista aplicações posteriores em coordenadas curvilíneas,

é preferível proceder de outro modo. Derivando a equação (3. 535) em relação a x, temos:

2

2 ' " ' "i z z z z zx x y

. (3. 536)

Derivando a equação (3. 535) em relação a y, e multiplicando por i temos:


___________________________________________________________________________

144

2

2 ' " ' "i z z z z zx y y

. (3. 537)

Formas mais simples são obtidas somando e subtraindo as equações (3. 536) e (3. 537). Assim

obtendo:

2 ' 2 ' 4Re 'x y z z z . (3. 538)

2 2 " "y x xyi z z z . (3. 539)

A troca de i por i em ambos os membros da equação (3. 539) conduz à forma alternativa.

2 2 " "y x xyi z z z . (3. 540)

A separação das partes real e imaginária no segundo membro da equação (3. 539) ou (3. 540)

fornece 2y x xye i . As duas equações (3. 538) e (3. 540) determinam as componentes de

tensão em termos dos potenciais complexos z e z .

II) A Terceira Equação de Kosolov

As duas expressões da equação (3. 523) e (3. 524) podem ser combinadas em

uma única, multiplicando-se a segunda por i e somando a primeira encontramos.

421

G u iv i p iqx y v

. (3. 541)

ou, usando a equação (3. 537) e a equaçào (3. 535) da secção anterior temos:

32 ' '1

vG u iv z z z zv

. (3. 542)

Esta equação determina u e v para os estados planos de tensão quando são

conhecidos os potenciais complexos z e z . Para os estados planos de deformação de

acordo com a secção a secção 9.1, devemos substituir v por / 1v v no segundo membro da

equação (3. 542).

Logo, pela escolha de determinadas funções para z e z , encontramos um

possível estado de tensão segundo as equações (3. 538) e (3. 540), por meio de (3. 542) os

deslocamentos correspondentes são facilmente determinados.


___________________________________________________________________________

145

Portanto, a formulação de Kosolov para os problemas planos da elasticidade [ ]

segue:

2 ' 'x y z z . (3. 543)

2 2 " 'y x xyi z z z . (3. 544)

2 'x yG u iu k z z z z . (3. 545)

Onde a “linha” denota as derivadas em relação a z , então ' /z d dz e ' /z d dz

e

3 4k v . (3. 546)

Para a deformação plana e

31

vkv

. (3. 547)

Para a tensão plana.


___________________________________________________________________________

146

3. 9 - Referências Bibliográficas

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