Livro Analog Filters

Kendall L. Su

Captulo 3: Funes de Rede

Objetivo:

Uma vez que a caracterstica de mdulo tenha sido escolhida para uma determinada aplicao de filtragem, o prximo passo determinar uma funo de rede H(s)que tenha esta caracterstica de mdulo e que tambm seja realizvel. Por realizvel, entende-se que a funo deve ser tal que exista pelo menos uma rede funcional, que posa ser implementada com componentes reais, e que execute a tarefa de filtragem de acordo com o esperado. Por exemplo, a funo de rede deve ser tal que no tenha plo na metade direita do plano s. Se isso acontecer, a rede no ser estvel, e poder ou tornar-se no-linear, passando a funcionar de forma inadequada, ou mesmo autodestruir-se.

3.1 - Procedimento Geral

Dado |()|2, o que se quer obter H(s) Do Captulo 2, sabe-se que |()|2 = ()()]= . Aqui, o que se quer exatamente o procedimento inverso, ou seja, partir de |()|2 para obter H(s). Ento, partindo de |()|2 pode-se escrever

()() = |()|2]2=2 = (2)(2)2=2

Se desejamos obter () = ()(), ento pode-se escrever

()() = (2)]2=2e()() = (2)]2=2 . O procedimento para obteno do polinmioP(s) correspondente a um dado (2) idntico quele para obteno do polinmio Q(s) correspondente a um dado (2). Ento, escolhemos, arbitrariamente, ilustrar o procedimento usando (2) e P(s). Uma vez que P(s) um polinmio com coeficientes reais, suas razes devem ser reais ou ocorrerem em pares complexos conjugados. Por outro lado, os zeros de P(-s) so os negativos daqueles de P(s). Assim, os zeros de P(s)P(-s) s podem ocorrer em grupos como aqueles ilustrados na figura a seguir.

No grupo (a) as razes so reais, e para cada raiz num semiplano do plano s deve haver outra no semiplano contrrio. O grupo do tipo (b) contm razes complexas, que devem ocorrer em conjuntos de quatro, simtricas em relao a ambos os eixos (tal grupo apresenta a chamada simetria quadrantal). J o grupo (c) corresponde a razes imaginrias. Alm de serem conjugadas, elas devem aparecer sempre com multiplicidade par (na figura so dois pares de razes imaginrias). Para obteno de P(s) dado (2), primeiro se substitui cada 2 em (2) por 2, ou cada por . Ento, resolve-se

(a)

(b)

(c)

(2) = 0, obtendo-se todas as razes de (2). Razes reais correspondero a termos ( + )( )(razes e ), razes complexas correspondero a termos (2 + 2 + 2 + 2)(2 2 + 2 + 2) (razes e ), e razes imaginrias correspondero a termos (2 + 2)2 (razes duplicadas). Com isso, constri-se P(s) da seguinte forma: para cada grupo de razes dos tipos (a) ou (b) alocam-se aqueles em um dos semiplanos laterais para P(s), e aqueles no outro semiplano lateral para P(-s). Observe-se que considerando o caso de (2) no importa qual o semiplano lateral alocado para P(s). J no caso de razes imaginrias, grupo (c), simplesmente aloca-se um par para P(s) e outro par para P(-s), j que elas ocorrem em multiplicidade par. Por exemplo, se (2) = ( + 2)( 2)(2 + 2 + 5)(2 2 + 5)(2 + 6)2, P(s) poderia ser qualquer um dos polinmios ( + 2)(2 + 2 + 5)(2 + 6) ( 2)(2 + 2 + 5)(2 + 6) ( + 2)(2 2 + 5)(2 + 6) ( 2)(2 2 + 5)(2 + 6) os quais correspondem exatamente mesma expresso para P(s)P(-s). O procedimento para obter Q(s) dado (2) exatamente o mesmo que para obter P(s) dado (2). Porm, como Q(s) deve ser Hurwitz (um polinmio Hurwitz se todas as suas razes esto no semiplano lateral esquerdo do plano s), devemos sempre escolher as razes do semiplano lateral esquerdo para Q(s), e as do semiplano lateral direito para Q(-s). Da, se (2) = ( + 2)( 2)(2 + 2 + 5)(2 2 +5)(2 + 6)2, a nica opo para Q(s) seria

( + 2)(2 + 2 + 5)(2 + 6) As vrias formas de alocao das razes de (2) no modificam (2). Porm, a fase da funo de transferncia H(s) resultante afetada. Quando apenas razes no semiplano lateral esquerdo so escolhidas para P(s), H(s) ter a menor fase em cada freqncia (neste caso, H(s) chamada de funo de transferncia de fase mnima). Se razes do semiplano lateral direito forem selecionadas para P(s), ento H(s) dita funo de transferncia de fase no mnima.

Os passos computacionais para obter o denominador de H(s) podem ser levados a cabo usando MATLAB, conforme a seguir:

3.2 Funes de Rede para Filtros Butterworth Para uma funo H(s) cuja caracterstica de mdulo a caracterstica de Butterworth passa baixas normalizada, temos

()() = 11 + (2) Da, de imediato () = 1, e s necessrio trabalhar com (2) = ()() = 1 + (2) , para obter Q(s) e formar a funo de transferncia () = 1

(). As razes de Q(s)Q(-s) so as razes de 1 + (2) = 0, ou seja, (2) = 1 = (+2 ), onde k qualquer inteiro. Da 2 = (2+1) , ou 2 = (2+1) . Por fim, as 2n razes distintas de Q(s)Q(-s) so = (2+1)2 2, para = 0, ,2 1. Alternativamente, podemos escrever = = , sendo = (2+1)2 2 = (2+1)2 e = (2+1)2 2 = (2+1)2 , o que resulta em 2 + 2 = 1, ou seja,

todas as razes de Q(s)Q(-s), ou seja, todos os plos de H(s), tm mdulo 1. Mais ainda, variando-se o valor de k percebe-se que as razes deQ(s)Q(-s) esto espaadas entre si de um intervalo angular constante dado por 3602 = 180 . Tambm se pode notar que se n for mpar duas razes de Q(s)Q(-s) sero reais, enquanto as demais sero complexas conjugadas (simetria quadrantal). Por outro lado, se n for par todas as razes de Q(s)Q(-s) sero complexas conjugadas (somente teremos razes em simetria quadrantal). A figura a seguir mostra as razes de Q(s)Q(-s) para n=6 e para n=9, respectivamente.

Uma vez que Q(s) o denominador de H(s), tal polinmio deve ser Hurwitz. Da, somente razes de (2) = ()() localizadas no semiplano lateral esquerdo podem ser utilizadas para formar Q(s), ou seja, para formar o denominador de H(s). Os polinmios formados como aqui discutido so chamados polinmios Butterworth.

Este exemplo tambm pode ser trabalhado em MATLAB, como a seguir:

Usando MATLAB:

Dois aspectos interessantes relativos aos polinmios normalizados de Butterworth devem ser mencionados: a) o termo constante (de ordem zero em s) sempre 1, o que se deve ao fato de que todas as razes do polinmio tm mdulo igual a 1; b) os coeficientes dos polinmios so sempre simtricos e positivos. Alguns polinmios de Butterworth esto tabelados abaixo

Tabela A1: Polinmios de Butterworth na forma fatorada

n Polinmios 1 ( + 1) 2 (s2 + 1,414214s + 1) 3 (2 + + 1)( + 1) 4 (2 + 0,765367 + 1)(2 + 1,847759 + 1) 5 (2 + 0,618034 + 1)(2 + 1,618034 + 1)( + 1) 6 (2 + 0,517638 + 1)(2 + 1,414214 + 1)(2 + 1,931852 + 1) 7 (2 + 0,445042 + 1)(2 + 1,246980s + 1)(2 + 1,801938 + 1) 8 (2 + 0,390181 + 1)(2 + 1,111140s + 1)(2 + 1,662939 + 1)(2 + 1,961571 + 1) 9 (2 + 0,347296 + 1)(2 + s + 1)(2 + 1,532089 + 1)(2 + 1,879385 + 1)( + 1) 10 (2 + 0,312869 + 1)(2 + 0,907981s + 1)(2 + 1,414214 + 1)(2 + 1,782013 + 1)(2 + 1,975377 + 1)

Tabela A.2. Polinmios de Butterworth na forma expandida

n Polinmios 1 + 1 2 s2 + 1,414214s + 1 3 s3 + 2s2 + 2s + 1 4 s4 + 2,613126s3 + 3,414214s2 + 2,613126s + 1 5 s5 + 3,236068s4 + 5,236068s3 + 5,236068s2 + 3,236068s + 1 6 s6 + 3,863703s5 + 7,464102s4 + 9,141620s3 + 7,464102s2 + 3,863703s + 1 7 s7 + 4,493959s6 + 10,097835s5 + 14,591794s4 + 14,591794s3 + 10,097835s2 + 4,493959s + 1 8 s8 + 5,125831s7 + 13,137071s6 + 21,846151s5 + 25,688356s4 + 21,846151s3 + 13,137071s2 + 5,125831s + 1 9 s9 + 5,758770s8 + 16,581719s7 + 31,163437s6 + 41,986386s5 + 41,986386s4 + 31,163437s3 + 16,581719s2 +5,758770s + 1 10 s10 + 6,392453s9 + 20,431729s8 + 42,802061s7 + 64,882396s6 + 74,233429s5 + 64,882396s4 + 42,802061s3 +20,431729s2 + 6,392453s + 1

Os coeficientes dos polinmios de Butterworth podem tambm ser obtidos usando o comando buttap do MATLAB, atravs da linha de comando [z,p,k]=buttap(n) onde n a ordem do filtro, z um vetor que contmos zeros do filtro ( um vetor vazio), p um vetor que contm os plos do filtro ( um vetor com nelementos), e k uma constante (igual a 1). Com isto, os polinmios de Butterworth podero ser formados com os plos retornados por esta chamada, como ilustrado abaixo para os Exemplos 2 e 3 vistos anteriormente.

3.2 Funes de Rede para Filtros Chebyschev Para a caracterstica de modulo passa baixas de Chebyschev, dada por |()|2 = 11+22(), obtm-se que ()() =

2()() = 21+22( ). Novamente, tem-se que lidar somente com os polinmios denominadores, j que obteremos () =

(). As razes de Q(s)Q(-s) so as solues da equao 1 + 22() = 0 2() = 12, ou seja, de () =[1()] = 1

(eq X).

Seja cos1() = + . Ento, = cos( + ) =coscos sensen = coscos sensen, ou seja, = sensen + coscos a soluo desejada. A partir da equao X, escreve-se cos[( + )]=coscosh sensenh = 1

. Agora,

igualando a parte real e a parte imaginria dos dois lados desta equao obtm-se coscosh = 0 (eq Y) sensenh = 1

(eq Z)

Como real, cosh > 1, e da a soluo da equao Y cos = 0, ou seja, um mltiplo inteiro e mpar de 2. Logo, = (21)2 , sendo um inteiro qualquer. Portanto, sen =1, e senh = 1

e = 1

senh1 1

.

Portanto, as razes de Q(s)Q(-s) so dadas por

= sen (2 1)2 senh + cos (2 1)2 cosh sendo importante destacar que apesar de poder ter qualquer valor inteiro, apenas os valores [1,2] geram razes distintas. Portanto, conhecendo-se e , obtm-se o valorde , e as razes de Q(s)Q(-s) so determinadas a partir da equao acima. Considerando = + , temos que = sen (21)2 senh e = cos (21)2 cosh, resultando em

2senh2 + 2cosh2 = 1. Esta equao nos diz que as razes de Q(s)Q(-s) esto sobre uma elipse com semieixo maior (sobre o eixo imaginrio do plano s) cosh e semieixo menor (sobre o eixo real do plano s) senh . A figura a seguir ilustra a forma como essas razes sodeterminadas. Duas circunferncias so traadas, com seus raios iguais a cosh e senh , respectivamente. O ngulo determinado, igual a (2 1)/2. Para = 1, mostrado como obter a raiz 1 de Q(s)Q(-s), determinando-se os valores de 1e1 como as projees de senh (na horizontal) e cosh (na vertical) conforme o ngulo . Determinando-se todas as 2n razes de forma similar, variando-se o ngulo de acordo com o valor de k, pode-se perceber que a elipse sobre a qual essas razes esto localizadas tangencia a circunferncia de raio maior por dentro e tangencia a circunferncia de raio menor por fora.

Tais plos so mostrados na figura a seguir.

A partir desses plos, constri-se a funo de transferncia () = (2+0,308504 +1,016027 )(2+0,744796+0,308921 ) ou () =

4+1,053303+1,554722+0,852035 +0,313871 . Note-se que falta determinar o valor de K para que H(s) fique totalmente determinada. A forma de fazer isto ilustrada a seguir. Como o filtro do exemplo de ordem par, sabe-se que H(0) = 1/1 + 2. Porm, temos que H(0) = K0,313871 . Portanto, 11+2 = 11+0,188502 = K0,313871 , o que leva ao valor K =0,287906. O polinmio denominador de alguns filtros Chebyschev passa baixas normalizados so mostrados em tabelas do Apndice A (para alguns valores de ), na forma fatorada e na forma expandida. A seguir esto as tabelas correspondentes ao caso em que a atenuao mxima na banda passante p = 0,1 dB.

Tais denominadores, assim como as correspondentes constantes K, podem ser obtidos usando a funo cheb1ap do MATLAB. Isto feito atravs da linha de comando [z,p,k]=cheb1ap(n,Rp) onde n a ordem do filtro, Rp o valor mximo da atenuao permitida na banda passante (ou seja, o valor de ), z o vetor que contm os zeros de H(s) (no caso, um vetor vazio), p o vetor que contm os plos de H(s) (com n elementos), e K a constante do numerador de H(s).

Para ilustrar o uso de tal funo MATLAB, o exemplo anterior seria resolvido atravs da utilizao das seguintes linhas de comando:

3.4 Funes de Rede para Filtros de Funo Elptica (Filtros Elpticos) Como foi mencionado na Seo 2.4, possvel construir caractersticas de mdulo com que tal igualdade de ondulao tanto na banda passante quanto na banda de rejeio. Tambm foi observado que funes de rede para este tipo de filtros podem ser obtidas sem primeiro obter a sua caracterstica de mdulo. Nesta seo se indica qualitativamente um mtodo pelo qual isso pode ser feito (o mtodo usa transformao conformal, que mapeia pontos de um plano complexo para outro, preservando todas as relaes angulares). Especificamente, a transformao

= sn(,) mapeia todo o plano s num retngulo no planop, conforme ilustraa figura abaixo.

A funo sn a funo Jacobiana elptica seno, o mdulo, a integral elptica completa de mdulo e a integral elptica completa de mdulo = 1 2. Em nossa aplicao, ns consideramos = , 0 < < 1, como sendo a banda passante, e = , 1 < < , como sendo a banda de rejeio. Tais regies no plano s e seu mapeamento no plano p so indicadas na figura acima. A simetria de qualquer H(s)H(-s) em torno de ambos os eixos fica implcita nos dois planos. O retngulo no plano p da figura acima somente uma clula de uma srie infinita do mesmo retngulo, repetido nas direeshorizontal e vertical (porque as funes elpticas so duplamente peridicas). A transformao assim definida na verdade mapeia o plano ssobre um nmero infinito de retngulos vizinhos uns dos outros de uma forma regular, como mostrado na figura abaixo, em que a clula retangular centrada na origem mostrada com bordas levemente mais grossas.

Agora se ns colocarmos plos e zeros no plano p de forma adequada, o resultado ser a variao de mdulo desejada. Note-se que no se podem ter plos no eixo, de forma que eles so colocados a certa distncia a partir deste eixo. Queremos colocar os zeros na banda de rejeio, de forma queeles so colocados ao longo das linhas verticais de distncia a partir do eixo (esse padro se repete horizontalmente cada 2). J Verticalmente, plos e zeros so uniformemente espaados. Por causa das posies cclicas dos plos e zeros, uma funo de rede com estes plos e zeros deve variar ciclicamente, com mximos e mnimos iguais ao longo de qualquer linha vertical. Desta maneira, a ondulao desejada para os filtros elpticos automaticamente gerada. O padro de plos e zeros da figura acima corresponde a um filtro elptico de ordem 5. Os plos e zeros de H(s)H(-s) so mostrados na figura abaixo. Para obter H(s), ento, simplesmente desconsideramos os plos no semiplano lateral direito e tomamos um de cada zero duplo sobre o eixo .

Referindo-se antepenltima figura, v-se que as funes de rede obtidas desta forma tm a banda passante normalizada para = 1 /. O mdulo controla os comprimentos relativos dos dois lados do retngulo. Assim, determina diretamente a relao da banda de transio ( = = 1 ). A distncia das colunas de plos para o eixo determina a atenuao na banda passante . Quanto mais perto tais plos estiverem do eixo , maior ser a atenuao na banda passante. Um desenvolvimento quantitativo de como obter funes elpticas est alm do escopo deste livro. Como muito comum na prtica, o livro se limita a utilizar tabelas prcalculadas ou software de computador para lidar com funes de rede de filtros elpticos. Um conjunto de tabelas de fcil utilizao est no Apndice A. Outra forma de obter as funes de rede correspondentes a filtros elpticos usando a funo ellipap do MATLAB, atravs d alinha de comando [z,p,k]=ellipap(n,Rp,Rs);

onde n a ordem do filtro, Rp a atenuao mxima admitida na banda passante ( ), Rs a atenuao mnima desejada na banda de rejeio (), z um vetor contendo os zeros do filtro (contm n elementos, se n for par, e n-1 elementos, se n for mpar), p um vetor que contm os plos do filtro (contm sempre n elementos), e k uma constante.

Distribuio das razes: n=4

-3 -2 -1 0 1 2 3-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Real Part

Imag

inar

y P

art

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

n=5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-8

-6

-4

-2

0

2

4

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5