Livro Analog Filters

Kendall L. Su

Capítulo 2: A Aproximação

Objetivo: Obter uma característica de módulo (| |) que

atenda o conjunto de especificações para um dado filtro sendo

projetado para uma aplicação pré-definida

| | ⇒ | | |

| | é uma função par e racional em

Por exemplo:

| |

Uma observação importante é que é muito mais fácil trabalhar com | |

como acima, do que com a função irracional | | √

√

Portanto, o objetivo da aproximação é obter | | de tal forma que:

| |

,

onde

fazendo com que

| | sendo | | na banda passante, e

| | na banda de rejeição

2.1 A Característica Passa Baixas de Butterworth

(Stephen (conforme wikipédia) Butterworth (1885-1958, conforme Wikipédia), “On the

Theory of Filter Amplifiers”, Wireless Engineering, vol. 7, pp. 536-541, Out 1930)

2.1.1 – A Característica Passa Baixas de Butterworth Normmalizada

A proposta de Butterworth consiste em tomar

onde n é a ordem do filtro. Assim, obtém-se que

| |

Filtro Butterworth de ordem n

Características:

| |

| |

√

Maximamente plana na origem

Se usarmos a expansão binomial de | |, teremos

| |

na vizinhança de rad/s.

Daí se pode notar que as 2n-1 primeiras derivadas de | | são nulas

para rad/s. Ou seja, a função de | | correspondente ao filtro

de Butterworth é tão plana quanto possível em rad/s (ela é

frequentemente chamada de característica de módulo maximamente plana).

Assim, na faixa quanto maior for a ordem n do filtro mais

plana será a característica de Butterworth na banda passante, aproximando-

se cada vez mais da característica do filtro ideal (o que só seria alcançado

com n=).

Para , quanto maior for a ordem n do filtro mais rapidamente

cresce, e mais rapidamente | |

decresce quando ω

cresce.

Para , a característica de módulo de Butterworth pode ser

aproximada por

| |

donde resulta que

| |

Daí, o ganho decresce na taxa de ( )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

X: 1

Y: 0.7071

w (rad/s)

|H(j

w)|

n=2

n=4

n=7

n=12

2.2.2 – Uso da característica Butterworth Normalizada para Obter as Exigências do Filtro Desejado Fundamentalmente, trata-se aqui de como proceder se o filtro de Butterworth desejado tiver atenuação menor do que 3dB na banda passante (ver valor na curva a seguir, e o correspondente valor ).

EXEMPLO 2.1. Determine a característica passa baixas de Butterworth com o mínimo n tal que as seguintes especificações sejam satisfeitas:

⁄ SOLUÇÃO. Necessitamos

( )

o que nos leva a

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

X: 0

Y: -3.01

log w

|H(j

w)|

(d

B) n=2

n=4

n=7

n=12

Daí,

(

)

donde se obtém o valor de , e daí o valor de , que será

Porém, como deve ser um inteiro (é a ordem do filtro), deve-se escolher , para assegurar a atenuação desejada de 25 dB na banda de rejeição (caso , a atenuação na banda de rejeição seria menor que o especificado).

Usando e retomando a equação ( ) , obtém-

se que , e daí temos que

. Com isto, pode-se verificar que

( )

Com o valor de calculado, define-se uma constante de

escalamento em frequência

, a ser utilizada para estreitar

a largura de banda do filtro passa baixas normalizado, obtendo-se

a nova característica | |

(

)

2.2 – A Característica Passa Baixas de Chebyschev Outra característica padrão passa baixas comumente usada é a característica passa baixas de Chebyshev. Esta classe de característica faz uso do polinômio de Chebyshev e produz uma ondulação (ripple) de amplitude constante na banda passante. Fora da banda passante, o ganho também diminui monotonicamente, mas a um ritmo mais rápido do que a característica de Butterworth (para a mesma ordem). 2.2.1 – O Polinômio de Chebyschev (Pafnuti Lvovitch Tchebychev, matemático russo, 1821-1894) O polinômio de Chebyshev (do primeiro tipo) de ordem n é definido como

Esta expressão tem a aparência de uma função trigonométrica, mas na

verdade é um polinômio em do grau. Isso é melhor visto

olhando as fórmulas recursivas para esta classe de polinômios. Primeiro, façamos

Então:

Somando as duas equações acima, resulta que , o que resulta em , ou

Assim, supondo-se que são polinômios, então

também é um polinômio.

Como se tem que , podemos escrever:

gerando os polinômios mostrados na Tabela 2.1

Cálculo de um Polinômio de Chebyschev utilizando MATLAB: >> syms w >> C11 = cos(11*acos(w)); >> C11 = expand(C11) C11 = 1024w11 – 2816w9 + 2816w7 – 1232w5 + 220w3 – 11w A Tabela 2.2 a seguir mostra como os polinômios de Chebyschev variam na faixa de (característica oscilatória com módulo menor ou igual a 1).

Para ver como varia na faixa , deve ser notado que

Variando de 1 para 0, os vários valores intermediários de variarão conforme a Tabela acima. Note-se que o último valor em tal tabela depende do valor de n (par ou ímpar). A figura a seguir ilustra o comportamento de para os casos em que n=4 (par) e n=7 (ímpar).

Observe-se que até agora só lidamos com , ou seja,

o domínio da função . Para , os polinômios de Chebyschev são expressos como

que é uma função monotonicamente crescente. Um aspecto importante, também, é que ainda neste caso a relação se mantém. Isto significa que as expressões dadas na Tabela de polinômios de Chebyschev, como funções de ω são válidas para qualquer valor de ω.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

w (rad/s)

Cn(w

)

n=4

n=7

Para se ter uma ideia mais clara do comportamento dos polinômios de Chebyschev para qualquer valor de ω, a figura a seguir mostra gráficos dos polinômios de Chebyschev de quarta e de sétima ordem, na faixa de . Note-se o caráter oscilatório (com máximos e mínimos constantes) na banda passante, e o caráter monotônico crescente fora da banda passante.

Fora da banda passante, ou seja, para , podemos escrever que

.

A partir daí, é fácil notar que a derivada do polinômio é ̇ , cujo valor é positivo para , comprovando que os polinômios de Chebyschev são monotonicamente crescentes nesta faixa de frequências. Adicionalmente, para freqüências negativas dentro da banda passante [ ] [ ] ,

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

w(rad/s

Cn(w

)

n=4

n=7

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5

0

50

100

150

200

w(rad/s)

Cn(w

)

n=4

n=7

ou seja , tal que , quando n é par, e , quando n é ímpar (ver figura acima). Em outras palavras, é uma função par quando n é par, e uma função ímpar quando n é ímpar. Note-se, porém, que | | | |, qualquer que seja n. 2.2.2 – A Característica Passa Baixas de Chebyschev Uma vez que | | para | | , nós podemos escolher um número ε arbitrariamente pequeno e fazer

, tal que obteremos

| |

Cujos valores recaem na faixa entre 1 e ⁄ na faixa . Os gráficos de | | para n=4 e n=7 são mostrados na figura abaixo.

Portanto, é muito natural fazer para o filtro passa baixas de

Chebyschev, com o que se obtém .

Já para , podemos escrever que | |

Comparando com a característica de Butterworth (fazendo , para melhor comparação, percebe-se que este valor é igual ao valor da

característica de Butterworth, para a mesma faixa, dividido por , mostrando que a característica de Chebyschev tem uma queda mais acentuada que a de Butterworth fora da banda passante, sendo pago o preço de oscilações na banda passante.

Em dB, podemos escrever que , ou

Resultando numa atenuação dB maior que o filtro de Butterworth correspondente. Como consequência, um filtro de Chebyschev atenua mais o sinal, fora da banda passante, do que o filtro Butterworth de mesma ordem. Exemplo 2.2: Determine o valor mínimo de n de uma característica de Chebyschev necessário para dar uma característica de módulo tal que

⁄

Solução: , donde . Como

temos que , e daí [ ] , de onde

, e . Daí:

, com o

que o valor n=5 deve ser selecionado, o qual é bem menor do que a ordem 9 do filtro projetado com as mesmas especificações.

2.3 – Outras Características Relacionadas à de Chebyschev Esta seção não será abordada. 2.4 - A Característica do Filtro de Função Elíptica Os numeradores das características passa baixas Butterworth e Chebyschev ()correspondentes aos filtros de Butterworth e Chebyschev também têm )=ou seja, não existem zeros finitos para tais casos). Daí, tais funções H(s) são ditas funções só polos.

A partir de agora vamos lidar com outra característica passa baixas, que tem variação equiripple na banda passante e também na banda passante (note-se que o filtro de Butterworth não tem oscilações nem na banda passante nem na banda de rejeição, e que o filtro de Chebyschev tem oscilações equiripple apenas na banda passante).

Para este tipo de característica, escolhe-se , sendo

(2.29)

ou

(2.30)

Por exemplo:

, em que

. Os gráficos correspondentes são aqueles abaixo:

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

w(rad/s)

R11

(w)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

w(rad/s)

R10

(w)

A partir de uma destas duas funções se obtém a característica de módulo

| |

Considerando N=1, obtém-se que

| |

ou

| |

para as quais as funções H(s) terão, ambas, zeros caracterizados por

ou seja, um par de zeros imaginários. No primeiro caso, o denominador será de ordem dois, e assim H(s) terá dois polos complexos conjugados e dois zeros imaginários. No segundo caso, H(s) terá seu denominador de ordem três, e assim terá três polos (dois complexos conjugados e um real) e dois zeros imaginários. Note-se que esta é a forma de se montar os filtros de ordem par (usando a equação 2.29) e de ordem ímpar (usando a equação 2.30) com zeros finitos. Isto é exemplificado na figura a seguir:

que, considerando apenas frequências positivas, se torna:

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

w(rad/s)

|H(j

w)|

de onde se nota que o número de máximos e mínimos na banda passante coincide com a ordem do filtro, assim como o número de máximos e mínimos na banda de rejeição, conforme ilustra a figura a seguir:

Note-se que os valores de devem estar na faixa , e que neles o valor de | | é 1 (incluindo , no caso da equação (2.30)). Por sua vez, em , o valor de | | é

0 0.5 1 1.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

w(rad/s)

|H(j

w)|

zero (incluindo , no caso da equação (2.30)). Note-se que no caso da Figura 2.9-a a ordem do filtro é seis, enquanto que na Figura 2.9-b a ordem do filtro é sete. O posicionamento arbitrário de produz os mesmos máximos (iguais a 1) na faixa (banda passante), e os mesmos mínimos (iguais a zero) na faixa .

Porém, os mínimos na faixa de baixas frequências, não são os mesmos. Nem os máximos na faixa de altas frequências. Foi mostrado que se tais máximos e mínimos forem uniformes nas respectivas faixas obtém-se a menor largura de banda de transição, , para a mesma atenuação na

banda de rejeição ( ) e a mesma atenuação na banda passante .

Quando se procede desta forma, a definida em (2.29) e (2.30) é conhecida como a função racional de Chebyschev. Não é simples, porém, determinar as locações de tais pontos notáveis de forma a obter ondulação idêntica em ambas as regiões. Há muitos métodos pelos quais isto pode ser feito, quer seja por meios numéricos quer seja por meios analíticos. Isto não será, porém, coberto aqui.

Filtros com variaçõe sequiripple tanto na banda passante quanto na banda de rejeição foram primeiro propostos por Cauer (Wilhelm Adolf Eduard Cauer, 1900-1945), em 1931 (W. Cauer, Siebschaltungen (Filtros), V.D.I. Verlag, G.m.b.H., Berlin, 1931). Por isto, eles são chamados filtros de Cauer. Também, na obtenção da sua função H(s) pode-se utilizar as funções Jacobiana elíptica. Daí, eles serem também chamados de filtros elípticos (ou filtros de função elíptica). 2.5 Comparação das Características Passa Baixas Padrão A leitura desta seção é recomendada, inclusive o estudo dos exemplos 2.4 e 2.5, que ilustram as diferenças entre as funções de Butterworth, de Chebyschev e de Cauer. Uma comparação entre elas será feita na experiência de número 4.