PrefcioEstas notas de aula surgiram da experincia do autor quando este ministrou algumas vezes a disciplina para os cursos de Engenharias e na Licenciatura em Matemtica a Distncia. O principal objetivo destas notas fazer com que os alunos compreendam com clareza os conceitos de funes de vrias variveis de um ponto de vista geomtrico e algbrico. Desenvolvendo tambm a capacidade de modelagem de problemas matemticos e provas envolvendo conjuntos topolgicos, bem como as noes intuitivas de limites, continuidade, derivadas parciais, diferenciabilidade, comportamento de funes, integrais de linha e de superfcie. nossa expectativa que este texto assuma o carter de espinha dorsal de uma experincia permanentemente renovvel, sendo, portanto, bem vindas s crticas e/ou sugestes apresentadas por todos - professores ou alunos quantos dele zerem uso. Para desenvolver a capacidade do estudante de pensar por si mesmo em termos das novas denies, inclumos no nal de cada seo uma extensa lista de exerccios. No captulo 1 apresentaremos algumas denies e resultados sobre conceitos topolgicos, funes reais de duas ou mais variveis reais, limites e continuidade que sero necessrias para o entendimento das prximas captulos. No captulo 2 apresentaremos as denies de derivadas parciais, diferenciabilidade, Regra da Cadeia, derivada direcional e gradiente que sero necessrios para as aplicaes. No captulo 3 apresentaremos os problemas de maximazao e minimizao, o Mtodo dos Multiplicadores de Lagrange, derivao implcita e transformaes. No captulo 4 apresentaremos algumas denies e resultados sobre integrais mltiplas e mudana de coordenadas. No captulo 5 apresentaremos algumas denies e resultados sobre campos de vetores, funes vetoriais, integrais de linha e independncia do caminho. Finalmente, no captulo 6 apresentaremos os conceitos de superfcies parametrizadas e integrais de superfcie. Alm disso, os Teoremas de Divergncias, os quais so de grande importncia no Clculo Vetorial. Em particular, o Teorema de Green. Agradecemos aos colegas e alunos do Departamento de Matemtica que direta ou indiretamente contriburam para a realizao deste trabalho. Em particular, aos professores Ailton Ribeiro de Assis, Inaldo Barbosa de Albuquerque, Joo Bosco Batista Lacerda, Jos Gomes de Assis e Marivaldo Pereira Matos.

Antnio de Andrade e Silva.

Sumrio1 Funes Reais de Vrias Variveis Reais 1 1.1 Conceitos Topolgicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Funes Reais de Vrias Variveis Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Limites e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Diferenciabilidade 2.1 Derivadas Parciais 2.2 Diferenciabilidade . 2.3 Regra da Cadeia . 2.4 Derivada Direcional 31 31 37 46 50 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 84 92 98 117

. . . e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . Gradiente

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3 Aplicaes das Derivadas Parciais 3.1 3.2 3.3 3.4 Mximos e Mnimos . . . . . . . Multiplicadores de Lagrange . . Derivadas de Funes Implcitas Transformaes . . . . . . . . . . . . .

4 Integrais Mltiplas

4.1 Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.2 Mudana de Variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.3 Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5 Integrais de Linha 5.1 5.2 5.3 5.4 Campos Vetoriais . . . . . . Funes Vetoriais . . . . . . Integrais de Linha . . . . . . Independncia do Caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 148 157 165 176 195

6 Integrais de Superfcie

6.1 Superfcies Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 3

6.2 6.3 6.4 6.5

Integrais de Superfcie Teorema de Green . . Teorema de Gauss . . Teorema de Stokes . .

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Referncias Bibliogrcas

Captulo 1 Funes Reais de Vrias Variveis Reais Situando a TemticaQuando falamos que uma coisa funo de outra, queremos dizer, simplesmente, que a primeira delas depende da segunda. Situaes de dependncia, ou vinculao, fazem-se presentes constantemente em nossa vida. Por exemplo, a rea de um tringulo igual a um meio da base vezes a altura, ou seja, depende da base e da altura do tringulo. A partir de agora, voc est convidado a nos acompanhar neste passeio pelo mundo das funes reais de vrias variveis reais. Juntos analisaremos detalhadamente suas regras, conheceremos domnios, grcos e curvas de nvel, verdadeiras ferramentas de decorao utilizadas para exposio de mapas, e aprenderemos os conceitos de limites e continuidade de funes reais de vrias variveis reais. Para desenvolver a capacidade do aluno pensar por si mesmo em termos das novas denies, inclumos no nal de cada seo uma extensa lista de exerccios, onde a maioria dos exerccios dessas listas foram selecionados dos livros citados no nal do texto. Devemos, porm, alertar aos leitores que os exerccios variam muito em grau de diculdade, sendo assim, no necessrio resolver todos numa primeira leitura.

Problematizando a TemticaA adequao de uma investigao sistemtica, imprica e crtica nos leva a problematizao ou a formulao de problemas com enuciados que devem ser explicitados de forma clara, compreensvel e operacional. Portanto, um problema se constitui em uma pergunta cientca quando explicita a relao entre as variveis ou fatos envolvidos no fenmeno. Como vemos no nosso dia-a-dia os problemas envolvendo as funes reais de vrias variveis reais independentes aparecem com mais frequncia do que as funes reais de uma varivel real, e seu clculo ainda mais extenso. Suas derivadas so mais variadas e 1

mais interessantes por causa das diferentes maneiras como as variveis podem interagir. Considere, por exemplo, uma placa metlica circular com um metro de raio, colocada com centro em O = (0, 0) do plano xy e seja aquecida, de modo que a temperatura em um ponto P = (x, y) seja dada por T (x, y) = (16x2 + 24xy + 40y 2 ),

C

com x e y estando em metros. Determine os pontos de menor e maior temperatura da placa.

Conhecendo a Temtica1.1 Conceitos TopolgicosNesta seo introduzimos os conceitos topolgicos importantes para o estudo de funes reais de vrias variveis reais, mais precisamente funes cujo domno um subconjunto X Rn e cuja imagem est contida em R, com nfase no plano cartesiano e no espao. pertinente lembrar que de extrema importncia em matemtica, sempre que possvel, esboar gracamente um conjunto (ou um grco de uma equao ou inequao) para termos uma ideia geomtrica do mesmo. Um conjunto de pontos ou simplesmente um conjunto X em Rn , com 1 n 3, qualquer coleo de pontos nita ou innita. Exemplo 1.1 Os conjuntos X = {(1, 0), (0, 1)}, Y = {(x, y) R2 : y = x} e Z = {(x, y) R2 : x2 + y 2 < 1} so conjuntos de pontos no plano cartesiano R2 = R R. Dados um ponto P = (a, b) X e um nmero real > 0, chama-se vizinhana delta (circular) de P , em smbolos V (P ), ao conjunto de todos pontos Q = (x, y) X tais que |Q P | = d(P, Q) = p (x a)2 + (y b)2 <

com |Q P | representando a distncia entre os pontos P e Q, isto , V (P ) = {Q X : |Q P | < }. Chama-se vizinhana delta (retangular) de P ao conjunto de todos pontos Q = (x, y) P tais que |x a| < e |y b| < , isto , V (P ) = {Q X : |x a| < e |y b| < }.

A Figura 1.1 expe gracamente a denio de vizinhana delta de P .

Figura 1.1: Representao grca dos conceitos topolgicos de X. Um conjunto X em Rn chama-se aberto se para cada ponto P X, existir uma vizinhana delta de P toda contida em X, isto , P X, V (P ) tal que V (P ) X. Neste caso, diremos que todos os ponto de X so pontos interiores. Exemplo 1.2 Sejam X = {(x, y) R2 : x2 + y 2 < 1}, Y = {(x, y) R2 : |x| < 1 e |y| < 1} e Z = {(x, y) R2 : y 0} conjuntos abertos em R2 . Mostre que X e Y so conjuntos abertos em R2 , enquanto o Z no um conjunto aberto em R2 . Soluo. Dado um ponto P = (a, b) X, obtemos a2 + b2 < 1. Assim, existe uma vizinhana delta de P , V (P ), com =1 a2 + b2 ,

Portanto, Q X e X um conjunto aberto em R2 . Agora, dado um ponto P = (a, b) Y , obtemos 0 |a| < 1 e 0 |b| < 1. Assim, existe uma vizinhana delta de P , V (P ), com = min{ 1 , 2 }, 1 = min{|a| , 1 |a|} e 2 = min{|b| , 1 |b|}, tal que V (P ) Y , pois se Q = (x, y) V (P ), ento |Q P | < . Logo, |x a| |Q P | < |x a| < 1 |x| < 1

tal que V (P ) X, pois se Q = (x, y) V (P ), ento |Q P | < . Logo, p x2 + y 2 = |Q O| = |(Q P ) + (P O)| |Q P | + |P O| < + a2 + b2 = 1.

e |y b| |Q P | < |y b| < 2 |y| < 1. Portanto, Q Y e Y um conjunto aberto em R2 . Finalmente, para provar que Z no um conjunto aberto em R2 , basta observar que para cada ponto P = (a, 0) Z, no existe nenhuma vizinhana delta > 0 de P , V (P ), tal que V (P ) Z. Um ponto P Rn um ponto de fronteira de um conjunto X em Rn se qualquer vizinhana de P contm pontos de X e pontos fora de X, isto , V (P ) X 6= e V (P ) (Rn X) 6= , com Rn X o complementar do conjunto X. A Figura 1.1 expe gracamente a denio de ponto de fronteira de X. Seja X um conjunto X em Rn . Chama-se fronteira de X, em smbolos (X), o conjunto de todos os pontos de fronteiras de X. Exemplo 1.3 Sejam X = {(x, y) R2 : y > 0} e Y = {(x, y) R2 : x2 + y 2 < 1} conjuntos em R2 . Mostre que (X) = {(x, y) R2 : y = 0} e (Y ) = {(x, y) R2 : x2 + y 2 = 1}. Em particular, (X) = (R2 X) e (Y ) = (R2 Y ). Soluo. Dados P = (a, 0) R2 e > 0, existe Q = (a, y) X, com 0 < y < , tal que Q V (P ) X. Portanto, P = (a, 0) (X), pois P R2 X. Reciprocamente, dado P = (a, b) (X), temos, pela Lei da Tricotomia, que b < 0, b = 0 ou b > 0. Se b < 0, ento existe 0 < < b tal que V (P ) R2 X e V (P ) X = , o que impossivel. Se b > 0, ento existe 0 < < b tal que V (P ) X e V (P ) (R2 X) = , o que impossivel. Portanto, b = 0 e (X) = {(x, y) R2 : y = 0}. De modo inteiramente anlogo, determina (Y ).

Um conjunto X em Rn chama-se fechado se seu complementar Rn X for aberto. Por exemplo, X = {(x, y) R2 : x2 + y 2 1} um conjunto fechado em R2 , pois seu complementar Rn X = {(x, y) R2 : x2 + y 2 < 1} um conjunto aberto em R2 .

Um conjunto X em Rn chama-se limitado se existir uma esfera de centro na origem O de Rn e raio sucientemente grande r > 0, em smbolos Sr (O), tal que X Sr (O). Ou, equivalentemente, um bloco B em Rn tal que X B. Note que em R2 uma esfera um crculo (uma circunferncia) e um bloco um retngulo. Neste caso, para cada P = (x, y) X, existe r > 0 tal que |x| < r e |y| < r. Exemplo 1.4 Sejam X = {(x, y) R2 : |x| 1 e 1 < y 2} e Y = {(x, y) R2 : x > 0} conjuntos em R2 . Mostre que X um conjunto limitado em R2 , enquanto Y no um conjunto limitado em R2 . Soluo. Note que X gracamente representa uma gura retangular com lados de comprimentos a = 2 e b = 3, repectivamente. Assim, pondo r = max{2, 3} = 3, obtemos X S3 (0, 0) = {(x, y) R2 : x2 + y 2 = 9}, Portanto, X um conjunto limitado em R2 . Agora, se existisse uma esfera de centro na origem O de R2 e raio sucientemente grande r > 0 tal que Y Sr (O). Ento o ponto P = (r + 1, y) Y , onde P Sr (O), o que impossvel. Portanto, Y no / 2 um conjunto limitado em R . Um conjunto X em Rn chama-se compacto se ele fechado e limitado em Rn . Por exemplo, X = {(x, y) R2 : |x| + |y| 1} um conjunto compacto em R2 . Um ponto P Rn um ponto de acumulao de um conjunto X de Rn se para qualquer nmero real > 0, tem-se (V (P ) {P }) X 6= . Por exemplo, P = (0, 0) R2 um ponto de acumulao do conjunto X = {(x, y) R2 : y > 0}. Note que P X. Observe tambm que qualquer ponto P X um ponto de acumulao / de X = {(x, y) R2 : y > 0}.

Enquanto que o conjunto Z no possui ponto de acumulao, pois dado x Z, existe = 1 tal que (V (x) {x}) Z = . Um ponto P X que no um ponto de acumulao de X chama-se um ponto discreto ou um ponto isolado de X. Um conjunto X em Rn chama-se conexo se quaisquer dois pontos distintos P, Q X podem ser ligados por uma linha poligonal inteiramente contida em X (linha poligonal signica uma curva constituda de um nmero nito de segmentos retilneos em sucesso tais que a extremidade de cada um coincida com a origem do seguinte). Um conjunto aberto e conexo chama-se domnio. Por exemplo, o counjuto X = {(x, y) R2 : 1 < x2 + y 2 < 4} um domnio em R2 . Note que, um domnio no pode ser formado por dois conjuntos abertos disjuntos. Assim, o conjunto X = {(x, y) R2 : |x| > 0} no um domnio em R2 , pois X = {(x, y) R2 : x < 0} {(x, y) R2 : x > 0}. Um conjunto X em Rn chama-se uma regio se X um aberto conexo mais alguns ou todos os seus pontos de fronteiras. Uma regio X simplesmente conexa em Rn se qualquer curva fechada em X pode ser reduzida de maneira contnua a um ponto qualquer em X sem deixar X. Por exemplo, X = {(x, y) R2 : |x| 1 e 1 < y 2} uma regio simplesmente conexa em R2 . Exemplo 1.5 Seja X um conjunto compacto em R2 . Mostre que Y = R2 X nunca pode ser uma regio simplesmente conexa em R2 . Soluo. Como X um conjunto compacto em R2 temos que existe um crculo de centro na origem O de R2 e raio sucientemente grande r > 0 tal que X Cr (O). Assim, a circunferncia de centro na origem O de R2 e raio r + 1 est contida em Y , mas no pode ser reduzida de maneira contnua a um ponto qualquer em Y sem deixar Y . Portanto, Y no uma regio simplesmente conexa em R2 . Em particular, a regio Y = {(x, y) R2 : 1 < x2 + y 2 }

no uma regio simplesmente conexa em R2 , pois Y = Rn X, com X = {(x, y) R2 : x2 + y 2 1} um conjunto compacto.

EXERCCIOS

1. Esboce a regio R do plano R2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classique R em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C). (a) R = {(x, y) R2 : y 0}. (b) R = {(x, y) R2 : x 0 e x2 + y 2 < 1}. (c) R =]1, 2[ [0, +[. (d) R = {(x, y) R2 : 1 < x2 + y 2 2}. (e) R = {(x, y) R2 : 4 < x2 < 9}. (f) R = {(x, y) R2 : 0 < x e 1 y 2}. (g) R = {(x, y) R2 : x < y}. (h) R = {(x, y) R2 : |x| 1 e 1 y < 2}. (i) R = {(x, y) R2 : 4x2 + y 2 9}. (j) R = {(x, y) R2 : sen x y cos x, 0 x /4}. (k) R = [0, 1] [1, 2]. (l) R = {(x, y) R2 : |x| + |y| 1}. (m) R = {(x, y) R2 : x2 + 4y 2 16 e |x| 1} (n) R = {(x, y) R2 : 1 x2 y 2 }. (o) R = {(x, y) R2 : (x2 + y 2 1) y < 0}. (p) R = {(x, y) R2 : x3 < y}. (q) R = {(x, y) R2 : |x| 2 e 1 < x2 + y 2 }. (r) R = {(x, y) R2 : x2 < y 2 }. (s) R = {(x, y) R2 : |x| + |y| 2 e 1 < x2 + y 2 }. 2. Esboce a regio R = {(x, y) R2 : x2 + y 2 1 [(x 1)2 + y 2 1] < 0},

verique que ela aberta e determine sua fronteira.

1.2

Funes Reais de Vrias Variveis Reais

O conceito de funes reais de duas ou mais variveis reais anlogo ao conceito de funo real de uma varivel real visto no Clculo Diferencial e Integral I. Por exemplo, a equao z = x2 y 2 exprime z como funo de x e y. Em geral, z uma funo de x e y se existir uma regra f que a cada ponto P = (x, y) de um conjunto X em R2 associar um nico ponto z R. A Figura 1.2 expe gracamente a denio de funo de X em R. Para indicar a conexo entre x, y e z usualmente escreve-se z = f (x, y) ou z = z(x, y).

Figura 1.2: Representao grca da funo z = f (x, y). Escreveremos f : X Rn R ou, simplesmente, f : X R para indicar que f uma funo com domnio X e contradomnio R. Se z = f (x, y), diremos que z o valor ou a imagem de x e y com respeito a f . s vezes as funes f : X Rn R so chamadas de funes escalares. Exemplo 1.6 Seja f : X R2 R a funo denida pela regra 1 2 2 f (x, y) = log 1 4x y . 9 Qual o domnio de f ? Soluo. J vimos, no Ensino Mdio, que o domnio da funo log x o conjunto de todos os x R, com x > 0. Logo, o domnio de f o conjunto de todos os pontos (x, y) em R2 tais que 1 1 4x2 y 2 > 0. 9 Portanto, X = {(x, y) R2 : 36x2 + y 2 < 9}.

o domnio da funo f (x, y).

Seja f : X R2 R uma funo. Chama-se grco de f ao conjunto de todos os pontos (x, y, z) R3 tais que z = f (x, y), isto , G(f ) = {(x, y, z) R3 : z = f (x, y)}. Chama-se imagem de f ao conjunto

Im(f ) = {z R : z = f (x, y), para algum ponto (x, y) X}. importante notar que, o grco de uma funo real de duas variveis reais representa uma superfcie. A Figura 1.3 expe gracamente a denio do grco de uma funo f : X R2 R.

Figura 1.3: Grco da funo f .

Sejam f : X R2 R uma funo e z = f (x, y). Quando atribuirmos a z um valor constante k, o conjunto de todos os pontos (x, y) X tais que z = k geram, em geral, uma curva Ck , chamada de curva de nvel da funo f correspodendo ao valor k. Note que a curva Ck est contida no domnio da funo, ou seja, Ck X. A Figura 1.4 expe gracamente algumas curvas de nveis geradas pelo grco de uma funo f : X R2 R.

Figura 1.4: Curva de nvel Ck .

Sejam f : X R3 R uma funo e w = f (x, y, y). Quando atribuirmos a w um valor constante k, o conjunto de todos os pontos (x, y, z) X tais que w = k geram, em geral, uma superfcie Sk , chamada de superfcie de nvel da funo f correspodendo ao valor k.

Exemplo 1.7 Seja f : R2 R a funo denida pela regra f (x, y) = y 2 x2 . Determinar algumas curvas de nvel da funo f .

Soluo. As curvas de nvel da funo f no plano xy correspondem aos grcos da equao y 2 x2 = k, k R. Como o conjunto dos nmeros reais R totalmente ordenado, h trs casos a serem considerados (Lei da Tricotomia): 1.o Caso. Se k > 0, ento y 2 x2 = k uma hiprbole com vrtices (0, k).

2.o Caso. Se k = 0, ento y 2 x2 = k so duas retas passando pela origem O = (0, 0) de R2 , ou seja, y = x e y = x. 3.o Caso. Se k < 0, ento y 2 x2 = k uma hiprbole com vrtices ( k, 0). Algumas curvas de nvel e o grco da funo esto exposto na Figura 1.5.

Figura 1.5: Paraboloide hiperblico.

EXERCCIOS

1. Em cada caso determine e represente gracamente o domnio da funo z = f (x, y). p (a) z = y x2 + 2x y (g) z = arccos (y x) p p (b) z = |x| |y| (h) z = (x 3) (y 2) (c) 4x2 + y 2 + z 2 = 1, z 0 (i) z = arcsen [x/ (x y)] p 4 x2 y 2 2 (j) z = p (d) z = log 1 4x2 y9 x2 + y 2 1 p xy (e) z = log (x2 + y 2 3) (k) z = sen s x sen y x2 1 (f ) z = x exp (y) log x (l) z = y2 1 2. Em cada caso esboce algumas curvas de nvel da funo z = f (x, y), de modo a obter uma visualizao do seu grco. (a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) (h) z z z z z z z z = x2 + y 2 p = x2 + y 2 1 = (x2 + y 2 ) = log (1 + x2 + y 2 ) =x+y = sen (x y) = |x| |y| = 8 x2 2y (i) (j) (k) (l) (m) (l) (n) (o) z z z z z z z z = 2x (x2 + y 2 ) = xy p = 9 x2 y 2 p = 1 x2 /4 y 2 /9 = |x y| = |x y| . = x + y2 = x y21

3. Identique e esboce a curva de nvel da funo z = 2y 4x3 que passa no ponto P = (1, 2). Observe o comportamento da funo ao longo da tangente que passa no ponto P . 4. Identique as superfcies de nvel da funo w = x2 + y 2 + z 2 , nos nveis 0, 1 e 2.

5. Identique a superfcie de nvel da funo w = x2 + y 2 z 2 que passa no ponto P = (1, 1, 1). 6. Esboce o grco da funo z = f (x, y) dada por: (a) (b) (c) (d) f (x, y) = 3 f (x, y) = x f (x, y) = 1 x y f (x, y) = sen y p (e) f (x, y) = exp x2 + y 2 (f ) f (x, y) = 3 x2 y 2 (g) (h) (i) (j) (l) p f (x, y) = x2 y 2 p f (x, y) = 16 x2 16y 2 1/2 f (x, y) = (x2 + y 2 ) f (x, y) = 1 2 x p (k) f (x, y) = log x2 + y 2 f (x, y) = sen(x2 + y 2 ).

7. Descreva as superfcies de nvel da funo w = f (x, y, z). (a) f (x, y, z) = x + 3y + 5z (b) f (x, y, z) = x2 + 3y 2 + 5z 2 (c) f (x, y, z) = x2 y 2 + z 2 (d) f (x, y, z) = x2 y 2 .

1.3

Limites e Continuidade

Nesta seo apresentaremos, de um ponto de vista intuitivo e/ou formal, as ideias bsicas sobre limites que sero necessrias na formulao das dinies de continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade de uma funo real de vrias variveis reais. J vimos, no Clculo Diferencial e Integral I, que uma funo real de uma varivel real f : I R R tem limite L, em simbolosxa

lim f (x) = L,

se dado um nmero real > 0, existe em correspondncia um > 0 tal que x I, 0 < |x a| < |f (x) L| < . Devemos lembrar que a notao x a signica que x est muito prximo de a, mas x 6= a. Note que, nesta denio, exige-se apenas que |x a| > 0, isto , para os x na vizinhana delta V (a) que sejam diferentes de a e que pertenam a I (os pontos de acumulao de I), pois no necessrio que f esteja denida em a para que ela possua limite em a. Portanto, a noo de limite de uma funo f em um ponto a est relacionada ao comportamento de f nos pontos prximos de a; excluindo o prprio a. Por exemplo, x2 4 =4 x2 x2 3x + 2 lim mas claramente a funo no est denida no ponto x = 2. Esse conceito de limite pode ser estendido de modo inteiramente anlogo a uma funo real de duas ou mais variveis reais, por exemplo, se f : X R2 R, ento(x,y)(a,b)

lim

f (x, y) = L

signica que: dado um nmero real > 0, existe em correspondncia um > 0 tal que (x, y) X, 0 < p (x a)2 + (y b)2 < |f (x, y) L| < .

Assim, com alguns ajusto de ordem tcnica, todas as propriedades de limites para funes reais de uma varivel real valem para funes reais de duas ou mais variveis reais. As principais so: Proposio 1.8 Sejam f, g : D R2 R funo, com X uma regio e c uma constante real. Suponhamos que os limites de f e g existam em P = (a, b). Ento: 1. lim(x,y)(a,b) (f (x, y) g(x, y)) = lim(x,y)(a,b) f (x, y) lim(x,y)(a,b) g(x, y). 2. lim(x,y)(a,b) (cf (x, y)) = c lim(x,y)(a,b) f (x, y). 3. lim(x,y)(a,b) (f (x, y)g(x, y)) = lim(x,y)(a,b) f (x, y) lim(x,y)(a,b) g(x, y). 4. lim(x,y)(a,b) f (x, y) f (x, y) = , (x,y)(a,b) g(x, y) lim(x,y)(a,b) g(x, y) lim desde que lim(x,y)(a,b) g(x, y) 6= 0. Exemplo 1.9 Mostre, usando a denio de limite, que: 1. lim(x,y)(2,1) (2x + y) = 5. 2. lim(x,y)(1,2) (3x2 + y) = 5. Soluo. (1) Devemos provar que: dado > 0, existe um > 0 tal que 0< p (x 2)2 + (y 1)2 < |2x + y 5| < .

Para resolver este problema vamos dividir a prova em dois passos: 1.o Passo. O nmero depende da escolha do nmero . Assim, para determinar o possvel , devemos estudar a desigualdade que envolve , isto , |2x + y 5| < . Note que |2x + y 5| = |2(x 2) + (y 1)| 2 |x 2| + |y 1| . Como |x 2| = e |y 1| = p p (x 2)2 (x 2)2 + (y 1)2 p p (y 1)2 (x 2)2 + (y 1)2

temos que |2x + y 5| 2 |x 2| + |y 1| < 2 + = 3. 2.o Passo. Vericao da nossa escolha do . Dado > 0, basta escolher um = tal que 0< De fato, Logo, Assim, |2x + y 5| 2 |x 2| + |y 1| < 2 + = 3 < . Portanto,(x,y)(2,1)

3

p (x 2)2 + (y 1)2 < |x 2| < e |y 1| < . |x 2| < 2 |x 2| < 2.

p (x 2)2 + (y 1)2 < |2x + y 5| < .

lim

(2x + y) = 5.

Note que usando Teoremas sobre limites, obtemos(x,y)(2,1)

lim

(2x + y) =

(x,y)(2,1)

lim

(2x) +

(x,y)(2,1)

lim

y = 4 + 1 = 5.

(2) Devemos provar que: dado > 0, existe um > 0 tal que 0< p (x 1)2 + (y 2)2 < 3x2 + y 5 < .

Para resolver este problema vamos dividir a prova em dois passos: 1.o Passo. O nmero depende da escolha do nmero . Assim, para determinar o possvel , devemos estudar a desigualdade que envolve , isto , 2 3x + y 5 < .

Note que

Restringindo f (x, y) = 3x2 + y a vizinhana unitria de f (1, 2) = 5 (ou seja, para o intervalo aberto I1 com centro em f (1, 2) e comprimento 2 devemos encontrar um > 0 tal que f (x, y) I1 , para cada (x, y) V (1, 2)) |f (x, y) f (1, 2)| < 1, obtemos 2 3x + y 5 3 |x 1| |x + 1| + |y 2| < 3(3) + = 10,

2 3x + y 5 = 3(x2 1) + (y 2 3 x2 1 + |y 2| = 3 |x 1| |x + 1| + |y 2| .

pois |x + 1| = |x 1 + 2| |x 1| + 2 < 3. 2.o Passo. Vericao da nossa escolha do . Dado > 0, basta escolher um n o = min 1, 10 0< De fato, Logo, Assim, Portanto, p (x 1)2 + (y 2)2 < 3x2 + y 5 < .

tal que

p (x 1)2 + (y 2)2 < |x 1| < e |y 2| < . |x 1| < 3 |x 1| |x + 1| < 9. 2 3x + y 5 3 |x 1| |x + 1| + |y 2| < 9 + = 10 < .(x,y)(1,2)

lim

(3x2 + y) = 5,

que o resultado desejado.

Vimos acima que o clculo do limite por meio da denio pode ser tedioso se f tem uma expresso complicada. Assim, apresentaremos algumas tcnicas, alm das propriedades de limite j vistas no curso de Clculo Diferencial e Integral I, que sero teis para determinar se uma dada funo tem ou no limite em um ponto. J vimos que limxa f (x) existe quando o limite pela esquerda limxa f (x) e pela direita limxa+ f (x) existem e so iguais. Esse procedimento no aplica-se s funes reais de duas ou mais variveis reais, pois existem uma quantidade innita de caminhos para chegarmos em um ponto, mas ele serve como um guia para apresentarmos um candidato ao limite ou no. Lembre que se o limite existe, ele nico. Os limites iterados lim lim f (x, y) e lim lim f (x, y)xa yb yb xa

no so necessariamente iguais. No entanto, devem ser iguais para que o limite(x,y)(a,b)

lim

f (x, y)

exista, mas sua igualdade no garante a existncia deste limite. Exemplo 1.10 Determine se o limite xy (x,y)(0,0) x + y lim existe.

Soluo. Note que no podemos aplicar diretamente as propriedades, pois lim(x,y)(0,0) (x y) xy 0 = = . (x,y)(0,0) x + y lim(x,y)(0,0) (x y) 0 lim o que uma forma indeterminada. Assim, devemos tentar outras formas de calcular o limite xy lim (x,y)(0,0) x + y Neste caso, xy lim lim x0 y0 x + y xy = lim (1) = 1 e lim lim x0 y0 x0 x + y = lim(1) = 1.y0

Logo, os limites iterados so diferentes. Portanto, o limite no existe. Exemplo 1.11 Determine se o limite x2 y 2 (x,y)(0,0) x2 + y 2 lim existe. Soluo. Note que x2 y 2 x2 y 2 lim lim = lim (1) = 1 e lim lim 2 = lim(1) = 1. x0 y0 x2 + y 2 x0 y0 x0 x + y 2 y0 Logo, os limites iterados so diferentes. Portanto, o limite no existe. Exemplo 1.12 Determine se o limite x2 y 2 (x,y)(0,0) x3 + y 3 lim existe.

Soluo. Para resolver este problema devemos primeiro vericar se o limite o mesmo por vrios caminhos diferentes do plano para o ponto P = (0, 0). Em seguida aplica-se a denio para comprovar. Note que x2 y 2 x2 y 2 lim lim = lim (0) = 0 e lim lim 3 = lim (0) = 0. x0 y0 x3 + y 3 x0 y0 x0 x + y 3 y0 Logo, os limites iterados so iguais. 1.o Caminho. Ao longo das retas y = mx, com x 6= 0. Note que x 0 y 0, x2 y 2 x2 m2 x2 x4 m2 xm2 = lim = lim 3 = lim 3 = 0. x0 x + m3 x3 x0 x (1 + m3 ) x0 1 + m3 (x,y)(0,0) x3 + y 3 lim

2.o Caminho. Ao longo da curva y = x exp(x). Note que x 0 y 0, x2 y 2 x2 x2 exp(2x) x4 exp(2x) = lim 3 = lim 3 x0 x x3 exp(3x) x0 x (1 exp(3x)) (x,y)(0,0) x3 + y 3 x exp(2x) . = lim x0 1 exp(3x) lim Observe que como x exp(2x) 0 = x0 1 exp(3x) 0 lim

temos uma indeterminao. Assim, pela Regra de LHpital, x exp(2x) exp(2x) + 2x exp(2x) exp(2x)(1 + 2x) 1 = lim = lim = . x0 1 exp(3x) x0 x0 3 exp(3x) 3 exp(3x) 3 lim Portanto, o limite no existe, pois ele depende do caminho.

Um resultado visto no curso de Clculo Diferencial e Integral I para a determinao do limite de uma funo real o seguinte: Se limxa f (x) = 0 e g(x) limitada (|g(x)| M, M uma constante real), ento limxa f (x)g(x) = 0. Se limxa f (x) = e g(x) ilimitada(|g(x)| M, M uma constante real), ento limxa f (x)g(x) = . bom lembrar que este resultado aplica-se a funes reais de vrias variveis reais. Exemplo 1.13 Determine se o limite xy p (x,y)(0,0) x2 + y 2 lim

existe.

Soluo. Sejam (r, ) as coordenadas polares do ponto (x, y). Ento x = r cos e y = r sen . Como p r = x2 + y 2 temos que r 0 quando x 0 e y 0. Assim, lim xy p = lim (r cos sen ) = 0, (x,y)(0,0) x2 + y 2 r0 |cos sen | =

pois

1 1 |sen(2)| 2 2 limitada. Portanto, o limite existe e igual a 0.

Observao 1.14 A mudana para coordenadas polares pode nos levar a concluses falsas. Por exemplo, em coordenadas polares a funo f (x, y) = assume a forma: f (r cos , r sen ) = Assim, se zermos constante, entor0

2x2 y x4 + y 2

2r cos2 sen , quando r 6= 0. r2 cos4 + sen2

lim f (r cos , r sen ) = 0.

Note que esse clculo induz a armao (falsa!) de que o limite da funo na origem igual a 0, pois ao longo do caminho y = x2 ou r sen = r2 cos2 , obtemos f (r cos , r sen ) = 2r2 cos2 cos2 2r cos2 sen = 2 = 1. r2 cos4 + sen2 r cos4 + r2 cos4

Logo, ao longo do caminho y = x2 ,r0

lim f (r cos , r sen ) = 1.

Portanto, a funo f (x, y) no tem limite na origem. Exemplo 1.15 Determine se o limite 3x2 y (x,y)(0,0) x2 + y 2 lim existe. Soluo. Sejam f (x, y) = 3y e g(x, y) = Ento(x,y)(0,0)

x2 . x2 + y 2

lim

f (x, y) = 0

e g(x, y) limitada, pois |g(x, y)| < 1. Assim, 3x2 y = lim f (x, y)g(x, y) = 0. (x,y)(0,0) x2 + y 2 (x,y)(0,0) lim Portanto, o limite existe e igual a 0.

Sejam f : X R2 R uma funo e P = (a, b) X xado, com X um conjunto aberto. Diremos que f contnua no ponto P se P for um ponto isolado de X ou se P for um ponto de acumulao de X e as seguintes condies so satisfeitas:

1. lim(x,y)(a,b) f (x, y) existe, isto , limxx0 f (x, y) um nmero real. 2. lim(x,y)(a,b) f (x, y) = f (a, b). Formalmente, f contnua no ponto P se dado um nmero real respondncia um > 0 tal que (x, y) X, 0 < Neste caso, escreveremos > 0, existe em cor-

p (x a)2 + (y b)2 < |f (x, y) f (a, b)| < . lim f (x, y) = f (lim x, lim y).xa yb

(x,y)(a,b)

Geometricamente, a funo f ser contnua em um ponto P signica que: para cada intervalo aberto I com centro em f (P ) e comprimento 2 podemos encontrar uma vizinhana delta de P , V (P ), tal que f (x, y) I , para cada (x, y) V (P ). A Figura 1.6 expe gracamente a denio de continuidade da funo de f no ponto P .

Figura 1.6: Continuidade de f em P. Observao 1.16 Seja f : X R2 R uma funo, com X um conjunto aberto. Diremos que f contnua em X se f continua em todos os pontos de X. Se pelo menos uma das condies da denio de funo contnua f em P no for satisfeita, diremos que f descontnua no ponto P . Neste caso, diremos que o ponto P uma descontinuidade removvel de f se(x,y)(a,b)

lim

f (x, y)

existir, mas(x,y)(a,b)

lim

f (x, y) 6= f (P ).

Caso contrrio, ou seja, se(x,y)(a,b)

lim

f (x, y)

no existir, diremos que o ponto P uma descontinuidade essencial de f . de fundamental importncia lembrar que: como a denio de continuidade de uma funo real de vrias variveis reais um extenso da denio de continuidade de uma funo real de uma varivel real, ela tem propriedades anlogas. Exemplo 1.17 Seja f : R2 R a funo denida por ( 3x2 y , se (x, y) 6= (0, 0) x2 +y2 f (x, y) = 0, se (x, y) = (0, 0). Verique se f contnua no ponto P = (0, 0). Soluo. Para resolver este problema devemos vericar cada uma das condies da denio de continuidade de f em um ponto P . Como o domnio de f todo R2 temos que f (0, 0) existe e f (0, 0) = 0. Pelo Exemplo 1.15,(x,y)(0,0)

lim

f (x, y) existe e

(x,y)(0,0)

lim

f (x, y) = 0.

Finalmente, como(x,y)(0,0)

lim

f (x, y) = 0 = f (0, 0)

temos que f contnua no ponto P = (0, 0). Note que f contnua em R2 . Exemplo 1.18 Seja f : R2 R a funo denida por ( xy , se (x, y) 6= (0, 0) x2 +y2 f (x, y) = 0, se (x, y) = (0, 0). Verique se f contnua no ponto P = (0, 0).

Soluo. Como o domnio de f todo R2 temos que f (0, 0) existe e f (0, 0) = 0. Ao longo das retas y = mx, com x 6= 0, obtemos xy x2 m m m = lim 2 = . = lim 2 + y2 2) 2 x0 x (1 + m x0 1 + m (x,y)(0,0) x 1 + m2 lim Assim, lim(x,y)(0,0) f (x, y) no existe. Portanto, f no contnua no ponto P = (0, 0). Note que f contnua em R2 {(0, 0)}. Exemplo 1.19 Seja f : R2 R a funo denida por ( xy 2 , se (x, y) 6= (0, 0) x2 +y f (x, y) = 1, se (x, y) = (0, 0). Verique se f contnua no ponto P = (0, 0).

Soluo. Como o domnio de f todo R2 temos que f (0, 0) existe e f (0, 0) = 1. Sejam y f (x, y) = x e g(x, y) = p . 2 + y2 x(x,y)(0,0)

Ento lim

f (x, y) = 0 e g(x, y) limitada, pois |g(x, y)| < 1. lim

Portanto,

Assim,

xy p = lim f (x, y)g(x, y) = 0. (x,y)(0,0) x2 + y 2 (x,y)(0,0)(x,y)(0,0)

lim

f (x, y) existe e

(x,y)(0,0)

lim

f (x, y) = 0.

Finalmente, como(x,y)(0,0)

lim

f (x, y) = 0 6= 1 = f (0, 0)

temos que f no contnua no ponto P = (0, 0). Note que P = (0, 0) uma descontinuidade removvel de f , pois a funo g : R2 R denida por ( f (x, y), se (x, y) 6= (0, 0) g(x, y) = 0, se (x, y) = (0, 0) contnua em P = (0, 0).

EXERCCIOS

1. Seja f : R2 R a funo denida por ( f (x, y) = 0, Mostre que

2xy , x2 +y 2

se (x, y) 6= (0, 0) se (x, y) = (0, 0).

f (1 + h, 1) f (1, 1) f (0, k) f (0, 0) = 0 e lim = 0. h0 k0 h k lim 2. Em cada caso, mostre que a funo z = f (x, y) no tem limite quando (x, y) (0, 0): (a) z = x+y x2 + y 2 x (b) z = 2 x + y2 |x| (c) z = x y3 xy (d) z = 2 2x + 3y 2 xy 2 x2 + y 4 x (f ) z = p x2 + y 2 x6 (g) z = (x3 + y 2 )2 xy (x y) (h) z = x4 + y 4 (e) z = x3 + y 3 x2 + y x2 y 2 (j) z = 3 x + y3 x2 y 2 (k) z = 2 x + y2 x4 + y 2 + 2xy 3 (l) z = (x2 + y 2 )2 (i) z=

3. Verique que a funo f (x, y, z) = no tem limite na origem. 4. Calcule os seguintes limites: (a) (b)(x,y)(1,0)

x2 + y 2 z 2 x2 + y 2 + z 2

lim

log (xy + 1)

5. Use a denio de limite e prove que: (a) (b) (c)(x,y)(1,3)

(y 2 1) sen x (x,y)(0,0) x sen (xy) (c) lim (x,y)(0,0) sen x sen y 1 cos xy (d) lim (x,y)(0,0) sen x sen y y (e) lim arctg x lim(x,y)(2,2)

(i)

exp sen (x2 y) + cos y (x,y)(0,0) cos (xy) i h 1 z sen (x2 y 2 + z 2 ) 2 (g) lim (x,y,z)(0,0,0) p (h) lim y x3 + 2y (f ) lim(x,y)(2,4) (x,y)(1,)

lim

[x cos (y/4) + 1] 3

2

lim

(2x + 3y) = 11 (3x2 + y) = 5 (x2 + y 2 ) = 2

(g) (h) (i) (j) (k) (l)

(x,y)(3,1)

lim

(x,y)(1,2) (x,y)(1,1)

lim

lim

x3 + y 3 =0 (d) lim (x,y)(0,0) x2 + y 2 (e) lim (2x2 y 2 ) = 1(x,y)(2,3)

y 3 + xz 2 =0 (x,y,z)(0,0,0) x2 + y 2 + z 2 1 lim (x + y) sen x = 0 lim(x,y)(0,0) (x,y,z)(1,1,1) (x,y)(1,2)

(x2 + y 2 4x + 2y) = 4

lim

(2x + y + z) = 4

lim

(f )

(x,y)(1,0)

lim

(x 1) = 0

2

2 (x 1)2 (y 2) lim 2 2 = 0. (x,y)(1,2) 3 (x 1) + 3 (y 2)

(x2 y 2 ) = 3

6. Mostre que 1 cos xy = 0. (Dica: (a) lim (x,y)(1,0) x 2 sen xy 1 cos xy y = .) x ( xy)2 1 + cos xy (b) sen (x2 + y 2 ) p = 2. (Dica: (x,y)(0,0) 1 cos x2 + y 2 t sen (t) sen t = .) (1 + cos t) t 1 cos t sen t lim p |x| + |y| = . (Dica: x2 + y 2 |x| + |y|.) (x,y)(0,0) x2 + y 2 lim f (x, y) = no tm limite na origem.

(c)

7. Mostre que as funes

xy 2 xy e g (x, y) = 2 y x3 x y2

8. Seja f : R2 {(0, 0)} R a funo denida por f (x, y) = 3x4 y 4 . (x4 + y 2 )3

Calcule os limites de f (x, y) quando (x, y) (0, 0), ao longo dos seguintes caminhos: (a) eixo x; (b) reta y = x; (c) curva y = x2 . A funo f tem limite na origem? Por qu? 9. Verique se a funo z = f (x, y) contnua no ponto P indicado. (a) z = p 25 x2 y 2 , P = (3, 4).

(b) z = exp (xy) log (7 + x2 2y), P = (0, 0). xy , P = (0, 0). (c) z = 2 x + y2 xy , se y 6= 2x e f (x, 2x) = 1, P = (1, 2). (d) z = y 2x 10. Identique a funo z = f (x, y) como combinao de funes elementares do clculo e deduza que ela contnua em seu domnio. y x (e) f (x, y) = arcsen x (a) f (x, y) = xy (c) f (x, y) = 2 y 1 3x2 y 4x2 y 2 (d) f (x, y) = 2 (f ) f (x, y) = log (xy 2) (b) f (x, y) = 2x y x + y2 11. Discuta a continuidade das seguintes funes: x2 y 2 , se x 6= y e f (x, x) = 1. xy 1 (b) f (x, y) = exp x2 +y2 1 , se x2 + y 2 < 1 e f (x, x) = 0 se x2 + y 2 1. (a) f (x, y) = (c) f (x, y) =

exp (x2 + y 2 ) , se (x, y) 6= (0, 0) e f (0, 0) = 1. x2 + y 2 sen (x + y) (d) f (x, y) = , se x + y 6= 0 e f (x, x) = 1. x+y xz y 2 (e) f (x, y, z) = 2 , se (x, y, z) 6= (0, 0, 0) se f (0, 0, 0) = 0. x + y2 + z2 (f) f (x, y) = 4x2 + 9y 2 , se 4x2 + 9y 2 1 e f (x, y) = 0, se 4x2 + 9y 2 > 1. (g) f (x, y, z) = x2 +y 2 +z 2 , se x2 +y 2 +z 2 1 e f (x, y, z) = 0, se x2 +y 2 +z 2 > 1.

12. Considere as funes g e h denidas em R2 por: ( 3x2 y , se (x, y) 6= (0, 0) x2 +y2 g (x, y) = 1, se (x, y) = (0, 0) e h (x, y) = (xy , x2 +y 2

1,

se (x, y) 6= (0, 0) se (x, y) = (0, 0).

Verique que a origem uma descontinuidade de g (x, y) e de h (x, y) . Em que caso a descontinuidade pode ser removida? Recorde-se que remover uma descontinuidade signica redenir a funo de modo a torn-la contnua. 13. Verique que a origem uma descontinuidade da funo: sen (x2 + y 2 ) p , se (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = 1 cos x2 + y 2 0, se (x, y) = (0, 0). Essa descontinuidade pode ser removida? 14. Sabendo que 1 p arctg (xy) x2 y 2 x2 y 2 < 1 e 2 |xy| < 4 4 cos |xy| < 2 |xy| , 3 xy 6 arctg (xy) (a) lim (x,y)(0,0) xy p 4 4 cos |xy| (b) lim (x,y)(0,0) |xy|

calcule os seguintes limites

15. Seja f : R2 R a funo denida por ( 1 exp x2 +y2 , se (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = 0, se (x, y) = (0, 0). Verique que f contnua em todo ponto P = (x, y) do R2 e calcule os limites f (h, 0) h0 h lim e f (0, k) . k0 k lim

16. Seja f : R2 R a funo denida por 2 xy , se (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x2 + y 3 0, se (x, y) = (0, 0).

(a) Calcule o limite de f na origem, ao longo das retas y = mx. 3 (b) Calcule o limite de f na origem, ao longo da curva y = x2 exp(x). (c) Calcule o limite de f na origem, ao longo da curva em coordenadas polares r = cos2 , /2 0. (d) Investigue a continuidade de f .

17. Mostre que(x,y)(0,0)

lim

arctg

(Sugesto: Use o item (c) do Exerccio 6.)

|x| + |y| x2 + y 2

=

. 2

18. Use coordenadas polares e mostre que(x,y)(0,0)

lim

p 2 x + y 2 log x2 + y 2 = 0.

Avaliando o que foi construdoNeste Captulo voc comeou o primeiro contato com as funes reais de vrias variveis reais, foi apresentado s curvas de nvel, aprendeu, atravs de algumas tcnicas especiais, se uma funo tem ou no limite e contnua. Foi realmente grande o volume de conhecimentos apresentados. Porm, que certo, ainda h muito que aprender dentro desses mesmos tpicos. Voc viu, por exemplo, que a denio formal de limite a mesma de uma funo real de uma varivel real, mas a existncia dos limites por alguns caminhos no garante que o limite existe.

Respostas, Sugestes e Solues Seo 1.1Tabela da primeira questo: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) A F L C K e (m) (n) (o) (p) (q) (r) (s) .

A F L C K

1. Vamos resolver os itens (f ) e (m) (a) R = {(x, y) R2 : y = 0}. (b) R = {(x, y) R2 : x2 + y 2 = 1, x 0} {(0, y) R2 : 1 y 1}. (c) R = {(1, y) R2 : y 0} {(2, y) R2 : y 0} {(x, 0) R2 : 1 x 2}.

(d) R = {(x, y) R2 : x2 + y 2 = 1} {(x, y) R2 : x2 + y 2 = 2}. (e) R constituda das retas x = 3, x = 2, x = 2 e x = 3. (f) Primeiro observamos que a nossa regio composta de duas sentenas juntas pelo conectivo e: x > 0 e 1 y 2. Note que a inequao x > 0 e y qualquer representa gracamente um semiplano positivo sem o eixo y, conra Figura 1.7 (a). Enquanto, inequao 1 y 2 e x qualquer representa gracamente uma faixa horizontal compreendida entre 1 e 2, conra Figura 1.7 (b). Portanto, o esboo da regio dado pela Figura 1.7 (c).

Figura 1.7: Esboo da regio R. Observando o esboo da regio R conclumos que: R no aberta e nem fechada, no limitada e nem compacta, mas uma regio simplesmente conexa. Alm disso, R = {(0, y) R2 : 1 y 2} {(x, 1) R2 : x 0} {(x, 2) R2 : x 0}. (h) R = {(1, y) R2 : y 1} {(x, 1) R2 : 1 x 1}. (j) R = {(0, y) R2 : 0 y 1}{(x, sen x) R2 : 0 x /2}{(x, cos x) R2 : 0 x /2}. (k) R o quadrado de vrtices (0, 1), (0, 2), (1, 2) e (1, 1). (m) Note que a regio a interseo do interior mais a fronteira da elipse x2 +4y 2 16, com os semiplanos x 1 e x 1. Portanto, um conjunto fechado e limitado, ou seja, um conjunto compacto, em que ( ) 15 15 [ x2 y 2 R = (x, y) R2 : 2 + 2 = 1, x 1 e y 4 2 2 2 ( ) 15 15 x2 y 2 y . (x, y) R2 : 2 + 2 = 1, x 1 e 4 2 2 2 (l) R o quadrado de vrtices (0, 1) e (1, 0). (i) R = {(x, y) R2 : 4x2 + y 2 = 9}. (g) R = {(x, y) R2 : x = y}.

(n) R = {(x, y) R2 : x2 y 2 = 1}. (o) R = {(x, y) R2 : x2 + y 2 = 1} {(x, 0) R2 : < x < }. (p) R = {(x, y) R2 : y = x3 }. (q) R = {(x, y) R2 : |x| = |y|}. (r) R = {(x, y) R2 : y = x} {(x, y) R2 : y = x}. (s) R = {(x, y) R2 : |x| + |y| = 2} {(x, y) R2 : x2 + y 2 = 1}. 2. Como R = R1 R2 , com R1 = {(x, y) R2 : x2 + y 2 < 1 e (x 1)2 + y 2 > 1} e R2 = {(x, y) R2 : x2 + y 2 > 1 e (x 1)2 + y 2 < 1}, temos que R aberta e R = {(x, y) R2 : x2 + y 2 = 1} {(x, y) R2 : (x 1)2 + y 2 = 1}.

Seo 1.21. No esquea de fazer o esboo de cada domnio! (a) D = {(x, y) R2 : y x2 e 2x y}. (b) D = {(x, y) R2 : |x| < y < |x|}. (c) D = {(x, y) R2 : 4x2 + y 2 1}. (d) D = {(x, y) R2 : 4x2 +y2 9

< 1}.

(e) D = {(x, y) R2 : x2 + y 2 4}. (f) D = {(x, y) R2 : x > 0}. (h) D = {(x, y) R2 : x 3 e y 2} {(x, y) R2 : x 3 e y 2}. x 1}. (i) D = {(x, y) R2 : 1 xy (j) D = {(x, y) R2 : 1 < x2 + y 2 < 4}. (k) D = {(x, y) R2 : y 6= (1)n x + n}. (l) D = {(x, y) R2 : (x2 1) (y 2 1)1

(g) D = {(x, y) R2 : x 1 y x + 1}.

0}.

2. Em cada caso fazemos z = k, k constante, obtemos as curvas de nvel. Faa um esboo de pelo menos duas curvas de nvel! (a) x2 + y 2 = k, k 0. (as curvas so circunferncias concntricas e a superfcie o paraboloide z = x2 + y 2 )

(b) x2 + y 2 =

k, k > 0.

1 (c) x2 + y 2 = k , k > 0.

(d) x2 + y 2 = ek 1, k 0. (e) x + y = k. (as curvas so retas paralelas e a superfcie o plano x + y z = 0) (f) x y = arcsen k. (g) |x||y| = k y = (|x|k). (por exemplo, quando k = 0, obtemos y = |x|) (h) x2 + 2y = 8 k. (i) 2x = c (x2 + y 2 ). (j) xy = k. x2 y 2 + = 1 k2 , |k| < 1. 4 9 (m) |x y| = k. (l) (n) x + y 2 = k. (o) x y 2 = k. 3. No ponto P = (1, 2) tem-se que z = 0 e a curva de nvel por P y = 2x3 . A reta tangente tem equao y = 6x 4 (m = y 0 = 6 a inclinao da reta) e sobre essa reta z = f (x) = 4x3 + 12x 8. Assim, quando x , a funo f tende para . 4. A origem O = (0, 0, 0), a esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 e a esfera x2 + y 2 + z 2 = 2, respectivamente. 5. O hiperboloide de uma folha x2 + y 2 z 2 = 1. 6. Faa um esboo! (a) z = 3, representa o plano passando por P = (0, 0, 3) e paralelo ao plano xy. (b) z = x, representa o plano contendo a reta z = x. (c) x + y + z = 1. (d) z = sen y, representa uma superfcie em forma de telha contendo a curva z = sen y, pois x livre. p (e) z = exp x2 + y 2 . (f) z = 3 x2 y 2 x2 + y 2 = 3 z (z 3), representa um paraboloide. p (g) z = x2 y 2 . p (h) z = 16 x2 y 2 . (k) x2 + y 2 = 9 k2 , |k| < 3.

(i) z = (x2 + y 2 )

12 2

.

(j) z = 1 x2 . p (k) z = log x2 + y 2 . (l) z = sen (x2 + y 2 ). 7. (a) planos, (b) elipsoides, (c) hiperboloides, (d) cilindros.

Seo 1.3 2 Alm dos caminhos cannicos como as retas, considere: y = x em (e), y 2 = x3 em (g), y = x2 em (h), y = x2 ex em (i) e y = xex em (j). q 2 3 1 1+2 2 . 4 (a) 0, (b) 1, (c) 1, (d) 2 , (e) 4 , (f ) 2, (g) 0, (h) 0, (i) 7 (a) Considere os caminhos y = 0 e y = xk ex , escolhendo k adequado, (b) Idem. 8 (a) 0, (b) 0, (c) 3 . A funo no tem limite em (0, 0). 8 9 (a) Sim, (b) Sim, (c) No, (d) No. 10 A funo f (x, y) combinao de funes elementares sendo, portanto, contnua em seu domnio. (a) D = {(x, y) R2 : x 0 e y 0} {(x, y) R2 : x 0 e y 0}. (b) D = {(x, y) R2 : y 6= 2x}. (c) D = {(x, y) R2 : y 6= 1}. (d) D = {(x, y) R2 : (x, y) 6= (0, 0)}. 11 Note que a funo est denida em todo plano R2 . (a) f descontnua nos pontos da reta y = x, exceto no ponto P = (b) f contnua em todos os pontos do R2 . (c) f descontnua na origem. (d) f no tem ponto de descontinuidade, isto , ela contnua em todo R2 . (e) f descontnua na origem; (f) f descontnua nos pontos da elipse 4x2 + 9y 2 = 1. (g) f descontnua nos pontos da esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 1 ,1 2 2 .

12 A funo g descontnua em (0, 0), pois o limite de g (x, y) na origem 0 e g (0, 0) = 1. Para remover essa descontinuidade basta redenir g na origem pondo g (0, 0) = 0. A funo h (x, y) descontnua em (0, 0), pois no tem limite nesse ponto. Esse o caso de uma descontinuidade que no pode ser removida, ou seja, uma descontinuidade essencial. 13 Usando coordenadas polares e Regra de LHpital, obtemos lim f (x, y) = lim sen r2 2r cos r2 2 cos r2 2r sen r2 = lim = lim = 2. r0 1 cos r r0 sen r r0 cos r

(x,y)(0,0)

Note que, sendo f (0, 0) = 0, a funo f descontnua na origem. Essa descontinuidade pode ser removida redenindo f na origem por f (0, 0) = 2. 15 Sobre a continuidade de f (x, y). Fora da origem a funo f uma combinao de funes elementares sendo, portanto, contnua. Na origem, com r = x2 + y 2 , obtemos: 1 = 0 = f (0, 0) . lim f (x, y) = lim r0 exp 1 (x,y)(0,0) r21 Logo, f contnua em todo plano R2 . Pondo h = u , com h > 0, e pela Regra de LHpital, obtemos

f (h, 0) u 1 = lim = lim = 0. 2) u exp(u u 2u exp(u2 ) h0 h lim Em que momento no clculo do limite acima foi utilizada a Regra de LHpital? De modo inteiramente anlogo, obtemos f (0, k) = 0. k0 k lim 16 (a) Ao longo das retas y = mx, obtemos mx3 lim f (x, mx) = lim 2 = 0. x0 x0 x + m3 x3 (b) Ao longo da curva y = x 3 ex , aplique a Regra de LHpital e mostre que o limite no 0. 18 Usando coordenadas polares e a Regra de LHpital, obtemos: lim p 2 log r x + y 2 log x2 + y 2 = lim r2 log r = lim 1 = 0.r0 r0 r22

(x,y)(0,0)

Em que momento no clculo do limite acima foi utilizada a Regra de LHpital?

Captulo 2 Diferenciabilidade Situando a TemticaNeste Captulo vamos nos dedicar ao estudo das derivadas parciais de uma funo real de vrias variveis reais, isto , quando xamos todas as variveis independentes, exceto uma, e derivamos em relao a essa varivel, obtemos uma derivada parcial semelhante quela do curso de Clculo Diferencial e Integral I. Finalizamos com uma estimativa da variao do valor de uma funo quando nos movemos uma pequena distncia a partir de um ponto xo na direo de um vetor unitrio.

Problematizando a TemticaSuponhamos que voc esteja com uma situao prtica (por exemplo, um mapa cartogrco) na qual resultou a funo f : R2 R denida por ( 1 , se (x, y) 6= (0, 0) x2 +y 2 f (x, y) = 0, se (x, y) = (0, 0). Determine as direes nas quais f cresce (decresce) mais rapidamente no ponto P = (1, 2), e quais so as taxas de variao nessas direes? Este e outros tipos de problemas que ocorrem em nosso dia-a-dia vamos modelar e resolver nesta unidade.

Conhecendo a Temtica2.1 Derivadas ParciaisSejam f : X R2 R uma funo e P = (a, b) X xado, com X um conjunto aberto. Se xarmos uma varivel, digamos y = b, obtemos uma funo real z = f (x, b) de uma nica varivel real. Portanto, sua derivada dada por m = lim f (a + h, b) f (a, b) h0 h 31

quando esse limite existe. O nmero real m chama-se derivada parcial de f em relao a x no ponto P = (a, b) e denotaremos por z f (a, b), fx (a, b) (a, b), zx (a, b), Dx f (a, b) ou f1 (a, b). x x A Figura 2.1 expe gracamente a denio de derivada parcial de f em relao a x no ponto P = (a, b), ou seja, fx (a, b) a inclinao da reta tangente T curva de interseo da superfcie z = f (x, y) e o plano y = b.

Figura 2.1: Viso geomtrica da derivada parcial. Observao 2.1 Como X um conjunto aberto temos, para um P = (a, b) X xado, que existe um > 0 tal que se 0 < |h| < , ento Q = (a + h, b) X. Portanto, f (Q) est denido para cada h (, ). Exemplo 2.2 Seja f : R2 R a funo denida por f (x, y) = 3x2 + 5xy 4y 2 . Determine fx (x, y) e fy (x, y) no ponto P = (1, 3). Soluo. Para obtermos fx (x, y), tratamos a varivel y momentaneamente como uma constante e derivamos em relao varivel x usando as tcnicas de derivao para funes reais de uma varivel real. Assim, fx (x, y) = 6x + 5y. Em seguida avaliamos a derivada no ponto desejado, ou seja, fx (1, 3) = 6 1 + 5 3 = 21. De modo semelhante, obtemos fy (x, y) = 5x 8y e fy (1, 3) = 19. Exemplo 2.3 Seja f : R2 R a funo denida por f (x, y) = 3x2 5xy 3 sen(xy).

1. Determine fx (1, 0). 2. Determine a inclinao da reta tangente curva de interseo da superfcie z = 3x2 5xy 3 sen(xy) com o plano y = 0 no ponto P = (1, 0, 3). Soluo. (1) Pelo Exemplo ,2.2, obtemos fx (x, y) = 6x 5y 3 y cos(xy) e fx (1, 0) = 6 1 5 0 0 cos(0) = 6. (2) Pelo item (1) a inclinao da reta tangente igual a m = fx (1, 0) = 6. Neste caso, a equao da reta tangente y = 6x 6. De modo inteiramente anlogo, deniremos a derivada parcial de f em relao a y no ponto P = (a, b). Note que as derivadas parciais de segunda ordem, terceira ordem, etc. so denidas de modo similar ao caso de uma funo real de uma varivel real. de grande importncia econmica observar que se a funo f : X R2 R satisfaz a seguinte propriedade: f (x, y) = f (y, x) ou f (x, y) = f (y, x), para todo (x, y) X. Se este o caso, basta calcular uma derivada parcial, por exemplo, fx (x, y) e fazer fy (x, y) = fx (y, x), quando f (x, y) = f (y, x) ou (fy (x, y) = fx (y, x)), quando f (x, y) = f (y, x). Exemplo 2.4 Seja f : R2 R a funo denida por f (x, y) = x3 y 3 +cos(xy). Determine fxx , fxy , fyx e fyy . Soluo. Observe que f (x, y) = f (y, x). Assim, basta determinar fx (x, y) e fazer fy (x, y) = fx (y, x). Como fx (x, y) = 3x2 y 3 y sen(xy) temos que fy (x, y) = fx (y, x) = 3x3 y 2 x sen(xy). Assim, fxx = 6xy 3 y 2 cos(xy) e fxy = 9x2 y 2 sen(xy) xy cos(xy) e fyx = 9x2 y 2 sen(xy) xy cos(xy) e fyy = 6x3 y x2 cos(xy). Note que fxy = fyx , mas isto nem sempre verdade, conra Exemplo 2.6 abaixo.

Exemplo 2.5 Seja f : R2 R a funo denida por ( xy , se (x, y) 6= (0, 0) x2 +y2 f (x, y) = 0, se (x, y) = (0, 0). Determine fx (0, 0) e fy (0, 0). Soluo. Observe que f (x, y) = f (y, x). Assim, basta determinar fx (0, 0). Logo, fx (0, 0) lim f (x, 0) f (0, 0) 0 = lim = lim(0) = 0 e fy (0, 0) = 0. x0 x0 x t0 x

Portanto, as derivadas parciais de f no ponto P = (0, 0) existem. No entanto, pelo Exemplo 1.18 da Seo 1.3 do Captulo 1, f no contnua no ponto P = (0, 0), ou seja, o fato de as derivadas parciais existirem no implicam na continuidade de f . Exemplo 2.6 Seja f : R2 R a funo denida por ( xy(x2 y2 ) , se (x, y) 6= (0, 0) x2 +y2 f (x, y) = 0, se (x, y) = (0, 0). 1. Determine fx e fy . 2. Calcule fxy (0, 0) e fyx (0, 0). Soluo. (1) Observe que f (x, y) = f (y, x). Assim, basta determinar fx (x, y) e fazer fy (x, y) = fx (y, x). Como a funo denida por duas sentenas vamos dividir a prova em dois passos: 1.o Passo. Se (x, y) 6= (0, 0), ento 2 x y2 4x2 y 2 . + fx (x, y)) = y x2 + y 2 (x2 + y 2 )2 2.o Passo. Se (x, y) = (0, 0), ento devemos usar a denio da derivada parcial para calcular fx (0, 0). f (x, 0) f (0, 0) 0 = lim = 0. fx (0, 0) = lim x0 x0 x x Portanto, ( 2 2 2 2 y x2 y2 + (x4x y2 )2 , se (x, y) 6= (0, 0) 2 +y x +y fx (x, y) = 0, se (x, y) = (0, 0) e 2 2 ( 2 2 x y 2x2 + (x4x y2 )2 , se (x, y) 6= (0, 0) 2 +y x +y fy (x, y) = fx (y, x) = 0, se (x, y) = (0, 0). (2) Para calcalar fxy (0, 0) e fyx (0, 0), devemos usar a denio da derivada parcial segunda fx y3 fx (0, y) fx (0, 0) fxy (0, 0) = (0, 0) = lim = lim 3 = 1 y0 y0 y y y

fy (x, 0) fy (0, 0) x3 fy (0, 0) = lim = lim 3 = 1. x0 x0 x x x Note que fxy (0, 0) 6= fyx (0, 0). fyx (0, 0) =

e

Agora, apresentaremos um resultado muito importante no estudo de derivadas parciais, o qual provado em um curso mais avanado: Sejam f : X R2 R uma funo contnua e P = (a, b) X xado. Se fx , fy e fxy so contnuas em uma vizinhana de P , V (P ), ento fxy (a, b) = fyx (a, b). Exemplo 2.7 Seja f : R2 R a funo denida por (x2 + y 2 ) sen 1 , se (x, y) 6= (0, 0) x2 +y2 f (x, y) = 0, se (x, y) = (0, 0). 1. Determine fx e fy . 2. Verique se fx e fy so contnuas em P = (0, 0). 3. Verique se fxy (0, 0) = fyx (0, 0). Soluo. (1) Observe que f (x, y) = f (y, x). Assim, basta determinar fx (x, y) e fazer fy (x, y) = fx (y, x). Como a funo denida por duas sentenas vamos dividir a prova em dois passos: 1.o Passo. Se (x, y) 6= (0, 0), ento ! ! x 1 1 p . cos p fx (x, y)) = 2x sen p x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2

2.o Passo. Se (x, y) = (0, 0), ento devemos usar a denio da derivada parcial para calcular fx (0, 0). f (x, 0) f (0, 0) x2 1 1 fx (0, 0) = lim = lim sen = lim x sen = 0, x0 x0 x x0 x |x| |x| pois sen 1 1 |x|

limitada. Portanto, 2x sen 1 x 1 2 2 cos 2 2 , se (x, y) 6= (0, 0) x2 +y2 x +y x +y fx (x, y) = 0, se (x, y) = (0, 0)

e

(2) Para saber se fx contnua em P = (0, 0) devemos vericar cada uma das condies da denio de continuidade de fx em um ponto P . Como o domnio de fx todo R2 1 temos que fx (0, 0) existe e fx (0, 0) = 0. Ao longo da sequncia x = n > 0 e y = 0, onde n N, obtemos(x,y)(0,0)

y 2y sen 1 1 2 2 cos 2 2 , se (x, y) 6= (0, 0) x2 +y 2 x +y x +y fy (x, y) = 0, se (x, y) = (0, 0).

lim

fx (x, y) = lim ( cos(n)) = (1)n .n

Assim, lim(x,y)(0,0) fx (x, y) no existe, pois depende do nmero n ser par ou mpar. Portanto, fx no contnua no ponto P = (0, 0). De modo inteiramente anlogo, prova-se que fy no contnua no ponto P = (0, 0). Note que fx e fy so contnua em R2 {(0, 0)}. (3) fcil vericar que fxy (0, 0) = 0 = fyx (0, 0). Portanto, a recproca do resultado acima falsa.

EXERCCIOS

1. Em cada caso calcule as derivadas parciais zx , zy , zxx , zyy e zyx : (a) z = 3x2 + y 3 y (b) z = arctg x (c) z = xy exp (x2 + y 2 ) (d) z = sen (xy) + log (x2 y)

p (e) z = x2 + y 2 + 1 (f ) z = arccos (xy) .

3. Seja f : R2 R a funo denida por exp 1 , se (x, y) 6= (0, 0) x2 + y 2 f (x, y) = 0, se (x, y) = (0, 0). 4. Seja f : R2 R a funo denida por ( 2 f (x, y) = 0,

2. Em cada caso calcule a derivada parcial indicada da funo z = f (x, y). p (a) z = x arcsen (x y) ; fx 1, 1 (c) z = x2 + y 2 fxy (1, 0) e fyx (1, 0) 2 ; x (b) z = exp (xy) sec y ; fy (0, 1) (d) z = xy log x ; fy (1, 1) . y

Determine, caso existam, as derivadas parciais fx (0, 0), fy (0, 0), fxy (0, 0) e fyx (0, 0).

xy(x y2 ) , x2 +y2

se (x, y) 6= (0, 0) se (x, y) = (0, 0).

Verique a continuidade das derivadas parciais fx e fy na origem.

5. Seja f : R2 R a funo denida por f (x, y) = x2 + y 3 . Se P = (x2 + y 2 , y), determine f (P ) e [f (P )] . x x 6. Mostre que a funo z= satisfaz equao diferencial xzx + yzy = z. 7. Verique que a funo 1 x2 u (x, t) = exp , 4kt t com t > 0 e k uma constante no nula, satisfaz a equao de transmisso de calor ut kuxx = 0. 8. O operador de Laplace em R2 denido por = xx + yy . Mostre que as funes u (x, y) = arctan (y/x) e u (x, y) = ex cos y satisfazem a equao de Laplace u = 0. Pierre Simon de Laplace (1749-1827), matemtico francs. 9. Determine condies sobre as constantes A, B, C, D, E e F para que a funo u (x, y) = Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F satisfaa equao de Laplace. 10. Sejam u (x, y) e v (x, y) duas funes com derivadas parciais contnuas at a segunda ordem e satisfazem s equaes de Cauchy-Riemann ux = vy e uy = vx . Mostre que u e v satisfazem equao de Laplace. Augustin Louis Cauchy (1789-1857), matemtico francs e Bernhard Riemann (1826-1866), matemtico alemo. xy 2 x2 + y 2

2.2

Diferenciabilidade

J vimos, no Clculo Diferencial e Integral I, que uma funo real de uma varivel real f : I R R diferencivel em um ponto a I, com I um intervalo aberto, se existir uma reta passando pelo ponto (a, f (a)), cuja equao cartesiana (x) = f (a)+m(xa), tal que f (x) (x) lim = 0, x I. xa xa

Note que f (x) (x) xa xa lim f (x) f (a) m(x a) =0 xa xa f (x) f (a) = m f 0 (a) = m. lim xa xa = 0 lim

Portanto, na reta diferenciabilidade equivalente a ser derivvel. Observao 2.8 Como I um intervalo aberto temos, para um a I xado, que existe > 0 tal que se 0 < |h| < , ento a + h I e f (a + h) est denida em h (, ). Assim, pondo h = x a, obtemos f 0 (a) = f (x) f (a) f (a + h) f (a) f 0 (a) = lim xa h0 xa h 0 f (a + h) f (a) f (a)h = 0. lim h0 h lim

Logo, E(h) = 0. h0 h Portanto, fcil vericar que a funo Ta : R R denida por Ta (u) = f 0 (a)u linear. Neste caso, f aproximada em um vizinhana de a por f (a + h) = f (a) + f 0 (a)h + E(h), com lim (x) = f (a) + Ta (h) = f (a) + f 0 (a)h. Alm disso, seja f (a + h) f (a) f 0 (a). h Ento g no est denida em h = 0, mas limh0 g(h) = 0. Assim, podemos escrever g(h) = f (a + h) f (a) = f 0 (a)h + hg(h), (2.1)

para todo h 6= 0. Logo, se denirmos g(0) = 0, ento a equao (2.1) vlida para todo h e, mais, podemos substituir h por h, quando substitumos g por g. Portanto, conclumos que: se f diferencivel em um ponto a, ento existe uma funo g tal que f (a + h) f (a) = f 0 (a)h + |h| g(h), com lim g(h) = 0.h0

Note que g(h) uma funo contnua e se h 6= 0, ento g(h) = E(h) . |h|

Veremos agora que o conceito de diferenciabilidade pode ser estendido de modo inteiramente anlogo a uma funo real de duas ou mais variveis reais. No entanto, no podemos formar o quociente de Newton. Sire Issac Newton (1642-1727), fsico e matemtico ingls. f (a + h) f (a) h

quando h um vetor, ou seja, um ponto em R2 . Mas a Observao 2.8 sugere um modo de no envolvermos a diviso por h. Sejam f : X R2 R uma funo e P = (a, b) X xado, com X um conjunto aberto. Diremos que f diferencivel no ponto P se existir um plano passando por P , cuja equao cartesiana (x, y) = f (a, b) + A(x a) + B(y b), tal que onde Q = (x, y) X e P Q = Q P = (x a, y b) um vetor em R2 . Um modo alternativo de denirmos diferenciabilidade de f em um ponto P o seguinte: diremos que f diferencivel no ponto P se existirem funes T1 , T2 : X R2 R contnuas em P tais que f (Q) f (P ) = T1 (Q)(x a) + T2 (Q)(y b) para todo Q = (x, y) X. Isto signica que o acrscimo z = f (x, y) f (a, b) de f uma combinao linear dos acrscimos x = (x a) e y = (y b) das variveis x e y, com coecientes quase lineares em uma vizinhana de P . Observe que como T1 e T2 so contnuas em P temos que dado > 0, existe em correspondncia um > 0, tal que Q = (x, y) V (P ) |T1 (Q) T1 (P )| < Logo, pela desigualdade triangular, obtemos |f (Q) f (P )| |T1 (Q) T1 (P )| |x a| + |T2 (Q) T2 (P )| |y b| < |Q P | . Assim, |f (Q) f (P )| < . |Q P | Portanto, conclumos que as duas denies so equivalentes. Isto signica geometricamente que: f diferencivel no ponto P = (a, b), quando uma pequena poro da superfcie z = f (x, y), em volta do ponto (a, b, f (a, b)), quase plana. Finalmente, note que se zermos as substituies h = x a e k = y b, ento obtemos E(h, k) f (a + h, b + k) (a + h, b + k) |Q P | = h2 + k 2 e = , 2 + k2 h h2 + k2 com E(h, k) = f (a + h, b + k) (a + h, b + k). O valor E(h, k) chama-se erro real ou o resto. Para a maioria das funes encontradas nas aplicaes prticas do clculo, essa aproximao linear oferece uma boa precio, isto , |E(h, k)| muito pequeno quando h e k so sucientemente pequenos, de modo que o ponto Q = (a + h, b + k) esteja dentro de X. Mais precisamente, como X um conjunto aberto temos, para um P = (a, b) X xado, que existe > 0 tal que se 0 < h2 + k 2 < , ento Q X e f (a + h, b + k) est denida em (h, k) V (P ). 2 e |T2 (Q) T2 (P )| < . 2 f (x, y) (x, y) = 0, (x,y)(a,b) |Q P | lim

Observao 2.9 Sejam f : X R2 R uma funo e P = (a, b) X xado, com X um conjunto aberto. Diremos f diferencivel em X se diferencivel em todos os pontos de X. Exemplo 2.10 Seja f : R2 R a funo denida por f (x, y) = 2x2 + y 3 . Mostre que f diferencivel em P = (3, 2). Soluo. Como f (x, y) f (P ) = 2x2 + y 3 26 = 2(x2 9) + (y 3 8) = T1 (x, y)(x 3) + T2 (x, y)(y 2) temos que f diferencivel em P , pois T1 (x, y) = 2(x + 3) e T2 (x, y) = y 2 + 2y + 4 so funes contnuas em P . Teorema 2.11 Sejam f : X R2 R uma funo e P = (a, b) X xado, com X um conjunto aberto. Se f diferencivel no ponto P , ento f contnua no ponto P . Prova. Suponhamos que f seja diferencivel no ponto P . Ento, por denio, existem constantes reais A e B tais que f (x, y) f (a, b) A(x a) B(y b) = 0. (x,y)(a,b) |Q P | lim Pondo h = x a e k = y b, obtemos E(h, k) f (a + h, b + k) f (a, b) Ah Bk = lim = 0. (h,k)(0,0) h2 + k2 (h,k)(0,0) h2 + k2 lim Logo,(h,k)(0,0)

lim

(f (a + h, b + k) f (a, b)) =

(h,k)(0,0)

lim

(Ah + Bk + E(h, k)) = 0,

pois(h,k)(0,0)

lim

E(h, k) =

(h,k)(0,0)

lim

E(h, k) h2 + k2

com M > 0 uma constante real ou, equivalentemente,(h,k)(0,0)

E(h, k) 2 + k2 = 0 e h h2 + k2 M,

lim

f (a + h, b + k) = f (a, b).

Portanto,(x,y)(a,b)

lim

f (x, y) = f (a, b),

isto , f contnua no ponto P .

Teorema 2.12 Sejam f : X R2 R uma funo e P = (a, b) X xado, com X um conjunto aberto. Se f diferencivel no ponto P , ento fx (a, b) e fy (a, b) existem. Neste caso, a equao cartesiana do plano passando por P dada por z = f (a, b) + fx (a, b)(x a) + fy (a, b)(y b).

Prova. Suponhamos que f seja diferencivel no ponto P . Ento o limite f (a + h, b + k) f (a, b) Ah Bk =0 (h,k)(0,0) h2 + k2 lim no depende do caminho. Assim, ao longo do caminho que liga os pontos (a, b) e (a+h, b), obtemos f (a + h, b) f (a, b) Ah f (a + h, b) f (a, b) = 0 lim = A. h0 h0 h h lim Portanto, fx (a, b) existe e fx (a, b) = A. De modo inteiramente anlogo, prova-se que fx (a, b) existe e fy (a, b) = B. Observao 2.13 Sejam f : X R2 R uma funo e P = (a, b) X xado, com X um conjunto aberto. 1. Se f no contnua no ponto P , ento f no diferencivel no ponto P . (Teorema 2.11) 2. Se uma das derivadas parciais de f no existir no ponto P , ento f no diferencivel no ponto P . 3. Para provar que f diferencivel no ponto P , suciente provar que f possui derivadas parciais no ponto P e que E(h, k) = 0 ou lim E(h, k) = 0 . lim (h,k)(0,0) (h,k)(0,0) h2 + k2 Exemplo 2.14 Seja f : R2 R a funo denida por f (x, y) = x2 + y 2 . Mostre que f diferencivel em todo R2 . Soluo. fcil vericar que fx (x, y) = 2x e fy (x, y) = 2y, isto , as derivadas parciais existem em todo R2 . Dado P = (a, b) R2 , obtemos fx (a, b) = 2a, fy (a, b) = 2b e E(h, k) (a + h)2 + (b + k)2 f (a, b) 2ah 2bk 2 = = h + k2 . h2 + k2 h2 + k 2 Logo, E(h, k) = lim h2 + k2 = 0. (h,k)(0,0) h2 + k2 (h,k)(0,0) lim

Portanto, f diferencivel em todo R2 . Exemplo 2.15 Seja f : R2 R a funo denida por ( 2 x y , se (x, y) 6= (0, 0) x4 +y2 f (x, y) = 0, se (x, y) = (0, 0). Verique se f diferencivel no ponto P = (0, 0).

Soluo. Vamos primeiro vericar a continuidade de f no ponto P = (0, 0). Como o domnio de f todo R2 temos que f (0, 0) existe e f (0, 0) = 0. Ao longo do caminho y = mx2 , com x 6= 0, obtemos x2 y x4 m m m = lim 4 = . = lim x0 x (1 + m2 ) x0 1 + m2 (x,y)(0,0) x4 + y 2 1 + m2 lim Assim, lim(x,y)(0,0) f (x, y) no existe. Portanto, f no contnua no ponto P = (0, 0). Logo, pelo item (1) da Observao 2.13, f no diferencivel no ponto P = (0, 0). Note que f diferencivel em R2 {(0, 0)}. Exemplo 2.16 Seja f : R2 R a funo denida por f (x, y) = 1. Calcule fx (0, 0) e fy (0, 0). 2. Verique se f diferencivel no ponto P = (0, 0). Soluo. (1) Para calcalar fx (0, 0) e fy (0, 0), devemos usar a denio de derivada parcial. fx (0, 0) = lim f (x, 0) f (0, 0) f (0, y) f (0, 0) = 0 e fy (0, 0) = lim = 0. x0 y0 x y 3 xy.

(2) Como fx (0, 0) e fy (0, 0) existem basta vericar que E(h, k) = 0. (h,k)(0,0) h2 + k2 lim Sendo 3 hk E(h, k) 3 = , E (h, k) = f (h, k) (h, k) = hk e 2 + k2 2 + k2 h h

temos, ao longo do caminho k = mh2 com h 6= 0, que 3 3 E(h, k) h3 m m = lim = lim = 3 m 6= 0. lim (h,k)(0,0) h2 + k2 h0 h2 + m2 h4 h0 1 + m2 h2 Portanto, pelo item (3) da Observao 2.13, f no diferencivel em P = (0, 0).

Sejam f : X R2 R uma funo diferencivel no ponto P = (a, b) X, com X um conjunto aberto, a expresso df = fx (P )dx + fy (P )dy = chama-se a diferencial de f no ponto P . Exemplo 2.17 Calcule o valor aproximado de tan[2.01 log(0.99)]. f f (P )dx + (P )dy x y

Soluo. Para resolver este problema devemos determinar f (a + h, b + k), quando f (x, y) = tan(x log y) e a + h = 2.01, b + k = 0.99. Consegue-se isto pondo a = 2, h = 0.01, b = 1 e k = 0.01. Como h e k so pequenos temos que f (a + h, b + k) f (a, b) + df, com dx = h e dy = k. Assim, basta calcular f (2, 1), fx (2, 1) e fy (2, 1). Por derivao direta, obtemos x fx (x, y) = sec2 (x log y) log y e fy (x, y) = sec2 (x log y) . y Logo, f (2, 1) = 0, fx (2, 1) = 0 e fy (2, 1) = 2. Assim, df = fx (2, 1)dx + fy (2, 1)dy = 2 (0.01) = 0.02 Portanto, tan[2.01 log(0.99)] 0.02 = 0.2 101 . Note que z df 2.0204 102 (0.2 101 ) 1.0097 102 . = 2 z 2.0204 10

que o valor desejado.

Observao 2.18 Sejam f : X R2 R uma funo e P = (a, b) X xado, com X um conjunto aberto. Como z = f (a + h, b + k) f (a, b) e df = fx (a, b)dx + fy (a, b)dy, com dx = x = h e dy = y = k, temos que E(h, k) = f (a + h, b + k) (a + h, b + k) = z df. Logo, z df E(h, k) = . h2 + k2 h2 + k2 Assim, f diferencivel em P se z = df + E(h, k). Nesse caso, fcil vericar que a funo TP : R2 R denida por TP (h, k) = fx (a, b)h + fy (a, b)k linear. Portanto, quando nos movemos do ponto P = (a, b) para um ponto prximo, obtemos as seguintes variaes: Real zz f (P ) z f (P )

Variao absoluta Variao relativa Variao percentual

Estimada Erro df z dfdf f (P ) df f (P )

100

100

zdf f (P ) zdf f (P )

100.

Finalmente, note que a diferena z df entre o valor exato z e o valor aproximado df chamada o erro absoluto de df e o quociente z df z chamado o erro relativo de df . Teorema 2.19 (Lema Fundamental) Sejam f : X R2 R uma funo e P = (a, b) X xado, com X um conjunto aberto. Se f possui derivadas parciais contnuas no ponto P , ento f diferencivel no ponto P . Exemplo 2.20 Seja f : R2 R a funo denida por ( 2 2 x y , se (x, y) 6= (0, 0) x2 +y2 f (x, y) = 0, se (x, y) = (0, 0). Verique se f diferencivel no ponto P = (0, 0). Soluo. Pelo Lema Fundamental basta vericar se as derivadas parciais fx (x, y) e fy (x, y) so contnuas no ponto P = (0, 0). Observe que f (x, y) = f (y, x). Como a funo denida por duas sentenas vamos dividir a prova em dois passos: 1.o Passo. Se (x, y) 6= (0, 0), ento fx (x, y) = 2xy 4 . (x2 + y 2 )2

2.o Passo. Se (x, y) = (0, 0), ento devemos usar a denio da derivada parcial para calcular fx (0, 0). f (x, 0) f (0, 0) 0 = lim = 0. fx (0, 0) = lim x0 x0 x x Assim, ( 2xy4 , se (x, y) 6= (0, 0) (x2 +y2 )2 fx (x, y) = 0, se (x, y) = (0, 0) e ( 2x4 y , se (x, y) 6= (0, 0) (x2 +y 2 )2 fy (x, y) = fx (y, x) = 0, se (x, y) = (0, 0). Agora, fcil vericar que fx (x, y) e fy (x, y) so contnuas no ponto P = (0, 0). Portanto, f diferencivel no ponto P = (0, 0).

EXERCCIOS

1. Seja f : R2 R a funo denida por 2 3x y , se (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x2 + y 2 0, se (x, y) = (0, 0). (a) Mostre que f contnua na origem (0, 0). (b) Mostre que as derivadas parciais fx e fy existem em todo R2 , mas no so contnuas em (0, 0). (c) Mostre que f no diferencivel na origem (0, 0). Por que isso no contradiz o Teorema 2.19 (Lema Fundamental)? 2. Mostre que a funo f (x, y) = (y3 x3 , x2 +y 2

0,

se (x, y) 6= (0, 0) se (x, y) = (0, 0)

no diferencivel em P = (0, 0). 3. Falso ou verdadeiro? Justique (a) Se f diferencivel em P , ento as derivadas parciais fx e fy existem em P . (b) Toda funo diferencivel contnua. (c) Toda funo contnua diferencivel. (d) Se z = f (x, y) tem derivadas parciais fx e fy no ponto P , ento f contnua em P . (e) Se uma funo z = f (x, y) tem derivadas parciais fx e fy contnuas, ento f diferencivel. (f) Toda funo diferencivel possui derivadas parcias de primeira ordem contnuas. (g) Se as derivadas parciais fx e fy existem em P , ento f diferencivel em P. 4. Use o Lema Fundamental e mostre que a funo z = f (x, y) diferencivel no domnio indicado. (a) z = x2 y 4 ; D = R2 (d) z = log (x2 + y 2 ) ; D = R2 {(0, 0)}. exp (xy) xy ; D = {(x, y) R2 : x 6= y} . ; D = R2 (0, 0) (d) z = (c) z = 2 2 x +y xy

5. Verique que a funo f : R2 R denida por ! 2 1 (x + y 2 ) sen p , se (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x2 + y 2 0, se (x, y) = (0, 0).

diferencivel na origem, embora as derivadas parciais fx e fy sejam descontnuas.

6. Estude a diferenciabilidade da funo z = f (x, y) no ponto P indicado: p (a) z = x exp (y) ; P = (1, 0) (e) z = x2 + y 2 ; P = (0, 0) p (b) z = |xy 2 | ; P = (0, 1) (f ) z = |x| (1 + y 2 ); P = (x, y) 3xy 2 x + y 2 , se (x, y) 6= (0, 0) p (g) z = (c) z = |y| cos x; P = (0, 0) se (x, y) = (0, 0); 0, P = (1, 2) . 1 xy , se x 6= 0 e y 6= 0 p (h) z = (d) z = |xy|; P = (0, 0) se x = 0 ou y = 0. 0, P = (0, 0) . 7. Calcule a diferencial das funes seguintes: (a) f (x, y) = 5x3 + 4x2 y 2y 3 (b) f (x, y, z) = ex yz y (c) f (x, y) = x sen 1 2 y+ x (d) f (x, y) = arctan x .

8. Seja f : R3 R a funo denida por xyz , se (x, y, z) 6= (0, 0, 0) 2 + y2 + z2 x f (x, y, z) = 0, se (x, y, z) = (0, 0, 0).

Mostre que as derivadas parciais fx , fy e fz embora existam na origem, a funo f no diferencivel em (0, 0, 0) .

2.3

Regra da Cadeia

Nesta seo apresentaremos algumas verses da Regra da Cadeia aplicadas s derivadas parciais. Sejam f : I R R e g : J R R duas funes reais de uma varivel real, onde f (I) J, tais que y = f (u) e u = g(x), ento a funo composta dada por y = (g f )(x) = g(f (x)), x I. Assim, se f e g so derivveis, ento dy dy du = . dx du dx

Agora, sejam f : X R2 R uma funo, com X um conjunto aberto, x = g(t) e y = h(t). Se z = f (x, y) diferencivel, g e h so derivveis, ento dz z dx z dy = + ou z 0 (t) = fx x0 (t) + fy y 0 (t). dt u dt y dt Note que esse resultado obtido dividindo a diferencial de f por dt. Alm disso, um dipositivo prtico para memorizar a Regra da Cadeia ou Regra da Derivao em Cadeia dado no diagrama em rvore, conforme a Figura 2.2.

Figura 2.2: Diagrama em rvore. Alternativamente, na forma matricial h dz = dtz x z y

i

"

dx dt dy dt

#

.1 1+t

Exemplo 2.21 Seja f : R2 R a funo denida por f (x, y) = x2 y 2 . Se x = t y = 1+t , para todo t R {1}, ento determine dz . dt Soluo. Pela Regra da Cadeia basta determinar fx , fy , x0 (t) e y 0 (t). Como fx = 2x, fy = 2y, x0 (t) = temos que dz = dt 2 1+t 1 (1 + t)2 2t 2 1 + = , 2 1+t (1 + t) (t + 1)2 1 1 e y 0 (t) = 2 (1 + t) (1 + t)2

e

que o resultado desejado.

Mais geralmente, sejam f : X R2 R e g, h : Y R2 R funes, com X e Y conjuntos abertos, u = g(x, y) e v = h(x, y). Se z = f (u, v), u = g(x, y) e v = h(x, y) so diferenciveis, ento z z u z v = + x u x v x e z u z v z = + . y u y v y

Novamente, um dipositivo prtico para memorizar essa Regra da Cadeia dado no diagrama em rvore, conforme a Figura 2.3.

Figura 2.3: Diagrama em rvore. Alternativamente, na forma matricial hz x z y

i

=

h

z u

z v

i

"

u x v x

u v v y

#

.

Exemplo 2.22 Seja f : R2 R a funo denida por f (u, v) = u2 + v 3 . Se z = f (x, y), z z u = 3x y e v = x + 2y, ento determine x e y . Soluo. Como zu = 2u, ux = 3, uy = 1, zv = 3v2 , vx = 1 e vy = 2 temos que z = 6u + 3v 2 = 3x2 + 12xy + 18x + 12y 2 6y x e z = u + 6v 2 = 6x2 + 24xy 3x + 24y 2 + y, y

que o resultado desejado.

EXERCCIOS

1. Sejam f (x, y) = Zy

log(1 + (sen t) )dt e g (x, y) =

2

x

Z

x2 y

exp (cos t) dt.

x

Use o Teorema Fundamental do Clculo e a Regra da Cadeia para calcular as derivadas parciais fxy e gxy .

2. Seja

y x f (x, y) = sen + log . y x Mostre que xfx + yfy = 0.

3. Seja f : R2 {(0, 0)} R a funo denida por p x2 + 2xy + y 2 |x + y| = . f (x, y) = x+y x+y Verique que fx e fy so identicamente nulas em D, mas f no constante. 4. Seja f : R R uma funo real de uma varivel derivvel qualquer. Mostre que as funes (x, y) = f (x y) e (x, y) = f (xy) satisfazem s relaes: x + y = 0 e xx yy = 0. 5. Calcule dz nos seguintes casos: dt (c) (d) p z = x2 + y 2 ; x = t3 e y = cos t z = u2 v + vw2 + uvw3 ; u = t2 , v = t e w = t3 .

(a) z = yex + xey ; x = t e y = sen t (b) z = log (1 + x2 + y 2 ) ; x = log t e y = et 6. Calcule w w e nos seguintes casos: x y

(a) w = u2 + v 3 ; u = 3x y e v = x + 2y (b) w = log (t2 + s2 ) ; t = x3 + y 2 e s = 3xy 7. Considere a funo f (x, y) = Z

(c) (d)

w = 3u + 7v; u = x2 y e v = xy w = cos ( + ) ; = x + y e = xy.

y

x

Calcule as derivadas parciais fs , fr e frs , no caso em que x = rs4 e y = r4 s. 8. Sejam OP = xi+yj o vetor posio do ponto P = (x, y) e r = OP . Se f : R R uma funo real de uma varivel real duas vzes derivvel e z = f (r), mostre que 1 z = zrr + zr . r

exp t2 dt.

9. Considere duas funes reais f : R R e g : R2 R e sejam w = f (u) e u = g (x, y). Admitindo a existncia das derivadas envolvidas, deduza que 2 2 w = f 00 (u) gx + gy + f 0 (u) g.

10. Uma funo f : D R2 R chama-se homognea de grau n quando f (tx, ty) = tn f (x, y) , t R+ e (x, y) D.

Mostre que qualquer funo homognea f satisfaz Relao de Euler. Leonhard Euler (1707-1783), matemtico suio. xfx (x, y) + yfy (x, y) = nf (x, y) em D. Verique que as funes x2 3xy + y 2 z = x2 + y 2 e z = p 2x2 + 3y 2

so homogneas.

11. Com as hipteses do Exerccio 10 da Seo 2.1 e admitindo que x = r cos e y = r sen , deduza as relaes: 1 v v 1 u u = e = . r r r 12. Sejam f (u, v) uma funo diferencivel e z = f (x y, y x). Mostre que zx + zy = 0. 13. Sejam e funes reais derivveis e suponhamos que 0 (1) = 4. (a) Se f (x, y) = x2 + y 2 x , y

mostre que

xfx (x, y) + yfy (x, y) = 2f (x, y) . (b) Se x g (x, y) = , y

calcule gx (1, 1) e gy (1, 1).

2.4

Derivada Direcional e Gradiente

Nesta seo vamos estender a noo de derivadas parciais a outras direes que no sejam retas paralelas ao eixos. Sejam f : X R2 R uma funo, com X um conjunto aberto, P = (x, y) X, e u = (cos , sen ) = cos i + sen j R2

um vetor unitrio, para todo R. A derivada direcional de f no ponto P , na direo do vetor u, denida como lim f (P + tu) f (P ) f (x + t cos , y + t sen ) f (x, y) = lim t0 t0 t t

quando esse limite existe e denotaremos por f (x, y), u f ou Du f. u Note que o ngulo entre o vetor u e o eixo dos x. Observao 2.23 Observe que quando u = (1, 0) = i, obtemos f f (x + t, y) f (x, y) f (x, y) = lim = (x, y). t0 u t x Que a derivada parcial de f em relao a x. De modo inteiramente anlogo, quando u = (0, 1) = j, obtemos a derivada parcial de f em relao a y. Exemplo 2.24 Seja f : R2 R a funo denida por f (x, y) = y exp(xy). Determine a derivada direcional de f no ponto P = (0, 0) na direo do vetor v = (4, 3) = 4i + 3j. Soluo. Para resolver este problema devemos primeiro vericar se o vetor v unitrio. Como |v| = 42 + 32 = 5 temos que ele no um vetor unitrio. Assim, isto , 1 u= v= |v| devemos obter a normalizao do vetor v, 4 3 i+ j 5 5

um vetor unitrio com a mesma direo e sentido do vetor v. Portanto, f 4 t, 3 t f (0, 0) f 3 3 12 2 5 5 (0, 0) = lim = lim exp t = . t0 t0 5 u t 25 5 Note que o sinal positivo signica que f cresce na direo considerada. Exemplo 2.25 Seja f : R2 R a funo denida por ( 3 x y se (x, y) 6= (0, 0) x6 +y2 f (x, y) = 0 se (x, y) = (0, 0). Determine a derivada direcional de f no ponto P = (0, 0) na direo de qualquer vetor unitrio u.

Soluo. Seja u = (cos , sen ) R2 , onde R, um vetor unitrio qualquer. Ento f (t cos , t sen ) t4 cos2 sen t cos2 sen f (0, 0) = lim = lim 7 = lim 4 = 0. t0 t0 t cos6 + t3 sen2 t0 t cos6 + sen2 u t Portanto, todas as derivadas direcionais de f no ponto P = (0, 0) existem. No entanto, f no contnua no ponto P = (0, 0), pois ao longo do caminho y = mx3 , com x 6= 0, obtemos x3 y x6 m m m = lim lim = lim 6 = . 6 + y2 2) 2 x0 x (1 + m x0 1 + m (x,y)(0,0) x 1 + m2 Portanto, o limite depende de m, ou seja, no existe. Exemplo 2.26 Seja f : R2 R a funo denida por ( xy se (x, y) 6= (0, 0) x2 +y 2 f (x, y) = 0 se (x, y) = (0, 0). Determine a derivada direcional de f ponto P = (0, 0) na direo de qualquer vetor unitrio u que no seja paralelo ao eixos. Soluo. Seja u = (cos , sen ) R2 um vetor unitrio, com cos 6= 0 e sen 6= 0. Ento f (t cos , t sen ) f (0, 0) = lim = lim t0 t0 u tt2 cos sen t2

t

= lim

cos sen t0 t

no existe. Portanto, a derivada direcional de f no ponto P = (0, 0) na direo do vetor u no existe. No entanto, as derivadas parciais de f no ponto P = (0, 0) existem. Teorema 2.27 Sejam f : X R2 R uma funo e P = (a, b) X xado, com X um conjunto aberto. Se f diferencivel no ponto P , ento f possui derivada direcional no ponto P na direo de qualquer vetor unitrio u = (cos , sen ) R2 . Neste caso, f f f (a, b) = (a, b) cos + (a, b) sen . u x y Prova. Suponhamos que f seja diferencivel no ponto P . Ento lim E(tu) = lim E(t cos , t sen ) = 0.t0 t0

Como f (P + tu) = f (P ) + temos que lim f (P + tu) f (P ) f f = (a, b) cos + (a, b) sen . t0 t x y f f (a, b) (t cos ) + (a, b) (t sen ) + |t| E(tu) x y

Portanto, a derivada direcional de f no ponto P = (a, b) na direo do vetor u existe.

Note, pelo Teorema 2.27, que f f f = i+ j u (o produto escalar) u x y O gradiente de f , em smbolos f ou grad(f ), o vetor f = Como u um vetor unitrio temos que f = f u = |f | cos , u com o ngulo entre os vetores f e u, ou seja, a derivada direcional de f no ponto P simplesmente a componente do vetor gradiente na direo do vetor unitrio u. Portanto, se f : X R2 R uma funo diferencivel no ponto P = (a, b) X, ento: 1. O mximo de 2. O mnimo def u f u

f f i+ j. x y

no ponto P igual a |f (P )|. no ponto P igual a |f (P )|,

pois 1 cos 1. Assim, o mximo (o mnimo) da taxa de variao de f (x, y) no ponto P = (a, b), ocorre quando o vetor u tem a direo e o sentido do vetor f (P ) (f (P )), isto , 1 f (P ). u= |f (P )|

Neste caso, o gradiente de f aponta na direo em que a funo f cresce (decresce) mais rapidamente. Portanto, conclumos que: 1. O gradiente aponta para uma direo segundo a qual a funo crescente. 2. Dentre todas as direes ao longo das quais a funo f cresce, a direo do gradiente a de crescimento mais rpido.

Exemplo 2.28 Seja f : R3 R a funo denida por f (x, y, z) = 2x2 + 3y 2 + z 2 . Determine a derivada direcional de f no ponto P = (2, 1, 3) e na direo do vetor v = (1, 0, 2) = i 2k. Soluo. Para resolver este problema devemos primeiro vericar se o vetor v unitrio. Como p |v| = 12 + (2)2 = 5

temos que ele no um vetor unitrio. Assim, devemos obter a normalizao do vetor v, isto , 1 1 2 u= v = i k |v| 5 5

um vetor unitrio com a mesma direo e sentido do vetor v. Como f = (4x, 6y, 2z) temos que f (P ) = (8, 6, 6) = 8i + 6j + 6k. Portanto, f 4 (P ) = f (P ) u = . u 5 Note que o sinal negativo signica que f decresce na direo considerada. Exemplo 2.29 Seja f : R3 R a funo denida por ( 1 , se (x, y, z) 6= (0, 0, 0) x2 +y 2 +z 2 f (x, y, z) = 0, se (x, y, z) = (0, 0, 0). Determine o valor mximo da derivada direcional de f no ponto P = (1, 2, 3). Soluo. Pelo exposto acima, basta determinar a norma do vetor gradiente de f no ponto P . Como fx = temos que fx (1, 2, 3) = 2 4 6 , fy (1, 2, 3) = 2 e fy (1, 2, 3) = 2 . 142 14 14 2x 2y 2z 2 , fy = 2 e fz = (x2 + y 2 + z 2 ) (x2 + y 2 + z 2 ) (x2 + y 2 + z 2 )2

que o resultado desejado.

Portanto, o valor mximo da derivada direcional de f em P = (1, 2, 3) igual a q 56 |f (P )| = fx (P )2 + fy (P )2 + fz (P )2 = , 142

Sejam f : X R2 R uma funo, com X um conjunto aberto, x = g(t) e y = h(t). Suponhamos que z = f (x, y) seja diferencivel no ponto P = (x, y) X, g e h sejam derivveis em algum intervalo aberto I. Ento, pela Regra da Cadeia, obtemos z dx z dy dz (P (t)) = + = f (P (t)) P 0 (t), dt x dt y dt com P 0 (t) = (x0 (t), y 0 (t)) = x0 (t)i + y 0 (t)j. Agora, consideremos uma curva de nvel da funo f contida em X, isto , Ck = {(x, y) X : f (x, y) = k}. Ento, dado P (t) na curva Ck , obtemos F (t) = f (P (t)) = f (x(t), y(t)) = k, t R.

Assim, dz (P (t)) = f (P (t)) P 0 (t), t R. dt Portanto, se o vetor P (t) 6= 0, para todo t R, ento o vetor f (P (t)) 6= 0 perpendicular curva de nvel Ck , pois a derivada direcional de f no ponto P na direo do vetor unitrio 1 u= P (t) |P (t)| sempre tangente curva Ck . Por essa razo, o plano tangente a uma superfcie S, tendo equao cartesiana F (x, y, z) = 0, no ponto P = (a, b, c) S, o plano que passa no ponto P tendo o gradiente f (P ) como vetor normal ou o vetor normal unitrio 0 = F 0 (t) = n= 1 1 f (P ) ou n = f (P ) |f (P )| |f (P )|

a superfcie S em P , isto , se Q = (x, y, z) um ponto qualquer desse plano, ento P Q f (P ) = 0 ou Fx (a, b, c)(x a) + Fy (a, b, c)(y b) + Fz (a, b, c)(z c) = 0. Neste caso, a reta normal superfcie S no ponto P = (a, b, c) S a reta paralela ao vetor f (P ), isto , P Q = tf (P ), t R, com Q um ponto qualquer da reta ou, equivalentemente, xa yb zc = = . Fx (a, b, c) Fy (a, b, c) Fz (a, b, c) Exemplo 2.30 Determine o plano tangente e a reta normal superfcie S, dada pela equao cartesiana x2 + y 2 + 3z 2 5 = 0, no ponto P = (1, 1, 1). Soluo. Seja F (x, y, z) = x2 +y 2 +3z 2 5. Ento, pelo exposto acima, basta determinar o vetor gradiente de f no ponto P . Como Fx (P ) = 2, Fy (P ) = 2 e Fz (P ) = 6 (F (P ) = (2, 2, 6)) temos que 2(x 1) + 2(y 1) + 6(z 1) = 0 ou 2x + 2y + 6z 10 = 0. Neste caso, a reta normal superfcie S no ponto P = (1, 1, 1) S dada por x = 1 + 2t x1 y1 z1 ou = = , y = 1 + 2t 2 2 6 z = 1 + 6t, t R,

que o resultado desejado.

Exemplo 2.31 Sejam f : X R2 R uma funo e P = (a, b) X xado, com X um conjunto aberto. Mostre que se f diferencivel no ponto P e S a superfcie dada pelo grco de f , ento o plano tangente a S no ponto Q = (a, b, f (a, b)) dado por z f (a, b) = fx (a, b)(x a) + fy (a, b)(y b)

Soluo. Seja F (x, y, z) = z f (x, y). Ento o resultado segue do Exemplo 2.30.

Exemplo 2.32 Determine a reta tangente e a reta normal curva C, dada pela equao cartesiana x2 xy + y 2 7 = 0, no ponto P = (1, 2). Soluo. Seja F (x, y) = x2 xy + y 2 7. Ento Fx (P ) = 4 e Fy (P ) = 5 (F (P ) = (4, 5)). Logo, 4(x + 1) + 5(y 2) = 0 ou 4x + 5y 14 = 0. a reta tangente curva C no ponto P = (1, 2). Neste caso, a reta normal curva C no ponto P = (1, 2) C dada por 5x + 4y 3 = 0. Exemplo 2.33 Determine a reta tangente curva C obtida pela interseo de duas superfcies da implicitamente pelas equaes f (x, y, z) = 0 e g(x, y, z) = 0 no ponto P C. Soluo. Para resolver este problema basta determinar a direo u = f (P ) g(P ) no ponto P = (a, b, c) C e fazer P Q = tv, t R, com Q um ponto desta reta ou, equivalentemente, P Q = tf (P ), t R, com Q um ponto qualquer da reta ou, equivalentemente, xa yb zc = = , fy gz fz gy fz gz fz gz fx gy fy gx que o resultado desejado.

Seja f : X R2 R uma funo diferencivel, com X um conjunto aberto. A estimativa da variao do valor de f quando nos movemos uma pequena distncia ds a partir de um ponto P = (a, b) X na direo do vetor unitrio u dada por df = (f (P ) u) ds ou df f = f (P ) u = (P ). du u

Note que a derivada direcional faz o mesmo papel da diferencial de uma funo real de uma varivel real. Exemplo 2.34 Sejam f : R2 R a funo denida por f (x, y) = x exp(y). Determine a variao do valor de f se ponto R = (x, y) se move ds = 0.1 unidade do ponto P = (2, 0) na direo do ponto Q = (4, 1). Soluo. Vamos primeiro determinar a derivada direcional de f no ponto P = (2, 0) na direo do vetor v = P Q = 2i + j; a normalizao do vetor v dada por u= 1 2 1 v = i + j. |v| 5 5

Como fx = exp(y) e fy = x exp(y) temos que fx (P ) = 1 e fy (P ) = 2. Portanto, f (P ) = i + 2j e 2 1 4 f (P ) u = (i + 2j) i + j = 5 5 5 Note que o sinal positivo signica que f cresce na direo considerada. Finalmente, 0.4 4 df = (f (P ) u) ds = 0.1 = , 5 5 ou seja, df 0.18 unidade.

EXERCCIOS

1. Calcule a derivada direcional da funo z = f (x, y) no ponto P , na direo indicada: (a) z = x3 + 5x2 y, P = (2, 1) na direo da reta y = x. (b) z = y exp (xy), P = (0, 0) na direo da reta v = 4i + 3j. (c) z = x2 y 2 , P = (2, 3) na direo tangente curva 2x + 5y 2 = 15, no ponto (0, 3). 2. Calcule a derivada direcional f nos seguintes casos: u1 3

(a) f (x, y, = exp(y) sen x + z) 1 2 i + 22 j + 1 k. 2

exp(3y) sen 3x + z 2 ; P = (/3, 0, 1) e u =

(b) f (x, y, z) = x2 y + 3yz 2 ; P = (1, 1, 1) e u = 1 i 2 j + 2 k. 3 3 3 (c) f (x, y, z) = log (x2 + y 2 + z 2 ); P = (1, 1, 1) e u = 2 i + 1 j + 2 k. 3 3 3 3. Calcule o valor mximo da derivada direcional da funo w = f (x, y, z) no ponto P: (a) w =1 ; x2 +y 2 +z 2

P = (1, 2, 3)

(b) w = exp(x) cos (yz) ; P = (1, 0, ) .

4. Seja z = f (x, y) uma funo diferencivel em cada ponto do crculo x2 + y 2 = 1. Mostre que a derivada direcional de f no ponto (x, y) na direo da tangente ao crculo yfx + xfy . 5. Encontre o plano tangente e a reta normal superfcie dada no ponto indicado: p (a) z = x2 y 2 ; P = (1, 1, 0) (c) z = x x2 + y 2 ; P = (3, 4, 15) p (b) x2 + 2y 2 + 3z 2 = 6; P = (1, 1, 1) (d) z = 9 x2 y 2 ; P = (1, 2, 2) .

6. Determine as equaes paramtricas da reta tangente curva dada no ponto P indicado. ( ( x2 + y 2 + z 2 = 4 ; 3x 5y z + 7 = 0 (a) ; P = (1, 2, 0) (c) x=1 y=2 P = 1, 1, 2 ( 2xy ( z = x2 +y2 2 2 2 ; x + y + z = 14 (b) ; P = (1, 3, 2) (d) y = 1 x=1 P = (1, 1, 1) . 7. Seja C a curva em R3 descrita por: x = sen t, y = sen t e z = cos 2t, 0 t 2. Mostre que a curva C est contida no paraboloide x2 + y 2 + z = 1 e determine a reta tangente e o plano normal curva no ponto correspondente a t = . 4 8. Calcule f e verique em cada caso que este vetor normal as curvas ou superfcies de nvel. (a) f (x, y) = x2 + y 2 . (b) f (x, y) = exp (x2 + y 2 ). (c) f (x, y, z) = 2x2 + 2y 2 xz. 9. Sejam f (x, y, z) = 3x + 5y + 2z e denote por n o vetor normal exterior esfera x2 + y 2 + z 2 = r2 . Calcule a derivada direcional Du f (x, y, z). 10. Calcule a derivada direcional no ponto P = (3, 4, 5) da funo w = x2 + y 2 + z 2 , na direo tangente curva ( x2 + y 2 z 2 = 0 2x2 + 2y 2 z 2 = 25 no ponto P . 11. Seja f : R2 R a funo denida por 2 x y , se (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x2 + y 2 0, se (x, y) = (0, 0).

Verique que f tem derivada direcional na origem em qualquer direo, mas no a diferencivel.

12. Admitindo as operaes possveis e considerando a e b constantes reais, prove as seguintes regras de derivao: (a) (af + bg) = af + bg. (b) (f g) = gf + f g.

(c)

14. Sejam 0 < < 1/2 e f (x, y) = |xy| . Mostre que: (a) fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0.

13. Seja OP = xi + yj + zk o vetor posio de um ponto P = (x, y, z) do R3 e represente por r = OP . Mostre que se f (r) uma funo real de uma varivel real derivvel, ento OP 0 f (r) = f (r) . r Usando essa frmula, calcule (r), 1 e (log r). r

f g

=

gf f g . g2

(b) f tem derivada direcional na origem apenas nas direes i e j. 15. Determine a reta tangente curva, no ponto P indicado: ( 3xy + 2yz + 6 = 0 3x2 + y 2 + z = 4 (a) ; P = (1, 2, 3) (b) x2 2xz + y 2 z = 1; x2 + y 2 + z 2 = 12 P = (1, 2, 0) .

16. Calcule a derivada direcional no ponto P = (1, 2, 3) da funo w = 2x2 y 2 + z 2 , na direo da reta que passa nos pontos A = (1, 2, 1) e B = (3, 5, 0). 17. Considere a curva de equaes paramtricas x = t, y = t2 e z = t3 , t R. (a) Determine a reta tangente e o plano normal no ponto P = (2, 4, 8). (b) Determine a reta tangente que passa no ponto P = (0, 1, 2). (c) Verique se existe reta tangente passando no ponto P = (0, 1, 3). 18. Seja f : R R uma funo derivvel, com f 0 (t) > 0, para todo t. Mostre que se g (x, y) = f (x2 + y 2 ), ento a derivada direcional Dv g (x, y) ser mxima quando v = xi + yj. 19. Mostre que se f : R R uma funo real de uma varivel real derivvel, ento os planos tangentes superfcie de equao z = yf x passam todos pela origem. y

20. Determine o plano tangente superfcie z = 2x2 + y 2 3xy, paralelo ao plano de equao 10x 7y 2z + 5 = 0.

21. Determine um plano que passa nos pontos P = (5, 0, 1) e Q = (1, 0, 3) e que seja tangente superfcie x2 + 2y 2 + z 2 = 7. 22. Determine os pontos da superfcie z = 8 3x2 2y 2 nos quais o plano tangente perpendicular reta x = 2 3t, y = 7 + 8t e z = 5 t.

23. Determine o ponto da superfcie