Ministerio da Educacao

Universidade Tecnologica Federal do Parana

Campus Campo Mourao

Wellington Jose Correa

Nome:

4a¯Lista de Geometria Analıtica e Algebra Linear

No que segue , todas as bases utilizadas sao ortonormais, e todos os sistemas de coordenadas

ortogonais referem-se a uma base ortonormal positiva fixada.

1. Nos casos em que a equacao dada descreve uma elipse de focos em algum dos eixos coorde-

nados, especifique-o e calcule: a distancia focal, a medida do eixo maior e a medida do eixo

menor e faca um esboco do grafico.

(a) 4x2 + 169y2 = 676 (b)x2

4+ y2 = 0 (c) +x2 +

(3y

5

)2

= 9

2. Escreva uma equacao reduzida da elipse, nos casos:

(a) O centro e O, os focos estao em Ox, o eixo menor mede 6, e a distancia focal e 8.

(b) O centro e O, os focos estao em Oy, o eixo maior mede 10, e a distancia focal e 6.

(c) Os focos sao (0,−6) e (0, 6), e o eixo maior mede 34.

(d) Os focos sao (0,−5) e (0, 5), e um dos vertices e (−13, 0).

(e) Os focos sao (0,−2√3) e (0, 2

√3), e a amplitude focal e 2.

3. A nave espacial Apollo 11 foi colocada em uma orbita elıptica com altitude de perilunio de

110 km (ponto mais proximo da superfıcie da Lua) e a altitude de apolunio de 314 km (o

ponto mais distante da superfıcie lunar). Encontre uma equacao desta elipse se o raio da

Lua for 1728 km e o centro da Lua em um dos focos.

1

4. Pela Primeira Lei de Kepler, a trajetoria da Terra e elıptica e o Sol ocupa a posicao de um

dos seus focos. Calcule o perielio e o afelio da Terra (que sao, respectivamente, a menor

e a maior distancia da Terra ao Sol), adotando os valores aproximados: distancia focal da

trajetoria da Terra, 0, 50 × 107 km; medida do eixo maior, 30 × 107 km

5. Determine, em cada caso, os vertices, os focos, as extremidades do eixo conjugado . Faca o

esboco da mesma.

(a)x2

252− y2

1442= 3600 (b)

x2

162− y2

252= 400 (c)

x2

92− y2

42= 36

6. Obtenha, em cada caso, uma equacao reduzida da hiperbole.

(a) Os vertices sao (± 2, 0) e os focos sao (± 3, 0).

(b) Os focos sao (± 5, 0) e a amplitude focal e9

2.

7. Determine o foco, o vertice, o parametro e diretriz da parabola P e faca um esboco.

(a) y2 = 4 x

(b) y2 + 8x = 0

(c) 5y2 = 8 x

(d) 5x2 = 8 y

8. Obtenha, em cada caso, uma equacao da parabola de vertice (0, 0), conhecendo seu parametro

p e a localizacao do foco.

(a) p = 2/3 e o foco esta no semi-eixo positivo das abscissas.

(b) p = 4/3 e o foco esta no semi-eixo negativo das ordenadas.

9. Identifique os graficos das equacoes abaixo completando quadrado.

(a) x2 − 5y2 − 2x− 10y − 9 = 0

(b) 4x2 + 8y2 + 16x+ 16y + 20 = 0

(c) x2 + 8x+ 2y + 14 = 0

2

10. Os Sistemas de Navegacao Hiperbolico foram desenvolvidos na Segunda Guerra Mundial

como ajuda na navegacao dos navios e sao baseados na definicao de uma hiperbole. Com

esses sistemas, o navio recebe sinais sincronizados de radio a partir de dois transmissores

a grande distancia com suas posicoes conhecidas. O receptor eletronico do navio mede a

diferenca nos tempos de recepcao entre os sinais e usa essa diferenca para calcular a diferenca

2a entre suas distancias dos transmissores. Essa informacao, coloca o navio em algum ponto

da hiperbole, cujos focos estao nos transmissores e cujos pontos tem 2a como a diferenca entre

suas distancias dos focos. Repetindo esse processo, a posicao do navio pode ser aproximada

como a interseccao de duas hiperboles. (O moderno sistema de posicionamento global GPS

e baseado no mesmo princıpio.)

Desse modo, faca o que se pede:

(a) Conforme ilustrado na figura abaixo, suponha que dois observadores estejam posicio-

nados nos pontos F1(c, 0) e F2(−c, 0) no sistema de coordenadas xy. Suponha tambem

que o som de uma explosao no plano xy seja ouvido pelo observador F1 e que t, segun-

dos depois seja ouvido pelo observador F2. Supondo que a velocidade do som e uma

constante v, mostre que a explosao ocorreu em algum lugar da hiperbole

x2

v2t2/4− y2

c2 − (v2t2/4)= 1

F1(c, 0)F2(−c, 0)x

y

Explosao

(b) Conforme ilustrado na figura a seguir, suponha que duas estacoes de transmissao es-

tejam posicionadas a 100 km uma da outra nos pontos A(−50, 0) e b(50, 0) ao longo

3

de uma praia reta, num sistema de coordenadas xy. Suponha tambem que um navio

esteja navegando paralelo a praia, 200 km mar adentro. Encontre a posicao do navio

se as estacoes transmitem simultaneamente um pulso, mas o pulso de B seja recebido

pelo navio 100 microsegundos antes que o pulso da estacao A.

11. Um espelho parabolico tem uma profundidade de 12 cm no centro e o diametro na face do

espelho e de 32 cm. Ache a distancia do vertice ao foco.

12. Esboce o grafico das regioes abaixo:

(a) z = 3

(b) 6x+ 3y − 4z = 12

(c) 4x2 + 9y2 + z2 = 36

(d) 4x2 + 9y2 − z2 = 36

(e) x2 = y2 − z2

(f)x2

36+

z2

25= 4 y

(g)x2

36− z2

25= 9 y

(h) 4x2 − y2 + 2z2 + 4 = 0

(i) y2 + 4z2 = 4

(j) z = x2

(k) z =√1− x2

(l) z = cos y

(m) x2 + y2 + z2 = 3

4

Respostas

1. (a) Ox; 26, 4, 2√165 (b) Nao se trata de elipse. (c) Oy; 10, 6, 8.

2. (a)x2

252+

y2

92= 1

(b)x2

162+

y2

252= 1

(c)x2

2532+

y2

2892= 1

(d)x2

42+

y2

162= 1

(e)x2

1692+

y2

1442= 1

3.x2

37636002+

y2

37531962= 1

4. 14, 75 × 107 km e 15, 25 × 107 km

5. (a) (± 12, 0), (± 13, 0), (0,± 5)

(b) (± 5, 0), (±√41, 0), (0,± 4)

(c) (0,± 4), (0,± 4√2), (± 4, 0)

6. (a)x2

42− y2

52= 1 (b)

x2

162− y2

92= 1

7. (a) (1, 0), (0, 0), p = 1, r : x+ 1 = 0.

(b) (−2, 0), (0, 0), p = 2, r : x− 2 = 0.

(c) (2/5, 0), (0, 0), p = 2/5, r : 5x+ 2 = 0.

(d) (0, 2/5), (0, 0), p = 2/5, r : 5y + 2 = 0.

8. (a) y2 = 8/3x (b) x2 = −16/3 y

9. (a)(x− 1)2

5− (y+1)2 = 1,

hiperbole

(b) (x+2)2+(y + 1)2

1/2= 1,

elipse

(c) (x + 4)2 + 2y = 2,

parabola

10. (a) Sugestao: sejam d1 e d2 as distancias do primeiro e do segundo observador respectiva-

mente, do ponto da explosao. Entao t=(tempo para o som da explosao atingir o segundo

observador)− (tempo para o som da explosao atingir o primeiro observador)=d2v− d1

v.

Para as constante v e t, as diferencas das distancias entre d2 e d1 e uma constante,

entao a explosao em algum lugar do ramo da hiperbole cujos focos sao onde estao o

observador. Conclua o exercıcio usando o fato que d2 − d1 = 2a.

(b) Use o item anterior. O navio esta localizado na posicao x = 93, 625 km e y = 200 km.

11. A distancia e p =16

3cm.

5

12. (a) plano

(b) plano

(c) elipsoide

(d) hiperboloide de uma folha em z

(e) cone em y

(f) paraboloide em y

(g) sela em y

(h) hiperboloide de duas folhas em y

(i) cilindro em z

(j)

(k)

(l)

(m) esfera de raio√3.

Sucesso!!!

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