exercicios resolvidos lista 4

8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4

1/29

Exerccios resolvidos (Lista 4)

1) Traar para a grelha isosttica dada abaixo os diagramas de esforo cortante, momento fletor e

momento torsor. A seguir, calcular o deslocamento vertical do n 1, considerando tanto o efeito do

momento fletor quanto o efeito do momento torsor. Todas as barras tm a mesma rigidez a flexo e

toro, sendo EI=104

kN/m2

e GIt=2EI.

2 kN4

1 kN/m

2 kN

2

1

3

8

76

5

4 kN.m

2 m

2 m

1 m1 m

5

8

76

1

342

Clculo das reaes:

2 kN4

1 kN/m

2 kN

2

1

3

8

76

5

4 kN.m

V5

V3V2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

kN2V0V42242:0V

kN4V02224224V:0M

kN2V022142V4:0M

22

5532

3325

==+++=

===

==+=


2/29

Diagrama de esforo cortante:

+

+

+

++

-

-

4 kN

2 m

0.0

2 kN

2 kN

2 kN

2 kN

2 kN

Diagrama de momento fletor:

-

2 kN.m

-

-

-

+

+

+

4 kN.m

4 kN.m

4 kN.m

2 kN.m

4 kN.m

6 kN.m

Diagrama de momento torsor:

4 kN.m

-

-

-

+

4 kN.m

6 kN.m4 kN.m

6 kN.m

0.0

0.0

0.0


3/29

Deslocamento do n 1:

Carga e reaes virtuais:

1 kN

0.01/2 kN

1/2 kN

Diagrama de momento fletor virtual:

2 kN.m

+

1/2 kN.m

2 kN.m

1/2 kN.m

+

--0.0

0.0

0.0

Diagrama de momento torsor virtual:

2 kN.m

-

1/2 kN.m

2 kN.m

1/2 kN.m

0.0

0.00.0

0.0

0.0

-


4/29

Combinao de diagramas de momentos fletores:

-

+

3.0 kN.m

1.0 kN.m

( )( )EI3

1624*EI2*

31 ==

-

+

3.0 kN.m

3.0 kN.m

( )EI

1

2

14*

EI

1*

2

1=

=

-

+

+

-

+

8.5 kN.m

1.0 kN.m

0.5 kN.m

3.0 kN.m

8.5 kN.m

3.0 kN.m

+=

( )

EI3

2

2

14*

EI

1*

3

1=

=

-

2 kN.m

4 kN.m =4 kN.m 6 kN.m+ 4 kN.m

2 kN.m+

++

( )( ) ( )( )EI3

16

EI

1622*

EI

4*

3

124*

EI

4*

2

1+=+=

somando:

=

++++= 17

3

34

EI

116

3

16

3

21

3

16*

EI

1


5/29

Combinao de momentos torsores:

-

-

4 kN.m

2 kN.m

( )( ) EI4

GI824*

GI1

tt===

-

-

1/2 kN.m

6 kN.m

( )EI2

3

GI

3

2

16*

GI

1

tt

==

=

somando:

+=2

34

EI

1; logo, o deslocamento do n 1 ser:

m10*83.332

3417

3

34

EI

1 41

=

+++=

2) Traar para a grelha isosttica os diagramas de momento fletor (DM), esforo cortante (DQ) e

momento torsor (DT), destacando os valores extremos. Perde-se tambm mostrar o equilbrio dos

momentos fletores e torsores nos ns da grelha.

2 kN

2 kN

2 kN/m

2 kN

7

6

5

43

21

1 m

1 m

1 m

4 m

16

75

43

2


6/29

Clculo das reaes:

2 kN

2 kN

2 kN/m

2 kN

7

6

5

43

21

V2= 5.5 kN

V7= 5 kN

V4= 3.5 kN

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

kN5.5V0V5.352822:0V

kN5.3V015182V22:0M

kN5V042284V1212:0M

22

4421

7742

==+++=

==++=

==++=


-

-

-

+

+

+

+

2 kN

2 kN

3 kN

2 kN

1.5 kN

5 kN

3.5 kN2.5 m


7/29


-

-

-

+

-

+

+

2 kN.m

2.25 kN.m1.5 kN.m

2 kN.m

4 kN.m

3.5 kN.m

2 kN.m


+

-

+2 kN.m

2 kN.m

2 kN.m 0.0

0.0

0.0

Equilbrio no ns:

2

1.5

24

3.5

2

2

2

N 5

N 2, 4 e 7


8/29

3) Traar para a grelha dada abaixo os diagramas de momento fletor (DM), esforo cortante (DQ) e

momento fletor (DT), destacando os valores extremos. Pede-se tambm mostrar o equilbrio dos

momentos fletores e torsores nos ns da grelha.

4 kN

4 kN

2 kN/m

4 kN

7

65

4

3

21

2 m

1 m

2 m

4 m

1

6

7

5

43

2

Clculo das reaes:

4 kN

4 kN

2 kN/m

4 kN

7

65

43

21

V6= 6 kN

V4= 9 kN

V2 = 5 kN

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

kN5V0V964844:0V

kN9V04V26442844:0M

kN6V04V28441414:0M

22

4421

6642

==+++=

==++=

==++=


9/29


+

+

+

-

-

-

4 kN

2 kN

5 kN

4 kN6 kN

1 kN

4 kN

1 m


-

+

-

+

-

+

-

4 kN.m

8 kN.m

1 kN.m

8 kN.m

10 kN.m

2 kN.m

4 kN.m


- 8 kN.m

-

+

4 kN.m

4 kN.m

0.0

0.0

0.0


10/29

Equilbrio dos ns:

4 kN.m

4 kN.m

8 kN.m

10 kN.m

4 kN.m

2 kN.m4 kN.m

8 kN.m

4 kN.m

4 kN.m

8 kN.m

8 kN.m

4) Traar para o prtico isosttico dado abaixo os diagramas de esforo cortante (DQ) e momento fletor

(DM) mostrando todos os valores necessrios ao entendimento dos resultados. A seguir, usando o

Princpio dos Trabalhos Virtuais Complementar (PTVC), calcular o deslocamento vertical do n 2 (2).

Todas as barras tm a mesma rigidez a flexo, sendo EI = 104kN/m

2.

2 kN

2 kN/m

3 kN/m

2 m

2 m

2 m

6 m

1 7

6

54

3

2


11/29

Clculo das reaes de apoio:

2 kN

2 kN/m

3 kN/m

1 7

6

54

3

2

V1= 11 kN

V7= 9 kN

H7= 6 kNH1= 2 kN

M7= 12 kN.m

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )eM2

1H0M2H:0M

d54MV6H2

0M6V2H3182214:0M

kN2H0142H:0M

c66MV60M6V2221828:0M

b8HH0HH8:0H

a20VV0VV218:0V

7777inf6

777

777sup3

11inf3

77771

71717171

==+=

=++

=+++=

==+=

=+=+++=

=+==

=+=++=

Substituindo-se (e) em (d), (c), (a) e (b); chega-se a:

m.kN12M

kN6H

kN9V

kN2H

kN11V

7

7

7

1

1

=

=

=

=

=


12/29


-

+

-

+

-

+

2 kN

6 kN

9 kN

6 kN

9 kN

2 kN

3 m


-

+

--

+

-

+

-

1 kN.m

12 kN.m12 kN.m

4 kN.m

8 kN.m

12 kN.m

1.5 kN.m

12 kN.m

Deslocamento vertical no n 2: A estrutura com a carga virtual e as reaes verticais :

1 kN

1/3 kN4/3 kN


13/29

-

-

12

2

+

2

13.5

-

logo, o diagrama de momento fletor virtual ser:

-

0.0 0.0

2 kN.m

Fazendo as combinaes dos diagramas de momentos, tem-se:

( )( ) 44

10*3

1624*

10

2*

3

1 ==

( )( ) 44

10*72212*10

6*

2

1 ==

( )( ) 44

10*5425.13*10

6*

3

1 ==

logo:

2= 23.3*10-4

m

-

- 2

4


14/29

5) Traar para o prtico isosttico dado abaixo os diagramas de esforo cortante (DQ) e momento fletor

(DM), mostrando todos os valores necessrios ao entendimento dos resultados. a seguir, usando o

Princpio dos Trabahos virtuais Complementar, calcular o deslocamento vertical do n 2 (v2). Todas as

barras tm a mesma rigidez a flexo, sendo EI = 10-4

kN/m2.

2 kN

2 kN

3 kN/m

1 m

1 m

1 m

4 m

1 6

5

43

2

Clculo das reaes:

2 kN

2 kN

3 kN/m

1 6

5

43

2

V1= 9 kN M6= 2 kN.m

V6= 5 kN

H6= 2 kN

( )

( ) ( ) ( ) ( ) kN9V021252124V:0M

MH0M1H:0M

kN2H0H2:0H14VV0VV212:0V

11sup5

6666inf5

66

6161

==+++=

==+=

====+=++=


15/29

logo:

m.kN2M

kN2H

kN5V

kN9V

6

6

6

1

=

=

=

=


-

+

+

- -

2 kN

5 kN

7 kN

2 kN

2 kN


+

-

2 kN.m

--

-

-

+

2 kN.m

2 kN.m

6 kN.m

2 kN.m

4 kN.m

2.17 kN.m


16/29

-

-1 kN.m

2 kN.m6 kN.m

Deslocamento vertical do n 2:

A carga virtual, as reaes virtuais e o diagrama de momentos fletores virtuais so:

-

1 kN.m

1/4 kN

3/4 kN

1 kN

Combinando os diagramas reais e virtuais, tem-se:

( ) ( )[ ] 44

10*3

286221*

10

4*

6

1 =+=

( ) ( ) 44

10*861*10

4*

3

1 =+=

( )( ) 44

10*3

212*

10

1*

3

1 ==

-

-1 kN.m

2 kN.m

-

+6 kN.m

1 kN.m


17/29

logo:

2= 2*10-4

m

6) Calcular para o prtico isosttico dado abaixo, usando o PTVC e considerando apenas o efeito do

momento fletor, a rotao da tangente elstica no apoio 10. Todas as barras tm a mesma rigidez a

flexo, sendo EI=104kN/m

2.

2 m 2 m 2 m

2 m

2 m

2 m

2 kN.m

3 kN.m

2 kN/m

5

4

6

9

732

101

8

Clculo das reaes:

Dividindo as estrutura da forma:

2 kN.m

3 kN.m

2 kN/m

5

4

6

973

2

101

8

V6= 9.25

H6= 0.5

V10= 3.5

H10= 1.5

V1= 8.5

H1= 1.5

H6= 0.5

V6= 9.25

V2= 2.75

H2= 0.5

V2= 2.75

H2 = 0.5


18/29

Parte superior:

( )

( ) ( ) ( ) kN25.9V04V22

1312:0M

kN2

1H04H2:0M

0HH:0H

012VV:0V

66dir4

22esq4

62

62

==+=

==+=

==

=+=

logo:

kN25.9V

kN5.0H

kN75.2V

kN5.0H

6

6

2

2

=

=

=

=

Parte inferior:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kN5.8V025.14V675.2225.925.03:0M

kN5.1H02H3:0M

0HH:0H

025.975.2VV:0V

11esq9

1010dir9

101

101

==+++=

===

==

=+=

logo:

kN5.3V

kN5.1H

kN5.8V

kN5.1H

10

10

1

1

=

=

=

=


19/29


2.0kN.m

5.5kN.m

3 kN.m

1 kN.m

4 kN.m

5 kN.m

1.8kN.m

1 kN.m

4 kN.m

3 kN.m

8.5kN.m

3 kN.m

3 kN.m

-

-- -

-

--

+

-

-

++-

5 kN.m

1 kN.m

4 kN.m3 kN.m 4 kN.m

1 kN.m

5.5 kN.m

3 kN.m

8.5 kN.m

Rotao no apoio 10:

O momento virtual e as reaes virtuais so:

1 kN.m

5

6

9

732

101

8

0.50.25

0.5

0.25


20/29


21/29

-

-

+4.0 kN.m

3.0 kN.m

0.5 kN.m

4.0 kN.m

3.0 kN.m

+

-

+=

( ) ( )EI3

4

EI2

1

2

14*

EI

2*

3

13

2

1*

EI

2*

6

1+=

+

=

logo, a rotao no n 10 ser:

rad10*67.1EI3

4

EI2

1

EI

1 510

=+=

7) Classificar a estrutura dada abaixo, mostrando claramente as restries e, usando a numerao dos

ns fornecida, traar os diagramas de normal, cortante e momento fletor, mostrando todos os valores

necessrios ao completo entendimento dos resultados.

2 kN/m

4 kN.m

3 kN

2 m

2 m

2 m 2 m4 m2 m

1

9876

543

2

10

ISOR6

LG6


22/29

Clculo das reaes:

2 kN/m

4 kN.m

3 kN

1

9876

543

2

10H1

V1V10

H10

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0H2V04H2V144:0M

9HV04H4V312:0M

3HH0HH3:0H16VV0VV16:0V

1111esq7

10101010dir7

101101

101101

=+=++=

==+=

==+==+=++=

Resolvendo as equaes, chega-se a:

kN33.4H

kN33.13VkN33.1H

kN67.2V

10

10

1

1

=

==

=

Diagrama de esforo normal:

0.0

0.0

0.0

-4.33 kN

-2.67 kN

-2.67 kN

-3 kN-13.3 kN


23/29


-

++

+

+

--

3 kN

4 kN

4.33 kN

9.33 kN

2.67 kN

4.33 kN

0.0

1.33 kN

0.0

1.34 m


+

--

-

+

-

+

-

7.33 kN.m6 kN.m

6 kN.m

2.67 kN.m

4 kN.m

21.32 kN.m

0.44 kN.m

1.34 kN.m

1.34 kN.m

4 kN.m

17.32 kN.m

-

7.33 kN.m

6.0 kN.m

2.67 kN.m

4.0 kN.m


24/29

8) Classificar a estrutura dada abaixo e, usando a numerao dos ns fornecida, traar os diagramas de

normal, cortante e momento f;etor, mostrando todos os valores necessrios ao completo entendimento

dos resultados.

2 kN/m

2 kN

1 kN

2 m

2 m

2 m 2 m3 m2 m

1

9

76

543

2

11

108

1 m

2 kN.m

Clculo das reaes:

2 kN/m

2 kN

1 kN

1

9

76

543

2

11

108

2 kN.m

V1= 12 kN

H11= 1 kN

V11= 7 kN

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) kN7V0412415V5.210:0M

kN1T0224T:0M

12VV0VV102:0V

kN1H0H1:0H

1111dir6

111111inf6

111111

1111

==+=

===

=+=++=

==+=


25/29

logo:

kN1T

kN7V

kN1H

kN5V

111

11

11

1

=

=

=

=

Reaes internas na trelia do prtico:

9

7

108

2 kN.mH8= 1kN

V7= 1kN

V8= 1 kN

H7= 1 kN

( )

( ) ( ) kN1VkN1V0212V:0M

kN1HkN1H02H2:0M

0VV:0H

0HH:0H

877sup9

8778

87

87

===+=

===+=

==

=+=

logo:

2 kN.m

2 kN

1 kN

1 kN

1 kN

1 kN1 kN

1 kN1 kN

7 kN

1 kN1 kN

5 kN

1 kN

1 kN

-1 kN

1 kN


26/29

Diagrama de esforo normal:

0.0

-1 kN

-5 kN

0.0-1 kN

-1.41 kN

0.0

-8 kN-3 kN

-2 kN

+1 kN

-7 kN


+

2 kN

+

-

-

-

-

-

+

+

1 kN

3 kN

7 kN

3 kN

2 kN

2 kN

1 kN

1 kN

0.0


4 kN.m

-

-

-

+

-

+

-

+

+

2 kN.m

10 kN.m

10 kN.m

2.25 kN

4 kN.m

4 kN.m

2 kN.m

2 kN.m

2 kN.m

4 kN.m

2 kN.m

4 kN.m

2 kN.m


27/29

9) Para a estrutura dada abaixo pede-se identificar as barras que esto submetidas apenas a esforo

normal e as barras que podem ter, alm do normal, cortante e momento fletor. A seguir, traar os

diagramas de momento fletor e esforo cortante, explicitando todos os valores necessrios completa

compreenso dos mesmos, e mostrar a distribuio do esforo normal nas barras da estrutura.

Determinar tambm o nmero de graus de liberdade e o nmero de restries.

1 m 2 m 2 m

2 m

2 m

1 m 2 m

4 kN/m

9

87654

32

110

ISOR27

LG27

Clculo das reaes:

4 kN/m

9

87654

32

1

10

H1

V1 H10

V10

M10

V9

H9

V9

H9


28/29

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0VV32:0V

0HH:0H

64HV302H6V432:0M

16HV02H2V216:0M

91

91

99991

9999dir6

=++=

==

=+=++=

==+=

resolvendo resulta em:

kN20V

kN4H

kN12V

kN4H

9

9

1

1

=

=

=

=

Na barra 9 10:

( ) 0M24:0M

0H4:0H0V20:0V

109

10

10

=+=

===+=

logo:

m.kN8M

kN4H

kN20V

10

10

10

=

=

=

Clculo das barras submetidas a fora axial:

9

87654

32

110

12 kN

4 kN4 kN

20 kN

8 kN.m

-4 kN -8.9 kN

0

-4 kN0

-8.9 kN

0 -4.0 kN 0

-20.0 kN

-20.0 kn

-4.0 kN


29/29


-

+

+

++

-

4 kN

8 kN

4 kN

4 kN

4 kN

12 kN


2 kN.m

8 kN.m

8 kN.m

16 kN.m

2 kN.m

8 kN.m+

+

-

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exercicios resolvidos lista 4

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