Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNICA I

Recurso – 22/07/2002

NOME: ___________________________________________________________________________

1) (3 VAL.)

a) O que é um mecanismo? Refira as condições de ligação deste tipo de sistema.

Um mecanismo é um sistema hipoestático, isto é, um sistema em que o número de ligações

independentes é inferior ao número de equações de equilíbrio estático. ________________________________________________________________________________

b) Diga quais as condições a que um sistema articulado plano deve obedecer para ser considerado internamente isostático.

Um sistema articulado plano é internamente isostático se: i) for um sistema rígido,

nomeadamente, se for formado por triângulos indeformáveis com um lado comum; e, ii) o

número de barras, b, e o número de nós, n, observarem a seguinte condição: b=2·n-3. ________________________________________________________________________________

c) Que tipos de atrito seco conhece. Diga numa frase em que consistem.

Os tipos de atrito seco são: atrito de escorregamento e atrito de rolamento. O atrito seco é

gerado entre corpos rígidos que estão em contacto ao longo de superfícies não lubrificadas,

ocorrendo escorregamento quando há deslizamento de uma superfície sobre a outra e

rolamento quando uma peça tem tendência a rolar sobre a outra. ________________________________________________________________________________

d) Considere o cabo, ilustrado na figura, com os apoios A e B ao mesmo nível e submetido à carga triangular. Determine a equação da geometria do cabo em relação ao sistema de eixos Oxy.

Considerando o troço entre os pontos O e C,

a resultante, P, da carga vertical aplicada

entre esses pontos é: P = 1/2·x·w(x) =

1/2·x·(2·p·x/L) = p·x2/L. Escrevendo a equa-

ção de equilíbrio de momentos em C:

ΣMC = 0 ⇒ -T0·y + 1/3·x·P = 0, substituindo o valor de P pela expressão anterior vem:

1/3·x·(p·x2/L) - T0·y = 0 ⇒ y = p·x3/(3·L·T0). Esta expressão é válida para valores de x ≥ 0,

por simetria, obtém-se, para x < 0, a equação da geometria do cabo como sendo:

y = -p·x3/(3·L·T0).

A B

y

xO

L/2 L/2

p p

C

w(x)=2px/LP

CO

x/3

x

Tc

TcTo y

2 ) RESOLUÇÃO

a) Sabendo que α = 350 (ângulo da tangente ao cabo no ponto A com a horizontal):

i. Calcule o esforço do cabo nos pontos A e B;

Considerando apenas o troço de cabo entre os pontos A e B: 4,0

α

B

20,0

A

20 kN/m

VA

HA

TA

VB

HB

TB

Temos três equações de equilíbrio global:

⋅=⋅+⋅⋅=+

=

⇔

===

∑∑∑

104004202020

000

VBVAVBVA

HBHA

mFF

A

Y

x

A estas três equações de equilíbrio podemos juntar uma quarta que nos garante que o reacção em A faz um ângulo α com a horizontal (o esforço do cabo tem sempre a direcção da sua tangente):

)35tan(=HAVA

Ficamos assim com sistema de três equações a três incógnitas que nos dá:

=+==+=⇔

====

kNVBHBTBkNVAHATA

kNVBkNHBkNVAkNHA

3.3302.271

4.2442.2226.1552.222

22

22

ii. Calcule o esforço máximo e mínimo do cabo;

O esforço máximo ocorre no ponto do cabo onde o ângulo da sua tangente com a horizontal é máximo, neste caso corresponde ao ponto B:

TBTmáx =

O esforço mínimo ocorre no ponto do cabo onde o ângulo da sua tangente com a horizontal é mínimo, neste caso o ângulo mínimo é zero pelo que o esforço apenas tem componente horizontal, logo:

kNHBHATT 2.2220min ====

b) Sabendo que o bloco pesa 200 kN e β = 200:

i. Considerando o ângulo de atrito igual a 200 (µ=0.364) determine F (perpendicular ao

plano inclinado) necessária para garantir o equilíbrio do bloco quando o cabo esta

sujeito ao carregamento representado na figura.

As forças que actuam no bloco são:

β

F

VB

HB

P=200 kN

FaN

y

x

Fazendo o equilibro segundo as direcções do sistema de eixos representado na figura vêm:

=+=

⇔

⇔

⋅+⋅+⋅=+⋅−⋅+⋅=

⇔

==

∑∑

78.36064.341

)20sin(200)20sin(4.244)20cos(2.222)20sin(2.222)20cos(4.244)20cos(200

00

FaFN

FaFN

FF

Y

x

Como:

kNFFNFa 77.657)64.341(364.078.360 =⇔+⋅=⇔⋅= µ

Logo para garantir o equilíbrio do bloco é necessário aplicar pelo menos uma força de 658kN.

Sandra Nunes Julho 2002 1/3

EXERCÍCIO 4

a) Analisando o sistema de forças que actua nos nós C, F e D, e estabelecendo o equilíbrio de cada um deles é possível determinar os esforços nas barras [DB] e [DG].

CNCD

NCB

−=

⇒

=

=

∑∑

...................)(100

0

0 compressãokNNF

F CD

y

x

F

NFG

NDF

=

⇒

=

=

∑∑

...................0

0

0 kNNF

F DF

y

x

D

100 kN

NDB NDG

θ

cosθ=0.8senθ=0.6

=−=

⇒

=⋅−⋅−=⋅+⋅−

⇒

=

=

∑∑

)(5.62)(5.62

00coscos100

0

0

tracçãokNNcompressãokNN

senNsenNNN

F

F

DB

DG

DGDB

DGDB

y

x

θθθθ

b) i) Considere-se o corte S-S’,

E

S

B

A

S'

G

H

CD

F

Sandra Nunes Julho 2002 2/3

B G

CD

F

NBE NEG

NGHNBA

a parte superior encontra-se em equilíbrio logo:

)(5.6203100810080 compressãokNNNm ABABG −=⇒=⋅−⋅+⋅⇒=∑

c) Retirando a ligação vertical da estrutura no apoio A, e aplicando aí a correspondente componente da reacção total, pode efectuar-se a seguinte deformação virtual, compatível com as restantes ligações.

E

A

B

H=CIR

G

CD

F

δ

VA

Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais (PTV) vem,

)(256100810080 ↑=⇒⋅−⋅+⋅−⇒=∑ kNVVW AA δδδ

Verificação: ..)(256100810080 KOkNVVm AAH ↑=⇒⋅−⋅+⋅−⇒=∑

Sandra Nunes Julho 2002 3/3

ii) Desligando a estrutura na rótula D, e aplicando aí as componentes da força de interacção entre ambas as partes, pode realizar-se a seguinte deformação virtual, compatível com as restantes ligações.

EB=CIR[BCD]

A

G=CIR[GDF]

H

C D F

δ θ

VD

VD

HD

HD

Aplicando o PTV ao corpo [BCD] vem:

3004304331000 =+⇒=⋅+⋅+⋅−⇒=∑ DDDD VHVHW δδδ

Aplicando o PTV a corpo [DFG] vem:

0430430 =−⇒=⋅−⋅⇒=∑ DDDD VHVHW θθ

juntando as equações anteriores obtêm-se o valor das componentes da força de interacção em D,

[ ]BCDcorponoaplicadaskNHkNV

VHVH

D

D

DD

DD ,)(0.50)(5.37

04330043

←=↑=

⇒

=−=+

Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNICA I

Recurso – 22/07/2002

NOME: ___________________________________________________________________________

Não esqueça de escrever o

nome Assinale nas quadrículas verdadeiro V ou falso F .

Nota: Poderão existir mais do que uma resposta verdadeiras ou nenhuma

a) V O momento de um vector em relação a um ponto do espaço permanece constante quando

se desloca por equipolência esse vector ao longo da sua recta de suporte. V Num campo de momentos as projecções dos momentos em dois pontos quaisquer do

espaço sobre a recta que os une são sempre iguais. V O eixo central é o lugar geométrico dos pontos do espaço onde o momento de um torsor é

mínimo.

b) Considere a barra [ABC] quebrada em B e apoiada em A, B e C. F Trata-se de um sistema

isostático. V Se a força F2 é não nula, o

sistema não se encontra em equilíbrio.

V Se a força F2 é nula (isto é, só existe uma força aplicada, F1), então a intensidade da reacção em B é igual a F1.

V Se a força F1 é nula (isto é, só existe uma força aplicada, F2), então as componentes horizontais das reacções em A e C têm igual intensidade.

c) Considere a viga simplesmente apoiada submetida às duas forças representadas na Figura:

2.00 2.00 2.00

2.00

M

V O sistema de forças aplicadas é redutível a resultante aplicada num ponto do eixo central; F A utilização do método do polígono funicular na determinação das reacções de apoio exige

que, no seu traçado, o polígono funicular passe por B; V É condição necessária e suficiente para o equilíbrio da viga que o polígono funicular seja

fechado e passe pelos pontos A e B.

A

B

C

F1F2

L

L

L45o 45o

A

B

d)

Figura 1 Figura 2 Figura 3

V O sistema estrutural representado na Figura 1 pode ser idealizado como um arco de três

rótulas; F O sistema estrutural representado na Figura 2 pode ser idealizado como uma viga Gerber; V O sistema estrutural representado na Figura 3 é hiperestático.

e) Considere o sistema articulado representado na Figura:

F O esforço axial é nulo nas barras GH, HI e IJ;

V O esforço axial na barra BI vale 55 e é de compressão;

V As barras CG e BI estão comprimidas, enquanto que as barras BG e AI estão traccionadas.

f) Considere a viga simplesmente apoiada representada na Figura e uma deformada virtual, representada a tracejado:

2.00 2.00 2.00

2.00

M

V O Princípio dos Trabalhos Virtuais pressupõe a aplicação a corpos rígidos. V A deformada virtual representada na Figura permite avaliar a componente vertical da

reacção de apoio em B; V O trabalho virtual de deformação realizado pelo momento M na deformação virtual

representada vale ( δθM− ).

2.00

1.00

2.00

1.00

1.00

1.00

1010 10

A

B

C

D E

F

I

G

H

J

θδA

B