Álgebra linear aula 01 - wordpress.comteoria matriz retangular ≠ 1 2 matriz-coluna 1 2 ⋯...
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Álgebra Linear
Aula 01
Prof. Gabriel Bádue
Apresentação
Matrizes
Apresentação
Apresentação
Apresentação
Apresentação
Terças
10h às 11h
18 às 19h
https://gabrielbadue.com/
Apresentação
Frequência
Avaliação
75%
NF = (AB1 + AB2)/2
AB1 = P1 + P2
AB2 = P3 + P4
Reavaliação
Prova Final
P1: 05/12
P2: 06/02
P3: 13/03
P4: 03/04
Reavaliação: 10/04
Prova Final: 17/04
Matrizes
Motivação
Teoria
Exemplos
Aplicação
Motivação
Para que servem matrizes?
Teoria
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛𝑎31⋮
𝑎𝑚1
𝑎32⋮
𝑎𝑚2
𝑎33 ⋯ 𝑎3𝑛⋮
𝑎𝑚3
⋱⋯
⋮𝑎𝑚𝑛
m linhas
n colunas
Ordem
m x n
𝑎𝑖𝑗, linha i e coluna j
𝐴𝑚x𝑛 = 𝑎𝑖𝑗 , com i variando de 1 a m e j de 1 a n
Teoria
Matriz Retangular𝑚 ≠ 𝑛
𝑎1𝑎2⋮𝑎𝑛
matriz-coluna
𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛
matriz-linha
Matriz Quadrada𝑚 = 𝑛
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛𝑎31⋮⋮
𝑎𝑛1
𝑎32⋮⋮
𝑎𝑛2
𝑎33 ⋯ 𝑎3𝑛⋮⋮
𝑎𝑛3
⋯⋯⋯
⋮⋮
𝑎𝑛𝑛
Diagonal principalDiagonal secundária
Teoria
𝐴 =
𝑎11 0 0 ⋯ 00 𝑎22 0 ⋯ 00⋮⋮0
0⋮⋮0
𝑎33 ⋯ 0
⋮⋮0
⋯⋯⋯
⋮⋮
𝑎𝑛𝑛
Matriz Diagonal
Matriz Escalar
Matriz Identidade
𝐴 =
𝑥 0 0 00 𝑥 0 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 𝑥
𝐴 =
1 0 0 00 1 0 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 1
TeoriaMatriz Nula, 0 = 𝑎𝑖𝑗 , 𝑎𝑖𝑗 = 0, ∀𝑖, 𝑗
𝐴 = 𝐵 se, e somente se, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗
Se 𝐴 + 𝐵 = 𝐶, então 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 = 𝑐𝑖𝑗 (as matrizes são de mesma ordem)
Propriedades da Adição
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
𝐴 + 0 = 0 + 𝐴 = 𝐴
−𝐴 + 𝐴 = 𝐴 − 𝐴 = 0
𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
Teoria Se 𝛼 é um escalar, 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 e 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 são matrizes, α𝐴 = 𝐵 se, e
somente se, 𝑏𝑖𝑗 = 𝛼𝑎𝑖𝑗.
Propriedades da Multiplicação
de uma Matriz por um Escalar
(𝛼𝛽)𝐴 = 𝛼 𝛽𝐴
𝛼 + 𝛽 𝐴 = 𝛼𝐴 + 𝛽𝐴
𝛼 𝐴 + 𝐵 = 𝛼𝐴 + 𝛼𝐵
1𝐴 = 𝐴
TeoriaO produto das matrizes 𝐴𝑚x𝑛 e 𝐵𝑝x𝑞 existe se, e somente se, 𝑛 = 𝑝.
Se 𝐶 = 𝐴𝐵, cada elemento 𝑐𝑖𝑗 é obtido pelo produto da linha 𝑖 de 𝐴
pela coluna 𝑗 de 𝐵.
Propriedades da Multiplicação de Matrizes
Dadas as matrizes 𝐴𝑚x𝑛, 𝐵𝑛x𝑝, 𝐶𝑝x𝑟, então: 𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴 𝐵𝐶
Dadas as matrizes 𝐴𝑚x𝑛, 𝐵𝑚x𝑛, 𝐶𝑛x𝑝, então: 𝐴 + 𝐵 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶
Dadas as matrizes 𝐴𝑛x𝑝, 𝐵𝑛x𝑝, 𝐶𝑚x𝑛, então: C 𝐴 + 𝐵 = 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵
Se 𝐴𝑚x𝑛, tem-se: 𝐼𝑚𝐴 = 𝐴𝐼𝑛 = 𝐴
Dadas as matrizes 𝐴𝑚x𝑛 e 𝐵𝑛x𝑝, ∀𝛼: 𝛼𝐴 𝐵 = 𝐴 𝛼𝐵 = 𝛼(𝐴𝐵)
Em geral, a multiplicação matricial não é comutativa
𝐴𝐵 = 𝐼 = 𝐵𝐴
𝑩 é inversa de 𝑨
Exemplos
Exemplo 1
Calcular os valores de m e n para que as matrizes A e B sejam iguais.
𝐴 =8 15𝑛
12 +𝑚 3𝐵 =
8 756 3
Exemplos
Exemplo 2
Dadas as matrizes a seguir, calcular:
a) A + B
b) A – C
c) 4A – 3B + 5C𝐴 =
2 3 84 −1 −6
, 𝐵 =5 −7 −90 4 1
, 𝐶 =0 9 81 4 6
Exemplos
Exemplo 3
Dadas as matrizes a seguir, calcular:
a) AB
b) (BA)C
𝐴 =
1 −23 17 −45 9
, 𝐵 =1 3 −5 −76 2 −8 3
, 𝐶 =2 4−3 5
Exemplos
Exemplo 4
Calcular m e n para que B seja inversa de A.
𝐴 =𝑚 −22−2 𝑛
, 𝐵 =5 222 9
Teoria
Propriedades da Matriz Transposta
(𝐴 + 𝐵)𝑇= 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇
(𝛼𝐴)𝑇= 𝛼𝐴𝑇
𝐴𝑇 𝑇 = 𝐴
𝐴𝐵 𝑇 = 𝐵𝑇𝐴𝑇
𝐴 =𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝐴𝑇 =
𝑎11 𝑎21𝑎12 𝑎22𝑎13 𝑎23
Uma matriz quadrada é simétrica se 𝑆𝑇 = 𝑆
𝑆 =1 5 95 3 89 8 7
Uma matriz quadrada é anti-simétrica se 𝐴𝑇 = −𝐴
TeoriaUma matriz M é ortogonal se, e somente se, 𝑀−1 = 𝑀𝑇.
𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 é uma matriz triangular superior se, e somente se, 𝑎𝑖𝑗 = 0 para 𝑖 > 𝑗.
𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 é uma matriz triangular inferior se, e somente se, 𝑎𝑖𝑗 = 0 para 𝑖 < 𝑗.
𝐴 =1 2 30 4 50 0 6
𝐴 =1 0 02 4 03 5 6
Teoria
𝐴𝑛 = 𝐴𝐴𝐴…𝐴
n vezes
Uma matriz quadrada A é periódica se 𝐴𝑛 = 𝐴, n ≥ 2. Seu período é 𝑛 − 1.
𝐴2 = 𝐴, 𝐴 é uma matriz idempotente.
𝐴𝑝 = 0, 𝐴 é uma matriz nihilpotente de índice p.
Exemplos
Exemplo 5
Calcular 𝐴𝐵 𝑇 , 𝐹2 e 𝐻3.
𝐴 =
5 0 6−8 0 3−2 2 71 −1 −5
, 𝐵 =1 −3 −2 47 8 5 90 6 3 −8
, 𝐹 =6 9−4 −6
,𝐻 =
−1
2−5
21
−1
2−1
1
2
−3
2−3
3
2
Aplicação
Matrizes e criptografia
Fonte: https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96804/Cristini_Kuerten.PDF?sequence=1
Aplicação
Matrizes e criptografia
Fonte: https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96804/Cristini_Kuerten.PDF?sequence=1
Aplicação
Matrizes e criptografia
Fonte: https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96804/Cristini_Kuerten.PDF?sequence=1
Mãos a obra....
Suponha que a mensagem a ser codificada é “PLANO EM AÇÃO”, qual é amensagem codificada a ser transmitida?