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Leis de Kirchoff

1. (Ita 2013) Considere o circuito elétrico mostrado na figura formado por quatro resistores de

mesma resistência, R 10 , e dois geradores ideais cujas respectivas forças eletromotrizes

são 1 30 Vε e 2 10 V.ε Pode-se afirmar que as correntes i1, i2, i3 e i4 nos trechos indicados

na figura, em ampères, são respectivamente de

a) 2, 2/3, 5/3 e 4. b) 7/3, 2/3, 5/3 e 4. c) 4, 4/3, 2/3 e 2. d) 2, 4/3, 7/3 e 5/3. e) 2, 2/3, 4/3 e 4. 2. (Uel 2011) Um circuito de malha dupla é apresentado na figura a seguir.

Sabendo-se que R1 = 10Ł, R2 = 15Ł, 1ε = 12V e 2ε = 10V , o valor da corrente i é:

a) 10 A b) 10 mA c) 1 A d) 0,7 A e) 0,4 A


3. (Ufpr 2011) A figura mostra um circuito formado por uma fonte de força eletromotriz e cinco

resistores. São dados: ε = 36 V, R1 = 2 , R2 = 4 , R3 = 2 , R4 = 4 e R5 = 2 .

Com base nessas informações determine: a) A corrente elétrica que passa em cada um dos resistores. b) A resistência equivalente do circuito formado pelos resistores R1 a R5. 4. (Ufrj 2010) Um estudante dispunha de duas baterias comerciais de mesma resistência

interna de 0,10 Ù, mas verificou, por meio de um voltímetro ideal, que uma delas tinha força

eletromotriz de 12 Volts e a outra, de 11Volts. A fim de avaliar se deveria conectar em paralelo

as baterias para montar uma fonte de tensão, ele desenhou o circuito indicado na figura a

seguir e calculou a corrente i que passaria pelas baterias desse circuito.

a) Calcule o valor encontrado pelo estudante para a corrente i.

b) Calcule a diferença de potencial VA − VB entre os pontos A e B indicados no circuito.


5. (Ueg 2009) O esquema representa uma rede de distribuição de energia elétrica que consta

de:

- geradores G1 e G2 de fem E1 = E2 = å e resistências internas r1 = r2 = R;

- motor M de fcem E3=3

10

ε e resistência interna r3 = 2R;

- resistores de resistências internas R1 = R2 = R; R3 = 6R e R4 = 2R.

Tendo em vista as informações, responda ao que se pede.

a) Obtenha a equação matricial que permite calcular as correntes i1 e i2.

b) Sendo R = 0,5 Ω e = 20 V, calcule as correntes i1, i2 e i3. 6. (Ufc 2008) Considere o circuito da figura a seguir.

a) Utilize as leis de Kirchhoff para encontrar as correntes I1, I2, I3

b) Encontre a diferença de potencial VA - VB .


TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Constantes físicas necessárias para a solução dos problemas:

aceleração da gravidade: 10 m/s2

constante de Planck: 346,6 10 J s

7. (Ufpe 2007) Calcule o potencial elétrico no ponto A, em volts, considerando que as baterias

têm resistências internas desprezíveis e que o potencial no ponto B é igual a 15 volts.

8. (Uem 2004) Relativamente ao circuito elétrico representado na figura a seguir, assuma que

R1 2 3 1 = 240,0 mV e 100,0 = 2ו mV. Assinale o que for correto.

01) No nó b, i2 = i1 - i3. 02) A corrente elétrica i2 que atravessa o resistor R2 é menor do que a corrente i3 que atravessa

o resistor R3. 04) O valor da potência elétrica fornecida ao circuito pelo dispositivo de força-eletromotriz å1 é

2,88 mW. 08) Aplicando a Lei das Malhas (de Kirchhoff) à malha externa 'abcda' do circuito, obtém-se a

equação å1 + å2 = R1i1 + R3i3. 16) A diferença de potencial elétrico Vb - Vd entre os pontos b e d do circuito vale 150,0 mV. 32) A potência dissipada no resistor R2 vale 1,50 mW. 64) O valor da potência elétrica dissipada pelo dispositivo de força-contra-eletromotriz å2‚ é

0,40 mW.


9. (Puccamp 2002) No circuito elétrico representado no esquema a seguir, as fontes de tensão

de 12 V e de 6 V são ideais; os dois resistores de 12 ohms, R1 e R2, são idênticos; os fios de

ligação têm resistência desprezível.

Nesse circuito, a intensidade de corrente elétrica em R1 é igual a

a) 0,50 A no sentido de X para Y. b) 0,50 A no sentido de Y para X. c) 0,75 A no sentido de X para Y. d) 1,0 A no sentido de X para Y. e) 1,0 A no sentido de Y ara X. 10. (Mackenzie 2001) No circuito a seguir, onde os geradores elétricos são ideais, verifica-se

que, ao mantermos a chave k aberta, a intensidade de corrente assinalada pelo amperímetro

ideal A é i=1A. Ao fecharmos essa chave k, o mesmo amperímetro assinalará uma intensidade

de corrente igual a:

a) 2

3 i

b) i

c) 5

3 i

d) 7

3 i

e) 10

3 i


11. (Ufrrj 1999) Na figura a seguir observa-se um circuito elétrico com dois geradores (E1 e E2)

e alguns resistores.

Utilizando a 1a lei de Kircchoff ou lei dos nós, pode-se afirmar que

a) i1 = i2 - i3 b) i2 + i4 = i5 c) i4 + i7 = i6 d) i2 + i3 = i1. e) i1 + i4 + i6 = 0. 12. (Mackenzie 1998)

No circuito anterior, os geradores são ideais. A d.d.p entre os pontos A e B é:

a) zero b) 6,0 V c) 12 V d) 18 V e) 36 V


13. (Fuvest-gv 1991) No circuito esquematizado a seguir, o amperímetro acusa uma corrente

de 30 mA.

a) Qual o valor da força eletromotriz fornecida pela fonte E?

b) Qual o valor da corrente que o amperímetro passa a registrar quando a chave k é fechada?


Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Redesenhando o circuito, já com os dados.

Aplicando as leis Kirchoff: Nó D:

1 2 3i i i I

Malha CDBC:

1 2 1 210 i 10 i 30 0 i i 3 II .

(I) em (II):

2 3 2 2 3i i i 3 2 i i 3 III .

Malha ABCDA:

2 3 2 310 i 10 i 10 0 i i 1 IV .

Somando (III) e (IV):

2 32 2

2 3

2 i i 3 III 2 3 i 2 i A.

3i i 1 IV

Substituindo em (IV):

2 3 3 32 5

i 1 i 1 i i .3 3

Malha CABC:

4 4 410 i 10 30 0 10 i 40 i 4 A.

Voltando em (I):

1 2 3 1 12 5 7

i i i i i A.3 3 3


Resposta da questão 2:

[E]

Dados: R1 = 10 , R2 = 15 , 1ε = 12 V e 2ε = 10 V

Apliquemos as leis de Kirchoff. – Malha abcdefa:

2 1 2 12 R R i R i i' 20 10 15 i 10 i i' 20 10i 15i 10i 10i'

20 35i 10i'

(I)

– Malha defgd:

1 2 1 2R i i' R i' 12 10 10 i i' 15i' 22 10i 10i' 15i'

22 10i 25i'

(II)

Multiplicando a equação (I) por -2,5 e montando o sistema:

50 87,5i 25i' 28 77,5i i 0,36 A.

22 10i 25i'


Dados: ε = 36 V, R1 = 2 , R2 = 4 , R3 = 2 , R4 = 4 e R5 = 2 .

1ª Resolução: a) Como R1 = R5 e R2 = R4, o circuito apresenta simetria, ou seja: i1 = i5 e i2 = i4. Assim, podemos transformar o circuito da Fig. 1 no circuito da Fig. 2, fazendo: i1 = i5 = x; i2 = i4 = y; i3 = z.


Aplicando a lei dos nós em B:

x = y + z z = x – y (I).

Aplicando a lei das malhas:

Malha MABCNM R1 x + R2 y – = 0 2 x + 4 y = 36 (II).

Malha ABEFA R1 X + R3 z – R4 y = 0 2 x + 2 z – 4 y = 0 (III).

Substituindo (I) em (III):

2 x + 2(x – y) – 4 y = 0 2 x + 2 x – 2 y – 4 y = 0 4 x – 6 y = 0 -2 x + 3 y = 0 (IV). Montando o sistema com (II) e (IV) e somando:

2 x 4 y 36 36 7 y 36 y

2x 3 y 0 7

.

Substituindo em (II):

36 144 108 54

2 x 4 36 2 x 36 x x .7 7 14 7

Em (I):

54 36 18

z x y z .7 7 7

Assim:

i1 = i5 = x = 54

7A;

i2 = i4 = y = 36

7A;

i3 = z = 18

7A.

b) a corrente total é:

36 54 90

i x y i A.7 7 7

Aplicando a lei de Ohm-Pouillet ao circuito:

eq eq eq

36R i R R 2,8 .

90i7


2ª Resolução

Aplicando a lei dos nós:

2 5

2 5 1 4

1 4

Nó : i i i i i i i

Nó : i i i

C

A(I).

Aplicando a lei das malhas na Fig.1:

Malha MABCNM R1 i1 + R2 i2 – = 0 2 i1 + 4 i2 = 36

i1 + 2 i2 = 18 (II).

Malha MAFEDCNM R4 i4 + R5 i5 – = 0 4 i4 + 2 i5 = 36

2 i4 + i5 = 18 (III).

Igualando (II) e (III): i1 + 2 i2 = 2 i4 + i5 (IV). Montando o sistema com (I) e (IV):

2 5 1 4

2 5 1 4

1 52 5 1 42 5 1 4

2 4

i i i ii i i i

i i .2 i i i 2 i2 i i i 2 i

i = i

A partir dessa conclusão, recaímos na 1ª solução fazendo: i1 = i5 = x; i2 = i4 = y; i3 = z. Resposta da questão 4:

Dados: A bateria de B1 funciona como gerador (força eletromotriz: E = 12 V) e a bateria de B2

funciona como receptor (força contraeletromotriz: E’ = 11 V). Ambas as resistências internas

valem r = 0,10 .

a) O sentido da corrente é mostrado na figura a seguir.

Aplicando a lei das malhas a esse circuito de malha única, percorrendo-a no sentido da

corrente, temos:

E – r i – E' – r i = 0 12 – 0,1 i – 11 – 0,1 i = 0 0,2 i = 1

i = 5,0 A.

b) Indo do ponto A para o ponto B, no sentido da corrente:

VA – E’ – r i = VB VA – VB = E’ + r i VA – VB = 11 + 0,1(5)

VA – VB = 11,5 V.



a) Os dados já estão colocados na figura a seguir.

Apliquemos as leis de Kirchoff ao circuito.

1ª Lei Lei dos nós.

Nó B: i3 =

i1 + i2.

2ª Lei Lei das malhas.

Malha da esquerda (ABEFA), a partir do ponto A, no sentido horário.

R i1 – R i2 + – R i2 + 2 R i1 – + R i1 = 0. Fazendo os cancelamentos, vem:

i1 – i2 – i2 + 2 i1 + i1 = 0 4 i1 – 2 i2 = 0

2 i1 – i2 = 0 (equação I).

Malha da direita (BCDEB), a partir do ponto B, no sentido horário.

6 R (i1 + i2) +3

10 + 2 R (i1 + i2) + R i2 – + R i2 = 0

6 R i1 + 6 R i2 + 2 R i1 + 2 R i2 + R i2 + R i2 +3

10 – = 0. Simplificando, vem:

8 R i1 + 10 R i2 = 7

10 (equação II).

Montando o sistema com as equações (I) e (II):

1 2

1 2

2i i 0

78Ri 10Ri

10

Colocando na forma matricial:

1

2

0i2 1

7i8R 10R

10

ε

b) Dados: R = 0,5 Ω e = 20 V. Substituindo esses valores nas equações (I) e (II), o sistema

torna-se:


1 2

1 2

2i i 0 (I)

4i 5i 14 (II) Multiplicando a equação (I) por 5

1 2

1 2

10i 5i 0

4i 5i 14 Somando membro a

membro:

14 i1 = 14 i1 = 1 A.

Substituindo em (II):

4 (1) + 5 i2 = 14 5 i2 = 10 i2 = 2 A.

Como i3 = i1 + i2 i3 = 3 A. Resposta da questão 6:

a) I1 = 1A;

I2 = 0,5 A;

I3 = 1,5 A .

b) VA - VB = 8 V Resposta da questão 7:

VA = 5,0 V Resposta da questão 8:

1 + 4 + 64 = 69 Resolução: Vamos resolver o circuito na íntegra e depois veremos as afirmativas.

Lei dos nós em b: chegam saem 1 2 3(i) (i) i i i (eq 01)

Lei das malhas em abdxa:

1 1 2 2 1R i R i 0 1 210i 15i 240 (eq 02)

Lei das malhas em bcydb:

3 3 2 2 2R i R i 0 3 25i 100 15i 0 2 315i 5i 100 (eq 03)

Substituindo 01 em 02,vem:

2 3 210(i i ) 15i 240 2 325i 10i 240 (eq 04)

Fazendo ((eq 03) x 2) + eq 04, vem:

2 255i 440 i 8,0mA (eq 05)

Substituindo 05 em 04, vem:

3 3 325 8 10i 240 10i 40 i 4,0A

Voltando à Lei dos nós, temos:

1 2 3 1i i i i 8 4 12mA


01) No nó b, i2 = i1 - i3.

Certa. Observando a eq 01 concluímos.

02) A corrente elétrica i2 que atravessa o resistor R2 é menor do que a corrente i3 que atravessa

o resistor R3.

Errada: 2i 8,0mA e

3i 4,0mA

04) O valor da potência elétrica fornecida ao circuito pelo dispositivo de força-eletromotriz ε1 é

2,88 mW.

Certa: 1 1 1P i 240 12 2880 W 2,88mW

08) Aplicando a Lei das Malhas (de Kirchhoff) à malha externa 'abcda' do circuito, obtém-se a

equação ε1 + ε2 = R1i1 + R3i3.

Errada: Malha externa: 1 1 1 3 3 2R i R i 0

1 2 1 1 3 3R i R i

16) A diferença de potencial elétrico Vb - Vd entre os pontos b e d do circuito vale 150,0 mV.

Errada. BD 2 2V R i 15 8 120mV

32) A potência dissipada no resistor R2 vale 1,50 mW.

Errada. 2 2

2 2 2P R i 15 (8) 960 W 0,96mW

64) O valor da potência elétrica dissipada pelo dispositivo de força-contra-eletromotriz ε2‚ é

0,40 mW.

Certa. 2 2 3P i 100 4 400 W 0,4mW


[B] Resposta da questão 10:

[E] Resposta da questão 11:

[D] Resposta da questão 12:

[C] Resposta da questão 13:

a) 12 V

b) 24 mA

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