leis de kirchoff
DESCRIPTION
Lei das malhas e dos nósTRANSCRIPT
lEIS DE ~<tRC).I~tOFF
TEO RIA
As leis de Kirchhoff permitem-nos solucionar circuitos eletricos de qualquer grau de complexidade - entende-se como solucionar circuitos eletricos, a determinat:;:ao de valores e sentidos de correntes e de tens6es para qualquer dispositive do circuito.
As leis de Kirchhoff formam o alicerce de toda a analise das redes eletricas e apresentam varies teoremas como Thevenin, Norton, Superposit:;:ao e outros, que serao discutidos nos pr6ximos capftulos.
Defini~oes
Rede Eletrica
Associat:;:ao de componentes eletricos, ativos ou pa~sivos, interligados de qualquer maneira desde que formando malhas. E o mesmo que circuito eletrico.
Malha
Todo percurso fechado que junto comp6e uma rede eletrica. Pode ser interna ou externa.
Leis de Kirchhoff 113
' : ' '
....
Ramo
Trecho qualquer de urn circuito eletrico compreendido entre do is n6s consecutivos.
N6
Ponto de interliga9ao de urn circuito eletrico que possui tres ou mais fios de liga9ao.
Exercfcio Resolvido
Para o circuito eletrico abaixo, determine as malhas externas e internas, os ramos e os n6s que ele possui.
R 1 R2
D
E
R6
Solu~ao
4 malhas externas: ABCDHGA, ABHDEFGA, BCDEFGHB e ABCDEFGA
3 malhas internas: ABHGA, BCDHB e DEFGHD
6 ramos: BH, DH, GH, GAB, BCD e DEFG 4 n6s: B, 0, G e H
Obs.: Os pontos A, C, E, e F nao sao n6s.
114 ELETRONICA
1 ~ Lei de Kirchh
"A soma das igual a soma das tambem e conhec
Para a figura + 16. Para esta c•
2! Lei de Kirc
"A soma da nado sentido, ~ malha no senti Malhas.
Nas figura
£ vbr
Leis de Kirc
doisn6s
tres ou mais
externas e
.,.__ ON!CA
1!! Lei de Kirchhoff
"A soma das correntes eletricas que entra num determinado n6, e igual a soma das correntes eletricas que sai desse mesmo n6". Esta lei tambem e conhecida como Lei dos N6s.
Para a figura a seguir, podemos concluir que l1 + l4 = l2 + l3 + 15 + 16. Para esta conclusao, basta aplicar-se a 1 a lei de Kirchhoff no n6 A.
~I 1 /1 2
2!! Lei de Kirchhoff
"A soma das tens6es eletricas em uma malha qualquer, num determinado sentido, e sempre igual a soma das tens6es eletricas dessa mesma malha no sentido oposto". Esta lei tambem e conhecida como Lei das Mal has.
Nas figuras abaixo, podemos concluir que:
Leis de Kirchhoff
vb1 + vb2 = V1 + V3 + V4
vb2 + vb3 = V2 + V3 + Vs
vb1 + V2 + Vs = V1 + vb3 + V4
115
. ' ,..
• I
No segundo exemplo, podemos aplicar a 2a lei de Kirchhoff tres vezes, isto e, uma para cada malha, uma vez que este circuito possui duas malhas internas e uma externa.
Obs.:
Deve-se sempre, respeitar as polaridades das tens6es eletricas analisadas para a aplica9ao da 2a lei de Kirchhoff.
Soluc_fao de Redes Eh~tricas Utilizando as Leis de KIRCHHOFF
Ao determinarmos valores de corrente e tensao de urn circuito eletrico qualquer, a traves das leis de Kirchhoff, estamos utilizando os verdadeiros conceitos eletricos e base dos diversos teoremas que surgiram posteriormente, sendo esta a grande vantagem conceitual do seu uso.
A grande desvantagem e o numero excessive de incognitas que surgem no memento de se resolver matematicamente, os "parametres de urn circuito de tamanho elevado". Este excessico numero de incognitas provoca tambem urn elevado numero de equa96es neces sarias para sua solu9ao. Portanto, outros metodos sao recomendados para a solu9ao de circuitos de propor96es elevadas em termos de numero de malhas.
Para se solucionar urn circuito atraves das leis de Kirchhoff, deve-se acompanhar esta pequena sequencia (receita) que e mostrada a seguir:
116 ELETRON/CA
1) DeterminE to analisa
Exemplos:
I l
r L
1
I 1
If
5 c
Obs.:l (adotados)
2) Ad< eire
Leis de Kir
eletricas
um circuito utilizando teoremas
conceitual
1) Determine, inicialmente, quantas correntes diferentes ha no circuito analisado.
Exemplos:
fF 12
ll I 1 +
IF +
l Corrente 3 Correntes
I 1
fF\
+
+
T . ·-- - j +-
L 14
V\\r-
I '
~~ . I 6
5 Correntes 6 Correntes
Obs.: Nos exemplos acima, os sentidos das correntes sao aleat6rios ( adotados).
2) Adota-se urn sentido qualquer para cada uma das correntes do circuito.
Leis de Kirchhoff 117
--
I . :
3)
4)
5)
6)
7)
8) 9)
Atraves das correntes adotadas no item anterior, determinamos, consequentemente o sentido de cada tensao eletrica do circuito (s6 para elementos passives, isto e, receptores).
Aplica-se a 1 a lei de Kirchhoff n vezes, sendo n o numero de n6s do circuito menos um.
Aplica-se a 2a lei de Kirchhoff m vezes, sendo m o numero de malhas internas do circuito. Pode-se aplicar a 2a lei de Kirchhoff, como ja vimos, tambem para as malhas externas, mas acreditamos que isto dificulta a solu~ao do circuito do ponto de vista mate matico.
Resolve-se o sistema de equa~6es, determinando o valor de todas as correntes.
Todas as correntes que resultaram num valor negative, devem ter os seus sentidos alterados e, consequentemente, altera-se tambern o sentido das tens6es atingidas por essas mesmas correntes.
Determina-se o valor de cada uma das tens6es do circuito.
Ap6s todos os calculos, verifica-se se em cada n6 a 1 a lei de Kirchhoff esta sendo obedecida e se para qualquer malha (intern a ou externa), a 2a lei de Kirchhoff esta sendo cumprida. Se nao estiver, refa~a a analise das equa~6es e os calculos, porque ha algum erro; se estiver tudo correto, a analise do circuito chegou aofim.
Exerclcio Resolvido
Determine as tens6es e as correntes existentes no circuito abaixo:
\.. ~ 'S
t-~["--4k0 ~ 5000
"' 2k0 j
2v + 12v
6v 2k0
118 ELETRONICA
1) 2)
3)
4)
5)
Este Ado1 que1
A~
n N1
AI m M IV A
11 2
E c .. €
E
Leis de
~rminamos, do circuito
erode n6s
1umero de ! Kirchhoff, s acreditao de vista
>rdetodas
devem ter ra-se tarnas corren-
uito.
1a lei de 1a (interna t Se nao 1orque ha :> chegou
abaixo:
....,.__ ON!CA
1) Este circuito possui tres correntes eletricas.
2) Adotaram-se os sentidos indicados abaixo de corrente e consequentemente de tensao.
2kQ
3) Aplica-se a 1 a lei de Kirchhoff n vezes:
n = n° de n6s -1 =/ 2 )-:) = 1 vez
N6 A: l1 = l2 + l3
4) Aplica-se a 2a lei de Kirchhoff m vezes
m = n° de malhas internas = 2 vezes
5)
Malha 1: 2000 11 + 4000 11 + 2000 12 = 2 + 6
Malha II: 6 + 50013 = 200012 + 12
Resolve-sa o sistema com as equa96es obtidas.
11 = 12 + 13
2000 l1 + 4000 l1 + 2000 l2 = 2 + 6 (II)
6 + 50013 = 2000 12 + 12 (Ill)
Substituindo (I) em (II):
6000 (12 + 13) + 2000 12 = 8
8000 12 + 6000 13 = 8
Ternes agora 8000 12 + 6000 13 = 8 (II)
-2000 12 + 500 13 = 6 (Ill)
Fazendo equa9ao (II) + 4. equa9ao (Ill), temos:
6000 13 + 2000 13 = 32
8000 13 = 32
Leis de Kirchhoff 119
,,
'i
·' .
l3 = 4mA Substituindo em (II):
8ooo 0 12 + 6oo 0 4 0 1 o-3 = 8 8000 12 = 8 - 24
l2 = -2mA
Substituindo em (I): 11 = -2 0 1 o-3 + 4 0 1 o-3
l1 = 2mA
Temos portanto, os valores
11 = 2mA
l2 = -2mA
l3 = 4mA
6) Altera-se o senti do da corrente 12 e a tensao "atingida" pel a mesma e determina-se o valor das tens6es no circuito:
2mA 4kQ A 500Q 4mA
rr== J2mA ---ll )2v
Bv 2v ( + - 2kQ 2v + l2v - l2v
CD ® 6v
2kQ
7) Verifica-se se em cada n6 e malha estao sendo obedecidas as leis de Kirchhoff:
120
N6 A: 4mA = 2mA + 2mA (V)
Malha I: 8 + 4 = 6 + 4 + 2 (V)
Malha II: 6 + 4 + 2 = 12 (V)
Malha externa: 8 + 4 + 2 = 12 + 2 (V)
ELETRON/CA
Exercicios Prop <•".o:O»~~~-,.~·':«~·~:««~
1)
2)
Determine as correntes dos adotadoso
l2v
Determine c correntes d1 adotadoso
Leis de Kirchhoff
mesma
as
Exerclcios Propostos
1) Determine as equa96es de malha e de n6 e tambem o valor das correntes dos circuitos, de acordo com os sentidos ja previamente adotados.
+
l2v
lkQ
I l
2k2Q
4700
9V
3v
I 3
2) Determine as equa96es de malha e de n6 e tambem o valor das correntes dos circuitos, de acordo com os sentidos ja previamente adotados.
22n
+ t 13
I 6v t I l 2
56n + 6v
Leis de Kirchhoff 121
3)
4)
122
-
Determine as equag6es de malha e de n6 e tambem o valor das correntes dos circuitos, de acordo com os sentidos ja previamente adotados.
lOOQ
330Q
Determine as equag6es de malha e de n6 e tambem o valor das correntes dos circuitos, de acordo com os sentidos ja previamente adotados.
I 1 12
100 22n 470
13 t + + +
-1 12v -I'v -J 3•
ELETRONJCA
5) Determine a correntes de adotados.
6) Oetermir corrente: adotado
\ ~ ""' ""' <
Leis de Kirct
tambem o valor das ja previamente 5)
6)
Determine as equa96es de malha e de n6 e tc:tmb~m o v~Jor das correntes dos circuitos, de acordo com os sent1dos Ja prev1amente adotados.
lkn lkn lkn
+ + +
Determine as equa96es de malha e de n6 e tc:tmb~m o v~Jor das correntes dos circuitos, de acordo com os sent1dos Ja prev1amente adotados.
1000 1200
+
2200 lkn
+ 9v
+ 6V - 12v
13 t 471Xl
14 t +
9v 11 12 Is
Leis de Kirchhoff 123
8) Determine as equa<;6es de malha e de n6 e tambem o valor das correntes dos circuitos, de acordo com os sentidos ja previamente adotados.
6v 6v
+ +
56!1 62!1
+ 6v
124 ELETRON/CA
1 O) Oeterr correr adota
Leis de Ki1
tambem o valor das tidos ja previamente
+
l2v
bern o valor das os ja previamente
62Q
ELETRONICA
9) Determine as equa<;6es de malha e de n6 e tambem o valor das correntes dos circuitos, de acordo com os sentidos ja previamente adotados.
lkn lkn lkn lOkn
+
9v + 6V 12v
lkn
1 0) Determine as equa<;6es de malha e de n6 e tambem o valor das correntes dos circuitos, de acordo com os sentidos ja previamente adotados.
IJ 22QQ 92 F -9v
220n 330n 330n
9v ~13 + 22QQ
~ - -14 Is
100n 16 -
Leis de Kirchhoff 125
6)
Capitulo 6
1) 11 + 13 = 12
10001 1 + 47012 = 15
4701 2 + 220013 = 12
I 1 = 9,29mA
12 = 12,15mA
13 = 2,86mA
2) 11 + 12- 13 = 0 7)
4712 + 2213 = 6
561 1 - 4712 = 0
11 = 57,57mA
12 = 68,6mA
13 = 126,17mA
3) 11 + 12 + 13 = 0
-1001 1 + 32012 = 9
1001 1 - 33013 = 3
I 1 -11 ,78mA
12 = 24,44mA
13 = -12,66mA
4) 11 + 12 + 13 = 0
1011-2213 = 6
-471 2 + 2213 = 3
I 1 = 0,28A
l2 = -0,13A
l3 = -0, 15A
5) 11 - 12 - 13 = 0
10001 1 + 100013 = 0
10001 2 - 100013 = 0
11 = 0
12 = 0
13 = 0
-ELETR6NICA
)
188
6) l1 - l2- Ia = o 12 -14 -Is= o 22011 + 1 OOOia = 9
57012 - 1 OOOia + 22014 = -6
22014 - 1201s = 1 5
l1 = -0,87mA
l2 = -1 0,05mA
Ia = 9,19mA
14 = 40,57mA
Is= -50,63mA
7) 11 + 12 - Ia = o Ia + 14 -Is= o 12 -Is+ Is= 0
1 0011 + 1 OOia - 1 0014 = -15
1 0012 + 1 OOia + 1 OOis = 12
1 0014 + 1 OOis + 1 OOis = 6
l1 = -90mA
l2 = 82,5mA
Ia = -7,5mA
14 = 52,5mA
Is= 45mA
Is= -37,5mA
8) 11 - 12 + Ia = o 11 - 14 - Is= o 4711 - 561a + 6814 = 6
6212 + 561a = 6
6814 - 761s = 6
l1 = 53,55mA
l2 = 76,26mA
Ia = 22,71mA
l4 = 69,93mA
Is = -16,38mA
Apendice E 189
....
9) 11 - 12 - 13 = 0
12 -14 -Is= 0
100011 + 100013 = 15
1 00012 - 1 00013 + 1 00014 = -1 8
1 00014 - 1 OOOOis = -12
11 = 5,55mA
12 = -3,91mA
13 = 9,45mA
14 = -4,64mA
Is= 0,74mA
1 0) 11 - 12- 13 = 0
13 - 14 - Is = o 12 +Is - Is= o 44011 + 33013 = 9
33012 - 33013 - 220is = 9
2201s + 1 OOis = -9
11 = 16,56mA
12 = 11 ,36mA
13 = 5,2mA
14 = 36,87mA
Is = -31 ,67mA
Is = -20,32mA
11) R1 = 5,7 Q
R2 = 8,7 Q
12) V = 12V
13) V = -22,6V
14) V = -5,89V
15)
190
S1
A
A
F
F
S2
A
F
A
F
v· - 3,26V
-11,76V
-3,26V
-11,2V
ELETRONICA
Capitulo
1) 3.0~
-33(
a=
{3= 2) SOc
-41 a=
{3= 3) 650
-1 0(
a=
{3= 4) 340
-22( a=
{3= 5) 200
-1 0(
a=
{3= 6) 1.m
-62(
-1 0(
a=
{3= y=
7) 1.1C 1.1 c -1 oc a=
{3= y=
Apendice E