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Função Exponencial 2013

1. (Uerj 2013) Um imóvel perde 36% do valor de venda a cada dois anos. O valor V(t) desse imóvel em t anos pode ser obtido por meio da fórmula a seguir, na qual V0 corresponde ao seu valor atual.

t

20tV V 0,64

Admitindo que o valor de venda atual do imóvel seja igual a 50 mil reais, calcule seu valor de venda daqui a três anos. 2. (Ufrn 2013) A pedido do seu orientador, um bolsista de um laboratório de biologia construiu

o gráfico a seguir a partir dos dados obtidos no monitoramento do crescimento de uma cultura de micro-organismos.

Analisando o gráfico, o bolsista informou ao orientador que a cultura crescia segundo o modelo

matemático, atN k 2 , com t em horas e N em milhares de micro-organismos.

Para constatar que o modelo matemático apresentado pelo bolsista estava correto, o orientador coletou novos dados com t = 4 horas e t = 8 horas. Para que o modelo construído pelo bolsista esteja correto, nesse período, o orientador deve ter obtido um aumento na quantidade de micro-organismos de a) 80.000. b) 160.000. c) 40.000. d) 120.000.

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3. (Unesp 2013) A revista Pesquisa Fapesp, na edição de novembro de 2012, publicou o artigo

intitulado Conhecimento Livre, que trata dos repositórios de artigos científicos disponibilizados gratuitamente aos interessados, por meio eletrônico. Nesse artigo, há um gráfico que mostra o crescimento do número dos repositórios institucionais no mundo, entre os anos de 1991 e 2011.

Observando o gráfico, pode-se afirmar que, no período analisado, o crescimento do número de repositórios institucionais no mundo foi, aproximadamente, a) exponencial. b) linear. c) logarítmico. d) senoidal. e) nulo. 4. (Pucrs 2013) A desintegração de uma substância radioativa é um fenômeno químico

modelado pela fórmula k tq 10 2 , onde q representa a quantidade de substância radioativa

(em gramas) existente no instante t (em horas). Quando o tempo t é igual a 3,3 horas, a quantidade existente q vale 5. Então, o valor da constante k é a) 35 5

b) 33 10

c) 5 33

d) 10 33

e) 100 33

5. (Espcex (Aman) 2012) Na pesquisa e desenvolvimento de uma nova linha de defensivos agrícolas, constatou-se que a ação do produto sobre a população de insetos em uma lavoura

pode ser descrita pela expressão kt0N t N 2 , sendo 0N a população no início do

tratamento, N(t), a população após t dias de tratamento e k uma constante, que descreve a eficácia do produto. Dados de campo mostraram que, após dez dias de aplicação, a população havia sido reduzida à quarta parte da população inicial. Com estes dados, podemos afirmar que o valor da constante de eficácia deste produto é igual a

a) 15

b) 15 c) 10

d) 110

e) 110



6. (Ufjf 2012) Seja f : uma função definida por xf x 2 . Na figura abaixo está

representado, no plano cartesiano, o gráfico de f e um trapézio ABCD, retângulo nos vértices A e D e cujos vértices B e C estão sobre o gráfico de f.

A medida da área do trapézio ABCD é igual a: a) 2

b) 8

3

c) 3 d) 4 e) 6 7. (Ufpr 2012) Um grupo de cientistas decidiu utilizar o seguinte modelo logístico, bastante

conhecido por matemáticos e biólogos, para estimar o número de pássaros, P(t), de

determinada espécie numa área de proteção ambiental: 2 t

500P(t) ,

1 2

sendo t o tempo em

anos e t = 0 o momento em que o estudo foi iniciado. a) Em quanto tempo a população chegará a 400 indivíduos? b) À medida que o tempo t aumenta, o número de pássaros dessa espécie se aproxima de qual

valor? Justifique sua resposta.

8. (Uepb 2012) Na figura abaixo, temos parte do gráfico da função

x2

f(x)3

e uma

sequência infinita de retângulos associados a esse gráfico.

A soma das áreas de todos os retângulos desta sequência infinita em unidade de área é

a) 3 b) 1

2 c) 1 d) 2 e) 4



9. (Ufrgs 2012) Considere a função f tal que

2x 15

f(x) k ,4

com k > 0.

Assinale a alternativa correspondente ao gráfico que pode representar a função f.

a) b) c)

d) e) 10. (Fuvest 2011) Seja bx cf x a 2 , em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a

semirreta 1, e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e (0, -3/4).

Então, o produto abc vale a) 4 b) 2 c) 0 d) - 2 e) - 4 11. (Unifesp 2011) A figura 1 representa um cabo de aço preso nas extremidades de duas

hastes de mesma altura h em relação a uma plataforma horizontal. A representação dessa situação num sistema de eixos ortogonais supõe a plataforma de fixação das hastes sobre o eixo das abscissas; as bases das hastes como dois pontos, A e B; e considera o ponto O, origem do sistema, como o ponto médio entre essas duas bases (figura 2). O comportamento

do cabo é descrito matematicamente pela função x

x 1f x 2

2

, com domínio [A, B].

a) Nessas condições, qual a menor distância entre o cabo e a plataforma de apoio? b) Considerando as hastes com 2,5 m de altura, qual deve ser a distância entre elas, se o

comportamento do cabo seguir precisamente a função dada?



12. (Espm 2011) O valor de y no sistema

5x y

2x y

(0,2) 5

(0,5) 2

é igual a:

a) 5

2

b) 2

7

c) 2

5

d) 3

5

e) 3

7

13. (Epcar (Afa) 2011) Dada a expressão

24x x1

3

, em que x é um número real qualquer,

podemos afirmar que a) o maior valor que a expressão pode assumir é 3. b) o menor valor que a expressão pode assumir é 3.

c) o menor valor que a expressão pode assumir é 1

81.

d) o maior valor que a expressão pode assumir é 1

27.

e) o menor valor que a expressão pode assumir é 1

9.

14. (Uepg 2011) Certa população de insetos cresce de acordo com a expressão

t

6N 500.2 ,

sendo t o tempo em meses e N o número de insetos na população após o tempo t. Nesse contexto, assinale o que for correto. 01) O número inicial de insetos é de 500. 02) Após 3 meses o número de insetos será maior que 800. 04) Após um ano o número total de insetos terá quadruplicado. 08) Após seis meses o número de insetos terá dobrado. 15. (Unicamp 2011) Em uma xícara que já contém certa quantidade de açúcar, despeja-se

café. A curva a seguir representa a função exponencial M(t), que fornece a quantidade de açúcar não dissolvido (em gramas), t minutos após o café ser despejado. Pelo gráfico, podemos concluir que

a)

t4

75M(t) 2 .

b)

t4

50M(t) 2 .

c)

t5

50M(t) 2 .

d)

t5

150M(t) 2 .



16. (Uepg 2010) Em relação a função de R em R definida por f(x) = 3

x + 2, assinale o que for

correto.

01) f(f(0)) = 29 02) Sua imagem é o conjunto ]2, + [ 04) f(a + b) = f(a) + f(b) 08) A função é decrescente. 16) f(x + 1) – f(x) = 2.3

x

17. (Uff 2010) O gráfico da função exponencial f, definida por f (x) = k a

x, foi construído

utilizando-se o programa de geometria dinâmica gratuito GeoGebra (http://www.geogebra.org),

conforme mostra a figura a seguir:

Sabe-se que os pontos A e B, indicados na figura, pertencem ao gráfico de f. Determine:

a) os valores das constantes a e k;

b) f (0) e f (3).

18. (Pucmg 2010) O valor de certo equipamento, comprado por R$60.000,00, é reduzido à

metade a cada 15 meses. Assim, a equação V (t) = 60.000. 15

t

2

, onde t é o tempo de uso em meses e V(t) é o valor em reais, representa a variação do valor desse equipamento. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que o valor do equipamento após 45 meses de uso será igual a: a) R$ 3.750,00 b) R$ 7.500,00 c) R$10.000,00 d) R$20.000,00 19. (Pucmg 2008) Os pontos ( 1,6) - e (0,3) pertencem ao gráfico da função f (x) b . a

x, em que

a e b são constantes não nulas. Então, o valor de f (- 3) - é igual a:

a) 18 b) 24 c) 30 d) 36



20. (Ufrrj 2007) O gráfico a seguir descreve a função f(x) = a2x

- 1, em que a é positivo. Nessas

condições qual o valor de a?

a) - 3 b) - 2 c) 2 d) 3 e) 4



Gabarito: Resposta da questão 1:

Sabendo que 0V 50000, temos que o valor de venda daqui a três anos é igual a

3

2 2512

V(3) 50000 [(0,8) ] 50000 R$ 25.600,00.1000

Resposta da questão 2: [D] Do gráfico, temos

a 0(0,10) 10 k 2 k 10

e

a 2

2a

(2, 20) 20 10 2

2 2

1a .

2

Logo,

t

2N(t) 10 2 e, portanto, se o modelo estiver correto, o aumento na quantidade de

micro-organismos entre t 4 e t 8 horas deve ter sido de

N(8) N(4) 160 40 120.000.

Resposta da questão 3: [A]

O gráfico apresentado é semelhante ao gráfico da função f : , definida por xf(x) a ,

com a 1. Logo, o crescimento do número de repositórios institucionais no mundo foi,

aproximadamente, exponencial. Resposta da questão 4: [D]

Para t 3,3 h sabe-se que q 5 g. Logo,

k 3,3 3,3k 15 10 2 2 2

3,3k 1

10k .

33

Resposta da questão 5: [B]

De acordo com as informações, vem k 10 10k 2 100

NN 2 2 2 k 5 .

4



Resposta da questão 6:

[C]

A área do trapézio ABCD é dada por:

2 1f(2) f(1) 2 2 6

(2 1) 3 u.a.2 2 2


a) Para t ? temos P(t) 400

Portanto:

2 t 2 t 2 t

2 t

500 500 5 1400 1 2 2 1 2 t 4

400 4 4 1 2

b) Para t muito grande, o valor 2 t2 tende a ser 0; logo, P(t) será dado por 500

P(t) 500 1 0

.

Portanto, o número de pássaros dessa espécie se aproxima a 500. Resposta da questão 8:

[D]

Como a medida da base de cada um dos retângulos é igual a 1, segue-se que a soma pedida é

dada por

2 32 2 2

f(1) f(2) f(3)3 3 3

2

32

13

2.


[A]

Sendo k > 0, Suponha k = 2. Então,

2x 15

f(x) 24

.

Logo: 2( 2) 1

2( 1) 1

2(0) 1

2(1) 1

5 7274Para x 2 f( 2) 2 f( 2) 2,32.

4 3125

5 314Para x 1 f( 1) 2 f( 2) 2,51.

4 125

5 14Para x 0 f(0) 2 f(0) 2,8.

4 5

5 13Para x 1 f(1) 2 f(1) 3,25.

4 4

Para x 2 f

2(2) 15 253

(2) 2 f(2) 3,95.4 64

.

Portanto, a função f(x) é crescente e seus valores estão acima de k unidades acima.




[A] Como a imagem inicia-se em -1, concluímos que a = -1; Logo, f(x) = -1 + 2

x+ c

Como f(1) = 0, temos 0 = -1 +2b.1+c

2b+c

= 2o b + c = 0

Como f(0) = 3

4 , temos

3

4 = -1 + 2

c 2

c = ¼ c = -2 e b = 2

Logo, a.b.c = -1.2.(-2) = 4 Resposta da questão 11:

a) A menor distância entre o cabo e a plataforma de apoio é dada por:

0

0 1f(0) 2 1 1 2 m.

2

b) A distância entre as hastes é 2B, pois O é o ponto médio de AB. Logo,

BB

2B B

B 2

B 2

B

B

B

1f(B) 2,5 2 2,5

2

2 2,5 2 1 0

(2 1,25) 1,5625 1 0

(2 1,25) 0,5625

2 1,25 0,75

2 2 B 1

ou ou .

B 12 0,5

Como B 0, segue que 2B 2 1 2 m.


[E] Temos que

5x y 1 5x y 1

2x y 1 2x y 1

(0,2) 5 (5 ) 5

(0,5) 2 (2 ) 2

5x y 1

2x y 1

2x

7.

3y

7

Portanto, o valor de y no sistema é 3

7.




[C]

Como 1

1,3

a expressão

24x x1

3 assume seu menor valor quando 24x x assume seu valor

máximo. Desse modo, segue que para x 2 a expressão

2 24x x 4 (x 2)

assume valor máximo igual a 4 e, portanto,

41 1

3 81 é o valor mínimo procurado.

Resposta da questão 14: 01 + 04 + 08 = 13. Item (01) – Verdadeiro

Para t = 0

0

6N 500.2 500.

Item (02) – Falso

Para t = 3

3

6N 500.2 500. 2 707.

Item (04) – Verdadeiro

Para t = 12

12

6N 500.2 500.4 2000.

Item (08) – Verdadeira

Para t = 6

6

6N 500.2 500.2 1000.

Resposta da questão 15: [A] Dentre as funções apresentadas nas alternativas, a única cujo gráfico passa pelos pontos

(0,16) e (150, 4) é

t4

75M(t) 2 .

Com efeito,

04

75M(0) 2 16

e

1504

75M(150) 2 4.


01 + 02 + 16 = 19

(01) verdadeiro, f(0) = 3o + 2 = 3 e f(3) = 3

3 + 2 = 29

(02) verdadeiro, a imagem de 3x é ]0,+ [ logo a imagem de 3

x + 2 é ]2, + [

(04) falso, ex 31+2

+2 31+ 2 + 3

2 + 2

(08) falso, A função é crescente.

(16) verdadeiro, 3x+1

+ 2 -.(3x + 2) = 3.3

x+2-3

x – 2= 2.3

x

2

conjunto imagem

x

y




a)

)(.2

9

)(.3

2

1

IIak

Ika dividindo (II) por (I) temos: a = 3/2 e 3 = k.

2

3 k = 2

b)

x

xf

2

3.2)(

22

3.2)0(

0

f

4

27

2

3.2)3(

3

f


[B]

V(45) = 60.000. 15

45

2

V(45) = 60.000.2-3

= 60.000.(1/8) = 7500

Resposta R$ 7.500,00 Resposta da questão 19:

[B] Resposta da questão 20:

[D]


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